期权定价的最小二乘法再探讨

2022-5-6 04:14:20

期权定价的最小二乘法*Marcin Pitera+2018年8月28日摘要研究表明，即使在非常一般的假设下，流行的期权定价最小二乘法也收敛。这大大增加了创建不同方法实现的频率，计算复杂度和灵活的回归方法各不相同。也有人认为，在许多实际应用中，即使标准回归的适度非线性扩展也可能产生令人满意的结果。这一主张以实例加以说明。关键词：最小二乘期权定价，斯奈尔包络，最优停止，条件期望近似，美式期权，基本期权，蒙特卡罗模拟，伦敦银行同业拆借利率市场模型，赫斯顿-南迪模型。2010年理学硕士：小学-91G20、91G60、93E24；二级-60G40，62J02。1简介十多年来，金融从业者广泛使用了所谓的美国期权定价最小二乘法的几种变体，同时研究人员也对其进行了研究。这种方法的起源可以在卡里雷[5]、齐齐克利斯、范·罗伊[23]（另见[22]）、朗斯塔夫、施瓦茨[17]和克莱门特、兰姆·埃尔顿、普罗特[7]的著作中找到。基本上，该方法寻求一种近似估值过程中所需的条件预期的方法，如[17]和[7]所示，或者通过[23]所示的价值函数间接进行。[7]从方法收敛的角度研究了[17]中算法的修改。

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大多数88

2022-5-6 04:14:23

随后，关于这一主题的几篇论文发表了——我们将仅提及其中与本文相关的几篇。Glasserman和Yu[11]在2004年研究了类最小二乘法的收敛性，其中基本上，必要的条件期望通过逼近函数的线性组合来逼近。更具体地说，他们研究了当近似函数的数量和*瑞典乌普萨拉大学数学系，邮政信箱480，75106乌普萨拉；电子邮件：Maciej。Klimek@math.uu.se+ul贾吉隆大学数学研究所。Lojasiewicza 6，30-348克拉科夫w波兰；电子邮件：Marcin。Pitera@im.uj.edu.plof模拟轨迹增加。他们假设其基础是一个多维马尔科夫过程。从实用的角度来看，比较悲观的结果是，对于作为近似函数的多项式和作为底层的常规（分别为几何）布朗运动，所需路径的数量可能会在多项式的阶数（分别为阶数的平方）上呈指数增长。Glasserman和Yu指出，类似的性质也适用于更一般的近似函数（近似函数的数量取代了最大度）。也是在2004年，Stentoft[21]分析并扩展了[7]中给出的收敛结果。特别是，他考虑了根据模拟区域的数量选择最佳回归数的问题。2005年，Eglo off[9]提出了对原始Longsta off-Schwartz[17]和Tsitiklis Van Roy（[22]，[23]）算法的扩展，将多维离散时间马尔可夫过程的最优停止问题作为广义统计学习问题来处理。他的结果也改进了[7]中的结果。

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2022-5-6 04:14:26

Eglo off评论说，尽管最小二乘算法在一些实际计算中的性能非常好，但对这些程序中涉及的统计量的精确估计可能很困难，导致在其他情况下的性能不太令人印象深刻。Zanger[24]在2009年提出了最小二乘法的另一个扩展，将信息空间的任意子集视为近似集。他还得出了一些新的、有趣的收敛结果，特别表明有时可以避免时间步数的指数依赖性。应该提到的是，最小二乘法也可以被视为Broadie和Glass-erman提出的随机网格框架的一部分（[3]、[4]；另见[16]和[10]）。还应该注意到，上述文章似乎有两个共同特点。首先，假设底层是马尔可夫的。其次，从计算角度来看，该方法的收敛速度并不令人鼓舞。在本文中，我们将Clément、Lamberton、Protter方法[7]推广到一个相当一般的回归设置，以逼近条件期望。此外，从自然的角度来看，底层不必是马尔科夫式的，而且报酬可以是路径依赖的。虽然马尔可夫性的缺乏可以通过其他方式很容易地避免，但这总是意味着额外的计算成本。显然，通过更好地逼近条件期望，潜在的计算复杂度会显著增加。然而，放松假设的主要优点是增加了定制方法的自由度。此外，我们想说的是，最小平方方法应该被视为一个通用框架，导致各种特定的实现。

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2022-5-6 04:14:29

主要原因在于，在许多有趣的情况下，条件期望的信息空间，或者换句话说，它的范围是有限维的。不可避免地，在这些情况下，条件期望的任何近似值，或取决于条件期望的值函数，都必须包含显著限制性的外部假设，以使实际计算成为可能。虽然一般的收敛结果对于激发整体方法是必要的，一些计算复杂性可能会按照[19]的思路解决，但未来的发展很可能会朝着简化时间序列模型的方向发展。完全可以想象，现实主义和数值效率的另一个来源可以利用时间序列分析和框架理论的先进性（见例[14]）。这种推测的经验基础来自这样一个事实：在许多实际问题中，即使只采用f-ewnon线性回归，有时忽略马尔可夫性的缺乏，从实际角度来看，也可能得到令人满意的结果。金融业似乎有很多轶事证据支持上一个说法，在本文中，我们以三个实证例子的形式提供了进一步的佐证证据。材料组织如下。导言之后是对经典Dobrushin-Minlos定理结果的简短回顾，该定理可以导致条件期望的可行数值近似。在回顾了斯奈尔包络在美式期权定价中的应用之后，我们证明了Clément、Lamberton和Protter[7]提出的方法可以扩展到美式s型期权的情况，并采用一种非常通用的回归方法。该设置包括路径依赖型薪酬和非马尔可夫多维薪酬。

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2022-5-6 04:14:32

接下来是三个计算实例，说明了该方法在相当严格的假设下的可行性。首先，我们介绍了一年期欧洲美元看跌期权和看涨期权的定价，以及不同的执行价格。然后，我们使用最小二乘法对1.5个月的美式看跌期权进行定价，其支付函数取决于两个市场指数，即DAX和EUROSTOXX50。最后，我们使用Leatsquares算法对两个1.5个月的美式看跌期权进行定价，其支付函数基于一个单一市场指数，假设其基础可以用Heston-Nandi-GARCH（1,1）模型来描述[12]。同样，我们将使用EUROSTOXX50和DAX指标作为各自的基础工具。2条件期望的近似在本节中，我们将介绍一些基本的符号，并回顾Dobrushin和Minlos[8]的一个经典结果，该结果为通过所谓的可容许投影系统近似条件期望提供了动力，以及一个实用方法的选择。DodrushinMinlos定理展示了这种近似的一个具体例子，但当然存在许多具有相同性质的非多项式构造。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间。由于我们将只处理有限方差的随机变量，我们可以依靠希尔伯特空间几何来解决感兴趣的问题（见[20]）。闭子空间S L(Ohm, F、 P）如果包含常数，则称为概率，且关于取其两个元素中的最大值，即如果X，Y∈ S、然后X∨ Y∈ S.对于任何非空集合X L(Ohm, F、 P），其晶格包络Latt（X）被定义为L的最小概率子空间(Ohm, F、 P）包含X。此外，如果X={X。

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mingdashike22

2022-5-6 04:14:35

，Xn}和bn表示Rn中Borel集的σ-代数，那么就不难证明Latt（X）=L(Ohm, σ（X），P）=L(Ohm, （X，…，Xn）-1（Bn），P）。后者有时被称为X生成的信息空间，Xn。即使X仅由一个标量随机变量组成，Latt（X）通常是有限维的。由于它也是正交投影E[·| X，…，Xn]的范围，因此从数值角度来看，希望能够使用可用的最小二乘算法，通过投影到更小的有限维向量空间来近似此类投影。然而，通过对有限维子空间的投影来近似有限维范围内的正交投影，使得大多数误差估计无效，除非投影对象的性质事先已知。为了构造条件期望的有限维近似，可以使用以下定理，这是Dobrushin和Minlos[8]的结果的一个轻微的重新表述。定理2.1。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，且α>0。设pn表示n个实变量的所有多项式的空间。如果X，随机变量，比如e | Xj|∈Lα(Ohm, F、 P）F或j=1，n、然后：（a）P（X，…，Xn）∈ Lp(Ohm, F、 P）F或任何多项式P∈ PNP和p∈ [1, ∞);（b）向量空间{P（X，…，Xn）：P∈ Pn}在Lp中是稠密的(Ohm, σ（X，…，Xn），P）对于每个yp∈ [1, ∞).应该注意的是，如下面的例子所示，与（a）部分的相反是错误的。例2.2。设n=1，设Xbe是一个离散值随机变量，其概率质量函数p[X=m]=mln-mP∞m=1mln，m∈ N.因为任何问题≥ 1和α>0∞Xm=1mqmln m<∞ 和∞Xm=1eαmmln m=∞ ,定理2中的性质（a）。1表示满意，但e | X | 6∈ Lα(Ohm, F、 P）。

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2022-5-6 04:14:39

如果概率测度P有一个有界支撑，则Dobrushin-Minlos定理的假设是微不足道的。事实上，在这种特殊情况下，定理的结论直接来自Stone Weierstrass定理。也很容易看出，如果X是高斯分布，那么e | X|∈ L.然而，如果X为对数正态分布，则其力矩生成函数在区间（0，∞) 因此eα| X | 6∈ 对于所有α>0的情况，均为Lα。在具体应用中，条件e | X|∈ Lα有时可以通过改变| X |的“非常大”值的概率分布来实现。例如，这可以通过截短概率分布或直接衰减随机变量X来实现。另一种可能性是使用合适的权函数。在这种情况下，DubrushinMinlos定理可用于证明在与雅可比、加根鲍尔、勒让德、切比雪夫、拉盖尔和埃尔米特的名字有关的平方可积函数空间中构造几个经典多项式基的密度部分（见例[6]）。设V是由随机变量X生成的信息空间，Xn。假设可以提供一系列Borel函数qm:Rn-→ R、和m∈ N、使得集合{qm（X，…，Xn）：m∈ N} 在V中是线性稠密的（例如借助于Dobrushin-Minlos定理）。条件期望算子E[·| X，…，Xn]是线性空间上投影序列Vm={qk（X，…，Xn）：1的逐点极限≤ K≤ m} 作为m∞.这一观察结果引出了容许投影系统的一个辅助概念。给定离散时间过滤{, Ohm} = F F . . . 英尺概率空间中的F(Ohm, F、 P），我们将一个可容许投影系统定义为一系列正交投影Pmt:L(Ohm, F、 P）-→ L(Ohm, F、 P），其中t=1，T和m∈ N、有射程及物动词及物动词 . . .

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2022-5-6 04:14:43

，其结合在L(Ohm, Ft，P）。注意，对于任何这样的系统和任何固定的t，我们得到了投影Pmtto E[·| Ft]的逐点收敛。然而，这不是范数收敛，除非子空间的基本序列在经过无数步后变得恒定。众所周知，斯奈尔信封在离散时间模型中的美式看跌期权估值中很有用（参见[18]，第127页）。它们还提供了租赁方期权定价算法的主要理论成分，这是本文的主要主题。Nell信封的标准使用可以很容易地扩展，为更通用的美国式期权提供定价算法，即允许在到期前的任何时间执行，但支付模式多种多样的期权。对于给定的概率空间(Ohm, F、 P），设（Ft）Tt=0为过滤，其中F={, Ohm} 假设自适应随机过程（Zt）Tt=0是可积的。人们可以将（Zt）视为内在价值过程，即在时间t执行某些美式期权的（贴现）价值。将（Zt）的斯奈尔包络定义为t的适应过程Utsuchthat UT=Zt和UT=max（Zt，E[UT+1 | Ft]）∈ {0，…，T-1}. 与（Zt）给出的支付相关的期权价格相关的价值uC。实际上（Ut）可以看作是动态规划原理在最优停止问题sup{EZν：ν中的应用∈ CT}，其中CT表示所有停止时间的集合，其值在集合{0，1，…，T}中（参见[15]和其中的参考文献，了解Snell enve lopes的基本属性和pricingAmerican样式选项的应用）。动态规划原理也可以根据停止时间序列（τt）重写，通过将τt=t和τt=t1{Zt递归定义≥E[Zτt+1|Ft]}+τt+1{Zt<E[Zτt+1|Ft]}，t=1。

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2022-5-6 04:14:46

T- 1.特别地，我们得到Ut=E[Zτt | Ft]，因此τ是（Zt）的最佳值。Snell包络的任何数值实现中的关键元素是逼近条件期望算子的能力。除了有限的情况，我们必须在有限维空间内处理随机变量。这里似乎需要进行一些解释。给定一个容许投影系统（Pmt），对于固定的m∈ N我们通过递归定义停止时间τ[m]T，将τ[m]T=T和τ[m]T=t1{Zt≥Pmt（Zτ[m]t+1）}+τ[m]t+1{Zt<Pmt（Zτ[m]t+1）}，t=1，T- 1.然后，以下定理推广了Clément、Lamberton和Protter的一个结果（见[7]中的定理3.1]：定理2.3。如果（Pmt）是一个容许投影系统，那么limm→∞EhZτ[m]t | Fti=E[Zτt | Ft]对于t=1，证明：尽管我们在这里采用了更一般的设置，但我们可以使用Hilbert s空间中投影的标准性质，并按照[7]进行。显然，上述考虑对于向量值随机过程仍然有效。3期权定价的最小二乘法假设过滤是由离散时间多元随机过程生成的，我们将展示如何使用蒙特卡罗方法以数值方式近似给定自适应过程（Zt）的最佳停止值f，即如何近似该过程的斯奈尔包络（Ut）。要做到这一点，给定一个可容许的投影系统，我们基本上需要近似地计算m的EhZτ[m]tif∈ N、由于理论2。以及U=max（Z，E[Zτ]）的事实。在下文中，我们将用Rm×nw表示所有实（m×n）-矩阵的集合，其约定为Rm=R1×m。

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2022-5-6 04:14:49

在本节中，我们将使用类似于[7]中介绍的符号和方法，但适用于我们限制性较小的假设。假设（Xt）Tt=0是概率空间上的离散时间d维随机过程(Ohm, F、 P），其中xB为常数。该过程旨在代表我们希望评估的美式期权的基础资产价格。设X=（X，…，XT）：Ohm -→ 对于t=1，…，设Ft=σ（X，…，Xt）=σ（X，…，Xt），T给定一个Borel函数族ft:Rd×（t+1）-→ R+，其中t=0，T、我们定义Zt=ft（X，…，Xt）fort=0，T这个序列代表我们想要考虑的期权的适当折扣内在价格。这种功能的一般选择充分展示了美式看跌期权的潜在适用性。接下来，我们需要为与X相关的过滤选择一个可接受的投影系统。这相当于为每个t选择∈ {1，…，T}一个合适的Borel函数序列qkt:Rd×T-→ R、 k在哪里∈ N、只依赖于第一个t列变量，并且序列{qkt（X）}k∈空间中的线性稠密和线性无关(Ohm, σ（X，…，Xt），P）。然后，我们可以选择一个递增的整数序列（km）m∈N、例如空间Vmt=Lin{qkt（X）：k=1，…，km}和正交投影Pmt:L(Ohm, σ（X），P）-→ 我拥有所有合适的财产。符号“Lin”表示给定向量集的线性发展。如果停车时间τ[m]如前一节所述定义，则对于某些αmt∈ Rkm×1wehavePmtZτ[m]t+1= emt（X）αmt，其中由公式emt=（qt，…，qkmt）给出的映射emt:Rd×T-→ Rkm。

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2022-5-6 04:14:54

考虑到我们的假设，emt（X）（关于内积（Y，Y））的分量的Gram矩阵7→ E[YY]），即矩阵Amt=hEhqit（X）qjt（X）ii1≤i、 j≤公里∈ Rkm×km是可逆的，因此αmt=（Amt）-1.EZτ[m]t+1qt（X）...EZτ[m]t+1qkmt（X）.给定一个数字N，下一步需要使用蒙特卡罗模拟生成独立的轨迹X（N）=X（n），X（n）T∈ 对于过程X，对于n=1，2，N.每个计算都有固定的起点X（N）=X∈ Rd×1。定义Z（n）t:=ftX（n），X（n）tletbZt=hZ（1）t，Z（N）ti*∈ RN×1。该列向量仅由过程Z的所有模拟轨迹在时间t的值组成。定义alsoV（m，N）t=Linqkt（X（1））。。。qkt（X（N））: k=1，公里 RN×1和p（m，N）t=ProjV（m，N）t:RN×1-→ RN×1关于内积hx，yiN，其中hx，yi表示标准标量积。注意v（m，N）t=Lin矩阵的列emt（X（1））。。。emt（X（N））∈ RN×km RN×1。如果我们通过让τ[m]T=T和公式τ[m]T=t1{Zt来定义停止时间τ[m]tb≥Pmt（Zτ[m]t+1）}+τ[m]t+1{Zt<Pmt（Zτ[m]t+1）}，t=1，T- 1，那么对于一些αmt∈ Rkm×1我们有PMTZτ[m]t+1= emt（X）αmt。类似地，如果我们通过要求τn，m，NT=Tand来定义近似的停止时间τn，m，NT，将τn，m，NT=t1Z（n）t≥πnP（m，N）t（bZτN，m，Nt+1）+ τn，m，Nt+1Z（n）t<πnP（m，N）t（bZτN，m，Nt+1）,对于t=1，T- 其中πn:RN×1-→ R是在第n坐标上的投影，对于某些α（m，n）t∈ Rkm×1我们有p（m，N）tZ（1）τ1，m，Nt+1。。。Z（N）τN，m，Nt+1=emt（X（1））。。。emt（X（N））α（m，N）t.设A（m，N）t表示与矩阵列相关联的（km×km）-Gram矩阵emt（X（1））。。。emt（X（N））,（关于内部产品Hx，yiN）。

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2022-5-6 04:14:57

这就是给定样本的Gram矩阵估计。那么α（m，N）是方程a（m，N）tα（m，N）t=N的解emt（X（1））。。。emt（X（N））*Z（1）τ1，m，Nt+1。。。Z（N）τN，m，Nt+1.根据大数定律A（m，N）ta。s-→ 阿姆塔斯N→ ∞, 因此对于足够大的矩阵A（m，N）是可逆的（几乎可以肯定）。在这种情况下，α（m，N）t=NA（m，N）t-1.emt（X（1））。。。emt（X（N））*Z（1）τ1，m，Nt+1。。。Z（N）τN，m，Nt+1.为了方便起见，我们将写αm=αm，αmT-1.和α（m，N）=α（m，N），α（m，N）T-1.. 两个项目均为km×（T- 1） -矩阵。下一个定理是[7]中定理3.2和引理3.2的直接推广。定理3.1。使用上述符号，如N→ ∞,NNXn=1Z（n）τn，m，Nta。s-→ EhZτ[m]ti，t=1，证明：定义Bt={（am，z，x）：zt<emt（x）amt} Rkm×（T）-1）对于t=1，T-1，式中am=（am，…，amT）-1） x，z=（x，z=）。Bctwe表示Bt的补码。我们定义了一个辅助函数Ft:Rkm×（T-1） ×RT×Rd×T-→ R、通过递归，将FT（am，z，x）=zt和FT（am，z，x）=ztBct+FT+1（am，z，x）1Btfort=1，T- 1.很容易看出ft（am，z，x）=ztBct+T-1Xs=t+1zsBt∩...∩学士学位-1.∩Bcs+zTBt∩...∩英国电信-1对于t=1，T-1.此外，Ft（am，z，x）独立于am，金额-1，Ft（αm，Z，X）=Zτ[m]和Ft（α（m，N），Z（N），X（N））=Z（N）τN，m，Nt。对于t=2，定义另外两个辅助功能G（am，z，x）=Ft（am，z，x）emt-1（x）和ψt（am）=E[Gt（am，Z，x）]。使用这个符号，我们可以看到，对于t=1，T- 1：αmt=（金额）-1ψt+1（αm）；（1） α（m，N）t=（A（m，N）t）-1NNXn=1Gt+1（α（m，N），Z（N），X（N））。（2）下面的估计是[7]中引理3.1的高维对应物，可以沿着与该引理相同的线推导：|Ft（a，z，x）-英尺（a，z，x）|≤TXs=t | zs |“t-1Xs=t{| zs-ems（x）~as|≤|ems（x）| k | as-问}#，（3）在哪里≤ T≤ T-1，a=（a。

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2022-5-6 04:15:02

在-1) ∈ Rkm×（T）-1），a=（~a，…，aT.）-1) ∈ Rkm×（T）-1），z∈ R和x∈ Rd×T.使用（1,2,3），并在技术假设P（emt（X）αmt=Zt）=0的情况下，可以很容易地修改[7]中的推理，以在我们更一般的设置中工作。一般来说，通过使用具有概率“可忽略”的函数逼近合同函数，并通过引入干扰Xt概率分布的少量随机噪声，可以满足这一附加技术要求。理论2。3和3.1根据需要提供了近似E[Zτ]的方法，因此也提供了U=max（Z，E[Zτ]）。4示例在本节中，我们展示了上述最小二乘算法的三个应用示例。第一个例子包括以欧洲美元期货为基础的美式看涨期权和看跌期权，这些期权被认为符合Brace Gatarek Musiela模型[2]。接下来，我们在标准的二元布朗动力学下，对EUROSTOXX50和DAX指数的一篮子和双重行使美式看跌期权进行定价。最后，我们展示了如何为单变量美式看跌期权定价，包括EUROSTOXX50和DA X指数，假设可以使用Heston-Nandi-GARCH（1,1）模型[12]来表示基础的动态。我们决定不包括收敛速度分析，因为它会使演示的样本更加复杂（例如，适当的方差减少技术对于任何市场实施都是至关重要的一步），而不会对本文得出的结论增加太多内容。我们参考文献[7,1]和其中的参考文献，详细分析了单变量马尔可夫情形下的收敛速度。为了透明，我们仅使用标准模型进行参数估计和蒙特卡罗模拟。

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何人来此

2022-5-6 04:15:05

特别是，仅将标的物的价格用于校准目的，未实施蒙特卡罗方差缩减技术。然而，我们给出了每个例子（见图2、图4和图5）的模拟价格（平滑）密度函数，以便对我们实现的准确性有一些了解。应该注意的是，虽然我们的例子相当简单，但精确度似乎令人满意。这让我们对期权定价的最小二乘算法持乐观态度，即使是在基础动态复杂且理论价格未知的情况下。我们对最小二乘算法的实现是基于金钱上的实现，以加快收敛速度并减少实现高效精度所需的多项式数量。值得一提的是，在现实世界的模型中，为了提高算法的收敛速度和速度，可以使用市场上提供的其他信息（例如，基于相同基础工具的各种衍生工具的价格）以及标准蒙特卡罗算法的各种修改（对于更高级的模型，参见[1]或[10]及其参考文献）。所有计算均使用R2.15.2（64位）完成。我们特别使用了Libraries选项（用于Heston-Nandi参数校准、CRR价格和蒙特卡罗模拟）、orthopolynom（用于L-S算法中的不同基函数），timeSeries（用于市场数据处理）和Rsge（用于并行计算）。4.1欧元美元期权在本小节中，鉴于欧元美元期货的实际市场日价格，我们使用最小二乘算法对具有不同执行价格的一年欧元美元期权和看涨期权进行定价。需要注意的是，当期权价格基于一个以上的伦敦银行同业拆借利率（例如。

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mingdashike22

2022-5-6 04:15:09

当期权的有效期超过3个月时）。这是因为连续时间间隔内的远期利率相互关联，在相同的即期风险中性度量下，不可能全部为对数正态。因此，标准风险中性环境下的此类工具模型基于非马尔可夫动力学。A.Brace、D.Gatarek和M.Musiela[2]提出了一个模型，通过利用无远期套利风险中性度量来克服这种不便（BGM模型）。在文献中，它也被称为伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）。值得一提的是，BGM模型中描述的利率动态与Heath Jarrow Morton（H JM）模型密切相关。接下来，我们将简要介绍BGMmodel，然后介绍有关最小二乘算法设置的一些基本信息。4.1.1支架-Gatarek Musiela模型。Brace-Gatarek-Musiela模型是利率时间演化的惊人模型。我们将在这里模拟伦敦银行同业拆借利率期货的（蒙特卡洛）路径。现在，我们将概述一个适用于SOUR框架的简化模型，并对估算过程进行一些评论。设T=0，Ti=Ti-1+表示i=1,2,3,4。实际上，连续欧元期货的到期日期与90天略有不同。这可能会对结果产生潜在影响，尤其是当我们考虑短期选择时。然而，我们将使用理论值来简化。让Lbe设定一个s pot LIBOR利率，然后让Li:[0，Ti]×Ohm → R是第i个伦敦银行同业拆借利率。

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2022-5-6 04:15:12

假设有d个随机性来源，第i个伦敦银行同业拆借利率的动态可以用对数Li（t）表示=iXj=i（t）δjLj（t）1+δjLj（t）σj（t）-σi（t）σi（t）dt+σi（t）dWQSpot（t），其中t∈ [0，Ti]，δi=Ti+1- Ti=3/12是第i个LIBORforward利率的应计期长度，σi（t）：[0，Ti]×Ohm → RDI是第i个LIBOR远期利率的瞬时波动率，i（t）表示债券指数（对应于适当的欧洲美元期货），该指数在时间t第一次到期，最后，WQSpot（t）是LIBOR即期度量QSpot下的标准（d维）布朗运动（详见[13]）。在此，我们假设随机性的来源彼此独立，并且适当的依赖结构用σi建模。对于蒙特卡罗模拟，我们将使用上述SDE的标准欧拉分解，以及时间步长t=，即。罗莉（t）=iXj=i（t）δjLj（t）1+δjLj（t）σj（t）-σi（t）σi（t）t+σi（t）t√t、（4）在哪里~ N（0，I）是一个d维标准正态分布随机向量。在我们的实现中，我们将使用d=3。为了校准模型，我们需要定义函数σi（t），对于i=1,2,3,4。我们假设σi（t）（对于i=1，2，3，4）是时间齐次的，即存在一个函数λ=（λ，λ，λ）：[0，t]→ r如σi（t）=λ（Ti- t）对于t∈ [0，Ti]和i=1,2,3,4。我们将提供i=1、2、3、4的λ（Ti）值，并假设t的λ（t）=λ（Ti）∈ [Ti-1.Ti]。我们将对欧洲美元期货数据应用主成分分析（PCA），以近似4×3矩阵∧=[λj（Ti）]的值。换句话说，我们的估算过程基于欧洲美元期货之间的相关性。校准PCA的困难在于，欧洲美元期货有固定的到期日，因此对于给定的T，我们只能每三个月监控波动率λ（T）的合同一次。

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2022-5-6 04:15:16

为了克服这个问题，我们将使用欧洲美元期货报价的线性插值（这实际上是一种常见的市场实践）。需要注意的是，我们需要Lprices来执行这种插值。使用欧洲美元期货价格的方法，我们获得每个交易日t的波动率为λ（Ti）（i=1,2,3,4）的合同值。我们还使用市场不运行日的远期伦敦同业拆借利率线性插值（即，我们使用相关日期前最后一个交易日和后一个交易日的已知报价来插值合同价格）。基于这一假设，为了进行PCA和估算σi（fori=1,2,3,4），我们需要（每天）最接近交割的五个欧洲美元期货的价格。现在让我们来评论PCA估计过程。我们假设λj（Ti）=Θisjαi，jqPdk=1skαi，k，对于i=1,2,3,4和j=1,2,3。这里，sj表示由PCA计算的第j个因子的方差（带s≥ s≥ s），αi，j当到期时间在[Ti]期间时，测量第j因子的影响-1，Ti]和Θi:=Pj=1sjαi，jis为第i个周期内的总波动率。我们还假设这些因素是不相关的，每个因素的相对影响为1（即对于j，j∈ {1,2,3}我们有piαi，jαi，j=0，如果j6=jandPiαi，jαi，j=1，如果j=j）。结合（4）和PCA中的参数，我们将能够模拟欧洲美元期货路径。4.1.2设置、数据细节和最小二乘法参数。我们希望对季度欧洲美元-美国看涨期权和看跌期权EDZ2（以Globex表示的GEZ2；这意味着基础工具是2012年12月的欧元-美元期货）定价。EDZ2的首次交易日为2010年12月13日，到期日为2012年12月17日。

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2022-5-6 04:15:19

我们将估算2011年12月20日至2012年1月20日期间的所有此类看跌期权和看涨期权的价值，不同的执行价格从98.00到99.75不等。虽然美式看涨期权的价值可以在不使用最小二乘法的情况下进行计算，因为它们与欧洲看涨期权一致，但无论如何，我们都会计算它们，以便更深入地了解参数是如何与市场数据相匹配的。换句话说，我们希望从经验上检查市场价格和计算价格之间的差异是否是由于模型参数不匹配造成的，或者是由于最小平方算法的准确性问题造成的。出于校准目的，我们将使用欧洲美元期货的每日收盘价和短期伦敦银行同业拆借利率。给定一个日期t，我们将使用与期权到期时间相同的时间段（即，如果期权有效期为300天，那么我们将使用时间t之前的最后300天数据来校准我们的模型）。最小二乘算法需要几个输入。作为生成“关于过去的信息”的函数，我们使用不大于3次的标准指数加权拉盖尔多项式。我们的实现基于使用（4）得到的左值的蒙特卡罗模拟。该算法还需要两种情况下的利率公式（用于贴现）。首先，将期权的价值从一个周期贴现到另一个周期（在递归逐步部分）。其次，计算期权的最终价格（即将每次模拟的最优价格贴现到时间T=0）。虽然第二个利率可能与标准的s pot LIBOR利率相关联，但第一个利率必须基于ass ets的演变（即。

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2022-5-6 04:15:24

对于蒙特卡罗运行中的每一条路径，必须分别估算当时的即期汇率（计算欧洲美元合同的价格）。4.1.3估算和数值结果。在本小节中，我们给出了2011年12月20日的详细估算结果。在考虑的所有剩余天数内，也进行了类似的程序。假设Gatarek Musiela动态，并考虑到2010年12月26日至2011年12月20日期间的欧洲美元期货收盘价，我们进行了PCA并获得0.024063776 0.033758193 0.040538115 0.0430335550.024267981 0.018222734 0.007111945 -0.0048463720.007801289 -0.001039692-0.006052515-0.004629562作为∧的估计。为了对具有不同执行价格且交割日期为2011年12月20日的多个看跌期权和看涨期权进行定价，我们生成了1000个大小为10000的蒙特卡罗模拟，并使用最小二乘算法获得了不同执行价格的估计期权价格。结果如表1所示。执行价为99.50的欧洲美元看跌期权和看涨期权价格的蒙特卡罗分布如图2所示。图1显示了100条蒙特卡罗路径的示例，以及该过程的实际实现。从2011年12月21日到2012年1月20日的所有日子都进行了类似的分析。在此期间，EDZ2是第四个最接近欧洲美元期货的交割点。在图3中，我们可以看到原始看跌期权和看涨期权价格的动态，样本指1000次模拟（每个模拟规模为10000次）以及执行价格为99.50的看跌期权和看涨期权的上下5%分位数。期权模拟价格的平均值和标准偏差值，以及相应的期权市场价格，见表2。

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2022-5-6 04:15:27

我们选择了执行价99.50，因为平均交易量在考虑期内最高。有趣的是，与该执行价格相对应的估计价格始终高于市场价格（见表2），这可能是由于期权交易特别活跃（见表1，其中市场价格在大多数情况下低于估计价格）。还应注意的是，表1中的σ值在履约价格等于99.50时最高，这可能解释了该履约价格对期权的兴趣。4.2篮子和双重行使期权在本小节中，我们将使用最小二乘算法对1.5个月篮子和双重行使美利安看跌期权进行定价，其支付函数基于两个市场指数，即DAX和EUROSTOXX50。为了简洁起见，后者将用符号EUR表示。我们假设基础工具遵循标准的二元布朗动力学。不幸的是，双变量期权通常是场外交易（OTC）工具，因此很难找到此类期权的市场数据。然而，我们可以与0 20 40 60 80 10097.0 97.5 98.0 98.5 99.0 99.5 100.0日价格0 50 100 150 200 250 30097.0 97.5 98.0 98.5 99.0 99.5 100.0日价格进行部分比较。图1：Lcontact（2011年12月20日）的100条蒙特卡罗路径示例，以及前100天和300天的实现路径（红色）。0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.370 10 20 30 40 50 60 70期权价格密度市场平均价格0。03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.100 100 200 300 400期权价格平均MCMarket价格图2:2011年12月20日看跌期权（左）和看涨期权（右）模拟价格的平滑密度，执行价99.50。

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2022-5-6 04:15:31

分布基于1000次蒙特卡洛跑步，每次10000次。基于DAX和EUR的相关一维标准美式看跌期权。就像前面的例子一样，我们从一些背景信息开始。4.2.1 DAX和EUROSTOXX50指数。基于DAX和EUR的单变量标准美式期权在欧洲交易所交易。事实上，基础不是指数，而是交易所交易基金（ETF），它们在德国证券市场（Deutsche B"orse Group）活跃交易。DAX指数和欧元指数高度相关，主要是因为它们的篮子中包含了一些普通股。2012年10月23日至2013年1月8日期间，皮尔逊线性相关系数的估计值为0.920。这些指数之间可能会发生一些传染，但在如此短的时间内，这一点可以忽略不计。一般来说，传染问题可以通过采用具有不同动力学（例如多元GARCH变化）的模型来解决。SuchTable 1:2011年12月20日欧洲美元期权的估计价格，基于1000个模拟（每个大小为10000）。这里u表示通过MC模拟获得的1000个价格的样本平均值，而σ表示样本标准偏差。日期：12月。

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2022-5-6 04:15:36

20,例如；vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.587 0.005898.87 0.155 0.134 0.0061 0.5080.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0.0 0 0.0.0 0 0.0.0 0 0.0.0 0.0 0 0.0.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.26 Jan 02 Jan 09 Jan 160.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40日期输入期权价格平均MC价格市场价格MC数量12月19日12月26日1月02日1月09日1月160.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40日期看涨期权价格平均MC价格市场价格MC数量图3：2011年12月20日至2012年1月20日期间，看跌期权（左）和看涨期权（右）价格的估计价格（置信水平为90%）和历史价格，执行价为99.50。该方法与Heston和Nandi期权定价模型[12]密切相关，这是我们将在最后一个示例中采用的方法。表2：基于1000个蒙特卡罗模拟（每个模拟10000美元），执行价为99.50的欧洲美元期权的模拟价格和历史价格。

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2022-5-6 04:15:39

与之前一样，u表示样本平均值，而σ表示从模拟计算的价格的样本标准偏差。日期看涨期权市场价格uσ市场价格uσ2011年12月20日0.340 0.345 0.0110 0.073 0.079 0.0011Dec。2011年12月21日0.3420.349 0.0110 0.070 0.078 0.0011秒。2011年12月22日0.358 0.366 0.0112 0.065 0.074 0.0011秒。2011年11月23日0.3700.382 0.0111 0.058 0.071 0.0011秒。2011年12月27日0.375 0.382 0.0103 0.058 0.066 0.0010。2011年12月28日0.378 0.385 0.0102 0.055 0.064 0.0010。2011年12月29日0.352 0.364 0.0104 0.055 0.068 0.0010。2011年1月30日0.318 0.327 0.0093 0.062 0.076 0.0011。2012年1月3日0.325 0.340 0.0088 0.058 0.072 0.0011。2012年1月4日0.315 0.326 0.0086 0.060 0.074 0.0011。2012年1月5日0.300 0.318 0.0084 0.055 0.076 0.0011。2012年1月6日0.258 0.279 0.0079 0.062 0.086 0.0012。2012年1月9日0.222 0.244 0.0072 0.072 0.095 0.0012。2012年1月10日0.218 0.240 0.0071 0.072 0.096 0.0012。2012年1月11日0.195 0.214 0.0069 0.085 0.105 0.0012。2012年1月12日0.175 0.190 0.0054 0.100 0.115 0.0013。2012年1月13日0.180 0.189 0.0054 0.105 0.115 0.0013。2012年1月17日0.168 0.171 0.0046 0.118 0.121 0.0012。2012年1月18日0.180 0.188 0.0053 0.105 0.113 0.0013。2012年1月19日0.175 0.184 0.0053 0.105 0.115 0.0013。2020120.1820.1910.0054 0.1020.1120.00124.2.2篮下和双击选项。如前所述，篮子期权和双重行使期权主要是场外衍生品。在这个例子中，我们将考虑一个二元美式看跌期权。二元篮子美式看跌期权（1）和双行使美式看跌期权（2）在时间t、f的支付函数由p（1）（t）=max给出K- S（t），K- S（t），0, p（2）（t）=最大值K+K-S（t）+S（t），0,其中，S（t）和S（t）分别是时间t时的第一和第二标的价格，K是执行价格。4.2.3模型设置、数据细节和实施参数。

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2022-5-6 04:15:42

我们将假设价格过程（S（t），S（t））由二维几何布朗运动建模，过程对数和对数的瞬时相关系数和瞬时标准差分别用ρ、σ和σ表示。我们将基于1 DAX ETF股票和2.5欧元ETF股票（在这两种情况下具有相似的执行价格）构建一个双变量篮子和双执行美国看跌期权。我们将于2013年1月8日对一篮子和双重行使看跌期权进行定价，到期日为2013年3月16日（以使其与现有的单变量期权具有可比性）。期权有效期为49个工作日。第一次和第二次罢工的价格分别为65至75和66至76。为了估算ρ、σ和σ，我们将使用ETF（DE）DAX和ETF（DE）EUROSTOXX50价格的最后50个观察值。为校准目的选择相对较短的时间间隔在实践中非常常见（例如，VIX挥发指数的估计就是这种情况）。与前一种情况一样，最小二乘算法需要两个输入：利率（用于贴现）和适当的基函数。由于期权有效期较短，我们将假设利率为常数，等于r=1.50%（2013年1月8日的欧洲央行利率）。此外，我们将使用以下两个变量的指数加权多项式来执行回归：e，e-xx，e-yy，e-（x+y）xy，e-（x+y）xy，e-（x+y）xy，e-（x+y）xy。4.2.4估算和数值结果。估计（年度化）协方差矩阵给出了ρ=0.920、σ=0.133和σ=0.119的值。利用这些数字，我们进行了100000次蒙特卡罗模拟（每一次都是49次）。接下来，我们使用最小二乘算法计算不同行使价格的篮子和双重行使美式看跌期权的价格。

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2022-5-6 04:15:45

我们还计算了基于1 DAX ETF股票和2.5欧元ETF股票的单变量美式看跌期权的最小二乘价格。除了市场数据外，我们还根据Cox-Ross-Rubinstein模型（CRR）给出了理论价格，因为在没有交易的情况下，Urex交易所使用该模型来报价期权价格。值得注意的是，美式看跌期权的交易量非常低，因此很不幸，市场价格仅用于比较。此外，最小二乘法价格应与RR价格进行比较，而不是与市场价格进行比较（因为它是在资产动态的兼容假设下计算的）。价格（通过单次100000蒙特卡罗运行获得）见表3。名为DAX和EUR的列表示标准的单变量看跌期权（即分别以1 DAX ETF和2.5 EUR ETF股票作为标的）。我们还进行了多次卡洛跑动（1000次），每一次都是10000码的篮筐跑动和双前锋跑动，进攻价格K=K=70。相应的蒙特卡罗密度函数如图4所示（这可以提供有关模型和/或蒙特卡罗偏差的一些信息）。4.3赫斯顿-南迪模型在最后一个示例中，我们将使用最小二乘算法对两个1.5个月期美国看跌期权定价，其支付基于单一市场指数。我们将使用前面示例中的数据，即我们将对DAX和欧元指数上的期权进行定价。我们将假设表3：根据历史股市数据、CRR模型和最小二乘算法得出的期权价格。

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2022-5-6 04:15:49

这里S=（68.05,69.72），r=1.50%，T=49/252，σ=0.133，σ=0.119，ρ=0.920。执行价市场价格CRR价格最小二乘价格DAX EUR DAX EUR DAX EUR DAX EUR DAX篮子双执行价65。0 66 0.58 0.34 0.45 0.25 0.44 0.24 0.31 0.4667.5 66 1.50 0.34 1.25 0.25 1.23 0.24 0.59 1.2370.0 66 3.10 0.34 2.67 0.25 2.63 0.24 1.00 2.6572.5 66 5.15 0.34 4.63 0.25 4.62 0.24 1.58 4.6275.0 66 7.53 0.34 6.95 0.25 6.95 0.24 2.33 6.9565.0 68 0.58 0.85 0.45 0.69 0.44 0.67 0.52 0.7267.5 68 1.50 0.85 1.25 0.69 1.23 0.67 0.91 1.2770.0 68 3.10 0.85 2.67 0.69 2.63 0.67 1.45 2.6572.5 68 5.15 0.85 4.63 0.69 4.62 0.67 2.17 4.6275.0 68 7.53 0.85 6.95 0.69 6.95 0.67 3.04 6.9565.0 70 0.58 1.74 0.45 1.52 0.44 1.49 0.82 1.5067.5 70 1.50 1.74 1.25 1.52 1.23 1.49 1.33 1.6470.0 70 3.10 1.74 2.67 1.52 2.63 1.49 2.01 2.6772.5 70 5.15 1.74 4.63 1.52 4.62 1.49 2.86 4.6275.0 70 7.53 1.74 6.95 1.52 6.95 1.49 3.85 6.9565.0 72 0.58 3.00 0.45 2.79 0.44 2.75 1.22 2.7667.5 72 1.50 3.00 1.25 2.79 1.23 2.75 1.86 7.7.5.5.5 5.5 5.5.5.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.3.3.3.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 6.28 5.41 6.3075.0 76 7.53 6.43 6.95 6.29 6.95 6.28 6.62 7.16基本工具可以用Heston Nandi GARCHmodel[12]来描述。让St表示标的资产的价格。利用Heston-Nandi-GARCH动力学，weassume随机过程的对数收益可以用公式来描述 log St=rdaily+λσt+σtt，其中σt=ω+βσt-1+α（t）-1.- γσt-1），在哪里表示每日后向差异，参数Rdailydes表示每日无风险利率，（λ，ω，β，α，γ）是模型参数，是标准高斯白噪声。

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2022-5-6 04:15:53

此外，我们将假设模型中不存在不对称，即γ=0.1.95 2.00 2.05 2.10 2.150 5 10 15 20期权价格密度100000 MC价格2。60 2.65 2.70 2.75 2.800 5 10 15 20期权价格密度10万MC价格图4：履约价格K=K=70的篮子（左）和双履约（右）美式看跌期权的最小平方米价格的平滑密度。垂直线表示最小二乘价格的样本平均值。如果我们使用标准的Heston-Nandi动力学（带有客观概率度量），那么最小二乘算法的贴现部分将与路径相关。为了避免这种复杂的情况，我们将转向风险中性度量，并使用风险中性动态作为基础收益。风险中性过程只需将（先前估计的）参数λ和γ替换为(-分别为（γ+λ+0.5）和（γ+λ+0.5）（详见[12]）。此外，我们将使用H es-ton-Nandi模型的长期预期标准偏差进行比较（见[12]）：σHN=ω+α1- β - αγ. （5）欧元和DAX数据将再次用作参考数据。与之前一样，期权到期日为2013年3月16日，我们将于2013年1月8日对其进行定价（因此期权有效期为49个工作日）。次数不大于3的加权拉盖尔多项式将作为回归过程的基础多项式。与之前一样，我们将假设（年化）无风险利率等于r=1.50%，putrdaily=r/252（因为每年有252个交易日）。使用2.5欧元ETF和1 DAX ETF股票的最后50个价格，我们得到了两组参数：λωαβ欧元7.280 2.738×10-55.238×10-50.086dax16.9711.954×10-55.404×10-54.758×10-28.标的资产的初始欧元价值为68.05欧元，DAX为69.72欧元。

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mingdashike22

2022-5-6 04:15:57

从波动率（137.5）到波动率（149.5）分别得到。从10个模拟（每个模拟包含100000条蒙特卡罗路径）中获得的美式看跌期权的平均样本价格见表4。我们还根据Heston-Nandi模型[12]给出了理论上的欧洲看跌期权价格，以及根据Cox-Ross-Rubinstein模型（CRR）给出的美国看跌期权价格和早期行权溢价（即美国和欧洲看跌期权价格之间的差异），波动性来自（5）。这两种模型都是为了进行比较。此外，我们还进行了多次蒙特卡罗运行（1000次），每次运行规模为10000次，以计算执行价格为70（欧元和DAX）的美式期权的价格。平滑的模拟概率密度函数如图5所示。表4：根据最小二乘法（L-S）计算的欧元和DAX美式看跌期权价格，与实际市场价格、CRR模型价格和HestonNandi欧洲看跌期权价格进行比较。EA表示早期锻炼溢价。欧元-美国看跌期权履约价格市场价格CRR价格CRR EA H-N价格L-S价格65。0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.312.70 2.75 2.80 2.85 2.900 5 10 1520期权价格密度100000 MC价格1。60 1.65 1.70 1.75 1.800 5 10 15 20期权价格密度100000 MC价格图5：欧元（左）和DAX（右）美式看跌期权的最小二乘价格平滑分布。

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