多重风险约束下的套期保值

2022-5-4 23:15:07

多重风险约束下的套期保值*应焦伊斯法，克劳德·伯纳德大学——里昂·艾英。jiao@univ-里昂1。弗罗利维尔·克洛芬施泰因德夫R&Dolivier。klopfenstein@edf.frPeterTankovLPMA，巴黎迪德罗大学-巴黎7tankov@math.univ-巴黎狄德罗。Frabstract受核电站运营商资产负债管理的启发，我们考虑了寻找成本最低的投资组合的问题，该投资组合的表现优于给定的一组随机基准。对于特定损失函数，与该损失函数加权的每个基准相关的预期差额必须保持在一个平均阈值的范围内。我们在一个完整的市场环境中考虑这个问题的不同替代公式，建立这些公式之间的关系，在非马尔可夫环境下通过动态规划提出一般解决方法，并在特殊情况下给出明确的解决方案。关键词：多重风险约束，预期损失，资产负债管理，斯奈尔包络，动态规划。1简介在各种经济环境下，机构持有资产以弥补未来负债。当局要求银行和保险公司持有监管资本，以承担风险。由于长寿风险和养老金计划的结构，养老基金面临随机的未来负债，这可能涉及可变年金类型的特征。在覆盖未来负债或基准的情况下管理资产组合的问题，尤其是在养老金计划的背景下，通常被称为资产负债管理（ALM）[15,6,14]。*这项工作的部分资金来自法国电力公司。我们感谢玛丽·伯恩哈特对本文初步版本的宝贵意见。本研究的主要动机是核电站操作员的ALM问题。

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能者818

2022-5-4 23:15:10

在一些国家，法律要求运营核电站的能源公司持有退役资金，以支付未来净化和拆除核电站的费用，以及放射性废物的处理和长期储存费用。在法国，这项义务是由法国法律引入的o2006年6月28日关于放射性物质和废物可持续管理的第2006-739号决议。根据这项法律，法国民用核工业的三个主要参与者（EDF、AREVA和CEA）必须持有专门用于未来核退役费用的资产组合[5]。这些专用资产的价值必须足以弥补未来负债的减值。贴现率由运营商决定，但法律规定，“贴现率不得超过对冲投资组合的回报率，如高度信任所示，并以充分的安全性和流动性进行管理”。因此，计算尽可能高的贴现率相当于找到最便宜的投资组合，该投资组合涵盖了高度自信的未来负债。法律没有以精确的方式定义“高度信任”等概念，但很明显，由于未来负债具有相当大的不确定性，因此应使用某种概率风险度量标准，如短缺概率或价值风险。在其他情况下，监管机构规定，应使用特定的概率标准来衡量因无法覆盖债务而产生的潜在损失。新巴塞尔协议框架使用风险价值来确定银行的监管资本。根据欧洲偿付能力II指令，保险公司需要评估一年内偿付其债务所需的资本金额，概率为99。5%.

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何人来此

2022-5-4 23:15:13

因此，在这样的框架下，公司必须持有足够的资产，以限制在概率损失度量意义上的随机未来基准的损失。受这些问题的启发，在本文中，我们考虑了无经济代理人的问题，该代理人在未来某一特定日期有随机应付债务，并在每个付款日期施加了预期短缺约束。我们考虑了两个相关问题：如何找到最便宜的投资组合，以满足每个日期的约束（对冲负债），以及如何确定不同日期的概率约束之间的关系。对于后一个问题，我们提出了三种不同的公式：在欧式约束下，对每个日期的预期短缺施加界限，以t=0计算；在时间一致性约束下，每一个付款日对下一个期间的差额施加一个界限；最后，在回溯式约束中，对所有日期的最大短余波的期望施加界限。文献[9,10]中介绍并研究了在概率约束下对单个随机负债进行套期保值的问题，主要是在完全市场连续时间环境下，在Black-Scholes模型中获得了显式解。在[1]中使用随机控制和粘性解将其推广到马尔可夫环境，然后在[2,3]中推广到其他类别的随机目标问题。相关文献涉及在给定日期[12,4]或未来所有日期[8]的确定性基准表现出色的额外约束下的投资组合管理。

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何人来此

2022-5-4 23:15:16

然而，在一组确定的未来日期对冲多个随机基准的问题在文献中很少受到关注。在本文中，出于对责任约束必须在预先指定的给定日期进行验证的实际担忧，我们将自己置于离散时间设置中。为了找到最便宜的套期保值投资组合，我们采用了经典的完整市场框架，该框架允许我们将问题重新表述为找到满足一组随机约束的最小离散时间超鞅。这可以被视为斯奈尔包络的经典概念的延伸，这一概念产生于一个包含美国内容的主张的过度边缘化问题——见[11，第6.5节]。市场完整性假设意味着，在我们的背景下，未来负债的随机性主要取决于“可对冲”风险因素，如市场风险、利率风险、通货膨胀等，而不是监管框架中的变化等不可预测的随机事件。在市场完整性假设下，很容易找到一种几乎可以肯定地对冲所有未来负债的策略。我们问题的主要困难在于，约束条件是由预期损失函数给出的，因此本质上是概率的。此外，我们关注的是一般离散时间过程，其中马尔可夫性质不再成立。我们的主要贡献是研究不同日期的概率约束之间的相互作用，并在一般情况下通过动态规划描述解决方案。我们考虑了三种不同的风险约束，分别涉及所有责任支付日期的预期损失、动态的时间一致性条件损失和最大损失情景。

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nandehutu2022

2022-5-4 23:15:19

对于我们使用的三种约束样式中的每一种，我们都得到了一个最便宜的对冲组合的草书公式。然后为特定损失函数开发了显式示例。我们的论文结构如下。在第二节中，我们根据三种不同的约束类型介绍了多目标套期保值问题的三种不同公式。第3节介绍了解决方案的非马尔可夫动态规划方法。第4节提供了两个付款日期的显式示例，第5节包含了当时维度情况下的一些显式结果。最后，技术引理在附录中得到了验证。2完整市场环境中的替代问题公式我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 P，G:=（Gt）0≤T≤T），其中Gis是一个微不足道的σ场，GT=F。在这个空间上，我们考虑一个无风险资产（Xt）为0的金融市场模型≤T≤风险资产（Xit）i=1，。。。，d0≤T≤T.假设风险集合与过滤G相适应。在不丧失一般性的情况下，我们将无风险资产视为一个恒定的过程：Xt≡ 1.我们假设存在一类可接受的投资组合策略，此时不需要精确。为了保证不存在套利和完整性，我们做出以下假设：存在一个可能性Q等价于P，使得所有可容许的自融资投资组合都是Q-超鞅，对于任何Q-超鞅（Mt）0≤T≤T、存在一个可接受的投资组合（Vt）0≤T≤T、哪一个满足Vt=MTT∈ [0，T]。给定确定性矩的有限序列0=t<t<·t<tn≤ 我们研究的是一个经济代理人的问题，他可能会支付一系列的费用，在日期t，tn，其中对于每个i，Pi是Gti可测量和满足的等式[|Pi |]<∞.

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2022-5-4 23:15:23

例如，这可以模拟与可变年金保险合同或长期投资项目相关的现金流。代理人的投资组合，其价值由EVT表示，有效地用于支付，因此满足eVti=eVti-- 圆周率。我们假设代理对损失有一定的容忍度，这意味着VTI的负面部分-- p必须在某种概率意义上有界（在本节中更精确）。为了处理自我融资的投资组合，我们引入了累积现金流增加的投资组合：Vt=eVt+Xi≥1:ti≤tPias以及基准流程st=Xi≥1:ti≤tPi。（1）因此，代理人有兴趣找到最便宜的投资组合流程（Vt）0≤T≤t在某个概率意义上，在日期t，tn，基准过程（St）0≤T≤T.根据我们的市场完整性假设，这相当于发现Q-超鞅（Mt）0≤T≤Twith the smallestimatial value，在datest的概率意义上支配基准，引入离散过滤F=（Fk）k=0,1，。。。，由Fk=Gtk定义。对于aG supermartingale（Mt）0≤T≤T、离散时间过程（Nk）k=0,1，。。。，nde finedby Nk=Mtkis a F-超鞅，反之，从F-超鞅可以很容易地构造一个G-超鞅M，它与N个日期t，因此，我们的问题可以在离散时间设置中重新表述为，找到一个离散时间Q-超鞅M，关于具有最小初始值的过滤F，例如fork=1，n、 MK在概率意义上主导离散时间基准测试K（我们对离散时间基准测试和连续时间基准测试使用相同的字母）。在我们的多期套期保值问题中引入风险容忍度有很多自然的方法。

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2022-5-4 23:15:26

在本文中，在[10]之后，我们考虑对预期短缺施加一个边界，由损失函数l:R加权→ R.在本文中，我们始终假设lis满足以下条件。假设1。函数l:R→ R是凸的，递减的，从下面有界。上述假设可以很自然地描述损失函数。典型的示例将是一个“调用”函数。特别是当l（x）=(-x） +，我们承担损失的积极部分，并且当责任被对冲时不会受到惩罚。在某些情况下，我们需要更强的假设才能得到明确的结果。以下假设2允许我们包括广泛使用的实用功能。例如，当l（x）=e-二甲苯- 1 p>0，则假设2满足。假设2。函数l:R→ R是严格凸的，严格递减的，从下面有界，属于C类。此外，导数l（x）满足Inada的条件limx→-∞l（x）=-∞ 还有limx→+∞l（x）=0。接下来，我们将描述问题的三个不同约束条件，如下所示。欧式风格约束（EU）找到Msuch的最小值，即存在一个Q-超马尔廷格尔（Mk）nk=0withEP[l（Mk- Sk）]≤ αk对于k=1，n、（2）我们用MEU表示满足（2）的所有Q-超鞅的集合。时间一致性约束（tc）求Msuch的最小值，即存在一个Q-超鞅（Mk）nk=0withEP[l（Mk- Sk）|Fk-1] ≤ αk，a.s.对于k=1，n、（3）我们用MT C表示满足（3）的所有Q-超鞅的集合。时间一致性约束作为“美国式”保证有一个有趣的解释。提议1。设M为F-适应过程。然后条件ep[l（Mk- Sk）|Fk-1] ≤ αk，a.s.k=1，··，n（4）等价于：对于所有F-停止时间τ和σ，取{0，1，…，n}中的值，使得τ≤ σ、 EP“σXi=τ+1{l（Mi- Si）- αi}#≤ 0.（5）证据。

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2022-5-4 23:15:30

设Xk=Pki=1l（Mi- Si）- αi，k=0，1，n、条件（4）等价于过程X是P-超鞅这一事实。方程式（5）则遵循杜布定理。相反地，假设（5）成立，并且∈ FKK∈ {0,1，…，n- 1}. 取σ=k+1和τ=k1A+（k+1）1Ac，我们从（5）得到EP[（Xk+1）- Xk）| 1A]≤ 由于A和k是任意的，这证明了X的超鞅性质。回望式约束（LB）找到Msuch的最小值，即存在一个Q-超鞅（Mk）nk=0，其中EP[maxk=1，…，n{l（Mk- （Sk）- αk}]≤ 0.（6）我们用MLB表示满足（6）的所有Q-超鞅的集合。对于给定的边界族（α，···，αn），我们用VEU（α，···，αn）、VT C（α，···，αn）和VLB（α，··，αn）（或VEU，VT和VLB）表示，当（Mk）nk=0的最大值分别属于MEU，MT和MLB。下面的命题表明VEU≤ 职业训练局≤ VLB。提议2。以下内容适用：MLB C山 MEU。证据很明显，C山 MEU。包含MLB MT C遵循时间一致性约束的替代表示法（5）。当n=1时，三种约束类型重合。此外，valuefunction在某些特定情况下具有显式形式。提议3。设n=1，假设α>limx→+∞l（x）1。假设假设2成立，并假设存在y<0和ep[l（I（yZ））]∞, 其中Z=dQdP。vtc（α）=VLB（α）=EQ[S]+EQ[I（λ*Z） ]中，I是landλ的反函数*是ep[l（I）（λ）的唯一解*Z））]=α。假设P=Q，那么VEU（α）=vtc（α）=VLB（α）=E[S]+l-1（α），其中l-1（α）：=inf{x∈ R | l（x）≤ α}.证据第一部分是一个特殊的命题案例，将在下面展示。

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2022-5-4 23:15:33

这个结果也非常类似于经典的凹效用最大化问题的解决方案，对于这个问题，我们请读者参考[13，定理2.0]。第二部分是利用詹森不等式得到的。下面的命题是命题3第二种情况的自然推广，描述了三值函数包含的另一种情况。然而，对于n，我们需要一个额外的假设（7）≥ 2.提议4。假设P=Q，αk>limx→+∞l（x）代表k∈ {1，…，n}andE[Sn+l-1（αn）|Fk]≥ Sk+l-1（αk）（7）对于任何k∈ {1，…，n}，其中-1（α）：=inf{x∈ R | l（x）≤ α}. 那么，VEU（α，…，αn）=vtc（α，…，αn）=VLB（α，…，αn）=E[Sn]+l-1（αn）。假设（7）由以下假设暗示：过程（Sk+l）-1（αk））nk=0是一个子鞅过程S是次鞅，αk≥ α0≤ K≤ N- 1.证据。从命题3中，通过去除除终端约束之外的所有约束，我们得到veu（α，…，αn）≥ E[Sn]+l-1（αn）。为了显示逆不等式，letMk=E[Sn+l-1（αn）|Fk]。根据假设（7），Mk≥ Sk+l-1（αk），这意味着∈ MLB。因此，VLB（α，…，αn）≤ M=E[Sn]+l-1（αn）。通过动态规划应用命题2.3解决方案完成了证明。在本节中，我们解决了三类约束的优化问题。主要方法包括使用动态规划原理，在每个付款日期验证约束条件。3.1欧式约束我们从欧式约束开始，欧式约束由一系列期望约束组成。用V（α，…，αn）表示Mw的最大值，其中（Mk）nk=0∈ MEU。下面的结果通过使用P-超鞅族来刻画V（α，…，αn），每个P-超鞅族对应一个期望约束。提议5。V（α。

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2022-5-4 23:15:36

，αn）等于存在Q-超马氏体（Mt）nt=0和P-超马氏体（Nkt）kt=0，k的最大值∈ {1，…，n}，满足Nk=α和Nkk≥ l（Mk- Sk）。证据用f表示所有（（Mt）nt=0，（Nkt）kt=0，k∈ 满足命题中条件的{1，…，n}）和相关M的数值的byeV（α，…，αn）。如果（（Mt）nt=0，（Nkt）k=1，··，nt=0，··，k）∈fMEU，那么αk=Nk≥ EP[Nkk]≥ EP[l（Mk- Sk）]。因此（Mk）nk=0∈ MEU，这意味着ev（α，…，αn）≥ V（α，…，αn）。相反地，假设Q-超鞅（Mk）nk=0∈ MEU，我们构造过程（Nkt）kt=0，使得Nk=α，Nkt=E[l（Mk- Sk）| Ft]代表t∈ {1，…，k}。条件EP[l（Mk- Sk）]≤ αk证明（Nkt）kt=0是P-超鞅。因此，逆不等式ev（α，…，αn）≤ V（α，…，αn）也成立。对于动态解，我们将介绍值函数过程Vkfork∈ {1，…，n}。请注意，值函数vkw不是V的实值界族（α，···，αn），而是将一个随机变量族作为参数，该随机变量族描述了预期短缺上连续界的演化。对于Fk可测随机变量Nk+1，Nn，让Vk（Nk+1，…，Nn）成为所有Mk的必要组成部分∈ fk使得存在一个Q-超马氏体（Mt）nt=kw和EP[l（Mt- St）| Fk]≤ NTF或任何t∈ {k+1，…，n}。我们用MEU，k（Nk+1，…，Nn）表示从k开始的所有这类Q-超鞅的集合。根据约定，设Vn=-∞ MEU，n包含所有可测量的随机变量集。

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2022-5-4 23:15:40

我们特别有-1（Nn）=essinfMn∈Fn{EQ[Mn|Fn-1] ：EP[l（Mn）- Sn）|Fn-1] ≤ Nn}=EQ[Sn|Fn-1] +essinfM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l（M）|Fn-1] ≤ Nn}。事实上，如果-1，Mn）是Q-超鞅，使得EP[l（Mn- Sn）|Fn-1] ≤Nn，然后（等式[Mn | Fn-1] ，Mn）也是一个满足此条件的Q-鞅-1.≥ 等式[Mn | Fn-1].与命题5类似，我们可以证明Vk（Nk+1，…，Nn）等于Mk的必要界∈ 因此，存在一个Q-超马氏体（Mt）nt=k和一系列P-超马氏体（Nk+1t）k+1t=k，···，（Nnt）nt=k，如Ntk=N和Ntt≥ l（Mt）- St）对于任何t∈ {k+1，…，n}。引理1。设（Mt）nt=k，（Mt）nt=k∈ MEU，k（Nk+1，…，Nn），那么就存在一个permartingale（Mt）nt=k∈ MEU，k（Nk+1，…，Nn）使得Mk=Mk∧ 证据。根据定义，EP[l（Mt- St）| Fk]≤ N和EP[l（Mt- St）| Fk]≤ Ntforany t∈ {k+1，…，n}。设A为集合{Mk≥ Mk}，这是Fk可测量的。无论如何∈ {k，…，n}，设Mt=1lAMt+1lAcMt。自从∈ Fk，（Mt）nt=kis aQ supermartingale。此外，Mk=min（Mk，Mk）和p[l（Mt- St）| Fk]=1lAEP[l（Mt）- St）| Fk]+1拉塞普[l（Mt）- St）| Fk]≤ Nt，因此（Mt）Nt=k∈ MEU，k（Nk+1，…，Nn）。下面的结果以向后和递归的形式描述了值函数过程。定理1。Vk（Nk+1，…，Nn）等于所有Mk的基本值∈ 这样就存在Mk+1∈ Fk+1和满足下列条件的P-超马氏体（Nk+1t）k+1t=k，··，（Nnt）nt=k族：等式[Mk+1 | Fk]=Mk，Nik=nifori∈ {k+1，…，n}，Nk+1k+1≥ l（Mk+1- Sk+1），Mk+1≥ Vk+1（Nk+2k+1，…，Nnk+1）。（8）证据。根据定义，该定理适用于k=n- 1.在以下情况下，我们处理案例k∈ {0，…，n- 2} 通过归纳法。用byeVk（Nk+1，…，Nn）表示定理中定义的本质。

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2022-5-4 23:15:44

设Mk+1为Fk+1-可测随机变量，（Nk+1t）k+1t=k，···，（Nnt）nt=kbe P-超鞅，验证（8）中的条件。请注意，第四个条件以及基本的内确界性质意味着（例如[7，V.18]）随机变量序列（M（M）k+1）M的存在∈Nin MEU，k+1（Nk+2k+1，…，Nnk+1）使MK+1≥ infm∈纳米（米）k+1。此外，前面的引理表明序列（M（M）k+1）M∈NCA可以在不丧失普遍性的情况下减少。通过与命题5类似的论证，存在Q-超鞅（M（M）t）nt=k+1和p-超鞅（Nk+2，（M）t）k+2t=k+1，··，（Nn，（M）t）nt=k+1这样的thatNi，（M）k+1=Nik+1和Ni，（M）i≥ l（M（M）i- 对我来说∈ {k+1，…，n}。我们将每个（Ni，（m）t）it=k+1推广到t=k上的P-超鞅，i取Ni，（m）k=Ni，i∈ {k+2，…，n}。对于任意M，设M（M）k=EQ[M（M）k+1 | Fk]∈注意，Q-超马氏体（M（M）t）nt=k和P-超马氏体（Nk+1t）k+1t=k，（Nk+2，（M）t）k+2t=k，（Nn，（m）t）nt=k验证表征Vk（Nk+1，…，Nn）的条件。因此Vk（Nk+1，…，Nn）≤ M（M）K对于任何M∈ N、这意味着vk（Nk+1，…，Nn）≤ infm∈NEQ[M（M）k+1 | Fk]≤ 等式[Mk+1 | Ft]，其中第二个不等式来自关系式Mk+1≥ infm∈NM（m）k+1和序列（m（m）k+1）m∈Nis正在下降。因此我们得到了VK（Nk+1，…，Nn）≤eVk（yk+1，…，yn）。相反，设（Mt）nt=kbe a Q-超鞅和（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=kbe P-supermartingales使得Nik=nian和Nii≥ l（米）- Si）对于任何我∈{k+1，…，n}。在不丧失一般性的情况下，我们假设Mk=EQ[Mk+1 | Fk]。（8）中的条件对于Mk+1，（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=keexcept最后一个。请注意，对于任何∈ {k+1。

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能者818

2022-5-4 23:15:47

，n}，条件Nii≥ l（米）-Si）impliesNik+1≥ EP[Nii | Fk+1]≥ EP[l（Mi- Si）|Fk+1]，其中第一个不等式来自（Nit）it=kis是P-超鞅这一事实。因此，Mk+1≥ Vk+1（Nk+2k+1，…，Nnk+1），这导致了逆不等式。在只涉及Fk+1-可测随机变量的情况下，可以简化上一定理中的上鞅条件。特别地，我们考虑实值界的情况。推论1。Vk（αk+1，…，αn）等于所有条件期望EQ[M | Fk]，M∈ Fk+1存在满足以下条件的Fk+1-可测随机变量Nk+2，···，NN：EP[Ni | Fk]=αifor i∈ {k+2，…，n}，EP[l（M）- Sk+1）| Fk]≤ αk+1，M≥ Vk+1（Nk+2，…，Nn）。（9）证据。表示byeVk（αk+1，…，αn）为推论中定义的基本极限。我们从Fk+1-可测随机变量M，Nk+2开始，满足（9）中的条件。设Mk+1=M和Mk=EQ[M | Fk]。当构造P-超鞅（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=kwith Nik=αifori∈ {k+1，…，n}，Nk+1k+1=l（M- Sk+1）和Nik+1=Nifor i∈ {k+2，…，n}。因此，Vk（αk+1，…，αn）≤eVk（αk+1，…，αn）。请注意，如果用“EP[Ni | Fk]代替（9）中的第一个条件，则基本元素k（αk+1，…，αn）保持不变≤ 如果我∈ {k+2，…，n}”，因为函数Vk+1相对于每个坐标递减。LetMk+1∈ Fk+1和（Nk+1t）k+1t=k，（Nnt）nt=k满足（8）中的条件。我们选择M=Mk+1和Ni=Nik+1作为我的选择∈ {k+2，…，n}。到（8），米≥Vk+1（Nk+2，…，Nn）和EP[Ni | Fk]≤ Nik=αi。此外，由于Nk+1k+1≥l（Mk+1- Sk+1），一个有αk+1=Nk+1k≥ EP[Nk+1k+1 | Fk]≥ EP[l（M- |Fk+1241]。HenceeVk（αk+1，…，αn）≤ Vk（αk+1。

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2022-5-4 23:15:50

3.2时间一致性约束对于时间一致性约束，我们考虑每个付款日的损失函数，给定前一时间步的市场信息。约束是通过使用条件期望编写的。此设置中的动态规划结构相对简单，因为它只涉及两个连续的日期。回想一下，MT是所有Q-超马氏体（Mk）nk=0和ep[l（Mk）的集合- Sk）|Fk-1] ≤ αk对于k=1，n、以一种动态的方式，用MT C表示，k所有Q-超鞅（MT）nt=k验证条件ep[l（MT）的集合- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k+1，n、注意，MT C是所有可积Fn可测随机变量的集合，MT C，0与MT C一致。定义值函数过程（Vk）0≤K≤n以如下方式反向：Vn=-∞, 对k来说呢∈ {1，…，n}，letVk-1=ess infM∈Fk{EQ[M|Fk-1] ：M≥ Vk和EP[l（M- Sk）|Fk-1] ≤ αk}（10）命题6。对于任何k∈ {0，…，n}，Vk=ess infMk∈C山，kMk。证据k=n的情况很简单。在下文中，我们假设质量Vk=ess infMk∈C山，kMkhas已被证实。让Mk-1.作为MT C、k中的一个元素-1.然后存在一个Q-超鞅（Mt）nt=k-1这样的话[l（Mt- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k，n、这意味着Mk∈ MT C，k.因此Mk≥ Vkby是归纳假说。结合条件EP[l（Mk-Sk）|Fk-1] ，我们通过定义（10）获得Vk-1.≤ 等式[Mk | Fk-1] ≤ Mk-1.因此Vk-1.≤ ess inf MT C，k-1.对于逆不等式，设M∈ 因此≥ Vkand EP[l（M-Sk）|Fk-1] ≤ αk.根据归纳假设和类似于toLemma 1的一个论点，存在一个（M（M）t）nt=kof Q-超马氏体族∈ N使得ep[l（M（M）t- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k+1，n、和Fk可测序列（M（M）k）M∈Nis与M≥ infm∈纳米（米）k每米∈ N、 letfM（m）k=最大值（m（m）k，m），fM（m）k-1=EQ[fM（m）k | Fk-1] 和Fm（m）t=t的m（m）t∈ {k+1，…，n}。

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2022-5-4 23:15:54

然后（fM（m）t）nt=k-1是一个Q-超级艺术家。此外，EP[l（fM（m）t- St）|英尺-1] ≤ αt对于t=k，n、这意味着fm（m）k-1.∈ C，k山-1.因此，C，k-1.≤fM（m）k-1=EQ[M（M）k∨ M | Fk-1] 对任何人来说∈ N.当m到达单位时，通过取极限，我们得到了信息MT C，k-1.≤ EQ[M | Fk-1] 由M≥ infm∈因为m是任意的，所以C，k-1.≤ Vk-1.结果由此证明。根据前面的命题，我们可以使用价值函数（10）的递推公式来计算最小初始资本Vby。在损失函数l上附加正则条件，我们可以得到一个更明确的结果，如下所示。提议7。设l为满足假设2的损失函数，设I：(-∞, 0) → R是l的反函数。另外，假设对于anyk∈ {1，…，n}，αk>limx→+∞存在一个严格负的随机变量Yk-1.∈ Fk-1这样的话[l（I）（Yk-1Zk/Zk-1))] < +∞ 式中，Zk=EP[dQdP | Fk]。（11）然后值函数Vt满足Vt=bVta。s、对于t=0，N- 1其中BVN给出-1=等式[Sn+I（λn-1Zn/Zn-1） |Fn-1] 式中λn-1.∈ Fn-1是Ep[l（I）（λn）的解-1Zn/Zn-1））|Fn-1] =αn，（12）对于k<n，bVk-1=EQ[bVk | Fk-1] +情商nSk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1） o+Fk-1.EP[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk，其中λk-1.∈ Fk-这是PHL的解决方案I（λk）-1Zk/Zk-1) ∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i=αk.（13）证明。第一步。λ的存在性。对于任何k∈ {1，…，n}，设∧k-1是严格负向Fk的集合-1-可测随机变量Y，例如EphI（Y-Zk/Zk）-1) ∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i≤ 利用支配收敛定理，得到了αk>limx的条件→+∞l（x）和假设（11）意味着∧k族-它不是空的。设λk-1是这个家庭的专业母亲。注意∧k-1通过采用一定数量的随机变量，它是稳定的。因此λk-1可以写成∧k中递减序列的极限-1.

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2022-5-4 23:15:57

函数I和l的连续性以及单调收敛定理表明λk-1属于∧k家族的家族-1.这仍然是为了显示平等（13）。如果等式不成立，那么对于足够小的ε>0，ω的集合Aε∈ Ohm 就这样I（（λk）-1.- ε） Zk/Zk-1) ∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i（ω）≤ α是一个严格的积极措施。这意味着λk-1.- ε1lAε也位于∧k中-1，这导致了矛盾。第二步。Vn的代表性-1.根据提案6，Vn-1=等式[Sn | Fn-1] +ess infM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l（M）|Fn-1] ≤ αn}取M=I（λn-1Zn/Zn-1），我们看到-1.≤bVn-1.另一方面，对于每个严格负的随机变量λ∈ Fn-1，l（M）≥ L*（λZn/Zn）-1） +λMZn/Zn-1我在哪里*（u） =infv{l（v）- uv}是l的勒让德变换。注意，一个人有（l*)= 一、索文-1.- 等式[Sn | Fn-1]≥ ess infM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l*（λZn/Zn）-1） +λMZn/Zn-1 | Fn-1] ≤ αn}=ess infM∈Fn{EQ[M|Fn-1] ：EP[l*（λZn/Zn）-1） |Fn-1] +λEQ[M | Fn-1] ≤ αn}=αn- EP[l*（λZn/Zn）-1） |Fn-1] λ=αn- EP[l（I）（λZn/Zn）-1））|Fn-1] λ+EQ[I（λZn/Zn）-1） |Fn-1] ，其中最后一个等式来自关系l*（y） =l（I（y））- 易（y）。取λ为（12）的解，我们发现Vn-1.≥bVn-1，这证明了Vn的理想代表性-1.第三步。一般情况。现在我们通过对k的归纳来证明一般情况。假设我们已经建立了等式Vk=bVk。根据命题6和归纳假设，Vk-1=ess infM∈Fk{EQ[M|Fk-1] ：M≥bVk，EP[l（M- Sk）|Fk-1] ≤ αk}。我们选择fm:=bVk+Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1)+EP[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk，从下方以BVK和满足EP[l（fM）为界- Sk）|Fk-1] ≤ αk。

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可人4

2022-5-4 23:16:00

事实上，很明显，这个不等式在集合{EP[l（bVk））上成立- Sk）|Fk-1] ≤ αk}。此外，在集合{EP[l（bVk））上- Sk）|Fk-1] >αk}，一个hasfM- Sk=bVk- Sk+（Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1））+，soEP[l（fM- Sk）|Fk-1] =EP[l（I）（λk）-1Zk/Zk-1) ∨ （bVk）- Sk）|Fk-1] 这意味着EP[l（fM- Sk）|Fk-1] ≤ αkon这个集合由λk的定义确定-1.HenceVk-1.≤ EQ[fM | Fk-1] =bVk-1.相反的不等式bvk-1.≤ Vk-1在集合{EP[l（bVk）上是直接的-Sk）|Fk-1] ≤ αk}。仍然需要在集合{EP[l（bVk））上建立不等式-Sk）|Fk-1] >αk}。我们有一个变量changeVk-1.- EQ[bVk | Fk-1] =ess inf{EQ[M|Fk-1] ：M≥ 0，EP[l（M+bVk- Sk）|Fk-1] ≤ αk}，≥ ess infM∈Fk，M≥0{EQ[M|Fk-1] ：EP[l*λZkZk-1.+ λ（M+bVk）- Sk）ZkZk-1.Fk-1] ≤ αk}=ess infM∈Fk，M≥0{EQ[M|Fk-1] ：EP[l*λZkZk-1.|Fk-1] +λEQ[M+bVk- Sk | Fk-1] ≤ αk}=ess infM∈Fk，M≥0nEQ[M | Fk-1] ：EQ[M | Fk-1] ≥αk- EP[l（I）（λZkZk）-1））|Fk-1] λ+EQ[Sk-bVk+IλZkZk-1.Fk-1] 或任何严格负λ∈ Fk-1.在集合{EP[l（bVk）上- Sk）|Fk-1] >αk}，上面的最后一个约束可以用eq[M|Fk]代替-1] ≥αk- EP[l（I）（λZk/Zk）-1) ∨ （bVk）- Sk）|Fk-1] λ+EQ[Sk-bVk+I（λZk/Zk）-1)+ |Fk-1].现在我们选择λ作为（13）的解，以获得以下约束q[M | Fk-1] ≥ 情商[Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1)+ |Fk-1].因此在集合{EP[l（bVk）上- Sk）|Fk-1] >αk}，我们有vk-1.- EQ[bVk | Fk-1] ≥ 情商[Sk-bVk+I（λk）-1Zk/Zk-1)+|Fk-1] ，这意味着不平等-1.≤ Vk-由此证明了定理1。在P=Q的风险中性情况下，我们可以放松假设2，只在假设1下得到类似的结果。提议8。我们假设P=Q，对于任何k∈ {1，…，n}，αk>limx→+∞l（x）1。价值函数满足Vt=bVta。s、对于t=0，N- 1.bvn-1=E[Sn | Fn-1] +l-1（αn）bVk-1=E[bVk | Fk-1] +EnSk-bVk+λko+Fk-1.E[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk，k<n，其中λk∈ Fk-这就是海尔的解决方案λk∨ （bVk）- （Sk）Fk-1i=αk.（14）2。

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可人4

2022-5-4 23:16:04

如果损失函数l（x）=x-, 当所有k的αk>0时，则值函数满足Vt=bVta。s、对于t=0，N- 1.bvn-1=E[Sn | Fn-1] - α-nbVk-1=max{E[bVk|Fk-1] ，E[bVk∨ Sk- αk | Fk-1]}.证据1.Vn的公式-1直接来自詹森的不平等。我们用归纳法证明了一般情况。假设我们已经建立了等式Vk=bVk。证明Vk的公式-1，我们首先按照命题7证明中的步骤1来证明λk的存在性。接下来，letM=bVk+nSk-bVk+λko+E[l（bVk-Sk）|Fk-1] >αk.很明显，M≥ Vk。此外，E[l（M- Sk）|Fk-1] =E[l（bVk）- Sk+nSk-bVk+λko+A）|Fk-1] =1AE[l（λ）∨ （bVk）- Sk）|Fk-1] +1AcE[l（bVk- Sk）|Fk-1]≤ αk，其中我们表示A:={E[l（bVk- Sk）|Fk-1] >αk}∈ Fk-1.这证明了Vk-1.≤bVk-1.相反的不等式只需要在集合A上显示。如命题7的顶部，我们有，Vk-1.-E[bVk | Fk-1] =ess infM∈Fk，M≥0{E[M|Fk-1] ：E[l（M+bVk）-Sk）|Fk-1] ≤ αk}。设M为满足约束条件的任意随机变量。然后，通过凸性，0≤ E[l（λk）∨ （bVk）- （Sk）- l（M+bVk）- Sk）|Fk-1]≤ E[l（λk）∨ （bVk）- Sk））（λk∨ （bVk）- （Sk）- M-bVk+Sk）| Fk-1] =E[1λk≥bVk-Skl（λk）（λk）- M-bVk+Sk）- 1λk<bVk-Skl（bVk- Sk）M | Fk-1] =l（λk）E[（λk）-bVk+Sk）+- M | Fk-1] - E[（l（bVk- （Sk）- l（λk））+M |Fk-1] 式中，l（x）表示在x点属于凸函数l的次微分的任何数字，定义如下：l（x）：={y:l（x）- l（x）≥ y（x）- 十）x} 。自从我≥ 0，这意味着l（λk）E[（λk-bVk+Sk）+- M | Fk-1] ≥ 根据命题的假设，在集合{0∈ l（λk）}，l（λk）<α和λk可能不是方程（14）的解。因此，l（λk）<0几乎可以肯定，andE[（λk）]-bVk+Sk）+- M | Fk-1] ≤ 0在A上，完成证明。2.Vn的公式-1第1部分的后续内容。当E[（Vk-（Sk）-|Fk-1] ≤ αk，E[Vk | Fk-1] ≥ E[Vk∨ Sk- αk | Fk-1] ，公式成立。假设E[（Vk- （Sk）-|Fk-1] >αk。

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2022-5-4 23:16:09

首先我们观察到λk<0a.s.，否则在λk≥ 0，l（λk）∨（Vk）-Sk））=0，条件透视不能等于αk。因此，Eh{Sk+λk}∨ VkFk-1i=E[Sk | Fk-1] +E[λk∨ （Vk）- Sk）|Fk-1] =E[Sk | Fk-1] +E[（λk）∨ （Vk）- Sk）+Fk-1] - E[（λk）∨ （Vk）- （Sk）-|Fk-1] =E[Sk | Fk-1] +E[（Vk- Sk）+Fk-1] - E[l（λk）∨ （Vk）- Sk）|Fk-1] =E[Vk∨ Sk | Fk-1] - αk.3.3回望式约束回望约束包括整个期间损失函数的最大值。所以动态规划结构考虑了这个变量。回想一下，MLBDE注意到了所有Q-超鞅（Mk）nk=0和ep[maxk=1，…，n{l（Mk）的集合- （Sk）- αk}]≤ 0.定义Vk（Nk，Zk），其中（Nk，Zk）是一对Fk可测量的随机变量，是所有Mk的基本组成部分∈ 因此存在一个Qsupermartingale（Mt）nt=k和一个P-supermartingale（nt）nt=kverifyingmaxZk，maxt∈{k+1，…，n}{l（Mt- （圣）- αt}≤ Nn。（15）我们表示所有这些Q-超鞅（Mt）nt=kby MLB，k（Nk，Zk）的集合。按照惯例，letVn（Nn，Zn）=(+∞)1l{Zn>Nn}+(-∞)1l{Zn≤Nn}。提案9。V（0，-∞) = inf（Mk）nk=0∈MLBM。证据设（Mk）nk=0和（nk）nk=0分别是用（N，Z）=（0，-∞). Thenmaxk∈{1，…，n}{l（Mk- （Sk）- αk}≤ Nn。因此0=N≥ EP[Nn]≥ EP[maxk∈{1，…，n}{l（Mk- （Sk）- αk}]。因此（Mk）nk=0∈ MLB。因此（0，-∞) ≥ inf（Mk）nk=0∈MLBM。相反地，在MLB中给定一个Q-超马氏体（Mk）nk=0，我们可以选择n=maxk∈{1，…，n}{l（Mk- （Sk）- αk}和Nk=EP[Nn | Fk]，k∈ {1，…，n- 1} N=0来构造一个Psupermartingale（Nk）Nk=0用（N，Z）=（0）来验证条件（15），-∞).因此我≥ V（0，-∞). 结果得到了验证。提议10。Vk（Nk，Zk）等于所有等式[M | Fk]，M]的基本值∈ Fk+1存在一个随机变量N∈ Fk+1满意（EP[N | Fk]=Nk，M≥ Vk+1N、最大（Zk，l（M）- Sk+1）- αk+1）.（16）证据。

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2022-5-4 23:16:12

用byeVk（Nk，Zk）表示定理中定义的本质。LetM和N是验证（16）的随机变量。通过一个类似于toLemma 1的参数，存在一个递减的随机变量序列（M（M）k+1）M∈Nin MLB，k+1（N，max）Zk，l（M- Sk+1）- αk+1），使M≥ infm∈纳米（米）k+1。此外，还存在Q-超鞅（M（M）t）nt=k+1和P-超鞅（N（M）t）nt=k+1verifyingmaxZk，l（M）- Sk+1）- αk+1，最大∈{k+2，…，n}（l（M（M）t- （圣）- αt）≤ N（m）N（17）和N（m）k+1=N。设m（m）k=EQ[m（m）k+1 | Fk]和N（m）k=Nk。过程（M（M）t）nt=kand（N（M）t）nt=kare分别是满足条件（15）的Q和P超鞅。因此，M（M）k≥ Vk（Nk，Zk）表示任何m∈ N、什么是情商[M | Fk]≥ Vk（Nk，Zk）。SoeVk（Nk，Zk）≥ Vk（Nk，Zk）。相反，设（Mt）nt=kand（nt）nt=kbe分别为Q-超鞅和p-超鞅，它们验证了条件（15）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Mk=EQ[Mk+1 | Fk]，并且（Nt）Nt=kis是P-鞅。注意麦克斯Zk，maxt∈{k+1，…，n}（l（Mt- （圣）- αt）也可以写为max最大值（Zk，l）（Mk+1- Sk+1）- αk+1），最大∈{k+2，…，n}（l（Mt- （圣）- αt）.根据Vk+1、Mk+1的定义≥ Vk+1（Nk+1，最大值）Zk，l（Mk+1- Sk+1）- αk+1），这表明Mk+1和Nk+1验证了（16）中的条件。因此Mk=EQ[Mk+1 | Fk]≥eVk（Nk，Zk）。由于（Mt）nt=kis是任意的，我们得到了Vk（Nk，Zk）≥eVk（Nk，Zk）。4 n=2的显式示例在本节中，我们在三种类型的约束条件下应用上一节中获得的动态规划结果，并给出两个时间步设置下最小套期保值组合值的显式形式。4.1欧式风格约束在以下情况下，我们假设函数l满足假设2。我们得到了推论1，V（α）=ess infM∈F{EQ[M|F]s.t。

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2022-5-4 23:16:15

EP[l（M- S） | F]≤ α} 根据命题7，V（α）=EQ[S|F]+EQ[I（c（α）Z/Z）|F]，（18）其中c（α）是F-可测的随机变量，使得ep[l（I（c（α）Z/Z））|F]=α。andZ=dQdP；Z=EP[dQdP | F]。然后，我们再次使用（9）来计算V（α，α）的值，该值与等式[M]，M]的基本值一致∈ f如E[l（M- S） ]≤ α存在N∈ 验证E[N]=α和M≥ V（N）。即V（α，α）=infM∈F{EQ[M]：EP[l（M）- S） ]≤ α、 EP[V]-1（M）]≤ α}. （19） 4.1.1指数效用情形考虑损失函数，其中l（x）=e-二甲苯- 1，p>0。直接计算得到l（x）=-体育课-px，I（x）=-扑通一声(-x/p）和l（I（x））=-x/p- 1.因此，c（α）=-p（1+α），由此我们推导出v（α）=EQ[S | F]-对数（α+1）p-pEP[Z/Zlog（Z/Z）|F]。（20）比亚迪=-pEP[Z/Zlog（Z/Z）|F]。从（20）开始我们就有了-1（x）=l（x- 等式[S | F]- D）。因此，V（α，α）是期望值EQ[M]=EP[ZM]的上限，其中M∈ Fsuch thatEP[l（M- S） ]≤ α和E[l（M- 等式[S | F]- D） ]≤ α. （21）我们将使用拉格朗日乘子法（带有库恩-塔克条件）来研究这个问题。如果我∈ 根据约束条件（21）对等式[M]的上限进行F化，然后验证一阶条件Z- pλe-p（M）-（S）- pue-p（M）-等式[S | F]-D） =0，其中λ和u分别为方程的正解Zp（λ+uexp（p（EQ[S | F]- （S+D）= 1+α和βZp（λexp（S）- 等式[S | F]+D）+u）= 1 + α.我们引入符号X=exp（p（EQ[S | F]- 将上述方程改写为qhλ+uXi=p（1+α）和EQhXλ+uXi=p（1+α），通过线性组合得到λp（1+α）+up（1+α）=1（22）。此外，两个方程的商表明λ/u验证了以下方程（前提是u6=0）f（t）1- tf（t）=1+α1+α，其中f（t）=EQ[（t+X）-1]. 注意这一点→0+f（t）1- tf（t）=EQ[X-1] ，limt→+∞f（t）1- tf（t）=EQ[X]-1.假设等式[X]-1] >1+α1+α>EQ[X]-（21）中的两个约束条件是饱和的。

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可人4

2022-5-4 23:16:19

我们可以使用数值方法来计算λ/u的值，然后使用关系式（22）来确定λ和u的解释值If1+α1+α≤ 等式[X]-1，则只有（21）中的第一个约束是饱和的，应取u=0。在这种情况下，一阶条件变为- pλe-p（M）-S） =0，其中λ=（p（1+α））-1.因此，一个hasM=S-plog（（1+α）Z）。因此我们得到v（α，α）=EQ[S]-plog（1+α）-政治公众人物[Zlog Z]。oIf1+α1+α≥ 等式[X]-1] ，则只有（21）中的第二个约束是饱和的，其中一个约束的λ=0。在这种情况下，一阶条件变为- pue-p（M）-等式[S | F]-D） =0，其中u=（p（1+α））-1.因此，一个结果sm=EQ[S | F]+D-plog（（1+α）Z）=EQ[S | F]-pEP[Z/Zlog（Z/Z）| F]-plog（（1+α）Z）。最后，我们得到v（α，α）=EQ[S]-plog（1+α）-pEP[Zlog Z].4.2时间一致性约束Vis的计算与（18）在欧洲的情况相同：V=V（α）。根据命题6，V=infM∈F{EQ[M]：EP[l（M）- S） ]≤ α、五-1（米）≤ α}. （23）4.2.1（20）中的指数效用，与欧洲情况一样，V=EQ[S | F]-log（α+1）p+D。根据命题7，可以使用以下算法找到vm：o计算EP[l（V- S） [o]如果EP[l（V- S） ]≤ α那么第1天的约束是不具有约束力的，解由V=EQ[V]给出如果EP[l（V- S） ]>α那么第1天的约束是有约束力的，我们按照如下步骤进行：–计算λ∈ R通过解方程ep[l（I（λZ）∨ （五）- S））]=α解由V=EQ[V]+EQ[{S]给出- V+I（λZ）}+].4.3由命题10约束的回溯风格，V（y，Z）=infM∈F等式[M | F]：EP[max（z，l（M- （S）- α） |F]<y所以值函数V（0，-∞) 与欧洲和美国的情况一致。

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2022-5-4 23:16:23

然后我们在初始时间asV（0，-∞) = infM∈F{EQ[M]：N∈ F:EP[N]=0，M≥ V（N，l（M）-（S）-α)}.然而，对于lookback样式约束，更难获得明确的结果（19）ou（23）。4.4风险中性情况正如我们已经提到的，在这三种情况下，增值税时间t=1的价值函数是一致的。在风险中性的情况下，P=Q，我们有Z=Z=1，soV（α）=E[S | F]+l-1(α).对于t=0时的初始值，我们得到以下结果：o欧式风格约束：VEU=infM∈F{E[M]：E[l（M）- S） ]≤ α、 E[l（M）- E[S|F]）]≤ α} o美式约束：VT C=infM∈F{E[M]：E[l（M）- S） ]≤ α、 l（M）- E[S|F]）≤ α} o回望样式约束：VLB=infM∈F{E[M]：E[max{l（M）- （S）- α、 l（M）- E[S|F]）- α}] ≤ 0}.在风险中性的情况下，结果在假设1而不是假设2下成立。我们特别感兴趣的是损失函数l（x）=(-x） +由于附录中的引理2，在获得明确结果的情况下（对于时间一致性约束，结果如下，取β=0和Y=E[S | F]- α）：VEU=maxE[S]- α、 E[S]- α、 E[（S）∨ E[S|F]）]- α- α,VT C=最大值E[S]- α、 E[S]∨ （E[S|F]- α)] - α,VLB=E[maxs- α、（E[S|F]- α)].4.5数值说明在一个数值例子中，我们比较了在三种概率约束下对冲两个目标的成本。在图1中，我们考虑了风险中性的情况，其中P=Q，损失函数由l（x）给出(-x） +。模型如下：S=SeσZ-σ和S=SeσZ-σ，其中S=100，σ=0.2和Zand-Zare标准正态随机变量，相关系数ρ=50%。我们将第一个日期的损失容限定为α=5，并将三种不同的约束类型的套期保值价值vf绘制为第二个日期α的损失容限的函数。毫不奇怪，这三条曲线都在降低w.r.t.约束水平α。

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nandehutu2022

2022-5-4 23:16:27

此外，在我们考虑的三个约束中，Europeanconstraint对应于最低的套期保值成本，lookback Constraint对应于最高的套期保值成本，这与命题2是一致的。最后，几乎确定套期保值的成本高于三个概率约束。图1：用三种不同风格的概率约束对冲两个目标的成本。在这种情况下，几乎可以肯定的是，对冲这两个约束的成本相当于107.966。5个明确的例子对于多目标套期保值问题，通常很难使用递归公式得到明确的解决方案。在本节中，我们首先提出一个假设，在该假设中，预期损失可以得到显式解，然后扩展我们的框架来讨论条件风险价值。我们的第一个结果处理了在风险中性概率下作为调用函数给出的预期损失约束。提议11。设l（x）=(-x） +。假设P=Q，α，αn≥ 0，并且过程（Sk）nk=0是非递减的。那么，VEU=maxk∈{1，…，n}{E[Sk]- αk}（24）证明。对于任何k∈ {1，··，n}，我们有veu=inf（Mk）nk=0∈MEU{M:E[（Sk- Mk）+]≤ αk，k=1，n}≥ infM∈Fk{E[M]：E[（Sk- M）+]≤ αk}=E[Sk]- αk，因此，VEU≥ 马克斯∈{1，…，n}{E[Sk]- αk}另一方面，詹森不等式产生E[（Sk- Mk）+]≤ E[（Sk- Mn）+]，soVEU≤ inf（Mk）nk=0∈MEU{M:E[（Sk- Mn）+]≤ αk，k=1，n} =infM∈Fn{E[M]：E[（Sk- M）+]≤ αk，k=1，n} 。自（St）0≤T≤nis非递减，然后（24）在附录中接引理3。到目前为止，我们已经考虑了（有条件的）预期损失所带来的风险约束。在文献和实践中，风险约束通常通过使用风险度量来描述。现在，让我们将我们的框架扩展到覆盖以条件风险价值表示的损失约束。

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能者818

2022-5-4 23:16:30

我们再次假设P=Q，并用mcvara表示所有超鞅（Mk）nk=0的集合，使得CVaRλ[（Sk- Mk）+]≤ αk对于任何k∈ {1，…，n}，其中CVaRλ是由CVaRλ（X）=sup!P{E!P[X]：d!≤1.- λ} ，（25）其中X∈ 表示损失。众所周知，满足yCvarλ（X）=VaRλ（X）+1- λE[（X- VaRλ（X））+]和Cvarλ（X）=infz∈R1.- λE[（X- z） +]+z.上述最小值已达到，因此可以写入cVarλ（X）=minz∈R1.- λE[（X- z） +]+z. （26）此外，当X具有连续分布时，简化公式cvarλ（X）=E[X | X>VaRλ（X）]成立。我们定义CVAR:=inf（Mk）nk=0∈MCVaRM（27）让我们从一些简单的观察开始：o从（25）可以立即推断CVaRλ（X）≥ E[X]，这意味着（见命题11的证明）vcvar≥ 马克斯∈{1，…，n}{E[Sk]- αk}。（28）o对于n=1，选择M*= s- α达到（24）中的最佳值。但在这种情况下，CVaRλ[（S- M） +]=α，这意味着也达到了上面的下限：VCVaR=E[S]- α.o 因为在我们的例子中，损失总是正的，所以等式（26）可以简化为asCVaRλ（（S- M） +）=minz≥01.- λE[（S- M- z） +]+z.下面的表述将问题（27）简化为在预期损失约束下的Hedging问题。提议12。VCVaR=inf0≤Z≤αG（z，…，zn），其中0≤ Z≤ α是zk的缩写∈ [0，αk]，k∈ {1…n}和G（z，…，zn）=inf（Mk）nk=0上鞅{M:1- λE[（Sk-Mk-zk）+]+zk≤ αk，k=1。n} 证据。对于每一个z，zn fixed，集合McVar包含一组超级鞅（Mk）nk=0令人满意1-λE[（Sk- Mk- zk）+]+zk≤ αk，k∈ {1…n}，这表明vcvar≤ inf0≤\'z≤ αG（z，…，zn）。另一方面，对于任何ε>0，存在满足CVaRλ[（Sk）的F-超马氏体（Mk）nk=0- Mk）+]≤ αk，k∈ {1，…，n}这样m<ε+vcvar既然达到了（24）中的最大值，我们也可以找到z，例如：1-λE[（Sk- Mk- zk）+]+zk≤ αk，k∈ {1 . . .

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2022-5-4 23:16:34

n} 。但这意味着vcvar+ε>inf0≤\'z≤ αG（z，…，zn），这就完成了证明，因为ε是任意的。当问题（27）的解是完全明确的时，我们给出一个特殊的例子来结束这一部分。提议13。如果（Sk）- αk）nk=1是一个递增过程，然后vcvar=E[Sn]- αn.证据。如果这个过程（Sk- zk）nk=1正通过命题11增加，G（z，…，zn）=maxk∈{1，··，n}{E[Sk]- (1 - λ） αk- λzk}=E[Sn]- (1 - λ） αn- λzn。现在观察g（α，…，αn）=E[Sn]- αn.结合（28），证明是完整的。附录引理2。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，X，Y∈ F和α，β≥ 0.那么，V=infM∈F{E[M]：E[（X）- M） +]≤ α、 E[（Y- M） +]≤ β} =max{E[X- α] ，E[Y- β] ，E[X∨ Y- α - β]}.andV=infM∈F{E[M]：E[max（（X）- M）+- α、（Y）- M）+- β)] ≤ 0}=E[（X）- α) ∨ （Y）- β)].证据第一部分。通过只考虑这两个约束中的一个，我们得到了≥ max{E[X- α] ，E[Y- β]}.此外，（X- M） ++（Y）- M）+≥ 十、∨ Y- 曼德索夫≥ E[X∨ Y- α - β].为了完成证据，我们需要找到M*它满足了约束，实现了平等。首先假设e[X∨ Y- α - β] ≥ E[X- α] et E[X∨ Y- α - β]≥ E[Y]- β].这相当于脚趾[（X- Y）+]≥ α和E[（Y- 十） +]≥ β.在这种情况下，我们可以*= 十、∨ Y- α（X）- Y）+E[（X- Y）+]- β（Y）- 十） +E[（Y）- 十） +]IfE[X- α] ≥ E[X∨ Y- α - β] 和E[X- α] ≥ E[Y]- β] 我们要*= 十、∧ Y- α+E[（X- Y）+]。如果最后- β] ≥ E[X∨ Y- α - β] 和E[Y]- β] ≥ E[X- α] ，然后我们可以*= 十、∧ Y- β+E[（Y- 十） +]。第二部分。因为M=（X- α) ∨ （Y）- β）满足约束条件，V≤E[（X）- α) ∨ （Y）- β)]. 另一方面，V=infM∈F{E[M]：E[max（（X）- M）+- α、（Y）- M）+- β)] ≤ 0}≥ infM∈F{E[M]：E[max（X- M- α、 Y- M- β)] ≤ 0}=infM∈F{E[M]：E[max（X- α、 Y- β)] ≤ M}=E[（X）- α) ∨ （Y）- β)].我们现在考虑n是任意的但目标是有序的情况。引理3。让(Ohm, F、 P）是概率空间，Z。

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2022-5-4 23:16:39

，锌∈ F和Z≤ Z≤· · · ≤ 兹纳。s、 α，αn≥ 0.那么，infM∈F{E[M]：E[（Zk- M）+]≤ αk，k=1，n} =maxk=1，。。。，n{E[Zk]- αk}证明。1.假设存在k∈ {1，···，n}这样e[Zk]- αk≥ E[Zk+1]- αk+1（29）然后是约束E[（Zk- M）+]≤ αkimplies E[（Zk+1- M）+]≤ αk+1自[（Zk+1]-M） +]≤ E[（Zk-M） +]+E[Zk+1-[Zk]≤ αk+αk+1-αk=αk+1。然后我们可以移除约束E[（Zk+1-M）+]≤ αk+1，无需修改值函数。对于满足（29）的所有其他指标，重复相同的论点，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设，E[Z]- α<··<E[Zn]- αn.（30）然后我们需要证明∈F{E[M]：E[（Zk- M）+]≤ αk，k=1，n} =E[Zn]- αn.2。除去最后一个约束之外的所有约束，很容易看出这一点∈F{E[M]：E[（Zk- M）+]≤ αk，k=1，n}≥ E[Zn]- αn.为了完成证明，只需找到满足约束条件的M，即E[M]=E[Zn]- αn.3。如果E[Zn- Z]≥ αn，我们让*= max{i:E[Zn- [Zi]≥ αn}和m:=wZk*+ (1 - w） Zk*+1，w=E[Zk*+1] - E[Zn]+αnE[Zk*+1] - E[Zk*]∈ [0, 1].否则，让k*= 0和m:=Z- C、 C=αn- E[Zn- Z] 。通过构造，E[M]=E[Zn]- α与自M≤ Zn，也就是E[（Zn-M） +]=αn.要检查其他约束，请观察如果k≤ K*然后≥ 兹卡。s、所以E[（Zk- M） +]=0。另一方面，如果k>k*然后≤ 兹卡。s、所以由（30）E[（Zk- M）+]=E[Zk]- E[M]=E[Zk]- 参考文献[1]B.Bouchard，R.Elie和n.Touzi，可控损失的随机目标问题，暹罗控制与优化杂志，48（2009），第3123-3150页。[2] B.Bouchard，L.Moreau和M.Nutz，《受控损失随机目标博弈》，应用概率年鉴，即将出版。[3] B.Bouchard和T.N.Vu，P&L匹配问题的随机目标方法，运筹学数学，37（2012），第526-558页。[4] 博伊尔和W。

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