再保险网络中的最优风险分配

2022-6-2 16:15:55

从那时起，人们对这个问题进行了大量的推广。我们请感兴趣的读者阅读最近的一本书【1】，该书在第8章中包含了全面的文献综述，并参考了【14】。在这里，我们只会提到一些与我们的研究相关的最新文章。首先在[6]中，利用泛函分析中的对偶理论，给出了一类一般风险度量的最优再保险形式的特征。当保费原则是期望值原则时，止损协议被证明是最优的。进一步考虑了具有风险价值和预期短缺的优化问题，以及保险人的一般保费原则。他们得到了分层再保险的最优性。虽然大多数出版物仅从个人保险人的角度考虑这一问题，但我们从经济学的角度调查这一情况。更准确地说，我们想知道，对于整个经济而言，保险公司和再保险公司之间何种风险分担是最优的，在何种情况下，它与保险公司的个别最优决策是相同的？这个问题还需要解决为随机向量建模问题的任务，该向量表示保险公司承担的单个风险。当然，在涉及随机向量的风险分担问题上，存在着丰富的文献。最常见的问题是所谓的inf卷积问题，由minnxi=1ρi（Xi）s.t.X+…+给出Xn=x，其中ρ是合适的风险度量。文献[16]表明，对于法律和现金不变量的凸风险测度，解总是存在的，并且由一个共单调结构给出。此结果c0000（版权所有人）2 N.B¨AUERLE和A.GLAUNERhas被【15】重新定义，其中表明，如果风险度量由风险范围值给出，则存在最优解决方案的明确构造。

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2022-6-2 16:15:58

在[17]中，这一问题被解释为几个具有一般凸风险度量和保费原则的保险公司。在那个里，最优再保险合同的特征是通过巴拿赫空间中的次微分公式。有关inf卷积问题的更多结果，请读者参阅[22]。可以发现两个实体之间考虑特殊类型风险分担的问题。g、在[3]中。在那里，保险集团使用适当的风险转移协议，在受不同监管资本要求约束的两个实体之间分配总风险。针对风险价值和预期缺口等特殊风险度量，明确推导了最优风险分担规则。在[9]中，作者开发了最优再保险合同，在某些约束条件下最小化保险人损失的风险价值和再保险人损失的凸组合。那里得到了一些明确但相当复杂的最优再保险条约。接下来，[11]当保险人决定将部分损失分给两个再保险人时，从保险人的角度研究最佳再保险形式，其中两个再保险人根据不同的保费原则计算保费。该问题是在风险价值或预期短缺最小化的标准下解决的。最优再保险协议是将两个相邻的风险层分离开。[25]中考虑了另一个多变量问题，即在基于多变量较低或风险价值计算的总资本要求最小化的标准下，研究了具有多个业务线的保险人的最优再保险策略。保险公司的最佳策略是为每个业务线购买两层保险协议。请注意，个体风险的依赖结构对于目前引用的结果并不重要。

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2022-6-2 16:16:01

[10]中考虑了最坏情况下的w.r.t.从属结构，其中研究了具有一般规律不变凸风险测度的多变量风险最优再保险条约问题。结果表明，止损再保险协议最小化了总留存风险的一般法律不变凸风险度量。在[13]中，假设保险人有n个业务线，可以根据给定的保费进行再保险，目的是最小化留存总风险的预期凸函数。为了在这种情况下得出结果，作者需要一个风险之间正相关性的概念，即“通过随机排序正相关性”的概念。对最优再保险持更经济观点的论文包括[23]，其中考虑了n个再保险人在特殊假设下的Stackelberg均衡，以及[21]，其中对最优保险网络进行了博弈分析。本文的目的是从宏观经济学的角度考虑再保险或风险分担。虽然保险公司的个人目标是通过再保险减少风险敞口和自有资本要求，但再保险的社会目标是通过避免局部过度敞口将风险分散到全球各地。这种施工也增加了可投保的风险金额。在我们的环境中，我们假设有n家保险公司，每家都承担一定的风险，还有一家具有代表性的再保险公司。与inf卷积问题相反，情况不再是对称的。然后，优化问题是最小化保险公司所有资本要求的总和。我们假设所有保险公司都使用风险范围价值作为风险度量，可能有不同的参数。

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大多数88

2022-6-2 16:16:04

风险范围值包括风险价值和预期缺口，因此是具有实践相关性的自然选择。我们表明，如果所有保险公司都使用风险价值，并且再保险人的保费原则满足单调性，那么分层再保险条约是社会最优的。为此，我们不需要风险之间的任何依赖结构。在风险范围价值的一般设置中，我们再次获得了分层再保险条约的最优性，前提是再保险人的保费原则与递增凸序（大多数保费原则都是这样）一致，并且假设个人风险通过随机序（PDS）正相关。我们的结果包括[12]中特殊情况n=1的发现。最后，我们还讨论了再保险网络3再保险协议中社会最优风险分配与个人最优风险分配之间的差异。幸运的是，它们在许多情况下是一致的，但也可能存在一些差异。我们的论文组织如下：在下一节中，我们总结了风险度量、随机顺序和依赖性概念的一些定义和事实。特别地，我们证明了PDS随机向量将边距的凸阶增加到分量之和。在第3节中，我们介绍并讨论了我们的优化问题。第4节介绍了问题的解决方案，并讨论了一些特殊情况。在最后一节中，我们通过观察一些特殊情况来研究社会最优再保险条约和个人最优再保险条约之间的差异。2、风险度量、随机顺序和依赖结构我们将考虑非负随机变量X：Ohm → 定义在非原子概率空间上的R+(Ohm, A、 P）。它们代表未来的保险索赔，即。

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2022-6-2 16:16:07

X（ω）≥ 0是保险公司在固定期限结束时因出售保单（或保单组合）而造成的损失净额。我们用fx（x）表示（累积）分布函数：=P（x≤ x），生存函数由SX（x）：=1- FX（x）与广义逆F-1X（α）：=inf{x∈ R:FX（x）≥ α} 其中x∈ R和α∈ [0, 1]. 带L：={X：Ohm → R+：X是一个随机变量，E[X]<∞}我们表示所有此类非负可积随机变量的空间。现在我们回顾一下风险度量的一些概念。通常，风险度量是映射ρ：L→R.本质上，保费原则的通知π：L→R在数学上是等价的，但应用程序是不同的。前者确定了承担风险所需的偿付能力资本，而后者给出了为其重新投保的价格。续集中讨论的风险度量的性质类似地适用于保费原则。特别重要的是以下风险措施。定义2.1。

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何人来此

2022-6-2 16:16:10

对于α，β∈ [0，1]和X∈ l使用分布函数FXwe definea）α级X的风险值为V aRα（X）：=F-1X（1- α).b）当ESβ（X）为β>0时，X的预期短缺：=βRβV aRs（X）ds。c） α级X的风险范围值，如果α+β，则为β≤ 1 asRV aRα，β（X）：=（βRα+βαV aRs（X）ds，β>0V aRα（X），β=0。显然，风险价值区间包括风险价值和预期差额。风险度量ρ应该具有一些很好的性质，例如i）定律不变性：ρ（X）仅取决于分布FX。ii）单调性：如果X≤ Y然后ρ（X）≤ ρ（Y）。iii）平移不变性：对于m∈ R它保持ρ（X+m）=ρ（X）+m.iv）正同质性：对于α≥ 0它认为ρ（αX）=αρ（X）。v）次加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）。vi）凸度：对于α∈ [0，1]它认为ρ（αX+（1- α） Y）≤ αρ（X）+（1- α） ρ（Y）。虽然风险价值一般不是次加性的，但它具有许多优良的性质，如法律不变性、单调性、平移不变性和正同质性。这些属性也由风险范围值共享。以下事实（可直接从定义中得出）对我们很重要：命题2.2。对于α∈ [0，1]和X∈ Lwe获得：a）α→ V aRα（X）在α中减少。b）对于任何非递减的左连续函数t:R→ R它保持V aRα（t（X））=tV aRα（X）.为了解决优化问题，我们使用了以下随机排序的概念。4 N.B–AUERLE和A.GLAUNERDe定义2.3。设X，Y为两个随机变量。

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2022-6-2 16:16:13

那么X在（a）通常的随机序（X）中小于Y≤stY）如果E[f（X）]≤ E【f（Y）】对于所有增加的f:R→ R、（b）凸阶（X≤cxY）如果E【f（X）】≤ E[f（Y）]对于所有凸f:R→ R、（c）增加凸阶（X≤icxY）如果E【f（X）】≤ E[f（Y）]对于所有递增凸x：R→ R、只要存在期望。以下递增凸阶的特征是众所周知的（参见[20]，第1章）命题2.4。设X，Y是两个分布函数为FX，FY的随机变量。a） X个≤icxY当且仅当E[（X）]成立- t） ]+≤ E[（Y- t） ]+适用于所有t∈ R、 b）X≤当且仅当存在另一个随机变量Z和X时，icxY成立≤stZ公司≤cxY。c）让t∈ R使得FX（t）≤ FY（t）表示t<t，FX（t）≥ FY（t）表示t≥ tand E[X]≤ E[Y]然后X≤icxY。从现在起，我们将限制法律不变的风险措施。定义2.5。我们说，如果X，则一个不变律风险测度ρ与通常的随机序是一致的≤stY表示ρ（X）≤ ρ（Y）。a）随着凸阶的增加，如果X≤icxY表示ρ（X）≤ ρ（Y）。众所周知（见例[7]，定理4.2），在非原子概率空间上，风险测度的单调性足以表示一致性w.r.t。通常的随机序和风险测度的凸性的附加性质足以表示一致性w.r.t。增加的凸序（见例[7]，定理4.4）。因此，一大类风险度量满足了这些一致性属性。我们还必须回顾随机向量的copula概念。定义2.6。设X=（X，…，Xn）是具有分布函数F和边际分布函数F，…，的随机向量，Fn。在[0，1]上具有均匀边缘的n维分布函数C称为X ifF（X，…，xn）=C（F（X），Fn（xn）），（x。

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2022-6-2 16:16:16

，xn）∈ 注册护士。copula的一个重要例子是所谓的Fr'echet-hoeff-ding界，它是给定的byc（x，…，xn）=min{x，…，xn}。以下观察将对我们至关重要。copula的定义暗示了这一点。推论2.7。设X=（X，…，Xn）是具有copula C和t，…，的随机向量，t增加和连续功能。然后是随机向量（t（X），tn（Xn））也有copula C。作为copula，具有Fr'echet-hoeffing界的随机向量称为共单调向量。定义2.8。如果对于所有共单调的随机向量X=（X，…，Xn），我们有ρ，则风险度量ρ称为共单调加法nXi=1Xi=nXi=1ρ（Xi）。下一个结果直接来自【19】，定理4.1。定理2.9。设X=（X，…，Xn）和Y=（Y，…，Yn）是具有公共copula C的两个随机向量。然后是Xi≤stYi，i=1，n意味着PNI=1Xi≤stPni=1Yi。最后，我们需要一个积极依赖的概念。再保险网络中的最佳风险分配5定义2.10。如果所有i=1，…，则称随机向量X=（X，…，Xn）通过随机序（PDS）正相关，nE[f（X，…，Xi-1，Xi+1，Xn）| Xi=Xi]对于任何（组件）递增函数f:Rn，在Xi中递增-1.→ R、（b）如果bothP（X≤ x）≥nYi=1P（Xi≤ xi）和P（X>X）≥nYi=1P（Xi>Xi）适用于所有x∈ 注册护士。显然，PDS和POD是copula的属性。PDS不如其他相关概念（如条件递增（CI）或MT P）那样广为人知。在[8]定理5.3中，CI表示PDS。对于n=2，定义2.10（b）中的两个条件是等效的。如果n>2时，只有第一个或第二个值成立，则X分别称为正下或正上。PDS意味着POD，参见【8】定理5.1。

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nandehutu2022

2022-6-2 16:16:19

据我们所知，POD甚至是最小的PDS超类。我们需要下面的定理。定理2.11。设X=（X，…，Xn）和Y=（Y，…，Yn）是具有公共PDS copula C的两个随机向量。然后是Xi≤icxYi，i=1，n意味着PNI=1Xi≤icxPni=1Yi。证据根据命题2.4 b）存在随机变量zi，因此Xi≤stZi公司≤Cxyi对于i=1，n、设它们为随机向量Z=（Z，…，Zn）与copulaC的边值。从定理2.9可以得出Pni=1Xi≤stPni=1Zi，根据[13]中的推论3.5，得出pni=1Zi≤cxPni=1Yi。因此，命题2.4b）再次得出了该陈述。常见的PDS copula是获得此结果的最温和的假设。下一个示例表明，削弱POD的依赖性概念是不可能的。这是[19]中示例4.7的简化版本，他们在略有不同的上下文中使用了它。例2.12。设n=2。我们通过离散密度（Y=Y，Y=Y）Y=0 Y=1 Y=3 Y=4y=0y=1确定随机向量Y=（Y，Y）的分布。很容易检查Y是否为POD。然而，它不是PDS sinceP（Y>0 | Y=1）=1>0=P（Y>0 | Y=3）。让我们用f（0）=0，f（1）=f（3）=2，f（4）=4和setX=（Y，f（Y））定义一个递增函数f。那么，X和Y具有相同的copula，参见推论2.7。此外，根据命题2.4 c），Xi≤icxYi，i=1，2，但Y+Y≤icxX+X.3。优化问题我们考虑一个经济体，有n家保险公司，连续编号为i=1，n、还有一家再保险公司。【4】中的研究证明了单一再保险人的合理性。假设保险人i承担由非负随机变量Xi建模的总风险∈ 五十、这些风险被解释为在固定期限结束时，根据各自保险公司出售的保单提出的保险索赔而产生的贴现损失。

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大多数88

2022-6-2 16:16:23

请注意，这些风险不一定是独立的。每个保险公司都使用平移不变性和正均质性风险度量ρi评估其风险，稍后将具体说明。为了减少自行承担的风险，保险公司i可以将一部分（Xi）让与再保险人。保留风险由Rfi（Xi）=Xi给出- fi（Xi）。我们假设N.B–AUERLE和A.GLAUNERthat f，fn：R+→ R+在增加，而fi（x）≤ x代表所有x∈ R+和所有i=1，n、此外，为了排除道德风险，留存损失函数Rf，Rfn：R+→ 假设R+也在增加。我们通过c={f:R来定义容许的让渡损失函数集+→ R+| f（x）≤ x个x个∈ R+和f，rf都在增加}。注意，C中的函数尤其是Lipschitz连续函数，因为Rfincreasing导致tof（x）- f（x）≤ x个- 所有0的X≤ x个≤ x、考虑到所有分出的风险，再保险人按照保费原则π：L对其进行定价→考虑个人风险的依赖结构。然后，再保险人根据合理的分配规则确定每个保险人应支付的金额。定义3.1。对于给定的保费原则π和总让渡风险Y，线性泛函ψπ（·，Y）：L→ψπ（Y，Y）=π（Y）的R称为保费分配规则。也就是说，保险人i必须支付再保险费ψπfi（Xi），Pnj=1fj（Xj）. 设置如图1所示。XXX RIXXX图1。具有一个再保险人和n个保险人的经济中的最优再保险问题。保险人i将fi（Xi）的原始风险Xi转让给fi（Xi）。我们对宏观经济最优的风险分配感兴趣，即使所有保险公司的总资本要求最小化。保险公司的偿付能力（或风险）资本可防止因重大意外损失而破产。

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2022-6-2 16:16:25

鉴于所有资本要求都代表了所承担的风险，这样的最佳配置可以被视为金融稳定方面的理想经济状态。Ximodelsinsurer i因保险索赔而产生的贴现损失，固定期限结束时再保险后的贴现净损失由留存损失减去保险人在该期间的保费收入πi（Xi）加上再保险成本和资本成本得出：Lossi=Rfi（Xi）- πi（Xi）+ψπfi（Xi），nXj=1fj（Xj）+ rCoC·ρi（Lossi）。（3.1）资本成本定义为一些资本成本率Rc乘以资本要求ρi（Lossi）。我们为所有保险公司假设统一的资本成本率RCoC。净损失的简要描述（3.1）可追溯到【18】。应用ρ离子两面性，利用平移不变性和正同质性，得出保险人的资本要求ρi（Lossi）=1- rCoC公司ρiRfi（Xi）- πi（Xi）+ψπfi（Xi），nXj=1fj（Xj）.因此，最小化目标为：sminnxi=1ρi（Lossi）s.t.f，fn公司∈ C、（3.2）再保险网络中的最优风险分配7作为目标函数的严格单调变换，有必要考虑留存风险的资本要求加上总再保险保费的总和xi=1ρiRfi（Xi）+ ψπfi（Xi），nXj=1fj（Xj）=nXi=1ρiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）！。因此，我们将研究最优再保险问题minnxi=1ρiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）！s、 t.f，fn公司∈ C、（3.3）在下文中，我们假设保险公司使用风险范围值作为风险度量，即对于i=1，n它保持ρi=RV aRαi，βi，其中αi，βi≥ 0使得0<αi+βi≤ 1、作为金融业中使用最广泛的两个风险度量指标，作为风险价值和预期缺口的超类，风险价值区间是获得涵盖大多数实际相关情况的结果的自然选择。

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nandehutu2022

2022-6-2 16:16:29

请注意，我们要求参数之和绝对为正，以避免出现有限资本要求的情况。4、有限维优化问题的简化4.1。案例1：保险公司使用风险价值。在本节中，我们考虑所有保险公司使用风险价值的特殊情况，即β=···=βn=0。让ρi=V aRαi和αi∈ （0，1）.此外，对于再保险人的保费原则，我们假设（A1）：再保险人的保费原则与通常的随机顺序一致，即π（X）≤ π（Y）每当X≤X、Y的stY∈ 五十、为了将（3.3）降低到有限的维度，以下类别的再保险协议（即分保损失函数）起着关键作用。定义4.1。函数f:R+→ R+给定byf（x）=min{（x- a） +，b}=（x- （a）+- （十）- （a+b））+，a，b≥ 0被称为具有免赔额a和上限b的分层再保险协议。在退化情况下b=∞f（x）=（x- a） +被称为停止损失再保险协议。请注意，所有这些功能都属于C。从经济上讲，分层再保险意味着该保险人涵盖了所有超过免赔额的损失，但将其责任限制在最大b。如何将（3.3）降低到有限维度，是构建分层再保险，其至少与给定的、任意分保的损失功能有关的目标函数值。对于每个保险人，i=1，n设一个让渡损失函数fi∈ C给出并定义hfi:R+→ R+byhfi（x）=明尼苏达州x个-V aRαi（Xi）- fi（V aRαi（Xi））+, fi（V aRαi（Xi））o.（4.1）这些是具有免赔额的分层再保险协议V aRαi（Xi）- fi（V aRαi（Xi））上界fi（V aRαi（Xi））。它持有hfi∈ C表示i=1，n、提案4.2。假设（A1）并设f，fn公司∈ C可以是任意放弃的损失函数。ThennXi=1V aRαiRhfi（Xi）+ πnXi=1hfi（Xi）≤nXi=1V aRαiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）.8 N.B–AUERLE和A.GLAUNERProof。让我∈ {1，…，n}是任意的。

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2022-6-2 16:16:32

通过插入，我们得到hfi（V aRαi（Xi））=fi（V aRαi（Xi））。函数hfi、fiare在C中，因此Rhfi、RFI是递增和连续的。因此，V aRαi的性质（见命题2.2）意味着V aRαiRhfi（Xi）= RhfiV aRαi（Xi）= V aRαi（Xi）- hfi公司V aRαi（Xi）= V aRαi（Xi）- 金融机构V aRαi（Xi）= RfiV aRαi（Xi）= V aRαiRfi（Xi）. （4.2）现在，我们显示hfi（x）≤ 所有x的fi（x）∈ R+。由于RFI增加，所有x≤V aRαi（Xi）thatfiV aRαi（Xi）- fi（x）≤ V aRαi（Xi）- x、重新安排和使用该fi≥ 0 givesfi（x）≥x个- V aRαi（Xi）+fiV aRαi（Xi）+= hfi（x），其中等式因x而成立≤ V aRαi（Xi）。对于x≥ V aRαi（Xi）我们有hfi（x）=fiV aRαi（Xi）≤ fi（x），因为fi在增加。因此，我们显示了hfi（x）≤ 所有x的fi（x）∈ R+表示HFI（Xi）≤stfi（Xi）。（4.3）由于我是任意的，定理2.9 yieldsnXi=1hfi（Xi）≤stnXi=1fi（Xi）。由（A1）得出πnXi=1hfi（Xi）≤ πnXi=1fi（Xi）. （4.4）（4.2）和（4.4）共同得出该主张。定理4.3。让所有保险公司使用参数α，…，的风险价值，αnand假设（A1）。无论其各自风险X…之间的依赖结构如何，xn最优再保险问题（3.3）与有限维问题minnxi=1ai+π具有相同的最优值nXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}s、 t.0≤ 人工智能≤ V aRαi（Xi），i、（4.5）此外，如果，是（4.5）thenfi（x）=min{（x）的最优解- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}，i=1，nis是（3.3）的最佳解决方案。证据让我∈ {1，…，n}，ai≤ V aRαi（Xi）和fi（x）=min{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}。然后是fi∈ C和自V aRαiRfi（Xi）= RfiV aRαi（Xi）= A（3.3）中的目标函数减少到（4.5）。因此，（4.5）的最小值至少与（3.3）的值一样大。另一方面，命题4.2得出（3.3）的最小值至少与（4.5）的最小值一样大。

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能者818

2022-6-2 16:16:35

因此，最优值相等，下面的语句如下。再保险网络中的最优风险分配9备注4.4。注意，在定理4.3的设置中，当π是Lipschitz连续w.r.t.上确界范数时，总是存在最优解。这是因为目标函数是Lipschitz连续的w.r.t.任何RN范数，并且在紧集上最小化。因子λ>0的存在使得λπ变为平移不变，这是π的Lipschitz连续性的一个有效条件。此外，注意作为π参数的随机变量是有界的。4.2. 案例2：保险公司使用一般风险范围值。本节介绍了至少一家保险公司使用带正参数β的风险范围值时的一般情况。因此，有一个l∈ {1，…，n}使得ρi=RV aRαi，βi，βi>0，i=1，lρi=RV aRαi，βi=V aRαi，βi=0，i=l+1，n、在这种情况下，我们需要更有力的假设，尤其是关于单个风险的依赖结构的假设。如果这些风险表现出某种负相关性，那么显然最好将这些风险集中在再保险人的投资组合中。更有趣、更现实的是某种积极依赖的情况。例如，它是自然灾害的结果。这里我们假设（A2）：再保险人的保费原则与递增凸阶一致，即π（X）≤ π（Y）每当X≤X、Y的icxY∈ 五十、（A3）：随机向量X：=（X，…，Xn）有一个PDS copula。让f，fn公司∈ C被赋予承保人的让渡损失职能。对于所有i=1，定义分层再保险协议kfi:R+→ R+，kfi（x）=明尼苏达州x个-V aRαi+βi（Xi）- fi（V aRαi+βi（Xi））+, Mio，（4.6），其中Mi∈ [选择fi（V aRαi+βi（Xi）），fi（V aRαi（Xi））]以使RV aRαi，βi（fi（Xi））=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。请注意，kfi∈ C表示i=1。

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2022-6-2 16:16:38

，n.提案4.5。分层再保险协议对所有i=1、…、，n、此外，对于i>l，它与第4.1节的分层再保险协议hfiof相同。证据对于kfito，我们必须证明Mi∈ 【fi（V aRαi+βi（Xi）），fi（V aRαi（Xi））]的存在使得RV aRαi，βi（fi（Xi））=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。首先，我们考虑更简单的情况i>l。这里，βi=0，因此Mi=fi（V aRαi（Xi））。现在，让我≤ l、独立于Miit holdsRV aRαi、βi（kfi（Xi））≤ RV aRαi，βi（Xi）<∞自Xi以来∈ 五十、此外，Mi7→ kfi（V aRs（Xi））是每个s的连续函数。Hencewe获得了Mi7的连续性→ RV aRαi，βi（kfi（Xi））=βiZαi+βiαikfi（V aRs（Xi））ds。（4.7）自fi以来∈ C、所有x的Rfiimplies的单调性≥ V aRαi+βi（Xi）thatfi（x）≤ x个- V aRαi+βi（Xi）+fi（V aRαi+βi（Xi））=x个-V aRαi+βi（Xi）- fi（V aRαi+βi（Xi））+（4.8）因此，对于Mi=fi（V aRαi（Xi）），它遵循（4.8）和V aRαi的性质，V aRαi ithatRV aRαi，βi（fi（Xi））=βiZαi+βiαiV aRs（fi（Xi））ds=βiZαi+βiαifi（V aRs（Xi））ds10 N.B–AUERLE和A.GLAUNER≤βiZαi+βiαikfi（V aRs（Xi））ds=βiZαi+βiαiV aRs（kfi（Xi））ds=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。（4.9）相反，对于Mi=V aRαi+βi（fi（Xi）），它保持srv aRαi，βi（kfi（Xi））=V aRαi+βi（fi（Xi））≤ RV aRαi，βi（fi（Xi））。（4.10）鉴于（4.7）与（4.9）和（4.10）的连续性，中值定理确保了Mi的存在∈ [fi（V aRαi+βi（Xi）），fi（V aRαi（Xi））]如下所述：RV aRαi，βi（fi（Xi））=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。再保险协议可用于降低所有保险人的总资本要求。提案4.6。假设（A2），（A3），设f，fn公司∈ C可以是任意放弃的损失函数。ThennXi=1RV aRαi，βiRkfi（Xi）+ πnXi=1kfi（Xi）≤nXi=1RV aRαi，βiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）.证据首先，让我∈ {1，…，l}。保留损失函数Rfi（x）=x- fi（x）和Rkfi（x）=x- kfi（x）随着fi、kfi的持续增加∈ C

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大多数88

2022-6-2 16:16:41

因此，根据V aRαi的性质和kfiRV aRαi、βi的定义Rfi（Xi）=βiZαi+βiαiV aRs（Xi）- fi（V aRs（Xi））ds=RV aRαi，βi（Xi）- RV aRαi，βifi（Xi）= RV aRαi，βi（Xi）- RV aRαi，βikfi（Xi）=βiZαi+βiαiV aRs（Xi）- kfi（V aRs（Xi））ds=RV aRαi，βiRkfi（Xi）. （4.11）我们已经从（4.8）中知道，对于x≥ V aRαi+βi（Xi）fi（x）≤x个-V aRαi+βi（Xi）- fi（V aRαi+βi（Xi））+=:^kfi（x）。由于kfi（x）=min{kfi（x），Mi}和Zαi+βiαifi（V aRs（Xi））ds=Zαi+βiαikfi（V aRs（Xi））ds，（4.12），通过选择Mi，存在x∈ [V aRαi+βi（Xi），V aRαi（Xi）]，因此fi（x）≤ kfi（x）代表x∈ [V aRαi+βi（Xi），x]fi（x）≥ kfi（x）代表x∈ （x，V aRαi（Xi）]。（4.13）现在让我们~ U（[αi，αi+βi]）。然后通过（4.12）E[fi（V aRU（Xi））]=E[kfi（V aRU（Xi））]。（4.14）这与（4.13）充分证明了命题2.4 c）的假设，因此我们有KFI（V aRU（Xi））≤icxfi（V aRU（Xi））。（4.15）类似于（4.8）一个获得的SKFI（x）≤ 0的fi（x）≤ x个≤ V aRαi+βi（Xi）（4.16）再保险网络中的最优风险分配11，随着FII的增加，它从（4.13）kfi（x）开始≤ x的fi（x）≥ V aRαi（Xi）。（4.17）接下来，让V~ U（[0，1]）。然后是Xi~ F-1Xi（1- V）=V aRV（Xi）和随后的EH（kfi（Xi）- d） +i=Eh（kfi（V aRV（Xi））- d） +i=Z[0，αi）∪（αi+βi，1）（kfi（V aRv（Xi））- d） +dv+Zαi+βiαi（kfi（V aRv（Xi））- d） +dv=Z[0，αi）∪（αi+βi，1）（kfi（V aRv（Xi））- d） +dv+βiEh（kfi（V aRU（Xi））- d） +我≤Z[0，αi）∪（αi+βi，1）（fi（V aRv（Xi））- d） +dv+βiEh（fi（V aRU（Xi））- d） +i=Eh（fi（V aRV（Xi））- d） +i=Eh（fi（Xi）- d） +i，其中不平等是由（4.15）、（4.16）和（4.17）引起的。因此我们有kfi（Xi）≤icxfi（Xi）。我们现在考虑剩下的指数。让我∈ {l+1，…，n}。从命题4.2和命题4.5的证明可以看出，我们有kfi（Xi）=hfi（Xi）≤icxfi（Xi）也适用于这些指数。对于所有i=1，函数Kfian和fiare在C中，即递增和连续。因此，通过（A2），随机向量skf（X）：=kf（X）。

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2022-6-2 16:16:44

，kfn（Xn）和f（X）：=f（X），fn（Xn）具有与X=（X，…，Xn）相同的PDS copula。因此，根据定理2.11nXi=1kfi（Xi）≤icxnXi=1fi（Xi）。（4.18）最后，（4.11）以及π与（A3）增加的凸阶和（4.18）一致的事实得出了这个断言。这一节的主要结果在下一个定理中给出。该证明遵循命题4.6，与定理4.2的证明方式相同。定理4.7。在假设（A2）、（A3）下，最优再保险问题（3.3）与有限维问题minnxi=1ai+lXi=1RV aRαi，βi具有相同的最优值（Xi）- 人工智能- bi）++ πnXi=1min{（Xi- ai）+，bi}！s、 t.0≤ 人工智能≤ V aRαi+βi（Xi），i=1，nai+bi≥ V aRαi+βi（Xi），i=1，l（4.19）bi=V aRαi（Xi）- ai，i=l+1，n、此外，如果a，an，b，bn是（4.19）thenfi（x）=min{（x）的最优解- ai）+，bi}，i=1，nis是（3.3）的最佳解决方案。备注4.8。注意，在定理4.7的设置中，当π为Lipschitz连续且对于所有i=1，…，存在最优解，n它保持αi>0或Xibounded。我们有∈ [0，V aRαi+βi（Xi）]和bi∈ [0，V aRαi（Xi）]。注意，V aRαi+βi（Xi）<∞ 因为我们从一开始就要求0<αi+βi，而V aRαi（Xi）<∞ 当且仅当αi>0或Xibounded时成立。因此，目标函数在紧集上最小化。此外，π是Lipschitz continuousw。r、 t.上确界范数，并应用于有界随机变量。最后，对于单调的平移不变风险测度ρ，我们得到了自（x- c）+≤ x++| c |ρ（（x- d） +）-12 N.B–AUERLE和A.GLAUNERρ（（X- c） +）≤ ρ（（X- c） ++| c- d |）+- ρ（（X- c） +）=| c- d |。因此RV aRαi，βi（Xi）- 人工智能- bi）+Lipschitz在ai中是连续的，这意味着结果。什么时候社会最优对个人也是最优的？当我们选择n=1时，优化问题（3.3）减少了tominρRf（X）+ πf（X）s、 t.f.公司∈ C

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能者818

2022-6-2 16:16:47

（5.1）这个问题可以解释为个人保险公司寻求最优再保险的问题：Rf（X）是留存风险，使用风险度量ρ和π进行评估f（X）是再保险人收取的保费。在本节中，我们将讨论通过求解（3.3）得到的社会最优解与通过求解（5.1）得到的每个单个公司的最优再保险待遇i=1，n、 5.1。π是期望值溢价原则。当π是期望值保费原则，即π（X）=（1+θ）e[X]和θ时，出现了两个最优再保险条约重合的明显情况≥ 这里我们得到πnXi=1fi（Xi）=nXi=1πfi（Xi）这意味着全局优化问题会分解为局部优化问题。注意π不是平移不变的。5.2. 共单调性和共单调添加剂π。另一个简单的例子是当风险X，Xnhave the upper Fr'echet copula andπis comonotone additive（Xnhave the upper Fr'echet copula，π是一个单子加法）。Wangpremium原则是例如科莫酮添加剂（参见例[24]）。对于风险X∈ l定义为π（X）=（1+θ）Z∞g（SX（x））dx，其中g：[0，1]→ [0，1]随着g（0）=0和g（1）=1的增加，是失真函数和θ≥ 在这个设置中，我们再次得到πnXi=1fi（Xi）=nXi=1πfi（Xi）因为fiare在增加，所以保留copula。5.3. 独立风险和指数溢价原则π。假设风险X，Xnare独立，π是指数溢价原理，即π（X）=γlogE[EγX]其中γ>0是风险敏感性参数。在此设置中，我们再次获得πnXi=1fi（Xi）=nXi=1πfi（Xi）这意味着全局优化问题会分解为局部优化问题。对于其他应用，π也称为熵风险度量。再保险网络中的最优风险分配135.4。

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2022-6-2 16:16:50

单个风险度量值为风险值，π为Lipschitz，常数为1。当所有保险公司用风险价值衡量其留存风险时，我们从定理4.3中了解到，它有助于找到有限维优化问题的最优解（a，…，an）（minnxi=1ai+πnXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- 哎}！s、 t.0≤ 人工智能≤ V aRαi（Xi），i=1，n、（5.2）为了获得最优保险协议，fi（x）=min{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}，i=1，n、以下命题表明，可以独立于特定的copula和边际分布X=（X，…，Xn）以及再保险公司使用的特定保费原则，获得一般解。提案5.1。如果所有保险公司都使用风险价值和π满意度（A1），并且是常数为1的Lipschitz，则（4.5）的最优解为（a，…，an）=（0，…，0），因此再保险处理fi（x）=min{x，V aRαi（Xi）}，i=1，是（3.3）的最优解。证据让我们用q（a，…，an）=nXi=1ai+π来表示目标函数nXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}.我们证明了Q是增加的，这意味着断言。首先，注意函数min{（x-ai）+，V aRαi（Xi）- ai}在aifor all x中减少∈ [0, ∞), i=1，n、由于前提π满足（A1），q（a，…，an）：=πnXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}是递减函数。现在让0≤ a=（a，…，an）≤ （b，…，bn）=b分量。用k·k表示上确界范数，用k·k表示L-范数。我们有Q（a，…，an）≤ Q（b，…，bn）<=> q（a，…，an）- q（b，…，bn）≤nXi=1bi- 人工智能<=> |q（a，…，an）- q（b，…，bn）|≤ kb- ak，（5.3），其中最后一个等效值保持不变，因为q是递减的≤ b、因此，有必要显示（5.3）。让我∈ {1，…，n}是任意的。

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何人来此

2022-6-2 16:16:53

对于x≥ V aRαi（Xi）它保持0≤ 最小{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（x- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}=V aRαi（Xi）- 人工智能- V aRαi（Xi）+bi=bi- ai（5.4）和x<V aRαi（Xi）0≤ 最小{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（x- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}=x个- 人工智能- x+bi=bi- ai，bi≤ xx号- 人工智能- 0≤ bi公司- 哎，哎≤ x<bi0- 0≤ bi公司- ai，x<ai。（5.5）14 N.B–AUERLE和A.GLAUNERIt遵循| q（A，…，an）- q（b，…，bn）|≤nXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（Xi）- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}≤nXi=1kmin{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（Xi）- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}k≤nXi=1bi- ai=kb- ak，正好是（5.3）。第一个不等式是由π的Lipschitz连续性引起的，第二个是由三角不等式引起的，最后一个是由（5.4）、（5.5）引起的。注意，每个单调和平移不变的保费原则都是常数为1的Lipschitz。定理5.1意味着社会最优与个人最优相一致。5.5. 事情不同的情况。在如此多的例子表明社会最优值与个人最优值一致之后，人们可能会想，如果不是这样的话，例子会是什么样子。因为我们想从分析的角度讨论这种情况，而不仅仅是从数值的角度，所以我们会做出一些假设来简化模型。提案5.2。假设ρ=…=ρn=ρ，ρ为正齐次和共单调可加，π为正齐次和次可加，X，Xnare具有相同的分布和对称的copula。然后，每当最优再保险协议f*, . . . , f*n∈ C存在，存在对称解f*= . . . = f*n=f*.证据让我们表示f的目标函数，fn公司∈ C byQ（f，…，fn）=nXi=1ρiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）！假设（f*, . . . , f*n）是最佳解决方案。我们将显示（f*, . . .

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2022-6-2 16:16:57

f*) withf公司*（x）：=nPni=1f*i（x）也是最优的。首先，不难看出，由于我们的假设，Q是对称的，即Q（f，…，fn）=Q（fσ（1），fσ（n）），其中σ是数字1，…，的任何置换，n、因此，我们得到了π的正齐次可加性和ρthatQ（f）的正齐次可加性和共单调可加性*, . . . , f*n） =n！XσQ（f*σ(1), . . . , f*σ（n））=n！Xσρ（X- f*σ（1）（X））+…+ρ（Xn- f*σ（n）（Xn））+π（f*σ（1）（X）+…+f*σ（n）（Xn））=Xσρ（n！X）-nf*σ（1）（X））+…+ρ（n！Xn）-nf*σ（n）（Xn））+π（n！f*σ（1）（X）++nf*σ（n）（Xn））≥ ρ十、-nXσf*σ（1）（X）+ . . . + ρXn公司-nXσf*σ（n）（Xn）再保险网络中的最优风险分配15+πnXσf*σ（1）（X）++nXσf*σ（n）（Xn）= ρ十、- f*（十）+ . . . + ρXn公司- f*（Xn）+ πf*（十） +…+f*（Xn）= Q（f*, . . . , f*).因此，使用f*对于所有保险公司来说，再保险协议也是最优的。为了证明社会和个人的最佳状态是如何不同的，我们考虑了相同分布的二元风险，例如定期人寿保险。由于ρ和π的正均质性，我们可以假设所有保险公司的伯努利分布。描述此类风险依赖结构的标准方法是伯努利混合模型：我们假设单个风险可以分解为一个共同的经济（或系统）风险因素z∈ （0，1）和独立的特质成分，即letX，Xn | ZID~ 箱子（1，Z）。作为风险度量，对于i=1，…，我们采用ρi=V aRα，n和一大类Wang保费原则π（X）=（1+θ）Z中的任意保费原则∞g（SX（x））dx，具有凹畸变函数g。它保持sv aRα（Xi）=（1，α<E[Z]0，α≥ E[Z]对于i=1，n、排除一般情况，我们假设α<E[Z]。我们的示例完全符合命题5.2的假设。因此，有必要考虑最优再保险问题的对称解（3.3）。

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2022-6-2 16:17:00

根据定理4.3，我们必须解出min na+πnXi=1min{（Xi- a） +，1- a} 哦！使0≤ 一≤ 1、设置N=Pni=1Xi。很容易看出P（N=k）=nk公司Rzk（1- z） n个-kdFZ（z）=：pn，k。显式计算保费原则，得出πnXi=1min{（Xi- a） +，1- a} ！=(1 - a） πnXi=1Xi！=(1 - a）（1+θ）Z∞g（SN（x））dx=（1- a）（1+θ）nXk=1gnXj=kpn，j因此，如果1>（1+θ）nnXk=1g，则完全放弃所有风险是社会最优的nXj=kpn，j另外，不购买再保险。考虑到单个最优值（n=1），一个获得相应的割让条件1>（1+θ）g（p1,1）=（1+θ）g（E[Z]）。16 N.B–AUERLE和A.Glauersion g是凹的，我们有nNxk=1gnXj=kpn，j≤ g级nnXk=1nXj=kpn，j（5.6）=g新西兰∞SN（x）dx= g级东北[北]= g（E[Z]）。无论何时（5.6）是严格的，都可能发生这样的情况，即一个理性的个体保险人保留全部风险，即使社会最优的割让。参考文献【1】Albrecher，H.、J.Beirlant和J.L.Teugels。再保险：精算和统计方面，约翰·威利父子公司，奇切斯特，2017年。[2] Arrow，K.《不确定性与医疗福利经济学》。《美国经济评论》，53（5），941973，1963。[3] Asimit、A.V.、A.M.Badescu和A.Tsanakas。保险集团的最佳风险转移。《欧洲精算杂志》第3（1）期，第159-190页，2013年。[4] Boonen、T.J.、K.S.Tan和C.Zhuang。最佳再保险保险中代表性再保险人的作用：数学与经济学70196-2042016。[5] 确定最佳止损再保险金额的尝试。《第16届国际精算师大会交易》，1597-610，1960年。[6] Balb\'as、A.、B.Balb\'as和A.Heras。具有一般风险度量的最优再保险。保险：MathematicsandEconomics 44（3），374-3842009。[7] B？auerle，N.和A？M？uller。随机顺序和风险度量：一致性和界。

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能者818

2022-6-2 16:17:04

《保险：数学与经济学》，38132-1482006年。[8] Block、H.W.、T.H.Savits和M.摇晃。使用随机排序的负相关概念。《统计与概率快报》3，81-861985。[9] Cai，J.、C.Lemieux C.和F.Liu。从保险人和再保险人的角度来看，最优再保险。ASTIN公告46（3），815-8492016。[10] Cheung，K.C.、K.C.J.Sung和S.C.P.Yam。多元风险的风险最小化再保险保护。《风险与保险杂志》81（1），219-2362014。[11] Chi，Y.和H.Meng。两个再保险人在场时的最优再保险安排。《斯堪的纳维亚纪事杂志》5244-4382014。[12] Chi，Y.和K.S.Tan。具有一般保费原则的最优再保险。《保险：数学与经济》52（2），180-1892013。[13] Cai，J.和W.Wei。具有正相关风险的最优再保险。保险：数学与经济50，57-632012。[14] Deelstra，G.和G.Plantin。风险理论与再保险。Springer，伦敦，2014年。[15] Embrechts，P.、H.Liu和R.Wang。基于分位数的风险分担。https://ssrn.com/abstract=274414292016年[16]Filipovi\'c，D.和G.Svindland。法律和现金不变凸函数的最优资本和风险分配。《金融与随机》12（3），423-4392008。[17] Kiesel，S.和L.R¨uschendorf。关于最优再保险问题。应用数学40，259-2802013。[18] Kull，A.《分担风险——一种经济视角》。ASTIN公告39（2），591-6132009。[19] M¨uller，A.和M.Scarsini。随机向量与公共copula的随机比较。《运筹学数学》，26723-7402001年。[20] M¨uller，A.和D.Stoyan。《随机模型和风险的比较方法》，John Wiley&Sons，Chichester，2002年。[21]鲍尔斯，M.R.和M.舒比克。再保险和转分保理论。

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