我们也用C表示-1,1b=L∞有界可测函数的分类与集合k·kC-1,1b=k·kL∞.在整篇文章中，我们假设t>0和N∈ 在（1.2）中，确定了操作员A的系数，并证明了以下假设。假设2.1。存在一个正常数M，使得：i）均匀椭圆度：M-1|ξ|≤dXi，j=1aij（t，x）ξiξj≤ M |ξ|，t∈0，T, x、 ξ∈ 规则性和有界性：系数aij，ai，a∈ C0，TX路不管怎样∈0，T我们有aij（t，·），ai（t，·），a（t，·）∈ CN，1b（Rd），其k·kCN，1b范数以M为界。在假设2.1下，众所周知∈0，T以及∈ C-1,1b，后向抛物面接触问题（1.1）允许经典解u。然而，一般来说，函数u是未知的封闭形式，为了实际目的，必须用数值计算。在下文中，可以方便地将微分算子（1.2）改写为更紧凑的形式：=X |α|≤2aα（t，x）Dαx，t∈ R、 x∈ Rd，（2.1），其中标准符号α=（α，··，αd）∈ Nd，|α|=dXi=1αi，Dαx=Dα=αx···αdxd。下面，我们将介绍算子a的一系列扩张方案。不同扩张方案家族的每一个都基于系数（aα）|α的不同扩张|≤2，并将导致（1.1）的溶液u的不同近似，以及基本溶液Γ的不同近似。因此，对于任何α∈ Ndwith |α|≤ 2，我们定义了一个近似序列（aα，n）n≥连续函数的0α，n：0，TX路→ R.更准确地说，我们引入了以下定义：定义2.2。

我们说（aα，n）0≤N≤N阶多项式展开式，如果∈0，T, 函数aα，n（t，·）是aα，0（t，·）=aα，0（t）的多项式。我们的近似方法背后的想法是选择一个多项式展开式，使得部分sumspn=0aα，n（t）的序列近似于系数aα（t，z），无论是在内部还是在某个范数中。我们通过介绍多项式展开的一些实际例子来结束本节。例2.3。（泰勒多项式展开）假设2.1 ii）成立。然后，对于任何固定的x∈ Rd，我们定义aα，作为aα在x周围空间变量中泰勒展开的n阶项。也就是说，我们设置aα，n（·x）=x |β|=nDβaα（·x）β！（十）- \'-x）β，0≤ N≤ N，|α|≤ 2.像往常一样β！=β! ···βd！xβ=xβ···xβdd。Lorig et al.（2013b）和Lorig et al.（2013c）中提出的扩展是d=2的特殊情况。例2.4。（增强的泰勒展开）在上一个例子中，c的多项式展开的n阶项与泰勒展开的诺德项相匹配。更一般地说，我们可以定义A的多项式展开的n阶项，使其与高阶泰勒展开一致。具体来说，假设N≥ 1，设M=0和（Mn）1≤N≤Nbe一个自然数的非递减序列，其中Mn通常大于n。我们可以假设aα，0（·）=aα（·，\'x），aα，n（·，x）=MnX |β|=1+Mn-1Dβaα（·x）β！（十）- \'-x）β，1≤ N≤ N，|α|≤ 2.增强泰勒展开的动机是，在极限为M时→ ∞ 我们有A=A- 因此，在这个极限下，我们对u的展开式（在定理3.8中给出）为Dyson级数展开式提供了一个明确的符号表示。例2.5。（与时间相关的泰勒多项式展开）对于任何固定的¨x:R+→ Rd，我们定义了aα，即aα在x周围的空间变量中泰勒展开的n阶项。

也就是说，我们设置aα，n（·，x）=x |β|=nDβaα（·，\'x（·））β！（十）- \'x（·））β，0≤ N≤ N，|α|≤ 2.系数的这种扩展允许泰勒级数的扩展点x随时间演化。Byconstruction Ais保证是一个差异X的发生器。因此，选择“X（t）tobe”X（t）=E是很自然的Xt, Xt的期望值。在Lorig et al.（2013b）中，这一选择导致赫斯顿（1993）mo de l.例2.6中期权价格和隐含波动率的高度精确近似。（埃尔米特多项式展开式）当扩散系数不平滑时，埃尔米特展开式很有用。杜皮尔的局部波动率公式给出了金融数学中一个显著的例子，该公式适用于具有跳跃的模型（见Friz et al.（2013））。在某些情况下，例如众所周知的方差伽马模型，基本解（即基础随机模型的跃迁密度）具有奇点。在这种情况下，在某些Lpnorm中，而不是在pointw-ise意义上，接近它是很自然的。对于以x为中心的厄米膨胀，一个setsaα，n（t，x）=x |β|=nhHβ（·- α（t，·）iΓHβ（x- \'x），0≤ N≤ N，|α|≤ 2，其中内积h···iΓ是Rd上的一个积分，高斯加权集中在‘x a，函数hβ（x）=hβ（x）··hβd（xd），其中Hn是第n个一维Hermite多项式（适当的标准化使得hHα，hβiΓ=Δα，β与Δα，β是Kronecker的δ函数）。3主要结果：闭式解，局部和全局误差边界（1.1）的解u的近似构造背后的主要思想非常直观。Webegin在这一节中介绍了u的形式展开式的推导。让我们考虑一个多项式展开式（aα，n）n∈让我们假设（2.1）中的运算符A可以正式写成asA=∞Xn=0An，An:=X |α|≤2aα，n（t，x）Dαx。

，ih）∈ Nh | i+··+ih=n}，1≤ H≤ n，（3.10）和运算符Gxn（t，s）定义为Gxn（t，s）：=X |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）Dαx（3.11），其中mx（t，s）=x+m（t，s）+C（t，s）x、 （3.12）定理3.8将在第5节中得到证明。备注3.9。Lorig等人（2013b）和Lo rig等人（2013c）已经阐述了定理3.8的特殊情况，但缺乏证据。在L orig等人（2013b）中，只处理时间均匀的二维差异。在Lorig等人（2013c）中，只处理了A的泰勒级数展开。我们的第二个结果是例子2.3的N阶泰勒展开的局部时间误差。在下面的内容中，明确指出e对‘x的依赖关系，即泰勒级数的展开点，将是有帮助的。因此，我们引入以下符号：对于n≤ N和x∈ Rd，我们设定（\'x）n=x |α|≤2a（\'x）α，nDαx，a（\'x）α，n（t，x）=x |β|=nDβaα（t，\'x）β！（十）- \'-x）β。（3.13）展开式（3.2）中的近似项un=u（`x）求解t+A（`x）u（\'x）（t，x）=0，t<t，x∈ Rd，u（\'x）（T，x）=а（x），x∈ Rd（3.14）和1≤ N≤ Nt+A（`x）u（x）n（t，x）=-nPh=1A（x）hu（x）n-h（t，x），t<t，x∈ Rd，u（`x）n（T，x）=0，x∈ 例如，对于n=3，我们有I3,3={（1,1,1）}，I3,2={（1,2），（2,1）}和I3,1={（3）}。接下来，我们定义以‘x为中心的泰勒展开式在N阶的近似解为‘u（‘x）N（t，x）：=NXn=0u（‘x）N（t，x）。（3.16）对于特殊的r选项“x=x”，我们只需设置“uN（t，x）：=”u（x）N（t，x）。我们称之为u的N阶泰勒近似。类似地，对于(t+A），我们设置‘N（t，x；t，y）＝‘（x）N（t，x；t，y）。（3.17）定理3.10。假设2.1保持不变，0<T≤T也假设初始基准为φ∈ Ck-1,1b研发部对于大约0≤ K≤ 2.然后我们有| u（t，x）- \'uN（t，x）|≤ C（T）- t） N+k+1,0≤ t<t，x∈ Rd，（3.18），其中常数C仅取决于M、N、T和kаkCk-1,1b。

在定理3.10的假设下，我们有| u（t，x）- \'uN，m（t，x）|≤ CT- 商标N+k-1, 0 ≤ t<t≤ T，x∈ Rd，（3.22），其中常数C仅取决于M、N、T和kаkCk-1,1b。第7节将证明定理3.12。我们明确指出，作为（3.22）的直接结果，如果N≥ 2.- k thenlimm→∞\'uN，m（t，x）=u（t，x），t∈ [0，T]，x∈ 第三条备注3.13。从（3.8）和（3.17）中我们可以看到ΓN（t，x；t，y）=1+NXi=1Lxi（t，t）！Γ（t，x；t，y）。当微分算子（1+PiLxi）击中高斯核Γ（t，x；t，y）时，它只返回一个（x，y）乘以高斯核Γ（t，x；t，y）的多项式。系数（aα，0）|α|≤算符（1+PiLxi）的2也取决于x，并且根据第二部分的假设2.1，是平滑的。因此，计算（3.21）涉及（d·m）维积分，其中被积函数是高斯n核与多项式和光滑有界系数的乘积。由于被积函数平滑且变化缓慢，因此这些积分可以通过数值计算而无需太大困难。不过，很明显，d·m的大小是有限制的。4金融数学的应用在本节中，我们通过举例说明我们的方法如何应用于金融数学中的定价衍生来激励我们的分析。首先，我们考虑一个无套利的电子市场。我们采用给定的在完全过滤概率空间上定义的等价可参与测度Q(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}). 下面定义的所有随机过程都存在于这个概率空间中，所有的预期都与Q有关。我们市场的风险中性动态由以下d维马尔可夫微分方程描述：Xt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt。这里W是标准的m维布朗运动，函数u：R+×Rd→ Rd与函数σ：R+×Rd→ Rd×m。

X的组成部分可能会重新呈现一系列事物，例如，经济因素、资产价格、经济指标或这些数量的函数。特别是，我们假设形式为r（t，Xt）的无风险利率，其中r:r+×Rd→ R+。我们还引入了一个随机时间ζ，由ζ=inf给出T≥ 0:Ztγ（s，Xs）ds≥ E, γ：R+×Rd→ R+，E指数分布且与X无关。随机时间ζ可以表示资产的违约时间、经济冲击的到来等。。用V表示在时间T到期的欧洲衍生工具的无风险风险，其收益为H（XT）I{ζ>T}+G（XT）I{ζ≤T}=H（XT）- G（XT）I{ζ>T}+G（XT）。众所周知（例如，见Jeanblanc等人（2009））vt=Ehe-RTtr（s，Xs）dsG（XT）|Xti+I{ζ>t}Ehe-RTt（r（s，Xs）+γ（s，Xs））dsH（XT）- G（XT）|那么，要给欧式期权定价，必须计算公式（t，x）：=Ehe的函数-RTtλ（s，Xs）ds|（XT）|XT=xi。（4.1）在温和的假设下，（4.1）定义的函数u满足科尔莫戈罗夫向后方程(t+A）u（t，x）=0，t<t，x∈ Rd，u（T，x）=φ（x），x∈ Rd，（4.2），其中运算符A由A=dXi，j=1给出σσTij（t，x）十一xj+dXi=1ui（t，x）十一- λ（t，x）。第3节的结果给出了一种明确而有效的方法来构造问题（4.2）的封闭形式近似解，以及在此之前的封闭形式近似期权价格（4.1）。严格的误差范围证明了该方法的有效性，并证实了近似值在金融应用中的高准确性。对于感兴趣的读者，可以在Pagliarani和Pascucci（2012）、Pagliarani等人（2013）、Lorig等人（2013a）、Lorig等人（2013b）和Lorig等人中找到大量的数值例子。

（2013c）.5定理3.8的证明：解析近似公式该证明基于（3.6）-（3.7）中定义的高斯基本解Γ=Γ（t，x；s，ξ）的对称性，并广泛使用了其他非常普遍的关系，如Duhamel’sprinciple和Chapman-Kolmogorov方程，我们回顾了它们的完整性。引理5.14（查普曼-科尔莫戈罗夫恒等式）。在假设2.1下，对于任何t<s<t，x，y∈ Rd，wehaveZRdΓ（t，x；s，ξ）Γ（s，ξ；t，y）dξ=Γ（t，x；t，y）。（5.1）我们首先回顾运算符mx（t，s）=x+m（t，s）+C（t，s）xas定义见（3.12）。在上面以及整个证明过程中，我们使用上标x来明确指示运算符作用的变量。此外，我们定义了运算符My（t，s）=y- m（t，s）+C（t，s）y、 （5.2）下面的引理说明了运算符与…有关当作用于Γ（t，x；s，y）时，以及当作用于Γ（t，x；s，y）时，乘法运算符y和x分别与Mx（t，s）和¨My（t，s）的关系。引理5.15。对于任何t<s和x，y∈ 我们有xΓ（t，x；s，y）=-yΓ（t，x；s，y），（5.3）安迪Γ（t，x；s，y）=Mx（t，s）Γ（t，x；s，y），（5.4）xΓ（t，x；s，y）=我的（t，s）Γ（t，x；s，y）。（5.5）证据。虽然之前的恒等式可以通过初等计算直接进行后验验证，但在这里，我们给出了一个替代的“构造性”证明，展示了如何在更一般的框架中找到类Mx和类My运算符，这相当于分别乘以后向和前向变量y和x（见下面的备注5.16）。为此，我们需要fourier变换fxf（ξ）：=p（2π）dZRdeixξf（x）dx的一些性质。首先，我们记得，对于Schwartz空间中的任何函数f，我们有iξFx（f）=Fx(-xf），Fx（xf）=-我ξFxf。

（5.6）此外，我们还有fxΓ（t，·；t，y）（ξ）=p（2π）deiξ（y）-m（t，t））-hC（t，t）ξ，ξi，FyΓ（t，x；t，·）（η）=p（2π）deiη（x+m（t，t））-hC（t，t）η，ηi（5.7）为了得到恒等式（5.3），我们简单地使用Γ（t，x；t，y）=Γ（t，x）- YT、 0）。对于（5.4），我们有：Fy（yΓ）=-我ηFy（Γ）=（x+m（t，s）+C（t，s）iη）Fy（Γ）（by（5.7））=Fy（（x+m（t，s）- C（t，s）y） Γ）（by（5.6））=Fy（Mx（t，s）Γ）。身份证明（5.5）类似于身份证明（5.4）。备注5.16。值得注意的是，当具有转移密度Γ的随机过程的特征函数明确已知时，以及当Γ可以表示为x的函数时，上述论证就适用- y、 因此，例如，当Γ是加法（即时间相关的L’evy）过程的跃迁密度时，可以获得类似Mx和“My”的运算符。在这种情况下，类Mx和“我的”运算符将是pse udo微分运算符，而不是（通常）微分运算符。推论5.17。对于任何t<s，s∈ [0，T]和x，y∈ 我们有aα，n（s，y）Γ（t，x；s，y）=aα，n（s，Mx（t，s））Γ（t，x；s，y），（5.8）aα，n（s，x）Γ（t，x；s，y）=aα，ns、 “我的（t，s）Γ（t，x；s，y）。（5.9）证据。首先我们注意到组件Mxi（t，s），i=1，d、 当应用于Γ=Γ（t，x；s，y）及其导数时，运算符Mx（t，s）的通勤率（但请注意，当它们应用于泛型函数时，这通常是不正确的）。实际上，对于任何多指数β，我们有mxi（t，s）Mxj（t，s）DβxΓ=(-1） |β| Mxi（t，s）Mxj（t，s）DβyΓ（by（5.3））=(-1） |β| DβyMxi（t，s）Mxj（t，s）Γ=(-1） |β| DβyMxi（t，s）yjΓ（by（5.4））=(-1） |β| DβyyjMxi（t，s）Γ=(-1） |β| DβyyjyiΓ=Mxj（t，s）Mxi（t，s）DβxΓ。（通过颠倒上述步骤）由于aα，n（s，·）是构造的多项式，因此，当应用于Γ（t，x；s，y）及其导数时，我们可以明确定义算子aα，n（s，Mx（t，s））。

现在（5.8）显然是（5.4）的直接结果。analo gous论证证明了（5.9）的有效性。现在我们回顾一下运算符axn（s）=X |α|≤2aα，n（s，x）Dαx，Gxn（t，s）=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）Dαx，n≥ 0，（5.10），如（3.1）和（3.1）所定义，我们引入了运算符“Gyn（t，s）=X |α|≤2(-1） |α| Dαyaα，nt、 “我的（t，s）, N≥ 0，（5.11）和（5.2）中的“Myas”。我们明确指出，根据推论5.17，当应用于Γ=Γ（t，x；s，y）及其导数时，算子Gxn（t，s）和‘Gyn（t，s）是明确定义的，更重要的是，通过表示式（3.5）来解决柯西问题（3.3）。下一个命题及其显著推论是定理3.8证明的关键。提案5.18。对于任何t<s<t，x，y∈ RDN≥ 1，我们有ZRdΓ（t，x；s，ξ）Aξn（s）f（ξ）dξ=Gxn（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）dξ，（5.12）ZRdf（ξ）Aξn（s）Γ（s，ξ；t，y）dξ=\'Gyn（s，t）ZRdf（ξ）dΓ）（s，ξ；t，y）dξ，（5.13）对于任何f∈ C研发部. 此外，以下关系成立：Gxn（t，s）Γ（t，x；t，y）=Gyn（s，t）Γ（t，x；t，y）。（5.14）证据。我们首先证明（5.12）。通过定义Aξnwe haveZRdΓ（t，x；s，ξ）Aξn（s）f（ξ）dξ=x |α|≤2ZRdaα，n（s，ξ）Γ（t，x；s，ξ）Dαξf（ξ）Dξ=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）ZRdΓ（t，x，y；s，ξ，ω）Dαξf（ξ）Dξ（by（5.8））=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）(-1） |α| ZRdDαξΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）dξ（分部积分）=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）DαxZRdΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）Dξ（by（5.3））=Gxn（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）Dξ。（由（5.10）定义Gxn）同样，对于（5.13），使用Aξnwe haveZRdf（ξ）Aξn（s）Γ（s，ξ；T，y）dξ=X |α的定义|≤2ZRdf（ξ）aα，n（s，ξ）DαξΓ（s，ξ；T，y）Dξ=X |α|≤2(-1） |α| DαyZRdf（ξ）aα，n（s，ξ）Γ（s，ξ；T，y）Dξ（by（5.3））=X |α|≤2(-1） |α| Dαyaα，ns、 “我的（s，T）ZRdf（ξ）Γ（s，ξ；T，y）dξ（by（5.9））=Gyn（s，T）ZRdf（ξ）Γ（s，ξ；T，y）dξ。（根据（5.11），“妇科”身份（5.14）的定义源自（5.12）和（5.13）。

事实上，我们使用的是查普曼·科尔莫戈罗夫方程，我们有Gxn（t，t，x；t，t，t，t，t，y，y）=Gxn（t，t，s）ZRd（t，x，x；s，s，s，s，s，s，s，t，y）我们的方程我们有Gxn（t，s，s，s，s，t，t，t，t，t，t，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，我们，我们的，我们的，我们是我们在我们的第五（应用（5.12）和（应用（应用（5.12）和应用（5.12）和应用（应用）和f（5.12）和f（应用）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和（5.13）其中f（ξ）=Γ（t，x；s，ξ））=Gyn（s，t）Γ（t，x；t，y）。（查普曼·科尔莫戈罗夫著）推论5.19。对于任何t<s<t，x，y∈ R、 n≥ 1，我们有ZrdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）Γ（s，ξ；t，y）dξ=Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）Γ（t，x；t，y），（5.15）∈ n和s<s<···<sn<T。证据我们首先证明（5.15）。对于n=1，对于任何i≥ 1，t<s<t，我们有ZRdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）Γ（s，ξ；t，y）dξ=\'Gyi（s，t）ZRdΓ（t，x；s，ξ）Γ（s，ξ；t，y）dξ（by（5.14））=\'Gyi（s，t）Γ（t，x；t，y）（由查普曼·莫戈罗夫（Chapmogorov）Gxi（t，s）Γ（t，x，t，y）。（根据（5.14）我们现在假设n的论点是正确的≥ 1.无论我做什么∈ Nn，s<s，·sn<T。那么，反正是+1≥ 1，sn<sn+1<T我们有ZRdΓ（T，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）Gξin+1（s，sn+1）Γ（s，ξ；T，y）dξ=’Gyin+1（sn+1，T）ZRdΓ（T，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）；T，y）dξ（5.14）关于Gξin+1（s，sn+1）Γ=“Gyin+1（sn+1，T）Gxi（T，s）·Gxin（T，sn）Γ（T，x；T，y）（归纳推理）=Gxi（T，s）·Gxin（T，sn）·Gyin+1（sn+1，T）Γ（T，x；T，y）=Gxi。从这里到本节末尾，我们设置γ=0。我们这样做只是为了节省空间。一般情况下，γ6=0，完全相似，不会引起并发症。推论5.20。让ube如（3.5）所示，γ=0。对于任何t<s<t，x，y∈ R、 n≥ 1，我们有ZrdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）u（s，ξ）dξ=Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）u（t，x），（5.16）∈ n和s<s<···<sn<T。证据

（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（t，x，x；s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们）我们（s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，d~n（y）Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）Γ（t，x；t，y）dy（由推论y5.19）=Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）u（t，x），（根据第（3.5）节）得出结论。我们现在可以证明定理3.8了。通过对n的归纳，我们首先证明了c asen=1。通过定义，我们得到了n=1的非齐次柯西问题（3.4）的唯一解。因此，根据杜哈默尔公司的原则，我们已经有了（t，x，x）=（t，x；s，s，s，s，s）的一个ξ（s）s（s，ξ）的d（s）d（s）s（t，s）ZTTTT（t，s）ZT（t，x，s）的（t，x，x，x，s）d（t，x）的（t，s）ZT（t，s，s）的（t，s）的（t，s）和（t（t，s）的（t，s）和（s）的（t，s）的（t，s）的（t，s）的（s）的（s）的（s）和（s）的（s）的第五（s）的（s）的第五（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（（s，ξ；t，y）dξdy ds（富比尼定理）=ZTtGx（t，s）ds u（t，x）（查普曼·科尔莫·戈罗夫和（3.5））=Lx（t，t）u（t，x）。（通过（3.9）-（3.10））对于一般的ca se，让我们假设（3.8）适用于n≥ 1，并证明它适用于n+1。根据定义，un+1是非齐次柯西问题（3.4）的唯一解。因此，根据杜哈默尔原理，我们有un+1（t，x）=ZTtZRdΓ（t，x；s，ξ）n+1Xh=1Aξh（s）un+1-h（s，ξ）dξds=n+1Xh=1ZTtGxh（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）un+1-h（s，ξ）dξds（由（5.12）加n=h）=n+1Xh=1ZTtGxh（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）Lξn+1-h（s，T）u（s，ξ）dξds。（通过归纳假设）（5.17）现在，通过定义（3.9）-（3.10）我们得到了zrdΓ（t，x；s，ξ）Lξn+1-h（s，T）u（s，ξ）dξ=n+1-hXj=1ZRdΓ（t，x；s，ξ）ZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGξi（s，s）·Gξij（s，sj）u（s，ξ）dξ=n+1-hXj=1ZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jZRdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξij（s，sj）u（s，ξ）dξ（富比尼定理）=n+1-hXj=1ZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGxi（t，s）·Gxij（t，sj）u（t，x）。

接下来，通过在（5.17）中插入（5.18），我们得到n+1（t，x）=Lxn（t，t）u（t，x），其中≈Lxn（t，t）=ZTtGxn+1（t，s）ds+nXh=1n+1-hXj=1ZTtdsZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGxh（t，s）Gxi（t，s）·Gxij（t，sj）。为了得出证明结论，只需检查Lxn（t，t）=Lxn+1（t，t）。通过交换求和中的指数，我们得到Lxn（t，t）=ZTtGxn+1（t，s）ds+nXj=1n+1-jXh=1ZTtdsZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGxh（t，s）Gxi（t，s）·Gxij（t，sj）（设置l=j+1）=ZTtGxn+1（t，s）ds+n+1Xl=2n+2-lXh=1ZTtdsZTsds··ZTsl-2dsl-1Xi∈在+1中-h、 l-1Gxh（t，s）Gxi（t，s）·Gxil-1（t，sl）-1） （替换积分变量：（ds，ds，·，dsl）-1) → （dr，dr，··，drl））=ZTtGxn+1（t，s）ds+n+1Xl=2n+2-lXh=1ZTtdrZTrdr··ZTrl-1drlXi∈在+1中-h、 l-1Gxh（t，r）Gxi（t，r）·Gxil-1（t，rl）=ZTtGxn+1（t，s）ds+n+1Xl=2ZTtdrZTrdr··ZTrl-1drln+2-lXh=1Xi∈在+1中-h、 l-1Gxh（t，r）Gxi（t，r）·Gxil-1（t，rl）（定义为（3.10））=n+1Xl=1ZTtdrZTrdr··ZTrl-1drlXz∈在+1中，lGxz（t，r）Gxz（t，r）···Gxzl（t，rl）（通过定义（3.9））=Lxn+1（t，t），从而得出证明。6定理3.10的证明：本节中的小时间误差范围。本节证明的估算中出现的所有常数都依赖于M、N和T，下文不再重复。在主要假设2.1下，运算器(t+A）承认一个唯一的基本解Γ=Γ（t，x；t，y），下面的经典阿尔加西估计适用（见Frie dman（1964），第1章）。引理6.21。

对于任何ε>0和β，ν∈ Ndwith |ν|≤ N+2，我们有|（x）- y） βDνxΓ（t，x；t，y）|≤ C·（T）- t） |β|-|ν|ΓM+ε（t，x；t，y），0≤ t<t≤T，x，y∈ Rd，其中ΓM+ε是热算符（3.20）的基本解，C是一个正常数，仅依赖于M，N，T，ε和|β|。为了陈述我们的理论结果，我们对柯西问题的解的空间导数进行了一些初步估计，其系数可能依赖于t，但在x中是恒定的。这种估计的质量取决于终端数据的正则性。提案6.22。假设A的系数在空间中是常数（即Aα（t，·）≡ aα（t））。让β∈ 恩达尼∈ Ck-1,1b研发部为了一些k∈ N.然后，柯西问题（1.1）的解决方案满足要求Dβxu（t，x）≤ C·（T）- t） min{k-|β|,0}, 0 ≤ t<t≤T，x∈ Rd，其中C仅依赖于M，N，T，|β|和k|kCk-1,1b。证据由于A具有独立于空间的系数(t+A）是（3.6）中的高斯函数。直接计算表明，对于任何多项式函数p=p（y），我们都有Zrdp（y）Γ（t，x；t，y）dy=\'p（x），其中\'p是一个度为deg（\'p）=deg（p）的多项式。因此，对于一个纽约人来说∈ 对于|ν|>deg（p），我们有Zrdp（y）DνxΓ（t，x；t，y）dy=DνxZRdp（y）Γ（t，x；t，y）dy=0。特别地，让我们设置h=min{|β|，k}，并用T|x表示，即T|x，h（x）=x||≤hD~n（\'x）ν！（十）- 其中，根据惯例，当h=-1，然后是Tаx，-1.≡ 0.那么我们有Zrdtаx，h-1（y）DβxΓ（t，x；t，y）dy=0。

（6.2）现在，根据杜哈默尔原理，我们有u（t，x）=eRTtγ（s）dsZRdΓ（t，x；t，y）~n（y）dy，t<t，x∈ 第二条，自∈ Ck-1,1b（Rd），通过（6.2）我们得到了βxu（t，x）=eRTtγ（s）dsZRdΓ（y）DβxΓ（t，x；t，y）dy=eRTtγ（s）dsZRdΓ（y）- T~nx，h-1（y））DβxΓ（t，x；t，y）dy。因此，通过带整数余数的泰勒定理，我们得到Dβxu（t，x）≤ 捷克| x- y | hDβxΓ（t，x；t，y）dy，其中C取决于k~nkCk-1,1b。本文遵循引理6.21和ZrdΓM+ε（t，x；t，y）dy=1。此后，我们假设定理3.10的所有假设都已满足。定理3.10的证明基于以下引理。引理6.23。在定理3.10的假设下∈ RDN∈ N、 我们有（t，x）- \'u（\'x）N（t，x）=ZTtZRdΓ（t，x；s，ξ）NXn=0A.-\'A（\'x）nu（\'x）N-n（s，ξ）dξds，t<t，x∈ Rd，其中函数u是（1.1）的解，函数u（\'x）是（3.16）中的n阶近似，而函数A（\'x）n=nXi=0A（\'x）i.证明。我们首先要证明身份(t+A）\'u（\'x）N（t，x）=NXn=0（A）-\'A（\'x）n）u（\'x）n-n（t，x），t<t，x∈ Rd.（6.3）对于N=0，我们有(t+A）\'u（\'x）=A.- A（`x）u（\'x），因为t+A（`x）定义u（`x）=0（3.14）。我们假设现在（6.3）N保持不变≥ 我们证明它对N+1成立。我们有(t+A）\'u（\'x）N+1=(t+A）\'u（\'x）N+(t+A）u（`x）N+1=NXn=0A.-\'A（\'x）nu（\'x）N-n+A.- A（`x）u（x）N+1-N+1Xn=1A（\'x）nu（\'x）N+1-n（通过归纳假设和（3.15））=n+1Xn=1A.-\'A（\'x）n-1.u（x）N+1-n+A.- A（`x）u（x）N+1-N+1Xn=1A（\'x）nu（\'x）N+1-n（通过移动第一和的指数）=n+1Xn=1A.-\'A（\'x）nu（x）N+1-n+A.- A（`x）u（x）N+1=N+1Xn=0A.-\'A（\'x）nu（x）N+1-n、 现在，由于u是（1.1）的经典解，我们通过（6.3）得到v:=u-\'u（\'x）解决了以下问题(t+A）v（t，x）=-NPn=0（A）-\'A（\'x）n）u（\'x）n-n（t，x），t<t，x∈ Rd，v（T，x）=0，x∈ 本文遵循杜哈默尔原理。引理6.24。

在定理3.10的假设下，对于任何多指标β∈ 我们有Dβxu（`x）（t，x）≤ C·（T）- t） min{k-|β|,0}, 0 ≤ t<t≤T，x，x∈ Rd.（6.4）此外，如果N≥ 那么对于任何n∈ N、 N≤ N，我们有Dβxu（`x）n（t，x）≤ C·（T）- t） n+k-|β|1+| x- \'x|n（T- （t）-N, 0≤ t<t≤T，x，x∈ Rd.（6.5）（6.4）和（6.5）中的常数仅取决于M，N，T，|β|和k|kCk-1,1b。证据在这个证明中，{Ci}i≥1给出一些只依赖于M，N，t和k的正常数-1,1b。为清楚起见，在定理3.8中，将运算符应用程序写成Lx、（\'x）和Gx、（\'x）近亲，以表明这些运算符是用扩展点x构造的，并作用于变量x。对于n=0，本文直接遵循命题6.22，因为u（\'x）解决了问题（3.14）。接下来我们证明n=1的断言。根据定理3.8，对于任何¨x∈ 我们有u（\'x）（t，x）=Lx，（\'x）（t，t）u（\'x）（t，x）=ZTtGx，（\'x）（t，s）u（\'x）（t，x）ds=x ||≤2ZTta（`x）ν，1s、 x+m（\'x）（t，s）+C（\'x）（t，s）十、ds Dνxu（\'x）（t，x）（由（3.13）与n=1）=x|ν|≤2ZTthxaν（s，\'x），x- \'x+m（\'x）（t，s）+C（\'x）（t，s）xids Dνxu（\'x）（t，x）。（6.6）因此我们获得Dβxu（`x）（t，x）≤ I+I+I+I其中I=X |ν|≤2ZTt|xaν（s，\'x）|ds |x- \'x|Dβ+νxu（`x）（t，x）,I=X |ν|≤2ZTt|xaν（s，\'x）|m（`x）（t，s）dsDβ+νxu（`x）（t，x）,I=X |ν|≤2ZTt|xaν（s，\'x）|C（x）（t，s）dsxDβ+νxu（`x）（t，x）,I=X |ν|≤2|δ|≤|β|-1ZTt|xaν（s，\'x）|dsDν+δxu（`x）（t，x）.现在，自从∈ C1，1b，根据命题6.22，我们有≤ CX|ν|≤2 | x- \'x|（T）- t） 2+min{k-|β|-|ν|,0}≤ C·（T）- t） 1+k-|β| | x- \'x|√T- t、 此外，由于∈ C1,1带m（`x）（t，s）≤ C（s）- t） ，我们的建议是6.22≤ CX|ν|≤2（T）- t） 2+min{k-|β|-|ν|,0}≤ C·（T）- t） 2+k-|β|.接下来，因为∈ C1,1带C（x）（t，s）≤ C·（s）- t），我们通过6.22号提案≤ CX|ν|≤2（T）- t） 2+min{k-1.-|β|-|ν |,0}≤ C·（T）- t） 1+k-|β|.最后，当Dβx应用于x时，出现了这个术语- 英寸（6.6）。

使用与上述相同的参数，我们得到≤ CX|ν|≤2（T）- t） 2+min{k+1-|β|-|ν |,0}≤ C·（T）- t） 1+k-|β|.利用以上所有估计，我们可以推断出n=1时的（6.5）。一般情况可以通过类比论证来证明，反复使用定理3.8给出的u（`x）n的一般表达式和定理6.22的估计。为了简洁起见，我们省略了细节。我们现在可以证明orem 3.10了。定理3.10的证明。在这个证明中，{Ci}i≥1仅依赖于M，N，和k的一些正常数-1,1b。引理6.23我们有- \'uN=NXn=0In，In（t，x）=ZTtZRdΓ（t，x；s，ξ）A-nXi=0Axi！uxN-n（s，ξ）dξds。此外，In=In，1+In，2with（cf.（6.1））In，1（t，x）=x |α|≤1ZTtZRdaα（s，ξ）- Taα（s，·）x，n（ξ）Γ（t，x；s，ξ）DαξuxN-n（s，ξ）dξds，In，2（t，x）=x |α|=2ZTtZRdaα（s，ξ）- Taα（s，·）x，n（ξ）Γ（t，x；s，ξ）DαξuxN-n（s，ξ）dξds。现在通过引理6.24我们得到了| In，1（t，x）|≤ CX |α|≤1ZTtZRd |ξ- x | n+1Γ（t，x；s，ξ）（t）-s） N-N-|α|+k1+（T- （s）-N-n | x- ξ| N-Ndξds≤ CX |α|≤1ZTt（T）- s） N-n+|α|+k（s）- t） n+1+（t- （s）-|α|+k（s）- t） N+1ZRdΓM+ε（t，x；s，ξ）dξds≤ C·（T）- t） N+k+2，其中我们使用引理6.21和identityZTt（t- s） n（s）- t） kds=ΓE（k+1）ΓE（n+1）ΓE（k+n+2）（t）- t） k+n+1，与Γe无关的Euler-Gamma函数。为了估算2，我们首先按部分进行积分，得到2（t，x）=-X |α|=1X |α|=1ZTtZRdDαξaα+α（t，ξ）- Taα+α（t，·）x，n（ξ）Γ（t，x；s，ξ）DαξuxN-n（s，ξ）dξds。使用与上述相同的参数，可以证明| In，2（t，x）|≤ C·（T）- t） N+k+1。通过应用引理6.21和Chapman-Kolmogorov方程，对（3.18）的证明进行简单的修改，得到了最终的估计值（3.19）。我们省略了细节以避免含蓄。7定理3.12的证明：大时间误差界在符合orem 3.12假设的情况下，在本节中，我们将假设N≥ 1.

因此，通过反复应用属性ZRdΓM+1（t，x；s，y）dy=1，ZRdΓ（t，x；s，y）dy≤ 1，我们得到| Ij（t，x）|≤ CδN+k+1mCδN+1m+1J-1.最终，因为≥ 1，我们通过（7.1）发现| u（t，x）- \'uN，m（t，x）|≤ CCδN+1m+1mmδN+k+1m≤ CeC（T）-t） N+1δN+k-100万，这证明了（3.22）。感谢作者希望得到两位匿名审稿人，他们的建议提高了这篇手稿的可读性和数学质量。参考Avramidi，I.G.（2007）。热核在金融领域应用的解析和几何方法。新墨西哥矿业和技术学院，NM 87801。Benhamou，E.，E.Gobet和M.Miri（2010）。局部波动模型中欧式期权的展开公式。Int.J.Theor。阿普尔。财务13（4），603–634。贝林，N.，E.盖茨勒和M.弗涅（1992）。热核和狄拉克算子。斯普林格。Cheng，W.，N.Costanzino，J.Letchty，A.Mazzucato和V.Nistor（2011年）。一维抛物方程的闭式渐近和数值逼近及其在期权定价中的应用。暹罗金融时报。2 (1), 901–934.Corielli，F.，P.Foschi和A.Pascucci（2010）。扩散转变密度的参数近似。暹罗J.金融数学。1, 833–867 .Fouque，J-P.，G.Papanicola ou，R.Sir car和K.Solna（2011年）。股票、利率和信用衍生品的多尺度随机波动。Ca mbridge：剑桥大学出版社。弗里德曼，A.（1964年）。抛物型偏微分方程。新泽西州Englewood Cliffs：普伦蒂斯哈勒公司。Friz，P.K.，S.Gerhold和M.Yor（2013）。如何让杜皮尔的局部波动性与跳跃一起工作。arxiv预印本1302。5548 .戈尔茨坦，H.（1980）。经典力学（第二版）。马萨诸塞州雷丁：艾迪生·韦斯利出版公司。哈根，P.和D.伍德沃德（1999）。相当于黑色挥发性。应用数学金融6（3），147–157。亨利·劳德埃，P.（2009）。

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