控制点改变的脉冲

2022-5-6 02:57:58

用改变点控制分歧的冲动洛克曼·a·阿巴斯·图尔基*, Ioannis Karatzas+和李清华*TU Berlin，Sto chastik and Finanzmathematik，MA大楼，街17号。Juni 136，10623 Berlin，Germany+美国纽约州纽约市哥伦比亚大学数学系，纽约州纽约市纽约市10027号哥伦比亚大学统计系，阿姆斯特丹大道1255号，纽约州纽约市10027号，美国2018年8月20日摘要本文解决了一个偏差的Bayes序列脉冲控制问题，其漂移具有不可观测的参数和一个变化点。通过改变概率测度，消除漂移，将部分观测问题转化为完全观测问题。最佳脉冲控制可以用阿马尔科夫过程的解和当前值来表示，该过程适用于观察过滤。我们将用Longstaff-Schwartz算法来说明我们的结果在具有漂移不确定性的几何布朗运动股票价格模型中的应用。贝叶斯序列优化；脉冲控制；变化点；措施变更；朗斯塔夫-施瓦茨算法1简介假设股票的价格演化遵循几何布朗运动，其裂痕将在未知的未来时间变化到未知的水平。投资者在初始时间购买一定数量的股票，只能观察价格的变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:01

基于这些观察到的价格和对漂移变化的一些合理的先验知识，为了最大限度地提高投资者的预期收益，出售股票的最佳时机是什么？在同样的情况下，如果股票数量较多，那么最优的离散平衡买卖策略又如何呢？在更抽象的层面上，这是一个关于扩散的最佳停止和脉冲控制的问题，其漂移项有一个不可观测的参数和一个变化点。解决此类问题有三种常见方法。保守的方法是mini-max哲学，它优化了最坏的情况，由[20]Karatzasand Zam Firescu（2008）描述为一个控制者和一个阻止者之间的零和博弈。许多从业者采用的方法是将模型校准和决策分为两个单独的步骤。另一种方法是通过用参数的后验概率分布扩充状态过程，将具有部分观测值的决策问题转化为具有完全观测值的决策问题。这一方法的一个例子是作品[10]戴、张和朱（2010）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 02:58:04

在一个具有漂移不确定性的几何布朗运动价格模型中，作者假设交易活动不受影响，并分别找到两个最优的下单时间序列，即买卖订单。前一段提到的主题都是非常成熟的研究领域，拥有过去几十年的大量文献：其中[32]Shiryaev（1969）和[17]Karatzas（2003）用于顺序检测；[33]Shiryaev（1978）或[19]Karatzas和Shreve（1998）中的附录D，用于最优停止问题；[3] [4]、[5]和[6]作者Bensoussan和L ions，以及[28]Oksendal和Sulem（2007）的脉冲控制；以及s[26]Liptser和Shiryaev（2001）和[7]Bensoussan（1992）使用过滤技术解决部分观测到的控制问题。本文试图在不跟踪后验概率过程的情况下，在贝叶斯序贯框架下一步求解脉冲控制问题。概率测度的变化有助于从部分观测到完整观测的转换，这隐藏了差异的漂移部分。测量变更方法最初是为了解决变更点检测问题而开发的。对于我们的问题，在参考概率测度下，通过似然比增强的状态过程是马尔可夫的，可以推导出由值函数满足的动态规划原理。强化状态过程的当前值提供了决策所需的所有信息。至少有三种广泛使用的方法来描述随机控制问题的值函数——PDE、动态规划和反向SDE。它们是“随机最大原理”概念的不同表述（c.f.[23]Kushner（1972）和[11]Davis（1973））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:07

这三种方法的共同机制是，价值函数和累积报酬之和，当沿着与任何允许的控制策略对应的状态过程进行评估时，会产生一个超鞅——当且仅当控制策略为最优时，它才会成为一个最优鞅。在简化到马尔可夫情形之后，我们通过动态规划原理来表示最优脉冲控制。与Bensoussan和Lions的开创性论文[3]、[4]、[5]、[6]和[7]不同的是，与价值函数相关的变分不等式将不在本文中介绍，因为它们在数值上不足以实现，因为它们是一个ugmentedstate过程的维数。从数值的角度来看，我们采用Longstaff-Schwartz算法来获得多个最佳停车时间。该方法基于停车时间的动态规划原理，虽然使用蒙特卡罗模拟，但计算效率很高。对于一个涉及几何布朗运动和两个最优停止时间的简单问题，我们也证明了所得结果的良好精度。通过测量值的变化将其简化为完全观测，以及所提出的涉及蒙特卡罗的算法非常适合高维状态过程。它们对解决部分观测控制问题的方法学做出了贡献。在第2节中，我们指定了要优化的模型和数量。第3节讨论了与在不同概率测度下编写和解决脉冲控制问题有关的主要理论结果。第4节举例说明了如何通过实施Longstaff-Schwartz算法来使用理论结果，以获得多个最佳停车时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:10

最后，我们在第5节中表明，与通常涉及后验概率的方法相比，本文提出的方法为多维问题提供了一个更好的框架。2问题公式本节建立了扩散模型，其漂移与第2节有一个变化点。1并在第2.2.2.1节中阐述了扩散的脉冲控制问题。我们考虑的是一个概率空间(Ohm, F、 P），它支持两个独立的、可测量的随机变量ρ和U，以及关于自然过滤FW的一维标准布朗运动W（·）。随机变量向量（ρ，U）与布朗运动W（·）无关。LetG={G（t）}0≤T≤T=σρ、 U，W（s）；0≤ s≤ T0≤T≤T（2.1）表示由ρ、U和W（·）产生的过滤。不可观测过程θ：[0，T]×Ohm → Θ，（t，ω）7→ θ（t，ω）=：θ（t）（2.2）取值于参数空间Θ={u，u，···，um} R.过程θ（·）从初始值θ（0）=u开始，并保持该值直到状态变化的不可观测时间ρ。在时间ρ时，参数θ（·）变为一个新的水平U，一个随机变量，取值于集合{u，···，um}，并保持在该水平，直到固定的终端时间T∈ (0, ∞). 如果在timeT之前没有发生制度变化，那么θ（·）在整个区间[0，T]中取值u，即θ（T）=（u，0）≤ t<ρ∧ TU、 ρ∧ T≤ T≤ T（2.3）变化点ρ和水平U具有先验分布sp（ρ>t）=e-λt，t≥ 0，（2.4）和p（U=uj）=pj，j=1,2，·m。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-5-6 02:58:13

（2.5）对于任何可能的值u∈ Θ，给定的可测函数b（·，·；u）：[0，T]×R→R和σ（·，·）：[0，T]×R→ R满足以下Lipschitz和Boundedness条件。假设2.1存在一个常数C>0，这样（i）对于所有（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R，对于所有的u∈ Θ，我们有| b（t，x；u）- b（t，x；u）|+|σ（t，x）- σ（t，x）|+b（t，x；u）σ（t，x）-b（t，x；u）σ（t，x）≤ C | x- x |；（2.6）鉴于（ii）对于所有（t，x）∈ [0，T]×R和所有u∈ Θ，我们有σ（t，x）>0和b（t，x；u）σ（t，x）≤ C（2.7）假设2.1（i）意味着函数b（t，·u）和σ（t，·）的线性增长条件：存在另一个常数C′>0，使得| b（t，x；u）|+σ（t，x）|≤ C′| 1+x |（2.8）适用于所有美国∈ Θ和所有（t，x）∈ [0，T]×R.设N为正整数，0=τ<τ<τ<·τ<·N≤ 与过滤FW有关的停止时间，ζibe为R值FW（τi-) - i=1,2，··，N的可测随机变量。N元组（τ，ζ）={（τi，ζi）}Ni=1称为脉冲控制。容许控制集，表示为I，是所有此类脉冲控制（τ，ζ）的集合。跳跃大小γ：R×R→ R是一个给定的有界可测函数。给定任意脉冲控制（τ，ζ）∈ 一、受控态过程X（·）是方程X（t）=X+Ztσ（s，X（s））dW（s）+XτI的唯一强解≤tγ（X（τi-), ζi），0≤ T≤ T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:16

（2.9）根据假设2.1（ii）和方程（2.9），布朗过滤fw与F={F（t）}0一致≤T≤T、表示流程X（·）产生的过滤。[0，T]中的所有F-停止时间的集合表示为S，而[T，T]中的所有F-停止时间的集合表示为St.o以定义空间上的另一个概率度量POhm 在西格玛代数G（T）上，我们将对其建立脉冲控制问题，我们引入了G-适应过程Z（T）=expZtb（s，X（s）；θ（s））σ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；θ（s））σ（s，X（s））ds, 0≤ T≤ T，（2.10），它将扮演新测度P相对于“参考概率测度”P的Radon-Nikodym导数的角色，而对于每个数字u∈ Θ，F适应似然比过程定义为asL（t；u）=expZtb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））ds, 0≤ T≤ T（2.11）从θ（·）的表达式（2.3）中，根据似然比过程L（·；u）和随机向量（ρ，u），可以写出Radon-Nikodym导数Z（·），asZ（t）=L（ρ；u）mXj=1{u=uj}L（t；uj）L（ρ；uj）！{ρ<t}+L（t；u）1{ρ≥t} ，0≤ T≤ T.（2.12）（2.10）中的Radon-Nikodym过程Z（·）是一个（P，G）-马氏体，因为假设2.1（ii）关于比率b（·，·；u）/σ（·，·）和Novikov条件的有界性；对于（2.11）中的似然比过程L（·；u），对于anyu也是如此∈ Θ. 然后存在一个概率测度P，相当于P，满足dpdpG（t）=Z（t），0≤ T≤ T.（2.13）在这个新的概率测度P下，随机变量ρa和U仍然是独立的，并且保留了（2.4）和（2.5）的先验分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:20

在[36]Van Schuppen and Wong（1974）中，通过将Girsanov定理推广到局部马氏体，过程Ztσ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；θ（s））ds0≤T≤T（2.14）是局部（P，G）-鞅，具有瞬时二次变化σ（·，X（·））；过程W（·）定义为asW（t）：=W（t）-Ztσ-1（s，X（s））b（s，X（s）；θ（s））ds，0≤ T≤ T（2.15）是标准的P-布朗运动。由（2.9）定义的过程X（·）也是方程X（t）=X+Ztb（s，X（s）的唯一强解；θ（s））ds+Ztσ（s，X（s））dW（s）+Xτi≤tγ（X（τi-), ζi），0≤ T≤ T.（2.16）2.2微分脉冲控制本文研究的脉冲控制问题包括选择最佳脉冲控制（τ*, ζ*) = {(τ*i、 ζ*i） }Ni=1达到最大预期回报v:=sup（τ，ζ）∈IE“ZTh（X（t））dt+ξ（X（t））+NXi=1c（X（τi-), ζi）#，（2.17）在所有容许的脉冲控制（τ，ζ）={（τi，ζi）}Ni=1in i.逆函数ξ和h:r→ R是可测量的，并满足以下假设2.2中的条件（i）和（ii）。此外，我们还对确定性可测函数γ和c:R×R施加了增长条件→ 状态变量中的R，如下所示。假设2.2（i）函数ξ（·）是两次连续可微分的，一阶和二阶导数表示为ξ′（·）和ξ′（·）。（ii）函数h（·）、ξ（·）、ξ′（·）和ξ′（·）是局部Lipschitz函数，具有多项式增长。（iii）函数γ（x，z）对所有x都有界∈ R和z∈ R、函数c（x，z）在x上有多项式增长率∈ R对所有z都是一致的∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 02:58:22

对于任意固定的z，函数γ（x，z）和c（x，z）在x中都是连续的∈ R.3解决脉冲控制问题本节提供了脉冲控制问题的理论解决方案（2.17）：第3.1节通过改变参考概率度量，将部分可观测问题简化为完全可观测问题，在该概率度量下，状态过程为鞅，并用似然比及其积分扩充状态过程。第3.2节通过用值函数和增广状态过程表示最优控制，解决了参考概率测度下的完全可观测脉冲控制问题。3.1测量改变方法“测量改变方法”是指在参考概率测量下考虑脉冲控制问题（2.17），该方法消除了状态过程X（·）的不可观测漂移。利用贝叶斯规则和条件期望的性质，可以将（2.17）中的最大期望报酬V写成V=sup（τ，ζ）∈IE“Z（T）ZTh（X（T））dt+ξ（X（T））+NXi=1c（X（τi-), ζi）！#=sup（τ，ζ）∈E[Z（T）|F（T）]ZTh（X（T））dt+ξ（X（T））+NXi=1c（X（τi-), ζi）！#。（3.1）从Bayes的观点来看，（3.1）中的量E[Z（t）| F（t）]是参考概率测量P下氡-尼科德姆导数Z（·）的后验投影，考虑到迄今为止对X（·）的观测。由于P下的（ρ，U）和X（·）与之前的P分布（2.4）和（2.5）以及（2.12）之间的独立性，这个后验期望的形式为[Z（t）| F（t）]=mXj=1pjL（t；uj）ZtL（s；u）L（s；uj）λe-λsds+ E-λtL（t；u），0≤ T≤ T.（3.2）对于每一个u∈ Θ，在（2.11）中定义的似然过程L（·；u）是满足随机积分方程L（t；u）=ZtL（s；u）b（s，X（s）的（P，F）鞅；u） σ（s，X（s））dW（s），0≤ T≤ T、（3.3）关于标准（P，F）-布朗运动W（·）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:25

从m方程（3.2）和（3.3）我们得到，对于0≤ T≤ T，thatd（E[Z（T）| F（T）]=mXj=1pjZtL（s；u）L（s；uj）λe-λsdsdL（t；uj）+e-λtdL（t；u）=mXj=1pjZtL（s；u）L（s；uj）λe-λsdsL（t；uj）b（t，X（t）；uj）σ（t，X（t））+e-λtL（t；u）b（t，X（t）；u）σ（t，X（t））dW（t），（3.4）因此，概率期望{E[Z（t）|F（t）]}0≤T≤这是一个本地（P，F）-马丁·英格尔；事实上，a（P，F）-mart ingale，这很容易从定义（2.13）中检查出来。应用它的^o公式，我们将看到，在（3.1）的第二行上，Pexp表达式中的随机变量是在时间T时计算的（P，F）-半鞅。引理3.2将表明，由于引理3.1的一致可积性结果，它的局部mart ingale部分实际上是D类的平方可积（P，F）-mart ingale（定义4.8，Karatzasand Shreve[18]第24页[1988]）。引理3.1适用于每个u∈ Θ，考虑过程R（·；u）定义为asR（t；u）：=ZtL（s；u）L（s；u）λe-λsds，0≤ T≤ T.（3.5）对于任何非负整数q，q和q，我们有sup0≤T≤T | X（T）| q< ∞, Esup0≤T≤TLq（t；u）< ∞ 和E[Rq（T；u）]<∞ ;（3.6）此外，家庭sup0≤T≤T | X（T）|qLq（τ；u）Rq（τ；u）τ∈S（3.7）对于概率测度P是一致可积的。证明：根据假设2.2（iii）和方程（2.9），存在C（x，γ，N，q）∈(0, ∞), 因此，对于任何0≤ T≤ T，我们有SUP0≤s≤t | X（s）| 2q≤ sup0≤s≤德克萨斯州+Zsσ（w，X（w））dW（w）+NXi=1 |γ（X（τi-), ζi）|！第二季度≤C（x，γ，N，q）1+sup0≤s≤TZsσ（w，X（w））dW（w）第二季度！。（3.8）SinceR·∑（t，X（t））dW（t）是一个局部P-鞅，来自Burkholder-Davis-Gundy不等式（例如[18]Karatzas and Shreve（1988）第166页），对于q=1，2，··Wehave“sup0”≤T≤TZtσ（s，X（s））dW（s）第二季度#≤ C（q）EZTσ（t，X（t））dtQ, （3.9）对于某些常数0<C（q）<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:28

但存在一个常数C（σ，q，T）∈ (0, ∞),就这样ZTσ（t，X（t））dtQ≤ Tq-1EZTσ2q（t，X（t））dt=Tq-1ZTEσ2q（t，X（t））dt≤ Tq-1C（σ，q，T）1+中兴|X（t）| 2qdt≤Tq-1C（σ，q，T）1+中兴sup0≤s≤t | X（s）| 2qdt,（3.10）第二个不等式来自不等式（2.8），σ（t，·）的线性增长性质。不等式（3.8）、（3.9）和（3.10）表示“sup0”≤T≤TZtσ（s，X（s））dW（s）第二季度#≤ C（x，σ，γ，N，q，T）1+ZTE“sup0≤s≤TZsσ（v，X（v））dW（v）2q#dt！，（3.11）对于某些常数C（x，σ，γ，N，q，T）∈ (0, ∞). 然后，通过Gronwall不等式（例如[18]Karatzas and Shreve（1988）第287页），我们知道“sup0”≤T≤TZtσ（s，X（s））dW（s）2q#∞, （3.12）因此，通过不平等（3.8），我们得到了sup0≤T≤T | X（T）| 2q< ∞. （3.13）等式（2.11）和假设2.1（ii）意味着≤ T≤ T，~L（T；u）≤ L-1（t；u）=expZtb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））dsL（t；u）≤ exp{CT}L（t；u），（3.14）其中我们定义了+L（t；u）：=exp-Ztb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））ds（3.15）并注明L（t；u）=-ZtL（s；u）b（s，X（s）；u） σ（s，X（s））dW（s）。（3.16）使用假设2.1（ii）和导致（3.13）的相同参数，以及方程（3.3）、（3.14）和（3.16），我们可以显示sup0≤T≤TLq（t；u）< ∞ 还有Esup0≤T≤热释光-q（t；u）< ∞. （3.17）根据方程式（3.5）和（3.17）得出：∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:33

（3.18）取任意F-停止时间τ，其值在[0，T]中，通过H¨older不等式和估计（3.13），（3.17）和（3.18），我们得到sup0≤T≤T | X（T）|qLq（τ；u）Rq（τ；u）≤Esup0≤T≤T | X（T）| 2q1/2EL4q（τ；u）1/4ER4q（τ；u）1/4≤Esup0≤T≤T | X（T）| 2q1/2Esup0≤T≤TL4q（t；u）1/4ER4q（T；u）1/4< ∞.（3.19）为了从（3.19）中导出族（3.7）的一致可积性，我们使用Cauchy-Schwartz不等式和Chebyshev不等式来得到估计的supτ∈SE“sup0≤T≤T | X（T）|qLq（τ；u）Rq（τ；u）1sup0≤T≤T | X（T）|qLq（τ；u）Rq（τ；u）>A#≤ supτ∈sEsup0≤T≤T | X（T）| 2qL2q（τ；u）R2q（τ；u）1/2··Psup0≤T≤T | X（T）|qLq（τ；u）Rq（τ；u）>A1/2≤Asupτ∈东南方sup0≤T≤T | X（T）| 2qL2q（τ；u）R2q（τ；u）,（3.20）作为一个整体趋于零→ ∞, 以（3.19）为强度。引理3.2表示0≤ T≤ T，x∈ R、 l=（l，l，··，lm）∈ Rm+1，r=（r，··，Rm）∈ Rm，考虑定义为α（t，x，l，r）的函数α：=mXj=1pjljrj+e-λtl！h（x）+ξ′′（x）σ（t，x）+mXj=1pjljrjb（t，x；uj）+e-λtlb（t，x；u）！ξ′（x），（3.21）和定义为β（t，x，l，r，z）的函数β：=mXj=1pjljrj+e-λtl！ξ（x+γ（x，z））- ξ（x）+ξ′（x）γ（x，z）+c（x，z）.（3.22）那么，0≤ T≤ 我们有[Z（T）|F（T）]Zth（X（s））ds+ξ（X（T））+Xτi≤tc（X（τi）-), ζi）！=M（t）+Ztαs、 X（s）、L（s）、R（s）ds+Xτi≤tβτi，X（τi-), L（τi）-), R（τi）-), ζi,（3.23）式中，M（·）是一些平方可积（P，F）-martinga l e，M（0）=ξ（x），R（t）：=（R（t；u）·R（t；uM）），（3.24）和l（t）：=（l（t；u），l（t；u）·l（t；uM））。（3.25）证明：应用带跳半鞅的It^o公式，我们得到了[Z（t）|F（t）]Zth（X（s））ds+ξ（X（t））+Xτi≤tc（X（τi）-), ζi）！=ξ（x）+ZtZs-h（X（u））du+ξ（X（s）-)) +Xτi≤s-c（X（τi）-), ζi）！德[Z（s）| F（s）]+中兴[Z（s）]-) |F（s）-)] ξ′（X（s）-))σ（t，X（t））dW（t）+Zt0+αs-, X（s）-), L（s）-), R（s）-)ds+Xτi≤tβτi，X（τi-), L（τi）-), R（τi）-), ζi.（3.26）通过变量的变化和黎曼积分的连续性，Zt0+α（s-, X（s）-), L（s）-), R（s）-)) ds=Ztα（s，X（s），L（s），R（s））ds。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-6 02:58:36

（3.27）定义（t）：=ξ（x）+ZtZs-h（X（u））du+ξ（X（s）-)) +Xτi≤s-c（X（τi）-), ζi）！德[Z（s）| F（s）]+中兴[Z（s）]-) |F（s）-)] ξ′（X（s）-))σ（X，dwt）。（3.28）等式（3.26）-（3.28）意味着（3.23）成立。将（3.4）代入（3.28），wegetM（t）=ξ（x）+ZtdW（s）“E[Z（s-) |F（s）-)] ξ′（X（s）-))+mXj=1pjZtL（s；u）L（s；uj）λe-λsdsL（t；uj）b（t，X（t）；uj）σ（t，X（t））+e-λtL（t；u）b（t，X（t）；u）σ（t，X（t））Rs-h（X（u））du+ξ（X（s）-))+Xτi≤s-c（X（τi）-), ζi）#.根据引理3.1，M（·）是关于（P，F）-布朗运动W（·）的P-平方可积过程的积分，因此M（·）也是局部（P，F）-马氏体。我们需要证明M（·）是（P，F）-鞅，而不仅仅是局部鞅。必须证明{M（τ）}τ族∈Sis在概率测度P下是一致可积的。通过方程（3.2）和（3.23），M（·）可以用交替的asM（t）=mXj=1表示pjL（t；uj）ZtL（s；u）L（s；uj）λe-λsds+ E-λtL（t；u）！Rth（X（s））ds+ξ（X（t））-Ztαs、 X（s）、L（s）、R（s）ds-Xτi≤tβτi，X（τi-), L（τi）-), R（τi）-), ζi. （3.29）从表达式（3.29），（3.21），（3.22），（2.8）和假设2.2（ii）（iii），我们知道存在一个常数C>0和一个正整数qM（t）≤CPmj=1L（t；uj）R（t；uj）+L（t；u）+RtPmj=1L（s；uj）R（s；uj）+L（s；u）ds！sup0≤s≤对于ll（T，ω），T | X（s）| q（3.30）∈ [0，T]×Ohm. 然后，从引理3.1，我们知道，在概率测度P下，局部鞅M（·）是平方可积的，并且是[0，T]上的D类鞅。后者意味着M（·）是（P，F）-鞅。因为（3.23）和（3.28）中的过程M（·）是（P，F）-马氏过程，它应该从（3.1）的P-期望中消失，只留下半鞅的初值和有限变化部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:39

这个属性使引理3.3能够以更方便的方式在（3.1）中写入P-期望。引理3.3适用于任何脉冲控制（τ，ζ）∈ 一、 E“E[Z（T）|F（T）]ZTh（X（T））dt+ξ（X（T））+NXi=1c（X（τI-), ζi）#（3.31）=ξ（x）+E“ZTα（s，x（s），L（s），R（s））ds+NXi=1β（τi，x（τi-), L（τi）-), R（τi）-), ζi）#。证明：这是因为过程（t）=E[Z（t）|F（t）]Zth（X（s））ds+ξ（X（t））-Ztα（s，X（s），L（s），R（s））ds-Xτi≤tβ（τi，X（τi-), L（τi）-), R（τi）-), ζi），0≤ T≤ T（3.32）是引理3.2给出的（P，F）-mart-ingale，因此E[M（T）]=M（0）=ξ（x）。等式（3.31）同样成立。到目前为止，（3.1）中的P-预期奖励已被改写为在时间间隔[0，T]内累积的奖励α和仅在干预时收到的奖励β之和的P-预期，如等式（3.31）所示。Bo t hα和β是过程X（·）、L（·）和R（·）的函数，它们适用于观察过滤F。引理3.4和命题3.1将表明过程（X（·）、L（·）、R（·）的三重构成一个良好的马尔可夫过程，因为它是一个具有局部Lipschitz系数的随机微分方程的唯一强解，并且这个解不会爆炸。引理3.4三重（X（·）、L（·）、R（·））是一个（2m+2）维马尔可夫过程，每个时间间隔[τi，τi+1]，对于i=0，1，·N- 1.证明：表示1=（1，1，··，1）为1的（m+1）维行向量，0=（0，··，0）为0的m维行向量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 02:58:44

在时间间隔（τi，τi+1）内，三重（X（·）、L（·）、R（·））构成（2m+2）维SDE的强解dX（t）=σ（t，X（t））dW（t）；dL（t；uj）=L（t；uj）b（t，X（t）；uj）σ（t，X（t））dW（t），j=0,1，·m；dR（t；uj）=L（t；u）L（t；uj）λe-λtdt，j=1，···，m（3.33），由标准的P-布朗运动W（·）驱动，初始值（X（0），L（0），R（0））=0时的（X，1，0）（3.34），初始值（X（τi），L（τi），R（τi））来自假设2。1（i）（ii）和不等式（2.8），SDE（3.33）的系数是R2m+2的不可压缩子集，局部为Lipschitz。SDE（3.33）有一个独特、强大的解决方案。SDE（3.33）的适定性（相当于相关鞅问题的适定性）暗示了（X（·）、L（·）、R（·））相对于Borelσ的P-强马尔科夫性质-代数F（[34]Stroockand Vara dhan（1997））。但由X（·）产生的过滤F包含在F中，而过程（X（·）、L（·）、R（·））是F自适应的。那么（X（·），L（·），R（·））在概率测度pw下关于F具有stro-ngMarkov性质。命题3.1 SDE（3.33）的解（X（·）、L（·）、R（·））在时间范围内不会爆炸[0，T]。证据：通过定义具有局部Lipschitzcoefficient的SDE的爆炸时间（例如[18]Karat zas and Shreve（1988）第330页），这是引理3.1得出的结论。最终，我们能够在定理3.1中重新表述部分可观测脉冲控制问题（2.17）。在参考概率测度P下，它成为SDE（3.33）中（2m+2）维F-适应状态过程（X（·）、L（·）、R（·））的完全可观测脉冲控制问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:47

为了证明这个定理，我们使用方程（2.17），（3.1）和引理3.3。定理3.1物理测量下的脉冲控制问题（2.17）相当于参考概率测量下的脉冲控制问题，通过选择最优（τ*, ζ*) = {(τ*i、 ζ*i） }Ni=1达到最大期望值v:=sup（τ，ζ）∈IE“ZTα（s，X（s），L（s），R（s））ds+NXi=1β（τi，X（τi-), L（τi）-), R（τi）-), ζi）#。（3.35）此外，两个最大预期回报通过V=ξ（x）+V相关联。因为最佳预期值V和变量仅在常数ξ（x）内不同，所以（2.17）和（3.35）中的两个上限通过相同的最优控制集（τ）实现*, ζ*), 如果有的话。脉冲控制问题（3.35）是我们要解决的问题。3.2参考概率测量下的解本小节将通过表示最优控制（τ）来解决脉冲控制问题（3.35）*, ζ*) 在命题3.2中，关于价值函数和状态过程。这种表示的基础是引理3.5的动态编程原理。为了满足命题3.2的斯奈尔包络图的技术条件，在表3.6中提供了值函数的连续性。为了保存符号，首先引入了一些缩写。我们用溶质n（X（·）、L（·）、R（·））的范围及其边界asQ表示：=[0，T]×O和*Q:={T}×O.（3.36）不同参数b（·，·；u）和σ（·，·）的状态空间不同。在不损失一般性的情况下，研究与脉冲控制问题有关的变分不等式应在最大可能域上进行，其中isO=R×（0，∞)m+1×[0，∞)m、（3.37）对于每n=1，2，·表示有界域：=(-n、 n）×n、 nm+1×[0，n）m O R2m+2。（3.38）表示为“On”的On的关闭严格包含在O中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:50

作为n→ ∞ , 集合n增加到O，因此集合Qn:=[0，T]×增加到Q。我们引入了abrevision=（x，l，l，··，lm，r，··，rm），（3.39）bY（T，y）=0,0,0，··，0，llλe-λt，··，llmλe-λt, （3.40）σY（t，Y）=σ（t，x），lb（t，x；u）σ（t，x），lb（t，x；u）σ（t，x），··，lmb（t，x；um）σ（t，x），0，··，0, （3.41）和Γ（y，z）=（x+γ（x，z），l，r），（3.42）表示所有（t，y）=（t，x，l，r）。使用这种符号，SDE（3.33）可以以向量形式书写，SDE（3.33）具有唯一的强溶解度（·）=（x（·），l（·；u），l（·；u），l（·；um），r（·；um）），（3.43）dY（t）=bY（t，Y（t））dt+σY（t，Y（t））dW（t），τi<t<τi+1；Y（τi）=Γ（Y（τi）-), ζi），对于i=1，2，··，N.（3.44），这里的初始值是y（0）=（x，1，0），（3.45），W（·）是标准的P-布朗运动。在缩写符号中，等式（3.46）中的最大预期报酬可以写成v=sup（τ，ζ）∈IE“ZTα（s，Y（s））ds+NXi=1β（τi，Y（τi-), ζi）#。（3.46）本节其余部分将使用上述缩写符号。引理3.5动态规划原理。为了一个纽约k∈ {1,2，···，N}和任何0≤ T≤ T，le T It，kbe容许干涉集{（τi，ζi）}Ni=N- k+1等于τN-k+1≥ T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:58:53

假设状态进程的当前值Y（t）=Y∈ O.存在确定性可测函数v，v，··，vN:Q→ R、使得vk（t，y）=esssup{（τi，ζi）}Ni=N-k+1∈它，kE“ZTtα（s，Y（s））ds+NXi=N- k+1β（τi，Y（τi-), ζi）F（t）#，（3.47）对于k=1，··，N，和v（t，y）=EZTtα（s，Y（s））dsF（t）.（3.48）值函数v，···，vn满足动态规划原则k（t，y）=ess sup（τN-k+1，ζN-k+1）∈它，1E“ZτN-k+1tα（s，Y（s））ds+β（τN-k+1，Y（τN）-k+1-), ζN-k+1）+vk-1（τN）-k+1，Γ（Y）（τN-k+1），ζN-k+1）F（t）#。（3.49）证明：函数v，v，···，vn的存在来自于引理3.4中状态过程Y（·）的马尔可夫结构。为了证明方程（3.49），fix a arbia r y k∈ {1，2，··，N}，一个任意yt∈ [0，T]和任意容许干涉{（τi，ζi）}Ni=N- k+1∈ 它，k，我们表示ak（t）：=ZτN-k+1tα（s，Y（s））ds+β（τN-k+1，Y（τN）-k+1-), ζN-k+1）；Bk:=ZTτN-k+1α（s，Y（s））ds+NXi=N- k+2β（τi，Y（τi-), ζi）。（3.50）ThenE“ZTtα（s，Y（s））ds+NXi=N- k+1β（τi，Y（τi-), ζi）F（t）#=EAk（t）+E[Bk | F（τN）-k+1）]F（t）.（3.51）一方面，取上确界（τN）-k+1，ζN-k+1）∈ 它在他们的两面Ak（t）+E[Bk | F（τN）-k+1）]F（t）≤ E[Ak（t）+vk-1（τN）-k+1，Γ（Y）（τN-k+1），ζN-k+1）|F（t）]（3.52）显示vk（t，y）小于或等于（3.49）的右手侧。另一方面，不等式vk（t，y）≥ EAk（t）+E[Bk | F（τN）-k+1）]F（t）（3.53）暗示vk（t，y）≥ E[Ak（t）+vk-1（τN）-k+1，Γ（Y）（τN-k+1），ζN-k+1）|F（t）]（3.54），因此vk（t，y）大于或等于F（3.49）的右侧。参见[13]Fleming&Soner（1993），[21]Krylov（1980）或[30]Pham（2009），了解动态编程原理的详细说明。引理3.6在（3.47）和（3.48）中定义的值函数v，v，··，vn在（t，y）中重新连续∈ Q

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 02:58:57

在紧集上，它们承认连续模ωn:[0，∞) → [0, ∞), 对所有0≤ T≤ T，意思是| vk（T，y）-vk（t，y）|≤ ωn（| | y）-y | |），代表所有人（t，y），（t，y）∈ [0，T]×”打开。（3.55）证明：通过SDE解的连续性（库尼塔[22]第229页第二章定理5.2），以及假设2.2（iii）中给出的函数γ的连续性，受控SDE（3.33）的唯一强解在其初值（t，Y（t））=（t，Y）中是连续的∈ Q.我们还将使用方程（3.21）和（3.22）中函数α和β的连续性、假设2.2（ii）（iii）和一致可积引理3.1。归纳性地应用命题证明2。2在[16]Jaillet，Lamberton和Lapeyre（1990）到vk中，对于k=0，1，···，N，我们知道值函数v，v，··，vn在（t，y）中是连续的∈ Q.受紧集Qn=[0，T]×”on的限制，值函数v，v，··，vn在（T，y）中一致连续∈ Qn，因此它们承认空间变量y中的连续模ω∈“来吧，尽管如此”∈ [0，T]。域Q上所有连续函数的集合，其允许紧集中所有0的连续模ωnY≤ T≤ T被命名为C（Q；ωn）。这就是引理3.6中描述的一组性质。然后，最佳脉冲控制根据价值函数sv、v、·vN和三重函数（X（·）、L（·）、R（·））=Y（·）获得。（3.33）中过程的三重（X（·）、L（·）、R（·））=Y（·），可被视为优化问题（2.17）的“有效统计数据”，该三重（X（·）、L（·）、R（·））=Y（·），适用于观察结果X（·）生成的过滤F。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:00

对于（2.17）中的所有累积奖励函数h（·）、所有脉冲控制成本c（·）和所有终端奖励函数ξ（·），决策者需要监控的“有效统计”保持不变。命题3.2（操作优化的迭代程序）适用于任何可测函数f:Q→ R、定义映射M by（Mf）（t，y）：=supz∈R{f（t，Γ（y，z））+β（t，y，z）}，对于所有（t，y）∈ Q.（3.56）对于每k=1,2，··，N，迭代定义F-停止时间τ*k:=infτ*K-1<t≤ T | vN-k+1（t，Y（t））≤ MvN-k（t，Y（t））, （3.57）确信τ*= 0.假设上级∈R{vN-k+1（t，Γ（y，z））+β（t，y，z）}- 越南-k（t，y）（3.58）可通过实数zk（t，y）获得，并定义F（τ*K-)-可测随机变量ζ*k:=zk（τ）*k、 Y（τ）*K-)) , （3.59）对于每k=1，2，··，N，则（2.17）和（3.1）中的上界通过脉冲控制{τ*k、 ζ*k} 此外，最大期望报酬sv=vN（0，Y（0））和V=ξ（x）+vN（0，Y（0））。备注3.1 20世纪70年代，当Bensoussan和Lions最初制定冲动控制问题时，他们的干预次数N=∞. N是有限的还是有限的，没有根本区别，只是系数和容许控制集的技术条件略有不同，才能得出值函数的位置、连续性甚至可微性等性质。Bensoussan和Lions在[6]的定理4中指出，N次干预的值函数与N次干预的值函数共同收敛，如下所示：→ ∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:03

将本文中的结果扩展到N=∞ 指技术假设中的mod i f。4具有漂移不确定性的几何布朗运动在这一部分中，我们讨论了如何逼近最佳停止时间分布p（τ）*我∈ （t，t+dt]），这要归功于蒙特卡罗模拟，并将结果用于构建阅读策略。因此，我们首先在第4.1节中介绍实施第3.1节和第3.2节理论设置的示例。然后，我们在第4.2节中提出了一种基于Longstaff-Schwartz算法的方法来模拟最佳停车时间{τ*i} i=1，。。。，n家庭。在第4.3节中，我们提供了一个简单的静态交易策略，可以测试模拟结果。4.1设置问题为了说明模型（2.16），我们将几何布朗运动作为一个常见的简单例子进行讨论。参数θ（·）是初始值为u的drif t。随机变量U具有先验分布U=（u，概率p；u，概率p=1- p（4.1）和ρ具有指数λ先验分布，如（2.4）所示。（2.16）中的微分X（·）是几何布朗运动（dX（t）=X（t）θ（t）dt+X（t）σdW（t）；X（0）=X.（4.2）在本例中，波动率σ是一个确定的正数。初始值为u的参数θ（·）是几何布朗运动的百分比漂移。假设X（·）是某一股票的价格过程，且利率为零，没有交易成本，也没有价格影响。仅观察价格演变，一个最优交易问题是找到两个停止时间乘以0≤ τ*≤ τ*≤ T在S中，以实现pτ和τ的上确界∈S、 τ≤τE[X（τ）- X（τ）]。（4.3）就收到的资金而言，价值（4.3）是该股票首次买入，然后卖出的最佳平均收益。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:06

比较SDEs（4.2）和（2.16），以及目标（2.17）和（4.3），我们试图用γ（·，·）=0，h（·）=0和ξ（·）=0来解决脉冲控制问题。我们应该设置c（x，z）=zxf或x∈ Rnand z∈ R、 ζ=-ζ=1，N=2。为了考虑交易成本和价格影响，只需修改函数c（·，·）和γ（·，·）。对于几何布朗运动的例子，我们可以计算得到似然比过程sl（t；u）=expU-uσTX（t）Xu/σ，0≤ T≤ T.（4.4）（3.5）中定义的过程R（·；u）可以写成R（T；u）=Ztλexpu- U-u- uσ- λsX（s）X(u-u） /σds，0≤ T≤ T、（4.5）美国∈ Θ. 通过使用l（t；u）在X（t）方面的替代表达式，可以降低变量不等式的维数。替换lj=expuj-ujσTxxuj/σ，γ（·，·）=0，h（·）=0，ξ（·）=0和c（x，z）=zx在（3.21）和（3.22）中定义的两个函数中，我们得到α（t，x，l，r）=0，（4.6）β（t，x，l，r，z）=zXj=1pjexpuj-ujσTx1+uj/σxuj/σrj+expu-uσT- λtx1+u/σxu/σ=:β（t，x，r，z）。（4.7）在测度P下，（4.3）中的上确界为τ和τ∈S、 τ≤τE[X（τ）- X（τ）]=supτ和τ∈S、 τ≤τEβ（τ，X（τ），R（τ），1）+β（τ，X（τ），R（τ），-1).（4.8）存在确定性可测函数“vand”v:[0，T]×（0，∞ ) × [0, ∞),使得v（t，X（t），R（t））=supτ∈StEβ（τ，X（τ），R（τ），1）| F（t）;v（t，X（t），R（t））=supτ∈StEβ（τ，X（τ），R（τ），-1） +v（τ，X（τ），R（τ））|F（t）.（4.9）双向交易ISUP的最佳值（τ，τ）∈Sτ≤τE[X（τ）- X（τ）＝v（0，X（0），0）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:10

（4.10）4.2[27]中提出的多个最优停止时间的Longstaff-Schwartz算法为美式期权定价，Longstaff-Schwartz程序由Cl＠ement、Lamberton和Protter（2002）在[9]中严格制定，使用停止时间代替动态规划算法的值函数。该方法还涉及条件期望的回归近似和停止时间取值区间的离散化。[9]研究了每个近似步骤的收敛性，我们的目标是将该算法用于多重最优停止问题。Tsitsiklis和Van Roy（2001）在[35]中也应用了这种方法，Gobet、Lemor和Warin（2005）在[15]中将条件预测的回归近似推广到了BSDEs（向后随机微分方程）。回归近似通常使用一个回归向量来表示整个轨迹集，然后将其视为一种全局方法。因此，其他作者基于Malliavin演算a sin[1,8]或[2]中的量化方法，使用了更多条件期望的局部近似。为了保持算法的简单性，我们采用了单项回归方法。然而，我们必须记住，在一些问题中，尤其是当维度变高（超过两个资产）时，条件表达式的良好近似是一个关键因素。要继续，我们首先需要以S为单位接近停车时间，停车时间取值在有限集0=t<t<…<tn=T。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:13

然后，可以将（4.9）的计算简化为两个动态规划算法的实现，我们用每条路径的最佳停车时间τ和τk表示，如下τn=t，k∈ {n- 1.1} ，τk=tkA1k+τk+1Ac1k，（4.11）τn=T，对于k∈ {n- 1.1} ，τk=tkA2k+τk∧ τk+1Ac2k（4.12），表示已知F（tk）的条件期望，集合a1k和a2k由a1k给出=β（tk，X（tk），R（tk），1）>Etk[\'v（tk+1，X（tk+1），R（tk+1））];A2k=β（tk，X（tk），R（tk），-1） +v（tk，X（tk），R（tk））>Etk[\'v（tk+1，X（tk+1），R（tk+1））].虽然在Pis下对X的模拟很简单，但对R的模拟是通过[25]孔选项中应用的时间积分的梯形近似实现的。对于i=1，2，计算Etk[\'vi（tk+1，X（tk+1），R（tk+1））]仍然需要时间。利用引理3.4中建立的马尔可夫性质，根据F（tk）的条件期望可以被根据toY（tk）=（X（tk），R（tk）的条件期望所取代。在我们的应用中，后一个量将通过单项式族g（Y（tk））=（1，X（tk），R（tk，u），R（tk，u）的回归来近似。形式上，对于辅助函数fi（·）=vi（tk，·，·），i=1，2E（fi（Y（tk+1））|Y（tk））≈ 人工智能。g（Y（tk））。（4.13）矢量目标使二次误差最小化fi（Y（tk+1））- 人工智能。g（Y（tk））L（4.14），因此等于toAi=ψ-1E（fi（Y（tk+1））g（Y（tk）），（4.15），其中矩阵ψ=E（g（Y（tk））gt（Y（tk）），并且是转置运算。因此，在每个时间步，矩阵反演（4.15）可以通过[31]中解释的奇异值分解（SVD）来实现，期望值通过算术平均值（fi（Y（tk+1））g（Y（tk））来近似≈MMXl=1fi（Yl（tk+1））g（Yl（tk）），Eg（Ytk）gt（Ytk）≈MMXl=1g（Yl（tk））gt（Yl（tk））。M是模拟轨迹的数量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:16

然后，使用（4.12）v（0，X（0），0）中已知的τ≈ 马xE\'v（τ，X（τ），R（τ））, 0（4.16）是（4.10）的近似值。此外，对于i=1，2，我们得到近似值p（τ*我∈ （tk，tk+1]）≈ P（τi=tk+1）。（4.17）最后，我们应该指出，建议的程序可以推广到两个以上的最佳停止时间。对于一个最佳停止时间，可采用与[9]中所述相同的方法建立整体算法的收敛性。此外，读者不应认为我们只考虑了确定性情况ζ=-ζ=1，N=2。事实上，我们可以提出上述算法的随机版本，其中包括ζ上的优化，然而我们这里的目的只是给出一个简单案例的说明。作为未来的工作，我们将研究基于上述多重最优停止时间算法的更通用的脉冲控制方法的收敛性。4.3基于P（τ）的交易策略*我∈ （t，t+dt]）为了展示这种交易策略，我们首先需要改变概率测度，并返回到P，这要归功于（2.13）和使用（2.12）对Z（t）的模拟。对于i=1，2，我们得到近似值p（τ*我∈ （tk，tk+1]）≈ EZ（tk+1）1τi=tk+1. （4.18）现在，让我们假设我们不仅可以买卖一只股票，而且可以买卖更大的数量≥ 1.股票。因此，可以使用近似值Q sup（τ，τ）∈Sτ≤τE[X（τ）- X（τ）]≈ q最大值E\'v（τ，X（τ），R（τ））, 0. （4.19）使用（4.19）中获得的值，我们在第一阶段决定交易是否有趣。事实上，如果这个价值“不够”大，那么承担亏损的交易风险是不值得的。在这个一维的例子中，只有当X的漂移更积极而不是消极时，人们才应该投资X。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:19

此外，如果我们对预期的利润感到满意，我们可以在k=0的现货价格X（tk+1）上建立以下静态交易策略。。。，N- 1：收到的钱是isMr*k+1=Mr*k+q[P（τ）*∈ （tk，tk+1]）- P（τ）*∈ （tk，tk+1）X（tk+1），Mr*= 0.（4.20）Mr*不能接受负值，这意味着我们正在购买库存。我们将比较Mr*nto MRN其中Mrk+1由Mrk+1=Mrk+q定义Pk+1- Pk+1X（tk+1），Mr=0。（4.21）和数量Pk+1，Pk+1由于k=0。。。，N- 1Pk+1~ U（0,1- 主键+1），主键+1~ U（0，Sk+1），Pn=Sn，Sk+1=Sk- Pk，Sk+1=Sk+1+Pk+1，S=0（4.22），其中U（0，x）是[0，x]上的统一规则。因此，我们将比较静态交易策略（4.18）（4.20）和（4.21）（4.22）中规定的一些策略所赚的钱。在概率P下，我们对大量新模拟的X射线进行比较（稍后给出）。在下文中，我们表示相应的YGMR*NANDFMRNMR的平均值*和Mr表示X的多个模拟区域。我们也用Mr表示*nand Mr分别为Mr的最大值*nand Mrnon模拟了X的轨迹。虽然我们测试了大量模型参数的算法，但我们在这里给出的结果仅与一个值的选择有关。我们建议读者访问第一作者网页，下载算法的C++代码，以便使用其他参数值进行测试。图1、图2和图3涉及以下选择：Longsta-Schwartz算法的模拟轨迹数M=2，图1：与Msa相关的MRNA直方图=2轨道策略。静态优化策略提供了GMR*n=6.17。图2：与Msa=2随机策略相关的MRNA直方图。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 02:59:22

静态最优策略提供了*n=51.98.0 2.5K 5K 7.5K 10K24681012图3:GMR的演变*n根据模拟轨迹的数量n=10，T=1，u=u=0.1，u=-0.1 p=0.5，σ=0.2，λ=1，x=1，q=100。使用Mnew=2 X演化的新场景，我们在图1和图2中比较了Msa=任意策略产生的平均利润和最大利润与静态最优策略产生的利润。在图1中，优化策略优于所有任意策略，这证明了第4.2节中实施的方法的有效性。此外，根据图2，即使最优策略提供的最大收益也是最好的。在图3中，我们展示了最优策略的稳定性，即使是在少数情况下，它也能使每一项收益的平均值达到r~ 20 0.为了结束本节，尽管可以使用P（τ）的近似值建立更详细的交易策略*我∈ （t，t+dt]），我们在本节中提供的方法使我们能够展示Longsta-Schwartz算法对于多个最佳停车时间的效率。5讨论在第5.1节中，我们讨论如何将测量方法的变化扩展到多维情况。在第5.2节中，我们简要介绍了后验概率方法，并解释了为什么难以应用于多维部分观测控制问题。5.1多维状态过程的度量变更方法第3节中提出的度量变更方法可以扩展到第2.1节中的差异是多维的情况，主要是通过将标量的符号替换为矩阵的符号。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝