关于期限结构的多曲线模型

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《On multicurve models for the term structure》
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作者：
Laura Morino and Wolfgang J. Ruggaldier
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In the context of multi-curve modeling we consider a two-curve setup, with one curve for discounting (OIS swap curve) and one for generating future cash flows (LIBOR for a give tenor). Within this context we present an approach for the clean-valuation pricing of FRAs and CAPs (linear and nonlinear derivatives) with one of the main goals being also that of exhibiting an \"adjustment factor\" when passing from the one-curve to the two-curve setting. The model itself corresponds to short rate modeling where the short rate and a short rate spread are driven by affine factors; this allows for correlation between short rate and short rate spread as well as to exploit the convenient affine structure methodology. We briefly comment also on the calibration of the model parameters, including the correlation factor.
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中文摘要：
在多曲线建模的背景下，我们考虑两条曲线设置，一条用于贴现（OIS掉期曲线），另一条用于生成未来现金流（给定期限的LIBOR）。在此背景下，我们提出了一种FRA和CAP（线性和非线性衍生品）的清洁估值定价方法，其中一个主要目标也是在从一条曲线过渡到两条曲线时显示“调整系数”。该模型本身对应于短期利率建模，其中短期利率和短期利率利差由仿射因素驱动；这使得短期利率和短期利率利差之间存在相关性，并利用方便的仿射结构方法。我们还简要评论了模型参数的校准，包括相关系数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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On_multicurve_models_for_the_term_structure.pdf
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mingdashike22

2022-5-5 11:42:29

关于术语结构的多曲线模型Laura Morino*Matematica Pura ed ApplicationUniversity\'a di Padova，途经的里雅斯特63，I-35121-Padova电子邮件：劳拉。morino88@gmail.comWolfgangJ.Ronggaldierdiemento di Matematica Pura-ed ApplicationUniversity\'a di Padova，通过的里雅斯特63，I-35121-Padova电子邮件：runggal@math.unipd.itAbstractIn在多曲线建模的背景下，我们考虑一个两曲线集，一个用于贴现的曲线（OIS掉期曲线）和一个用于伪造未来现金流的曲线（给定期限的LIBOR）。在此背景下，我们提出了一种对框架和封顶（线性和非线性导数）进行清洁估值的方法，其中一个主要目标是在从单曲线到双曲线设置的过程中显示“调整因子”。该模型本身对应于短期利率模型，其中短期利率和短期利率分布由一个有效因素驱动；这允许短速率和短速率传播之间的相关性，以及利用方便有效的结构方法。我们还简要评论了模型参数的校准，包括相关系数。数学学科分类：小学91G30；中学91G20,60H30。关键词：多曲线模型，有效因子模型，利率驱动，净估值，调整因子。1简介在大危机之后，人们目睹了不同期限的伦敦银行同业拆借利率之间的息差以及aLIBOR和贴现曲线（LIBOR-OIS）之间的息差显著增加。

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kedemingshi

2022-5-5 11:42:33

这导致了多客户模型的构建，通常情况下，未来现金流是在多客户模型中产生的*出席会议：德勤咨询有限公司。，米兰。通过与未折旧率相关的曲线，但被另一个电流贴现。大多数被认为是反映了（i）短期利率模型之间通常的经典区别的模型；ii）HJM s调试；iii）BGM或LIBOR市场模型。通过与信用风险的类比，我们可以将前两类模型称为自下而上模型，而第四类ird模型可以归类为自上而下模型。此外，还出现了与外国交换有关的方法。这里我们只考虑前两种设置。我们首先讨论HJM方法中出现的一些问题，然后集中讨论短期利率模型。第三种设置（自上而下）主要出现在F.Mercurio及其合著者的作品中（参见[19]，[20]），但也出现在其他近期作品中，如[16]。每种设置都有优点和缺点。短期利率模型的可能优势之一是，它们更容易适应马尔可夫环境，这便于各种计算（见[8]）。另一方面，与直接短期利率建模相比，HJM的一个主要优势是，该模型自动校准到初始期限结构。文献[18]、[17]、[11]中已经出现了MULTI曲线图中的短速率模型。为了以一种简单的方式展示基本思想，我们考虑了一个双曲线模型，即一个用于贴现的曲线和一个用于生成未来现金流的曲线。贴现曲线的选择不是唯一的；我们遵循考虑OIS互换曲线的常见选择。对于有抵押物的风险现金流，我们考虑单一伦敦银行同业拆借利率（即。

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可人4

2022-5-5 11:42:38

f或给定的榫眼结构）。我们提出了一种与伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）相关的基本衍生工具的定价方法，即FRA和C APs（线性/非线性），并考虑了无交易对手风险的仅周期估值公式。尽管真实定价问题需要一种更具全局性的方法（参见[13]、[14]、[22]、[6]中的讨论，以及D.Brigo和[21]、[2]等合著者最近的工作），但干净的估值公式仍然有用，原因多种多样：如[8]所述，市场报价通常反映完全合并交易的价格，因此在使用模型计算可能的价值调整时，净价格公式可能也适用于校准；此外（见[8]），T VA调整通常在净价格的基础上进行计算。关于方法论，由于我们的方法是自下而上的，考虑到短期利率建模，我们充分利用了有效期限结构的优势。这与自上而下的方法形成对比，在自上而下的方法中（见[19]、[20]）对数正态模型是常见的（但对于多曲线背景下具有一般分布的有效LIBOR模型，请参见[16]和[15]）。传统上，利率被定义为与债券价格p（t，t）一致，后者代表市场对货币未来价值的预期。对于我们在这里用L（t；t，S）表示的远期伦敦银行同业拆借利率，这导致（t<t<S）L（t；t，S）=S- Tp（t，t）p（t，S）- 1.（1.1）也可以被解释为代表伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）中aFRA固定利率的公允价值。由于我们只考虑与给定期限结构相对应的单一伦敦银行同业拆借利率，因此我们假设S=T+ （为男高音）). 通过这种方式，我们可以得到期限结构的正弦曲线。

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kedemingshi

2022-5-5 11:42:41

实际伦敦银行同业拆借利率，在下文中，我们将用L（t；t，t+), 由伦敦银行同业拆借利率委员会决定，该委员会考虑了各种因素，如信贷风险、流动性等（见[11]中的讨论）。根据一些最新文献，特别是[7]（另见[18]），我们保持了利率和债券价格之间的正式关系（1.1），但将无风险债券价格p（t，t）替换为实际的“风险”债券价格p（t，t），该债券价格应受到与实际利率相同的因素的影响，类似于无风险债券价格，我们将其定义为“p（t，t）=EQ经验-ZTt（如+苏）杜| 英尺（1.2）RTI是经典的短期利率，而Stre表示短期利率差（仅在违约风险情况下的风险率）。请注意，通过这种方式，从一开始就引入了展开。还要注意，实际债券价格p（t，t）不是实际价格。因为在接下来的内容中，我们对基于-即期伦敦银行同业拆借利率+), 事实上，我们只在t=t时才假设关系（1.1）。因此，我们的出发点是以下关系“L（T；T，T+) =\'p（T，T+)- 1.（1.3）我们已经考虑到这样一个事实，即对于“风险”债券，我们也有p（T，T）=1。除了在我们的两个曲线设置中对FRA和CAP进行定价之外，我们在这里的主要目标是通过展示一个调整因子，来推导理论上无风险的FRA和实际FRA（可能也包括CAP）之间的关系，该调整因子的作用类似于[1]中交叉货币衍生品价格或“乘法远期基础”中的quanto调整。1初步考虑我们首先对类似HJM的方法进行一些评论，以更好地激励我们的短期利率方法。

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mingdashike22

2022-5-5 11:42:44

考虑到债券价格过程p（t，t）和p（t，t），为了应用HJM方法，我们需要引入相应的正向利率过程fT（t）和fT（t），从而产生以gT（t）表示的远期利率差：=\'fT（t）- fT（t）。然后还可以获得相应的短期利率和短期利率利差，名称为Lyrt=ft（t），\'rt=\'ft（t），st=gt（t）=\'rt- 注意，一个一致的mod-els应该导致“p（t，t）≤ p（t，t），表示“fT（t）”≥ fT（t）或等效物ygt（t）≥ 0t<t≤\'T，其中\'T是给定的最大到期日。[7]中出现了多曲线HJM方法的广泛研究。驱动随机过程是一个Levy过程，并导出了相应的HJM漂移条件。给出了利率和利差非负性的条件；得到了各种利率衍生品的显式公式。[7]中可能不完全令人满意的是：i）在处理信用风险和其他风险（如流动性）时，会出现一些困难。特别是在寻找与默认HJM d裂谷条件对应的条件时；ii）必须明确考虑实际违约（包括违约前债券价格）。[7]中的研究在最近的论文[8]中继续进行，主要目的是考虑交易对手风险和融资成本，并在清洁价格的基础上确定各种估值调整。[8]中的方法同样基于HJM方法，但对诱导的短期利率模型有明确说明，以获得马尔可夫结构，并能够实际执行值调整计算。特别是，在[8]中，作者使用Levy-Hu-ll&White扩展的Vasicek模型来计算RTA，并引入了一个可以解释为代表短期利率利差的额外因素。

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可人4

2022-5-5 11:42:49

从后一种意义上讲，这里要介绍的方法是不合理的。[3]中出现了另一种基于HJM的方法，仅限于违约风险，重点是获得具有依赖于状态的波动率的马尔可夫模型。驾驶过程属于跳跃扩散型。这里的困难似乎来自这样一个事实，即为了方便地确定波动率，可以获得确定性的短期利率利差。对于更一般的情况，随机波动率只能得到近似的马尔可夫性。这些困难在随后的论文[4]中得到了克服，作者在论文中获得了有限维的马尔可夫实现，也具有随机利差，此外，还获得了编辑利差、利率和随机波动性之间的相关结构。当试图将他们的方法扩展到多曲线设置时，除了信贷风险本身所暗示的情况之外，由于仓促的波动性，似乎还有一些计算困难。在描述我们的短期利率模型之前，我们先回顾一下有关FRA的一些基本知识。我们从定义2.1开始。远期利率协议（FRA）是一种OTC衍生工具，允许持有人在t<t时锁定入息日t和到期日t+之间的利率在固定的v值K.到期时T+, 基于K的支付和基于L（T；T，T+) 收到了。我们将用F RAT（t，K）表示t<t时的FRA值。在我们的双曲线风险设置中，固定利率下t<t的FRA的公平价格和名义N isF鼠（t，K）=Np（t，t+)ET+\'L（T；T，T+) - K |英尺= Np（t，t+)ET+HP（T，T+)- (1 + K） | Fti（2.1），其中ET+表示在（T+)- 正向测量+.

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大多数88

2022-5-5 11:42:52

注意p（t，t+) 和¨p（t，t+)不允许在单曲线设置中方便地将公式简化为更简单的形式。2.2模型本身的描述对于短期利率模型方法，我们必须首先直接对短期利率RTA和短期利率利差进行建模。我们根据无风险货币市场账户的标准鞅度量Q（将校准到市场）进行建模，作为计价。为了解释RTA和STT之间可能存在的（负）相关性，我们引入了一个因子模型：给定三个独立的有效因子过程ψit，i=1,2,3 letrt=ψt- ψtst=κψt+ψt（2.2），其中κ是一个常数，用于测量与st之间的瞬时相关性（负相关性f或κ>0）。这种设置可以通过各种方式进行推广，尤其是通过使用更多的因素来推动现有文献的观点，我们可以考虑[5]中所述的范围类型过程，而不是像我们在这里所做的那样使用一个有效的模型结构。这种不属于半鞅ty pe的模型，也允许进行分析计算，并提供了考虑长程依赖性的可能性。保持在纯cr编辑风险范围内，见（1.2）之后的内容，利差由违约强度给出，影响利差的一些因素可以被赋予特定的含义，如[9]中所述，其中，作者使用HJM类型的方法，考虑一个利差过程，其中一个变量代表发行人的评级。[9]中的方法可能也适用于目前的情况。在一个有效的环境中对因素建模的一种常见方法是假设它们是平方根差异类型。

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mingdashike22

2022-5-5 11:42:55

这保证了利差的正相关性，但负相关性是以可能的负利率为代价的（即使可能性很小）。使用这样的amodel，通过传递到（T+)-远期衡量，可以计算FRA和公平固定利率的价值。出于各种原因，特别是考虑到我们获取调整因子的主要目标，对于不同到期日的远期利率协议，可以方便地使用相同的因子模型。在此之前，我们的目标是在一个参考测度，即标准鞅测度Q下进行计算。更准确地说，对于f因素过程，我们假设Q下的下列差异为Vasicek类型，n amelydψt=（a）- bψt）dt+σdwtdψit=（ai）- biψit）dt+σipψitdwit，i=2,3（2.3），其中ai，bi，σi是与ai成正常数≥ （σi）/2，对于i=2、3和witinependent Wiener过程。我们选择了Vasicek类型的隐式模型，但下面的结果可以很容易地扩展到Hull&Whiteversion的Vasicek模型。请注意，因子ψt可能会产生负面影响，不仅rt可能会变为负面，STM也可能会变为负面（但请参见下文“对主要结果的评论”）。

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能者818

2022-5-5 11:42:58

与我们将在此处获得的上述纯微分模型完全相同的结果，也可以在更复杂的符号的唯一代价下导出一个有效的跳跃微分。3主要结果（FRA）3.1初步概念和结果回顾FRA在正向测量下的表达，即F大鼠（t，K）=Np（t，t+)ET+“\'p（T，T+)- (1 + K） |Ft#，（3.1）一个人有一个关键的要计算的量是t，t:=ET+“\'p（T，T+ )| Ft#（3.2）以及使FRA在t时成为公平合同的固定利率为#Kt：=（？/t，t）- 1）（3.3）在经典的单曲线情况下，我们用v t代替，t:=ET+“p（T，T+)| Ft#=p（t，t）p（t，t+)(3.4)在(t,t)p(t,t)+)英国《金融时报》-（T）下的鞅+)- 向前看。在单曲线情况下，固定利率为1kT=（νt，t）- 1) =p（t，t）p（t，t+)- 1.（3.5）请注意，为了计算Kt，不需要利率模型（与“Kt”相反）。由于ψit（i=1,2,3）在Q下的有效动力学，我们得到了无风险键p（t，t）=EQnexph-RTtrudui | Fto=EQnexphRTt（ψu）- ψu）dui | Fto=expA（t，t）- B（t，t）ψt- B（t，t）ψt（3.6）系数满足英国电信- bB- 1=0，B（T，T）=0Bt- bB-（σ）（B）+1=0，B（T，T）=0At=aB-（σ）（B）+aB，A（T，T）=0（3.7）领先，尤其是toB（T，T）=BE-b（T）-（t）- 1..

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大多数88

2022-5-5 11:43:03

（3.8）对于有风险的债券，我们用“p（t，t）=EQnexph”-RTt（ru+su）对决| Fto=EQnexph-RTt（（κ）- 1） ψu+ψu+ψu）dui | Fto=exp\'A（t，t）-\'B（t，t）ψt-\'B（t，t）ψt-\'B（t，t）ψt（3.9）这一次，系数满足“英国电信- b′b+（κ- 1） =0，\'B（T，T）=0\'Bt- b\'b-（σ）（\'B）+1=0，\'B（T，T）=0\'Bt- b\'b-（σ）（\'B）+1=0，\'B（T，T）=0\'At=a\'B-（σ）（\'B）+a\'B+a\'B，\'a（T，T）=0（3.10），尤其是领先于\'B（T，T）=1- κbE-b（T）-（t）- 1.= (1 - κ） B（t，t）（3.11）从上述1-st阶方程如下所示：\'B（t，t）=（1）- κ） B（t，t）\'B（t，t）=B（t，t）\'A（t，t）=A（t，t）- aκRTtB（u，T）du+（σ）κRTt（B（u，T））du- （σ） κRTtB（u，T）du-aRTt\'B（u，T）du（3.12）然后让A（T，T）：=\'A（T，T）- A（t，t）（3.13）我们得到‘p（t，t）=exph’A（t，t）- B（t，t）ψt- B（t，t）ψt-\'B（t，t）ψt+κB（t，t）ψti=p（t，t）exph＠A（t，t）+κB（t，t）ψt-\'B（t，t）ψti（3.14），为了简单起见，~B:=B（t，t+), 一个人可以写（T，T+)\'p（T，T+ )= 扩展-~A（T，T+) - κBψT+-B（T，T+)ψTi。（3.15）3.2结果本身我们介绍定义3.1。我们称调整因子为过程ssAdT，t:=EQp（T，T+)\'p（T，T+ )| 英尺, （3.16）并应证明以下命题3.1。我们有νt，t=νt，t·AdT，t·expκ（σ）2（b）1.- E-B1.- E-b（T）-（t）（3.17）右侧有两个调整系数，其中第一个可以用ADT表示，t=e-~A（T，T）+)EQne-κBψT+-B（T，T+)ψT | Fto:=A（θ，κ，ψT，ψT）（3.18），其中θ：=（ai，bi，σi，i=1,2,3）。人们可能会注意到，这里的类比与多重正向基础[1]类似。根据前面的观点，我们得出了固定利率的公允价值与相应无风险利率的公允价值之间的以下关系：推论3.1。

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可人4

2022-5-5 11:43:06

以下关系适用于“Kt”=千吨级+· AdT，t·expκ（σ）2（b）1.- E-B1.- E-b（T）-（t）-（3.19）注意，对于零相关性，指数给出的因子等于1，即对于（κ=0）。3.3对主要结果的评论3。3.1关于调整因子的注释在κ=0（RTA和st的独立性）的情况下，可以获得对主要结果的简单直观解释：在这种情况下，我们有rt+st>RTIMPLING¨p（T，T+) < p（T，T+) 所以AdT，T≥ 1（指数调整因子等于1）。命题1和3，然后是它的推论≥ νt，t，\'Kt≥ Kt（3.20）来获得一些关于κ6=0的情况的直觉，让pκ（t，t），νκt，t，AdT，,κt通过强调相关参数的值κ来表示给定的量。注意，p（t，t）和因此也是νt，Tdo不依赖于κ。然后考虑病例κ>0，这是标准病例，意味着RTA和st之间存在负相关（病例κ<0为类似/双重）。为了便于说明，我们区分两个事件{ψt>0，T∈ [T，T]+]}, {ψt<0，T∈ [T，T+]} 后者仅以很小的概率出现（实际上，ψt对某些t值为正，对其余的t值为负）。关于{ψt>0，t∈ [T，T+]} 我们现在有了pκ（T，T+) < \'p（T，T+)=> νκt，t>νt，t=> ‘νκt，t/νt，t>’νt，t/νt，t（3.21）回忆然后‘νκt，t=νt，t·AdT，,κt·expκ（σ）2（b）1.- E-B1.- E-b（T）-（t）（3.22）可以看出，（3.21）中的最后一个不等式符合这样一个事实，即在（3.22）中，指数因子大于1，AdT，,κt>AdT，,0t（召回定义3.1）。另一方面，在{ψt<0，t∈ [T，T+]}, 我们有pκ（T，T+) > \'p（T，T+) => νκt，t/νt，t<νt，t/νt，t（3.23）这个不等式可以被视为与f作用一致，这里，AdT，,κt<AdT，,但指数因子仍然大于1。

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何人来此

2022-5-5 11:43:09

然而，这可以通过注意到，在这种情况下，RTI相对较大，rt+STISCLOSE比rt（甚至可能小于rt）更接近rt来解释。这意味着“νκt，t/νt，t”的推力比前一种情况下更小。3.3.2关于使用结果进行校准的意见关于我们的模型与FRA和其他可用市场数据的校准，请注意系数a、a、b、b、σ，σ可以根据无违约债券p（t，t）的观察结果，以通常的方式进行校准（如果我们有Vasicek型模型（2.3）的Hull&White扩展，那么对于该模型，校准也可以按照标准情况进行）。为了校准a，b，σ，请注意，与p（t，t）相反，“风险”债券p（t，t）是不可观测的（关系式（1.3）并不意味着通过观察伦敦银行同业拆借利率来确定p（t，t）的唯一反向关系）。然而，人们可以观察到Kt=p（t，t）p（t，t）+)- 1.以及“高风险”的FRA利率。回顾推论3.1和AdT，t=A（θ，κ，ψt，ψt），注意，通过对Ktone和Ktone的观察，校准了ai，bi，σi（i=1，2），因此可以校准A，b，σ以及κ。如果有办法直接确定AdT，t（例如，通过观察FRA率f或不相关的dR和st），然后在推论3中表示Kt和¨Kta之间的关系。允许κ1单独校准。此外，我们还记得，正如[8]所指出的，当使用模型计算可能的价值调整时，清洁价格的校准也很有效。3.4主要结果的证明在正向测量（见（3.2）和（3.4））下定义的感兴趣的量，即t、Tandνt、Twere，作为第一步，我们从正向测量QT进行改变+对于标准的鞅测度Q。对于这个效应，我们使用bt:=exphRtrudui，从Q到QT的密度过程+是Lt=p（t，t+)p（0，T+)英国电信。

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