具有扭曲风险测度和保费的最优再保险策略

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《On Optimal Reinsurance Policy with Distortion Risk Measures and Premiums》
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作者：
Hirbod Assa
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In this paper, we consider the problem of optimal reinsurance design, when the risk is measured by a distortion risk measure and the premium is given by a distortion risk premium. First, we show how the optimal reinsurance design for the ceding company, the reinsurance company and the social planner can be formulated in the same way. Second, by introducing the marginal indemnification functions, we characterize the optimal reinsurance contracts. We show that, for an optimal policy, the associated marginal indemnification function only takes the values zero and one. We will see how the roles of the market preferences and premiums and that of the total risk are separated.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了最优再保险设计问题，当风险由扭曲风险测度度量，保费由扭曲风险保费给出时。首先，我们展示了如何以同样的方式为再保险分出公司、再保险公司和社会规划者制定最优再保险设计。其次，通过引入边际补偿函数，我们刻画了最优再保险合同。我们证明，对于最优策略，相关的边际补偿函数只取0和1的值。我们将看到市场偏好和保费以及总风险的作用是如何分离的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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On_Optimal_Reinsurance_Policy_with_Distortion_Risk_Measures_and_Premiums.pdf
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能者818

2022-5-6 07:43:06

具有扭曲风险测度和保费的最优再保险策略*本文研究了当风险由扭曲风险测度度量，保费由扭曲风险保费支付时，最优再保险设计问题。首先，我们展示了再保险分出公司、再保险公司和社会规划者的最优再保险设计是如何以同样的方式制定的。其次，通过引入“边际补偿函数”，我们刻画了最优再保险合同的特征。我们表明，对于最优政策，相关的边际补偿函数只取0和1的值。我们将看到市场偏好和保费以及总风险是如何分开的。1引言最优再保险设计问题是再保险研究的核心。保险合同是一种合同，根据该合同，一家保险公司（分保公司）的部分风险转移给另一家保险公司（分保公司），以换取保费。再保险市场引入了不同的再保险合同，其中报价共享、止损、配额份额后止损和止损后配额份额因其吸引人的最优特性而受到更多关注。Borch（1960）（以及Arrow（1963））指出，在预算约束下，当风险通过方差（或效用函数）衡量时，停止损失政策是分出公司的最优再保险合同。Kaluszka（2001）、Young（1999）、Okolewski和Kaluszka（2008）研究了同一问题的最新扩展。*利物浦大学金融和精算数学研究所。

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可人4

2022-5-6 07:43:09

电子邮件：assa@liverpool.ac.ukThe由于风险度量和风险保费在金融和保险领域的发展和应用，人们已经用风险度量和风险保费研究了最优再保险设计问题。例如，在一个框架中，让与公司的风险通过风险价值（VaR）或条件尾部预期（CTE）来衡量，以预期价值溢价原则作为风险溢价，蔡和谭（2007）找到了最佳保留水平。后来，在同一份fra mework中，Cai等人（2008年）证明止损和配额份额是最理想的再保险合同。在Bernard和Tian（2009）中，作者还考虑了当风险由VaR和CVaR衡量时，受监管约束的保险公司的最佳风险管理策略。近年来，研究人员试图将最优再保险设计问题扩展到更大的风险度量和风险保费族。例如，Cheung（2010）和Chi and Tan（2013）通过使用一系列一般风险溢价扩展了问题；在这两份文件中，分出公司的风险通过VaR或CTE来衡量。另一方面，Cheung等人（2014）通过使用一般定律不变量凸风险度量扩展了该问题，而风险溢价被认为是预期价值溢价原则。在现有文献中，要么只扩展了风险度量族，要么只扩展了风险溢价族，而在许多应用中，希望同时扩展bo-th。本文考虑一个框架，该框架同时将风险度量集和风险溢价扩展到失真风险度量和溢价族。首先，我们证明了在这个框架中，再保险分出、再保险和社会计划问题可以用同样的方式来表述。

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nandehutu2022

2022-5-6 07:43:12

其次，我们通过引入边际补偿函数的非负性来刻画最优解。边际补偿函数是保险合同价值的边际变化率。我们证明了再保险问题的任何最优解都有一个边际补偿函数，它只允许值为0和1。值得注意的是，我们可以将市场偏好和溢价的作用分离，并将总风险的作用分离。最后，我们必须指出，通过使用一个非常简单的公式，即任何Lipschitz连续函数都有一个以其Lipschitz常数为界的导数，我们在本文中引入了一个有用的技术，它可以将许多已有的结果推广到失真风险度量和风险溢价。值得一提的是，失真风险度量和风险溢价家族包含非常重要的特殊情况；例如，对于CO单调次加律不变相干风险测度es（Kusuoka（200 1））族，可以证明对于连续分布，CTE等于条件值atRisk（CVaR），这将在本文后面介绍。广义谱风险测度家族（Cont et al.（2010））、广义存储风险测度家族（Wang（1995））、Wang的风险溢价家族（Wang（1995）和Wang et al.（1997））、期望值溢价原则等。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了我们在本文中使用的数学概念和公式。第3节将介绍分保、再保险和社会规划师问题的一般设置。第4节将介绍再保险合同的特征。

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nandehutu2022

2022-5-6 07:43:15

在第5节中，我们提供了一些推论和示例。2准备工作和注释(Ohm, P、 F）是一个概率空间，其中Ohm 是“自然状态”，P是物理概率度量，F是可测量的自然状态子集的σ场Ohm.让p，q∈ [1, ∞] 是两个数字，使得1/p+1/q=1。我们用Lp表示所有随机变量的空间，即Lp={X:Ohm → R:E（|X|p）<∞ } , 其中E表示期望值w.r.t P。回想一下，根据Riesz表示定理，当P6=∞. 此外，空间LPS还具有两种拓扑，第一种是由kXkp=E（|X | p）p诱导的范数拓扑，第二种是由Lqi诱导的弱拓扑。e、 LQA的所有成员都是连续的最粗糙拓扑。所有随机变量的集合Ohm 表示为L.If而不是Ohm 我们使用了相同的定义和声明。在本文中，我们只考虑两个时间段，0和T，其中0代表合同签订时的年初，T代表债务结算时的年末。每个随机变量代表时间T的损失。对于任何X∈ LP，与X相关的累积分布函数用FX表示。2.1失真风险度量设g为从[0,1]到[0,1]的非递减实函数，使得g（0）=1-g（1）=0。失真风险度量（参见Wang et al.（1997）和Sereda et al.（2010））是从Lp到r真数集的映射，并被引入，因为m的定义比通常定义的侵权风险度量更一般，因为Weasured目前认为X可以是Lp的任何成员。

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可人4

2022-5-6 07:43:18

实际上，这是Choquet积分的一种特殊形式，当任何可测集的capa city v由v（S）=g（P（S））给出时∈ F（十） =^-∞（g（SX（t））- 1） dt+∞^g（SX（t））dt，（1）其中SX=1- FX是与X相关的生存函数。在文献中，g被称为畸变函数。扭曲风险度量的一个更方便的表示形式是风险价值。L et∏（x）=1- g（1）- x）。通过简单的变量变化，我们可以看到失真形式（1）可以被表示为（十） =^VaRt（X）d∏（t），（2）其中varα（X）=inf{X∈ R | P（X>X）≤ 1.- α}, α ∈ [0, 1].在续集中，风险度量上面用表示它与∏的连接。扭曲风险度量的一个常见示例是前面介绍的风险价值，其中∏（t）=1[α，1]（t）。R isk的条件值（CVaR）是一种失真风险度量，其失真函数由∏（t）=t给出-α1-α[α，1]（t），可以表示为Varα（X）=1- α^αVaRt（X）dt。（3） Acerbi（2002）首次引入的光谱风险度量族与（2）具有相同的表示形式，其中∏也是凸的。人们可以很容易地看到这一点π是正齐性、平移不变性、单调性、定律不变性和共单调加性。结果表明，所有的定律不变的共单调可加相干风险测度都可以表示为（2）；见Kusuoka（2001年）。从不同的角度来看，表（2）中的风险度量很重要。首先，它将风险度量理论与行为金融联系起来，因为形式（2）是Choquet效用的一种特殊形式。第二，（2）包含一系列具有统计稳健性的风险度量。Cont等人（2010年）的研究表明，风险度量（x）当且仅当φ=d∏（t）dt（导数通常是分布而不是函数）的支持度远离0和1时，=\'VaRt（x）d∏（t）才是稳健的。

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可人4

2022-5-6 07:43:21

例如，风险价值是对该房产的风险度量。有关失真风险度量的更多信息，请参见Sereda et al.（2010）、Wu和Zhou（2006）、Balb\'as et al.（2009）和Wang et al.（1997）。2.2失真风险溢价通常是作为Lp+上的连续映射引入的，该映射将任何损失变量映射为代表其溢价的数字。Wang等人（1997）以公理化的方式提出了文献中风险溢价的一般定义。Wang et al.（1997）刻画了满足以下连续属性的现金不变、正齐次、共单调加性风险溢价族→∞π（X）∧ d） =π（X）和limd→0π（（X）- d） +）=π（X），作为π（X）=∞^g（SX（t））dt，（4）其中g:[0,1]→ [0，1]是一个非递减函数，使得g（0）=0，g（1）=1。当函数g是凸函数时，溢价称为王氏溢价原理。通过风险度量变量的类似变化（即∏（x）=1- g（1）- x），以下等式适用于（4）π（x）=^VaRt（x）d∏（t）表示的溢价。（5）定义1。设∏[0,1]→ [0，1]是一个非递减函数，使得∏（0）=∏（1）- 1 = 0. 畸变溢价π∏被引入为π∏（X）=^VaRt（X）d∏（t）。（6）失真风险溢价的一个常见例子是由以下被称为Wang’s transformationgβ（x）=Φ（Φ）的失真函数产生的Wang’s Premiumn-1（x）+β，（7）其中β∈ R是实数，Φ是正态分布的CDF，平均值等于零，标准偏差等于一。这种溢价最初是由Wang提出的，但是一般来说，如果∏是凸的，我们也将其称为一种Wang溢价。3.问题设置在本节中，我们为再保险分出公司、再保险公司和社会规划者设置了最优再保险设计问题，并表明它们可以在一个统一的框架中表达。

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大多数88

2022-5-6 07:43:25

虽然我们不需要介绍再保险分出和再保险公司，因为它们在现实科学文献中是众所周知的，但我们还是要介绍社会规划师：社会规划师是一个决策者，他关心的是最大化总福利，在我们的环境中，是最小化总风险。社会规划者与监管者不同，因为他们有不同的担忧，例如，监管者会要求公司持有最低资本储备，即使这违背了经济福利的最大化。让我们用非负损失变量X表示保险公司的年度风险。一般来说，再保险公司将接受承保部分风险，以换取收取保费。让我们用X表示保险人承保的部分，用X表示保险公司承保的部分- XR。我们假设0≤ XR≤ X.再保险公司收到的保费为（1+ρ）π（XR），其中ρ≥ 0是相对安全的负载。因此，以TI表示的让与公司的全球损失可以表示为asTI=XI+（1+ρ）πXR. （8）以同样的方式，对于再保险公司，我们有tr=XR- (1 + ρ)πXR, （9）我们介绍了三个问题：割让问题。出让公司通过解决以下问题将其总风险降至最低≤xi≤十、我XI+（1+ρ）πXR,哪里Iis是保险公司使用的一种风险度量再保险问题。再保险公司试图找到将其总风险降至最低的最佳XR 0≤XR≤十、RXR- (1 + ρ)πXR,哪里Ris是再保险公司使用的风险度量。“社会规划者”一词来自经济学文献社会规划师问题。

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可人4

2022-5-6 07:43:28

社会规划师关注的是最佳分配（XI，XR），将经济的总风险降至最低≤XR≤十、RXR- (1 + ρ)πXR+ 我XI+（1+ρ）πXR.利用失真风险测度的现金不变性，我们可以将这些问题改写为o让渡问题。min0≤xi≤十、我xi+ (1 + ρ)π十、- xi. （10） o再保险问题。min0≤XR≤十、RXR- (1 + ρ)πXR. （11） o社会规划师问题。min0≤XR≤十、RXR+ 我xi. （12）现在我们假设放弃和保留损失变量都是全局损失变量的非递减函数。这种假设排除了mor-alhazard的风险，因为双方都必须感受到全球损失的任何增加（seeHeimer（1989）和Bernard and Tian（2009）进一步讨论道德风险和保险）。因此，允许的割让损失函数集定义为asC={0≤ f（x）≤ x | f（0）=0，f（x）和x- f（x）是非递减的}。集合C被称为补偿函数空间。定理1。假设XR=f（X），其中f∈ C.分保、再保险和社会规划师问题可以在以下总体框架中解决∈Ca∧（X）- f（X））+a∧（f（X）），（13），其中∧i，i=1，2是失真风险度量或prem i um，ai，i=1，2是正数。证据如果a=1且a=1+ρ，问题（10）自然是形式（13）。注意如果f∈ 然后是x7→ 十、- f（x）也属于C。因此，如果a=a=1，则（12）可以写成形式（13）。现在，我们只需要证明（11）可以写成（13）的形式。设k（x）=x- f（x）。通过构造，我们知道k属于C，XI=k（X）。

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何人来此

2022-5-6 07:43:31

已知VaR在给定π的情况下，与n-递减函数进行交换XR= π（f（X））=^VaRt（f（X））d∏π（t）=^f（VaRt（X））d∏π（t）=^（VaRt（X）- k（VaRt（X）））d∏π（t）=π（X）-^k（VaRt（X））d∏π（t）=π（X）-^VaR（k（X））d∏π（t）=π（X）- πxi= π（X）- π十、- XR.因此，再保险问题可以写成一种笔迹∈CR（X）- k（X））+（1+ρ）π（k（X））- （1+ρ）π（X）。（14）除第二部分为常数外，第一部分的形式为（13）。在继续我们的讨论之前，我们想谈谈有关分出、再保险和社会规划师问题的一些事实。备注1。请注意，如果分出和再保险公司都使用相同的风险衡量标准, 通过使用具有非递减功能的车辆通勤这一事实，我们（十）- f（X））+（f（X））=（十） ,，F∈ C.这意味着，无论分出和再保险公司使用何种合同，只要再保险市场不存在道德风险，总风险保持不变。如果监管机构强制所有公司使用一种独特的风险度量，例如相同的VaR0，则很可能出现这种情况。995，资本公积。另一方面，这一事实有一个严重的含义，即如果让与公司通过使用合同f（X）来最小化其glo bal风险，同一合同将使保险公司的glo bal风险最大化。如果XI=X，甚至更进一步- f（X）将让与公司的风险降至最低，XR=X- f（X）也将使保险公司的风险降至最低。这与互惠再保险条约形成对比。备注2。众所周知，VaRα是协单调加性的，这意味着任何失真风险度量或溢价也是协单调加性的。

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大多数88

2022-5-6 07:43:34

这意味着每个失真风险或溢价在一组共单调随机变量上是线性的；特别地，它在下列容许解空间上是线性的a={f（X）| f∈ C} 。如果我们表示函数f7→ a∧（X）- f（X））+a∧（f（X））乘以Γ（f），那么我们有ΓnXi=1γifi=nXi=1γiΓ（fi），（15）式中γi≥ 0，nPi=1γi=1和fi∈ C、对于i=1。。，n、众所周知，如果函数f是Lipschitz连续的，它几乎处处可微，并且它的导数本质上是以它的L ipschitz常数为界的。因此，函数f可以写成其导数的积分。因此，C可以表示为asC=f:R+→ R+f（x）=^xh（t）dt，0≤ H≤ 1..我们引入了边际补偿函数的空间s asD=nh:R+→ R+0≤ H≤ 1o。定义2。对于任何赔偿功能∈ C、相关的边际补偿是一个函数h∈ D使得f（x）=^xh（t）dt，x≥ 0.边际赔偿函数的解释如下：如果f（x）='xh（t）dt是一个对照，那么在每个值x=x时，整体损失值的边际变化δ将导致δh（x）大小的割让风险的边际变化。我们将在下文中看到，在我们的框架中，最优契约的边际变化为0或δ，即h=0或1.4最优解。在本节中，我们将注意力限制在满足以下规则性条件的一系列失真风险度量和溢价上→∞∧i（X）∧ n） =λi（X），i=1,2。（16）引入ψx和h*如下ψ（t）：=（a）- （a）- （a∏（t）- a∏（t）），（17）和k*（t）=0ψ（t）>01ψ（t）<0k（t），否则，（18）其中k可以是ψX=0上0和1之间的任何函数。在这里，我们陈述我们的主要研究结果。如果∧和∧满足（16），一般优化问题（13）的解由f（x）='xk给出*（VaRt（X））dt，其中k*由（18）和（17）给出。

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大多数88

2022-5-6 07:43:39

最小时的值也由∧（X）给出-^∞Ψ-X（t）dt。（19）备注3。看到k是非常重要的*只取决于市场偏好和溢价，因此，它是普遍的。我们还可以看到总风险和市场偏好的作用是如何分离的。证据因为f（x）和x-f（x）a都是非递减的，而且由于VaRtcommutewith单调函数，我们得到∧（x）- f（X））+a∧（f（X））=a^VaRt（X）- f（X））d∏（t）+a^VaRt（f（X））d∏（t）=a^（VaRα（X）- f（VaRt（X））d∏（t）+a^f（VaRt（X））d∏（t）。（20）使用我们已经介绍的C的成员的表示，在D的成员中，存在h∈ D使得f（x）='xh（t）dt。因此，wehavea∧（X- f（X））+a∧（f（X））=a^VaRt（X）d∏（t）-a^VaRt（X）h（s）dsd∏（t）+a^VaRt（X）h（s）dsd∏（t）。（21）首先，我们假设Xis有界。根据富比尼定理，（21）给定∧（X）- f（X））+a∧（f（X））=a∧（X）+^∞a^FX（t）d∏（s）- a^FX（t）d∏（s）！h（t）dt=a∧（X）+^∞（a∏（1）- π（FX（s）））- a（π（1）- π（FX（s）））h（s）ds=a^VaRs（X）d∏（s）+∞ψ（FX（s））h（s）ds，（22），在最后一行中，我们使用∏（1）=∏（1）=1这一事实。很明显，以下是*将最小化（22）小时*（s）=0ψ（FX（s））>01ψ（FX（s））<0h（s），否则，其中h可以是ψ（FX（s））=0上0和1之间的任何函数。既然我们可以自由选择h的值*在ψ=0时，我们可以将其等于0或1。最小值也等于∧（X）-^∞Ψ-（t） dt。通过变量t=FX（s）的简单变化，我们得到有界X的结果。现在让我们一般假设Xis没有界。很明显，在每个点t，{i∏o 外汇∧n（t）}n=1,2，。。。，i=1，2相对于n不增加。另一方面，f或任何t，存在n，如果n>n，那么FX∧n（t）=FX（t）。因此，对于nyt，我们有∏i（FX∧n（t））↓ πi（FX（t）），i=1,2。现在通过单调收敛定理，我们得到了这个极限→∞∞^∏i（FX）∧n（t））h（t）dt=∞^∏i（FX（t））h（t）dt，i=1，2，对于任何函数h∈ D

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mingdashike22

2022-5-6 07:43:42

利用这个事实，我们的连续性假设（16）和fis非递减，我们有∧i（f（X））=limn→∞∧i（f（X）∧ f（n））=limn→∞∧i（f（X）∧ n））=limn→∞^∞（i（1）- πi（FX）∧n（t）））h（t）dt=^∞（i（1）- πi（FX（t）））h（t）dt，对于i=1,2。这只会导致ina∧（f（X））+a∧（X）- f（X））=a∧（X）+^∞（a∏（1）- π（FX（t）））- a（π（1）- π（FX（t*****）h（t）dt其余的证明遵循（21）之后的相同行。5推论和示例在本节中，我们使用我们在最后几节中发展的理论来寻找特定情况下的最优解。然而，在此之前，我们考虑了进一步的假设。首先，我们假设累积分布函数fx和畸变函数∏严格递增；例如，当Xis是一个在时间t具有指数索赔的复合泊松过程的值，π是期望值或Wang\'s emium。另一方面，当ρ是相对安全下限时，我们假设a=1和a=1+ρ。在文献中，当使用VaRα或CVaRα时，假设α（1+ρ）≤ 1.假设α总是一个非常接近1的数字（通常是α）∈ [0.9,0.99]），这意味着ρ必须小，精确地说，小于1-αα. 在下文中，我们假设一个不同的假设，即ρ1+ρ<π（α）。注意，如果ρ足够小，这个假设总是成立的。让d*还有*是两个实数，比如FX（d*) =ρ1+ρ和∏（FX（a*)) =ρ1+ρ=FX（d*) 让L=F-1X（α）- A.*.推论1。如果我们让∧=VaRα，那么割让公司的最优解是一个止损合同，如xr所述=0 X≤ A.*十、- 洛杉矶*< X<a*+ 洛杉矶*十、≥ A.*+ L.证据。我们知道，因为∧=VaRα，所以∏（t）=1[α，1]（t）。因此，ψ（t）=ρ - （1+ρ）π（FX（t））t<F-1X（α）ρ+1- （1+ρ）π（FX（t））t≥ F-1X（α），上面定义ψ的第二行显然是非负的。如果ρ，则第一行为非负-（1+ρ）π（FX（t））≥ 0和t<F-1X（α）。

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能者818

2022-5-6 07:43:45

假设ρ1+ρ=FX（a*)),这相当于说t<a*t<F-1X（α）；或者在sumt<minA.*, F-1X（α）.另一方面，由于假设∏（FX（a*)) =ρ1+ρ<π（α），然后a*<F-1X（α）。这意味着*= 闵A.*, F-1X（α）. 因此，ψ在区间是非正的A.*, F-1X（α）= （a）*, A.*+ 五十）。因此，h*被赋予灰烬*（t）=1A*< t<a*+ L0否则。通过积分h/t，f*（十）=0 x≤ A.*十、- A.*A.*< x<a*+ LL x≥ A.*+ L.备注4。特别地，如果π是扩张的，那么*= D*, 我们的结果与文献中已有的结果一致。推论2。如果 = CVaRα和∏是凸的，那么最优策略是一个描述为xr的停止损失策略=0 X≤ A.*十、- A.*A.*< X<a*+ L*LX≥ A.*+ L*,我在哪里*是一个大于L.证明的数字。在这种情况下∏（x）=x-α1-因此，ψ（t）=（ρ- （1+ρ）∏（FX（t））FX（t）<αρ+FX（t）-α1-α- （1+ρ）π（FX（t））FX（t）≥ α.发现h的结构*, 我们必须知道ψ是非负的。分析结果与推论1非常相似，只是我们需要找出定义ψ的第二线何时为非负。首先，观察FX（t）=α时，定义ψ的第二行变成ρ- （1+ρ）π（α），通过假设fx（d*) < π（α），生成ψ（F）-1(α)) < 0. 这表明在区域{t:FX（t）≥α} ，ψ可以是负的（与前面的推论不同）。由于∏是凸的，定义ψ的第二条线是FX（t）的凸函数，在FX（t）=1时为零。因为我们已经证明了ψ在FX（t）=α时为负，所以我们推断存在一个解B*到ρ+FX（t）-α1-α- （1+ρ）π（FX（t））=0，严格大于F-1X（α）=a*+ 五十、使得ψ在b之间是非负的*和1。因此，h（t）=1A*< FX（t）<b*否则为0。这表明，与分出公司的风险度量为VaRα的情况类似，CVaRα的最佳再保险再次是止损，但具有更大的责任*= B*- A.*.备注5。

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nandehutu2022

2022-5-6 07:43:48

特别是，如果π是期望值，我们有b*= F-1Xα+(1-α)ρ1-(1-α)(1+ρ).例1。让我们再次考虑割让问题。假设分出风险度量为CVaRα，再保险公司的风险保费为（7）中给出的王氏保费。我们再次确定了相对安全负荷。人们可以通过以下公式找到ψ：ψ（t）：=ρ+外汇（t）- α1 - α[α，1]（FX（t））- (1 + ρ)1.- Φ(Φ-1(1 - FX（t））+β）.在图1和图2中，我们描述了ψo F-1x和k=h**o F-分别为1X，用于不同的场景。我们可以看到，在所有情况下，我们都有一个政策h*与止损保单相关。从图1中可以看出，如果β很小，那么保单就更可能成为一个退化保单，将整个风险转移给保险公司，以应对所有级别的风险规避。另一方面，通过使用固定β查看图2，可以看到风险厌恶程度越高，保留水平越高。即使t水平α=0.99，也可以看出保单是退化保单，所有风险都转移到再保险公司。0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-0.500.5α=0.9β=3β=3.6β=4.2Zero0。9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-0.500.5α=0.95β=3β=3.6β=4.2Zero0。9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.0.0.0.0.970.0 0.970.0.0 0.0 0.950.950.950.950.955 0.0.0.5.0.0.0.0.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.950.955 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.0 0 0.0.9 9 9 9 9 9 9 9 0.995 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.995 0 0 0 0 0 0 0 0 0.995 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.995 0 0 0 0 0 0 0.995 10 10 10 0.99图2：边际补偿函数k*, 对于参数β=3.6和ρ=0.5。例2。

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kedemingshi

2022-5-6 07:43:52

让我们考虑一下，当α<β时，分出公司使用VaRα，再保险公司使用VaRβ。ψ（t）=ρFX（t）<αρ+1α≤ FX（t）<β0 FX（t）≥ β.这表明f（x）=0，因此，分出公司不应将其风险的任何部分转移给再保险公司。在相反的方向上，如果α>β，再保险公司也是如此，这意味着再保险公司必须承担全部风险。参考Acerbi，C.（2002年）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的连贯表示。《银行与金融杂志》26（7），1505-1518。阿罗，K.J.（1963年12月）。不确定性与医疗保险的福利经济学。《美国经济评论》LIII（5）。Balb\'as，A.，J.Garrido和S.Mayoral（2009年）。失真风险度量的属性。应用概率中的方法和计算11（3），385–399。Bernard，C.和W.Tian（2009）。尾部风险度量下的最优再保险安排。《风险与保险杂志》76（3），709–725。Borch，K.（1960）。试图确定止损再保险的最佳金额。第16届国际精算师大会的交易记录I（3），597–610。蔡，J.和谭K.S.（2007）。在VaR和CTE风险度量下，止损再保险的最优自留额。阿斯汀·布尔。37 (1), 93–112.蔡，J.，谭K.S.，翁C.和张Y（2008）。VAR和CTE风险度量下的最优再保险。我喜欢数学。经济。43 (1), 185–196.张，K。，宋国强、任志刚和容世华（2014年）。一般不变风险测度下的最优再保险。斯堪的纳维亚精算杂志20 14（1），72-91。张克强（2010）。重新审视最优再保险——一种几何方法。阿斯蒂布尔。40 ( 1), 221–239.迟永永和陈国新（2013）。一般保费原则下的最优再保险。保险：数学与经济学52（2），180-189。Cont，R.，R.Deguest和G.Scandolo（2010）。

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kedemingshi

2022-5-6 07:43:56

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