利用参数外推利率期限结构

2022-5-5 07:30:42

用参数不确定性推断利率期限结构*马斯特里赫特大学+肖特曼，彼得马斯特里赫特大学佩尔瑟，安顿§马斯特里赫特大学该版本：2013年12月18日摘要定价极长期负债市场一贯处理长期金融工具流动性下降的问题。其目的是量化一个世纪内到期利率的不确定性。我们假设利率遵循有效均值回复的Vasicek模型。我们通过参数上的贝叶斯分布来建模参数不确定性。横截面和时间序列参数通过受限二元VAR（1）模型获得。经验样本显示，由于均值回归行为接近单位根的累积效应，长期外推的可信度极低。关键词：Vasicek，VAR（1），ATSM，利率模型，期限结构，参数不确定性，贝叶斯，外推*电话：+31433884962。电子邮件：a。balter@maastrichtuniversity.nl+荷兰马斯特里赫特536211LM Tongersestrat电话：+31433883862。电邮：p。schotman@maastrichtuniversity.nl§电话：+31433883899。电子邮件：a。pelsser@maastrichtuniversity.nl1引言定价极长期负债市场在不完全市场中一直面临定价的困难。由于金融工具的流动性随着时间的推移而下降，衍生品市场是不完整的。长期负债必须由养老基金和人寿保险公司定价，因为预期寿命超过了流动资产的成熟期。因此，我们在本文中寻找一种将收益率曲线外推到未来的方法。在大约二三十年的时间里，欧洲市场是流动的，而养老金基金则需要期限长达一个世纪的利率。

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2022-5-5 07:30:45

因为基金有义务计算未清偿负债的适当现值，以确定基金的“健康状况”。目前的利率很低，是什么导致了低的资金比率，并引起了所有世代的关注。因此，我们研究了在非常远的一端推断利率期限结构的方法，重点是不确定性的大小。由于其可操作性，短期结构模型（ATSM）被两个学术界以及金融从业者广泛使用。因为我们对曲率的长端感兴趣，所以水平因子是决定形状的主要因素。经济理论和历史数据强调了一种反复出现的模式，即高利率向下移动，低利率同时上升到一个恒定水平。Vasicek模型基于这些波动，是我们用于长期到期的模型。将价值推向恒定最终水平的参数对长期利率的外推有很大影响。因此，我们对这个参数的绝对值和不确定性感兴趣。大多数文献关注的是期限长达10年的收益率，而在这段时间内，这种影响并不受高度关注。然而，50年至100年的利率是养老基金需要的标准期限，主要由均值回归参数决定。数据显示，均值回归很低，接近单位根。此外，对于均值反转的低值，最终利率显示出极大的不确定性。由于这两个参数都是外推的关键，我们对平均值回归的总影响感兴趣。我们研究了Vasicek模型（1977）中的参数不确定性。由于不确定性通过定义参数的分布而适用，因此对该问题采用贝叶斯解释。

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2022-5-5 07:30:48

在最后一个流动点之后，按照Vasicek模型计算累积空头利率的确定性等价物，是用于利率曲线外推的方法。我们在一组由长期债券利率和一组构造性先验组成的数据集上确定后验概率。为了强调曲率的极长端，与标准期限结构模型相比，液体输入成熟度也被选择为中长期。我们将Vasicek外推与Nelson-Siegel（NS）方法和Mith-Wilson（SW）方法以及最终远期利率（UFR）进行比较。就波动性而言，我们可以将NS模型的横截面排名为极度波动性，而SW is通过构造在长端没有不确定性，Vasicekmodel介于两者之间。本文的结构如下。第2节描述了理论有效性模型。第3节描述了数据。然后，我们在第4节中进一步说明了计量经济学模型和协方差矩阵的分解。在第5节中，使用了频繁条件最大似然法，在第6节中，解释了贝叶斯方法。而贝叶斯技术的经验应用和模型运行，包括对结果的讨论，可在第7节中找到。第8节包含与Nelson-Siegel和Smith-Wilson UFR方法相比的经验应用的外推。然后进行了讨论和一些稳健性注释，最后，结论构成了第10.2节的有效期限结构模型。Vasicek模型描述了一个自回归过程，并收敛到长期平均值。由于其实际的经济应用和分析的可处理性，它得到了广泛的应用。在这个模型下，许多资产定价的估值都可以解析求解，即。

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2022-5-5 07:30:52

贴现债券定价、贴现债券期权、上限、利率、互换期权。然而，在这里，我们将在参数不确定性的假设下对利率的期限结构进行拟合，这使得问题只能在数值上解决。对于时间步长，Vasicek模型的转移密度与1阶离散时间自回归过程（AR（1））相同，因此这两个过程将交替使用，以便于数学和实现。无论我们处理的是短期利率的过程还是零利率的过程都是相同的，因为一方的Vasicek导致另一方的Vasicekmodel由于一种有效关系而产生一对一的对应。Vasicek模型的均值回复连续时间随机微分方程（SDE），在现实世界概率测度下，短利率r isdrt=-κ（rt）- u）dt+σdWtWe我们使用以下模型，因为数据是以零速率（zt）dzt=-κ（zt）- m） dt+σb（τ）dWt（1）通过欧拉分解和连续性校正，零速率的直接表达式为zt+h=zt-1.- E-κhκh（zt- m） +σr1- E-2κh2κet+h（2）其中et~ N（0，1）是iid。为了进行预测，我们切换到风险中性概率度量Q。由于作为贴现因子计算的短期利率的预期累积对应于零利率，分析公式用较短的到期时间τ表示到期时间为s的零利率。让随机贴现因子（SDF）、Radon Nikodym导数（RN）或定价核（PK）定义为D∧∧=-rtdt- λtdW（3），其中λt=∧+∧rt（4），主要用于Duffee（2002）提出的其他模型中。

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2022-5-5 07:30:55

这决定了债券价格自然对数的有效关系，用yieldsasz（τ）=-τA（τ）-τB（τ）rt（5）基本定价方程意味着这两个指标之间的关系是（见附录A）~κ=κ+σ∧u∧κ=μκ- σ∧（6）式中，tilde表示无风险度量Q，没有tilde的变量来自历史度量P。短期利率的过程可以在两种度量下表示。在风险中性测度下，通过求解期望方程，可以实现从短期利率到零利率的过渡-Rτrsdsi=e-τz（τ）（7）intoz（τ）=b（τ）rt- θ+ θ+τωb（τ）（8），其中b（τ）=1- E-~κτ~κτθ = ~u -σ2~κω=σ2~κ函数b（τ）量化长期收益率对短期利率r的敏感性，ω是短期利率和τ的无条件方差→ ∞ 收益率收敛于θ，即长期平均值，等于短期利率减去有限期内凸度调整的风险中性平均值。所有零利率都是当前短期利率和长期收益率的加权平均值加上凸度调整。推导如附录B所示。上述公式可用于表示两种不同产率的相关性。对于s>τz（s）=b（s）b（τ）z（τ）- θ+ θ+ωb（s）某人（s）- τb（τ）（9）我们将把这个表达式称为外推方法。收敛速度b（s）b（τ）代表某一未来收益率相对于报价收益率和流动收益率向长期平均值的均值回归。它也可以解释为相对进化性，vol[z（s）]vol[z（τ）]=b（s）b（τ），这是s增加时从1到0的递减函数。其目的是确定长期利率，同时接受参数估计误差。

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2022-5-5 07:30:58

在经典计量经济学中，渐近分布近似于有限样本。通过定义真实参数的分布来合并不确定性是一种包含不确定性的方法。在我们描述添加参数不确定性的模型之前，我们首先简单地显示数据。之后，我们更详细地指定模型，并应用两种不同的模型来量化不确定性。3数据德国央行网站上提供了期限为1年至50年的每月零息欧元掉期利率。样本期为2002年1月至2013年9月，每个到期日有140个数据点。在20年到期之前，平均期限结构的收益率一直在增加，20年到期之后，对于更长的到期日，它会略微向下倾斜。短期至中期债券的初始驼峰形状可从http://www.bundesbank获得。de/Navigation/EN/Statistics/Time series数据库只能用多因素模型来解释。然而，我们感兴趣的是长时间的自然曲线是平滑的，没有驼峰。自此以后，一个单因素模型（如AR过程）可以捕捉到这一点。图1显示了2013年9月的平均期限结构和期限结构，描述了当前极低利率的情况。欧元互换利率（a）水平（b）波动性图1：左边的图表显示了到期日为1、2、3、。。。，从2002年1月到2013年9月，历史平均为50年。蓝线表示历史平均值，而红色虚线表示2013年Seotember的期限结构。右边的图表显示了相同期限和时间序列的平均波动率。

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2022-5-5 07:31:02

利率以百分比表示，到期日以年为单位。图1b显示了从15年后的到期日开始向上倾斜的模式，这在历史数据中既不常见，也不被理论期限结构模型所捕捉。在所有均值回复模型中，AR模型意味着，对于更长的到期日，波动率曲线向下倾斜。对这一意外趋势的一种解释是，非常长期的掉期价格包含更多的噪音，因为在时间线的这一端，市场流动性差。完整的数据集可以解释为面板数据。其中，我们通过考虑固定到期日来确定时间序列，从而得出一组140个该到期率的历史观察值。如果历史上的某个时间点是固定的，则可以找到该时期的完整横截面术语结构。由于我们对曲线的很长一端感兴趣，我们也只使用相对较长的到期日作为模型的输入。参见图2中[2002年1月：2013年9月]期间5年期和20年期利率的历史发展。时间序列数据图2：蓝线是2002年1月至2013年9月5年期掉期利率的时间序列路径，红线显示20年期利率的历史发展。4.经济计量模型为了计算长期平均数，我们需要知道随机贴现因子∧∧的过程。推导长期均值的一种方法是计算风险中性和物理概率测量下的长期均值和均值回归参数。由于这两个指标之间的关系取决于风险的市场价格，因此知道λtorκ和u是等价的。我们将在这里应用后一种方法，对SDF的限制是Cochrane和Piazzesi（2009）的方法。

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2022-5-5 07:31:05

Joslin、Singleton和Zhu（2011）表明，如果不限制风险定价，基于历史的估计不会在风险中性估计中添加信息。为了从至少两种不同的到期日中得出横截面测量Q历史数据下的参数。对于单一利率时间序列，不可能识别横截面参数。对于多个到期日，参数被过度识别。使用离散AR（1）过程作为连续Vasicek模型的等价物，可以扩展到更高的维度，因此，双变量Vasicek模型具有双变量AR（1）模拟。在这个双变量过程中，两个成熟度的平均值是不一样的，而平均回归参数对于这个过程应该是唯一的，并且施加了唯一的一维变化。此后，将单因素模型视为遵循VAR（1）过程“zt（τ）zt（τ）#=”zt-h（τ）zt-h（τ）#- 啊“zt”-h（τ）- m（τ）zt-h（τ）- m（τ）#+√hσ“e（1）te（2）t#（10）Zt=Zt-H- 啊(Zt)-H- m）+√hσet（11），其中e（1）和e（2）来自协方差矩阵为∑SIMUL=σ∑=σ=∑（11）σ（21）σ（21）σ（22）#的二元标准正态分布。κ和σareaDRAW=1的连续性误差修正-eκhκ和√hσDRAW=q1-E-2κh2κσ。理论模型将具有由关系式（9）暗示的协方差矩阵，∑模型=σ“b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）#（12）这个矩阵排名第一。然而，由于观察到产量下降，因此存在一些噪音。短期Vasicek模型的5个参数u、u、κ、κ和σ被过度识别。实际数据无法准确识别理论矩阵。将该噪声作为相关项或额外噪声项包括在内。相关系数为ρ→ 1和噪音计将进入η→ 如果数据的行为越来越像手头的单因素模型，则为0。在实证研究中，两种方法都被采用。

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2022-5-5 07:31:08

De Jong（2000）在他的多因素状态空间模型中指定了一种度量恐怖。请注意，需要更多的到期日来确定使用卡尔曼滤波器估计的参数。在De Jong’spaper（2000）中，单因素模型显示了对一般术语结构的严重误判。包括三个因素（分别是水平、陡度和曲率（Littermand Scheinkman（1991）））似乎最能反映历史数据的变化（Dai和Singleton（2000））。更具体地说，Litterman和Scheinkman（1991）表明，约90%的变化可以用第一个因素来解释，但我们只对期限结构的极端长期结束感兴趣，其中一个因素满足所需的特征。为了强调De Jong、Litterman和Scheinkman以及本文中建模的不同领域，De Jong、Litterman和Scheinkman都包括短期到期，其中我们的模型不包括5年以下的利率。由于相关分解和噪声分解非常相似，我们将根据误差分量η分解协方差矩阵。∑η=∑模型+Iη=σ“b（τ）+ηb（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）+η#（13）首先可以用数值方法得到#κ，在此基础上，其他参数是解析可解的≥ 0<=>σ(11)- σ(22)σ(21)≥ 0（14），因为分子大于零的条件是由ρ-分解施加的，σ（11）≥ σ（22），我们加上条件σ（21）>0。用m（τi）表示零速率的期望值。如果我们知道公式b（τi）和模拟值m（τi），那么二元过程会产生两个关于两个未知数θ和u的方程。“m（τ）m（τ）#=”b（τ）1- b（τ）b（τ）1- b（τ）#“#θ#+ω”τb（τ）τb（τ）#（15）由于我们已经推导出θ和#u之间的关系，我们也知道隐含的随机贴现因子。

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2022-5-5 07:31:11

因此，我们最终得出了u、~u、κ、~κ、σ、ρ、η、θ、∧和∧的公式。5最大似然估计我们可以将条件最大似然估计（cMLE）应用于方程（10）。请注意，我们以第一次观察为条件。在经典解释下，参数是渐近正态分布的，平均值等于cMLE，方差由二阶导数负期望的倒数得到。简单地最大化条件对数似然函数（见附录E）并保留Hessian矩阵将导致参数的渐近分布。分解的渐近方差用Delta方法近似。将其应用于欧元掉期利率，可得出表1中的估计值。第一列中所示的点估计是通过分析获得的，其中|κ由隐式函数表示。由于非线性，方差通过Deltamethod获得，如第二列所示。表1：基于cMLEEstimate标准误差κ0.2056 0.1083κ0.0201 1.4411u0.0103 1.0855u0.1338 37.4293θ0.07545 27.06∧-0.0817 57.1148∧-27.0356 210.5676σ4.710×10的参数噪声分解-51.864×10-3η 1.086×10-52.138×10-3条件最大似然法适用于5年期和20年期欧元掉期利率的自举零利率。标准误差是通过δ近似得到的。均值回归的不确定性是巨大的。由于所有重要参数都包含高变异性，因此无法从该表中得出有意义的结论。cMLE并不排斥正平均回归和均值的共同信念，但也不排斥负范围。迄今为止的文献中没有扩展不确定性的影响，因为如果人们对有限范围内的预测感兴趣，其影响还没有那么显著。

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2022-5-5 07:31:14

然而，如果外推的到期日在50年及以上，甚至高达100年，则影响很大。如果平均回归率（～κ）变为零，则最终远期利率（θ）变为负值，这缺乏可能的经济解释。因此，我们想量化平均回归参数的不确定性，因为零利率的灵敏度由此确定。作为一般性讨论，所有参数的不确定性都相当大，所有区间都包含负值。与贝叶斯方法的比较见第6节。较大的标准偏差导致在长视野上进行外推的时间间隔不切实际。6.贝叶斯方法通过将参数不确定性作为研究点，贝叶斯观点可以解决这个问题，因为贝叶斯方法规定了参数的概率密度。该算法易于实现约束。使用吉布斯取样器是因为数据的相似性函数是正态的，因此可以识别单独的后验分布。关于贝叶斯背景、先验选择和产生后验概率的方法，请参见Bauwens、Lubrano和Richard（1999）。通过吉布斯抽样，我们可以使用马尔可夫链蒙特卡罗模拟（MCMC）对后验密度进行取样和数值计算。这些抽签加在一起将收敛到联合分布。对于一个参数，后验分布取决于其他参数。迭代地，onedraw将以所有其他参数为条件，接下来另一个参数是drawnconditional，以其他参数的所有当前值为条件，等等。根据贝叶斯规则，可以导出条件后验分布。根据经济信念，假设平均回归参数为正。

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2022-5-5 07:31:17

当利率较高时，均值回归参数会根据经济行为降低利率，因为在利率较高时，经济会放缓，从而减少投资，从而降低货币需求，从而引发利率下降。另一方面，如果利率较低，投资成本相对较低，这会导致由于资金需求较高而导致利率上升。均值回归参数解释了这些运动，使其成为一个有用且现实的模型。因此，a的先验值是截断正态分布F（a）~ T N（ua，τa）（16），其中ua=0，τa=0.2。请注意，通过该选择，先前的平均值和标准偏差分别为E[a]=0.16和PVar[a]=0.12。此外，我们还假设零利率的长期平均值为正。此外，我们不会预先考虑两套到期日之间的任何依赖关系。先验ofm是二维截断正态分布F（m）~ tn（um，Ohmm）（17）微米=[-0.923, -ωm（1,1）=ωm（2,2）=0.2和ωm（1,2）=ωm（2,1）=0意味着平均值为E[m]=0.04和pvar[m]=0.039。超参数与均值和方差之间的差异是由于分布的截断部分，而标准正态分布的负部分被忽略在平均值中。这两种先验知识的范围都包括现实的、高于零的和大量不同的先验知识。截断法线的实现只需从一个拒绝负绘制的法线进行绘制即可。如果平均回归参数接近单位根，则接受率将极低。这将导致m从接近先验分布的位置以负超参数平均值绘制。

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2022-5-5 07:31:20

如果标准化截断参数高于某个treshhold指数拒绝采样（Geweke，（1991））使情况在数值上可解。在一维情况下，σ的先验值来自逆伽马分布。无信息先验是f（σ）∝σ（通过变量规则的变化，这对应于ln（σ）上的统一先验）。伽马分布的多变量版本是威斯哈特分布。∑=σ∑的逆的先验-1) ~ W（ψ∑，ν∑）（18）通过让逆Wishart先验的超参数变为零，我们保持对∑的非信息性或差异性使用。理论上，自由度应该大于或等于矩阵的维数，以确保绘图是可逆的，前提是超参数∑ψ是可逆的。因此，最小的数字是2。虽然我们只从后验分布中得出，但为了安全起见，我们设定了可逆性∑=3。自由度可以解释为之前的样本大小（Gelmanand Hill（2007））或之前的平均值与数据进行比较的权重。协方差矩阵ψ∑的协方差矩阵设置为标准偏差0.01，相关性设置为0.95。基于不等式（14）的条件，即∧κ保持非负，在这个阶段被包括在模型中。条件后验分布和推导可在附录F中找到。后验超参数都是依赖于其他条件参数的函数。程序1。绘制长期零利率平均值（a）如果条件后验平均值意味着低接受概率，则使用指数拒绝抽样（b）如果两种测量下的短期利率平均值和该绘制所暗示的零利率平均值为正，则接受2。

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kedemingshi

2022-5-5 07:31:23

如果条件后验平均值意味着低接受概率，则绘制零率的平均回归参数（a），使用指数拒绝抽样（b）如果阳性，则接受3。绘制协方差矩阵（a），如果它意味着短期利率的正均值回归参数7经验应用，则接受。在本节中，我们将贝叶斯算法应用于前面描述的10万次模拟的数据。输出表基于协方差矩阵的噪声分解。显示所有图纸的平均值，然后报告95%的最高后验概率区域（HPD95）和95%的可信区间（CI95），以及最后一列中的标准偏差。∑的参数化不会导致这两种分解之间的巨大区别，因此我们不显示基于相关分解的结果。表2：参数噪声分解平均HPD95 lb HPD95 ub CI95 lb CI95 ub St.Dev.κ0.1647 2.7854×10-50.3177 0.020404 0.3521 0.0862~κ 0.0205 1.6054×10-30.0383 3.3314×10-30.0407 0.0096u 0.0087 -7.3514×10-30.0259 -5.8714×10-30.0280 0.0080~u 0.2224 1.0174×10-30.4630 0.04430 0.6904 1.2155θ -5.575 -0.3382 0.2261 -1.1327 0.1539 328.2Λ-0.1611 -0.7297 0.4984 -0.6624 0.6002 0.2972Λ-20.9735 -44.7955 2.3546 -48.8694 0.1319 12.7564σ4.8574×10-53.3154×10-56.5454×10-53.4334×10-56.7204×10-58.4214×10-6η 1.0854×10-58.4224×10-61.3444×10-58.5954×10-61.3684×10-51.3004×10-6对于τ=5，τ=20，求出了所有1000000的平均值，其中κ是数值解。第二列和第三列显示了95%最高后密度区域的下限和上限，而第四列和第五列分别显示了95%可信区域的下限和上限。最后一列是基于图纸的标准偏差。密度（a）（b）图3：τ=5和τ=20的密度。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:31:26

由于较大的不确定性，这两个参数的完整数据集非常广泛，因此将|u和θ的曲线图调整为可见质量密度。密度（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）图4：图3续。θ的密度很难确定，因为范围非常广。如果我们在不画10000个最小的图的情况下绘制图，则可以在图4c中观察到身体的质量。这也解释了与Frequentist方法相比，相对较大的标准偏差，但是HPD和CI要小得多。可以得出的结论是，长期平均值的不确定性非常大。因此，对长期到期的trustpoint估值是不可靠的。θ的质量在一个合理的范围内，但由于一些异常的异常值，平均值和标准偏差分别为负值和较大。这些异常值的原因是单位根问题。从CMLE上看不到这种差异，因为这两个输出是估计值和标准偏差。贝叶斯输出的密度显示为非正态形状。平均回归变为零，意味着过程中的滞后率变为1- √κh）→ 1表示√κ→ 0，提出了单位根的问题。一般AR过程中的单位根问题意味着滞后变量前面的标量变为1导致过程的方差变为1。当∧κ接近零时，θ根据其宽区间是非常不确定的，这意味着当均值回归非常慢时，模型不知道收敛到哪个水平。由于在最终水平达到一致之前的一段时间内，收敛率非常低，因此长期平均值的不确定性没有影响。

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2022-5-5 07:31:29

然而，如果收敛速度增加，长期平均值将收敛到哪个水平就变得越来越明显，而且由于它更快地向这个水平移动，了解这个水平的重要性也增加了。这种模式可以在图5中识别出来。散点图（△κ，θ）显示，对于△κ的较小值，最终水平的不确定性以θ（i）的广泛分布为特征。实际上，θ在很大程度上取决于κ，如果横截面平均回归为零，则最终水平为负。为了更好地看到相关性，我们将图拆分为低值的κ和宽轴的θ，并将图拆分为相对高值的κ。因此，我们感兴趣的是参数|κ，我们想测量均值回归的不确定性，因为这是决定外推的因素。κ的两个95%贝叶斯区间显示在（0,0.04）范围内。然而，CMLE方法对这个比率极不确定。尤其是所有的Bayesian间期显示了感兴趣的参数的合理范围，这也指出了单一估计标准误差的差异。下一节将展示方差的影响以及独立参数方差对外推的难以追踪的影响。平均回归约为0.02，正如预期的那样，低于物理测量。正如Bauer（2011）所说，如果一个人相信没有套利，那么两个概率度量的参数应该彼此接近，这证实了他发现的有利模型限制∧为零。”因为敏感性（a）缩放低值κ（b）缩放大值κ图5：基于所述数据集和成熟度τ=5和τ=20绘制θ（i）与κ（i）的散点图。通常，许多横截面观测都是可用的，Q动态可以精确估计”。

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2022-5-5 07:31:32

支持这一说法，我们发现与历史测量相比，k的标准偏差小得多。然而，对∧等于0的限制正好在可信区间的边缘，因此预先提出这个条件需要非常有用的先验知识。请注意，分析型VAR（1）模型不包括两个指标之间依赖性的直接优先权，因为我们预先假设没有相关性。较长视界上的未知速率和较近视界上的已知速率之间的收敛速度来自关系式（8）。我们只需要b（s）b（τ）的平均回归参数。对这个比率的解释可以用波动性和收敛速度来表示。首先，该比率是s年到期利率与τ年到期利率的相对波动率√var[y（τ）]=vol[y（τ）]=b（τ）σ。Henceb（s）b（τ）=vol[y（s）]vol[y（τ）]。其次，它显示了它向长期平均值移动的速度。比率行为如图6所示。很小，明天的利率很大程度上取决于今天的利率。这种关系会随着时间的推移而下降，这可以在左边的图中看到。平均而言，预测的60年到期日与20年的最后一个流动点之间的比率为0.7，这表明这两个到期日之间的关系仍然存在，与UFR和Smith-Wilson方法论的观点相反，60年是一个恒定的最终水平。5年和20年利率之间的相关性ρ为0.77。既不能太高而无法捕捉曲率，也不能太低，这可以更容易地用误差项η来解释。平均噪声项为1.1×10-5表明基于这两个成熟度的模型不会产生太多噪声。正如已经指出的那样，输入选择与标准曲率研究相比是相对长期的。

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2022-5-5 07:31:35

这支持了收敛性（a）随时间的收敛速度（b）密度图6：左边是所有不同的κs的平均值，其中τ=20是最后一个液点∈ (τ + 1, τ + 2, ...) = (21, 22, ..., 100). 红色虚线代表95%的最高后验概率区域，蓝色虚线代表95%的可信区间，绿色虚线代表平均值。右图显示了基于所有模拟的固定外推点s=60的密度。一个因式分解，实现了该方法的目标，该方法对极远的数据集感兴趣。N-到期一年期远期利率f（N→N+1）和观察到的零率（Cochrane（2001））具有以下极限值。如果到期日为整数，则最终远期利率（UFR）将变小→∞f（N）→N+1）t=θ到期日观测到的零利率τ与当年远期利率之间的平均回归参数为τe-κN（1）- E-~κ)(1 - E-通过简单地根据正向速率重写z（τ）的表达式得到。考虑到最近关于UFR的争论，τ被设置为最后一个液点和外推周期。荷兰养老基金遵循Solvency II规则的常见选择是最后一个流动点为20，达到UFR的时间为60年。y（20）和f（60）之间的平均逆转率→61）约为36%。与我们刚才讨论的两个零利率之间的关系类似，如果外推的远期利率移得更远，零利率和远期利率之间的依赖性就会减小。这一总体趋势与模拟的UFR技术一致，尽管60年后仍然存在依赖性。8外推常用的外推方法有Nelson-Siegel法和Smith-Wilson法。Nelson-Siegel（NS）函数根据一组较短的到期利率推断收益率曲线的长端。

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2022-5-5 07:31:38

长端的表现相当稳定，这是实践者欣赏的特征。然而，今天的外推不同于明天的外推，因此，对于每个横截面，长端的波动率都较高，得到了不同的曲线。还要注意的是，最终水平高度依赖于最后观察到的速率，因此意外的变化会导致长期的高度不确定性。这种技术的高度可变性提高了模型的动力，该模型在很长的一端横截面移动到固定速率。史密斯-威尔逊（SW）方法是一种插值方法，它充分利用了极限常数水平的思想。作为对模型的一种解释，我们可以分别用NS、Vasicek和SW对模型进行从易失到恒定的排序。我们想要衡量的是长期利率的不确定性。因此，无论数据显示的是长期到期的恒定水平，还是高波动性的外推。8.1 UFR外推养老基金和保险公司关于长期债务定价的最新发展正在讨论中。在一些国家，中央银行采用UFR，如Solvency II所述。我们将Smith-Wilson平滑技术（Thomasand Mar（2007）和挪威（2010）的一些实施说明）应用于2013年9月的swapcurve，UFR为4.2%，最后一个液点为20年，通过偏离大气3个基点来接近UFR，并在60年后达到UFR。图表显示了基于这些输入选择的曲率，加上由少数更长期限的报价利率组成的掉期曲线。

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2022-5-5 07:31:42

由于这是一个热门话题，荷兰UFR委员会最近的一份报告（2013年10月）提出了一个更具历史意义的最终水平，以及在最后一个流动点之后仍然可用的市场数据之间的平滑技术，该技术通过基于Vasicek模型的递减权重来考虑。通过绘制所有成熟度的点估计值，该技术的强度只能通过添加不确定性度量来评估，例如方差。通过建设，长期收益率是完全确定的，因为它是预先选择的。因此，这是否反映了市场的一致性非常值得怀疑。在之前用长期约束拟合收益率曲线的研究中，Smith，A.和Wilson，T.Research Notes，Baconand Woodrow，2001年。关于史密斯-威尔逊方法的技术说明，挪威金融监管局，2010年。Smith Wilson图7:Smith Wilson方法适用于2013年9月起的零曲线，其中最后一个液点为20年，达到UFR的时间为40年后，因此从2013年9月起为60年，UFR水平设定为4.2%，在3个基点内达到。红线表示原始输入，蓝线表示史密斯·威尔逊的外推曲线。我们看到，随着外推时间的增加，远期利率的依赖性下降，但是f（60→61）t确定不确定性界限仍然远远不是独立的。我们从数据中了解到，平均回复率较低，这表明最终水平的范围非常远且连续，从而导致极端的最终水平，而为了支持UFR方法，κ应该较大。8.2 Nelson-Siegel外推对于每个时间序列数据集，通过theNelson-Siegel方法（1987）获得不同的横截面外推。

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2022-5-5 07:31:45

该技术通过一条曲线来确定参数，并基于这些确定的参数来提取曲线。z（t）=β+β1- E-t/τt/τ+β1.- E-t/τt/τ- E-t/τ（19）我们用最小二乘法拟合了零交换曲线的前20个数据点，并扩展了曲线。与Smith-Wilson方法相比，外推的方向相当灵活，导致长期利率低于UFR水平。这是因为与历史数据集相比，市场利率相对较低。Nelson-Siegel技术的另一个特点是，外推具有高度的波动性，因为每次报价发生变化时，整个外推都会受到影响。特别是，由于直线延伸，最后一个液速的移动会导致最终液位的大幅变化。Nelson Siegel图8:Nelson Siegel函数应用于1,2,3，。。。，通过最小二乘法校准，自2013年9月起为20年零利率。参数的估计值为τ=1.93，β=0.03，β=-0.03, β= -0.04. 从1到100的所有年利率都是根据这些估计值计算的。8.3贝叶斯外推现在，我们采用所述的贝叶斯方法，在参数不确定性假设下，我们通过有效的Vasicek模型对术语结构进行建模。我们选择5年和20年的横截面到期日作为数据跨越的完整时间。此外，在下面的图表中，我们使用2013年9月的零利率作为最后观察到的利率，其市场一致性长达20年，然后通过本文的方法延长曲线。贝叶斯外推（a）HPD和CI（b）平均值图9：图（a）显示了基于贝叶斯图的平均发展，用绿色表示，用基线红线表示95%的最高后验区域，用虚线表示95%的可信区域。因此，在同一条曲线上，如果没有绿色区域的平均值，则在同一条曲线上缩放。

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大多数88

2022-5-5 07:31:48

曲线基于2002年至2013年9月的5年期和20年期掉期利率，而前20年期仅为2013年9月的掉期利率。从20年的最后一个独立点开始，外推开始，并绘制到100年的成熟期。费率以百分比表示。从外推中我们可以看到，在UFR水平保持不变的点之后，点估计具有更高的斜率，并且继续增加。本文采用的方法的优点是在正限制条件下增加了HPD和CI。这些范围显示，100年期利率在1%到10%之间，95%的置信度，这是一个经济现实的利率范围，但实际上表明缺乏一定的估计。UFR方法和Nelson-Siegel方法都属于不确定集。与其他两种方法相比，该模型只关注极长期利率，因此只使用相对较长的到期日作为输入，这是一种稳健的方法，并将输入和输出一致地联系起来。而NS方法使用相对较短的利率来预测长达一个世纪的利率。9鲁棒性在短期利率和零利率模型中，物理测量下的离散平均回归参数在结构上相似。因此，我们的离散估计可以与Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders（1992）和andAit-Sahalia（1996）对αh的离散估计进行比较，后者等于-κh.CKLS的估计范围为-0.18至-0.59，用于每月观察一个月的国债收益率，并基于每天观察一周的欧元汇率。Ait-Sahalia的平均回归范围为-0.014到0.038。

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2022-5-5 07:31:51

对于κ的单时间序列估计，我们发现0.1604，因此与-0.1647 ·= -0.01373，在几乎为零（略负）到-0.02648的范围内，HPD 95%作为ait-Sahalia间隔的两个CKL的子集。作为稳健性检查，我们还将贝叶斯过程应用于输入的自然集的不同选择和先验的不同超参数。这些选择的结果的敏感性很小（敏感性分析见附录H）。此外，ACF、CUSUM和Geweke测试表明，模拟没有收敛问题（见附录I）。具有参数不确定性的连续自回归高斯函数模型是一种理论模型，通常可应用于不同的数据集，必要时可对模型进行调整和扩展。在这里，我们将该模型用作一个示例，因为没有用于参数不确定性外推的闭合形式解，但该解基于数值程序。10结论在均值和均值回归参数为正的条件下，考虑Vasicek模型中的参数不确定性的能力，使得贝叶斯设置对利率建模具有吸引力。我们通过使用由两种不同到期日的利率组成的数据集来推断利率的期限结构。在这个二元正态过程中，通过加上相关项或噪声项，隐含参数可以解析解。条件极大似然估计会导致roadth方差和负均值。零利率模型中参数不确定性的规定导致了实际的95%可信区间和最高后验概率区域。外推范围显示，根据20年至100年的外推，该比率可能在1%至10%之间。

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2022-5-5 07:31:54

因此，不确定性非常大，因此相信点估计是不合适的。其原因可以通过接近单位根的均值回归行为来解释。尽管外推所需的横截面平均回归参数的区间在0到0之间。04这对θ有很大的影响，并被证明是决定溢出的相关参数。但θ的极端不确定性不会在外推中增加。对于低均值回归，Vasicek模型不会在有限的时间跨度内收敛到θ，而对于较大均值回归，最终水平的不确定性较小。根据数据，推断包含非常宽的置信区间。如果一个人认为不确定性要小得多，那么他就间接地声称手头有更多的优先信息。因此，要么我们必须接受不确定性大小的问题，要么有更多我们不知道的可用信息，这些信息应该包含在先验中以缩小界限。综上所述，经典估计会导致不合理（通常为负）的长期收益率和极宽的置信区间，但合理的贝叶斯先验会导致更合理的外推。附录a关系P和Q假设在两个不同的概率测度下存在两个短期利率AR（1）模型，风险中性Q和风险完全P通过使用随机贴现因子（SDF），不同测度的参数之间的关系可以推导如下。让SDF床∧∧=-rtdt- λdwt这里λt=∧+因为在风险中性度量λ=0下，我们可以导出两个概率度量之间的关系。这里使用AR（1）的连续表示法，Vasicek模型来表示这种关系。drt=κ（u）- rt）dt+σdWt（1）价格的对数与短期利率r有关。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:31:57

与Cochrane（2001）的注释类似，其中T=T+τ是债券的到期日，而tis处的价格（因此τ是剩余的到期时间）p（τ，T，r）=-A（τ）- B（τ）rt（2）因此，价格的（反对数）为（duffe and Kan（1996））P（τ，t，rt）=exp(-A（τ）- B（τ）rt）（3）通过它的LemmadP（τ，t，rt）=-B（τ）P-drt+A（τ）t+B（τ）trtP dt+B（τ）σP dtdP（τ，rt）P=-B（τ）drt+A（τ）t+B（τ）trtdt+B（τ）σdt基本定价方程状态集民进党- rtdt=-EdPPd∧-B（τ）κ（u）- rt）dt+A（τ）t+B（τ）trtdt+B（τ）σdt- rtdt=-B（τ）σ∧dt- B（τ）σ∧rtdt，按不带r的所有项排序-B（τ）κdt+A（τ）tdt+B（τ）σdt=-B（τ）σ∧dt=>A（τ）t=B（τ）[κu- σΛ] -B（τ）σ和包含r的项-B（τ）κrtdt+B（τ）trtdt- rdt=-B（τ）σ∧rdt=>B（τ）t=1- B（τ）[∑∧+κ]为了完整性，上述公式都是概率测度P的形式。

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2022-5-5 07:32:00

不管概率测度如何，成分A和B的导数都是相等的，因此我们也知道，在风险中性测度λt=0下，A（τ）t=B（τ）[κu- σΛ] -B（τ）σ=B（τ）[κu]-B（τ）σB（τ）t=1- B（τ）[∑∧+κ]=1- B（τ）[＠κ]如果我们把这些项分别放在等于＠κ＠u和＠κ的括号中，我们得到＠κ=κ+σ∧＠u＠κ=κ- σ∧（4）零利率的一个有效推导P isdrt下短利率的Vasicek过程=-κ（rt）- u）dt+σdWtBy在Q下的伊藤引理这可以直接表示为t+s=rte--κs+-u（1- E-√κs）+σZt+ste-κ（t+s）-u） dWuZτrt+sds=Zτrte-κsds+Zτu（1- E-■κs）ds+ZτZt+stσe-κ（t+s）-u） dWuds=（rt）- ~u)(1 - E-§κτ）～κ+～uτ+ZτZt+stσe-κ（t+s）-u） dWuds（5）改变积分的阶数zτZt+stσe-κ（t+s）-u） dWuds=Zt+τtZτu-tσe-κ（t+s）-u） dsdWu=Zt+τt-σκ(1 - E-κ（t+τ）-u） )dWuLetM=EZτrt+sdsrt= （rt）- ~u)(1 - E-△κτ）△κ+△uτ（6）和letV=varZτrt+sdsrt=σ∧κZt+τt（1-E-κ（t+τ）-u））du=σ|κτ-1.- E-~κτ~κ-(1 - E-~κτ)2~κ!（7）如果X~ N（M，V）然后E[eX]=eM+vtuse[E-Rτrsds]=e-M+V=e-τz（τ）τz（τ）=M-Vz（τ）=（rt- ~u)(1 - E-~κτ)~κτ+ ~u -σ2~κ-σ2~κ1 - E-~κτ~κτ-σ2~κ(1 - E-~κτ)2~κτLetb（τ）=1- E-~κτ~κτθ = ~u -σ2？κω=σ2？κ那么z（τ）=b（τ）rt- θ+ θ+τωb（τ）z（s）=b（s）rt- θ+ θ+sωb（s）z（s）=b（s）b（τ）z（τ）- θ+ θ+ωb（s）某人（s）- τb（τ）C有效关系短期利率和零利率短期利率在真实世界测量Pdrt=-κ（rt）- u）dt+σrdwt该期望意味着短期利率r和零利率zz（τ）=b（τ）之间存在线性关系rt- θ+ θ+τωb（τ）（8）因此过程dz也是一个Vasicek模型。

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2022-5-5 07:32:03

如果我们让DZT=-a（zt）- m） dt+σzdwt我们必须找到两个Vasicek模型的参数之间的关系，dz（τ）=db（τ）rt- b（τ）θ+θ+τωb（τ）(9)= -b（τ）κ（r）-u）dt+b（τ）σrdW（10）关系式（8），这里反过来重写，对于ztrt=z（τ）b（τ）的rtin项-θb（τ）-τωb（τ）+θ（11）插入（9）导致todzt（τ）=-κz（τ）- θ -τωb（τ）+θb（τ）- ub（τ）dt+b（τ）σrdWThusa=κm=θ+τωb（τ）- θb（τ）+ub（τ）σz=b（τ）σrD协方差分解表3：每个分解的关系corr噪声- E-~κτ1 - E-■κτ=rσ（11）σ（22）τ（1）- E-~κτ)τ(1 - E-~κτ)τ-(1 - E-~κτ)τ(1 - E-~κτ)τ=σ(11)- σ（22）σ（21）σ（11）~b（τ），σ（22）~b（τ）σ（21）b（τ）b（τ）ρσ（21）√σ(11)σ(22)η - σ(11)- σb（τ），σ（22）- σb（τ）表4：共同关系R和噪声κ-ln（1）- adh）hu（1- b（τ））m（τ）- (1 - b（τ））m（τ）b（τ）- b（τ）-ωτb（τ）（1）- b（τ））- τb（τ）（1）- b（τ））b（τ）- b（τ）~uθ+σ2κθb（τ）m（τ）- b（τ）m（τ）b（τ）- b（τ）-ωb（τ）b（τ）τb（τ）- τb（τ）b（τ）- b（τ）∧κ- ~u~κσΛ~κ - κσE条件最大似然估计如果我们不考虑贝叶斯方法，而是使用频率论方法，我们从基于Zt=Zt的相同似然函数开始-H- 啊(Zt)-H- m）+√hσe（1）和e（2）的皮重来自二元标准正态分布。似然函数isL（Z | m，a，∑）=（2πh |∑|）-N/2exp-2h（Zt）- Zt-h+ahZt-H- 啊ιm）（Zt）- Zt-h+ahZt-H- ιm）ah∑-1.其中尺寸为，Zt=[N×2]，m=[2×1]，a=[1×1]，∑=[2×2]h=[1×1]，ι=[N×1]。我们可以使用条件最大似然估计（cMLE）来获得κ和u的估计量，而不是使用贝叶斯定理的MCMC方法。请注意，在第一次观察的条件下，cMLE是在Zi给定的假设下工作的。作为一种数学约定，初始起点的边缘分布假定为一个接近1的狄拉克-德尔塔函数，这可以被视为不确定性消失的异常极限。

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kedemingshi

2022-5-5 07:32:06

在经典解释下，参数是正态分布的，平均值等于cMLE，方差由二阶导数负期望的倒数得到。与贝叶斯方法的不同之处在于，这种分布是基于重复采样的假设实现的，而贝叶斯方法是以一个有限的样本为条件的，这使得在有限的数据点上是有价值的，这通常是结构间模型的情况。条件对数似然为`=logl（Z | m，a，∑）∝ -Nlog |∑|-2h（Zt）- Zt-h+ahZt-H- 啊ιm）（Zt）- Zt-h+ahZt-H- ιm）ah∑-1（12）参数a、m和∑的最大似然解与最小化普通最小二乘的解相同。因此我们得到acmle=tr（（ιm- Zt-h）Z） tr（h（ιm）- Zt-h） ιm- Zt-h））麦克尔=(Z+ahZt-h） ιahN∑cMLE=（Zt- Zt-h+ahZt-H- 啊ιm）（Zt）- Zt-h+ahZt-H- 现在，如果我们取条件对数似然的二阶导数，我们可以导出渐近方差。二阶导数得到一个矩阵，如果我们取负期望，它就是信息矩阵。逆矩阵产生a，m的渐近协方差矩阵。因此，渐近分布区域~阿森acMLE，trΣ-1cMLEh（ιmcMLE）- Zt-h）（ιmcMLE）- Zt-h）-1.M~阿森麦克尔，Σ-1cMLENacMLEh-1.在向量∑cMLE的Hessianmatrix（对角线项的负表达式的逆）上，通过通常的程序得到∑cMLE的渐近方差（Magnus和Neudecker（1988））。向量∑cMLE）=（σ（11），σ（21），σ（22））由于σ（12）=σ（21），存在一个与向量∑cMLE等价的复制矩阵的预乘。设D+=（DD）-1D。

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