G-Doob-Meyer分解及其在投标报价中的应用

2022-5-5 08:34:39

G-Doob-Meyer分解及其在Knightian不确定性下美式未定权益BID-Ask定价中的应用魏晨山东大学经济学院数量经济研究所2501999，济南，Chinaweichen@sdu.edu.cnAbstract本文的目标是在不确定性金融市场上，利用G-资产价格系统（见[5]）建立美国或有权益对风险资产的买卖定价框架。首先，我们证明了G超鞅的G-Dooby-Meyer分解。此外，我们考虑了Knight不确定条件下美式未定权益的买卖定价问题，利用G-Dooby-Meyer分解，构造了最优停止问题的动态超边界图，并证明了最优停止问题的价值函数是Knight不确定条件下美式未定权益的买卖价格。最后，我们考虑了一个自由边界问题，证明了自由边界问题强解的存在性，并导出了最优停止问题的值函数等价于自由边界问题的强解。G-Doob-Meyer分解、美式未定权益、最优停止问题、自由边界问题、买卖定价、Knight不确定性（2010）：60G40、91G80、60H301简介对美式期权定价最早、也是最深入的分析之一是byMcKean[20]。在这里，美式期权的定价问题转化为Stefan或Free边界问题。为了解决后者，McKean明确地写出了美式期权价格，直到知道某个函数——最优停止边界。Bensoussan[2]提出了对美国未定权益的严格处理方法，可在到期前或到期时随时行使。

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可人4

2022-5-5 08:34:42

他采用布莱克和斯科尔斯[1]的方法，通过巧妙地管理只包含市场基本工具（即股票和债券）的自我融资投资组合，将此类索赔产生的现金流复制到这种情况，并且在行使前不存在套利机会。Bensoussan证明，此类索赔的定价确实是可能的，并通过适当的最优停止问题表征了行使时间。在对后者的研究中，Bensoussan采用了所谓的“惩罚方法”，该方法对偶然目标的回报施加了相当严格的有界性和正则性条件。根据最优停止理论，最优停止问题的价值过程可以描述为对停止报酬的最小上鞅主。基于超鞅的Doob-Meyer分解，Karatzas[11]、EL Karoui和Karatzas[12]、[13]对最优停止问题进行了“鞅”处理，以处理美式期权的定价问题。Doob分解定理由Joseph L.Doob[6]证明，并以其命名。连续时间情况下的解析定理是Meyer在[18]和[19]中证明的Doob-Meyer分解定理。对于不完全市场中的美式期权定价问题，Kramkov[15]构造了关于等价局部鞅测度族的超鞅的可选分解。他称这种表示为可选的，因为与Doob-Meyer分解相比，它通常只存在一个经过调整的（可选）过程C。他将这种分解应用于在不完全证券市场的设置中对冲欧洲和美国式或有权益的问题。

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能者818

2022-5-5 08:34:45

Frey[8]利用可选分解，考虑通过最优停止构造超复制策略，这类似于在具有等价局部鞅测度的概率空间族上美式导数定价时出现的最优停止问题。对于现实的金融市场，未来的资产价格是不确定的，未来资产价格的概率分布是未知的——这被称为不确定[14]。未来自然状态的概率分布是未知的，投资者的主观信念是不确定的，这使得他们的消费和投资组合选择决策具有不确定性，并导致未来资产价格的不确定性。根据Knights的规定，对此类资产的未定权益进行定价是一个公开的问题。Peng在[22]和[23]中构造了G框架，这是一种非线性系统的分析工具，并应用于骑士不确定性[3]、[4]和[5]下的欧式未定权益定价。本文的目标是在金融市场不确定性条件下，利用G-资产价格系统（见[5]）建立针对风险资产的美国未定权益的买卖定价框架。首先，在次线性期望空间上，利用势理论和次线性期望理论构造了G-超鞅的G-Doob-Meyer分解，即一个右连续G-超鞅可以分解为一个G-鞅和一个右连续增长过程，且分解是唯一的。其次，我们用G-资产价格系统定义了美国或有权益对资产的出价和要价，并应用G-末日迈耶分解证明了不确定条件下美国或有权益的出价和要价可以用最优停止问题来描述。

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2022-5-5 08:34:50

最后，我们提出了一个自由边界问题，通过使用惩罚技术（见Friedman[9]），我们得出，如果自由边界问题存在强超解，则自由边界问题存在强解。并利用截断和正则化技术证明了自由边界问题的强解是最优停止问题的值函数，该问题对应于不确定条件下美式未定权益的定价问题。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们对次线性预期理论进行了初步的介绍。在第三节中，我们证明了G-超鞅的G-Doob-Meyer分解。第四章，利用G-Doob-Meyer分解，构造了最优停止问题的动态超边策略，证明了最优停止问题的解是不确定条件下美式未定权益的买卖价格。在第五节中，我们考虑了一个自由边界问题，证明了自由边界问题强解的存在性，并得出最优停止问题的解等价于自由边界问题的强解。2.预备课程Ohm 是一个给定的集合，设H是一个定义在H上的实值函数的线性空间Ohm 包含常数。空间H也被称为随机变量空间。定义2.1次线性期望^E是函数^E:H-→ R满足（i）单调性：^E[X]≥^E[Y]如果X≥ Y.（ii）常数保持：^E[c]=c代表c∈ R.（iii）次可加性：对于每个X，Y∈ H，^E[X+Y]≤^E[X]+^E[Y]。（iv）正同质性：λ的^E[λX]=λ的λ^E[X]≥ 0.三重(Ohm,H，^E）称为次线性期望空间。在本节中，我们主要考虑以下类型的次线性期望空间(Ohm,H，^E）：如果X.X，。。。，Xn∈ H然后φ（X.X，。。。

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大多数88

2022-5-5 08:34:53

，Xn）∈ H代表~n∈ Cb，Lip（Rn），其中Cb，Lip（Rn）表示满足|φ（x）的函数的线性空间- φ（y）|≤ C（1+| x | m+| y | m）|x- y |代表x，y∈ R、有些C>0，m∈ N取决于φ。对于每个固定的p≥ 1，我们取Hp={X∈ H，^E[|X | p]=0}作为我们的零空间，并表示H/hpa作为商空间。我们将kXkp:=（^E[|X | p]）设为1/p，并将H/hp扩展到它的completionbHpunderk·kp。在k·kp下，次线性期望^E可以连续扩展到Banach空间（bHp，k·kp）。在不损失一般性的情况下，我们将Banach空间（bHp，k·kp）表示为LpG(Ohm,H，^E）。对于G框架，我们参考[22]和[23]。在本文中，我们假设u、u、σ和σ是非负常数，因此u≤ u和σ≤ σ.定义2.2在次线性期望空间中设X和Xbe两个随机变量(Ohm,H，^E），X和X被称为同分布的，用Xd=Xif^E[φ（X）]=^E[φ（X）]表示φ ∈ Cb，Lip（Rn）。次线性期望空间中的定义2.3(Ohm,H，^E），如果^E[φ（X，Y）]=^E[φ（X，Y）]|X=X，则称随机变量Y独立于另一个随机变量X。定义2.4（G-正态分布）次线性期望空间上的随机变量X(Ohm,H，^E）被称为G-正态分布的ifaX+b\'X=pa+bX，表示a，b≥ 0，其中X是X的独立副本。我们用S（d）表示所有d×d对称矩阵的集合。设X是G-正态分布的随机向量(Ohm, H，^E），我们定义了以下次线性函数g（A）：=^E[<AX，X>]，A∈ S（d）。（2.1）次线性空间上随机变量X的备注2.1(Ohm,H，^E），字符XuX=^EX，uX=-^E[-十] ，σX=^EX，σX=-^E[-十] 式中，[uX，uX]和[σX，σX]分别描述了X的均值和方差的不确定性。很容易检查，如果X是G-正态分布，那么uX=^EX=uX=-^E[-十] =0，我们将G-正态分布表示为N（{0}，[σ，σ]）。

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2022-5-5 08:34:56

如果X是最大分布的，那么σX=^EX=σX=-^E[-十] =0，我们将最大分布（见[23]）表示为N（[u，u]，{0}）。设F为Ohm. 我们有一个家庭∈F的Borel子域的R+，例如定义2.5我们称之为（Xt）t∈次线性期望空间上的一维随机过程(Ohm,H，^E，F，{F}t∈R+，如果每个t∈ R、 XT是H中的d维随机向量。定义2.6 Let（Xt）t∈t（Yt）兰特∈定义在次线性期望空间上的Rbe d维随机过程(Ohm,H，^E，F，{F}t∈R+，对于每个t=（t，t，…，tn）∈ T，FXt[^]：=^E[^（Xt）]，φ ∈ Cl，Lip（Rn×d）被称为Xt的有限维分布。X和Y被称为是相同分布的，即Xd=Y，ifFXt[~n]=FYt[~n]，T∈ T和φ ∈ Cl.Lip（Rn×d），其中T:={T=（T，T，…，tn）：N∈ N、钛∈ R、 ti6=tj，0≤ i、 j≤ n、 i6=j}。定义2.7工艺（Bt）t≥关于次线性期望空间(Ohm,H，^E，F，{F}t∈如果满足下列性质，则称R+）为G-布朗运动：（i）B（ω）=0；（ii）对于每个t，s>0，增量Bt+s- Bt是由N（{0}，[sσ，sσ]和（Bt，Bt，…，Btn）独立于每N的G-正态分布∈ N和t，t，。。。，tn∈ （0，t]；从现在开始，我们将在本文的其余部分中考虑的随机过程都在次线性空间中(Ohm,H，^E，F，{F}t∈R+）.3 G-上鞅的G-Doob-Meyer分解定义3.1 G-上鞅（分别是G-下鞅）是一个实值过程{Xt}，非常适合FTF族，因此（i）^E[|Xt |]∞ T∈ R+，（ii）^E[Xt+s|Fs]≤ （分别为。

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2022-5-5 08:34:59

≥ ) XsT∈ R+，和s∈ R+。（3.1）如果等式在（ii）中成立，则过程是G-鞅。我们将考虑右连续G-超鞅，那么如果{Xt}是（3.1）保持中的右连续G-超鞅（ii），用Ft替换Ft+。定义3.2假设A是Ft+中的一个事件，我们定义了asc（A）=^E[IA]（3.2）的容量，其中IA是事件A的指标函数。定义3.3过程X和Y与过滤Ft相适应。如果且仅当ifc（Yt6=Xt）=0，我们称Y与Xt等效。对于右连续G-上鞅{Xt}和^E[Xt]是t的右连续函数，我们可以通过defineyt（ω）：=Xt+（ω）=lims找到与{Xt}等价的右连续G-上鞅{Yt}↓tXs（ω），对于任何ω∈ Ohm 这样极限存在y（ω）：=0，否则。在没有损失概括性的情况下，我们表示Ft=Ft+。定义3.4对于正常数T，我们将[0，T]中的停止时间τ定义为正随机变量τ（ω），因此，{τ≤ T}∈ FT.设{Xt}为右连续G-超鞅，表示X∞作为进程Xt的最后一个元素，那么进程{Xt}0≤T≤∞是一个G-超级艺术家。定义3.5右连续递增过程是一个适应性很好的随机过程{At}，例如：（i）A=0 A.s.ii对于几乎每个ω，函数t-→ At（ω）是正的、递增的、右连续的。莱塔∞（ω） limt-→∞在（ω）处，如果^E[A]是可积的，我们可以说右连续递增过程是可积的∞] < ∞.定义3.6对于每一个有界的右连续Gmartingale{Mt}0，递增过程A称为自然过程≤t<∞我们有^E[Z（0，t]MsdAs]=^E[Z（0，t]Ms-dAs]，每0<t<∞ （3.3）引理3.1如果A是递增过程且{Mt}0≤t<∞是有界的、右连续的G-鞅，则^E[MtAt]=^E[Z（0，t]MsdAs]。（3.4）特别是定义3.6中的条件（3.3）等价于^E[MtAt]=^E[Z（0，t]Ms-达斯]。（3.5）证据。

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可人4

2022-5-5 08:35:02

对于[0，t]的∏=t，t，··，tn}的分划，0=t≤ T≤ ··· ≤ tn=t，我们定义∏s=n∑k=1MtnI（tk-1。因为M是G-鞅^E[Z（0，t]M∏sdAs]=^E[n∑k=1Mtk（Atk- Atk-1） [n]∑k=1MtkAtk-N-1.∑k=1Mtk+1Atk]=^E[MtAt-N-1.∑k=1（Mtk+1- Mtk）Atk]=^E[MtAt-N-1.∑k=1（Mtk+1- 我们完成了引理的证明。定义3.7带limt的正右连续G-超鞅{Yt}-→∞Yt（ω）=0称为势。定义3.8适用于∈ [0, ∞], 进程{Xt，t∈ [0，a]}在[0，a]ifsupt上是一致可积的∈[0，a]E[Xt | I | Xt |>x]-→ 0，作为x-→ 0.定义3.9让∈ [0, ∞], 假设{Xt}是一个右连续过程，我们可以说它属于这个区间上的类（GD），如果所有的随机变量Xt都是一致可积的，它的停止时间由a限定。如果{Xt}属于每个区间[0，a]上的类（GD），a<∞, 它将被称为属于本地类（GD）。如果{At}是一个可积右连续递增过程，那么这个过程{-At}是一个负的g上鞅，而{E[a]∞|[Ft]- At}是类（GD）的势，我们称之为{At}产生的势。命题3.1（1）任意右连续G-鞅{Xt}局部属于类（GD）。（2）任何右连续的G-超鞅{Xt}，从上面有界，都属于局部类（GD）。（3）任何局部属于类（GD）且一致可积的右连续上鞅{Xt}都属于类（GD）。证据（1）如果a<∞, T是一个停止时间，T≤ a、那么G-鞅过程{Xt}有Xt=^E[Xa|FT]。因此^E[|XT |I{|XT |>n}]≤^E[|Xa|I{XT |>n}]作为n·c（|XT |>n）≤^E[|XT |]≤^E[|Xa |]，我们有c（|XT |>n）-→ 0作为n-→ ∞, 然后是^E[|Xa |I{|XT |>n}]≤（^E[|Xd |]）1/2（c（I{XT |>n}））1/2-→ 0作为n-→ ∞, 从中我们证明了（1）。（2）如果a<∞, T是一个停止时间，T≤ a、那么G-超马尔廷加过程{Xt}有Xt≥^E[Xa | FT]。

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可人4

2022-5-5 08:35:05

假设{Xt}为负，则^E[-XTI{XT<-n} ]≤^E[-XaI{XT<-n} 我们用证明（1）中类似的论点来完成（2）的证明。（3） {Xt}是一致可积的，我们设Xt=^E[X∞|Ft]+（Xt-^E[X∞|（《金融时报》）。上述方程式^E[X]右侧的第一部分∞|Ft]是G-鞅，等价于右连续过程，从（1）我们知道它属于（GD）类。我们将上述方程中的第二部分表示为{Yt}，它是一个势，即一个正右连续的GSuper鞅，limt-→∞Yt（ω）=0 a.s。。接下来我们将证明{Yt}属于类（GD）。因为inf（T，a）和sup（T，a）都是停止时间^E[YTI{YT>n}]≤^E[YTI{T≤a、 YT>n}]+E[YTI{T>a}]≤^E[YTI{T≤a、 YT>n}]+^E[Ya]。作为利马-→∞^E[Ya]=0且{Yt}局部属于（GD），即limn-→∞^E[YTI{T≤a、 YT>n}]=0，这证明了limn-→∞^E[YTI{YT>n}]=0。我们完成了证明。引理3.2设{Xt}为右连续G-上鞅，{Xnt}为分解的右连续G-上鞅序列：Xnt=Mnt- Ant，其中{Mnt}是G-鞅，{Ant}是右连续递增过程。假设，foreach t，xntn收敛到LG中的Xtin(Ohm) 然后分解问题对于G-超鞅{Xt}是可解的，更精确地说，有一个正确的连续递增过程{At}，和一个G-鞅{Mt}，使得Xt=Mt- 在证据我们用w表示弱拓扑w（LG）(Ohm),L∞G(Ohm)), 可积随机变量序列Fn收敛到w拓扑中的随机变量f，当且仅当f是可积的，且Limn-→∞^E[fng]=^E[fg]，G∈ L∞G(Ohm).由于n中的Antare一致可积，根据次线性期望^E[·]的性质，对于t的所有有理值，在w-拓扑中存在一个w-收敛子序列ankt收敛到随机变量a′t。

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2022-5-5 08:35:08

为了简化符号，我们将对t的所有有理值使用反收敛到w拓扑中的A′。可积随机变量f是Ft可测的，当且仅当它与所有有界随机变量g正交，使得^E[g | Ft]=0时，A′是Ft可测的-可测量的对于<t，s和t有理，^E[（Ant- Ans）IB]≥ 0（3.6），其中B表示任何F集。随着XNTN与Xtin LG的融合(Ohm) 拓扑，它是一个比w更强的拓扑，mnt目标随机变量M′t或t有理，过程{M′t}是G-鞅；然后有一个右连续的G-鞅{Mt}，为t的所有值定义，使得c（Mt6=M′t）=0对于每个有理数。我们定义At=Xt+Mt，{At}是一个正确的连续增长过程，或者至少在对一组度量值0进行修改后变得如此。我们完成了证明。引理3.3设{Xt}为势函数，属于类（GD）。我们考虑了可测的、正的和适配的过程H={Ht}，其性质是右连续递增过程a（H）={At（H，ω）}={ZtHs（ω）ds}是可积的，它们产生的势Y（H）={Yt（H，ω）}被Xt优化。然后，对于每个t，所有这类过程A（H）的（H）处的随机变量都是一致可积的。证据

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大多数88

2022-5-5 08:35:12

这足以证明∞（H）都是一致可积的。（1）首先我们假设Xt是由某个正常数C，然后是^E[A]所限定的∞（H） ]≤ 2C，然后是一致可积性。我们有一个∞（H，ω）=2Z∞[A]∞（H，ω）- Au（H，ω）]dAu（H，ω）=2Z∞[A]∞（H，ω）- Au（H，ω）]Hu（ω）du。利用次线性期望^E^E[A]的次可加性∞（H，ω）]=^E[^EA∞（H，ω）|Ft]]≤ 2^E[Z∞胡埃[A]∞（H，ω）- Au（H，ω）|Fu]du]=2^E[Z∞胡宇（H）杜]≤ 2C^E[Z∞Hudu]=2C^E[Y（H）]≤ 2C。（2）为了证明一般情况，只要证明Y（H）以{Xt}为主的任何H等于Hc+Hc之和就足够了，其中（i）a（Hc）生成一个以c为界的势，以及（ii）^E[a]∞[Hc]]小于某个数εc，与H无关，因此εc-→ 0作为c-→ 0.定义hct（ω）=Ht（ω）I{Xt（ω）∈[0，c]}，Hct=Ht- Hct。SetTc（ω）=inf{t:这样Xt（ω）≥ c} ，因为c进入了本质极限-→∞Tc（ω）=∞, 因此XTc-→ 0，类（GD）属性意味着^E[XTc]-→ 0.tc是一个停止时间，I{Xt（ω）∈[0，c]}=1，在时间Tc之前。因此^E[A∞（Hc）]=^E[Z∞胡（1）- I{Xu（ω）∈[0，c]}]du≤^E[Z∞Hudu]=^E[A∞（H）- ATc（H）]=^E[^E[A∞（H）- 空中交通管制（高度）|英尺]]=^E[YTc（高度）]≤^E[XTc（H）]≤ εc，对于足够大的c，我们从中证明（ii）。我们将证明（i），首先我们证明Y（Hc）是由c:Yt（Hc）=^E[A]限定的∞（Hc）- 在（Hc）|Ft]=^E[R∞tHuI{Xu（ω）∈[0，c]}du|Ft]≤^E[R∞舒旭（ω）∈[0，c]}du|Ft]=^E[^E[R]∞舒旭（ω）∈[0，c]}du|FSc]|Ft]=^E[YSc|Ft]≤ c、（3.7）这里我们设置c（ω）=inf{t:这样Xt（ω）≤ c} ，和useZSc（ω）tHuI{Xu（ω）∈[0，c]}du=0。不等式（3.7）适用于每一个t，因此适用于每一个有理t，并适用于每一个t，考虑到右连续性，从而完成了证明。引理3.4设{Xt}为势且属于类（GD），k为正数，defineyt=^E[Xt+k|Ft]，则{Yt}为G-超鞅。用{pkXt}表示{Yt}的右连续版本，则{pkXt}是势。使用与引理3.3相同的符号。

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大多数88

2022-5-5 08:35:16

设k为正数，Ht，k（ω）=（Xt（ω）-pkXt（ω））/k。过程Hk={Ht，k}验证引理3.3的假设，并且它们的电势增加到{Xt}k-→ 0.证明。如果t<u^E[k（Zu[Xs- pkXs]ds-Zt[Xs- pkXs]ds）|Ft]=^E[kZut[Xs- pkXs]ds | Ft]。对于s≥ t、 ^E[pkXs|Ft]=^E[Xs+k|Fs]|Ft]=^E[Xs+k|Ft]。我们有^E[kZut[Xs- pkXs]ds | Ft]≥^E[kZt+ktXsds | Ft]-^E[kZu+kuXsds | Ft]，通过次线性期望^E的次可加性，我们得出^E[kZt+kxsds |Ft]-^E[kZu+kuXsds | Ft]≥^E[kZt+ktXsds | Ft]-kZu+ku^E[Xs|Ft]ds≥^E[kZt+ktXsds | Ft]- Xt≥ -^E[kZt+kt（Xt）- Xs）ds | Ft]≥ -kZt+kt^E[Xt- Xs | Ft]ds≥ 因此，我们推导出，对于任何u，t，u>t^E[kZut[Xs- pkXs]ds | Ft]≥ 0.如果存在≥ 0这样的话[Xs]- pkXs]<0，{Xt}的右连续性意味着δ>0的存在使得k[Xs]- 区间[s，s+δ]上的pkXs]<0。因此^E[kZs+δs[Xs- pkXs]ds | Fs]<0，这是矛盾的，我们证明（Xt（ω）- pkXt（ω））/k是一个积极的、可测量的、适应良好的过程。因为{Xt}是右连续的G-超马氏体↓tXs=Xtlimk↓0Yt（香港）=limk↓0^E[kZ∞t[Xs- pkXs]ds | Ft]=limk↓0^E[kZt+ktXsds | Ft]=^E[limk↓0kZt+ktXsds | Ft]=Xt，我们完成证明。从引理3.2，3.3和3.4我们可以证明如下定理定理3.1势{Xt}属于（GD）类当且仅当它是由某个可积右连续递增过程生成的。定理3.2（G-Doob-Meyer分解）（1）{Xt}是一个右连续G-超鞅当且仅当它属于（GD）一个极小区间类。更准确地说，{Xt}等于G-鞅M和一个右连续递增过程的差，即Xt=Mt- 在（3.8）（2）如果正确的连续增长过程A是自然的，则分解是唯一的。证据（1）这种必要性是显而易见的。

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2022-5-5 08:35:19

我们将证明它的有效性，我们选择一个正数a并定义neX′t（ω）：=Xt（ω），t∈ [0，a]X′t（ω）：=Xa（ω），t>a，（3.9）{X′t}是类（GD）的右连续G-上鞅，根据定理3.1，存在以下分解X′t=M′t- A′t，其中{M′t}是G-鞅，{A′t}是右连续递增过程。让我们-→ ∞, 如引理3.4所示，Yt（Hk）的表达式表示A′t仅依赖于区间[0，t+ε]上的{X′t}值，ε足够小。作为一个-→ ∞, 一旦a达到大于t的值，它们就不再变化，我们再次使用引理3.2，我们完成了定理的证明。（2）假设X允许两个分解sxt=M′t- A′t=M′t- A′t，其中M′和M′皮重是G-鞅，A′t，A′皮重是自然增长过程。我们定义{Ct:=A′t- A′t=M′t- M′\'t}。那么{Ct}是一个G-鞅，对于每一个有界且右连续的G-鞅{ξt}，从引理3.1我们有^E[ξt（a′t- A′t）＝^E[Z（0，t]ξs-dCs=limn-→∞锰∑k=1ξtnj-1[Ct（n）j-Ct（n）j-1] 式中∏n={t（n），··，t（n）mn}，n≥ 1是[0，t]的分区序列，其最大值为1≤ J≤mn（t（n）j- t（n）j-1）以n的形式收敛到零-→ ∞. 因为ξ和C都是G-鞅，所以我们有^E[ξt（n）j-1（Ct（n）j-Ct（n）j-1） ]=0，因此^E[ξtj-1（A\'t- A′t）]=0。对于任意键合随机变量ξ，我们可以选择{ξt}为{E[ξ| Ft]}的右连续等价过程，我们得到^E[ξ（a′t]）- A′t）]=0。

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2022-5-5 08:35:22

我们将ξ=IA′t6=A′t设为c（A′t6=A′t）=0。根据定理3.2和[23]和[25]中的G-鞅分解定理，我们得到了如下G-Doob-Meyer定理定理3.3{Xt}是一个右连续的G-上鞅，存在一个右连续增长过程和一个自适应过程ηt，使得Xt=ZtηsdBs- 在（3.10），其中bt是G-布朗运动。4.超边缘策略和最佳停止4。1金融模型和G-资产价格体系我们考虑一个金融市场，其中一个非风险资产（债券）和一个风险资产（股票）在市场上持续交易。债券的价格P（t）由dp（t）=rP（t）dt给出，P（0）=1，（4.1）其中r是短期利率，我们假设一个恒定的非负短期利率。我们用G资产价格体系（Su）u假设风险资产≥t、关于次线性期望空间的^E）（见[5]）(Ohm,H，^E，F，（Ft））在奈特不确定性下，对于给定的t∈ [0，T]和x∈ RddSt，xu=St，xudBt=St，xu（db+d^Bt），St，xt=x（4.2），其中Bt是广义G-布朗运动。不确定波动率由GBrownian运动^Bt描述。不确定漂移Bt可以重写为Bt=Ztutdt，其中ut是资产回报率（[3]）。那么G-资产价格系统的不确定风险溢价θt=ut- r、（4.3）不确定，由N（[u）分布- r、 u- r] ，{0}）（[3]），其中r是债券的利率。定义：=Bt- rt=bt+^bt- rt，（4.4）我们有下面的G-Girsanov定理（见[4]、[5]和[10]）定理4.1（G-Girsanov定理）假设（Bt）t≥0是上的广义G-布朗运动吗(Ohm,H，^E，Ft），并由（4.4）定义，存在G-期望空间(Ohm, H，EG，Ft）使得在G-期望EG，和^E[^Bt]=EG[~Bt]下的b是G-布朗运动，-^E[-^Bt]=-例如[-~Bt]。

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2022-5-5 08:35:25

（4.5）根据G-Girsanov定理，风险资产的G-资产价格系统（4.2）可以在(Ohm,H，EG，Ft）如下dSt，xu=St，xu（rdt+dBt），St，xt=x，（4.6），然后通过G-Ito公式，我们得到了St，xu=x exp（r（u- t） +Bu-T-（<~Bu>- <■Bt>），u>t（4.7）4.2通过最优停止构建超级复制策略我们考虑以下类别的未定权益：定义4.1我们定义了一类具有非负回报ξ的未定权益∈ LG(OhmT）对于某些函数f，有如下形式ξ=f（St，xT）（4.8）：Ohm -→ 使得过程fu:=f（St，xu）（4.9）在和c`adl`ag之间有界。我们考虑一项或有索赔ξ，其收益在定义4.1中定义，并在到期日为T的股票上书写。我们给出了超边缘（或分边缘）策略的定义，以及索赔ξ的询问（或出价）价格。定义4.2（1）自我融资超级战略（分别为子战略）是一个向量过程（Y，π，C）（分别为(-Y、 π，C），其中Y是财富过程，π是投资组合过程，C是累积消费过程，比如dyt=rYtdt+πtdBt- dCt，（4.10）（分别为。- dYt=-rYtdt+πtdBt- dCt）（4.11），其中C是一个递增的右连续过程，C=0。如果非负财富约束成立，则称超战略（或次战略）为可行的≥ 0，t∈ [0，T]。（2）针对欧洲未定权益ξ的超边际（或分边际）策略是一种可行的自我融资超战略（Y，π，C）（或分战略）(-Y、 π，C），使YT=ξ（分别。-YT=-ξ). 我们用H（ξ）（分别为H′表示(-ξ））针对ξ的超边缘（分别为次边缘）策略的类别，以及如果H（ξ）（分别为。

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能者818

2022-5-5 08:35:29

H′(-ξ））是非空的，ξ被称为超边缘（分别为次边缘）。（3）超边际索赔ξ在t时的要价X（t）定义为asX（t）=inf{X≥ 0：（y，πt，Ct）∈ H（ξ），使得Yt=x}，且在分包索赔ξ的时间t时的投标价格x′（t）定义为asX′（t）=sup{x≥ 0：(-y，πt，Ct）∈ H′(-ξ）以至于-Yt=-x} 。在不确定性条件下，市场是不完整的，索赔的超边缘（或分边缘）策略也不是唯一的。对要价X（t）的定义意味着要价X（t）是买方将索赔扩大的最小风险量，那么它是针对买方索赔的所有超策略风险的一致度量。所有超策略的一致风险测度可以看作索赔的次线性期望，我们通过最优停止得到索赔的买卖价格的以下表示（定理4.2）。让（Gt）成为G-期望空间的一个过滤器(Ohm,H，EG，F，（Ft）t≥0），以及τ和τbe（Gt）的停止时间≤ τa.s。。我们用Gτ表示，τ表示所有有限元（Gt）-停止时间τ与τ的集合≤ τ ≤ τ.对于给定的t∈ [0，T]和x∈ Rd+，我们定义了函数VAm:[0，T]×Ohm -→ R作为下列最优停止问题的值函数vam（t，St）：=supν∈Ft，TEGt[fν]（4.12）=supν∈Ft，TEGt[f（Sν）]（4.13）命题4.1考虑两个停止时间τ≤ τ在过滤F上。让（ft）t≥0表示某个自适应的RCLL随机过程，它在下面有界。然后我们有两点s，t∈ [0，τ]ands<tess supτ∈Fτ，τ{EGs[Fτ]}=EGs[ess supτ∈Fτ，τ{EGt[Fτ]}（4.14）证明。

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2022-5-5 08:35:32

通过条件G-期望的一致性，对于τ∈ Fτ，τ，s，t∈ [0，τ]和s<tEGs[fτ]=EGs[EGt[fτ]]≤ EGs[ess supτ∈Fτ，τ{EGt[Fτ]}），因此我们有了supτ∈Fτ，τ{EGs[Fτ]}≤ EGs[ess supτ∈Fτ，τ{EGt[Fτ]}]。存在一个序列{τn}-→ τ*∈ [τ，τ]as n-→ ∞, 这样的-→∞EGt[fτn]=EGt[fτ*] = ess supτ∈Fτ，τ{EGt[Fτ]}，（4.15）注意egs[ess supτ∈Fτ，τ{EGt[Fτ]}]=EGs[EGt[Fτ*]]= EGs[fτ*]≤ ess supτ∈我们证明了这个命题。命题4.2过程VAm（t，St）0≤T≤这是一个G-supermartingale(Ohm,H，例如，F，Ft）。证据根据命题4.1，为0≤ s≤ T≤ TEGs[supν∈Ft，TEGt[f（Sν）]=supν∈Ft，TEGs[f（Sν）]。自英国《金融时报》以来 Fs，T，我们有supν∈Ft，TEGs[f（Sν）]≤ supν∈Fs，TEGs[f（Sν）]。因此，我们推导出egs[supν∈Ft，TEGt[f（Sν）]]≤ supν∈Fs，TEGs[f（Sν）]。我们证明了这个命题。定理4.2假设不确定金融市场由价格过程满足（4.1）和d的债券组成- 价格过程与G资产价格系统（4.2）相同且可以自由交易的风险资产，到期日t>0的d资产上的未定权益ξ具有定义4.1中定义的收益类别，函数VAm（t，St）定义于（4.12）中。然后对ξ存在一个超边缘（分别为次边缘）策略，这样，进程v=（Vt）0≤T≤由vt定义的Tde:=e-r（T）-t） VAm（t，St），（分别为。- E-r（T）-t） ess supν∈泰格特[- fν]（4.16）是针对ξ的询问（或投标）价格过程。证据最佳停车时间VAm（t，St）的值函数是G-超鞅，很容易检查e-RTVT是G-超级马丁格尔。根据G-Doob-Meyer分解定理3.2e-rtVt=Mt-“Ct（4.17），其中Mt是G-鞅，而“Ct”是“C=0”的递增过程。根据G-鞅表示定理（[23]和[25]），Mt=EG[Mt]+Ztηsd~Bt- Kt（4.18），其中ηs∈ HG（0，T），-K是G-鞅，K是K=0的递增过程。

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2022-5-5 08:35:36

从上述方程中，我们得到-rtVt=EG[MT]+ZtηsdBt- 因此（Vt，ertηt，Rtersd（\'Cs+Ks）ds）是一种超边缘策略。假设（Yt，πt，Ct）是相对于ξ的超边缘策略，那么-rtYt=e-rTξ-ZTtπtdBt+Ct。（4.20）在方程（4.20）的两侧取条件G-期望，注意过程C是一个C=0的递增过程，我们推导出-rtYt≥ EGt[e]-rTξ]（4.21），这意味着≥ EGt[e]-r（T）-t） ξ]≥ EGt[e]-r（T）-t） ess supν∈FT，T[fν]≥ E-r（T）-t） ess supν∈FT，TEGt[fν]≥ E-r（T）-t） ess supν∈Ft，TEGt[fν]=Vt，由此证明Vt=e-r（T）-t） VAm（t，St）是t时索赔ξ的要价。同样，我们可以证明-E-r（T）-t） ess supν∈泰格特[- fν]是索赔ξ在t时的投标价格。5给定t的自由边界和最优停止问题∈ [0，T]，x∈ 风险资产的G资产价格体系（4.2）可以改写如下dSt，xu=St，xu（rdt+dBt）St，xt=x我们定义了以下确定性函数ua（t，x）：=e-r（T）-t） VAm（t，St，xt），其中VAm（t，St，xt）=ess supν∈Ft，TEGt[f（St，xν）]。根据定理4.2，到期日为T且支付函数为f的美式期权的价格是最优停止问题ua（T，x）：=e的价值函数-r（T）-t） ess supν∈Ft，TEGt[f（Sν）]。（5.22）我们将运算符L定义如下：Lu=G（Du）+rDu+tu，其中G（·）是由方程（2.1）定义的次线性函数。我们考虑自由边界问题Lu:=max{Lu- ru，f- u} =0，in[0，T]×Rd，u（T，·）=f（T，·），in Rd（5.23）表示st:=[0，T]×Rd，表示p≥ 1Sp（ST）：={u∈ Lp（ST）：杜，杜，屠∈ Lp（ST）}。对于ST的任何紧致子集D，我们将Sploc（D）表示为函数u的空间∈ Sp（D）。定义5.1功能u∈ Sloc（圣）∩ C（Rd×[0，T]）是问题（5.23）的一个强解，如果几乎在所有的展台上都是u=0，那么它可以精确地获得最终数据。

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2022-5-5 08:35:41

函数u∈ Sloc（圣）∩C（Rd×[0，T]）是问题（5.23）的强超解≤ 定理5.1如果问题（5.23）存在一个强超解u，那么问题（5.23）也存在一个强超解u，使得≤ “圣路易斯大学”∈ 任何p的Sploc（ST）≥ 因此，根据嵌入定理，我们有u∈ C1，αB，任意α的loc（ST）∈ [0, 1].定理5.2设u是自由边界问题（5.23）的强解，使得| u（t，x）|≤ Ceλ| x |，（t，x）∈ ST，（5.24）形成一些常数C，λ，λ足够小，因此eg[exp（λsupt≤U≤|St，xu |）]<∞持有。那么我们有u（t，x）=e-r（T）-t） ess supν∈自由边界问题的解是最优停止问题的值函数。尤其是这样的解决方案是独一无二的。5.1定理的证明5.2我们使用截断和正则化技术来利用u的弱内部正则性，对于R>0，我们设置R>0，BR:={x∈ Rd | | x |<R}，对于x∈ BR用τR表示St的第一个退出时间，从BR中，很容易检查EG[τR]是否是有限的。作为第一步，我们证明了以下结果：对于每个（t，x）∈ [0，T]×品牌τ∈ Ft，Tsuch，τ∈ [t，τR]，它保持su（t，x）=EG[u（τ，St，xτ）]- EG[ZτtLu（s，St，xs）ds]。（5.26）对于固定的、正的且足够小的ε，我们考虑一个函数uε，Ron Rd+1，具有紧支撑，并且使得uε，R=u在[t，t]上- ε] ×BR。此外，我们用（uε，R，n）n表示∈Na正则化序列，通过uε，R与通常的摩尔数的卷积得到，然后对于任何p≥ 1我们有uε，R，n∈ Sp（Rd+1）和LIMN-→∞kLuε，R，n- Luε，RkLp（[t，t-ε] ×BR）=0。（5.27）通过G-It^o公式，我们得到了uε，R，n（τ，St，xτ）=uε，R，n（t，x）+RτtDuε，R，nd<B>s+RτtrDuε，R，nds+Rτtsuε，R，nds+RτtDuε，R，ndBs，（5.28），这意味着eg[uε，R，n（τ，St，xτ）]=uε，R，n（t，x）+ZτtLuε，R，nds。

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2022-5-5 08:35:44

（5.29）我们有-→∞uε，R，n（t，x）=uε，R（t，x）和，由主导收敛极限-→∞EG[uε，R，n（τ，St，xτ）]=EG[uε，R（τ，St，xτ）]。我们有| EG[ZτtLuε，R，n（s，St，xs）ds]- EG[ZτtLuε，R（s，St，xs）ds]|≤ EG[Zτt | Luε，R，n（s，St，xs）- Luε，R（s，St，xs）|ds]，根据次线性期望表示定理（见[23]），存在一个概率空间q族，例如eg[Zτt | Luε，R，n（s，St，xs）- Luε，R（s，St，xs）|ds]=ess supP∈QEP[Zτt | Luε，R，n（s，St，xs）- Luε，R（s，St，xs）|ds]。自τ≤ τpress supP∈QEP[Zτt | Luε，R，n（s，St，xs）- 吕ε，R（s，St，xs）|ds]≤ ess supP∈QEP[ZT-εt | Luε，R，n（s，y）- 吕ε，R（s，y）|I | St，xs|≤[BRds]≤ ess supP∈QZT-εtZBR | Luε，R，n（s，y）- Luε，R（s，y）|P（t，x；s，y）dydswhereΓP（t，x；·，·）∈ L’q（[t，t]×BR），对于某些‘q>1的情况，是Xt，xs=Xt，xs（rds+σs，PdWs，P）的解的跃迁密度，其中Ws，Pis是概率空间中的维纳过程(Ohmt、 P，FP，FPt）和σs，Pis适应的过程，如σs，P∈ [σ,σ]. 通过H¨older不等式，我们得到了（1/\'p+1/\'q=1）ZT-εtZBR | Luε，R，n（s，y）- Luε，R（s，y）|P（t，x；s，y）dyds≤ kLuε，R，n（s，y）- Luε，R（s，y）kL\'q（[t，t]×BR）kΓP（t，x；s，y）kL\'P（[t，t]×BR），然后我们得到该limn-→∞EG[ZτtLuε，R，n（s，St，xs）]=EG[ZτtLuε，R（s，St，xs）]。这就是（5.26）的证明，因为uε，R=u在[t，t]上- ε] ×品牌ε>0是任意的。自从陆≤ 0，我们对任何τ都有∈ Ft，TEGZτtLu（s，St，xs）ds≤ 我们从（5.26）中推断出u（t，x）≥ EG[u（τ）∧ τR，St，xτ∧R.τ）]。下一步我们把极限作为R传递-→ +∞: 我们有Limr-→+∞τ∧ τR=τ，根据增长假设（5.24）|u（τ∧ τR，St，xτ∧τR）|≤ C exp（λsupt）≤s≤T | St，xs |）。作为R-→ +∞u（t，x）≥ EG[u（τ，St，xτ）]≥ EG[f（τ，St，xτ）]。这表明u（t，x）≥ supτ∈Ft，TEG[f（τ，St，xτ）]。我们把τ=inf{s作为证明的结论∈ [t，t]|u（s，St，xs）=f（s，St，xs）}。因为Lu=0 a.e。

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2022-5-5 08:35:47

其中u>φ，它保持seg[Zτ∧τRtLu（s，St，xs）ds]=0，从（5.26）我们推导出u（t，x）=EG[u（τ∧ τR，St，xτ∧重复前面的论证，我们得到u（t，x）=EG[u（τ，St，xτ）]=EG[f（τ，St，xτ）]。因此，我们完成了证明。5.2自由边界问题这里我们考虑有界圆柱上的自由边界问题。我们将有界圆柱表示为[0，T]×Hn形式，其中（Hn）是Rd的增复盖。我们将证明问题的强解的存在性麦克斯{Lu，f- u} =0，在H（T）中：=[0，T]×H，u|PH（T）=f，（5.30），其中H是Rdand的有界域博士（T）：=H（T）\\（{T}×H）是H（T）的抛物线边界。我们假设支付函数满足以下条件假设5.1支付函数ξ=f（St，xu）具有以下由公共函数表示的假设- G(-Df）≥ c在H中，（5.31），其中G（·）是由方程（2.1）定义的次线性函数。定理5.3我们假设？？持有。问题（5.30）有一个强有力的解决方案∈Sloc（H（T））∩C（H（T））。此外，美国∈ 任何p>1的Sploc（H（T））。证据证明基于标准的惩罚技术（见Friedeman[9]）。我们考虑（βε）ε族∈[0,1]的光滑函数，对于任何ε，函数βε都是递增的，有界于r，并且有界于一阶导数，例如βε（s）≤ ε、 s>0和limε-→0βε（s）=-∞, s<0。我们将fδ表示为f的正则化，并考虑以下惩罚和正则化问题，将解表示为uε，δLu=βε（u）- fδ），在H（T）中，u|PH（T）=fδ，（5.32）Lions[17]，Krylov[16]和Nisio[21]证明了问题（5.32）有唯一的粘度解u（ε，δ）∈ C2，α（H（T））∩C（H（T））与α∈ [0,1].接下来，我们首先证明了惩罚项|βε（uε，δ）的一致有界性- fδ）|≤ c、在H（T）中，（5.33），c与ε和δ无关。通过构造βε≤ ε、证明（5.33）中的下限是足够的。

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2022-5-5 08:35:51

通过连续性，βε（uε，δ- fδ）有一个最小ζinH（T），我们可以假设βε（uε，δ（ζ）- fδ（ζ））≤ 0，否则我们证明下限。如果ζ∈ PH（T）然后βε（uε，δ（ζ）- fδ（ζ））=βε（0）=0。另一方面，如果ζ∈ H（T），那么我们记得βε在增加，因此u（ε，δ）- fδ也是ζ中的（负）最小值。因此，我们有luε，δ（ζ）- lfδ（ζ）≥ 0≥ uε，δ（ζ）- fδ（ζ）。（5.34）通过对f的假设5.1，我们得到lfδ（ζ）在δ中一致有界。因此，通过（5.34），我们推导出βε（u（ε，δ）（ζ）- fδ（ζ））=Lu（ε，δ）（ζ）≥ lfδ（ζ）≥ c、其中c是一个独立于εδ的常数，这证明了（5.33）。其次，我们使用旋量估计结合（5.33）来推断，对于H（T）和p中的每个紧致子集D≥ 1，范数kuεδkSp（D）在ε和δ中一致有界。因此（uε，δ）收敛为ε，δ-→ 0，H（T）到函数u的Spon紧子集中的弱。moreimsupε，Δβε（uε，δ- fδ）≤ 0，所以≤ H（T）中的f a.e。另一方面，在集合{u>f}中，Lu=fa.e。最后，验证u∈ C（H（T））并假设初始边界条件，使用基于最大值原理和势垒函数的标准参数。定理5.1的证明。关于无界区域上自由边界问题存在定理的定理5.1的证明与[7]中关于正则有界圆柱区域上自由边界问题存在定理的定理5.3类似。参考文献[1]Black，F.and Scholes，M.（1973）《期权定价与公司负债》，J.PoliticalEconomy。81, 673-659.[2] Bensoussan，A.（1984）关于期权定价理论。《应用数学学报》，2139-158。[3] Chen，W.（2011）不确定条件下或有权益的时间一致性G-期望和买卖动态定价机制，预印本arXiv:1111.4298v1。[4] 陈，W。

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2022-5-5 08:35:54

（2013）分数G-白噪声理论，分数GBrownian运动的小波分解，不确定性下欧洲未定权益的买卖定价，预印本arXiv:1306.4070v1。[5] Chen，W.（2013）奈特不确定性下欧洲或有索赔的G-一致价格体系和买卖定价。预印本arxiv:1308.6256[6]杜布，J.L.（1953）随机过程。约翰·威利父子公司，纽约。[7] Francesco，M.D.，Pascucci，A.，Polidoro，S.（2008）一类亚椭圆超抛物方程的障碍问题，会议记录：数学、物理和工程科学，464（2089），155-176。[8] Frey，R.（2000）随机波动率模型中的超级复制与最优停止，金融与随机，4（2），161-187。[9] Friedman，A.（1982）变分原理和自由边界问题。《纯粹与应用数学》，约翰·威利父子公司，纽约，威利跨学科出版物。[10] 胡明明，季树生，彭树生，宋，Y.（2012）比较定理，费曼-卡克公式和G-布朗运动驱动的BSDE的Girsanov变换，预印本arXiv:1212.5403v1。[11] Karatzas，I.（1988）《美国期权定价》，应用数学与优化，17，37-60。[12] EL Karoui，N.和Karatzas，I.（1989）停止问题中最优风险与吸收的整合。数学课堂讲稿。1372 405-420. 斯普林格，纽约。[13] EL Karoui，N.和Karatzas，I.（1991）Skorohod问题的新方法及其应用。随机和随机报告。34, 57-82.[14] 奈特·F.（1921）《风险、不确定性和利润》，波士顿：霍顿Mif公司。1921.[15]Kramkov，D.（1996）不完全证券市场中的超鞅的可选分解和套期保值目标。Probab。理论相关领域，105459-479。[16] Krylov，N.V.（1980），受控扩散过程。斯普林格·维拉格，纽约。[17] 狮子，P。

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