均值-方差准则下超额损失再保险的最优性

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Optimality of Excess-Loss Reinsurance under a Mean-Variance Criterion》
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作者：
Danping Li, Dongchen Li, Virginia R. Young
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this paper, we study an insurer\'s reinsurance-investment problem under a mean-variance criterion. We show that excess-loss is the unique equilibrium reinsurance strategy under a spectrally negative L\\\'{e}vy insurance model when the reinsurance premium is computed according to the expected value premium principle. Furthermore, we obtain the explicit equilibrium reinsurance-investment strategy by solving the extended Hamilton-Jacobi-Bellman equation.
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中文摘要：
本文研究了均值-方差准则下保险人的再保险投资问题。我们证明了在谱负L{e}vy保险模型下，当根据期望值保费原则计算再保险保费时，超额损失是唯一的均衡再保险策略。此外，通过求解扩展的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们得到了显式均衡再保险投资策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Optimality_of_Excess-Loss_Reinsurance_under_a_Mean-Variance_Criterion.pdf
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何人来此

2022-5-31 05:47:41

均值-方差准则下超额损失再保险的最优性*李东臣+弗吉尼亚R.杨2018年9月13日摘要本文研究了均值方差准则下保险人的再保险投资问题。研究表明，当按照期望值保费原则计算再保险保费时，超额损失是在特定负L'evy保险模型下唯一的均衡再保险策略。此外，通过求解扩展的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们得到了保险投资策略的显式均衡。JEL代码：C730、G220。关键词：均值-方差准则；均衡再保险投资策略；超额损失再保险；列维保险模式。1简介综合再保险和投资策略通常由保险公司（分出）采用，以提高其承保能力，稳定承保结果，保护自身免受灾难性损失，并实现财务增长。在精算学文献中，对保险人最优再保险投资策略的研究在各种标准下都受到了相当大的关注，包括最小化破产概率（例如，见Promislow和Young【22】、Zhang等人【31】和Chen等人【9】），最大化终端财富的预期效用（例如，见Liu和Ma【18】、Bai和Guo【3】、Gu et al。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:47:46

[11] ，Liang和Bayraktar[15]），以及在方差约束下最大化预期终端财富，即所谓的平均方差标准（例如，参见B¨auerle[6]和Zeng和Li[27]）。均值-方差准则与终端财富的预期效用最大化密切相关。事实上，Pratt[21]观察到“小”随机增益Y低于预期效用理论的确定性等价近似等于（Y）-γVar（Y），（1.1）*滑铁卢大学统计与精算科学系，滑铁卢，ON，N2L 3G1，加拿大(d268li@uwaterloo.ca)+加拿大滑铁卢市滑铁卢大学统计与精算学系，邮编N2L 3G1(d65li@uwaterloo.ca)通讯作者。密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡，48109，美国(vryoung@umich.edu)其中γ是效用最大化者的绝对风险厌恶。请注意，最大化（1.1）准确地说是平均方差标准。此外，在相当一般的条件下，最优保险可从风险规避效用最大化者的保险中扣除（例如，见Arrow【1】、van Heervarden【25】、Moore and Young【20】）。因此，当最大化（1.1）（或解决相关博弈）时，Y等于保险公司的最终财富，我们期望最优（或均衡）再保险将是可扣除或超额损失的再保险，我们在定理3.2中证明了这一点。此外，由于风险规避γ是常数，因此免赔额与保险人的盈余无关。在均值-方差准则下，再保险投资问题是时间不一致的，因为Bellman的最优性原则失败了。为了解决时间一致性问题，我们将问题描述为一个非合作博弈，并求解一个子博弈完美纳什均衡。

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何人来此

2022-5-31 05:47:49

具体来说，在每个时间点，玩家都会通过将问题视为与自己的所有未来版本的游戏来解决均衡策略。因此，均衡策略是时间一致的。我们可以将这种方法追溯到Strotz【24】，最近Bj¨ork和Murgoci【7】进一步发展了这种方法，用于马尔可夫框架中的一类一般目标函数。由于时间一致性对于理性保险人的重要性，该方法已经被许多学者应用于解决再保险投资问题文献中的均衡策略（例如，见Zeng等人【28】和Lin and Qian【17】）。在均值-方差标准下的均衡再保险和投资文献中，最常研究两种类型的再保险政策：（1）比例（配额份额）再保险（例如，见Zeng和Li【27】，S hen和Zeng【23】，以及上一段附录d中给出的两种参考文献）和（2）超额损失再保险（例如，见Li等人【14】）。鉴于丰富的文献，自然会产生一个问题，为什么我没有得到太多的关注：在所有合理的再保险保单中，哪种再保险保单在均值-方差标准下为保险人产生均衡？在这个标准下，购买超额损失再保险是唯一的均衡策略。我们通过谱负L'evy过程对保险人的基本盈余过程，即无任何再保险投资策略的盈余过程进行建模。该模型广泛应用于精算文献中的风险理论（例如，见Yang和Zhang【26】、Chiu和Yin【10】、Avram等人【2】和Landr iault等人【13】）。

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能者818

2022-5-31 05:47:52

它是在再保险投资问题背景下研究的许多保险模型的推广，包括布朗运动模型（例如，见Promislow和Young[22]）、经典的Cram'er-Lundberg模型（例如，见Zeng等人[29]）和跳跃扩散模型（例如，见Z eng等人[28]）。我们证明了当按照期望值保费原则计算再保险保费时，超额赔付是时间一致性保险人在均值-方差准则下的唯一均衡策略。如上所述，这一结果与文献中的一些结论是一致的；特别是，在预期价值保费原则和各种目标函数下，超额损失（再保险）保险是最优的，包括最大限度地提高最终财富的预期效用（参见梁和郭【16】、曾g和罗【30】）和最小化破产概率（参见张等人【31】、孟和詹g【19】、白等人【4】、周和蔡【32】）。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了我们的模型，并确定了保险人面临的均衡问题。在第三节中，我们证明了超额损失再保险是唯一的均衡策略，并得到了均衡再保险投资策略的显式表达式和相应的均衡价值函数。我们还讨论了与均值-方差准则密切相关的两个问题：（1）最大化终端财富的预期指数效用；（2）最大化承诺时间-0均值-方差准则。在第4节中，我们给出了一些数值例子来说明我们的发现，第5节总结了本文。2模型公式集Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P是一个满足通常条件的过滤的完全概率空间，并且让T>0是一个有限的时间范围。

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kedemingshi

2022-5-31 05:47:54

考虑一个保险人的基本盈余过程，该过程由一个基于该概率空间定义的谱负L'evy过程建模，动态UT=c dt+σdB（1）t-Z∞z N（dz，dt），U>0，其中c>0是溢价率，σ>0是波动率，B（1）tt型≥0是F适应的标准布朗运动，N（dz，dt）是泊松随机测度，表示时间段（t，t+dt）内大小为（z，z+dz）的保险索赔数量。B（1）和N是独立的。有关列维过程的更多信息，请参见Kyprianou【12】。用N（dz，dt）=N（dz，dt）表示N（dz，dt）的补偿度量- ν（dz）dt，其中ν是L'evy度量，使得r∞zν（dz）<∞; ν（dz）表示单位时间间隔内规模（z，z+dz）的预期保险索赔数量。保险人的保费c根据预期价值原则确定，即c=（1+θ）R∞zν（dz），其中θ>0是保险人的比例安全负荷。保险公司通过购买带有保留索赔的再保险保单（策略）来管理其保险负债{lt} t型∈[0，T]，仅限0≤ lt型≤ zt当索赔等于Ztat timet时∈ [0，T]。注意，reinsu rer覆盖了额外损失Zt- lt、我们将寻找反馈表中给出的再保险策略lt=l（Zt，t），其中我们通过使用l在这个等式的两边。从技术上讲，我们应该先验地假设保留策略取决于盈余，但在下面的定理3.2中，我们将发现平衡保留是盈余的一部分。因此，为了简单起见，我们省略了l’它可能依赖盈余。再保险单的时间t保险费率由（1+η）Z给出∞（z）- l（z，t））ν（dz），根据期望值原则再次确定，其中η是再保险人的比例安全负荷。

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能者818

2022-5-31 05:47:59

文献中通常假设η>θ，这表明再保险单比主险更昂贵，通过使用此假设，通常可以避免琐碎的结果。根据保留条款l, 剩余过程的动态由DRT=dUt控制- （1+η）Z∞[z]- l（z，t）]ν（d z）dt+z∞[z]- l（z，t）]N（dz，dt）=（1+θ）z∞zν（dz）dt+σdB（1）t- （1+η）Z∞[z]- l（z，t）]ν（dz）dt-Z∞z N（dz，dt）+z∞[z]- l（z，t）]N（dz，dt）=z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）dt+σdB（1）t-Z∞l（z，t）~N（dz，dt）。此外，假设保险人投资于一个金融市场，该市场由一个无风险资产组成，其固定利率r>0，以及一个由几何布朗运动控制的风险资产，动态St=uStdt+σStρdB（1）t+p1- ρdB（2）t, S> 0，其中u>r，σ>0，ρ∈ (-1、1）和B（2）tt型≥0是一个F适应的标准布朗运动，与B（1）和N无关。设πtdenote为t时投资于therisky资产的盈余的美元金额，并设{Xut}t∈[0，T]表示再保险投资策略下相应的保险盈余过程u：=(l（Zt，t），πt）t∈[0，T]。剩余过程{Xut}t的动力学∈[0，T]由dxut=πtdStSt+（Xut）给出- πt）r dt+dRt=rXut+（u- r） πt+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）dt+qσ+2ρσσπt+σπtdBt-Z∞l（z，t）~N（dz，dt），（2.1），其中{Bt}t≥0是一个F适应的标准布朗运动，与N无关，由bt=σ+ρσπtpσ+2ρσσπt+σπtB（1）t+p1定义- ρσπtpσ+2ρσσπt+σπtB（2）t。为了便于记法，设Ex，t[·]=E·Xut=x和Varx，t[·]=Var·Xut=x.定义2.1（容许策略）。

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大多数88

2022-5-31 05:48:02

A策略u=(l（Zt，t），πt）t∈[0，T]如果满足以下条件，则称为可容许：（1）u是F-渐进可测；（2）对于所有t∈ [0，T]和Zt≥ 0，0≤ l（Zt，t）≤ Zt；（3）适用于所有（x，t）∈ R×[0，T]，Ex，thRTt(l（Zs，s）+πs）dsi<∞ 概率为1；（4）适用于所有（x，t）∈ R×[0，T]，随机微分方程（2.1）有唯一的强解。本文的主要目的是研究均值-方差准则下保险人的再保险投资问题，即希望最大化Ju（x，t），其中Ju由Ju（x，t）=Ex，t[XuT]给出-γVarx，t[XuT]，（x，t）∈ R×[0，T]，（2.2），其中γ>0衡量投资者的（绝对）风险规避程度。最大化Ju（x，t）是一个时间不一致的问题，因为Bellman的最优原则失败了。我们通过定义非平衡策略及其相应的平衡值函数，从非合作博弈的角度来解决这个问题；例如，参见Basak和Chabakauri【5】、Bj¨ork和Murgoci【7】和Bj¨ork等人【8】。可接受策略的定义2.2 u*= （）l*（Zt，t），π*t） t型∈[0，T]，对于ε>0，对于T∈ [0，T]，定义策略uε，tbyuε，ts=（“”l（z，s），’π），t≤ s<t+ε，u*s、 0个≤ s<t或t+ε≤ s≤ T、（2.3）其中‘l（z，s）是一个可接受的保留策略，(R)π是一个实常数。如果，对于所有（x，t）∈R×[0，T]，lim infε↓0Ju*（x，t）- Juε，t（x，t）ε≥ 0，然后是u*是一种均衡策略和Ju*（x，t）是相应的平衡值函数。3均衡再保险投资策略3.1验证理论我们首先提供了一个验证定理，我们省略了该定理的证明，因为它与Bj¨ork和Murgoci[7]中的版本定理、定理4.1的证明相似。此外，请参见Bj¨orket al中的讨论。

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能者818

2022-5-31 05:48:05

[8] 关于在均值-方差准则下应用验证定理。对于任何可接受的保留l 对于任何常数π∈ R、我们定义了一个积分微分算子Al,π如下：Al,πφ（x，t）：=limε↓0Ex，tφ（Xut+ε，t+ε）- φ（x，t）ε=φt（x，t）+rx+（u- r） π+Z∞（（θ）- η） z+（1+η）l（z，t））ν（dz）φx（x，t）+σ+2ρσσπ+σπφxx（x，t）+Z∞（φ（x- l（z，t），t）- φ（x，t））ν（dz），（3.1），其中φ（x，t）∈ C2,1（R×[0，T]）。在（3.1）的第一行中，u=(l, π）其中，常数π表示保险人将常数π投资于风险资产的策略。定理3.1（验证定理）。假设存在V（x，t）和g（x，t）∈ C2,1（R×[0，T]），满足以下条件：（1）对于所有（x，T）∈ R×[0，T]，支持l,πnAl,πV（x，t）-γAl,πg（x，t）+γg（x，t）Al,πg（x，t）o=0。（3.2）出租(l*, π*) 表示达到（3.2）中最大值的对。（2）适用于所有（x，t）∈ R×[0，T]，Al*,π*g（x，t）=0。（3.3）（3）对于x∈ R、 V（x，T）=x，g（x，T）=x.（3.4）然后，均衡再保险投资策略u*由U提供*t=（l*（Zt，t），π*（Xt，t））。（3.5）注意u*以反馈形式给出。V（x，t）=Ju*（x，t）是相应的平衡值函数，g（x，t）=Ex，t徐*T是对最终财富的期望。3.2均衡策略可以直接使用定理3.1获得均衡策略。然而，我们希望表明，这只是一种均衡策略；为此，我们有下面的引理，它类似于Basak和Chabakauri中的引理1。引理3.1平均方差准则下的价值函数V和终端财富g的期望在盈余x中是可分离的，并允许以下表示：V（x，t）=er（t-t） x+B（t），B（t）=0，g（x，t）=er（t-t） x+b（t），b（t）=0。（3.6）证明。

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mingdashike22

2022-5-31 05:48:07

根据（2.1），我们已经er（T-t） Xut公司=（u- r） πt+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）er（T-t） dt+qσ+2ρσσπt+σπter（t-t） dBt公司-Z∞l（z，t）er（t-t） ~N（dz，dt）=：Gu（t）。（3.7）从（3.7）可以看出，t【XuT】=er（t-t） x+Ex，tZTt公司（u- r） πs+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，s））ν（dz）er（T-s） ds公司, （3.8）andVarx，t[XuT]=Varx，tZTtGu ds. （3.9）（3.8）和（3.9）中分别表示XuT的期望值和方差，这意味着平均方差标准的目标函数和期望函数在SURPLU s x中是可分离的，如（3.6）所示。在下一个定理中，我们给出了均衡策略和相应的均衡值函数。定理3.2均衡再保险投资策略u*= (l*（z，t），π*（t））的平均方差标准如下所示：l*（z，t）=ηγe-r（T-t）∧ z、 π*（t） =u- rγσe-r（T-t）- ρσσ，（3.10）和相应的值函数isV（x，t）=er（t-t） x+B（t），（3.11），其中B（t）=ZTt（2γu- rσ+ er（T-s）-（u- r） ρσ+Z∞（（θ）- η） z+ηl*（z，s））ν（dz）-γe2r（T-s）1.- ρσ+Z∞(l*（z，s））ν（dz）ds。（3.12）此外，Ex，thXu*Ti=g（x，t）=er（t-t） x+b（t），（3.13），其中b（t）=ZTt（γu- rσ+ er（T-s）-（u- r） ρσ+Z∞（（θ）- η） z+ηl*（z，s））ν（dz）)ds。（3.14）证明。我们验证u*, V和g分别在定理3.1的（3.10）、（3.11）和（3.13）满足条件（1）–（3）中定义。为此，fr om（3.1），我们计算teAl,πer（T-t） x+β（t）= βt+Cl,π（t）er（t-t），（3.15），其中C由C给出l,π（t）=（u- r） π+Z∞（（θ）- η） z+ηl（z，t））ν（dz）。此外，从（3.1）中，我们在简化后得到，呃(T)-t） x+b（t）A.l,πer（T-t） x+b（t）-A.l,πer（T-t） x+b（t）= -e2r（T-t）σ+2ρσσπ+σπ+Z∞l（z，t）ν（dz）.

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能者818

2022-5-31 05:48:10

（3.16）通过将V和g fr om（3.6）的表达式代入（3.2），并使用（3.15）和（3.16）的结果，我们得到了l,πBt+Cl,π（t）er（t-t）-γe2r（T-t）σ+2ρσσπ+σπ+Z∞l（z，t）ν（dz）= 0。（3.17）（3.17）中的表达式相对于π是凹的；因此，我们从一阶条件中获得π的最佳值。具体而言，π*（t） =u- rγσe-r（T-t）- ρσ。（3.18）接下来，考虑以下条款：l 在（3.17）中，即Z∞ηl（z，t）-γer（T-t）l（z，t）ν（dz）。（3.19）对于给定的t，如果我们使（3.19）z-x-z中的积分中的被积函数最大化∈ [0，T]，那么我们将使积分本身最大化。关于l, f的图(l) := ηl -γer（T-t）l是通过原点（0，f（0））=（0，0）增加的凹抛物线；因此，f的最大化子l*∈ [0，z]是givenbyl*（z，t）=ηγe-r（T-t）∧ z、（3.20）如果我们将u替换为*= (l*, π*) 转化为（3.17）并求解B（t）（通过使用终端条件B（t）=0），然后我们得到（3.12）中的表达式。同样，如果我们求解方程A中的b（t）（具有相同的条件b（t）=0）l*,π*er（T-t） x+b（t）= 0，则得到（3.14）中的表达式。因此，u*, （3.10）、（3.11）和（3.13）中分别定义的V和g满足定理3.1中的条件（1）–（3）。要完成此证明，请注意u*是一种可接受的策略，如定义2.2所述。备注3.1引理3.1和定理3.2证明了在均值-方差准则下，超额损失再保险是时间一致性保险人的唯一均衡策略；从这个意义上说，我们认为它是最优的。请注意，均衡策略独立于状态变量x。这种独立性是因为风险规避γ是一个常数。参见（1.1），其中效用确定性等价物的平均方差近似中的γ表示效用的绝对风险厌恶。

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kedemingshi

2022-5-31 05:48:13

回想一下，如果效用表现出恒定的绝对风险厌恶，那么效用函数的形式是指数型的，指数效用下的决策结果与状态变量无关。参见Basak和Chabakauri【5】和Bj¨ork等人。[8] 供进一步讨论。此外，均衡超额损失策略独立于风险资产的参数和保险人的安全负荷，而均衡风险策略独立于保险人和再保险人的安全负荷。换句话说，均衡再保险策略不受金融市场的影响，而均衡投资策略不受再保险价格的影响，两种策略都不受初级保险价格的影响。下面的推论给出了均衡策略的行为。证明是向前延伸的，因此省略了。我们将在下一节的数值分析中讨论平衡策略行为背后的直觉。推论3.1平等保留请求权l*（z，t）η和t增加，r、γ和t减少，与x、θ、ρ、σ和σ无关；投资于风险资产的均衡金额π*（t） u和t增加，r、γ、ρ和t减少，与x和z无关。3.3相关问题在本节中，我们将定理3.2中的平衡策略与两个相关问题的最优策略进行比较。3.3.1指数效用首先，正如我们在引言和备注3.1中所观察到的，均值-方差标准与恒定绝对风险厌恶γ下终端财富的预期效用最大化有关。

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能者818

2022-5-31 05:48:16

对于后一个问题，一个标准验证定理指出，如果我们找到一个经典的解决方案l,πAl,πU（x，t）=0，终端条件U（x，t）=-e-γx，那么U等于su pl,πEx，t[u（XuT）]，在wh ich u（x）=-e-γx.此外，最优策略由A的最大值以反馈形式给出l,πU（x，t）。对于本文中的模型，很容易证明最优策略是(lu、 πu），其中luandπuare由给出lu（z，t）=ln（1+η）γe-r（T-t）∧ z、 πu（t）=u- rγσe-r（T-t）- ρσ。（3.21）注意，对于η的较小值，luis近似等于l*, 但πu等于π*.这一结果进一步证实了在风险规避参数γ为常数的平均方差准则中找到均衡策略与在绝对风险平均值γ为常数的情况下最大化终端财富的预期效用之间的密切关系。3.3.2预承诺第二，如果保险人在整个期间[0，T]的时间0预先承诺其策略，以最大化（2.2）中的时间0均值方差目标函数，则最优投资策略与π不同*, 如Basak和Chabakauri【5】所示。此外，最优再保险策略也不同于l*. 我们将在本节中演示后一种说法。预承诺问题由UP给出l,πEx，0[XT]-γVarx，0[XT]。（3.22）通过遵循周和李[33]的工作，我们首先解决了以下辅助问题u（x，t）=supl,πEx，thαXT-γXTi，（3.23），反馈形式中给出的最优策略为^π（α，Xt，t），^l（α，z，Xt，t）. 通过将α设置为溶液α*下式α=1+γEx，0X^π（α，Xt，t），^l（α，z，Xt，t）t,（^π，^）l) α=α*等于（3.22）中承诺前问题的最优策略。断开对照l 将取决于状态变量x和wr itel = l（z，x，t）在反馈模式中。

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可人4

2022-5-31 05:48:19

此外，（^π，^）l) 显然取决于xthroughα*. 注意，（3.23）中的U相对于x是凹的，因为αx-γxis为凹形，剩余量与对照组成线性关系。如果我们找到一个经典的解决方案l,πAl,πV（x，t）=0，终端条件V（x，t）=αx-γx，然后V=U，是（3.23）中辅助问题的值函数。假设我们有这个边值问题的经典解；没有歧义，写为U。然后，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程中的项包括l 阿雷马克斯lZ∞（（1+η）l Ux（x，t）+U（x- l, t））ν（dz）。在定理3.2的证明中，我们通过最大化（x，t）的固定值的被积函数z-by-z来最大化积分l 使0≤ l（z、x、t）≤ z、因为U相对于x是凹的，所以很容易证明最优再保险的形式为^l（z，x，t）=d（x，t）∧ z、（3.24），其中d=d（x，t）由d（x，t）给出=lc、如果lc∈ （0，z）s.t.（1+η）Ux（x，t）=Ux（x- lc、 t），∞, if（1+η）Ux（x，t）- Ux（x- lc、 t）>0，l > 00，如果Ux（x，t）≤ 时间T时为0。（3.25），U（x，T）=α*x个-γx和α*取决于x；因此，^l（z，x，T）=ηα*γ- x个+∧ z 6=ηγ∧ z=l*（z，T）。因此，对于时间一致性问题，最优承诺前再保险策略不同于均衡再保险策略。4数值示例示例4.1（均衡策略）在本示例中，我们检查了（3.10）中给出的均衡再保险投资策略对不同参数的敏感性。除非另有说明，参数值由r=0.05、u=0.10、σ=0.20、σ=0.30、η=0.60、ρ=0.50、γ=1和T=9给出。用（m）表示相应的均衡策略*, π*), 其中*（t） =ηγe-r（T-t）。另请注意，如果我们在时间T开始预承诺问题- 对于>0小，则为LIM→0^l（z，x，T）=ηγ∧ z=l*（z，T）因为lim→0xT-=x，其中XT=x。

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大多数88

2022-5-31 05:48:22

这种相等是有道理的，因为在一个非常小的间隔上预提交相当于在该间隔上保持时间一致。r0.02 0.03 0.04 0.05 0.06米*0.30.350.40.450.50.550.60.650.7t=0t=3t=6t=9r0.02 0.03 0.04 0.05 0.06π*-0.10.10.20.30.40.50.6t=0t=3t=6t=9图1。r.γ0.5 1 1.5 2m的影响*0.51.52.5t=0t=3t=6t=9γ0.5 1 1.5 2π*-0.50.51.52.5t=0t=3t=6t=9图2。γ的影响。在图1中，我们绘制了r在不同时间t对再保险投资策略f的影响*和π*随着无风险利率的增加而减少，m除外*当t=t时，它是常数。当发生大额索赔时，保险人可能会向无风险资产借款，以帮助恢复偿付能力；回想一下，投资于无风险资产的金额等于x- π*（t），当盈余x为负时，为负。因此，随着借款成本越来越高，保险公司承担的保险风险也越来越小。此外，随着无风险资产变得更具吸引力，保险人减少对风险资产的投资金额是合理的。在图2中，我们绘制了γ对再保险投资策略的影响。请注意，随着保险人变得更加厌恶风险，它承担的保险风险和财务风险也会减少。η0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1m*0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t=0t=3t=6t=9图3。η对m的影响*.ρ-0.5 0.5π*0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t=0t=3t=6t=9σ0.1 0.15 0.2 0.25 0.3π*-0.2-0.10.10.20.30.4t=0t=3t=6t=9图4。ρ（左）和σ（右）对π的影响*.在图3中，我们绘制了η对保留水平m的影响*. 请注意，m*随η增加而增加。换言之，随着再保险单变得越来越昂贵，保险人保留了更多的保险风险。在图4中，我们绘制了ρ、σ对投资策略的影响。首先，我们从左边的面板上看到，随着ρ的增加，π*减少。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:48:26

其次，我们从右图中看到，随着保险市场变得更加动荡，投资于金融市场的金额减少，因为这两个市场之间存在正相关性（ρ=0.50）。例4.2（比例与超额损失再保险）在本例中，我们假设基本盈余过程遵循经典的Cram'er Lundberg模型dut=c dt- dNtXi=1Yi，U=U，其中{Yi}∞i=1是一个独立且同分布的指数随机变量序列，具有共同的生存函数S（y）：=e-k yfor y>0表示个人索赔金额，且{Nt}t≥0是一个泊松过程，强度λ>0表示Claims数，与{Yi}无关。保险费率c=（1+θ）λκ。通过应用等式（3.11），其中ν（dz）=λF（dz），σ=0，σ=σ，Cram'er-Lundbergmodel下的相应值函数由v（x，t）=er（t）给出-t） x+B（t），（x，t）∈ R×[0，T]，其中b（T）=ZTt（2γu- rσ+ er（T-s） “（θ- η） λE[Y]+ηλZηγE-r（T-s） s（y）dy#-γλe2r（T-s） Zηγe-r（T-s） yS（y）dy）ds。此外，我们有g（x，t）=Ex，thXu*Ti=er（T-t） x+b（t），（x，t）∈ R×[0，T]，其中b（T）=ZTt（γu- rσ+ er（T-s） “（θ- η） λE[Y]+ηλZηγE-r（T-s） s（y）dy#）ds和Varx，t（Xu*T） =γ（g（x，T）- V（x，t））。其他参数值等于r=0.05、u=0.10、σ=0.30、γ=0.50、T=3、θ=0.50、η=0.60、λ=1和κ=0.50。在该模型下，我们将价值函数V与Zeng等人[28]确定的均衡比例再保险V下的价值函数进行比较。我们从图5中的顶部面板可以看出，V在边界t=t处表示Vexcept，其中V（x，t）=V（x，t）=x。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:48:29

换言之，均衡比例再保险政策在更大类别（即广义再保险政策）中显然不是最优的l 其中0≤ l（Zt，t）≤ Zt。我们还从图5的底部面板中看到，与均衡比例再保险相比，当平均值和方差分开查看时，尽管均衡超额损失政策产生了更大的终端平均值，但相关的终端风险也更大。t0.5x1.5-1V（t，x）VVt0.5x1.5E（t，x）EEt0.5x1.5Var（t，x）V arV arV图5。超额损失vs.比例再保险。5未来研究在未来的研究中，我们将从两个方向扩展本文的工作。首先，我们将允许绝对风险平均系数取决于盈余，如Bj¨ork等人[8]。风险规避通常被认为随着财富的增加而减少，因此选择γ（x）作为x的递减函数是合理的。γ（x）的一个自然选择=δx，其中δ是一个正常数，可以解释为相对风险规避。其次，我们将考虑再保险人的预期价值保费原则以外的保费原则。例如，对于标准差、方差或Wang保费原则，我们不一定期望超额损失再保险是最优的。参考文献[1]Arrow，Kenneth J.（1963）。不确定性与医疗福利经济学。《美国经济评论》（AmericanEconomic Review），53941-973。[2] Avram、Florin、Zbigniew Palmowski和Martijn R.Pistorius（2007年）。关于谱负L'evy过程的最优分割问题f。《应用概率年鉴》，17（1），156180。[3] 白、李华、郭俊义（2010）。最优动态超额损失再保险与多维投资组合选择。《科学中国数学》，53（7），1787-1804年。[4] 白、李华、蔡军和周明（2013）。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:48:32

动态环境下具有可变准备金风险过程的保险人的最优再保险政策。保险：数学与经济学，53（3），664-670。[5] Basak、Suleyman和Georgy Chabakauri（2010年）。动态平均方差资产配置。《金融研究回顾》，23（8），2970-3016。[6] B–auerle，Nicole（2005年）。保险公司的基准和均值方差问题。运筹学数学方法研究，h，62（1），159-165。[7] 比约克、托马斯和阿加思·穆尔戈奇（2010）。马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论。Stock holm经济学院工作文件。[8] 比约克、托马斯、阿加莎·穆尔戈奇和周迅宇（2014）。具有状态相关风险规避的均值-方差投资组合优化。数学金融，24（1），1-24。[9] 陈淑敏、李忠飞和李克敏（2010）。VaR约束下保险公司的最优投资恢复策略。保险：数学与经济学，47（2），144-153。[10] 邱、孙国诺和尹传存（2005）。谱负L'evyprocess的通过时间及其在风险理论中的应用。伯努利，11（3），511-522。[11] 顾、艾玲、郭显平、李中飞和闫增（2012）。CEV模型下保险人超额损失再保险和投资的最优控制。保险：数学与经济学，51（3），674-684。[12] Andreas Kyprianou（2006年）。关于L'evy过程波动及其应用的入门讲座。施普林格科学与商业媒体。[13] Landriault，David，Jean-Fran,cois Renaud，and Xiaowen Zhou（2011）。谱负L'evy过程及其应用的占用时间。随机过程及其应用，121（11），2629-2641。[14] 李丹平、荣锡敏、赵辉（2016）。随机波动模型下均值-方差保险人的均衡超额损失再保险投资策略。

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2022-5-31 05:48:35

《统计学理论与方法通讯》，即将出版。[15] Liang、Zhibin和Erhan Bayraktar（2014）。具有不可观察索赔规模和强度的最优再保险和投资。保险：数学与经济学，55156-166。[16] 梁志斌、郭俊义（2011）。最优组合qu-ota份额和超额损失再保险，以最大化预期效用。《应用数学与计算杂志》，36（1），11-25。[17] 林向义（2016）。C EV模型下保险公司的时间一致性均值方差再保险投资策略。斯堪的纳维亚精算师Journal，2016（7），646-671。[18] 刘玉平、金马（2009）。一般保险模型的最优再保险/投资问题。应用概率年鉴，19（4），1495-1528。[19] Meng、Hui和Xin Zhang（2010）。超额损失保险政策的最佳风险控制。ASTIN公告，40（1），179-197。[20] 克里斯汀·S·摩尔和弗吉尼亚·R·杨（2006）。连续时间模型中的最优保险。保险：数学与经济学，39（1），47-68。[21]Pratt，John W.（1964年）。小规模和大规模的风险规避。《计量经济学》，32（1/2），122-136。[22]Promislow，S.David和Virginia R.Young（2005）。当目标服从带漂移的布朗运动时，最小化破产概率。《北美精算杂志》，9（3），110-128。【23】沈、杨、闫增（2015）。具有s q uare根因子过程的均值方差保险人最优投资再保险策略。保险：数学与经济学，62118-137。[24]Strotz，Robert Henry（1955年）。动态效用最大化中的短视性和不一致性。《经济研究评论》，23（3），165-180。【25】Angela van Heerwarden（1991年）。风险排序：理论与精算应用。论文，阿姆斯特丹泰特市廷伯根。[26]Yang，Hailiang和Lianzeng Zh-an g（2001）。

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2022-5-31 05:48:39

谱负L'evy过程及其在风险理论中的应用。应用概率的进展，33（1），281-291。[27]曾燕安、李忠飞（2011）。均值方差保险公司的最优时间一致性投资和再保险政策。保险：数学与经济，49（1），145-154。[28]曾、闫、李忠飞、赖永增（2013）。跳跃均值方差保险人的时间一致性投资和再保险策略。保险：数学与经济学，52（3），498-507。[29]曾、闫、李丹平、顾爱玲（2016）。跳跃模型中均值方差保险人的Robus t均衡再保险投资策略。《保险数学与经济学》，66138-152。[30]Zeng，Xudong，商振洛（2013）。随机帕累托最优再保险政策。保险：数学与经济学，53（3），671-677。[31]张，辛，周明，郭俊义（2007）。动态环境下损失再保险政策的最优组合配额份额和超额。《商业与工业应用随机模型》，6（3），483-496。[32]周明、蔡军（2014）。具有状态相关收入的保险公司的最优动态风险控制。应用概率杂志，51（2），417-435。【33】周迅宇、段丽（2000）。连续时间均值-方差投资组合选择：Astochastic LQ框架。《应用数学与优化》，42（1），19-33。

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