对订单流不平衡的预期带来的市场影响

2022-5-5 13:11:58

对订单流量不平衡的预期对市场的影响Hibault Jaisson*CMAP，巴黎理工学院。jaisson@polytechnique.eduFebruary本文假设元订单对市场的影响是线性的，价格是鞅。这两个假设使我们能够从市场订单流动的动力学中得出价格的演变。例如，如果假设市场订单流量遵循一个近乎不稳定的霍克斯过程，我们将检索流量的明显长记忆以及与标定平方根定律一致的幂律影响函数。我们还将市场订单符号的长记忆指数与影响函数分量联系起来。我们的方法的一个独特之处是，我们的结果是在不假设市场参与者能够检测到元订单开始的情况下得出的。关键词：市场影响、元秩序、市场秩序流动、霍克斯过程、长记忆、平方根定律、市场效率。1简介大致来说，市场影响是指订单数量（市场订单或元订单）与执行本订单期间和之后的价格变动之间的联系，参见[9]。准确的市场影响建模至关重要。实际上，市场影响极大地影响了经纪人、做市商以及大型投资者的最优策略设计。例如，市场影响往往会通过产生执行成本来降低投资策略的收益，而执行成本会随着交易量的增加而增加。从理论角度来看，[10]和[36]中指出，供给和需求的内生（即独立于市场之外的信息）变化比外生信息对价格波动的影响更大。

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2022-5-5 13:12:02

因此，理解价格形成过程必然需要理解市场影响。这里我们关注元序。更准确地说，我们研究了元订单的影响函数，即在元订单执行期间和之后，价格随时间变化的预期。我们将元订单的永久市场影响称为影响函数的时间限制（即元订单开始和长期订单之间的平均价格变动）*我感谢我的博士生导师Emmanuel Bacry和Mathieu Rosenbaum为实现这项工作所提供的帮助。元订单是增量执行的大型事务，请参见[16]。执行后的时间）。关于这一主题的文献通常来源于凯尔的开创性著作[29]。在后一种情况下，研究表明，拥有价格未来私人信息的知情交易者应逐步执行其元指令，从而缓慢地将eprice传递给市场的其他部分。然而，也可以推断，市场影响应该贯穿于元指令的执行过程中，这与一贯给出严格凹形市场影响的实证研究不一致。例如，我们参考了[8]和[34]，其中估计的影响函数在整个执行过程中就时间而言接近幂律，指数在0.5（见[8]）和0.7（见[34]）之间。这些经验结果通常被称为平方根定律。关于冲击函数凹性的第一个主要理论解释将其与大投资者的行为联系起来，见[18]，[11]和[31]中顺序的持续性，或元顺序的大小分布，见[16]。在[37]中，Toth等人证明了价格的差异可以被定义为潜在订单簿的V形。

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kedemingshi

2022-5-5 13:12:06

他们提出了一个模型，在该模型中，他们通过数值证明了冲击函数的凹度取决于顺序流的长记忆性。最近，Farmer e t al[16]成功地将这种凹度与元序大小的分布联系起来。更准确地说，在他们的模型中，他们得到了一个幂律影响函数，其指数ν与亚阶β大小的分布尾指数相关联，单位为ν=β- 1，这相当于经验数据。为了获得这一点，他们设置了两个条件：一个是关于价格的鞅假设，另一个是公平定价条件，该条件是从投资者之间的纳什均衡中推导出来的，并声明任何规模的元订单的平均事后收益应为零。让我们注意一下，在[14]中，类似的条件是通过做市商之间的完全竞争获得的。在上述工作中，假设做市商能够准确地检测到订单何时执行。虽然对于大型元指令来说是合理的，但这是一个强有力的假设，尤其是在执行开始时和对于小型元指令。在这里，我们试图建立一个不需要这样假设的理论。事实上，做市商只看到市场订单的流动，因此应该根据这种流动而不是潜在的市场订单流动来设定价格。众所周知，见[31]，市场订单的符号（买入或卖出）呈现持续性（更准确地说，s ign过程的相关函数表现为指数小于1的幂律）。这种持续性可以通过以下事实来解释：市场订单反映了元订单划分为同侧市场订单序列。事实上，在[32]中显示，从元订单碎片中获得的订单流显示了记忆。

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2022-5-5 13:12:09

在[38]中，经验证明，符号过程中的持续性大部分来自分裂（而非放牧）。在[11]中，Bouchaud等人提出了一种从模拟为离散时间FARIMA过程的长记忆逆流中获得差异过程的方法（定义见[7]）。为了做到这一点，他们认为市场秩序的影响随着时间的推移会随着幂律而减小（幂律的指数与长记忆的指数相关）。然而，在这项工作中，这种影响与元序的概念无关。特别是，如果在该模型中执行一个命令，其永久影响为空，请参见[10]。此外，虽然元序的永久影响不容易计算，但在实践中它似乎不是零，见[34]。我们的目标是以某种方式将自己置于[11]和[16]之间。我们假设，元订单的永久影响确实存在，其特殊（线性）形式源自非价格操纵参数。此外，我们认为做市商只看到市场订单的流动，他们基本上理解为分散的元订单的叠加。有两种方式可以理解元订单为什么会影响价格。在大多数论文中，例如[16]和[29]，市场影响被视为将私人信息传递给价格的一种方式。在这些模型中，大型投资者会根据g m ETA订单对有关p rice未来预期的信息信号做出反应。在这种方法中，元订单揭示了“基本”价格变动，但并不是真正导致价格变动的原因。特别是，如果为noreason执行元订单，则不会对价格产生任何长期影响。在这里，我们使用m Market impact的另一个愿景。我们假设，从某种意义上说，元秩序是机械的，它通过创造长期的供需不平衡，独立于元秩序的信息性，在数量上移动价格。

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2022-5-5 13:12:13

在这两种模式中进行选择需要经纪数据，客户可以接受这些数据来说明他是否在交易，是因为他对价格有方向性的看法，还是因为其他原因（风险管理、对冲、监管约束等等）。[39]中的研究表明，几天后，“知情交易”的影响大于“现金流交易”（甚至倾向于nu ll）。然而，在这里值得关注的日内时间尺度上，之前的两个影响函数非常接近。在一些论文中，例如[19]和[26]，市场影响的机械视觉被简单地假设为得出重要结果。在这两篇文章中，作者在他们的模型中推导出了条件，这样一来，平均而言，一个圆三角图是不可行的。在[26]中，它被应用于Almgren-Chriss最优清算框架，见[2]，作者得出交易的长期影响在其规模上必须是线性的。在[19]中，这一假设被考虑在一个更一般的模型中，并且再次得到，如果存在永久性影响，它将是线性的。然而，只有当交易的影响不取决于投资者执行交易的原因时，这些理由才成立，因此，假设影响是机械的。在这项工作中，我们提出了两个自然的假设：元订单的永久市场影响的线性（当影响是机械的，没有价格操纵时产生，但如果影响是信息性的，也可以成立，见第2节），以及价格的鞅假设。这两个假设为我们提供了订单流量的动态和价格演变之间的简单而一般的关系（方程式（1））。我们要强调的是，这种关系不是市场庄家无法观察到的特定元指令的价格和流量之间的关系。

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2022-5-5 13:12:16

然后，我们将这个公式应用到由几乎不稳定的霍克斯过程模拟的订单流的例子中。[23]中介绍的霍克斯过程已成功应用于地震学、神经生理学、流行病学和可靠性，目前在金融领域非常流行。在这一领域的最新应用中，让我们举出[5]中的逐点价格研究、[12]中的交易研究、[30]中的订单研究、[1]中的金融传染研究和[15]中的信用风险研究。使用霍克斯过程来模拟连续时间内的市场需求流动是很自然的。事实上，这是第二节。2.我们用一个简单的投资者模型来说明这一市场影响愿景。[26]将往返定义为以零库存开始和结束的交易策略。在订单流中引入聚类并表示买卖订单的经验相关函数的简单方法，请参见[3]。我们将看到，在霍克斯假设下，我们恢复了许多关于市场影响的众所周知的程式化事实。特别是，在单个市场订单的规模上，我们将计算连续时间传播子模型，该模型推广了[11]中提出的离散时间传播子。在这种模型中，市场秩序对价格的影响并不取决于市场秩序流动的速度，而是随着时间的推移而减少。在亚阶的尺度上，我们将计算幂律影响函数，其中幂律的指数ν通过关系式γ=2ν与阶流γ的长记忆指数相连- 1.我们知道如何恢复平方根定律。论文的结构如下。在第2节中，我们解释并证明了线性永久冲击假设的使用，并计算了我们的一般冲击方程。在第3节中，我们将此方程应用于由几乎不支持表的HawkesProcess建模的ord er FLOW示例。

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2022-5-5 13:12:19

我们推导了这种序流所隐含的价格过程，并证明了亚序的冲击函数是指数小于1的渐近幂律。我们在第4.2节计算订单流量的价格变动中得出结论。本节的目的是展示我们的假设，并了解它们如何暗示我们的影响方程，该方程将价格的动态与订单流量的动态联系起来。2.1线性永久影响在机械影响假设下，我们在本节中解释了为什么在市场影响的机械视角下，合理地假设元订单的永久市场影响（简称P MI）在其量上是线性的。在第五卷的元订单执行期间和之后，价格过程受到影响。事实上，如果一个人购买大量股票，价格平均会上升。我们假设，在执行元指令后的很长一段时间内（与执行所需的时间相比），市场以某种方式返回到某种静止状态，除了价格平均移动了一个值th，该值仅为d epends on V。永久性的市场影响是指订单执行开始到执行结束后很长一段时间内的平均价格变动：P MI（V）=lims→+∞E[Ps- P | V]，其中s=0对应于元订单的开始和中间价格过程。我们假设元订单的影响足够大，因此我们可以忽略sp read，因此中间价、要价和出价接近。因此，为了衡量这种影响，人们必须等待市场消化订单量，并达到新的平衡。备注2.1。事实上，期望的概念并不是在模型之外定义的。

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2022-5-5 13:12:23

他说，我们假设（这在大多数关于市场影响的著作中是隐含的），市场的动态满足平稳性条件，这允许我们将预期计算为经验法则。备注2.2。需要等待很长时间（元订单可能持续数天）、市场状态的变化（市场影响取决于股票、波动性、市场活动等）此外，记录的元订单数量相对较少（在[34]中，他们每年在伦敦证交所交易的74只股票上检测到约10万个元订单，在[8]中，他们使用12500个元订单），这使得很难对永久性影响形成强有力的经验法则。例如，在[8]中，元指令对其持续时间的经验性永久影响是通过对许多股票和市场状态（时间段）的元指令进行平均得出的，这似乎是有争议的。然而，我们可以说，永久性的市场影响似乎不同于零。我们将自己置于引言中解释的机械冲击范式中，并给出了两个可能的原因，为什么这种冲击在元序的体积中应该是线性的：P MI（V）=kV。e上的第一个是功能性的。事实上，如果这种影响不影响投资者执行命令的方式，那么以下两种执行应该会导致相同的永久性影响：i）执行第五卷。ii）执行一个交易量ρV，等待很长时间（等待市场回到稳定状态）并执行（1）- ρ） V（ρ）∈ [0, 1]).因此，pmi（V）=pmi（ρV）+pmi（（1- ρ） V），这意味着P MI必须是线性的。备注2.3。此推理不适用于影响函数的临时（执行期间）部分，该部分可能取决于元顺序的执行方式。

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2022-5-5 13:12:27

事实上，在第二部分中，在订单第一部分执行后必须等待很长时间，否则第二部分的市场将不会处于静止状态。第二个原因是基于“不操纵价格”的论点。在[26]中，我们发现在Almgren和Chriss[2]的框架下，当影响被分解为执行成本和永久市场影响时，没有价格操纵意味着永久市场影响必须是线性的。在[19]中，这些论点被推广到更现实的时间相关碰撞模型。该模型指出，如果交易者以交易速率执行订单。x在时间s（假设到时间t为止执行的量是不同的），然后他通过以下方式影响价格s:Rtf（.xs）G（t- s） ds。因此，如果没有交易者，价格是波动率σ的布朗运动，p大米满意度：St=S+Ztf（.xs）G（t- s） ds+ZtσdBs，其中f是影响函数，G是衰减核，代表交易影响随时间的减少。在这个模型中，使用与[19]中相同的参数，我们可以很容易地证明，如果存在永久性影响，那么这种影响在体积上是线性的。更准确地说，我们有以下主张：主张2.1。如果没有[19]意义上的价格操纵，并且存在永久性影响，那就是G（s）→s→+∞G∞> 0，那么f是线性的。附录中给出了p形屋顶。备注2.4。在之前的模型中，假定交易员xt=Rt.xsds的累计执行量是可区分的，但实际情况并非如此。事实上，交易量是由单个市场订单决定的。然而，如果f（v）=kv如上所述，则模型可以写成：St=S+kZtG（t- s） dxs+ZtσdBs，并推广到实际订单流。

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2022-5-5 13:12:30

体积V的亚阶的永久影响在其体积中是线性的：P MI（V）=G∞千伏。因此，在一个相当普遍的模型中，元序的永久影响必须是线性的。然而，让我们指出，前面的论点假设，即使是在没有信息的情况下执行订单的交易者，也会对价格产生永久性的影响。因此，如引言所述，冲击必须是机械的。这可能看起来不现实，但实际上可以理解为资产管理人对持有大量资产头寸的厌恶。在下一段中，我们将介绍一个简单的投资者模型，该模型解释了即使是不知情的元指令也会如何影响差异价格。2.2玩具投资者模型经典观点是认为使用元指令的投资者比其他市场参与者更了解价格走势，例如[29]。然而，这是基于“信息价格”的经济学概念，而实证研究似乎表明，价格波动的主要驱动力不是信息，见[36]，而是数量，见[10]。事实上，在[36]中，希勒认为：“股票价格指数的变动实际上可以归因于任何客观的新信息，因为指数的变动相对于股息的实际后续变动“太大”。在本节中，我们考虑投资者模型的一个简单示例，它实际上是CAPM模型的一个特例（参见示例[35]）。该模型使我们能够说明非信息元订单如何对价格产生长期的机械影响。

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2022-5-5 13:12:33

这种影响源于资产管理人的风险厌恶（即他们不愿意持有一项资产的大额头寸），而不是信息不对称。在[19]中，价格操纵是平均成本为负的往返。在我们的市场上，我们是投资者。代理人之间有固定数量的股份，我们称其为P。每个投资者（Ii）i=1。。。假设股票收益率的分布有一个平均Ei和一个方差∑iand选择其投资组合中的股票数量Ni，并用风险规避λi:Ni=argmaxx{x（Ei）优化均值-方差标准- P）- λix∑i}=Ei- P2λi∑i。此外，nXi=1Ni=N，这给出了投资者的差异价格P:P=nXi=1Ei2λi∑i- NnXi=12λi∑i。现在让u s假设股份总数为N- 由于某些非优化代理的行为，需要购买一些股票（例如，出于现金流原因）。新的差异价格isP+=P+NnXi=12λi∑i=P+kN。这意味着，在这个框架中，元订单对其大小呈线性的差异价格有影响。因此，我们（无可否认地以一种相当天真的方式）说明了这一点贸易的影响可能并不取决于其信息量。备注2.5。让我们再次强调，与[16]和[29]相比，在我们的框架中，订单的影响纯粹是由于其数量，而不是任何外部信息。因此，所有交易者都是等价的，没有噪音交易者。特别是，个体交易应被视为小型元订单。2.3影响动态我们已经证明，合理的考虑是，市场参与者执行的每个元订单都会对价格产生长期影响，而价格的大小是线性的。在这里，我们假设价格为鞅性质。

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2022-5-5 13:12:36

我们使用这些假设来获得一个联系订单流量动态和价格过程的一般影响方程。让我们用[0，S]来表示元指令执行的时间（我可以把它看作交易日），用VAT和VBT来表示截至时间t的市场指令在询价和报价时的累积量∈ [0，S]。我们考虑以下假设。假设1。元订单仅通过市场订单执行，市场订单仅用于执行元订单。因此，买入（或卖出）市场订单VaS（或VbS）的每日累计交易量等于当日NaSbuy（或NbSsell）元订单VaS=NaSXi=1vai的交易量之和，其中VAI是当日ithbuy元订单的交易量。备注2.6。假设1是为了简单起见而使用的，实际上可以弱化为[28]中的假设1，即每日买入（或卖出）市场订单的累积量与当日纳斯宝（或NbSsell）元订单量之和成比例（且不一定相等）：VaS=χNaSXi=1vai，其中χ可以理解为“市场中介水平”。在下文中，我们将取χ=2。为了验证想法，我们假设在一天的开始和结束时，有价格用P表示的变化-然后我们对长期市场影响的线性假设如下。假设2。P+Sis平均等于公开拍卖的价格P-加上一天的元订单的影响，其量呈线性：P+S=P-+ κ（NaSXi=1vai）-NbSXi=1vbi）+ZS=P-+ κ（VaS）- VbS）+ZS，其中κi是一个正常数，Z是鞅随机游动。最后，我们考虑以下假设。假设3。

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大多数88

2022-5-5 13:12:40

价格P是一个鞅。假设3意味着pt=E[P+S | Ft]=P-+ E[κ（VaS- VbS）|Ft]+E[ZS |Ft]，其中fti是时间t时市场参与者的信息集。噪音术语E[ZS |Ft]对应于由除交易量以外的其他因素引起的价格变动（例如公共公告）。为了简单起见，我们考虑zs=0和thusPt=P-+ E[κ（VaS- VbS）|英尺]。现在，让我们将买卖市场订单流程扩展到R+（直到现在，它们都是在交易日[0，S]定义的），并假设这些流程满足以下技术假设。假设4。数量E[Vas]- 当s趋于一致时，Vbs | Ft]会收敛到某个有限的极限。这一假设可以这样理解：FTA不提供任何关于订单流量不平衡的信息，订单流量不平衡将在时间t′发生>> t、实际上，在这个假设下，对于所有h>0，E[（Vas+h- Vbs+h）- （瓦斯）- Vbs）|英尺]→s→+∞0.因此，s和s+h之间的订单流量不平衡在时间t是渐近（s）不可预测的。例如，在下一节中，我们将假设市场订单流量是满足该假设的Hawkes过程。在该假设下，如果s与函数7的特征收敛标度相比足够大，我们有→ E[Vas- Vbs | Ft]，在计算价格Pt时，可以将S视为单位。这暗示了本文的主要结果。定理2.1。假设1,2,3和4Pt=P+κlims→+∞E[Vas- Vbs |英尺]。（1）备注2.7。为了更好地理解这些想法，我们假设元顺序在一天结束时停止。然而，一些元指令会持续几天（甚至几周）。

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2022-5-5 13:12:42

因此，S不应被视为一天的结束，而应被视为一段时间的结束，这段时间与元指令的执行相比非常大。从方程（1）和序流动力学的任何例子中，我们可以得出一个满足以下性质的价格过程：o即使序流表现出持续性，价格也是鞅元秩序的永久影响在其大小上是线性的，与执行无关价格过程仅取决于全球市场订单流，而不取决于元订单的个别执行。因此，我们不需要假设市场“看到”了元订单的执行，因为它通常是不存在的（参见示例[16]）。方程（1）可以被视为[21]和[33]中“冲击与创新的顺序成正比”这一假设的严格且独立于模型的推广。事实上，在我们的模型中，市场订单会改变价格，因为它们改变了市场庄家对订单流未来的预期。此外，考虑到如等式（1）中所示，价格变动会导致“订单流量意外”（即预期累计订单流量不平衡的变化），这是解决以下明显“悖论”的一般方法（这是对影响模型的挑战）：订单流量是持续的，而价格是鞅。从实证角度来看，我们的框架得到了[25]的支持，其中表明一些套利者（通常是高频交易者）的交易会预测其他投资者的订单流量。因此，套利者在交易中转移价格，直到不再值得这样做；直到价格正确预测未来订单流量失衡。在下一节中，我们将给出一个实际订单流量动态的例子，并计算相关的价格过程。

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2022-5-5 13:12:47

我们将看到，亚序的永久冲击线性与观察到的凹幂律冲击函数并不矛盾。3适用于霍克斯订单流量示例我们现在想将方程式（1）应用于市场订单流量动态的合理示例。更准确地说，我们将买卖市场订单流建模为两个独立（几乎不稳定）的平稳霍克斯过程，它们以某种方式再现了市场订单信号的持续性。将方程（1）应用于这些过程，我们建立了一个简单的p rice模型，该模型与[11]中的传播者模型非常相似。3.1单个市场订单的影响在霍克斯订单流量假设下推导独立市场订单的影响之前，我们需要引入霍克斯过程和传播者模型。3.1.1霍克斯工艺[23]介绍了霍克斯工艺。它们最近被应用于许多金融领域，见导言中的参考文献。例如，他们被用来研究[5]中的滴答价格和[6]中的订单流量。我们将买卖市场订单的到达时间建模为两个独立霍克斯过程的跳跃时间。备注3.1。我们认为所有的市场订单都具有相同的体积v。根据定义，霍克斯过程N是一个自激点过程，其强度λ在时间t上与过去呈线性变化，见[23]：λt=u+Ztφ（t- s） dNs，其中u是一个正常数，φ是R+上支持的一个正函数，它满足s稳定性条件：Z+∞φ（s）ds<1。我们将使用霍克斯过程的一个很好的性质来计算冰动力学，如下所示，见[4]：命题3.1。

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2022-5-5 13:12:50

T≥ 0：λt=u+uZtψ（t- s） ds+Ztψ（t）- s） dMs，其中ψ=P+∞k=1φ*k、 φ*K为φ与dMt=dNt的kthcovolution乘积- λtdt。因此，因为M是鞅，ψ在R+上有支撑，所以0≤ s、 r≤ t、 E[Nt- Ns | Fr]=ZtsE[λu | Fr]段德[λu | Fr]=u+uZuψ（u- x） dx+Zrψ（u）- x） DmX该公式允许我们计算订单流量的预期值，并将非常有用地应用于霍克斯上下文中的等式（1）。Hawkes过程是Poisson过程的自然延伸，可用于模拟同侧交易的经验聚类。更准确地说，我们将在后面展示霍克斯订单流几乎可以重现市场订单流的经验长记忆。3.1.2传播模型在[11]中，顺序流被建模为FARIMA过程，能够获得实践中观察到的该流的长记忆特性。为了获得不同的价格，作者提出了一种价格影响模型，称为prop-agator模型，其中市场订单的影响不取决于订单流动的过去，而是短暂的（其永久市场影响为零）。基本上如[20]所述，该模型可以通过以下方式扩展到连续时间：定义3.1。连续时间传播者模型是一种影响模型，其中价格过程P i与市场订单的累计签署量V=Va相关联- Vbby:Pt=P+Ztζ（t- s）其中ζ是衰变核。备注3.2。这个模型和[20]的模型有一点不同：在[20]中，V是给定交易者的交易率，而这里是所有市场的订单流量。3.1.3价格动态计算从现在起，我们将买卖市场订单的到达建模为两个独立的Hawkes过程Na和Nb的点，具有相同的核φ和外生强度u。我们还假设每个市场订单的数量是恒定的，等于命题3.2。

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2022-5-5 13:12:53

在H awkes订单流量模型中，假设价格和数量满足动力学方程（1），那么价格过程遵循传播子模型：Pt=P+Ztζ（t- s）（DNA）- dNbs，（2）与ζ（t）=κv（1+R）+∞tψ（u）-Rtψ（u）- s） φ（s）dsdu）。附录中给出了p形屋顶。让我们注意到，内核中的th并不趋向于0，因为它会产生永久性的影响。我们的传播子核ζ补偿了Hawkes核φ隐含的阶流相关性，以恢复鞅价格。3.1.4传播子模型的性质在本段中，我们将自己置于一个总体框架中，其中包括建议3的结果。2，并将其推广到临界Hawkes序流（rφ=1，见[13]前文）。我们证明了在ζ和dφ的简单条件下，连续时间传播子价格模型与Hawkesorder流相结合可以得到鞅价格。然后我们使用这个条件来获得ζ的更好表达式。实际上，如果：o买卖市场订单流是两个独立的Hawkes过程，内核φ：λa/b=u+Rtφ（t- s） dNa/bs.o价格过程遵循传播子模型：Pt=P+Rtζ（t- s）（DNA）- dNbs）。然后，o如果t中没有交易，则t中的价格是可微分的，导数ep′t=Ztζ′（t- s）（DNA）- dNbs）。o如果e是t中的买入交易（发生时强度λat=u+Rtφ（t- s） DNA），价格从ζ（0）向上跳跃如果在t中存在卖出交易（发生时强度λbt=u+Rtφ（t- s） dNbs），价格从ζ（0）向下跳。因此，林→0E[Pt+h | Ft]- Pth=ζ（0）Ztφ（t- s）（DNA）- dNbs）+Ztζ′（t）- s）（DNA）- dNbs）。因此，我们得到以下结果：命题3.3。在上面定义的框架中，如果价格是鞅，那么：ζ′（x）=-ζ（0）φ（x）。（3）给定f函数ζ，我们可以计算满足（3）的唯一φζ。相反，给定一个φ和ζ（0）（或其他任何地方的ζ），我们可以计算满足（3）的唯一ζφ。备注3.3。

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2022-5-5 13:12:56

让我们强调一下，在本段的总体框架中，霍克斯顺序流可能是关键的（Rφ=1）。此外，霍克斯过程的关键性相当于市场秩序影响的短暂性：limx→+∞ζ（x）=0<=>Zφ=1。在这种关键情况下，假设4并不令人满意。因此，我们不在方程式（1）的框架内。回到命题3的框架。2（其中φ<1），因为我们的价格是有条件地基于Ft的预期，它是通过构造一个鞅，因此，隐含的ζ必须满足（3）。事实上，我们有：ζ′（t）=κv[-ψ（t）+Ztψ（t）- s） φ（s）ds-Z+∞tψ（u）- t） φ（t）dy]=κv[-ψ（t）+ψ* φ（t）- φ（t）|ψ|]=-κv（|ψ|+1）φ（t）自ψ* φ = ψ - φ，因此ζ′（t）=-ζ（0）φ（t）。定理3.1。在命题3的设置中。我们可以得到ζ的另一个表达式：ζ（x）=ζ（0）（1）-Zxφ（s）ds）=κv1-Rφ（（1）-Zφ）+Z+∞xφ（s）ds）。（4）订单的临时和永久影响之间的比率满足ζ/ζ（0）=1-Zφ。因此，当nrφ接近于ds对应于明显的长记忆渐近时，暂时冲击比永久冲击大得多。这是因为在这个渐近过程中，一个市场订单平均“生成”大量市场订单，见下一段。Hawkes过程的集群表示在这一段中，我们回顾了Hawkes过程的分支结构，这将允许我们根据市场影响来解释φ。让我们定义一个人口模型（见[13]的介绍）：在时间零点，没有个体。一些个体（移民）以强度为u的均匀泊松过程到达。如果移民在时间s到达，其子女的出生日期将形成强度φ（）的泊松过程。- s），rφ<1。同样地，如果一个孩子出生在s′，那么他的孩子的出生日期形成了强度φ（）的泊松过程。- s′）。

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2022-5-5 13:13:00

我们称之为λt的个数- s） dNs，因此，N是一个霍克斯过程。如果我们现在将一个集群命名为来自同一移民的所有个体的集合，那么aHawkes过程就是一个速率为u的独立集群的叠加。这是霍克斯过程的泊松聚类表示，见[24]。霍克斯过程将“个体”替换为“市场秩序”，将“集群”替换为“元秩序”，可以将其视为元秩序独立执行的叠加。在这种解释中，一个元序的平均大小是1/（1）-Rφ）。因此，当nrφ接近1时，一个元订单是大量市场订单的平均值。因此，参数φ可被视为市场内生性的程度，最近已成为许多研究的主题，见[17]、[22]和[27]。3.2元指令的影响在本段中，我们研究了一大组交易的影响，我们将其视为渐进框架中的元指令。

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2022-5-5 13:13:04

为此，我们假设Hawkes序流几乎不稳定（它们的核范数接近1），这使得我们能够测量在数据上观察到的持久性属性。3.2.1明显的长记忆众所周知，市场指令的符号呈现长记忆：其自相关函数渐近地表现为指数小于1的幂律，见[31]。回想一下，核φ的傅里叶变换和平稳霍克斯过程（分别由φ和dCov（，h）表示）的长度增量的自相关Cov（，h）的傅里叶变换通过以下方式连接：dCov（z，h）=hu1-Rφ^ghz|1-^φ（z）|，其中^ghzi是ghτ=（1）的四阶变换- |τ|/h）+，见[3]。因此，sincedCov（0，h）=Z∞Cov（τ，h）dτ和zφ=^φ（0），定义长记忆的相关函数积分的完整性，意味着核函数的范数必须等于1。[13]研究了这种“长记忆”霍克斯过程。Cov（τ，h）=E[（Nt+τ+h- Nt+τ）（Nt+h- （新界）]- （E[Nt+h- Nt]）。然而，在[6]、[17]和[22]中进行的估计似乎表明Rφ接近1，但严格低于1（Rφ）~ 0.9). [27]研究了这种几乎不稳定的霍克斯过程，结果表明，它们的不同极限是一个综合的考克斯-英格索尔-罗斯过程。然而，后一项工作假设内核的形状在sensethatRxφ（x）dx<+∞, 这并不符合符号过程的幂律持久性。文献[6]中给出的定性论证和数值模拟表明，对于φ渐近为1/x1+α的几乎不稳定的霍克斯过程，在时间尺度为1/（1）的情况下，应具有明显的长记忆-Rφ）1/α（即所考虑的h增量之间的间隙τ远低于1/（1-Rφ）1/α）。

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2022-5-5 13:13:07

这与同一篇论文中进行的经验核估计是一致的。为了给出这一说法的正式版本，我们按照[27]中的步骤，考虑一系列重整化的霍克斯过程，这些过程的核范数往往比观察尺度T趋于一致的“快”一个。渐近框架对于每个观察尺度T>0，我们定义了外源强度uT=Cu（1）的固定霍克斯过程- aT）T2α-核φT=aTΦ的1和，其中rΦ=1和（aT）是一个正实数序列，比T趋于完整时趋于1的正实数序列小。此外，我们假设Φ（x）~十、→+∞αcαx1+α，其中c>0和α∈ ]0，[.因为T是观察尺度，我们考虑通过考虑XTt:=ATNTT T，AT=（1）来重新规范化的过程NTT- aT）/（TuT）=1/（T2α）。当然，ATanduTare chosenso认为过程序列的期望和协方差收敛。考虑到时间尺度低于1/（1）的过程-Rφ）1/α意味着观测尺度远小于1/（1）- aT）1/α。它可以用以下方式正式书写：假设5。T（1）- aT）1/α→ 0.ResultLet h>0是固定的，Xt的h增量的协方差表示为：CX，Tτ，h:=Cov[（Xt+τ+h- XTt+τ，（XTt+h）- XTt）]。以下结果成立。定理3.2。在假设5下：CX，Tτ，h→ CXτ，h=K（|τ+h | 2H+|τ）- h | 2H- 2 |τ| 2H），（5）H=1/2+α，K是附录证明中明确给出的常数。该极限函数满足长记忆特性：对于任何h>0，CXτ，h~τ→+∞Chτ1-2α.附录中给出了p形屋顶。备注3.4。方程（5）正好对应于赫斯特指数H的分数布朗运动的相关函数。备注3.5。

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2022-5-5 13:13:11

[27]对这种“重尾几乎不稳定的霍克斯过程”的更精确行为进行了试探性讨论。在[6]中，时间尺度为1/（1）-Rφ）1/α，Hawkes进程可以表现出明显的长内存可能相当大（10秒）。这表明，将金融秩序流动建模为几乎不稳定的霍克斯过程与它们的经验显著持续性是一致的。3.2.2建模元订单在上述框架中，NAB和NB是匿名市场订单的流程。这相当于从不使用订单且不知道谁使用不同订单的被动代理的角度对市场进行建模。为了计算元订单的影响函数，可以方便地从执行（购买）元订单的人的角度来看市场，请参见[6]。为此，我们认为总订单流量是匿名订单（之前被建模为两个独立的霍克斯流程）和对应于“我们”订单流量的标签订单的总和。更确切地说，在执行一个元序的过程中，我们将我们的序流建模为[0，τ]上强度f的泊松过程PF，τ。因此，总买卖订单流量为Na+PF、τ和Nb。让我们计算一下OUR模型中元序的影响函数。从市场其他部分的角度来看，你的订单和匿名订单之间没有区别。因此，假设我们订单的价格影响与匿名订单的价格影响是一样的，这似乎很自然。因此，根据传播子模型：Pt=P+Rtζ（t- s）（DNA）- dNbs）+Rtζ（t- s） dPF，τs。对于Na和Nb具有相同平均强度的过程，取期望值，我们得到以下结果：命题3.4。在0和τ之间执行的元序的影响函数MI为：MI（t）：=E[Pt- P] =FZt∧τζ（t）- s） ds。

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kedemingshi

2022-5-5 13:13:14

（6） 3.2.3明显的功率定律影响函数在这里，我们认为用于模拟顺序流的霍克斯过程接近临界状态（与经验测量相对应，见第3.2.1节）。我们证明，如果与相关标度1/（1）相比，亚阶τ的长度很小-Rφ）1/α，出现在第3.2.1节中：1<< τ << 1/(1 -Rφ）1/α，则重整化冲击函数接近指数为1的幂律- α.为了正式表达和展示这一陈述，我们考虑与第3节相同的霍克斯过程序列。2.1. 让我们也表示（τT）T元序大小的序列。按照与之前相同的思路，我们正式写道，与相关尺度相比，元序的长度很小，如：假设6。τT→ +∞ 和τT（1）- aT）1/α→ 0.让我们来定义对t的重塑影响∈ [0,1]：RMIT（t）=1-aT（τT）1-αMIT（tτt）。我们得到以下结果：定理3.3。在假设6下，市场冲击是渐近幂律：RMIT（t）→ K′t1-α、 K′=cακvΦ1-α.附录中给出了p形屋顶。当然，重整化常数（1-aT）（τT）α-再次选择1，以便重整化Dimpact函数收敛。这种幂律影响函数接近于经验观察到的“平方根定律”，See[34]。

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2022-5-5 13:13:17

现在让我们来看看这个影响指数是怎样的- α可以与阶流持续指数γ联系起来。3.2.4方程（1）和f所暗示的冰过程指数之间的联系，或者内核形状接近1且分布尾为1/x1+α的霍克斯阶流，我们已经证明：o阶流的长记忆指数为γ=1- 2α，见定理3.2.o冲击幂律的指数为ν=1- α、这就是理论。3.因此，我们有：ν=（1+γ）/2。根据数据，γ依赖于股票，似乎在0.2到0.7之间变化，见[11]，在我们的框架中，这意味着ν必须在0.6到0.85之间变化，这相当于经验数据，见[34]。备注3.6。从理论上从其他市场变量中提取影响函数的形状是市场微观结构中的一个重要问题。有人提出了三种主要的解决方法。第一个是考虑投资者和做市商的风险规避，如[18]所述。另一种方法是考虑市场订单流动和价格变化的统计模型，如[6]所示。在这里，我们以某种方式，如[10]、[16]或[37]中所述，在价格上引入了一个鞅条件，它允许我们仅从订单流中暗示冲击函数。让我们注意到，我们得到的冲击函数指数和订单流长记忆指数之间的联系与[6]和[10]中的相同。4结论我们回顾了元订单的永久市场影响为何应该是线性的。利用这种线性以及价格的鞅假设，我们计算了一个影响方程（方程（1）），它允许我们从任何订单流量模型中检索价格动态。我们将其应用于几乎不稳定的霍克斯过程模拟的订单流的例子。

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kedemingshi

2022-5-5 13:13:20

在这个模型中，市场订单的迹象表现出明显的长记忆，我们已经证明，我们可以恢复市场影响的许多程式化事实。特别是，我们计算了幂律影响函数，其指数与市场指令符号的长记忆有关。霍克斯订单流的例子使我们能够推导出关于未来预期量的简单公式。然而，这个模型可能过于简单。考虑更现实的框架，比如[32]中提出的框架，其中订单流实际上是独立订单的叠加，这会很有趣。除了自然解释外，这些有序流模型还设法将元序的大小分布与有序流的长记忆特性联系起来。然而，这种模型在某种程度上要复杂得多，而获得阶流不平衡的封闭式预测公式可能非常复杂。证据。1命题的证明2。1我们按照[19]中的步骤进行：对于所有（v，v，T）>0的情况，我们认为在[0，θT]上，我们以一个比率购买股票，而在[θT，T]上，我们以一个比率v出售股票。我们采用θ=v/（v+v），因此这个策略是一个往返过程。

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2022-5-5 13:13:25

[19]（等式（4））表明，该策略的成本预期为：E=vf（v）RθTRtG（t）- s） dsdt+vf（v）RTθTRtθTG（t- s） dsdt- vf（v）RTθTRθTG（t- s） dsdtg=G∞+~G与~G=G- G∞:E（v+v）Tvv=G∞（f（v）v- f（v）v）+（v+v）vvvf（v）ZθTZtTG（s）dsdt+vf（v）ZθTZT（t-θ） ~G（s）dsdt- vf（v）ZθTZT tT（t-θ） ~G（s）dsdt.因此，使用Ces`aro引理（适用于G→ 0），我们证明只有第一项不趋向于零，当T趋向于完整时，因此当T变得足够大时，E不严格为负，我们必须有：vf（v）≤ vf（v）。对称地，我们得到：vf（v）=vf（v），因此f必须是线性的。A.2定理的证明3.2Let u s write:θ（x）=Z+∞eiuuxdu for x∈]0,1[和θ（x）=Z+∞eiu- 1uxdu代表x∈]1,2[.通过定义XT，其h增量的协方差与NTbyCX的h增量的协方差相关联，Tτ，h=ATCN，TTτ，th。现在让我们计算XT的h增量的相关函数的傅里叶变换。对于固定的z∈ R*, 我们有^CX，Tz，h=Z+∞-∞CX，Tτ，heizτdτ=ATT^CN，TzT，th.[3]中的定理1得出了^CN，TzT，th=thuT1-aT^gT hzT|1-^φTzT |=thuT1-aTT^ghz|1-^φTzT |内脏=（1-|t|u）+。我们现在陈述以下技术引理。引理A.1。为了z∈ R*^φTzT=aTh1+θ（1+α）αczTα+o（Tα）i.证明。

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2022-5-5 13:13:28

傅里叶变换写道：^φTzT=Z+∞φT（T）eitzTdt=Z+∞φT（T）dt+Z+∞φT（T）（eitzT）- 1） dt=aT1+T-αZ+∞φ（tuz）（eiu）- 1） T1+αzdu.然而，对于固定u>0，我们关于φimp渐近行为的假设是：φ（tuz）（eiu）- 1） T1+αz→ （eiu）- 1） αcαzαu1+α。此外，由于φ是有界的，因此存在C>0使得|φ（x）|≤Cx1+α和|φ（tuz）（eiu）- 1） T1+αz|≤ zαCu1+α| eiu- 1|.因此，我们可以应用支配收敛定理来获得引理。CX，Tτ，h=E[（XTt+τ+h- XTt+τ）（XTt+h- XTt）]- （E[XTt+h- XTt]）。利用L emma A.1，我们得到^CN，TzT，th=hTuT1-在|θ（1+α）|（cT）2α在^ghz | z | 2αh1+o（1）+oTα（1）- 在）i、用其表达替换utb会导致→+∞^CX，Tz，h=hCu|θ（1+α）| c2α^ghz | z | 2α。现在让我们为^CX，Tz，h.引理a.2陈述一个支配引理。有一个常数C>0，因此对于所有z∈ R*|^CX，Tz，h|≤ C min（|z |，1）（1+z2α）。证据我们首先注意到存在c>0和c>0，例如| ghz |≤ cmin（|z |，1）和| 1-^φTzT|≥ cmin(zTα, 1).如果我们现在将这些不等式与[3]的定理1和XT的定义一起使用，我们得到| CX，Tz，h |≤hCuT-2αcmin(zTα、 1）C分钟（|z |，1），结束p屋顶。傅里叶变换的反演公式为x，Tt，h=2πZ+∞-∞^CX，Tz，他-伊兹。多亏了前面的引理，我们可以使用支配收敛定理，当t趋向于一个dCXt，h:=limT时，得到固定t，CX，Tt，hh的极限→+∞CX，Tt，h=2πZ+∞-∞hCu|θ（1+α）| c2α^ghz | z | 2αe-伊兹。我们现在陈述下面的引理，它由变量的简单变化给出。引理A.3。傅里叶变换为| z的函数|-2αis2Reθ (1-2α)|t | 1-2α.因此，如果我们设置K=hCu2Reθ (1-2α)|θ（1+α）| c2αα，然后是函数t7→ Kght*|t | 1-2α与CXt、hand-thuslimT具有相同的傅里叶变换→+∞CX，Tt，h=Kght*|t | 1-2α.

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