具有长程相关性的连接函数和时间序列

2022-5-5 05:26:06

连词与长程依赖时间序列*和Anirban Chakraborti+Chaire definance quantitative，巴黎中央经济学院，92 295 Ch^atenay Malabry，法国（日期：2018年7月16日），我们回顾了自然科学和社会科学领域关于离散时间序列中时间依赖性和复发的观点。我们回顾了现有的研究，并用连接词（秩的联合定律）重新定义了相关的观察值。我们认为连接函数提供了一个合适的数学框架来研究非线性时间依赖性和相关概念，如余震、大森定律、复发、等待时间。我们还批判性地认为，使用这种全局方法，以前只涉及长程自相关函数的现象学尝试缺乏复杂性，因为它们本质上是单尺度的。PACS编号：05.45。Tp，02.50-r、 87.85。关键词：复发间隔，连接性，长期相关性，时间序列。导言彻底了解极端事件的发生和统计在地震活动、金融、天文学、生理学等领域至关重要[1,2]。每当一个解决的问题具有随机性时，对极端事件的分析都会起到关键作用，因为极端事件可能会产生相当强烈或持久的后果，这使得它具有广泛的用途。研究特定领域（如金融）中极端事件的一个理论动机是考虑观察到的股价对数收益率（偏离尾部正态分布）的fattails[3]。

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2022-5-5 05:26:09

一个更实际的动机是，极端事件，如“市场崩溃”或“冲击”，对投资者构成了巨大的风险，尽管这些事件很罕见，并且没有为可靠的统计分析提供足够的数据[4]。据观察，常见的金融冲击在波动幅度、持续时间和受影响的股票数量方面相对较小。然而，像“黑色星期一”这样的特大型和罕见的金融崩溃，有可能持续数月的重大“余震”。这一观察结果与地震后余震级联的“动态松弛”非常相似。因此，提出一个普遍的科学问题也很有意义：当一个“复杂”系统，如地震断层[5-12]或金融市场[13-17]发生极端事件时，该系统的动力学如何受到影响？极端事件之间重现期的统计是描述观测时间序列的时间尺度特性和估计地震或金融崩溃等危险事件风险的有力工具。在随机过程中估计极端事件的回归时间统计量是概率论中的经典问题之一。早些时候，根据对地震等待时间概率密度函数（PDF）的分析，Bak*雷米。chicheportiche@graduates.centraliens.net+阿尼尔班。chakraborti@ecp.fretal.[5]提出了一个统一的标度定律，将古腾堡-里克特定律、大森定律和分形分布定律结合在一个框架中。

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2022-5-5 05:26:12

科拉尔[18,19]后来扩展了这种全球方法，他提出了一个通用的标度律，用于给定区域内地震之间的PDF发生时间。这是有用的，因为由于标度特性，可以通过只研究频繁发生的小波动的行为来分析不同阈值的收益间隔统计数据，这些小波动的统计数据和可靠性要比极端大波动的统计数据和可靠性好得多。它还揭示了地震活动的时空组织，正如Saichev和Sornette[10]所建议的那样。在这篇文章中，我们回顾了地震等几个领域（自然科学）和金融市场（社会科学）关于离散时间序列的时间依赖性和重现性的观点。我们回顾了上述现有研究，并用数学语言“copulas”重新定义了相关观察值。我们提出，copulas是一个非常通用和合适的框架，用于研究非线性时间依赖性和相关概念，如余震、大森定律、复发、等待时间。我们的总体目标是研究复发时间的若干性质，以及用对角copula描述的其他观测值（等待时间、星团大小、记录、余震）的统计。我们希望这些研究能阐明该过程的n点性质。我们还批判性地认为，以前的现象学尝试只涉及长范围的关联函数，缺乏复杂性，因为它们本质上是单尺度的。作为研究随机变量之间的相关性（可能是高度非线性的）的工具，“copulas”，即秩的联合分布（见下文的正式定义），长期以来一直被用于精算科学和金融领域，通常从风险管理的角度来描述和建模资产的交叉依赖关系[20–22]。

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2022-5-5 05:26:15

尽管简单分析连接函数对多元依赖模型的广泛使用越来越受到批评[23,24]，连接函数仍然是研究多元数据经验性质的有用工具[24]。最近，还研究了单变量时间序列中的序列相关性，发现了另一个应用范围：just asPearson的ρ系数通常用于测量线性交叉相关性和时间相关性，连接函数设计得很好，可以横向或连续地评估非线性依赖关系[25–27]——在后一种情况下，我们将谈论“自连接函数”。我们考虑一个时间序列{Xt}t=1。。。Tof长度T，作为离散随机过程的实现。n次（1）的联合累积分布函数（CDF）≤ t<…<tn<T）的过程是，。。。，tn（x）=P[Xt<Xt，…，Xtn<Xtn]。（1）我们假设这个过程是平稳的，有一个分布F，和一个平移不变的联合分布F，具有长程依赖性，这是典型的情况。g、用于地震和金融数据。当Xtat date t的值超过阈值X（±）时，其实现将被称为“事件”：当Xt<X时，称为“负事件”(-), 当Xt>X（+）时为“正事件”。概率p-这种“负面事件”的定义是F（X）(-)),类似地，Xtis高于阈值x（+）的概率是尾部概率p+=1- F（X（+））。如果唯一阈值X（+）=X(-)如果选择了，那么显然p+=1-P-. 当分布为单侧时，这是合适的，通常仅适用于正信号，并且希望区分两种情况：极端事件（高于唯一阈值）和常规事件（低于阈值）。这种情况在图1（b）中示意性地示出。

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2022-5-5 05:26:18

当分布为双侧时，将X（+）定义为F的第q个分位数和X更方便(-)作为（1）-q） -th分位数，用于给定的nq∈ [1]，所以p+=p-= 1.- q、这允许研究有符号极端事件中的持续性和逆转效应，同时排除X之间的常规事件中性区(-)和X（+），参见图1（a），当重复出现的阈值定义为上述分位数（相对阈值）时，理论上不需要平稳性，但如前所述，在经验上需要很多平稳性，否则阈值的高度可能每次都会改变。相比之下，当阈值设置为一个数字（一个绝对阈值）时，在经验方面没有问题，但理论讨论只有在稳定的边际条件下才有意义。下一节回顾平稳过程的几个两点和许多点性质，并根据copula讨论相关的依赖度量。在第三节中，这一相当理论化的内容之后是对金融数据的应用。定义P+=1- qp-= 1.- qX(-)X（+）p+=1- qp-= qX(-)= X（+）（a）F（X（+））=1- F（X）(-)) = qp+=1- qp-= 1.- qX(-)X（+）p+=1- qp-= qX(-)= X（+）（b）F（X（+））=F（X(-)) = qFIG。1.事件的两种可能定义：p-和p+是极端概率（分别为负和正），或者只有p+是极端概率和p-= 1.-p+。在附录中回顾了连接函数的一些性质，并处理了具有长程相关性的高斯情况。二、离散时间过程中的依赖关系我们考虑定义（1）中的离散时间t等距（“定期采样”）的情况。A.两点依赖性度量平稳过程中依赖性的典型度量是只涉及一个参数的两点期望：分离时间点的滞后。

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2022-5-5 05:26:21

例如，线性相关函数ρ（`）=E[XtXt+`]的有用性- E[Xt]E[Xt+`]（2）植根于对高斯过程的分析，因为这些过程完全以协方差为特征，根据伊塞利定理，多线性相关性可简化为两点期望的所有组合。然而，一些非线性依赖关系，如示例[21,22]中的尾部依赖关系，并不是用简单的相关性来表示的，而是涉及整个二元copula：C`（u，v）=Ft，t+`（F）-1（u），F-1（v）），（3）式中（u，v）∈ [0, 1]. C`可以理解为边际秩U=F（Xt），V=F（Xt+`）的分布，并包含关于二元依赖的完整信息，该信息在边际值的递增变换下不变。例如，条件概率（+`）+=P[Xt+`>X（+）| Xt>X（+）]，（4）是“积极”事件持续性的度量，可以用连接词以及所有三个0来表示。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1ρ=0ρ=0.2ρ=0.4ρ=0.6ρ=0.8 p+-= P-+p++=p--（a）高斯copula0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1ρ=0ρ=0.2ρ=0.4ρ=0.6ρ=0.8 p+-= P-+p++=p--（b）学生连接词（ν=5）图2。条件概率p（`）对于ρ（`）的不同值，p（`）±，阈值为p+=p-= 1.- q、独立连接词以粗体红色显示。conditioningp（`）+=[2p]的其他情况+- 1+C`（1-p+，1-p+）/p+，（5a）p（`）--= C`（p-, P-)/P-, （5b）p（`）-+= [p]-- C`（p-, 1.-p+）/p-, （5c）p（`）+-= [p]-- C`（1）-p+，p-)]/p+（5d），其中p（`）和p（`）定义类似于等式（4），具有明显的不平等符号选择。当X（+）=X时(-)= 0和`=1，这正是Bogun\'a和Masoliver[28]的定义，因此p-= p+=F（0），参见图。1.

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2022-5-5 05:26:24

还要注意p（`）和p（`）直接与所谓的“尾部依赖系数”有关[29]。例如，考虑这对（Xt，Xt+`）的高斯二元copula，它的整个`-依赖性是线性相关系数ρ（`）。图2（a）示出了当p+=p时作为阈值函数的条件概率（5）-= 1.- q、图2（b）显示了Student copula的类似曲线图（其中，ν=5个自由度）：联合分布的胖尾导致了区域q=1中条件概率的异常行为。当nq=0.5时，对于任何椭圆copula[29]，系数（5）都等于+π弧ρ（`）。余震Somori定律描述了p（+）的依赖性，即主事件后事件发生的平均频率。这是在地震发生的背景下首次提出的[30]，这一时间依赖于幂律：p（+`）+=λ·`-α. （6）注意，根据该描述，对阈值的任何依赖必须以λ为单位。这些余震的平均累积次数N，直到`为thushN`i+=λ·`1-α1-α、（7）实际上是λ≡ p+自，何时α→ 0，N`不依赖时间，也就是说，它统计独立事件（白噪声），因此p（`）+必须趋向于无条件概率。为了给这一后来在金融[15,31]中观察到的经验定律提供现象学依据，Lilloand Mantegna[32]将金融市场中的余震波动率建模为衰减尺度σ（`）乘以独立随机振幅r`和CDFφ。

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2022-5-5 05:26:27

作为序列，p（`）++~ 1.- φ（X（+）/σ（`））和大森定律的幂律行为来自（i）幂律边际φ（r）~ R-γ、（ii）标度衰减为幂律σ（t）~ T-β、所以关系式（6）可以用α=βγ来恢复。σ所描述的非平稳性仅在条件意义下引入，可能适用于agingsystems或金融市场，但我们认为，Omori’slaw可以在平稳环境下进行解释，且不一定具有幂律分布振幅。p（+`）+与主震震级的标度编码在前置因子λ中≡ 例如，p+解释了地震的指数分布震级（古腾堡-里克特定律[33]）。p（`）+对p+的线性依赖性应反映在基础copula的对角线上：C`（p，p）=p`-α、（8）可以通过经验检验的预测。注意，Omori定律是一个只涉及两点概率的度量。在下一小节中，我们将展示多点概率可以反映哪些附加信息。B.多点相关性测量尽管高斯过程的n点预期降低为2点预期的所有组合（2），但其完全相关性结构不可降低为二元分布，除非过程也是马尔科夫分布（即仅在指数相关的特殊情况下）。此外，当过程不是高斯分布时，即使是多重线性关联也是不可约的。在一般情况下，需要整个多元CDF，但我们下面介绍的许多依赖性度量涉及对角n点copula:[34]Cn（p）=Ft+[[1，n]]（F）-1（p），F-1（p）），（9）测量所有n≥ 1个连续变量Xt+1，Xt+nare低于平稳分布的第p个分位数上限（p∈ [0,1]，t+[1,n]]是{t+1，…，t+n}的简写。

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何人来此

2022-5-5 05:26:30

显然，C（p）=p，我们通过约定C（p）设定≡ 1.根据经验，n点概率很难测量，因为与此类联合事件相关的噪音很大。然而，存在嵌入许多点属性且更容易测量的可观测值，例如阈值事件序列（簇）的长度，以及我们接下来研究的此类事件的重复时间。重复间隔观察两个事件之间重复间隔τ的概率π（τ）是观察τ序列的条件概率- 1“非事件”以两个事件为边界：π（τ）=P[X（+）0；τ| X>X（+）]，（10）其中X（+）t；τ≡Xt+[[1，τ[<X（+），Xt+τ>X（+）（11）指定一系列“非事件”，从t开始，在t+τ处以“正事件”结束。（我们关注积极事件，但消极事件的复发可以用替代X研究。）→ -十、以及用替换X的振幅重复出现的情况→|X |）。经过简单的代数变换，将所有“>”符号转换为“<”，它可以用大众语言写成：π（τ）=Cτ-1(1-p+）- 2cτ（1）-p++Cτ+1（1）-p+，p+。（12）累积分布∏（τ）=τXn=1π（n）=1-Cτ（1）-p+）- Cτ+1（1-p+，p+（13）更适合用于实验目的，对噪音不太敏感。

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大多数88

2022-5-5 05:26:34

这些精确表达式几乎直接从定义上表明：（i）重现时间的分布仅取决于基本过程的连接，而不取决于平稳规律，尤其是其域或尾部（这是因为我们将阈值相对定义为分位数）；（ii）在复发的统计中，非线性相关性是高度相关的，因此在一般情况下，线性相关性决不能单独解释π（τ）的性质；（iii）重复间隔有一个很长的记忆，这是由（τ+1）-点所涉及的copula所揭示的，因此，只有当潜在的过程Xtis Markovian时，重复本身才是无记忆的。[35]因此，当copula已知时（对于高斯过程，附录中的等式（A1）），重现时间的分布由等式（12）中的精确表达式表征。平均重现时间可直接通过求级数μπ=hτi求和得到=∞Xτ=1τπ（τ）=p+，（14），无论依赖结构如何，它都是普适的。这一结果由科航以类似的方式首次陈述和证明[36]。这是直观的，因为对于给定的阈值，整个时间序列是固定数量的p+T重复序列的序列，其长度τ不一定等于总大小T，因此hτi=πτi/（p+T）=1/p+。注意eq。（14）假设可能的滞后τ有一个有限的范围，这可以通过具有一个固定的长时间序列来实现，或者更实际地说，当平移不变copula在时间序列的边界处是周期性的时，这是使用数值傅里叶变换方法模拟的艺术数据的典型情况。引入copula可以强调语句的有效性，即使在存在非线性长期依赖的情况下也是如此。

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2022-5-5 05:26:37

（14）这意味着平均电流间隔与copula无关。更一般地，也可以通过求τmπ（τ）和τ：hτmi=1来计算m阶矩+∞Pτ=1[|τ+1 | m- 2τm+|τ-1 | m]Cτ（1）-p+，p+。特别是，分布的方差为σπ≡ hτi- π=p+∞Xτ=1Cτ（1）-p+）-1.-p+p+，（15）与平均值相比，它不是通用的，可以与平均无条件等待时间相关，见下文。注意，在独立情况下，方差σπ=（1-由于离散效应，p+/p+不等于平均μπ=1/p+，连续时间泊松过程也是如此。值得注意的是，重现时间分布（13）的主要成分是copula（即序列依赖结构），而不是平稳分布F，Olla[37]已经指出了这一点，但当前的描述强调了这一点。对过程极端统计的敏感性实际上隐藏在inp+中，但更重要的是（可能是多尺度）依赖结构Cτ。条件复发间隔，聚集复发时间的动力学与它们的统计特性一样重要，事实上影响后者的经验确定。[38]现在，无论是从经验证据还是从公式（12）的讨论中，都可以清楚地看出，复发间隔具有长期记忆性。从动态的角度来看，这意味着它们的事件表现出一定的聚集性。自然的问题是：“根据观察到的复发时间，下一次复发的概率分布是什么？”在观察到的复发时间τisP[X（+）τ；τ| X（+）0；τ，X>X（+）]之后立即观察到间隔τ的概率。（16）同样，将“>”调整为“<”可以将其分解为asCτ-1.τ-1.- Cτ；τ-1.- Cτ-1.τ+Cτ；τCτ-1.- 2Cτ+Cτ+1-π（τ+τ）π（τ），其中（τ+τ）-点概率τ；τ（p）=F[[0；τ+τ]]\\{τ}（F-1（p），F-1（p））出现了。

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2022-5-5 05:26:41

当然，这个精确的表达式没有实际用途，同样是因为没有希望以有意义的信噪比经验测量极值事件的任何多点概率。我们想强调的是，非线性相关性和多点依赖性是相关的，基于重复间隔的自相关性对聚类进行描述是对现实的一种过于简单的看法。等待时间——下一个事件的条件平均剩余时间，当在一个（正）事件后的τ时间步长为ishw |τi时=∞Xw=1wπ（τ+w）=p+Cτ（1）-p+。（17）人们通常更关心无条件等待时间，这相当于询问从现在开始的一系列“非事件”的大小，不管之前发生了什么。这些等待时间的分布φ（w）=P[X（+）0；w+1]等于φ（w）=Cw（1）-p+）- Cw+1（1）-p+，（18），其期望值为|φ=hwi=∞Xw=1Cw（1-p+，（19）与公式（17）中所有可能经过的时间内平均Hw |τi得到的结果一致。弗罗梅克。（15），我们在重复间隔分布π的方差和平均等待时间之间有以下关系：∑π=μπ2uφ+ 1- μπ（20）π+（τ）hτi+φ+（w）hwi+ψ-（n） hni-R（t）（1）-q） qτ-11-问题（1）-q） qwq1-qq（1）-q） n-1QT表I.引入了不同的概率，阈值定义为F（X（+））=q=1- F（X）(-)), 对于白噪音过程。序列长度序列大小的分布也揭示了过程中的序列依赖性。在“非事件”之后开始的连续负事件序列[39]大小为n的概率为ψ（n）=Cn（p-) - 2 Cn+1（p-) + Cn+2（p-)P-(1 - P-)（21）一个随机序列的平均长度μψ=hni=∞Xn=1nψ（n）=1- P-（22）是普遍的，就像平均复发时间一样。

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2022-5-5 05:26:44

该属性排除了Bogun\'a和Masoliver[28]的分析，他们声称能够根据平均序列大小区分过程中的依赖关系。记录统计我们通过提到对角点copula Cn也可以理解为Xin a行n个实现的最大值的分布，来总结关于多点非线性依赖关系的这一理论部分最大τ≤n{Xτ}<F-1（p）= PX[[1，n]]<F-1（p）等于Cn（p）。因此，研究短序列中这种“局部”极大值的统计信息（参见[40]）可以提供有关基础过程多点特性的信息。运行最大值的CDF（或记录）为Ct（F（x）），t>1将成为破纪录时间的概率为联合概率r（t）=P{max}X<τ,这与边际法则无关！三、财务自相关函数说明了上述每日指数收益序列中引入的一些数量。选项卡中总结了所用时间序列的属性。二、股票指数国家自至TS&P-500美国1970年1月2日2011年12月23日10 615KOSPI-200韩国2011年1月3日1990年12月26日5 843CAC-40法国1987年12月23日2011年6 182DAX-30德国1970年1月2日2011年12月23日10 564SMI-20瑞士1988年12月23日5 902表二。所用数据集的描述：国际股票指数日收盘价回报率的时间序列。A.条件概率和2点相关性我们重现了Bogun\'A和Masoliver[28]对价格变化统计的研究，有条件地基于之前的回报符号，并将分析扩展到任何阈值| X（±）|≥ 0和远程滞后。除了表中列出的五种股票指数的时间序列。二、我们来看看[41]中的脑电图（EEG）数据。我们首先在图上说明。

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2022-5-5 05:26:47

3条件概率p（`）±（填充符号）和p（`）（空符号）具有可变阈值q=F（X（+））=1- F（X）(-)), 对于`=1。为了研究与独立情况的偏离，可以更方便地减去白噪声的贡献，以获得相应的超额概率。首先，EEG数据，如图3（f）所示，呈现出非常强的对称持续性；另一侧的反转因极端事件（如WN）而关闭，中间值的反转比WN更受抑制。在与财务指数相关的曲线图中，可以立即观察到几个特征：正事件（向上三角形）触发的后续正（填充）事件多于负（空）事件；负事件（向下三角形）触发的后续负（填充）事件多于正（空）事件，但在远尾q&0.9中，负事件后的逆转比持续性更强。这两种影响都主导着WN基准，但后一种影响要强烈得多。对于所有研究的股票指数的收益时间序列来说，这种整体行为是相似的。p±和p±的形状与q不符合分别以虚线和虚线显示的学生copula基准（相关性ρ=0.05和d.o.f.ν=5）。请注意，由于其非平凡的尾部相关性，请参见。[24]Student copula确实产生了与WN有关的更高的持续性，在核心部分产生了更低的反转，在尾部产生了更高的反转。但从经验上看，这种逆转是不对称的，通常在消极事件而不是积极事件的情况下更强，这一特性让人想起杠杆效应，而这一效应不能用纯（对称）学生copula来解释。一些指数表现出更明显的逆转和持续性效应。有趣的是，CAC-40的回报率为0.5≤ Q

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2022-5-5 05:26:51

0.9接近白噪声（尤其是p（1）±=p（1）±在q=0.5时非常接近于0，显示出一种有效的条件作用，即在正或负回报之后立即出现任何正和负回报），但极端正事件q&0.9表现出非常强的持续性，极端负事件表现出非常强的逆转。Chichepatiche和Bouchaud[42]详细研究了[C]（p，p）的p-和`-依赖性- p] 和[C`（p，1-p）- p（1）-p） ]-与top（`）和p（`）直接相关, 分别——发现股票收益率的自copula可以通过具有对数衰减相关性的对数正态波动率进行高精度建模，与多重分形波动率模型一致。我们在图4中概述了2000-2004年标准普尔500指数所有股票的聚合copula结果。对于不同的q，可以精确地显示基础过程（在[43]中讨论）中存在的每种依赖性如何在p（+）中反映自身：短范围线性反相关解释了中心部分（p≈ 0.5）与WN预测不同，长程振幅聚类是“M”和“W”形状的原因，显示了过度的持续性和抑制的逆转，杠杆效应可以在“M”和“W”的不对称高度观察到。B.重复间隔和多点依赖七迄今为止研究的简单两点自依性度量表明，非线性和多重标度是在试图描述金融时间序列时必须考虑的两个因素；现在我们来研究它们的多点性质。作为一个例子，我们计算了高于阈值X（+）=F的回报的重复次数分布-1(1-p+。无花果

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2022-5-5 05:26:55

5显示了尾部累积分布1- DAX收益的重复间隔∏（τ），在几个重复间隔p+=1/hτi时——其他指数的分布非常相似。在使用的对数-对数表示法中，指数分布（对应于独立收益）将是凹的并迅速下降，而幂律将线性衰减。经验分布两者都不符合，Ludescher等人[44]提出了形式1的参数分布- π（τ）=[1+b（a-1) τ](2-a） /（a）-1). （23）然而，在X（+）和F处阈值的尾部区域存在重要偏差-1（0.9），即hτi和1/（1）- 0.9）=10：因此，不同阈值的曲线在适当的重新缩放[45]后不可能塌陷到单一曲线上，例如地震数据。π（τ）形式的更基本的确定应该依赖于等式（13）和τ-点连接的特征。与重复间隔的统计类似，必须仔细研究其动力学。我们已经证明，在前一次复发之后，复发间隔的条件分布非常复杂，并且涉及到-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.80.6 0.6 0.8 1SP500（a）SP500-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1KOSPI（b）KOSPI-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1CAC（c）CAC-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1最大（d）DAX-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1SMI（e）SMI-0.4-0.20.0 0.2 0.4 0.6qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1EEG（f）EEGFIG。3.`=1时的条件极端概率（WN贡献已被减去）。填充符号表示持久性，空符号表示恢复。

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2022-5-5 05:26:58

向上的三角形以正跳跃为条件，向下的三角形以负跳跃为条件。长期非线性依赖性，因此，对复发时间自相关的简单评估可能不足以深入了解相关机制。四、讨论。条件性预期短降除了关注条件性事件的频率外，人们还可以尝试描述它们的大小。当然，这不再适用于连接函数（即“计算”联合事件）的框架，而是可以通过预期短缺（或尾部条件预期）的多变量泛化进行量化。对于一个带有cdf的单随机变量，预期短缺是在大事件条件下的平均损失：ES（p-) = E[Xt | Xt<X(-)]=P-采埃孚-1（p-)-∞x dF（x）=p-Zp-F-1（p）dp同样，对于二元分布，定义了前一个收益‘符号’上有条件的平均收益：hXi（`）-= E[Xt | Xt-`< X(-)] （24a）hXi（`）+=E[Xt|Xt-`> X（+）]。（24b）以高斯双变量对（Xt，Xt+`）为例，它的整个`-依赖关系是线性相关系数ρ（`）。图6显示了可通过等式精确计算的条件预期短缺。（24），并与反磨机比成正比：hXi±=±ρ（`）Φ（X（±））p±，其中Φ表示单变量标准正态分布的CDF。这种高斯预测将与一系列股票指数回报率的相同数量的实证评估进行比较。图7显示了Hxi±相对于q的行为（我们还显示了对应于一天（`=1）、一周（`=5）和一个月（`=20）的中值med（X）±）。条件振幅Xi±衡量在给定阈值下事件发生后实现的平均“大小”，而条件概率p±±和p±量化重复发生此类事件的“频率”。

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2022-5-5 05:27:02

注意无条件的平均值和中值，它们都在零以上，并且彼此不同。在`=1时，极端事件的逆转再次通过q的单调性变化来揭示≈ 0.8开，q>0.9时更强烈，其中-0.010-0.005 0.000 0.005 0.010t=10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.010-0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.81.0u-0.010-0.005 0.000 0.005 0.010t=10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.010-0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.81.0uFIG。4.来源于[42]。对于滞后`=1和`=128，自连接词的对角线（顶部）和反对角线（底部）；乘积copula已被减去。根据股票收益率经验确定的copula以粗体黑色显示，而[42]模型的fit以细红色显示。hXi-与上一个报税表的符号相反；这证实了对上述条件概率的观察。第二天之后，总体情况是，依赖关系趋于消失，经验测量更集中于WN预测。然而，尾部效应强烈存在，与“=1”的典型行为相反的是，每周、每月都会出现极端正跳的逆转。请参见标题，以了解每个滞后时间的每个股票指数的具体讨论。B

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2022-5-5 05:27:05

结论根据对角连接词的描述，我们报告了复发时间的若干性质和其他观测值（等待时间、集群大小、记录、余震）的统计，并希望这些研究能够通过评估简单变量的统计信息，而不是假定一种先验的依赖结构，来阐明过程的n点性质。平均递推区间的精确普适性在系统中构成了一个自然尺度。只有在没有任何其他特征时间的情况下，才有可能出现此类复发分布的标度关系。与地震震级的时间序列相比，当存在此类传统特征时间时（通常为非线性相关），预计不会出现此类标度。我们还强调，复发本质上是多点对象，与1 5 10 50 100 5001e中的非线性依赖相关-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+001- Π(τ) =1+b（a）- 1) τ-2.-aa-1τ τ τ τ τ τ τ τ = 2 = 3 = 5 = 10 = 20 = 50 = 1002 5 10 20 50 1000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 τ ab1 5 10 50 100 5001e-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+001- Π(τ) =1+b（a）- 1) τ-2.-aa-1τ τ τ τ τ τ τ τ = 2 = 3 = 5 = 10 = 20 = 50 = 1002 5 10 20 50 1000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 τ 阿布菲格。5、DAX指数返回。顶部：尾部概率1- 在对数标度中，在几个阈值p+=1/hτi时，重复间隔的∏（τ）。灰色曲线最符合参考文献[44]中的公式（23）。底部：最佳时间序列的估计参数a和b。因此，它们的自相关性并不是其动力学的可靠度量，因为它们的条件发生概率与历史有很大的依赖性。最终，复发可能会被用来以一种新的方式描述风险。

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2022-5-5 05:27:08

人们应该能够从动力学的角度来描述风险，而不是——或者除了——关注给定视界上不利事件的幅度和概率。从这个意义上说，如果一个资产的不良事件复发率分布如此之大，且其“不良”性质不可共享，则可以说该资产比另一个资产“风险更大”。这相当于用“何时”来描述这种无用性除了通常的“频率”之外，预计还会发生冲击还有“多大？”。研究连续时间过程中的许多点依赖关系将是有趣的，其中-0.50.0 0.5q1 0.80.6 0.6 0.8 1ρ=0ρ=0.05ρ=0.1ρ=0.2ρ=0.3E[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q）图6。对于ρ（`）的不同值，高斯对（X，X`）的条件预期短缺。q=0.5isp2/πρ（`）时的值。n点copula是通过一个计数过程来实现的。要计数的事件既可以由一个超过阈值的潜在连续过程触发，也可以更直接地建模为一个自激点过程，如霍克斯过程。典型的财务应用程序可以在限额订单簿中的交易时间中找到。感谢F.Abergel、D.Challet和G.Tilak的讨论和评论。R.C.感谢巴黎资本基金管理公司的财务支持。附录A：简单copulas和Sklar定理Sklar定理[46]指出，任何多元分布F[[1，n]]（x，…，xn）都可以用单变量边际分布函数Fi（xi）（i=1，…，n）和[0，1]上的“copula”函数C（u，…，un）来表示，通过定义，它表征了变量之间的依赖结构。在实践中，通过为每个变量i设置ui=Fi（xi）来实现群体的构建。

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2022-5-5 05:27:11

（3）对于二元分布，可以直接推广（n点copula的对角线见等式（9））。例如，高斯对角copula isCn（p）=ΦρΦ-1（p），Φ-1（p）（A1）在哪里-1是一元逆CDF，Φρ表示具有（n×n）协方差矩阵ρ的多元CDF，即具有对称项ρtt=ρ（|T）的Toeplitz- t |），t，t=1，n、（A2）白噪声（WN）乘积copula Cn（p）=pn在消失相关ρ（`）=δ`0的极限下恢复，其他示例包括指数相关马尔可夫高斯噪声、对数相关多重分形高斯噪声和幂律相关（因此无标度）分数高斯噪声。图8显示了Cn（p+=0.7）与n在不同的Hurstindices H=0.5、0.7、0.9时的对比。由于数值限制，此处无法显示大n的渐近行为，但小n特性更适合描述短时条件动力学。[1] S.Kotz和S.Nadarajah，《极值分布》（帝国理工学院出版社，伦敦，2000年）。[2] P.Embrechts、C.Kl–uppelberg和T.Mikosch，《极端事件建模：用于保险和金融》（Springer Verlag，柏林，1997）。[3] A.查克拉博蒂、I.穆尼·托克、M.帕特里亚卡和F。阿伯格尔，《定量金融》第11991页（2011年）。[4] M.Politi，N.Millot和A.Chakraborti，Physica A：统计力学及其应用391147（2012）。[5] P.Bak、K.Christensen、L.Danon和T.Scanlon，《物理评论快报》88178501（2002）。[6] A.Bunde，J.F.Eichner，S.Havlin和J.W.Kantelhardt，《物理学A：统计力学及其应用》330，1（2003）。[7] A.Corral，《物理评论快报》928501（2004年）。[8] G.Molchan，《纯粹与应用地球物理学》1621135（2005）。[9] 例如，阿尔特曼和H.坎茨，《物理评论》E 71056106（2005）。[10] A.萨切夫和D。

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2022-5-5 05:27:14

索内特，《地球物理研究杂志：固体地球》（1978-2012）112（2007）。[11] D.Sornette、S.Utkin和A.Saichev，《物理评论》77066109（2008）。[12] R.Blender，K.Fraedrich和F.Sienz，《地球物理学中的非线性过程》15，557（2008）。[13] 山崎骏、L·穆奇尼克、S·哈夫林、A·邦德和H。E.Stanley，《美利坚合众国国家科学院院刊》1029424（2005）。[14] 王菲、山崎骏、S·哈夫林和H·E·斯坦利，《物理评论》E 736117（2006）。[15] P.韦伯、F.王、I.沃登斯卡·奇库舍夫、S.哈夫林、，-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=1-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=5-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=20（a）SP500-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=1-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=5-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） [l=20（b）KOSPIFIG。7.条件极端振幅，滞后`=1,5,20。右上和左下象限表示持续性，而左上和右下象限表示逆转。对于无标度依赖结构，我们可以预期其强度会随着滞后而降低，但整体形状会保持不变。相反，我们观察到的是不同滞后时的重要结构变化：例如，`=1时负尾事件的强烈逆转在更长的滞后时消失，甚至转化为CAC和DAX指数的强持续性。这就是说，这些指数往往意味着在非负性事件后以每日频率恢复，但在每周范围内呈趋势。

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2022-5-5 05:27:17

类似地，对于欧洲指数（CAC，DAX），在`=1时持续出现的积极事件转化为在`=20时尾部出现的强烈逆转；在大多数指数（包括美国和韩国）的中间量表（`=5）上观察到较弱的回归。和H.E.Stanley，Physical Review E 766109（2007年）。[16] N.Sazuka，J.-I.Inoue和E.Scalas，Physica A:统计力学及其应用3882839（2009）。[17] 任志强和周文星，新物理杂志125030（2010）。[18] A.Corral，《物理评论》E 68035102（2003）。[19] \'A.Corral，Physica A：统计力学及其应用340590（2004）。[20] P.Embrechts、F.Lindskog和A.McNeil，《金融中重尾分布手册》8329（2003）。[21]P.Embrechts，A.J.McNeil和D.Straumann，“风险管理中的相关性和依赖性：财产和陷阱”，《风险管理：风险价值及其超越》（剑桥大学出版社，剑桥，2002）第176-223页。[22]Y.Malevergne和D.Sornette，《极端金融风险：从依赖到风险管理》（Springer Verlag，柏林-海德堡-纽约，2006年）。[23]T.Mikosch，极限9,3（2006年）。[24]R.Chichepatiche和J.-P.Bouchaud，《国际理论与应用金融杂志》第15期（2012年）。[25]B.K.Beare，《计量经济学》78395（2010）。[26]R.Ibragimov和G.Lentzas，“Copulas和长记忆”（2008），哈佛经济研究所讨论论文。[27]A.J.巴顿，《金融时间序列手册》，767（2009）。[28]M.Bogun\'a和J.Masoliver，欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统40347（2004）。[29]R.Chicheportiche，金融学中的非线性依赖，博士论文，`Ecole Centrale Paris（2013）。[30]F.Omori，《科学院学报》7111（1895）。[31]A.M.Petersen、F.Wang、S.Havlin和H.E.Stanley，《物理评论》E 826114（2010）。[32]F.Lillo和R.N。

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2022-5-5 05:27:20

Mantegna，《物理评论》E 6801619（2003）。[33]B.古腾堡和C.F.里克特，《科学》83183（1936）。[34]我们使用书法C，以使其与上一节中讨论的二元copula明显不同。[35]值得一提的是，在非平稳环境中，-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=1-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=5-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=20（c）CAC-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=1-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=5-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） [l=20（d）DAXFIG。7.（续）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●1 2 5 10 200.001 0.005 0.050 0.500Cn（p）p=0.7n●H=0.9H=0.7H=0.5●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●1 2 5 10 201e-10 1e-07 1e-04 1e-01Cn（p）p=0.3n●H=0.9H=0.7H=0.5图。8.分数高斯噪声（FGN）的Copula，具有不同的赫斯特指数，阈值p+=0.7（对数标度）。更新过程也能够产生独立的连续复发[16,47]。[36]M.Kac，《美国数学学会公报》531002（1947）。[37]P.Olla，Physical Review E 76011122（2007）。[38]涉及测试优度的π（τ）分布测试[17]应该被放弃，因为这些测试不是为依赖样本设计的，不能依赖于对空值的拒绝。当存在某些依赖时，GoF测试的扩展见Chichepatiche和Bouchaud[42]。[39]我们考虑“负面”事件的情况，即xt<X的事件(-)因为它只是用对角连接词来表达。

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