大蜱虫耦合回传扩散高频动力学建模

2022-5-5 03:06:50

建模大型蜱类资产的耦合收益-价差高频动力学吉安比亚吉奥·库拉托斯库拉（Pisa Normale Superiore）、意大利法布里齐奥·利洛斯库拉（ItalyFabrizio Lilloscoola Normale Superiore）、意大利巴勒莫大学（Universit’a di Palermo，Italy）金融与奇米卡（Dipartmento di Fisca e Chimica）2021年7月3日大规模蜱类资产，也就是说，如果一个勾号的变动是价格的一个重要组成部分，且买卖价差几乎总是等于一个勾号，那么资产就会表现出价格变化和价差强烈耦合的动态。我们介绍了一种价格变化的马尔可夫转换建模方法，其中潜在的马尔可夫过程是价差之间的转换。然后，我们使用logit回归对过去平方收益的有限马尔可夫混合来描述价格变化概率的依赖性。因此，该模型可视为双链马尔可夫模型。我们发现，该模型描述了不同时间的收益分布形状——聚集、波动性聚集和峰度收益的异常下降。我们在纳斯达克股票上校准了我们的模型，我们发现这个模型非常好地再现了真实数据的统计特性。关键词：大额交易资产、买卖价差动态、收益价差耦合、双链马尔可夫模型、马尔可夫链蒙特卡罗。1简介在金融市场中，订单价格不能采用任意值，但可以放在交易所确定的价值网格上。刻度大小是两个价格之间的最小间隔，即gr id步骤，以资产的货币计量。这是一项制度性的规定，并对具体的价格设定了限制。给定资产的网格是均匀的，刻度大小取决于价格。近年来，越来越多的人开始关注股票规模在决定收益率、利润率、限价订单等统计特性中的作用。

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能者818

2022-5-5 03:06:53

[14, 1 3, 8, 23, 15, 20, 11, 22, 43]. 绝对刻度大小并不是理解和描述价格高频动态的最佳指标。例如，考虑两支流动性很高的纳斯达克股票，namelyApple（AAPL）和微软（Microsoft）。对于这两种股票，刻度大小都是一个单位。然而，在本文调查期间（2009年7月和8月），AAPL的平均价格为157美元，而MSFT的平均价格为24美元。因此，AAPL的一美分价格变动相当于0.6个基点，而forMSFT则为4.2个基点。因此，我们可以预期AAPL的高频动态将与MSFT的高频动态显著不同。最近的文献引入了有效刻度大小的概念，以说明和量化给定刻度大小价值的资产回报和利差过程的不同行为。从定性上讲，当价格对单个刻度顺序的变化不敏感，且askspread的出价几乎总是等于一个刻度时，我们说一项资产的刻度很大。相反地，当价格对单个滴答声的顺序变化只有微弱的厌恶性时，资产是小滴答声的，买卖价差可以假定一个大范围的值，例如从一个图腾或多个滴答声[20,22]。《市场微观结构实证与理论》的几篇论文强调，大型和小型股票型资产属于不同的“类别”[19、23、24]。为小型tick资产设计的订单簿模型不能正确描述大型tick资产的动态【24】。此外，在这两个类别中，价格和订单的超高频统计规律是相当不同的。在本文中，我们感兴趣的是在超高频下对大型蜱类资产的动力学进行建模，并明确考虑价格的离散性。

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2022-5-5 03:06:57

更具体地说，我们介绍了一类模型，用于描述交易时间内大型tick资产的再交易和利差的耦合动力学。在我们的模型中，回报被定义为中间价变化，并以中间价变化的最小金额半勾为单位进行衡量。因此，这些模型是在离散状态空间[5,10]中定义的，时间演化是在离散时间中描述的。我们的目的是对价格动态进行建模，以便在不同的时间尺度上重现中等价格动态的统计特性，以及波动率聚类等程式化事实。请注意，我们没有考虑不可观测的有效价格，也没有将数据描述为由于勾号大小而产生的轮效应误差的影响，而是通过使用时间序列方法直接对可观测数量进行建模，如假设价格和中间价格。我们工作的动机来自两个有趣的经验观察。此后，我们将交易时间定义为执行市场订单所定义事件的整数计数器。请注意，如果一个市场订单针对多个订单执行，我们的时钟只会前进一个单位。有点滥用语言，我们可以互换使用退货和中间价变动-2-1 0 1 2价格变动（半滴答声）0.20.40.60.8k偶数-25-20-15-10-5价格变动（半滴答声）0.050.1k偶数图1：左侧面板显示了逐笔中间价格变动分布，r（t，t=1）=pm（t+1）- pm（t），而右边的面板显示了在128笔交易中的中间价格变化分布，r（t，t=128）=pm（t+128）- pm（t）。被调查的股票是微软。滞后（交易数量）-20-0.03-0.02-0.010.010.020.03图2：微软的滴答平方中间价变化的样本自相关函数。该图为对数刻度，红色虚线表示所考虑区域的自相关函数。

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kedemingshi

2022-5-5 03:07:00

估计指数γ=0.301。插图显示了小滞后值的行为。是的。首先，让我们考虑在不同的时间尺度上，中间价格变化的无条件分布。在图的左面板中。1我们展示了MSFT在下一个时间尺度（即两次交易之间）的中间价格变化直方图。很明显，大多数情况下，价格不会发生变化，而有时价格会变化一两个半滴答。当我们在一个较长的时间尺度上聚合收益时，例如128笔交易（参见图1的右面板），就会出现一个非平凡分布，即收益的奇数s在系统上少于偶数的分布。重要的是，如果我们假设单个交易的收益是独立的，且分布相同，我们将永远无法重现如图1右面板所示的直方图。事实上，在这种情况下，直方图将如预期的那样呈钟形。第二个观察与逐点收益的波动性有关。图2显示了平方收益的自相关函数，例如，如果我们在交易时间内对逐点mi d-价格变化的样本进行随机分析。在这里，平方收益率可以被视为波动率的简单代理。首先注意，对于小滞后，自相关是负的。然后达到10次交易的最大值，然后很低地衰减到零。我们观察到，在N10和500多个交易之间，自相关函数的衰减率由幂律函数corr很好地描述r（t），r（t+τ）~ τ-γ、以及估算的指数γ 0.3类似于在较低频率下观察到的结果，并通过实时采样而非交易时间观察到的结果。

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2022-5-5 03:07:03

因此，我们得出结论，在逐点的水平上也观察到了非常剧烈的波动性聚集，可能还有长期波动性。本文的目的是建立一个离散时间序列模型，能够同时解释和再现这两个经验观测，即不同时间尺度下价格变化分布的变化和波动率自相关的形状。作为一种建模方法，我们注意到，图1的观察表明，返回过程可以由不同的状态来表征，这些状态由订单动态中的一些变量定义，无论是否可观测。我们的建模方法背后的关键直觉是，对于大型tick资产，中间价和价差的动态是密切相关的，收益过程取决于spr-ead过程。条件规则描述了中间价格的随机运动和网格上的传播之间的联系。对于较大的tick资产，利差通常只假设很少的值。例如，对于MSFT，观察到的排列大小几乎总是1或2个刻度。如果我们观察到，当价差在时间上保持不变时，收益率只能假设为偶数，那么中间价动态的离散性可以与价差动态联系起来。相反，当排列发生变化时，返回值只能显示奇数值。图3显示了这两个过程之间的机械关系。因此，收益的动态性与价差转换的动态性相关联。这种关系引导我们设计模型，其中返回过程取决于两个后续扩散状态之间的转换，区分扩散保持不变的情况和扩散变化的情况。从方法论的角度来看，我们通过定义描述扩散转变的状态变量来实现这一点。

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2022-5-5 03:07:07

我们使用隐马尔科夫（Hidden Ma rkov）或马尔可夫转换（Markov Switching）模型[2,9]来描述收益，其中，利差转换由一个马尔可夫链来描述，该马尔可夫链定义了再转换过程的不同机制。马尔可夫转换方法能够描述价格变化分布形状的变化（图1），但不能描述波动的持续性。为此，我们提出了一个更复杂的模型，允许退货过程是一个回归过程，其中退货是四次退货的过去值[1,25,26,27]。我们展示了如何在rea ldata上校准模型，并在2009年7月至8月在纳斯达克市场交易的大型tick资产MSFT和CSCO上进行了测试。我们表明，完整的模型很好地再现了经验数据。本报告的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了马尔可夫转换模型在计量经济学领域的应用。在第3节中，我们将介绍我们的建模方法。在第4节中，我们介绍了MSFTIt的数据，值得注意的是，一般来说，舍入误差严重降低了随机过程的相关性，即使长记忆过程的赫斯特指数被保留[16]。因此，图2所示的自相关函数严重低估了不可观测有效价格的逐点波动性聚类。tt+1T+1T+1tick timemid price（t）mid price（t+1）常数展宽tt+1T+1tick timeVariable展宽图3：大型tick资产的展宽和回报的耦合。左边展示了当s（t）=s（t+1）=1时的三种可能的转换。在这种情况下，可能的价格变化是r（t）∈ (-2,0,2）（以1/2刻度大小测量）。在右边，我们展示了当s（t）=1和s（t+1）=2时的两种可能的跃迁。在这种情况下，价格变化的可能值为r（t）∈ (-1, 1).我们描述了观察到的价格动态的程式化事实。

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能者818

2022-5-5 03:07:10

在第5节中，我们描述了模型在真实数据上的校准，并讨论了不同的模型如何很好地再现典型事实。最后，在第6节中，我们得出了一些结论，并讨论了未来的工作。2.计量经济学中的马尔可夫转换模型综述马尔可夫转换模型（MS模型）在工业生产、利率、股票价格和失业率的非计量经济学研究中越来越流行[9,30]。它们也被称为隐马尔可夫模型（HMM）[2,33,34]，例如用于语音识别和DNA分析。在这些模型中，产生观测的分布取决于潜在和未观测到的马尔科夫过程的状态。他们为单变量和多变量时间序列建立了灵活的通用模型，尤其是离散变量序列，包括分类变量和计数序列[31]。马尔可夫切换模型属于一类一般的混合分布[30]。计量经济学家最初对这类分布感兴趣的基础是，他们能够灵活地近似密度函数的一般类，并生成比使用单一分布更大范围的偏度和峰度值。沿着这些思路，Granger和Orr[37]以及Clar k[38]将与时间无关的正态分布混合物视为建模非正态分布数据的方法。然而，这些模型没有捕捉到在许多经济时间序列中发现的条件方差中的时间依赖性，从Engle[9]开始的关于ARCH模型的大量文献可以证明这一点。通过允许混合概率显示时间依赖性，马尔可夫切换模型可以被视为原始时间无关的正态混合模型的自然推广。

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2022-5-5 03:07:13

Timmermann[32]已经表明，混合特性使它们能够产生广泛的偏度系数、峰度系数和序列相关性系数，即使是基于极少量的欠平衡状态。通过让序列的平均值、方差以及可能的动力学依赖于有限个离散状态的实现，经济时间序列中的状态可以用马尔可夫切换模型简洁地表示。基本的MS模型是：y（t）=uS（t）+σS（t）（t），（1）其中S（t）=1，2，··，k表示未被观察到的状态指标，遵循遍历的k状态马尔可夫过程，而（t）是一个随时间变化的零均值随机变量，即i.i.d.[39]。另一个相关模型是q阶的马尔可夫切换自回归模型（MSAR（q）），该模型允许独立于状态的自回归动力学：y（t）=uS（t）+qXj=1φjy（t）- j）- uS（t）-j）+ σS（t）（t）。（2）通过汉密尔顿[40]的工作，它在经济计量学中因分析GDP数据等经济时间序列而变得流行。在最一般的形式中，MSAR模型允许自回归系数也受S（t）[32]：y（t）=uS（t）+qXj=1φj，S（t）的影响- j）y（t）- j）- uS（t）-j）+ σS（t）（t）。（3） ARCH模型与ARCH模型有一个关键区别，ARCH模型是另一种与时间相关的混合过程。马尔可夫转换模型根据外生状态过程，混合了具有不同均值和波动性参数的有限个状态，而ARCH模型则混合了分布和波动性参数，这些参数是从滞后创新驱动的一组有限状态中提取出来的。当我们想对一个连续状态的随机变量y（t）建模时，我们可以利用上述模型。在我们的例子中，我们需要一个离散变量的模型，即微观结构市场环境中观察到的整数差数。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:07:16

因此，上述连续变量模型不能用于我们的问题。我们建议在双链马尔可夫模型（DCMM）[25,26]定义的环境中，对spr准备和价格差异的耦合动力学进行建模。这是HMM模型的自然扩展，以允许隐马尔可夫过程选择有限数量的马尔可夫链中的一个，从而在每个时间点驱动观察到的过程。如果时间序列可以分解为马尔可夫链的有限混合物，那么DCMM可以用来描述这些链之间的sw瘙痒过程。反过来，DCMM属于随机环境中的马尔可夫链家族[28,29]。在离散时间中，DCCM描述了两个随机变量的联合动力学：x（t），其在时间t的状态对于过程外部的观察者是未知的，以及y（t），其是可观察的。该模型由以下元素描述：o一组隐藏状态，S（x）={1，··，Nx}一组可能的输出，S（y）={1，·Ny}第一隐态的概率分布，π={π0,1，··，π0，Nx}隐态之间的转移矩阵，M={mij}，i，j∈ S（x）。o给定特定状态x（t），Vx（t）=k，ij，i，j，y（t）连续输出之间的一组转换矩阵∈ S（y），k∈ S（x）。有三个不同的估计问题：给定模式l的观测序列y（0），···，y（T）的概率估计；参数π，M，vk的估计引起一系列观测；在给定模型和输出序列的情况下，对最优隐状态序列的估计。相反，我们的数据，即限制或账簿数据，允许我们直接看到定义隐马尔可夫过程的过程，即扩散过程。

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2022-5-5 03:07:21

通过这种方式，我们可以通过一种简单的最大似然方法直接估计矩阵M和Vkb，而无需使用期望最大化（EM）算法和维特比算法，这通常在隐藏过程不可观测时使用[25,26]。我们使用过程x（t）的平稳概率分布作为初始概率分布π来进行计算和模拟。我们使用DCMM模型作为差价和差价过程的数学框架，而不将差价过程视为隐藏过程。在DCMM模型的少数金融应用中，我们提到了参考文献[35,36]。在前一篇论文中，作者研究了金融公司投资组合的信用评级动态，其中未被观察到的隐藏过程是整体经济的状态。相反，在Eisenkopf[36]中，作者考虑了一个问题，即信用评级过程受到未观察到的隐藏风险情况的影响。据我们所知，我们的论文是DCMM首次应用于市场微观结构和高频金融数据领域。3.扩散和回流耦合动力学模型在本节中，我们介绍了描述回流过程的模型r（t，t） =pm（t+（t）-时间尺度上的pm（t）t、其中，我们将中间价格定义为pm（t）=（pASK（t）+pBID（t））/2，并选择以半刻度大小为单位进行测量。在我们的模型中，retur n过程遵循不同的时间序列s过程，条件是扩散s（t）=pASK（t）的转换动力学-pBID（t）。在这里，我们将使用符号r（t）=r（t，t=1）。s pread变量s是以1个刻度为单位测量的，所以我们有r（t，（t）∈ Z和s（t）∈ N.时间变量∈ N是事务时间。3.1马尔可夫切换模型扩展过程。众所周知，传播过程在时间上是自相关的[42,4,7,18]。

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2022-5-5 03:07:25

我们将sprea d s（t）建模为一个平稳的Markov（1）[41]过程：P（s（t）=j|s（t）-1） =i，s（t）- 2） =k，··）=P（s（t）=j | s（t）- 1） =i=pij，（4）式中i，j∈ N是传播值。如上所述，我们将spre ad值集限制为∈ {1，2}，因为我们想描述大型tick资产的情况。我们还认为过程s（t）不受返回过程r（t）的影响。扩散过程由转移矩阵B描述=pppp其中规范化由Pj=1pij=1给出。平稳概率向量是B′相对于特征值1的特征向量π，即B′π=π，π=(1 - p） /（2）-P- p）（1）- p） /（2）-P- p）（5）其中B′表示矩阵B的转移。该向量表示s（t）的无条件概率，因此πk=P（s（t）=k），k=1，2。从s（t）过程开始，定义一个新的平稳马尔可夫（1）过程x（t）是有用的，它描述了当s（t+1）=1，s（t）=1，s（t）=1，如果s（t+1）=2，x（t）=2，s（t）=1，x（t）=3，如果s（t+1）=1，s（t）=2，x（t）=4，如果s（t+1）=2，s（t）=2。（6）这个过程用一个新的转移矩阵来描述=嗯嗯=pp0 00 pp0 00 pp其中，平稳向量由m′λ=λ，λ给出=（pp）/（1）-p+p）p（1）- p） /（1）- p+p）p（1）- p） /（1）- p+p）（1）- p）（1）-p） /（1）- p+p）. （7）极限情况是当扩散过程s（t）由伯努利过程描述时。在这种情况下，我们设置P（s（t）=1）=P。尽管s（t）是一个i.i.d。

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2022-5-5 03:07:28

在这一过程中，我们尝试了传播过程的其他具体情况，例如长记忆过程，但这并没有显著改变我们的结果。扩散转移过程xB（t）是一个马尔可夫过程，定义为：MB=p（1）- p） 00 p（1）- p） p（1）- p） 00 p（1）- p）, λB=pp（1）- p） p（1）- p）（1）- p）.在一般情况下，过程x（t）由两个参数p定义，p（在伯努利的情况下减少为p），我们可以从数据中估计。中等价格流程。我们现在可以定义returnsr（t）的马尔可夫转换过程，该过程以过程x（t）为条件，即扩展转换。回报率以半个刻度来衡量，我们限制可能的值tor（t）的集合∈ {-2.-1，0，1，2}，正如在我们的示例中所观察到的。价格网格的离散性要求机械结构x（t）=1-→ r（t）∈ {-2,0,2}，x（t）=2-→ r（t）∈ {-1,1}，x（t）=3-→ r（t）∈ {-1,1}，x（t）=4-→ r（t）∈ {-2, 0, 2}. （8）转换x（t）和中间价格变化r（t）的允许值之间的映射已通过使用图3所示的ca完成。这一假设是基于经验观察得出的，即中间价格变化| r（t）|>2对于大型股票资产来说是极其罕见的（见第4节）。在最简单的模型中，我们假设两个交易之间收益的概率分布仅取决于它们之间的价差转移。因此，我们可以确定收益过程中的以下条件概率：P（r（t）=±2 | x（t）=1；θ） =θ，P（r（t）=0 | x（t）=1；θ) = 1 - 2θ，P（r（t）=±1 | x（t）=2；θ） =1/2，P（r（t）=±1 | x（t）=3；θ） =1/2，P（r（t）=±2 | x（t）=4；θ） =θ，P（r（t）=0 | x（t）=4；θ) = 1 - 2θ. （9）注意，我们假设收益在正负值之间呈对称分布，θ=（θ，θ）′是我们可以从数据中估计的参数向量。

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2022-5-5 03:07:33

参数θ（θ）描述了当差价在一（两）个基点上保持不变时，中间价发生变化的概率。本文描述的利差和收益的耦合模型将被称为theMS模型。当我们考虑伯努利过程描述的特殊传播情况时，我们将其称为MSB模型。价格回报的性质。这里我们推导了矩和自相关函数corr（r（t），r（t+τ））≡ ζ（τ）和corrr（t），r（t+τ）≡ ρ（τ）在MS模型下。数量ζ（τ）有助于研究价格的统计效率，而ρ（τ）描述交易时间内的波动率聚集。我们首先计算条件一阶、二阶和四阶矩se[r（t）|x（t）=k]=m1，k，E的向量r（t）|x（t）=k= m2，k，Er（t）|x（t）=k= m4，k.（10）其中mj表示k-向量mj的第th分量。我们有m=0，m=（8θ，1，1，8θ）和m=（32θ，1，1，32θ）。然后，我们使用平稳向量λasE[r（t）]=Xk=1E[r（t）|x（t）=k]P[x（t）=k]=m′λ，E来计算无条件矩r（t）=Xk=1Er（t）|x（t）=kP[x（t）=k]=m′λ，Er（t）=Xk=1Er（t）|x（t）=kP[x（t）=k]=m′λ，var[r（t）]=m′λ- （m′λ），varr（t）= m′λ- （m′λ），（11）为了计算线性自相关函数ζ（τ），我们需要计算E[r（t）r（t+τ）]，通过使用r（t）与光谱x（t）的条件独立性。我们得到：E[r（t）r（t+τ）]=Xi=1Xj=1E[r（t）r（t+τ）|x（t）=i，x（t+τ）=j]P[x（t）=i，x（t+τ）=j=Xi=1Xj=1E[r（t）|x（t）=i]E[r（t+t） |x（t+τ）=j]P[x（t）=i，x（t+τ）=j]=Xi=1Xj=1m1，im1，jλiMτij=λ′MτM，（12）其中我们定义了矩阵∧=diag（m1,1，m1,2，m1,3，m1,4）。

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2022-5-5 03:07:36

收益率的自相关函数由ζ（τ）=λ′∧MτM给出- （m′λ）m′λ- （m′λ），（13）在我们的具体情况下ζ（τ）=0，因为系统导致m=0。我们还计算了平方返回ρ（τ）的自相关函数，它等于ρ（τ）=λ′∑MτM- （m′λ）m′λ- （m′λ），（14）其中我们定义了矩阵∑=diag（m2,1，m2,2，m2,3，m2,4）-2-1 0 1 2价格变化（半滴答声）0.20.40.60.8k evenk奇数-25-20-15-10-5价格变化（半滴答声）0.050.1k evenk奇数图4：在MSFT上校准的模拟ofMS模型的中间价格变化的无条件分布。le ft面板显示r（t，t=1）=pm（t+1）-pm（t），而右侧面板显示r（t，t=128）=pm（t+128）- pm（t）。正如所料，这两个相关函数都取决于转移概率矩阵M的幂。对于马尔可夫过程，M是可诊断的，我们可以写出Mτ=CMτDC-1，式中：MτD=00 00 00 01 00 0（p- p） τ, C=101P（p-1） 0 1p（p-1） 011P（p-1） p（p-1).在用伯努利过程描述扩展的极限情况下，矩阵MBis不可对角化，但其所有特征值都在R中，即sp（MB）=（0，0，0，1），我们可以计算其Jordan正则形式。因此，我们可以将滞后依赖性改写为MτB=EJτBE-1，地点：JB=0 1 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0, E=P- P 1.- PP-P-聚丙烯P- P-购买力平价-1p-P-聚丙烯.块状直径矩阵JB的结构意味着JτB=JB=0，τ ≥ ρ（τ）是τ的常数函数≥ 2.讨论。对实际数据和模型的定性比较表明，MS模型能够很好地再现收益率的分布。通过比较图1和图4可以看出这一点。值得注意的是，至少在定性上，伯努利模型也能够重新产生对r e匝数奇数值的低估，而不是对偶数值的低估，正如在实际数据中观察到的那样。

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2022-5-5 03:07:39

因此，它是扩散和返回的耦合，而不是扩散的记忆特性，这是图1中的聚集选通返回分布行为的原因。也有可能表明，该模型具有线性不相关的回报，正如在实际数据中观察到的那样，至少在很少的交易中是如此。然而，该模型未能描述波动率聚类。事实上，我们可以证明ρ（τ）是一个指数函数，exp(-aτ，其中a=-ln（p- p），即模式l描述了指数衰减的波动率聚类。如数据校准所示（见第5节和图5），MS模型下预测的ρ（τ）行为远小于真实数据中观察到的。因此，该模型不能产生波动率聚类以及任何长记忆性质。这种观察促使我们开发一个模型，该模型保留了迄今为止讨论的价差和收益之间耦合的结构，能够描述非指数波动性集群。该模型将在下一节中开发。3.2带有logit回归的双链马尔可夫模型马尔可夫转换模型无法解释图2所示的经验观测平方回归的相关性。因此，在第二类模型中，为了研究平方收益的相关性，我们考虑了收益的自回归切换模型[17,30]。其思想是对变量的过去值（即返回值和平方d返回值）使用logit回归，以减少高阶马尔科夫过程的参数数量。

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可人4

2022-5-5 03:07:42

因此，该模型由以下条件概率定义[6]：P（r（t）|x（t）=k，Ohm （t）-1) ; θk），k∈ {1, 2 , 3, 4}Ohm′（t）- 1) =r（t）- 1) , ..., r（t）- p），r（t）- 1) , ..., r（t）-（e）=Ohm′ROhm′Rθ′k=αk，β′k，γ′k, （15）其中，我们定义了一个信息（p+e）维回归向量Ohm, 由过去的e回报和p平方回报组成。每个参数向量θkis由标量αk组成，p维向量βkwhich描述对平方收益过去值的回归，e维向量γkwhich描述对过去收益的回归。为了处理收益的离散性，我们使用对数回归。在本系列中，我们将ESB转换为第一个二进制文件∈ {0, 1}. 当排列在t和t+1之间保持不变时（即x（t）=1或x（t）=4），我们设置r（t）=±2-→ b（t）=1r（t）=0-→ b（t）=0（16），而当排列变化时，（即x（t）=2或x（t）=3），我们设置r（t）=1-→ b（t）=1r（t）=-1.-→ b（t）=0（17），然后通过ηk（t）表示b（t）=1的条件概率，逻辑回归isP（b（t）|x（t）=k，Ohm （t）- 1) ; θk）=expb（t）Logηk（t）1- ηk（t）+ 日志（1）- ηk（t））ηk（t）=expαk+Ohm′r（t）- 1） βk+Ohm′r（t）- 1） γk1+ex pαk+Ohm′r（t）- 1） βk+Ohm′r（t）- 1） γk（18）我们最终通过以下方式获得r（t）的过程：P（r（t）=±2 | x（t）=1，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t）/2，P（r（t）=0 | x（t）=1，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t）P（r（t）=1 | x（t）=2，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t），P（r（t）=-1 | x（t）=2，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t），P（r（t）=1 | x（t）=3，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t），P（r（t）=-1 | x（t）=3，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t）。P（r（t）=±2 | x（t）=4，Ohm （t）- 1) ; θ） =η（t）/2，P（r（t）=0 | x（t）=4，Ohm （t）- 1) ; θ) = 1 - η（t），（19）这些方程定义了基因ral DCMM（e，p）模型。在本文的其余部分，我们将考虑e=0的情况，为了简单起见，我们将表示DCMM（p）=DCMM（0，p）。

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kedemingshi

2022-5-5 03:07:46

在我们的例子中，独立的潜在马尔科夫过程由转移过程x（t）表示，而独立的马尔科夫过程由r（t）过程表示。随机依赖的形式由式（19）中的罗吉特规则定义。为了清楚起见，这里我们考虑p=1的情况，而其对p的一般值的扩展在附录a中考虑。r（t）过程的定义∈ {-2.-1,0,1,2}和i，j∈ {1,2,3,4,5}，在p=1（DCMM（1））的情况下，p（r（t）=（3- j） |x（t）=k，r（t- 1) = ( 3 -i） )；θk）=Ak，ij。（20）对于k，我们有四个可能的转移矩阵Ax（t）=kF∈ {1,2,3,4}，由潜在过程sx（t）决定：Ax（t）=1=ηr（t）- 1) = 4/2 0 1 - ηr=40 ηr=4/2ηr（t）- 1) = 1/2 0 1 - ηr=10 ηr=1/2ηr（t）- 1) = 0/2 0 1 - ηr=00 ηr=0/2ηr（t）- 1) = 1/2 0 1 - ηr=10 ηr=1/2ηr（t）- 1) = 4/2 0 1 - ηr=40 ηr=4/2.Ax（t）=2=0 ηr（t）- 1) = 40 1 -ηr=40 ηr（t）- 1) = 10 1 -ηr=10 ηr（t）- 1) = 00 1 -ηr=00 ηr（t）- 1) = 10 1 -ηr=10 ηr（t）- 1) = 40 1 -ηr=4其中，我们仅在FirstColumn中指定了回归系数s的时间依赖性。其他两个矩阵具有相同的定义：A=A（η→ η） andA=A（η）→ η). 通过这种方式，假设潜在过程已经达到等式7中定义的平稳分布，我们可以通过描述r（t）过程的转移矩阵N来定义一个整体马尔科夫链：N=Xk=1λkAk。（21）矩阵N由6+4p参数定义：p，p，αk，β′k。r（t）过程的概率∈ {0,1,4}和i，j∈ {1,2,3}，在p=1（DCMM（1））的情况下r（t）=（3）- j） |x（t）=k，r（t- 1) = (3 - i） )；θk= Vx（t），ij。

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2022-5-5 03:07:49

（22）可以根据矩阵A的知识来计算。特别是，我们有四个可能的转移矩阵Vx（t）=k∈{1,2,3,4}，由潜在过程x（t）决定：Vx（t）=1=ηr（t）- 1) = 40 1 - ηr=4ηr（t）- 1) = 10 1 - ηr=1ηr（t）- 1) = 00 1 - ηr=0, Vx（t）=2=0 1 00 1 00 1 0.我们可以定义由过渡矩阵S描述的r（t）的整体马尔可夫过程，假设过渡过程x（t）已达到平稳分布：S=Xk=1λkVk。（23）矩阵S由4+2p参数定义：p，p，αk，β′k，其中k∈ {1, 4}.函数corrr（t），r（t+τ）= DCMM（1）过程的ρ（τ）是由S定义的马尔可夫（1）过程的相关性。我们求解S相对于特征值1的特征方程，以确定平稳概率向量ψ：S′ψ=ψ，（24）整个sp曲线由sp（S）=（0，1，e）给出，其中最后一个特征值为：e=-[(η(0) - η(4)) (1 -P- p+pp）+（η（0）- η（4））pp]p- p+1。（25）如果我们定义向量δ、δ和ξ，其中δi=（3-i），δ2，i=（3）-i） ξ=δ⊙ ψ，矩由E给出r（t）= δ′ψ，Er（t）= δ′ψ，Er（t）r（t+τ）= ξ′Sτδ。（26）最后，我们得到了p=1时ρ（τ）的表达式：ρ（τ）=ξ′Sτδ-δ′ψδ′ψ -δ′ψ. （27）将ρ（t）的计算推广到p阶的任何值，如附录A所述，以估计参数向量θ′=θ′, θ′, θ′, θ′我们最大化部分对数似然，L（θ）=TXt=p+1log“Xk=1P（x（t）=k|Ohm （t）-1) ; θk）P（b（t）|x（t）=k，Ohm （t）- 1) ; θk）#，（28）1 10lagτ（交易数量）-0.03-0.02-0.010.010.020.03Corr（r（t），r（t+τ））Corr MSBCorr MS（HMM）Corr DCMM（1）Corr DCMM（3）图5：平方收益的自相关函数ρ（τ）。黑色圆圈是MSFT资产的真实数据。

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2022-5-5 03:07:53

红色方块是MSBM模型的结果，绿色菱形表示MS模式l，蓝色三角形表示DCMM（1）模型，粉色三角形表示DCMM（3）模型，所有这些都在MSFT资产上校准。其中T是s sample的长度，我们假设参数pand pare已知。因为扩散跃迁的动力学独立于上一个信息集，即P（x（t）=k|Ohm （t）- 1) ; θk=P（x（t）=k，我们有（θ）=TXt=P+1log“Xk=1P（x（t）=k）P（b（t）|x（t）=k，Ohm （t）- 1) ; θk）#，（29）对于大的tick资产，它是λ≈ 1，我们可以使用近似值l（θ）≈TXt=p+1日志P（b（t）|x（t）=1，Ohm （t）-1) ; θ). （30）例如，对于MSFT，我们有λ≈ 0.9. 通过这种近似，我们只估计等式9中的向量θ和参数θ，这足以定义矩阵Vk。此外，我们可以近似地得到evx（t）=4≈2θ0 1 - 2θ2θ0 1 - 2θ2θ0 1 -2θ.这样我们就忽略了回归者的贡献Ohm （t）- 1）（由β加权）并利用等式9中的简单表达式，当x（t）=4时。如前所述，如果Vx（t）=4的权重可忽略，即λ，则该近似成立≈ 0，即当存在少量扩展跃迁s（t）=2时→ s（t+1）=2。这就是当我们拥有大量资产时的情况，我们几乎总是s（t）=1。以MSFT资产为例，我们有λ 0.04.资产活动#交易平均值（ticks/2）σ（ticks/2）除库尔特^πMSFT高184542-2.82* 10-40.6525.13 0.9242天低点3482538.96* 10-40.514 9.89 0.95CSCO高145084-1.32* 10-30.673 4.73 0.9242天低点275，879 1.44* 10-30.551 8.46 0.95表1：高交易活动和低交易活动两个子样本中MSFT和CSCO资产的汇总统计。σ是标准差和ex。

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可人4

2022-5-5 03:07:55

kurt是逐滴答返回的最大峰度，^π是传播等于一滴答的时间的分数。我们计算了p=1,3的平方转角的自相关系数ρ（τ），结果如图5所示。我们已经校准了MSFT资产上的参数（详见下一节）。我们注意到MS和MSB模型严重低估了ρ（τ）。注意，对于theMS模型，根据实际数据校准的ρ（τ）非常小，但不是理论预测的零。另一方面，DCMM（p）模型能够很好地拟合ρ（τ）直到滞后τ=p。值得注意的是，该模型也很好地捕捉了非常短滞后的负相关性。然而，这一观察结果表明，高阶DCMM（p）模式l可能能够更好地拟合真实数据。在接下来的章节中，我们将展示事实的确如此。4数据我们调查了两家股票，即na mely Microsoft（MSFT）和Cisco（CSCO），两家股票均于2009年7月至8月在纳斯达克市场交易，对应42个交易日。数据包含与订单执行、价格、交易量大小和交易方向相对应的时间戳。时间分辨率为一毫秒。在本文中，我们主要报告了MSFT资产的结果，这与CSCO的结果非常相似。在调查日内财务数据时，非统计数据可能非常重要。因此，为了将我们的实证分析限制在大致固定的时间间隔内，我们首先计算时间t的交易活动强度，条件是中间价格变化的特定值k，即p（t | r（t）=k）。如图6所示，无条件交易强度t（t）在一天中不是静止的[21]。和往常一样，交易活动在一天的开始和结束时都非常活跃。因此，我们放弃交易日第一和最后六分钟的交易数据。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:07:59

此外，图中还显示，这三种返回值的相对频率在一天中都会发生变化，但大于两个滴答声的返回值在一天中非常罕见。最重要的是，在一天的前半部分，一次或两次滴答的回报比零回报更频繁，而在大约10:30之后，情况正好相反。因此，我们将时间序列分为两个子样本。第一个样本对应于高交易强度的每iod，涵盖时间集t∈ (9 : 36, 10 : 30) ∪ （15:45，15:54），时间是在室内测量的。第二个样本对应于低交易强度，涵盖时间集t∈ [10 : 30, 15 : 45]. 表1报告了两个子样本的汇总统计。然后，我们分析了每一天的时间（小时）0.010.1p（t）p（t | ret（t）=0）p（t | ret（t）|ret（t）|=1）p（t | ret（t）|=2）p（t | ret（t）|>2）时间限制图6：交易发生时的无条件和条件概率分布。我们把数据分成6分钟的间隔。科尔r（t），r（t+τ）= ρ（τ）表示这两个级数。如图7所示，对于τ>5，两个时间序列都显示出显著的正相关和缓慢衰减的自相关，这是波动性聚集的定量表现。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:08:02

这些对应于低交易活动的系列显示出较小但非常持久的波动聚集。5模型的估计和与实际数据的比较我们已经估计了以秒为单位描述的模型。3.1和3.2，我们使用蒙特卡罗模拟生成了根据真实数据校准的人工时间序列。将这些时间序列的特性与realdata的特性进行了比较。更具体地说，我们考虑了三种模型：（i）MSB模型，其中传播由伯努利曲线描述，不存在logit回归；（ii）MS模型，当传播是马尔可夫（1）过程且不存在logitregres-sors时；（iii）DCMM（p）模型，其中利差是一个马尔可夫（1）过程，logit回归集仅包括平方收益的过去p值。因此，请注意，在最后一个模型中，我们将e设置为0。最后，我们分别估算了高活性和低活性状态下的模型。滞后τ（交易数量）-0.03-0.02-0.010.010.020.030.04ρ（τ）MSFT高ρ（τ）MSFT低。i、 d.炒作。图7:MSFT平方收益的样本自相关函数ρ（τ）。黑色圆圈表示高交易活动系列，红色方块表示低交易活动系列。虚线表示i.i.d.时间序列假设中的2σ置信区间。活动^π^p^p^θ^θ高9.17* 10-19.53* 10-15.22* 10-14.81* 10-21.51* 10-3低9.52* 10-19.72* 10-15.50* 10-12.85* 10-22.65* 10-4表2：MSFT资产的估计参数。5.1模型的估计从价差和收益数据中，我们计算了第节中定义的参数的估计量^π、^p、^p、^θ、^θ。3.1.

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kedemingshi

2022-5-5 03:08:05

它们由π=nNs，π=nijPj=1nij，θk给出=1.-n0kNk, （31）其中nis是s（t）=1的次数，Ns是s前时间序列的长度，nijis是价差i的值后面跟着值j的次数，N0是在制度x（t）=k中收益为零的次数，Nk是在制度x（t）=k中收益子序列的长度。对于最后的估计量^θkwe c count，只有零回报，因为我们假设回报在集合中对称分布(-2, 0, 2). 我们已经检查过，这个假设代表了我们数据集的一个很好的近似值。MSFT资产的估计参数如表2所示。为了估计DCMM（p）模型，我们需要估计向量θ。对于这两种情况，我们都使用了公式30的近似对数似然。错误z- 价值1-1.56* 10-19* 10-3.-18.4* **2.-4.03* 10-27.4* 10-3.-5.45* **3 2.18 * 10-27* 10-33.12* *4 4.58 * 10-26.9* 10-36.61* **5 7.13 * 10-26.8* 10-310.5* **6 7.59 * 10-26.8* 10-311.2* **7 5.94 * 10-26.9* 10-38.57* **8 6.06 * 10-26.9* 10-38.76* **9 5.94 * 10-26.9* 10-38.55* **10 5.58 * 10-27* 10-38.01* **11 5.69 * 10-26.9* 10-38.20* **12 4.14 * 10-27.1* 10-35.86* **13 5.79 * 10-26.9* 10-38.36* **14 5.17 * 10-27* 10-37.40* **15 4.18 * 10-27.1* 10-35.93* **16 3.76 * 10-27.1* 10-35.30* **17 4.86 * 10-27* 10-36.92* **18 5.11 * 10-27* 10-37.31* **19 3.52 * 10-27.1* 10-34.95* **20 2.96 * 10-27.2* 10-34.14* **21 3.92 * 10-27.1* 10-35.54* **22 2.51 * 10-27.2* 10-33.49* **23 2.70 * 10-27.2* 10-33.76* **24 3.50 * 10-27.1* 10-34.93* **25 2.32 * 10-27.2* 10-33.23* *表3：高活动状态下MSFT资产的估计参数。星星表示重要程度：***(0.001) , **(0.01) , *(0.05) , . (0.1) , (1).对于低波动率系列P（x（t）=1），我们有≈ 0.92，对于高挥发性，Yp（x（t）=1）≈ 0.87.

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2022-5-5 03:08:49

因此，我们只需要估计向量θ=α, β′通过标准的广义线性回归，我们使用迭代加权最小二乘法[6]。通过这种方式，我们以regimex（t）=1的形式生成收益序列，而对于其他制度，收益率遵循等式9中的规则，即我们使用估值器^θ。为了研究过去的平方收益对收益过程的影响，将模型的顺序固定为p=50。为了简单起见，我们在这里只报告高活动时间序列的结果。我们发现α=-2.921（0.019），我们在表3中给出了β1的前25个值。β1的估计值在i>2且i=50时具有显著性，i=36、37除外。此外，当i=6时，它们显示最大值。我们对这些参数进行幂律拟合，β1i∝ 我-α、我们发现一个显著的指数α=0.626（0.068）。我们假设β1i的这种函数依赖性可能与平方收益的自相关函数的缓慢衰减有关，但我们没有进一步研究这方面。5.2与实际数据的比较在根据实际数据估计了三个模型后，我们为每个模型生成了25个长度为10次观测的数据样本。通过这种方式，我们能够确定数量的经验统计误差，即10 20 30 4050 60τ（交易数量）－0.03-0.02-0.010.010.020.03真实数据DCMM（p=50）模型真实数据fit0 20 40τ（交易数量）－0.04-0.020.020.04真实数据DCCM（p=50）真实数据Fit图8：经验自相关函数r（t），r（t+τ）对于符合DCMM（50）模型的真实（黑色）和模拟（红色）数据。红方块是真实数据的幂律曲线。左面板指MSFT，右面板指CSCO。在这些艺术样本上测量。我们考虑了三个量与实际数据进行比较。

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2022-5-5 03:08:52

除了平方收益的自相关之外，为了分析不同交易时间尺度下的收益分布t、我们测量了经验标准差和exc ess峰度σ(（t）=Eh（（pm（t+（t）- pm（t））- E[pm（t+（t）- pm（t）]i1/2(32)κ (t） =Eh（pm（t+（t）- pm（t））- E[pm（t+（t）-pm（t）]iσ(（t）- 3（33）归一化标准偏差σN(t） =σ(（t）/√t给出了价格过程的不同特征的信息，因为σN(t）是持续不断的努力。κ的行为(t）作为t描述了收益分布向高斯分布的收敛[4]。我们首先研究平方收益ρ（τ）的自相关特性。对于MSB和MS模型，该函数与零兼容，但FirstLag除外，在FirstLag中，我们测量了显著的正值ρ（τ=1）≈ 0.01. 相反，带有Regressiono rs DCMM（p=50）的模型能够显著地再现ρ（τ）的值，直到τ=50，如图8所示，这两个值都适用于MSFTA和CSCO。ρ（τ）在τ周围的行为模型也很好地再现了0。该模型低估了τ>50的实际过程的自相关值，但它产生的值仍然显著为正。我们对re-al和DCMM（p=50）模拟数据进行了幂律拟合，得到了与τ对应的滞后值∈ [6, 50]. 对于实际数据，我们发现α=0.298（0.0 23），对于模拟数据，α=0.300（0.028）。由于α<1，该模型能够重新生成与模型p阶数相等的滞后sτ值的相关关系ρ（τ）的长记忆形状。然后，我们分析了分布特性，即归一化标准差σN(t）和exc e ss峭度κ(t）。

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2022-5-5 03:08:57

对于每个对于每个模型，我们计算25次模拟的平均值和标准偏差，并将模拟结果与实际数据进行比较（见图9）。这些模型明显不同。此外，MS和DCMM（p=50）模型比MSB模型更能再现σn的经验值。这个t（事务数）0.620.640.660.680.70.72真实数据MSBModelMS modelDCCM（p=50）模型t（交易数量）-2-1真实数据MSB模型MS模型DCCM（p=50）模型图9:L e ft.重新标度的波动率σN(t）在时间尺度上的聚集翻转t代表MSB（红线）、MS（绿线）和DCMM（p=50）（蓝线），而高波动性系列（黑线）的实际数据数量相同。正当过量峰度κ(t）在时间尺度上的累计重复次数t对于M SB（红线）、MS（绿线）、DCMM（p=50）（蓝线），与高挥发性系列（黑线）的稀土数据的相同数量进行比较。两个面板内的误差条是从相应模型的25个蒙特卡罗模拟中获得的标准偏差。MS和DCMM（p=50）模型之间的差异仅适用于以下情况：t>128，即。这两个模型的参数几乎相同。相反，过度峰度的行为在模型之间是不同的（参见图9的右面板）。MSB和MS模型的超额峰度符合幂律κ(（t）~ -α=0.901（0.027）（MSB）和α=0.997（0.052）（MS）。这些值与fvolatility的短期相关性一致。事实上，可以证明[4]具有短程自相关波动率的随机波动率模型的特征是α=1。相反，具有长期自相关波动率的随机波动率模型显示出较慢的衰减。这正是真实数据和CMM（p=50）模型观察到的结果。

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能者818

2022-5-5 03:09:00

在这两种情况下，我们都观察到峰度的异常标度，这与随机波动率模型更为一致，其中波动率是一个长记忆过程。6结论我们开发了马尔科夫转换模型，用于描述交易时间内大型股票资产的价差和收益的耦合动力学。潜在的马尔可夫过程是连续sprea d值之间的转换过程。通过这种方式，收益通过不同的过程来描述，取决于利差是恒定的还是不及时的。我们已经证明，这种机制是必要的，以便在不同的交易数量聚集情况下，模拟中间价格变化分布的不同形状。为了能够对持续的波动性聚类进行建模，我们引入了一个马尔可夫模型，该模型由过去的收益值和平方收益表示logit回归。我们在微软和Cisc o股票上校准了模型，通过使用蒙特卡罗模拟，我们发现该模型以定量的方式再现了显著的经验程式化事实。特别是，我们能够在不同的聚合、不相关回报、差异性、s四次回归的缓慢衰减自相关函数以及不同时间尺度上峰度的异常衰减（即收敛到高斯分布）下重现分布的形状。作为一种可能的扩展，我们观察到，如果我们想要更精确地重新生成平方收益的自相关函数，直到达到一定数量的滞后，我们需要估计一些参数，即模型的阶数，至少等于这个值。我们发现，这些参数与参数指数的幂律函数成比例，也就是说，它是定义回归系数的过去la G数量的函数。

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2022-5-5 03:09:03

该模型的一个可能改进是开发一个模型，在该模型中，我们直接估计一个带有少量参数的参数函数（例如幂律函数），它可以描述当我们考虑模型的特定顺序时，这些参数是如何缩放的。最后，我们注意到，我们已经在大型资产的情况下开发了这个模型，但这个局限性只是通过为价差和收益变量选择一组有限的值来重新呈现。原则上，任何类型资产的扩展都只能通过一个模型来表示，在这个模型中，我们可以有多个预测值，而不仅仅是1或2，以及一组更广泛的回报值。致谢我们要感谢Alessander o Profeti和Andrea Carlo Giuseppe Mennucci开发和支持计算机设施HAF92 2。sns用于执行数据分析和Montecarlo模拟，用R语言编写，本文对此进行了报道。作者承认grantSNS11LILLB“价格形成、代理人异质性和市场效率”的部分支持DCMM（p）模型的平方收益相关性r（t）过程的定义∈ {0,1,4}在DCMM模型的p的一般值的情况下，在公式19中报告。对于k[31]：p的每一个值，这个随机过程是一个稳定的马尔可夫过程r（t）=（3）-ip+1）|x（t）=k；r（t）- 1) = (3 - ip），··，r（t）- p） =（3）- i） )；θk= Vx（t）；二、ip+1，（34）我们有k∈ {1,2,3,4}和指数^i=（i，i，···，ip+1）的p+1维向量，其中每个指数可以假定值为il∈ {1,2,3}∈ {1,2，··，p+1}。我们强调指数ip+1定义了平方收益r（t）的当前值，而不是指数i，···，i定义了平方收益过程的过去历史，即定义了r=r（t）的最终值- p）。

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