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Heston随机模型特征函数的渐近展开
可人4
955 6
2022-05-05
英文标题：
《Asymptotic expansion for characteristic function in Heston stochastic
  volatility model with fast mean-reverting correction》
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作者：
Ankush Agarwal
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this note, we derive the characteristic function expansion for logarithm of the underlying asset price in corrected Heston model as proposed by Fouque and Lorig.
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中文摘要：
在本文中，我们推导了Fouque和Lorig提出的修正Heston模型中标的资产价格对数的特征函数展开式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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可人4
2022-5-5 09:30:24
具有快速均值回复修正的Hestonstochastic波动率模型特征函数的渐近展开Ankush-Agarwal*2021年6月23日在本文中，我们推导了Fouque a和Lorig[1]提出的修正Heston模型中标的资产价格Xτ对数的特征函数展开式。1简介Heston模型[3]是应用最广泛的随机波动率模型，因为它为计算欧式期权价格提供了一个明确的公式。但正如Fouque和Lorig[1]所指出的那样，该模型未能捕捉到隐含波动率在货币内和货币外欧洲期权中的倾斜。对此现象的一种建议解释是，模型中的单一波动因素不足以描述观察到的波动过程的动力学。在[1]中，作者提出了对Heston模型的快速均值回复修正，该修正仍然保持了欧式期权价格公式的明确性。
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可人4
2022-5-5 09:30:34
结果表明，修正后的Heston模型比原始Heston模型更好地捕捉了市场隐含波动率偏差。在本文中，我们使用奇异摄动展开来修正赫斯顿模型中标的资产价格对数的特征函数。2多尺度模型和特征函数Pd在定价风险中性概率测度P下，考虑由以下随机微分方程组描述的动态资产的价格：dSt=rStdt+∑tStdWxt，∑t=pZtf（Yt），dYt=Zt（m- Yt）dt+ν√rZtdWyt，dYt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdWzt。这里，Wxt，wyt和wzt是一维布朗运动，具有相关结构dhWx，Wyit=ρxydt，dhWx，Wzit=ρxzdt，dhWy，Wzit=ρy zdt，*塔塔基础研究院技术与计算机科学学院，马萨诸塞州孟买400005；ankush@tcs.tifr.res.inwhere相关系数ρxy、ρxzan和ρxy是满足ρxy<1、ρxz<1、ρy z<1和ρxy+ρxz+ρy z的常数- 2ρxyρxzρy z<1，以确保三个布朗运动的协方差矩阵的正不确定性。接下来，我们设置Xt=log Stand，得到相应的g随机微分方程，该方程描述Xt:dXt的动力学=R-f（Yt）Ztdt+∑tdWxt。让我们将到期时标的资产价格对数的特征函数定义为ψ（t，x，y，z）：=EeisXT | Xt=x，Yt=y，Zt=z其中，我们使用了（Xt，Yt，Zt）的马尔可夫性质，定义了特征函数ψ（t，x，y，z），上标表示对小参数的依赖性。
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大多数88
2022-5-5 09:30:37
利用条件期望ψ（t，x，y，z）的offeynman-Kac公式，我们得到以下偏微分方程和边界条件：Lψ（t，x，y，z）=0，（1）L=t+L（X，Y，Z），（2）ψ（t，X，Y，Z）=eisx（3），其中算子L（X，Y，Z）是过程（Xt，Yt，Zt）的最小生成元：L（X，Y，Z）=R-f（y）zx+f（y）zx+ρxzσf（y）z十、z+k（θ）- z）z+σzz+z（m）- y）ν+yY+Z√ρy zσν√Yz+ρxyν√2f（y）十、Y.我们把L分成类似于1的幂的群/√. 为此，我们定义了运算符L，Land Las，如下所示：L:=νy+（m）- y）y、 L:=ρy zσν√Yz+ρxyν√2f（y）十、y、 L:=t+f（y）zx+R-f（y）zx+σzz+k（θ）- z）z+ρxzσf（y）z十、z、 根据这些定义，L表示为：L=zL+z√L+L.（4）3渐近分析为了获得特征函数ψ的近似值，我们对小参数进行了正弦摄动，将解的幂展开√ψ（t，x，y，z）=ψ（t，x，y，z）+√ψ（t，x，y，z）+ψ（t，x，y，z）+。（5） 我们将（5）和（4）插入（1）和（3）中，并收集等幂项√.订单1/条款。综合1阶项，我们有以下的偏微分方程：zLψ=0。由于l只对y求导数，第一个方程意味着ψ与y无关。事实上，它是一个极小的生成元，因此零是一个具有常数本征函数的本征值。因此，我们寻求形式为ψ=ψ（t，x，z）的ψ。订单1/√术语。收集订单1的条款/√导致以下偏微分方程：0=zLψ+zLψ，=zLψ。我们使用了ψ独立于y的结果。出于与ψ相同的原因，ψ也独立于y。因此，我们寻求形式为ψ=ψ（t，x，z）的ψ。订单1条款。
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能者818
2022-5-5 09:30:41
1阶匹配项导致如下偏微分方程和边界条件：0=zLψ+zLψ+Lψ，=zLψ+Lψ，（6）eisx=ψ（T，x，z），（7）我们使用了ψ在y上的独立性。我们注意到（6）是ψ关于极小生成元L的泊松方程。当且仅当Lψ关于极小生成元L中的扩散的不变分布居中时，ψ的解才存在。因此，居中条件为Lψi=0，其中，尖括号表示取微分变量分布相关参数的平均值，其最小生成元为L。由于ψ不依赖于y，因此居中条件变为shliψ=0。（8） 我们注意到，PDE（8）和边界条件（7）共同定义了一个ψ（t，x，z）必须满足的柯西问题。正如我们在后面所展示的，这相当于求解Heston模型中的特征函数PDEfor。使用（6）和定心条件，我们可以显示ψ=-L-1.L- hLiψ. （9） 命令√术语。收集订单条款√，我们得到以下偏微分方程和边界条件：0=zLψ+zLψ，（10）0=ψ（T，x，z）。（11） 我们注意到ψ解y中关于L的泊松方程。因此，我们对源zLψ+Lψ施加相应的g中心条件，导致hliψ=-zhLψi.将（9）中的ψ代入上述方程，我们得到hliψ=Aψ，（12）A：=zLzL-1o（L）- hLi）.注意，PDE（12）和边界条件（11）定义了一个柯西问题，ψ（t，x，z）必须满足。4前导阶项的计算ψ的计算。我们之前的分析表明，ψ是以下问题的解：CauchyproblemhLiψ=0，（13）ψ（T，x，z）=eisx。（14） 就像在[1]中一样，在失去一般性的情况下，我们对f进行归一化，使hfi=1。因此，我们可以写，hLi=t+zx+R-Zx+σzz+κ（θ）- z）z+ρσz十、z、 （15）式中ρ：=ρxzhfi。
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可人4
2022-5-5 09:30:53
很明显，（15）中的hLi是一个赫斯顿模型算子，用有效相关项ρxz\'f w调制，其中f:=hf i。因此，我们选择以下形式的解ψψ=exp（C（T- t） +zD（t）- t） +isx）。将溶液形式插入PDE（13），我们得到以下方程式：0=Ct+ris+κθD，0=DT-（s+is）+σD- (κ - iρσs）D服从C（0）=0和D（0）=0。这些方程可以通过求解得到以下表达式C（τ）=irsτ+κθσ(κ - ρiσs+d）τ- 2原木1.- g（s）eτd（s）1- g（s）,D（τ）=κ- ρiσs+dσ1.- eτd（s）1- g（s）eτd（s）,d（s）=p（ρσ是- κ） +σ（is+s），g（s）=κ- ρσ是+dκ- ρσ是- d、 τ=T- t、 ψ的计算。我们首先评估运营商A.A=zLzL-1（L）- hLi）=zLzL-1z（f）- hfi）十、-zLzL-1z（f）- hfi）十、+zLzL-1ρxzσz（f）- hfi）十、Z= ZLφ（y）十、- ZLφ（y）十、+ ρxzσzLξ（y）十、Z.函数φ（y）和ξ（y）求解y中关于算子L的下列泊松方程：Lφ=（f- hfi），Lξ=f- hfi。我们使用Lto的定义来计算A:A=Vz的最终表达式Z十、- VzZx+VzZx+Vz十、- Vzx+VzZx、 V=ρy zσν√2hφ′i，V=ρxzρy zσν√2hξ′i，V=ρxyν√2hfφ′i，V=ρxyρxzσν√2hfξ′i.我们回到方程（12）和（10）得到边界条件为：hLiψ=Aψ，ψ（T，x，z）=0的偏微分方程。Ansatz:ψ=（κθf（t，s）+zf（t，s））ψ。我们把安萨兹的选择代入边界条件和边界条件。
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