能量、熵和套利 - 外文文献专区

2022-4-29 17:48:48

能量、熵和套利soumik PAL和TING-KAM LEONARD WONGAbstract。我们引入一种路径方法来分析股票投资组合相对于基准市场投资组合的相对表现。在这个能量熵框架中，相对绩效被分解为三个组成部分：波动率项、衡量投资组合权重与市场资本分布之间距离的相对熵项，以及投资者可以通过采取适当的再平衡策略来控制的另一个熵项。该框架产生了一类投资组合策略，从长远来看，它可以让一个人跑赢一个在随机投资组合理论意义上具有多样性和高度波动性的市场。该框架用几个实证例子加以说明。1.介绍1。1.重新平衡和波动性提升。再平衡和波动性泵送是数学金融和投资管理中的热门话题。对于Recala经典示例（参见示例[Lue98，示例15.2]和[DESH07]），考虑两种资产，其价格变化如下（参见图1（左））。资产1收益-所有奇数周期50%的回报率，所有偶数周期100%的回报率。另一方面，资产2是一种无风险资产，其回报率始终为0%。如果购买并持有这两项资产中的任何一项，显然不会产生长期增长。尽管如此，如果投资者重新平衡投资组合，以便在每个时期开始时对这两种资产投入相等的资本，那么产生的等权投资组合在一段时间内的表现将以指数形式优于任何买入和持有投资组合。

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能者818

2022-4-29 17:48:51

要了解原因，请注意，在第一个周期内，等权投资组合的回报率为×(-50%) +× 0% = -25%.第二阶段的回报率为×100%+×0%=50%，在两个阶段，投资组合的增长是“下降系数”0.75和“上升系数”1.5的乘积：0.75×1.5=1.125。这严格地大于1，并且复合使其表现出指数级的优越性。这个例子说明，即使基础资产经历零增长，系统性再平衡也能够从“波动性”中获取利润。直觉上，这是因为再平衡有一个内在的买-低-卖-高效应，即2016年1月5日。关键词和短语。随机投资组合理论，再平衡，波动性收获，相对性，相对套利，超额增长率，无模型，成对交易。2 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONGtimeprice$1$0.5资产2资产2 TimePrice$1$0.5$0.25资产2资产2图1。波动性泵送的说明。资产2是现金，资产1要么上升2倍，要么下降0倍。5.图中显示了六个时期。左图：价格是- + - + -+. 右图：价格模式是- - - + ++.在买入并持有投资组合中缺席。在实践中，有人观察到（见[BNPS12，PUV12]）再平衡投资组合的表现往往优于资本化加权基准投资组合。尽管有大量关于再平衡和波动性泵送的理论和实践的文献（参见[FS82、FM07、DESH08、PR11、MTZ11、CZ14、Hal14]和其中的参考文献），但学者和实践者之间存在一些困惑。我们认为，这是因为在大多数再平衡的理论分析中，对资产价格的动态施加了非常强烈的假设，这给人一种错误的印象，即再平衡只在这些情况下有效。

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2022-4-29 17:48:54

一个重要的例子是（错误的）断言，即只有当基础价格变化与上述例子[CZ14]呈负相关时，再平衡才是有利的。因此，迫切需要研究在什么样的精确条件下，平衡或波动性注入能够击败资本化加权投资组合。1.2. 随机投资组合理论。随机投资组合理论（SPT）（见[Fer02]和[FK09]的介绍）是一种描述股票市场和投资组合选择的理论，在这个问题上取得了重要进展。为了激发创意，考虑一个由n只股票组成的股票市场。如果Xi（t）是时间t时股票i的市值，则比率（1.1）ui（t）=Xi（t）X（t）+···+Xn（t）被称为股票i的市场权重，代表股票i中总市场资本的比例。向量u（t）=（u（t），un（t））的市场权重取开放单位单纯形中的值n=（p=（p，…，pn）：pi>0，nXi=1pi=1）。如果在每个时期根据市场权重进行投资，则产生的投资组合称为市场投资组合。市场投资组合是一种资本化加权投资组合，其价值代表市场的整体表现。因此，它经常被作为投资基准。例如，标准普尔500指数可以作为美国股市市场投资组合的代表，而SCI EAFE指数是全球股市（除美国和加拿大外）的基准。能量、熵和套利3将市场权重从最大值重新排列到最小值，我们得到市场的资本分布：u（1）（t）≥ · · · ≥ u（n）（t）。随机投资组合理论利用了资本分布在长期内表现出显著稳定性的事实（见[Fer02，第4章]）。

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2022-4-29 17:48:57

一种称为多样性的特殊属性表明，最大的公司无法主导市场，即u（1）（t）≤ 1.-δ对于所有t，对于某些δ>0（参见[Fer02，第2章]）。利用这种稳定性，该理论确定了一系列投资组合的子集——功能性生成的投资组合——能够通过在足够长的时间内系统性地重新平衡和超越市场投资组合，从波动中获利。这些投资组合被称为在多样性和有效波动性条件下相对于市场的相对套利。每个功能生成的投资组合由一个确定性函数给出，该函数将投资组合向量π（t）分配给当前市场权重向量u（t）。一个例子是多样性加权投资组合，其投资组合权重由（1.2）πi（t）=μλi（t）Pnj=1μλj（t），i=1，n、其中0<λ<1是一个固定参数。有关其实际应用，请参见[FGH98]。这些显著的结果（参见[FK09，第2章]中的精确陈述）由Fernholz在连续时间环境中获得，其中股票价格由连续It^o过程建模。人们很自然地会问，在离散时间内是否会有相同的结果（在实践中，所有的投资组合都不能连续地重新平衡），以及是否有在多样性和有效波动性的类似假设下击败市场的非功能性投资组合[FK09，备注11.5]。由于原始证明基于随机演算，因此需要另一种方法。1.3. 我们的贡献。本文的目的是介绍一个信息论、路径和无模型的框架，用于分析任何投资组合相对于市场投资组合的表现，重点是从市场波动中获利。我们称之为能量熵框架。

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能者818

2022-4-29 17:49:00

本文是[PWng，Won15a，BNW15，Won15b]系列论文中的第一篇，致力于相对套利、功能生成投资组合和随机投资组合理论的路径方法。特别是，[BNW15]为从业者提供了更容易理解的能量熵框架，并包含了更多的实证例子。我们将我们的贡献总结如下。首先，我们对离散时间随机投资组合理论的基本结果进行了处理，表明需要怀旧建模假设。我们分析的基本单位不是分析股票价格的特定统计模型，而是股票价格的个别路径。由于缺乏概率考虑，我们可以将注意力集中在与再平衡相关的股价路径属性上。其次，我们推导了任意组合相对于市场组合的绩效的横向分解公式；它量化了投资组合因再平衡和市场变动而产生的收益或损失。虽然连续时间随机投资组合理论中函数生成投资组合的分解公式（见[Fer02，定理3.1.5]）也是路径式的，但它们的推导依赖于随机演算。在这里，我们的推导完全不考虑概率因素。第三，这一框架带来了一类投资组合策略，从长远来看，这些策略能够击败多样且剧烈波动的市场；它们不是功能生成的4 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONG（因此回答[FK09，备注11.5]），更灵活。我们称之为能源投资组合。最后但并非最不重要的一点是，该框架也适用于分析层次结构投资组合（即基金中的基金，见第4.3节）。

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2022-4-29 17:49:03

能量熵框架在CRAN上提供的R包RelValAnalysis（相对价值分析）中实现。通过对第一个例子的简单修改，可以理解再平衡和波动性泵送机制的主要思想（它还表明，再平衡不需要负相关）。假设资产1的收益随着时间的推移而恢复，如图1（右）所示。现在，除了第四个时期，价格变化是正相关的。由于我们可以重新排列因子：0.75×0.75×0.75×1.5×1.5×1.5=（0.75×1.5），因此六个时期内同等加权投资组合的增长保持不变。因此，再平衡投资组合长期增长的关键驱动因素是增长因子0.75×1.5可以匹配的次数。事实证明，这与有效波动性的概念密切相关。我们的框架将这一想法推广到任何数量的资产和任何动态投资组合策略。1.4. 配对交易。两种资产的特殊情况通常被称为配对交易。在实践中被广泛使用[GWR06]，这通常是第一个出现在脑海中的统计比特率示例。不幸的是，尽管配对交易已经实施了30多年，但它的分析经常使用严格的假设，例如一种资产相对于另一种资产的相对价格的回归。正如我们在第2.3节中通过二叉树模型所展示的，配对交易是一般随机投资组合理论的一个特例，其效率仅取决于一种资产相对于另一种资产的多样性和相对波动性。我们的方法的优点是，上面的声明是针对每个离散时间路径显示的，没有关于其未来行为的任何假设或统计建模。1.5. 概述论文的其余部分组织如下。

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2022-4-29 17:49:07

第2节描述了数学设置，包括投资组合策略相对于市场投资组合的相对价值。特别是，第2.3节给出了两个资产示例的正式处理。它为重新平衡和配对交易提供了新的见解，并引入了与Fernholz功能性投资组合的联系。第三节推导了能量熵框架的主要分解公式。第4节将给出该框架的几个应用。特别是，我们引入了一类投资组合策略，称为能量熵投资组合。在第4节。2.我们用实际数据来说明这些投资组合的表现。最后，在第4.3节中，我们将分析扩展到一个投资组合。我们展示了我们的信息理论框架，根据经典统计学中方差分析分解的精神，将再平衡的收益巧妙地归因于层次结构的各个层次（即，投资组合内的再平衡与投资组合间的再平衡）。2.准备工作2。1.市场资本分配。我们考虑一个离散时间的股票市场，由n≥ 2只股票。尽管我们仅限于股票市场，但只要我们正确解释市场能量、熵和套利5组合，其他资产类别也可以用于以下分析。例如，我们可以将每个“股票”解释为工业部门或国家股票指数。假设Xi（t）>0是时间t时股票i的资本化。我们假设每个股票都有一股流通股，因此Xi（t）也可以被视为股票i的价格。时间t时股票i的市场权重由（1.1）定义。在我们的理想化模型中，所有的资本变动都是由股票收益驱动的。

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2022-4-29 17:49:12

因此，如果Ri（t）代表股票i在时间间隔[t，t+1]内的收益率，则市场权重可以通过公式ui（t+1）=Xi（t）（1+Ri（t））X（t）（1+R（t））+·n（t）（1+Rn（t））=ui（t）（1+Ri（t））u（t）（1+R（t））+·n（t）（1+Rn（t））进行更新。（2.1）我们将市场的演变视为一个序列{u（t）}∞t=市场权重向量的0，其值为n、在我们的路径方法中，我们不假设序列{u（t）}∞t=0是一个随机过程的实现。我们以路径为例，研究了存在相对搜索机会所需的路径属性。2.2. 投资组合的相对价值。投资组合权重向量是封闭单位单纯形的一个元素这是关闭尼恩。π的组成部分代表投资于可用资产的资本比例。特别是，所有考虑的投资组合都是长期投资，并完全投资于股票市场。Aportfolio策略是一个序列π={π（t）}∞t=0根据投资者的历史价格和其他信息依次选择投资组合权重向量。给定π，考虑相应的自融资投资组合，初始投资为1美元。如果Zπ（t）表示这个投资组合的价值，我们有（2.2）Zπ（t+1）=Zπ（t）1+nXi=1πi（t）Ri（t）！，其中Ri（t）是股票i在区间[t，t+1]内的收益率。如果πi（t）≡ ui（t），由此产生的投资组合称为市场投资组合，并用u表示。很容易检查zu（t）=X（t）+··+Xn（t）X（0）+·+Xn（0）。本文的目的是分析投资组合相对于市场投资组合的绩效。这将通过相对值来衡量。为了简单起见，交易费用不包括在内。定义2.1（相对值）。

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可人4

2022-4-29 17:49:16

给定一个投资组合策略π，其相对价值（相对于市场投资组合）为比率π（t）=Zπ（t）Zu（t）。下面的引理表明，相对价值的演化只取决于市场权重。引理2.2。任何投资组合策略的相对值π满足Vπ（0）=0和（2.3）Vπ（t+1）Vπ（t）=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）。6 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONGProof。由于Zπ（0）=Zu（0）=1，很明显Vπ（0）=1。我们有Zπ（t+1）Zπ（t）=nXi=1πi（t）（1+Ri（t））和Zu（t+1）Zu（t）=nXi=1ui（t）（1+Ri（t））。通过（2.1），我们得到Vπ（t+1）Vπ（t）=Zπ（t+1）/Zπ（t）Zu（t+1）/Zu（t）=nXi=1πi（t）1+Ri（t）Pnj=1uj（t）（1+Rj（t））=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）。(2.4)如果投资组合向量π（t）随时间变化为常数，则称投资组合策略π为常数加权。滥用符号，常数加权投资组合可以用向量π表示∈ n、备注2.3（再平衡）。大多数投资组合策略，包括恒定权重的投资组合（其中π至少有两个严格的正分量），都需要交易以维持所需的投资组合权重。更精确地说，假设在时间t，投资组合向量是π（t）。根据导致（2.1）的对价，就在交易发生之前的时间t+1，股票i中的资本比例为（2.5）eπi（t+1）=πi（t）（1+Ri（t））Pnj=1πj（t）（1+Rj（t））。隐含权重eπi（t+1）有时被投资组合管理者称为漂移权重，正确地说，再平衡是将投资组合权重从eπ（t+1）移动到新权重π（t+1）（而不是从π（t）移动到π（t+1））的交易。使用这个术语，买入并持有投资组合——比如marketportfoliou——是一种投资组合策略π，满足所有t.2.3的eπ（t+1）=π（t+1）。两个资产案例。在这一小节中，我们使用二叉树模型展开介绍中的两个资产示例。

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可人4

2022-4-29 17:49:20

获得的直觉在一般情况下是有用的。假设有两种资产的价格分别为X（t）和X（t）。LetY（t）：=logX（t）X（t）是相对价格的度量。我们假设Y（t）=Y（t+1）- Y（t）只取σ和-σ，其中σ>0是固定常数。我们认为σ是相对价格的内在波动。给定一个投资组合策略π（t）=（π（t），π（t）），我们让π（t）=Zπ（t）X（t）/X（0）能量、熵和套利7tY（t）Y（0）匹配匹配图2。在二叉树模型中匹配上下移动。是投资组合π相对于资产2的价值。因此，资产2的目的是为了满足Num’eraire（在引言中的示例中，资产2是现金）。然后Wπ（0）=1，通过一个类似于引理2.2的参数，我们得到了Wπ（0）=1和Wπ（t+1）Wπ（t）=1+π（t）EY（t）- 1.=（1+π（t）（eσ）- 1）如果Y（t）=σ，1+π（t）（e）-σ- 1）如果Y（t）=-σ.这些是“上升”和“下降”因素（图1σ=对数2）。对于任何时间t，我们认为Wπ（t）是这些上下因子的乘积：（2.6）Wπ（t）=t-1Ys=01+π（s）EY(s)- 1..例2.4（固定加权投资组合）。设π=（q，1）- q）成为一个稳定的投资组合，其中0<q<1。对于每一对上下移动，我们得到贡献（2.7）κ：=（1+q（eσ）- 1))1+qE-σ- 1.= 1+q（1）- q）eσ/2- E-σ/2> 1.因此，每个匹配产生一个“生长因子”κ。请注意，当q=即投资组合加权相等时，该数量最大化。假设在时间t之前有N（t）个匹配（见图2）。从图2可以清楚地看出，不匹配的移动数正好是M（t）：=|Y（t）- Y（0）|/σ。在乘积表示法（2.6）中，对于每对上下移动，我们得到（2.7）给出的因子κ。因此我们得到了分解（2.8）log Wπ（t）=N（t）κ+M（t）η，其中η：=log（1+q（e±）σ- 1））取决于Y（t）的符号- Y（0）。

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2022-4-29 17:49:25

分解（2.8）表明，当且仅当匹配移动的数量相对于非匹配移动的数量较大时，常数加权投资组合的表现优于集合2。特别是，如果N（t）↑ ∞ M（t）=o（N（t）），然后Wπ（t）↑ ∞作为t↑ ∞.在附录中，我们考虑使用依赖于状态的投资组合函数进行再平衡，并将其与Fernholz的功能生成投资组合相关联。3.能量熵再平衡8 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONG3。1.离散超额增长率。我们通过引入关键量开始我们对能量熵框架的处理。设π为任何投资组合策略。取（2.3）两边的对数，并使用符号A（t）：=A（t+1）- A（t），我们有 logvπ（t）=lognXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）=nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）+lognXi=1πiui（t+1）ui（t）！-nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）！。（3.1）定义3.1（离散超额增长率）。设π={π（t）}∞t=0是一个portfoliostrategy。周期[t，t+1]内π的离散超额增长率由（3.2）γ定义*π（t）=lognXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）！-nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）。累积离散超额增长率用（3.3）Γ表示*π（t）=t-1Xs=0γ*π（s）。注意γ*π（t）取决于π（t）、u（t）和u（t+1），可以在时间t+1计算。根据Jensen不等式，离散超额增长率γ*π（t）总是非负的。更明确地说，考虑一个随机变量Y，使得Y=logui（t+1）ui（t），概率为πi（t）。然后我们有γ*π（t）=对数Eπ（t）嗯-Y（E）π≥ 0，其中Eπ（t）表示关于被视为概率分布的π（t）的期望。尤其是γ*π（t）是严格正的，除非Y是π（t）-a.s。

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2022-4-29 17:49:29

常数这使我们能够观察γ*π（t）作为市场横截面波动性的度量。通过泰勒近似，我们得到了（3.4）γ*π（t）≈nXi，j=1πi（t）（δij）- πj（t））对数ui（t）当u（t+1）接近u（t）时，对数uj（t）（这里δij是克罗内克增量）。在该限制中，这成为[FS82]中引入的超额增长率（另见[FK09，（1.13）]）。由于我们在离散时间工作，为了简单起见，我们将删除“离散”一词，这应该不会与连续时间超额增长率混淆。超额增长率在以下意义上是num’eraire不变量（另见[Fer02，引理1.3.4]）。引理3.2（数值不变性）。设Xi（t）为股票i的资本化，设{M（t）}∞t=0可以是任何用作数字的正序。让eri（t）= log（Xi（t）/M（t））是股票i相对于M（t）的对数回报，ander（t）= log（Zπ（t）/M（t））是投资组合的相应数量。然后是（3.5）γ*π（t）=er（t）-nXi=1πi（t）eri（t）。能量、熵和套利。通过（2.2），我们得到了（t）=lognXi=1πi（t）Xi（t+1）Xi（t）·M（t）M（t+1）！= 对数Zπ（t）- 对数M（t）。同样，nXi=1πi（t）eri（t）=nXi=1πi（t）logXi（t+1）Xi（t）- 对数M（t）=nXi=1πi（t）对数ui（t+1）ui（t）+ 对数Zu（t）- 对数M（t）。这个引理是通过取两个方程的差来证明的。特别是，取M（t）≡ 1分（3.5），我们有γ*π（t）=log1+nXi=1πi（t）Ri（t）！-nXi=1πi（t）log（1+Ri（t）），表示投资组合对数收益率与股票对数收益率加权平均值之间的差异。因此γ*π（t）也等于[BF92]中研究的分流收益。我们解释了累积超额增长率Γ*π（t）为投资组合策略π可能捕捉到的市场横截面波动量。

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2022-4-29 17:49:32

自从γ*π（t）通常是严格正的（当π（t）∈ n）市场权重u（t）不断变化，我们预计Γ*π（t）↑ ∞ 作为t↑ ∞. 术语“能量”指的是这种波动性术语。关于术语的更多讨论将在第3.4.3.2节中给出。相对熵。能量熵框架的第二个关键量是源自信息论的相对熵。定义3.3（相对熵）。为了p∈ nand q∈ n、相对熵（p | q）由h（p | q）=nXi=1pilogpiqi定义，约定为0 log0=0。相对熵在统计学中也被称为Kullback-Leibler散度。根据詹森不等式，我们得到了H（p | q）≥ 当且仅当p=q时，H（p | q）=0。相对熵可以解释为概率向量之间的一种距离，尽管它不是对称的，不满足三角形不等式。关于相对熵的进一步性质，请读者参考[CT06，第2章]。现在考虑一下（3.1）最后一行的第一项。观察nXi=1πi（t）logui（t+1）ui（t）=nXi=1πi（t）logui（t+1）πi（t）-nXi=1πi（t）logπi（t）ui（t）=-H（π（t）|u（t+1））+H（π（t）|u（t））。（3.6）结合（3.1）和（3.6），我们可以分解相对对数收益对数Vπ（t）的形式为（3.7）对数Vπ（t）=γ*π（t）+（H（π（t）|u（t+1））- π-t和π-t*π（t）log Vπ（t）H（π|u（0））- H（π|u（t））图3。常权投资组合的能量熵分解π.3.3。固定加权投资组合。恒定加权投资组合是再平衡理论中最简单、概念上最重要的投资组合。让我们首先将分解（3.7）转化为一个常数加权投资组合π∈ N

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mingdashike22

2022-4-29 17:49:36

随着时间的推移求和（3.7），我们得到了能量熵分解（3.8）logvπ（t）=Γ*π（t）+（H（π|u（0））- H（π|u（t）），其中“能量”指波动率项Γ*π（t）（更多讨论见第3.4节）。注意，相对熵的和是伸缩和，因为π（t）≡ π随时间是常数。这种分解如图3所示。备注3.4。对于常数加权投资组合，分解（3.8）是Fernholz的“主方程”（参见[Fer02，定理3.1.5]）的离散时间版本，用于功能生成的投资组合。事实上，恒定加权的portfoliosa是函数生成的（其中“生成函数”是几何平均值）。广义能量熵分解（3.9）将该分解推广到任何动态投资组合策略。参见[PWng]，了解功能生成投资组合理论的离散时间路径方法。在分解（3.8）中，累积超额增长率Γ*π（t）衡量投资组合π捕获的市场波动量（与引言中示例中匹配因子的数量类似）。相对向性termH（π|u（0））- H（π|u（t））衡量相对性能偏离Γ的程度*π（t）。请注意，相对熵项仅取决于市场权重向量的初始位置和当前位置；它代表了资本分配的变化如何影响投资组合的绩效，不包括波动性的影响。特别是，如果市场权重向量变得更接近投资组合π，即H（π|u（t））<H（π|u（0）），则相对熵项为正，Vπ（t）>1。在典型的市场情况下，我们预计Γ*π（t）随时间线性增长，即Γ*π（t）- Γ*π（s）≈ （t）- s）对一些人来说 > 0

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2022-4-29 17:49:41

在短期内，对数Vπ（t）的变化主要由相对熵项决定，而长期增长则来自累积的超额增长率。下面是一个简单的例子。提案3.5。让π∈ nbe是一个不断加权的投资组合。假设市场权重序列{u（t）}∞t=0满足以下条件：（i）存在能量、熵和套利集K 确保u（t）∈ K代表所有t和（ii）Γ*π（t）↑ ∞ 作为t↑ ∞.那么Vπ（t）↑ ∞ 作为t↑ ∞. 特别地，让t=inf{t≥ 0 : Γ*π（t）>c}式中-c:=infp∈K（H（π|u（0））- H（π| p））。那么Vπ（t）>1表示所有的t≥ t、证据。自u（t）∈ 对于所有t，通过相对熵H（π|·）的连续性和K的紧性，我们得到了，对于所有t，inft≥0（H（π|u（0））- H（π|u（t）））≥ infp∈K（H（π|u（0））- H（π| p））=-c>-∞.其余的直接来自分解公式（3.8）。命题3.5的美妙之处在于它是路径式的，完全没有随机建模假设。也就是说，当序列{u（t）}∞t=0满足路径属性（i）和（ii）。命题3.5并不声称一个恒定加权的投资组合总是优于市场投资组合。相反，它给出了一组明确的有效条件，投资组合经理可以评估这些条件在agiven市场中的有效性。因此，路径方法将再平衡问题分为两个部分：（i）实现再平衡所需的路径属性，以及（ii）投资期内的实际市场是否满足这些条件。以前的方法倾向于同时考虑这两个问题，并根据使用的数据给出混合的结果。在股票市场中，u（t）没有理由保持在n、事实上，在一个典型的市场中，大多数股票的市场权重接近于0。

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2022-4-29 17:49:44

例如，如果我们将每个环节解释为一个或一组工业部门或国家，则命题3.5更适用。在这种情况下，我们希望资本分配更加稳定。由于固定权重投资组合的适用性有限，因此，在该框架下如何实施动态投资组合策略是一个值得关注的问题。这就是下一小节的目的。3.4. 广义能量熵分解。对于一般的投资组合策略π，其中π（t）可能不是常数，我们将重新安排（3.7），以便量化改变投资组合权重的影响。为此，我们写对数Vπ（t）=γ*π（t）+（H（π（t）|u（t））- H（π（t+1）|u（t+1））+（H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1）））。（3.9）以下nmemonic有助于记忆和解释之前的分解：（3.10）对数Vπ（t）=能量- 相对熵+控制，在哪里能量=γ*π（t），相对熵=H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t）），控制=H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1））。（3.11）我们称（3.9）和（3.10）（以及它们的时间集合）为投资组合策略π的能量熵分解。一些术语的注释是正确的。直觉上，我们认为市场以Γ的形式提供恒定的波动性*π（t）↑ ∞. 在Suitable2 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONG的带领下nu（t+1）π（t）π（t+1）图4。能量熵再平衡。椭圆形是H（·|u（t+1））的顶点，虚线表示π（t）处的切面。在图中，π（t+1）的选择使得H（π（t+1）|u（t+1））>H（π（t）|u（t+1））。因此这一时期的控制期为正值。在市场条件下，它可以通过动态再平衡战略捕获并转化为利润。这类似于自然界中的能量（如海浪和风），可以通过机器转化为功。

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2022-4-29 17:49:48

顾名思义，相对entropyterm监控投资组合权重和市场权重向量之间的距离。最后，控制项由在时间t+1选择的新投资组合权重向量π（t+1）确定。由于这取决于投资者的行为，我们称之为控制项。当H（π（t+1）|u（t+1））>H（π（t）|u（t+1））时，即投资组合离开市场时（见图4），为正；当投资组合走向市场时，为负。在第二种情况下，我们说能量被“消耗”以接近市场（见例3.7）。例3.6（固定加权投资组合）。自π（t）≡ π对于所有t，对于一个恒定的二元投资组合，控制项总是满足的控制≡ 0、注意control=0并不意味着投资组合在t+1时不交易（见备注2.3）。这仅仅意味着，恒定加权投资组合不会试图使H（π（t+1）|u（t+1））大于或小于H（π（t）|u（t+1））。例3.7（市场组合）。市场组合满足π（t）≡ u（t）表示所有t。根据定义，相对熵项等于零。自Vu（t）≡ 1.定义，从（3.10）开始能量=-继续我们关于能源的比喻，我们说市场投资组合将所有可用的能源用于跟随市场，而且由于没有剩余能源（波动性）累积，它永远不会跑赢市场。4.申请4。1.能量熵组合。

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mingdashike22

2022-4-29 17:49:52

如果投资组合不是常数加权的，我们可以选择权重，使控制项为正或负。将一般能量熵分解（3.10）的时间聚合写在能量、熵和套利13中，形式为log Vπ（t）=X(能源+（控制）-十、相对熵=X(能源+（控制）- （H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t）））。（4.1）凭直觉，我们想到精力+控制是再平衡后能量的“剩余”，这种再平衡的目的是控制相对熵距离（π（t）|u（t））。这是因为，如果H（π（t）|u（t））较大，市场权重的微小变化可能会导致相对性能的大幅下降（这可能被称为entropicrisk，与跟踪误差的概念有关）。然后，我们的想法是选择一种对开本策略，使得H（π（t）|u（t））在上面有界，并且第一项是递增的。这导致了以下定义。定义4.1（能量熵组合）。能量熵投资组合是一种满足以下条件的投资组合策略π：D（t）- 1) := 能量（t）- 1) + 控制（t- 1)= γ*π（t）- 1） +（H（π（t）|u（t））- H（π（t）- 1） |u（t）））≥ 0（4.2）表示所有t≥ 1.请注意，能量熵组合可以仅使用观测到的历史来构建。在时间t，投资者知道之前的投资组合权重{π（s）}t-1s=0以及市场权重{u（s）}t-1s=0直到并包括时间t。由此，可以计算γ*π（t）- 1）和H（π（t）- 1） |u（t）），然后为周期[t，t+1]选择π（t），以便D（t）- 1) ≥ 0.写D（0）=0，对于能量熵组合，分解（4.2）允许我们写一个类似于（3.8）的表达式，对于常数加权组合：（4.3）logvπ（t）=D（t）+H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））。我们称D（t）为漂移过程。

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2022-4-29 17:49:55

只要漂移过程的增长速度快于投资组合和市场权重之间的相对熵距离H（π（t）|u（t）），能量熵投资组合最终就会跑赢市场。备注4.2。一般来说，能量熵投资组合的投资权重取决于整个市场权重历史。因此，能量熵通常不是功能性生成的（定义见[Fer02，定理3.1.5]）。相反，大多数功能生成的投资组合不是（4.2）意义上的能量投入。这是因为功能生成的投资组合π是当前市场权重的确定函数，即π（t）=π（u（t）），因此π可以被视为投资组合图π：N→ n、事实上，我们在[PWng]中证明，在所有确定性投资组合图中，功能生成的投资组合在某种意义上都是波动捕获的投资组合。虽然能量熵框架并没有穷尽动态情况下的所有可能性，但它提供了一种构建波动捕获投资组合的系统方法。作为能量熵组合的一个明确例子，我们引入了一系列组合策略，我们称之为λ-策略。该策略取决于参数λ∈[0,1]并按如下方式工作。假设我们在时间t持有投资组合π（t）。在时间t+1，我们观察u（t+1）和能量项γ*π（t）。然后我们将Portfolio向u（t+1）移动，使得π（t+1）是π（t）和u（t+1）的凸组合，并且选择位置，以便我们“消耗”能量γ的λ部分*π（t）、14苏米克·帕尔和丁甘·伦纳德·黄π（t）u（t+1）eπ（t+1）漂移平衡π（t+1）消耗λ能量图5。λ-策略的说明。在时间t+1时，隐含的Portfolio权重为eπ（t+1）（参见（2.5））。

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2022-4-29 17:50:03

投资组合向量π（t+1）是π（t）和u（t+1）的凸组合，其选择如下：控制=-λ能量即。，控制=-λ能量换句话说，我们正在“拯救”1- λ每个周期能量项的分数。我们的想法是向市场重新平衡，以降低“熵风险”（见第4.1节），并且步长是有界的，从而捕捉到市场波动的恒定比例。明确地说，我们通过以下算法构造投资组合：（i）固定起始权重向量π（0）∈ n、（ii）假设在时间t选择π（t）。在时间t+1，显示u（t+1）和离散超额增长率γ*π（t）可以计算。然后定义π（t+1）=π（t）+η（u（t+1）- u（s）），其中η解方程-λ能量=控制：（4.4）- λγ*π（t）=H（π（t+1）|u（t+1）- H（π（t）|u（t+1）））。例4.3。如果λ=0，那么π（t+1）=π（0）对于所有的t，所以π是一个常数加权的投资组合。如果λ=1且π（0）=u（0），则π为市场投资组合u。通过（4.4），我们立即得到λ-策略的能量熵分解。提案4.4。设π为带λ的λ-策略∈ [0, 1]. 然后（4.5）logvπ（t）=（H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））+（1）- λ)Γ*π（t）。方程（4.4）是非线性的。在实践中，我们可以通过线性近似来估计解，更复杂的版本是让λ依赖于市场条件。λ-策略的实际性能将在第4.2节中研究。备注4.5。λ-策略类似于多样性加权投资组合givenby（1.2）。请注意，当λ=0时，多样性加权投资组合的权重相等，当λ=1时，它是市场投资组合。

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2022-4-29 17:50:07

对于λ∈ [0,1]，多样性加权投资组合的相对对数收益率可近似表示为（见[Fer02，示例3.4.4]）（4.6）对数Vπ（t）≈ 对数Φ（t）+（1）- λ)γ*π（t）、能量、熵和套利151995 2000 2005 2010-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6能量-熵分解对数V（t）H（π（0）|u（0））- 星巴克1995 2000 2005 20100.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9市场组合图6中的H（π（t）|u（t））D（t）重量。（左）关于苹果星巴克市场的π的能量熵分解，其中λ=0.3。（右）星巴克的投资组合和市场权重随时间的变化。式中Φ（t）=nXi=1μλi（t）！1/λ是分集函数。这两类投资组合都可以看作是一个固定加权投资组合和一个市场跟随投资组合之间的插值。4.2. 经验例子。在本小节中，我们使用实际数据说明了第4.1节中定义的λ-策略。作为第一个例子，我们考虑了苹果和星巴克从1994年1月到2012年4月的月度股价。市场由这两种股票组成，我们将价格标准化，以便在1994年1月对它们进行同等加权（即u（0）=（0.5,0.5））。[BNPS12]中也对该数据集进行了研究。现在我们模拟λ=0.3时λ-策略的性能。我们将π（0）=u（0）=（0.5,0.5）作为起始权重，并使用每月的时间步长。图6（左）绘制了能量熵分解对数Vπ（t）=D（t）+H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））作为时间的函数。由于π是一个能量熵组合，漂移过程D（t）随着构造而增加。从图中可以明显看出，漂移过程推动了投资组合的长期表现。在右边，我们还绘制了星巴克的重量。我们看到投资组合慢慢走向市场（近似于一个有限的变化过程）；当市场波动时，即当能量项较大时，它调整得更快。

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2022-4-29 17:50:11

与常权投资组合相比，相对熵项的波动更小。接下来，我们来看一个更现实的例子，其中我们考虑了18个新兴市场国家从2001年1月到2013年3月的月度国家收益（以美元计）。我们为每个国家选择了2002年和2006年的16个国家，LEONARD和2006年的16个国家-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3π（0）=u（0）logv（t）H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））D（t）2002 2006 2010-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3π（0）=（1/n，…，1/n）对数V（t）H（π（0）|u（0））- H（π（t）|u（t））D（t）图7。π相对于合并国家假设市场的表现，λ=0.3。（左）投资组合从市场权重开始。（右）投资组合的初始权重相等。该指数的收益率被视为国家收益率。数据是从Factset中提取的。市场由这些国家组成，这些国家的起始市场权重与指数的总资本化成比例。例如，巴西、智利和中国的初始市场权重分别为0.138、0.044和0.073。我们再次模拟了λ=0.3时λ-策略的性能。我们分别考虑了π（0）=u（0）和π（0）=（1/n，…，1/n）的两种情况。图7显示了两个投资组合的能量熵分解。在这两种情况下，π的表现都优于市场，漂移过程有稳定增长的趋势。请注意，尽管我们在这两种情况下使用相同的更新规则，但相对熵项的时间序列非常不同，因为投资组合取决于投资组合和市场权重的整个历史。4.3. 分级投资组合。以全球市场的投资者为例。

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2022-4-29 17:50:15

可以方便地在层次结构框架中考虑投资组合：（i）描述在每个国家投资的资本比例的投资组合，（ii）对于经济中有多个部门的每个国家，描述每个部门投资金额占该国投资总额的比例的投资组合，以及（iii）对于每个国家的每个部门，如何将分配的金额分配到不同的库存中，作为相应总数的比例。以上是分级投资组合的一个例子，类似的结构出现在基金管理或不同管理者业绩的组合中。能量、熵和套利17分层投资组合的投资组合权重可以被认为是自然的条件概率。在这一小节中，我们展示了离散的超额增长率和相对熵满足链式规则，这些链式规则允许我们量化层次结构中每个层次的收益或损失。为了方便起见，我们研究了两步层次结构（“部门”和“股票”），类似的考虑可以应用于多个层次。假设有m个扇区，每个扇区都有NISTOCK，i=1，m、因此宇宙由n组成≤ n+···+nmstocks，当扇区不相交时相等。现在，这个宇宙中的投资组合向量π是扇形投资组合πi=（πi1，…，πini）的组合∈ 镍。将每个πiasa作为投资组合权重向量，这在很大程度上是有帮助的简单地说，将不属于该行业的股票归零。让扇区权重为λ=（λ，…，λm）∈ m、那么投资组合权重向量π可以表示为π=nXi=1λiπi.命题4.6（链规则）。考虑两对扇区权重和扇区端口组合（λi，πi），i=1，m、和（αi，νi），i=1，m、设π和ν是分布在所有n个股票上的总投资组合。

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2022-4-29 17:50:19

我们有以下身份。（i）相对熵链规则：H（π|ν）=H（λ|α）+mXi=1λiH（πi |νi）。（ii）离散超额增长率的链式规则：γ*π（t）=γ*,扇形π（t）+nXi=1λi（t）γ*,股票πi（t）。给你，γ*π（t）和γ*,股票π是基本资产为股票的离散超额增长率，γ*,部门π是基本资产为部门投资组合的离散超额增长率。证据（i）相对熵的链式法则是相对熵的一个众所周知的性质，可以在[CT06，第24页]中找到。（ii）确定一个时间段[t，t+1]，为了简化符号，我们将在下面的计算中删除时间。如果X（t）代表一只股票的市值，那么它在区间内的对数回报率为r（t）= 对数X（t）。现在让我们来计算所有股票对数收益的向量。类似地，让rsector=（rsector，…，rsectorm）是扇区对数收益的向量。我们现在反复使用引理3.2。如果我们把π看作n支股票的组合，我们可以写出π=mXi=1niXj=1λiπijrstockij+γ*π.（4.7）我们也可以认为π是行业投资组合的混合物，每个行业投资组合π是行业股票的混合物。因此，在扇区级别，我们也可以写入π=mXi=1λirsectori+γ*,部门π（4.8）18 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD Wongfinal，对于每个部门投资组合，我们有r部门i=rπi=niXj=1πijrstockij+γ*,stockπi（4.9）设a·b表示两个向量a和b的欧氏内积。将（4.9）代入（4.8），我们得到rπ=mXi=1λi（πi·rstock+γ）*,股票πi）+γ*,扇区π=π·rstock+mXi=1λiγ*,股票πi+γ*,扇区π。（4.10）比较（4.10）和（4.7），我们有γ*π=Pmi=1λiγ*,股票πi+γ*,扇区π。命题4.6提供了一种简洁的方法，可以将任何投资组合的能量和相对熵归因于各个层次。

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2022-4-29 17:50:23

我们现在问一个自然的问题：如果我们在每个部门内运行一个能量熵投资组合，并在这些部门之间运行一个能量熵投资组合，那么总投资组合也是一个能量熵投资组合吗？在这种情况下，下面的命题给出了一组充分条件。提案4.7。使用引理4.6的表示法，让π（t）=Pmi=1λi（t）πi（t）为投资组合，让u（t）=Pmi=1αi（t）ui（t）表示市场投资组合（此处每个ui表示一个部门市场投资组合）。假设每个π都是i区内的一个能量熵组合。如果满足以下两个条件之一，则π是整个宇宙上的一个能量熵组合。（i）λ是一个常数加权组合。（ii）λ是一个能量熵组合，满足任何一对指数（i，j）的以下单调条件：λi（t+1）λi（t）≥λj（t+1）λj（t），ifH（πi（t+1）|ui（t+1））>H（πj（t+1）|uj（t+1））。（4.11）证据。我们从分解（4.3）开始。必须考虑漂移过程D（t），并表明其随时间增加。我们有D（t）=γ*π（t）+H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1））。（4.12）我们现在使用引理4.6来展开上述等式右侧的每个项：γ*π（t）=γ*,扇形π（t）+mXi=1λi（t）γ*,股票πi（t），H（π（t+1）|u（t+1））=H（λ（t+1）|α（t+1））+mXi=1λi（t+1）H（πi（t+1）|ui（t+1）），H（π（t）|u（t+1））=H（λ（t）|α（t+1））+mXi=1λi（t）H（πi（t）|ui（t+1））。能量、熵和套利19当λ是常数加权时，我们有λ（t）=λ（t+1）≡ λ. 这使我们能够结合上述三个术语，并获得D（t）=Dsector（t）+mXi=1λiDstocki（t），其中的符号是自解释的。由于我们在每个部门中都有能量熵投资组合，在各个部门中都有一个恒定的加权投资组合，所以D·（t）项是非负的。

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2022-4-29 17:50:27

这表明D（t）≥ 证明了π是一个非熵再平衡投资组合。在一般情况下，我们写D（t）=Dsector（t）+mXi=1λi（t+1）H（πi（t+1）|ui（t+1））+mXi=1λi（t）γ*,股票πi（t）- H（πi（t）|ui（t+1））= Dsector（t）+mXi=1[λi（t+1）- λi（t）]H（πi（t+1）|ui（t+1））+mXi=1λi（t）H（πi（t+1）|ui（t+1））+γ*,股票πi（t）- H（πi（t）|ui（t+1））.因为我们在行业内部和行业之间运行能量熵组合，所以上述最终表达式中的第三项的倒数是非负的。我们现在展示如何控制中期。考虑一个随机整数I，它以λI（t）的概率取值I，对于I=1，2，m、考虑两个函数：f（i）=λi（t+1）λi（t），g（i）=H（πi（t+1）|ui（t+1））。显然，Ef（I）=1，hencemXi=1[λI（t+1）- λi（t）]H（πi（t+1）|ui（t+1））=Cov（f（i），g（i））。如果（I，I）是I.I.d.随机变量，则上述协方差由对称表达式cov（f（I），g（I））=Eh（f（I）给出- f（I））（g（I）- 因此，在假设的单调性条件（4.11）下，对于（I，I）的任何一对值，我们必须有（f（I）- f（I））（g（I）- g（I））≥ 这反过来意味着Cov（f（I），g（I））≥ 0.结合我们得到的一切D（t）≥ 0，从而证明了我们的结果。20 SOUMIK PAL和TING-KAM LEONARD WONGAppendix A.重新平衡和功能生成的Portfolios我们继续第2.3节的讨论。示例A.1（确定性投资组合函数）。考虑一个投资组合策略π（t）=（q（Y（t）），1- q（Y（t）），其中q:R→ [0，1]是Y（t）的函数。现在，匹配的增益或损耗取决于Y的值。

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2022-4-29 17:50:32

从kσ向上移动到（k+1）σ的匹配和从（k+1）σ向下移动到kσ的匹配的贡献是（1+q（kσ）（eσ+1））1+q（（k+1）σ）E-σ+ 1.这个贡献什么时候大于1？假设q是可微的，使用泰勒近似，如果我们让σ→ 0我们得到微分不等式（A.1）q（y）≤ q（y）（1）- q（y））。注意，如果q（y）=ey1+ey（即当π是市场投资组合时），那么q=q（1-q）安第斯质量保持不变。事实证明，不平等性（A.1）与费恩霍尔茨函数生成的投资组合密切相关。使用[Fer02，第3章]中给出的功能生成投资组合的定义，我们得到以下结果。提议A.2。任意组合π（t）=（q（Y（t）），1- q（Y（t）），其中q是连续可微分的，是函数生成的。生成函数（唯一到乘法常数）为（A.2）Φ（u，u）=expF对数μ- 对数u,其中F是q的反导数。此外，不等式（A.1）适用于所有y，且仅当Φ是凹的。证据设Φ=eG，其中G是y=logXX=logu的可微分函数。根据[FK09，（11.1）]，Φ生成组合（π，π），其中π（u）u=DlogΦ（u）+1- u（u）DlogΦ- uDlogΦ=G（y）+u。生成权重（q，1- q），我们要求q（y）=G（y）+u=G（y）+ey1+ey。然后我们可以选择G（y）=F（y）-Rey1+eydy=F（y）- 日志（1+ey）。第二种说法之后是直接的区别。不平等（A.1）和命题A.2是一个更大故事的开始。[PWng]研究了潜在的“再平衡几何”，在功能生成的投资组合、凸分析和最优运输之间建立了合法的联系。[Won15a]和[Won15b]中报告了与优化和Cover的通用投资组合[Cov91]相关的进一步发展。确认这项研究部分由西雅图的Parameteric Portfolio Associates赞助。

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mingdashike22

2022-4-29 17:50:36

我们感谢Paul Bouchey、Alex Paulsen、Mahesh Pritamani、Vassilii Nemtchinov和David Stein的评论、问题和激励性对话。我们感谢罗伯特·费恩霍尔茨和伊奥尼斯·卡拉萨斯对早期草稿的详细评论。第一作者还要感谢HKUSTENERGY、熵和套利21的Rik Sen，感谢他们进行了许多愉快的讨论。他的研究也得到了NSF拨款1308340的部分支持。参考文献[BF92]D.Booth和E.Fama，《多元化回报和资产贡献》，金融分析师杂志第48期（1992年），第3期。[BNPS12]P.Bouchey、V.Nemtchinov、A.Paulsen和D.M.Stein，《波动性收获：多样化和再平衡为什么会创造投资组合增长？》？，《财富管理杂志》第15期（2012年），第2期，第26-35页。[BNW15]P.Bouchey，V.Nemtchinov和T.-K.L.Wong，《理论与实践中的波动性收获》，财富管理杂志（2015年）。[Cov91]T.M.Cover，环球投资组合，数学金融1（1991），第1期，第1-29页。[CT06]T.M.Cover和J.A.Thomas，《信息论要素》，威利，2006年。[CZ14]D.R.Chambers和J.S.Zdanowicz，《多元化回报的局限性》，投资组合管理杂志40（2014），第4期，第65-76页。[DESH07]M.A.H.邓普斯特、I.V.埃夫斯蒂涅夫和K.R.申克·霍普，《波动性诱导的金融增长》，定量研究。《金融》第7期（2007），第2期，151-160页。[DESH08]M.A.H.邓普斯特、I.V.埃夫斯蒂涅夫和K.R.申克·霍普，金融市场。《波动的喜悦》，量化金融8（2008），第1、1-3号。[Fer02]E.R.Fernholz，随机投资组合理论，数学应用，斯普林格，2002。[FGH98]R.Fernholz，R.Garvy和J.Hannon，多样性加权索引，投资组合管理杂志24（1998），第2期，74-82页。[FK09]E.R.Fernholz和I.Karatzas，《随机投资组合理论：概述》，数值分析手册（P.G。

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