如果setK=V0，H（T）|H=（H（T））T∈[0，T]是S的1-容许策略以L为界，即iflimc↑∞苏普∈KP（W>c）=0保持。可以看出，NA1和NUPBR是等价的（见Kardaras（2010）），NFLVR意味着NUPBR，但后两个概念之间没有等价性（见Delbaen和Schachermayer（1994）或Karatzas和Kardaras（2007））。满足NA1（或相当于NUPBR）的市场也称为（弱）VIABALE，可以证明NA1（NUPBR）意义上的市场生存能力是有意义地解决定价、套期保值和投资组合优化问题的最小条件；见Karatzas和Kardaras（2007）。最后一个需要回顾的概念是等效局部鞅定义（ELMD），它概括了ELMM的密度过程的概念：定义5。等价局部鞅定义（ELMD）是非负局部鞅Z，不一定是鞅，因此Z（0）=1和P（Z（T）>0）=1，当价格过程乘以Z时，成为局部鞅。以下结果直到最近才得到充分的普遍性证明：；见Kardaras（2012）、Takaoka（2013）和Song（2013）：提案1。当且仅当等价局部鞅函数集不为空时，市场满足NUPBR。本说明的目标是提供一种系统的方式来构建一个满足NUPBR而非NFLVR的市场。3主要结果在本节中，我们提出了两个假设，在此假设下，我们可以构建一个满足NA1（相当于NUPBR）但不满足NFLVR的市场。在接下来的第4节中，我们将给出一些满足这些假设的市场示例，即NUPBR因此成立，而非NFLVR。根据Delbaen和Schachermayer（1995）的说法，我们现在把事情搞得天翻地覆。

在上一节中，我们从概率空间开始(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），d资产价格在其上处理半鞅，现在我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，Q），其中d处理Siare Q-局部鞅。在这个概率空间上，我们进一步考虑非负的Q-鞅Y=（Y（t））t∈[0，T]与Y（0）=1。让停止时间τ表示Q-鞅Y的第一次击中时间0。我们假设Y有正概率达到零，但它只持续达到零；也就是说，Q（Y（T）=0）=Q（τ）≤ T）>0和Q（{Y（τ）-) > 0} ∩ {τ ≤ T}=0。（1） 因为Y被假定为Q-鞅，所以我们也有Q（τ）≤ T）<1。由于Y是一个Q-鞅，它通过Radon-Nikodym导数dP/dQ=Y（T）生成一个概率测度P（对应于上一节中的P）；概率测度P对于Q是绝对连续的，但不等同于Q引理1。在假设（1）下，过程1/Y为非负P-P（1/Y（T）>0）=1的严格局部鞅。引理1的陈述直接来自简单的计算；例如，参见卡尔等人（2013）的定理2.1。我们引入以下基本假设：存在x∈ （0，1）和一个容许策略H=（H（t））t∈[0，T]s.T.Vx，H（T）≥ 1{Y（T）>0}。（2） 请注意，市场(Ohm, F、 （F（t））t∈最后一小节的[0，T]，Q），S满足NFLVR。因此，假设（2）相当于该市场中未定权益{Y（T）>0}的最小超复制价格小于1的假设；也就是说，长官∈MER[1{Y（T）>0}]<1，其中M表示等价于Q的所有概率测度的集合，在该集合下，Si是每个i=1的局部鞅，d、 我们现在陈述并证明这条注释的主要结果：定理1。

根据本节的设置和假设（1）和（2），市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），但不满足NFLVR。此外，任何满足假设2中条件的可预测过程H都是市场中的强套利策略(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），S证明。注意，假设（2）中的过程H在Q下是可接受的交易策略，因此在P下也是可接受的。由于P（1{Y（T）>0}=1）=1，且x<1，策略H在P下是一个强套利策略。因此，市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），S不满足NFLVR。为了确保市场满足NUPBR，请注意，通过引理1，过程1/Y是P-局部鞅，对于每个i=1，…，Si/Y也是P-局部鞅，d）用广义贝叶斯公式；例如，参见卡尔等人（2013）中的命题2.3（iii）。因此，存在一个局部鞅定义，根据命题1，市场满意度为NUPBR。基本上是任何市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，P），满足NUPBR但不满足NFLVR的S意味着概率测度Q和满足（1）且dP/dQ=Y（T）的局部鞅Y的存在；见Delbaen和Schachermayer（1995年）、Ruf（2013a）和Imkeller和Perkowski（2013年）。从这个意义上讲，定理1提供了相反的方向，因此可以被认为是满足NUPBR而非NFLVR的市场的系统结构。4示例在上一节的设置中，我们现在讨论假设（1）和（2）成立的市场的几个示例。定理1证明了所有这些市场在P下满足NUPBR，但不满足NFLVR。例1。设Y表示满足Y（0）=1和假设（1）的非负Q-鞅。让Sbe对过程进行正确的连续修改（等式[1{Y（T）>0}|F（T）]）∈[0，T]设Sifor i=2，注意任意Q-局部鞅。

然后，很明显，假设（2）是满足的，可以应用定理1。例2。作为第二个例子，在Chau Ngoc Huy的论文中详细讨论了，考虑当Y是强度为λ的补偿Q–泊松过程时的情况≥ 1/T从一开始，在零或第一次跳跃时停止。设置S=Y，让Sifor i=2，d表示任意Q-局部鞅。显然，假设（1）（Q（Y（T）=0）=exp(-1） ）和假设（2）（x=1）- 经验(-1） ）保持不变，因此定理1适用。例3。现在让我们稍微概括一下示例2之前的泊松设置。为此，我们将Fixλ≥ 1吨，让我进去≤ 1.≤ fmax表示两个严格正实数，使得x:=FmaxFmin1.- 经验-Fmax< 1.此外，我们选择了一个支持[Fmin，Fmax]且期望值为1的任意分布函数F。现在，我们让Y表示强度为λ且跳跃分布为F（在概率测度Q下）的补偿复合泊松过程，从一开始，到达零或第一次跳跃时停止。和以前一样，我们设置S=Y，让Sifor i=2，d表示任意Q-局部鞅，不作任何进一步假设。同样，假设（1）显然是满足的。由于非负Q-局部鞅Y可能有不同大小的跳跃，过程S不一定具有可预测的鞅表示性质。然而，我们可以手动检查假设（2）。为了取得进展，我们通过补偿复合泊松过程将τ定义为第一次击中零的时间，并让ρ表示其第一次跳跃时间。注意τ∧ ρ ≤ 1/λ ≤ T因为在时间1/λ时，复合泊松过程Y要么跳跃，要么达到零。我们通过Hi定义了S-可积可预测过程H=（H，…，Hd）≡ 0表示所有i=2，d、 H（t）=exp-1.-λtFmaxFmin{t≤ρ∧τ} 尽管如此，t∈ [0，T]。

然后，利用上面定义的x，我们得到Vx，H（T）=Vx，H（τ）∧ ρ） =x+Zτ∧ρexp-1.-λtFmaxFmindY（t）=x- λZτ∧ρexp-1.-λtFmaxFmindt+exp-1.-λρFmaxFminY（ρ）1{ρ≤τ}≥FmaxFmin1.- 经验-1.- λ(τ ∧ ρ） Fmax+ 经验-1.- λρFmax{ρ≤τ}=FmaxFmin1.- 经验-1.- λρFmax+ 经验-1.- λρFmax{ρ≤τ}≥ 1{ρ≤τ} =1{Y（T）>0}，其中第一个不等式由以下观察结果得出：Y（ρ）/Fmin{ρ≤τ}≥ 1{ρ≤τ} ，从{τ}事件上λτ=1的观察结果得出等式≤ ρ} 最后一个不等式来自两个事实，即Fmax/Fmin≥ 1和不等式λρ≤ 1保持事件{ρ≤ τ}. 因此，假设（2）满足，可以应用定理1。备注1。注意，如果过程S在Q下具有可预测的鞅表示性质，则假设（2）总是满足的。换句话说，如果市场(Ohm, F、 （F（t））t∈[0，T]，Q），Sis完成。例4。以过滤（F（t））t为例∈[0，T]由d维Q-布朗运动b=（Bi）i=1，。。。，dwith Bi=（Bi（t））t∈[0，T]。设σ=（σ（t））t∈[0，T]表示维数为d×d的逐步可测矩阵值过程，使得σ（T）几乎可以肯定地对勒贝格几乎每个T可逆∈ [0，T]并设S（·）=R·∑（T）dB（T）。假设选择过程σ，使价格过程严格为正。设Y是一个以正概率到达零的非负局部鞅，例如，过程1+b在到达零时停止。然后，过程S在Q下具有可预测的鞅表示性质，第3节的构造产生了一个满足NupBRB而非NFLVR的市场；见备注1。我们还参考了Delbaen和Schachermayer（1995）中的定理3，其中讨论了类似的设置。参考文献Carr，P.，Fisher，T.，和Ruf，J.（2013）。在汇率爆炸的情况下对期权进行套期保值。

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