Heston模型下美式期权定价的ADI方案

2022-4-29 18:17:39

Heston模型下美国期权定价的ADI方案Tinne Haentjens*还有Karel J.in\'t Hout*2018年10月31日摘要本文提出了一种简单有效的交替方向隐式（ADI）时间离散化方案，通过部分微分互补问题，对Heston模型下的美式期权进行数值定价。新方法的稳定性和收敛性在实际的、具有挑战性的应用中得到了广泛的研究。此外，还证明了相关的理论结果。关键词：交替方向隐式方案，美式期权定价，赫斯顿模型，线性完全性问题，Ikonen–Toivanen分裂。1引言本文研究美式期权的数值估值。我们考虑了著名的交替方向隐式（ADI）时间离散格式的适应性。通过多维偏微分方程（PDE），这些分割方案在欧式期权的数值定价中被证明是高效、稳定和稳健的。然而，一项关于他们对美式选择潜力的研究仍处于起步阶段。在本文中，我们提出并分析了ADI方案对这类重要方案的有效调整。对于潜在的ass et价格过程，流行的Hestonstochastic波动率模型[15]被认为是红色的。假设u（s，v，t）是赫斯顿模型下普通美式看跌期权的公允价值，前提是在给定到期时间之前的时间单位，标的资产价格等于s≥ 0及其方差等于v≥ 0.应用于函数u的赫斯顿空间微分算子A用Au=sv表示Us+ρσsvUsv+σvUv+rsUs+κ（η）- v）U五、- ru（s>0，v>0）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:17:48

（1.1）这里的参数κ>0是平均回归率，η>0是长期平均值，σ>0是方差的波动率，ρ∈ [-1，1]是两个基本布朗运动之间的相关性，r是风险中性利率。我们注意到，在文献中，有时会假设所谓的Feller条件2κη>σ已满，但在本文中，我们将不进行此类假设。设K，T>0为美式看跌期权的给定履约价格和到期时间，并用φ（s）=max（K）表示支付函数- s、 0）（s）≥ 0). （1.2）众所周知，期权价值函数满足以下所谓的部分差异补足问题（PDCP）：UT≥ Au，u≥ φ、（u）- φ)UT- Au= 0, (1.3)*安特卫普大学数学和计算机科学系，米德尔海姆兰1号，B-2020安特卫普，比利时。电子邮件：{tinne.haentjens，karel.inthout}@uantwerpen。是对于s>0，v>0，0<t的（s，v，t）有效点态≤ THeston PDCP（1.3）补充了初始和边界条件。初始条件为u（s，v，0）=φ（s）（对于s≥ 0，v≥ 0).以下第2节给出了边界条件。（1.3）中的三个条件自然地导致（s，v，t）-空间的分解：连续区域是所有点（s，v，t）的集合，其中等式u/t=持有Au（以及持有期权）；行使区域是所有点（s、v、t）的集合，其中等式u=φ成立（并且行使该选项）。这两个区域的联合边界称为自由边界或运动边界。选择值函数u和自由边界在封闭形式下都是未知的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:17:52

此外，尽管目前似乎没有严格的证据可用，但函数u有望克服自由边界上缺乏光滑性的问题，如Black-Scholes情况。美国式期权价格的Heston PDCP的数值解已经被文献中的许多作者考虑过。我们在此简要概述主要贡献。Clarke&Parrott[7]将有限差分格式应用于（1.3）的空间离散，然后应用θ-方法进行时间离散。这就产生了一个完全离散的线性互补问题（LCP），需要在每个时间步中解决。结果表明，对于Heston LCP而言，常用的投影SOR方法（参见[33,37]）通常太慢，作者在[7]中提出了一种多重网格方法。它基于Brandt&Cryer[4]的投影全近似方案（PFAS）。Oosterlee[29]对Heston LCP的PFAS方法进行了详细的傅立叶分析，并得出结论，尤其是交替线平滑器是稳健的。对于时间离散，在[29]中使用了二阶后向微分公式（BDF2）。Toivanen&Oosterlee[34]提出了一种适用于LCP的投影alg-ebraic多重网格方法，并表明该方法比Heston LCP的几何多重网格更快。Zvan、Forsyth&Vetzal[39]将美式期权定价问题视为一个非线性HestonPDE，其中通过惩罚方法纳入了提前行使约束。在空间离散、有限元/体积格式和时间离散后，通过θ-方法，他们得到了一个非线性代数方程组，该方程组通过预处理CGSTAB迭代的近似WTON方法进行数值求解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:17:56

p enalty方法显示，随着p enalty参数趋于一致，Heston LCP也会减小。Ikonen和Toivanen[24]提出了半离散化Heston PDCP时间离散化的分裂方法。所考虑的方法可以被视为众所周知的分步法或普通微分方程组的局部一维（LOD）方法的类似物。特别地，对称Strang型分裂适用于半离散Heston PDCP。这导致每个时间步有五个LCP，每个LCP都有一个三对角矩阵。然后，这些简单的LCP由[5]中介绍的高效Brennan–Schwartz算法精确求解，该算法用于（一维）Bla ck–Scholes模型下的Amer ic期权定价。我们注意到，由于[24]中的方法基于LOD方法，因此必须特别注意处理PDCP边界条件，否则可能会出现降阶。此外，Brennan–Schwartz算法仅适用于对期权价格的空间离散性和自由边界（形状）的限制性假设。Villeneuve&Za ne tte[36]与[24]有点相关，之前对原始的Peaceman–Rachford-ADI方案[30]进行了两次修改，以适应Black–Scholes模型下两项资产上的美式期权定价的半离散化PDCP。这些作者首先进行坐标变换，从而得出一个基本上是标准二维拉普拉斯算子的算子。相应地，从[36]到Hestonmodel的方法的通用性并不明确。Ikonen和Toivanen[26]提出了一种新的分裂技术，适用于空间和时间离散后得到的Heston LCPOB。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:17:59

他们的想法最初是在[23]的Black-Scholes模型中提出的，其目的是引入一个辅助变量，以便在基本的时间离散化方案和ear-ly运动约束的实施之间实现解耦。这种方法的每个时间步的计算量由相关线性系统的解控制，作者采用多重网格。更新早期演习cons traint的计算成本可以忽略不计。考虑的时间离散格式有向后Euler、Crank–Nicolson和BDF2，以及二阶L-稳定Runge–Kutta方法。[25,26]表明，这种拆分方法性能良好且效率高。Persson&Von Sydow[31]考虑了基于有限差分和BDF2方法的HestonPDCP的定制自适应时空离散化，并应用了[26]中的分裂技术，其中线性系统的求解使用了预处理GMRES迭代。本文的主要目的是通过引用[26]中的分裂思想，将ADI时间离散化方案有效地应用于美国式期权的半离散化d Heston PDCP。我们将新获得的方法称为ADI-IT方法。ADI-IT方法的计算工作量由相关线性系统的求解方法决定，如[26]所示。但是，与[26]相反，这些线性系统现在只涉及固定的、小宽度的矩阵。因此，通过使用LU分解，可以以高效的方式精确且轻松地解决这些问题。在我们的注释[13]中，已经简要介绍了这种方法。在本论文中，我们将进行全面的研究。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-4-29 18:18:02

论文的最后一部分如下。第2节描述了通过非均匀笛卡尔网格上的有限差分模式对Heston运算器（1.1）进行离散化，从而得出Heston PDCP（1.3）的半离散版本。在第3节中，我们首先考虑使用公共θ-方法进行时间离散。对于由此产生的HestonLCP，Ikonen和Toivanen[26]提出并讨论了分裂技术。我们证明了关于有分裂和无分裂数值解的封闭性的一个有用定理。接下来，第4节定义了ADI时间离散化方案对半离散Heston PDCP的适应性。考虑了四种已知的ADI方案：道格拉斯方案、克雷格-斯奈德方案、修改后的克雷格-斯奈德方案和亨德斯多夫-维沃方案。第5节对获得的ADI-IT方法进行了广泛的数值研究。我们在各种具有代表性的、具有挑战性的测试案例中详细研究了它们的实际稳定性和收敛行为——到期时间长短、零相关性和非零相关性、Feller条件成立和违反的情况、普通美式看跌期权和有上限美式看跌期权。此外，将ADI-IT方法得到的近似值与上述文献中已知的近似值进行比较，并以图形方式显示所有测试案例的计算期权价格面和自由边界。第6节给出了结论。2空间离散化数值求解Heston PDCP（1.3）的第一步是对Heston算子（1.1）进行离散化。对于空间变量s resp。v域被限制为有界的set[0，Smax]resp。[0，Vmax]对于固定值Smax，Vmax非常大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:07

我们处理Dirichlet和Neumann类型的边界条件，由考虑中的特殊选项决定，或者在退化边界的情况下不处理任何条件。对于普通美式看跌期权，以下边界条件在文献中很常见在s方向上：u（0，v，t）=K（2.1a）Us（Smax，v，t）=0。（2.1b）o在v方向：Uv（s，Vmax，t）=0。（2.2）注意v方向上Heston算符（1.1）的简并特性，即所有二阶导数项消失，算符变为v的对流占优算符↓ 0.相关地，在v=0时，假设Heston PDCP（1.3）已满。对于（1.1）的离散化，在[0，Smax]×[0，Vmax]上选择合适的笛卡尔网格，非均匀网格0=s<s<…<sm=Smax和0=v<v<vm=vmaxins-和v-方向。使用非均匀网格，而不是均匀网格，可以显著提高效率，参见[12]。此外，当应用下面定义的非均匀网格时，对Smax和Vmax取较大的值在计算上比较便宜在s方向：让整数m≥ 1和参数d>0，并让等距点ξmin=ξ<ξ<…<ξm=ξmaxbe与ξmin=s inh一起给出-1.-斯莱夫特,ξint=Sright- Sleftd，ξmax=ξint+sinh-1.Smax- 斯莱特.注意，ξmin<0<ξint<ξmax。然后我们定义网格0=s<s<…<sm=sm穿过变压器i=а（ξi）（0≤ 我≤ m）式中φ（ξ）=Sleft+dsinh（ξ）（对于ξmin≤ ξ<0），Sleft+dξ（对于0≤ ξ ≤ ξint），Sright+dsinh（ξ- ξint）（对于ξint<ξ≤ ξmax）。上述网格在给定的固定间隔内有相对多的点[Sleft，Sright] [0，Smax]。该区间特别适用于应用中的感兴趣区域，且包含走向K。因此，由于初始函数（1.2）在K处具有不连续导数，因此数值困难得到缓解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:10

s型网格外部不均匀[Sleft，Sright]，内部均匀。o在v方向：让整数m≥ 参数d>0，且等距离点ψ<ψ<…<ψmbe由ψj=j·ψ (0 ≤ J≤ m）与ψ=msinh-1.Vmaxd.然后我们定义网格0=v<v<…<vm=Vmaxbyvj=dsinh（ψj）（0≤ J≤ m）。该非均匀网格在导入退化边界v=0的相邻罩中有相对多的点。允许ξ = ξ- ξ. 可以很容易地验证，上面定义的s和v网格是平滑的，因为存在实常数C、C、C′、C′、C′、C′、C′>0，因此网格宽度si=si- 硅-1和vj=vj- vj-1满足感ξ ≤ 硅≤ Cξ和|si+1- |≤ C(ξ）（均匀分布在i，m），C′中ψ ≤ vj≤ C′ψ与|vj+1- vj|≤ C′(ψ）（均以j，m表示）。在第5节中，我们的最大值=5，而在第5节中，我们的最大值=20，在第5节中，我们选择的是数值型参数, E-rTK，Sright=K，Smax=14K，Vmax=5。Smax、Vmax的上述值可能被视为较大。它们是试探性地确定的，以保证在我们所有的实验中，空间域限制在有界集中引起的误差可以忽略不计。如前所述，在考虑非均匀网格的情况下，增加上界Smax、Vmaxis对整体效率无害。选择区间[Sleft，Sright]时，除了包含走向K外，预计所有实际值v，t的运动边界点都将包含在其中。进一步研究可能比上述更好的参数值可能是有趣的，下一步讨论的是非均匀化的空间导数。鉴于上述边界条件，相关的空间网格为g={（si，vj）：1≤ 我≤ m、 0≤ J≤ m} 。写ui，j=u（si，vj，t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-4-29 18:18:15

我们采用以下著名的有限差分（FD）方案，在Heston算符（1.1）中对对流和扩散项进行离散在s方向：对流的正演格式Us（si，vj，t）≈ui+1，j- ui，jsi+1，分化的核心方案Us（si，vj，t）≈是的(si+si+1）用户界面-1，j-硅si+1ui，j+si+1(si+si+1）ui+1，j.o在v方向：对流的正向方案Uv（si，vj，t）≈ui，j+1- ui，jvj+1Vj≤ η、对流的反向格式Uv（si，vj，t）≈ui，j- ui，j-1.vjvj>η时，扩散的中心方案Uv（si，vj，t）≈vj(vj+vj+1）用户界面，j-1.-vjvj+1ui，j+vj+1(vj+vj+1）用户界面，j+1。对于任意网格，对流的前向和后向FD格式以及扩散的中心FD格式都有一个t阶截断误差（只要u通常是可微分的）。对于本文中的光滑网格，中心格式的截断误差为二阶。需要特别注意在重要退化边界以及具有Neumann条件的边界处的FD讨论在s方向：s=Smax处的Neumann条件（2.1b）直接呈现出初始导数u/s、使用中心格式，结合线性外推，在Smax之外的虚拟网格点处获得所需的近似值，二阶导数u/sis近似值在v方向：v=v轴处的Neumann条件（2.2）与上述（2.1b）类似。在退化边界v=0时，我们近似u/v.远期FD方案。接下来，（1.1）中的术语涉及u/如果v=0，则v为零，因此处理起来很简单。如果标的资产价格和方差过程是相关的，那么如果ρ6=0，那么Heston算子（1.1）将包含一个混合变量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:19

对于混合导数u/sv我们考虑基于中心9点模板的标准FD离散化，该模板通过在s方向和v方向连续应用以下中心FD方案形成：Us（si，vj，t）≈-si+1是的(si+si+1）用户界面-1，j+si+1- 硅硅si+1ui，j+硅si+1(si+si+1）ui+1，j，Uv（si，vj，t）≈-vj+1vj(vj+vj+1）用户界面，j-1+vj+1- vjvjvj+1ui，j+vjvj+1(vj+vj+1）用户界面，j+1。可以很容易地验证，（1.1）中的混合导数项在退化边界y和两个Neumann边界处消失，因此被三次处理。我们注意到，通过上述简单的第一个或第二个变换，很容易证明得到的半离散Heston矩阵A是这样的：-如果相关系数ρ=0，A始终是M-矩阵。在有关金融期权定价的文献中，这类条件已被用于数值方法的有利性质。总的来说，-当ρ6=0和混合导数的标准FD离散化（如上文）应用时，A不是anM矩阵。在这种情况下，对混合竞争模型进行了更高级的离散化，参见[24,25,26]。然而，在本文中，我们将遵循上述标准选择。对于期权价值函数u的n精确近似值，有利于平滑走向K处的支付函数（1.2），因为它在第一个导数中是不连续的。根据Li，我们将网格点sinearest处的Payoff函数的值替换为其单元平均值，参见[33]：hZsi+1/2si-1/2φ（s）ds带si-1/2=（si）-1+si），si+1/2=（si+si+1），h=si+1/2- 硅-1/2.通过空间离散化，在空间网格点（s，v）处近似计算可选值u（s，v，t）∈ G

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:23

这些近似形成了向量U（t）的项，它是半离散PDCP的解，U′（t）≥ AU（t）+g，U（t）≥ U、（U（t）- U） T（U′（T）- AU（t）- g） =0（0<t≤ T）。（2.3）在这里，不等式是按组成部分解释的。系统（2.3）的大小等于M=M（M+1），A是给定的实M×M矩阵，ua和g分别是由初始条件和边界条件确定的实M×1向量。此外，t代表转置。数值求解（1.3）的下一个主要步骤是（2.3）的时间离散化。3时间离散化：θ-方法在上一节对Heston PDCP（1.3）进行空间离散化之后，我们现在考虑对获得的半离散PDCP（2.3）进行时间离散化。时间离散化的一种常用方案是参数为θ的θ-方法∈ [1]，见e。g、 [7,21,24,25,26]。选择θ=和θ=1分别代表著名的Crank–Nicolson（CN）和Backward一些作者通过应用显式时间步方案分别处理v=0边界。但这会产生一种不实用的离散化，需要过多的时间步长才能保持稳定性。有关M矩阵的定义，请参见示例[2]。欧拉（BE）方法。在序数微分方程组（ODE）的数值解中，这些方法的经典一致性阶数分别等于2和1，并具有良好的线性稳定性，参见[14]。让我表示M×M单位矩阵，让t=t/N，带整数N≥ 1是一个给定的时间步长，时间网格点tn=n·t整数0≤ N≤ N然后，将θ-方法应用于半离散Heston PDCP（2.3）定义近似值≈ n=1，2，…，的连续U（tn），N by（I）- θtA）Un≥ （I+（1）- θ)tA）Un-1+ t g，（3.1a）Un≥ U、（联合国）- U） T（（I）- θtA）Un- （I+（1）- θ)tA）Un-1.- t g）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:27

（3.1b）对于每个给定的n，完全圆盘网PDCP（3.1）c构成所谓的线性互补问题（LCP）。通过引入辅助向量λn，它可以清楚地重写为（I）- θtA）Un=（I+（1-θ)tA）Un-1+ t g+tλn，（3.2a）λn≥ 0，联合国≥ U、（联合国）- U） Tλn=0。（3.2b）如果第i分量λn，iofλnis等于零，则相应的空间网格点（s，v）∈ 假定Gis在时间tn处于连续区域，在其他区域处于连续区域。本文考虑LCP（3.2）1的数值解≤ N≤ N通过采用Ikonen和Toivanen[23,26]提出的一种剥离技术：- θtA）\'Un=（I+（1）- θ)tA）包-1+ t g+t′λn，（3.3a）小面包-联合国- t（bλn）-\'\'λn）=0，bλn≥ 0，小面包≥ U、（包子）- U） Tbλn=0，（3.3b），其中bu=U。向量r′λ在每个时间步开始时给出。这里取[23,26]中的基本选择：\'λn=bλn-1bλ为零向量。（3.4）我们将上述技术称为Ikonen–Toivanen（IT）拆分，并调用（3.3）θ-IT方法。特殊情况是CN-IT方法和BE-IT方法，分别由θ=和θ=1给出。利润分割法受到了计算流体力学中类似技术的启发[10]。由（3.3）定义的矢量UNADBλ与（3.2）定义的Unandλ近似。这些向量分两个阶段计算。线性方程组的第一阶段（3.3）由近似解确定。请注意，这个系统可以被视为是通过将经典θ-方法应用于常微分方程系统而获得的。在第二阶段，“Unand”λnare更新为unnadbλnthrough（3.3b）。可以很容易地验证这些更新是由简单明确的公式BUN=max给出的联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:32

（3.5）此处取分量e中两个向量的最大值。以下有用的定理涉及LCP（3.2）与其近似版本（3.3）之间的差异，如果θ=1，则通过其拆分获得。对于任意给定的对角矩阵D∈ RM×M带有正的诊断条目，每当x，y时，标度内积由hx，yiD=yTDx给出∈ RMand让k·kd同时表示诱导向量和矩阵范数。我们有定理3.1，考虑θ=1的过程（3.2）和（3.3）。假设存在一个正对角矩阵D，使得da+ATD为负半定义（3.6），并假设存在一个独立于t>0，使得kλkD+NXn=2kλn- λn-1kD≤ ν. （3.7）然后最大值1≤N≤恩坤-邦德≤ ν t（3.8）t=t/N，整数N≥ 1.根据假设（3.6）和伯曼和普莱蒙斯[2，Chs.6，10]的证明（i），首先是Q=i- tA是一个P-矩阵，且（3.1）总是具有唯一解。By（3.2a），QUn=Un-1+ t g+tλn.By（3.3b），\'Un=bUn- t（bλn）-把它插入（3.3a）yieldsQbUn=bUn-1+ t g+t′λn+tq（bλn）-λn）。定义Vn=Un-小面包那么，w的R=Q-1，QVn=Vn-1+ t（λn）-\'\'λn）- tq（bλn）-\'\'λn），Vn=RVn-1+ tr（λn）-\'\'λn）- t（bλn）-λn）。定义=t（λn）-bλn）。在写入bλn时-\'\'λn=bλn- λn+λn-\'\'λn以下是vn- Wn=RVn-1+ ts（λn）-\'\'λn），其中S=R- I.插入“λnleads to vn”的选项（3.4）- Wn=RVn-1+SWn-1+ ts（λn）- λn-1），（3.9），我们把λ=0。（ii）条件（3.2b）和（3.3b）暗示了向量Vn、WnthatVn、iWn、i的组成部分≤ 对于所有i.（3.10），考虑四种情况：如果λn，i=0和bλn，i=0，那么Wn，i=0。如果λn，i>0和bλn，i=0，那么Wn，i>0和Vn，i=U0，i-小面包，我≤ 如果λn，i=0，bλn，i>0，那么Wn，i<0，Vn，i=Un，i- U0，我≥ 如果λn，i>0，bλn，i>0，那么Vn，i=U0，i- U0，i=0。如果一个方阵的所有主子阵都是正的，则称其为P-矩阵，参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:36

[2, 21].（iii）规范的定义xyD=qkxkD+kykdx，y∈ 诱导矩阵范数表示相同。到（3.10），我们已经VnWnD=kVnkD+kWnkD≤ kVnkD+kWnkD- 2hVn，WniD=kVn- WnkD。使用（3.9）可以得到VnWnD≤罗素越南-1Wn-1.D+tks（λn）- λn-1） kD。（3.11）考虑Φ（z）给出的2×2矩阵值有理函数Φ=1.-zz1-z0 0为了z∈ C.那么(（助教）=罗素.对于Φ（z）的谱范数，很容易证明kΦ（z）k=λmax[Φ（z）*Φ（z）]=1+|z | 1- z |，哪个yieldskΦ（z）k≤ 1当且仅当RZ≤ 接下来，矩阵A上的条件（3.6）是等价的toRe hAx，xiD≤ 0每当x∈ 厘米（3.13），其中hx，yiD=y*任意给定向量x，y的Dx∈ 厘米鉴于（3.12）和（3.13），我们可以调用冯·诺依曼（von Neumann）著名定理的matr ix值版本，参见例[14，第V.7节]。这直接导致了tokΦ(tA）kD≤ 1.由（3.11）可知：VnWnD≤越南-1Wn-1.D+tkλn- λn-1kD≤ . . . ≤ tnXj=1kλj- λj-1kD≤ ν t、这就完成了证据。定理3.1提供了一个有用的结果，即由（3.3）生成的序列{bUn}ge是O(t）如果θ=1，则接近由（3.2）定义的序列{Un}。请注意，时间步长没有限制t、矩阵条件（3.6）或等效条件（3.13）是众所周知的。在数字符号文献中，它们常被称为a的标度对数2-范数小于或等于零。最近，Hout&Volders[18]在Heston PDE的案例中调查了这种情况。尽管这里研究的FD离散化与这里考虑的有点不同，但有趣的是，关于（3.13）的一个积极结果被证明[18]适用于任意相关系数ρ∈ [-1，1]和自然缩放矩阵D。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:40

将这个（非平凡的）结果推广到目前的半离散化将作为未来研究的主题。根据（3.2）定义的λ，条件（3.7）类似于Ikonen和Toivanen[26]的条件，但这些作者处理的是最大范数。理论和数值证据表明，存在一个中等常数ν，该常数在空间网格和时间步长中均匀有效，因此（3.7）被填满。定理3.1与[26，Thm.1]密切相关。后一个定理提供了Un最大范数的上界-bUnifθ=。然而，不幸的是，这个结果的推导并不清楚，因为[26，引理2]证明中的最后一句话一般不成立。此外，对时间步长的限制被认为对实际应用来说往往过于严格。对于最大范数的重要情况，定理3.1的类比并不明显。请注意，我们的证明在本质上依赖于内部产品规范的使用。然而，在下面的数值实验中，我们将始终处理最大范数。定理3.1可以沿着上述相同的证明线推广到任何给定的参数值θ∈ 如果[6]条件被[1]替换tA+γIkD≤ γ与γ=（1）- θ)-2.这通常被称为圆条件它比（3.6）强得多。特别地，它意味着k塔克≤ 2γ，它在时间步长上产生了一个上限，这在实践中往往过于严重。然而，在下面的数值实验中，我们将考虑θ=1和θ=4的θ-IT方法（3.3）。时间离散化：ADI模式在数值求解多维问题时，空间离散化会迅速导致非常大的半离散PDCP系统。然后，应用θ-IT方法呈现需要求解的具有大带宽的非常大的线性s系统。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:44

这在计算上可能非常复杂。一个很好的可能性是采用定制的多重网格方法，如[26]中所述。在本文中，我们建议将ADI时间离散化方案与IT拆分方法结合起来求解（2.3）。在（3.3）中，θ-方法因此被替换为ADI格式。我们将考虑ADI类型的四种不同方案：道格拉斯方案（Do）、克雷格-斯奈德方案（CS）、修改后的克雷格-斯奈德方案（MCS）和亨多弗-维韦尔方案（HV）。最近，这四种方案在Heston模型[16]以及三维Heston-Hull-White和Heston-Cox-Ingersoll-Ross模型下的欧式香草和屏障选项的数值定价中进行了大量研究，分别见[12]和[11]。研究发现，尤其是MCS和HV方案，只要选择适当的参数，其效率、稳定性和鲁棒性都很高。在Heston模型下，首次对适用于美式期权定价的ADI方案进行了简短的数值研究[13]。在本文中，我们将大大扩展在loc中获得的有希望的初步结果。如上所述，当考虑ADI型方案时，半离散矩阵A被分成几个有利部分。在赫斯顿模型的情况下，我们有A=A+A+A。这里的矩阵是A的一部分，它源于混合导数m和A的FD离散化，由A的部分给出，分别对应于s方向和v方向上所有空间导数的FD离散化，并进一步在m（1.1）的ru项的相等部分中包含A。请注意，矩阵A和A基本上是三对角的，只要相关系数ρ不为零，矩阵A就是非零的。设θ>0为给定实参数。允许t=t/N，带整数N≥ 1并设置tn=nT

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:49

以下四种方法是将上述ADI s模式与利润分割阶段（3.3b）或等效阶段（3.5）相结合给出的。对于n=1，2，…，每种方法都定义了（2.3）的解向量U（tn）的连续近似值，N我们称之为ADI-IT方法。去做：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），\'Un=Y，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.1）CS-IT：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），eY=Y+助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+ θ泰姬陵eYj-小面包-1.（j=1,2），\'Un=eY，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.2）MCS-IT：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），eY=Y+θt A+(- θ)助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+ θ泰姬陵eYj-小面包-1.（j=1,2），\'Un=eY，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.3）HV-IT：Y=bUn-1+ t（阿布）-1+g）+t′λn，Yj=Yj-1+ θ泰姬陵Yj-小面包-1.（j=1,2），eY=Y+助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+ θ泰姬陵eYj- Y（j=1,2），\'Un=eY，bUn=max联合国- t′λn，U,bλn=max0，¨λn+（U-联合国）/T.（4.4）如第3节所述，选择（3.4）在每个时间步开始时给出的向量¨λnis。Do-IT方法可以被视为θ-IT方法的自然分析：在正式设置a=a=0和a=a时，一个从（4.1）中恢复（3.3）。CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法构成了对Do-IT方法的不同扩展。事实上，他们的前两行与Do IT完全相同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:53

它们每一时间步所需的计算工作量大约是前者的两倍。注意，如果A=0，那么CS-IT方法将简化为Do-IT方法。对于每种ADI-IT方法，ODE系统U′（t）=AU（t）+gis的基本ADI方案由第一部分定义Un给出，其中省略了距离第一行和第二行的距离-1和“Unby Un”-分别为1和Un。因此，上述ADI技术从欧洲风格到美国风格的改编非常简单。在基本的ADI格式中，矩阵Ais总是以显式方式处理，而矩阵A和AAR则以隐式方式处理。四种ADI方法（4.1），（4.2），（4.3），（4.4）中的每一种的应用都要求用两个矩阵（I-θ泰姬陵）对于j=1,2。由于这两个矩阵都是三对角的，所以可以通过预先计算一次它们的LU分解，然后在所有时间步中使用它们来非常高效地求解。因此，每个ADI-IT方法的每时间步计算成本直接与空间gr id点M的数量成比例，即与欧式选项的情况相同。请注意，每个方法的第二部分——更新（3.5）——的计算成本可以忽略不计。当Ais为非零时，基本ADI方案在非有效意义上的一致性顺序始终是Do方案的一；假设θ=时，CS方案为2，对于任何给定θ，MCS和HV方案为2。在文献中，最近对ADI格式的无条件冯·诺依曼稳定性进行了大量研究，将其应用于具有混合空间导数项的多维对流扩散方程，参见[8,17,19,20,27,28]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:18:57

这里证明了正结果，保证了各种对流扩散问题类在eachADI格式参数θ的尖锐下界下的无条件稳定性。o基于方法θ，我们选择方法θ的稳定性：o基于方法θ=+√3.目前，难以对离散PDCP的ADI-IT方法进行严格的理论稳定性和收敛性分析。在下一节中，我们将进行一次广泛的数字调查。我们将研究上述四种方法，并将其应用于各种具有代表性、具有挑战性的赫斯顿测试案例。5个θ-IT和ADI-IT方法的数值实验通过BE确定全局时间离散误差(Tm、 m）=max{Ul（T）-bUN，l |：（si，vj）∈ ROI}。（5.1）这里U（T）表示半离散Heston PDCP（2.3）在时间T的精确解，andROI=（K，K）×（0，1）是一个自然关注区域。上面的索引l使得向量的第l分量与空间网格点（si，vj）相对应。很明显，（5.1）代表了治疗的最高标准。在这一节中，我们用数值方法研究了全局时间误差的实际行为在第4节末尾选择的四种ADI-IT方法的t。除此之外，还简要考虑了第3节中的BE-IT和CN-IT方法。对于数值实验，我们选择表1中列出的六种参数集。分别为38例、38例、38例。她的情况总是令人满意的。案例d、e、F都源于[1]。她的Felle r条件总是被严重违反，此外，成熟期相对较长。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:02

最近，在[16]中的赫斯顿模式l、[12]中的赫斯顿-赫尔-怀特模式和[11]中的赫斯顿-考克斯-英格索尔-罗斯模式下，欧洲选项的数字定价考虑了表1中的六个测试用例的全部或部分。案例A案例B案例C案例D案例E案例Fκ3 0.6067 2.5 0.5 0.3 1η0.12 0.0707 0.06 0.04 0.04 0.09σ0.04 0.2928 0.5 1 0.9 1ρ0.6（0）-0.7571（0）-0.1（0）-0.9（0）-0.5（0）-0.3（0）r 0.01 0.03 0.050.05 0.04 0.03T 1 0.25 10 15 5K 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100表1：美国经验表明，该模型的参数集是有效的，在v方向使用的空间网格点比在s方向使用的空间网格点少得多。因此，我们总是设置m=2m=2m。由于半离散Heston PDCP（2.3）的封闭形式解析解不在手边，我们在每种情况下都通过应用CN-IT方法或使用N=20 00时间步的Themmcs-IT方法来计算U（T）的参考解。在下文中，我们首先考虑n看跌期权。在表1的所有六种情况下，详细研究了六种方法的全局时间误差（5.1）。然后将文献中给出的美式看跌期权价格近似值与使用ADI-IT技术计算的近似值进行比较。接下来，对于所有情况A–F，显示获得的期权价格面和自由边界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:07

我们用一种更为奇特的美国式期权，即有上限的美国看跌期权的经验来结束本节。对于普通美式看跌期权，图1显示了Do-IT、CS-IT、MCS-IT、HV-IT方法以及BE-IT和C N-IT方法的全局时间误差BE(T2米，米）对t在所有情况下，对于20个步长10的序列，A–F的ρ=0-3.≤ T≤ 10，m=50。请注意，由于A=0，因此Do-IT和CS-IT的结果在本实验中是相同的。作为第一个主要观察结果，对于每种方法，在每种情况下，时间误差都保持在modera Te值以下，并且随着时间的推移，时间误差单调减小t减小。这表明每种方法的行为都是非条件稳定的，这是一个有利且非平凡的结果。关于实际的收敛行为，从图1可以看出，温度误差是在每种情况下，t都以C为界(t） p有一些中等的常数C，其中p≈ 1为BE-IT方法，p为≈ 2对于MCS-IT和HV-IT方法。因此，这三种方法的观测收敛阶p与它们的基本常微分方程时间离散化方案的经典（非有效）一致性阶一致。这构成了第二个积极而不平凡的结果。在CN-IT方法的所有情况下A-F，以及Do-IT和CS-IT方法的情况下A-C，我们在图1中观察到，对于t、相比之下，根据他们的错误行为，人们可能会对小规模的t、这种不良现象与初始（payoff）函数的非光滑性有关。这在文献中已经广为人知，作为一种补救措施，通常采用后向欧拉阻尼，也称为朗纳赫时步进。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:11

根据这一阻尼程序，我们考虑使用t=0时t/2，然后从t=t使用正在考虑的方法。10-310-210-110010-710-510-310-1101 错误案例-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 t暂时性错误案例F图1：暂时性错误(T100，50）对。t表示表1中ρ=0的六种情况下的普通美式看跌期权，以及CN-IT中n=20 00 0的参考解。两种θ-IT方法：BE-IT（light x），CN-IT（dark x）。四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。没有施加阻尼。10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例A10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 t暂时性错误案例F图2：暂时性错误(T100，50）对。t表示表1中ρ=0的六种情况下的普通美式看跌期权，以及CN-IT中n=20 00 0的参考解。两种θ-IT方法：BE-IT（light x），CN-IT（dark x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:14

四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。所有带数据的方法-两步t/2和B E-IT。10-310-210-110010-710-510-310-1101 错误案例-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例图3：暂时性错误(T100，50）对。表1中s ix案例中的香草美式看跌期权，ρ6=0，以及MCS-IT的参考溶液，N=20000。四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。带阻尼的Do-I T和CS-IT-两步带BE-IT的t/2。10-310-210-110010-710-510-310-1101 错误案例-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例B10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例C10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例D10-310-210-110010-710-510-310-1101 暂时性错误案例E10-310-210-110010-710-510-310-1101 t暂时性错误案例F图4：暂时性错误(T200（100）对。t表示表1中六种情况下的香草美式看跌期权，ρ6=0，以及MCS-IT的参考溶液，N=20000。四种ADI-IT方法：使用θ=（亮钻石）、CS-IT使用θ=（暗圈）、MCS-IT使用θ=（亮圈）和HV-IT使用θ=+√3（暗正方形）。带阻尼的Do-I T和CS-IT-两步用它吧。图e 2中显示了所有六种方法在所有六种情况下的结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:18

显然，CN-IT、Do-IT和CS-IT方法的不受欢迎现象得到了缓解，而且每种方法它们的时间误差现在几乎与MCS-IT和HV-IT方法相同。仔细检查图2中的cas e C，发现所有方法的收敛顺序都略小于2，即约为1.7（除了BE-IT，它只有顺序1）。从图中看不出2号和1.7号合并指令之间的差异，我们也不完全清楚观察的重要性。一个可能的解释可能在于，在这种情况下，期权定价函数的到期时间较短，且相应的非光滑性。我们注意到，通过使用[26]中的可变时间步长策略，cas e C中的低阶并没有得到改善。在随后的实验中，我们将重点介绍ADI-IT方法。在这里，用CS-Do和上面的阻尼方法。因此，我们考虑：o使用θ=和阻尼的Do-IT方法o使用θ=和阻尼的CS-IT方法o使用θ=的MCS-IT方法o使用θ=的HV-IT方法=+√3.图3显示了这四种方法的全局时间误差(T100比50t在所有情况下A–F，现在相关系数ρ6=0。该图表明，非零相关ADI-IT方法也显示出无条件稳定的行为。对于CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法，时间误差由C限定(t） p与p≈ 2，除非再次出现CWP≈ 1.7. Do-IT方法通常具有与后三种方法几乎相同的时间误差。进一步的研究表明，如果不施加阻尼，发生这种情况的时间步长区域正是那些具有较大时间误差的时间步长区域。一旦t变得非常小，然后这种方法的一阶收敛行为开始出现，如预期的那样。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:21

我们注意到，在案例A、C中，图中未观察到这一点；这是给你的t<10-我们获得了对网格方向的时间依赖性，以及对网格方向的时间依赖性。图4显示了要获取的错误(T20（100）对t、与图3相比，我们发现M的大幅增加对时间误差的影响最轻微。这表明四种ADI-IT方法的收敛行为在所谓的stiff意义上是有效的，这构成了有效时间离散化方法的一个关键特性。所有方法的实现都是在Matlab中完成的，其中所有矩阵都定义为s parse。作为CPU时间的指示，CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法在一个具有4 GB内存的Intel Core Duo T7250 2.00 GHz处理器上，如果m=50、100、150，则每个时间步长分别需要约0.003、0.01和0.02秒。对于Do-IT方法，这些时间大约减少了一半。接下来，我们通过将本文中的美式期权定价方法的结果与文献中已经给出的近似值进行比较，来验证本文中的美式期权定价方法。MCS-IT方法被选为ADI-IT类的代表。为了测试赫斯顿模型中美式看跌期权的数值估值，许多作者考虑了参数集κ=5，η=0.16，σ=0.9，ρ=0.1，r=0.1，T=0.25，K=10，（5.2），以及现货资产价格和s=s给出的方差∈ {8,9,10,11,12}和v=v∈ {0.0625, 0.25}.我们通过FD椎间盘重分类（m=50、100、150）和应用MCS-IT方法（N=25、50、75个时间步）分别近似相关（未知）的确切期权价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:27

Nextspline插值用于计算有效网格点（s，v）=（s，v）处的近似值。我们的结果在表2（V=0.0625）和表3（V=0.25）的上半部分给出。在下半部分，两个表显示了Zvan、Forsyth&Vetzal[39，表2]、Ikonen&Toivanen[26，表1]、Persson&Vo n Sydow[31，表2，3]、Oosterlee[29，表5.2]、Clarke&Parrott[6]和Vellekoop&Nieuwenhuis[35，表4]获得的近似值。后者采用基于树的方法。[26]中的参考价格采用IT拆分方法中的二阶L-稳定龙格-库塔（RK）方案计算。表2和表3显示，我们的期权价格与文献中通过不同的离散化技术获得的价格非常一致。9.9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0000 1.1080.5316 0.22610.0907[35]越南盾1000 48 71 1.9968 1.1076 0.5202 0.2134 0.0815表2：参数集（5.2）的香草美式看跌期权价格，S∈ {8,9,10,11,12}，V=0.0625。上半部分：使用MCS-IT方法进行近似，θ=。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:31

下半部分：文献中的近似值。10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 243[6]CP 2.0733 1.3290 0.7992 0.45360.2502表3：参数集（5.2）的香草美式看跌期权价格，S∈ {8,9,10,11,12}，V=0.25。上半部分：使用MCS-IT方法进行近似，θ=。下半部分：文献中的近似值。对于参数集（5.2），满足Feller条件。违反Feller的测试集以及给出美式看跌期权参考价格的测试集不包括在上述参考中。我们选择了Fang和Oosterlee[9]最近在Heston模型下百慕大期权的数值定价中考虑的参数集，因为Feller条件不成立：κ=1.15，η=0.0348，σ=0.39，ρ=-0.64，r=0.04，T=0.25，K=100，（5.3），现货资产价格和方差由s=s给出∈ {90100110}和v=v=0.0348。表4的上半部分显示了相关的B e rmudan看跌期权价格，该价格由[9，表5]中的CoS方法估计。这里N代表锻炼日期的数量。如果N增加，那么百慕大群岛的价格将趋向于美国的价格。表4的下半部分显示了我们对美式看跌期权价格的近似值，使用固定m=150的FD离散化，并使用N=20、40、60时间步的MCS-IT方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-29 18:19:35

显然，通过这两种方法获得的价格非常一致，尤其是对于大t N的价格。请注意，表4下半部分中的值也可以被视为具有N个行使日期的伯默登看跌期权价格的近似值。时间步长t等于两个连续运动日期之间的完整周期。通过减少这一时间步长，可以获得百慕大价格的更精确近似值。mmN 90 100 110[9]FO 20 9.9784 3.2047 0.927440 9.9916 3.2073 0.928160 9.9958 3.2079 0.9280MCS-IT 300 150 20 9.9984 3.2121 0.9301300 150 40 10.0015 3.2125 0.9304300 150 10.0039 3.2126 0.9305表4：参数集（5.3），S∈ {90100110}，V=0.0348。上半部分：百慕大香草看跌期权价格的近似值[9]。下半部分：使用带θ的MCS-IT方法近似香草美式看跌期权价格。为了便于将来参考，我们在表5中给出了表1中所有六种情况下的普通美式看跌期权价格的近似值∈ {90100110}点方差V=0.05。这些都是使用m=25 0的FD离散化和θ=和N=125的MCS-IT方法计算的。完整的选项价格界面如图5所示。案例90 100 110A 16.9245 11.9442 8.2270B 16.0470 12.4326 9.8746C 10.4054 3.9235 1.1784D 10.9554 8.6273 7.4999E 12.8442 9.8116 8.4312F 1 8.9325 15.6696 13.2838表5：表1中所有类别的香草美式看跌期权价格近似值，ρ6=0和∈ {90100110}，V=0.05。接下来，图6显示了v值的选择≈ 0.002,0.01,0.05,0.1,0.24（t，s）-平面中自由边界的相应部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝