股票指数动态的弹簧块类比

2022-5-6 21:29:52

股票指数Bulcs’S’andora，c，Zolt’an N’eda动力学的弹簧块类比*,b、 Cainstitute f¨ur Theoretische Physik，歌德大学，法兰克福美因大学，德国博利亚大学，物理系，Cluj Napoca，罗马尼亚教育学院，塔塔布安雅，亨加里亚BStracta弹簧块链放置在运行的传送带上，用于模拟在股票指数动力学中观察到的程式化事实。单个股票由区块建模，而股票相关性是通过作用在弹簧上的简单弹性力引入的。移动带的拖拽效应对应于预期的经济增长。弹簧块系统产生集体行为和类似雪崩的现象，类似于股市中观察到的现象。为spring区块链定义了一个人工指数，并将其动态与道琼斯工业平均指数进行了比较。对于某些参数区域，该模型定性地再现了对数指数、对数收益、对数收益分布、雪崩规模分布和投资期限分布的动态。该模型的一个显著成功之处在于，它能够解释在逆统计中观察到的增益-损失不对称性。我们的方法主要具有教育学价值，在复杂的社会经济现象和物理学的基本（机械）模型之间架起桥梁。关键词：股票指数动态，弹簧块模型，程式化事实1。引言弹簧块（SB）模型长期以来被用于物理和工程中的复杂现象建模。Burridge和Knopo off[1]介绍了该模型族，用于描述地震震级后的分布。在其原始版本中，一个由弹簧连接的一维块链被放置在一个运动平面上。

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2022-5-6 21:29:55

块体在此平面上自由滑动，受速度相关摩擦力的影响。所有挡块都通过附加弹簧连接到第二个平面，该平面处于静止状态，并放置在弹簧挡块链的上方。该系统旨在描述两个相对运动的板块，表现出复杂的粘滑动力学。在这种方法中，块体的滑动运动将导致能量耗散，而复杂的类似雪崩的动力学将产生雪崩中耗散的能量的无标度分布。该模型表现出复杂的动力学和自组织临界性（SOC）[2,3]。这个非常简单的物理系统由一组块体组成，这些块体与弹簧相互连接，并放置在摩擦表面，因此产生了许多有趣的应用。它成功地再现了泥浆、粘土或薄层涂料[4,5]中的干燥模式和裂纹形成动力学，湿纳米球[6]或纳米管[7]阵列中的自组织模式，甚至玻璃[8]中获得的裂纹结构。它用于描述Porteville-Chatelier效应[9]和铁磁体中的磁化现象，包括巴克豪森噪声[10]。除了在物理学中的应用，弹簧块模型也得到了一些跨学科的应用。在单车道公路交通[11]中形成交通标志，或在限定的地理空间中检测类似区域的结构[12]，都是这种意义上的近期应用。

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2022-5-6 21:29:58

继续这一系列研究，这里我们打算考虑一个简单的一维弹簧块链，以揭示一个在教学上有用且有趣的类比，与股票指数的动态。*通讯作者。电子邮件地址：zneda@phys.ubbcluj.ro（Zolt\'an N\'eda）2018年11月11日向Physica A提交的预印本此处将考虑模型的最简单版本，文献中称之为“火车模型”[13]。如图1所示，弹簧块链放置在运行的传送带上，以便第一个块用弹簧固定到外部静态点。由于传送带的拖拽作用，链条拉紧，出现复杂的粘滑动力学。在之前的理论和实验研究中，都考虑了单独一个区块[14、15、16、17、18、19]的情况，以及由几个区块[14、16、20、21、22、23、24、25]形成的链的情况。许多作者观察到混沌动力学和SOC共存[14,25]。非线性是通过摩擦力引入模型的。考虑了几种摩擦力，从速度减弱摩擦力与恒定静摩擦力[14,22,24]结合到简单的状态相关摩擦力[18,25]。我们在这里的目标与之前的研究有很大不同。我们没有映射这样一个系统的动态复杂性，而是采取了不同的方法，将该系统作为一个简单的类比来建模股票指数的动态。图1：使用的弹簧块系统。由弹簧常数为k的弹簧连接的质量块m被放置在以恒定速度u移动的传送带上。股票指数的动力学一直是物理学家关注的焦点[26]。

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2022-5-6 21:30:02

金融市场中存在的许多系统化事实（参见示例[26]）引起了统计物理界的兴趣。许多简单的模型被用来重现价格/指数波动的统计特征（综述见示例[27]）。确切地说，其中最基本的方法是应用于对数指数的简单随机游动（或布朗动力学）模型[28]。该模型被称为几何随机游走模型[29]。股票价格的动态可以通过简单的几何随机游走来接近，这是关于金融市场最有趣的经验事实之一。这个简单的模型最早是由法国数学家路易斯巴切利尔在1900年初提出的，自那以后一直存在激烈的争论。对该模型最重要的支持来自一个实验事实，即股票收益的波动性在长期内趋于近似恒定。虽然该模型无法解释指数或股价波动的许多重要统计方面（如时变波动率[30，31]，一些正自相关的证据[32]，或正回报水平和负回报水平的投资期限分布不对称[33]），但它的简单性和直观性使其在教学上很有用。它可以被视为通过数学和物理的一般模型理解股票指数动态性质的第一步（零阶模型）。与随机游走类似，SB系统也是一个一般的物理模型，适合优雅地捕捉股票指数动态的普遍趋势。虽然这两种现象背后的物理图景（弹簧块链的运动和股票指数的动态）相当不同，但可以在它们之间进行简单而有用的类比。

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2022-5-6 21:30:05

这一类比可能有助于教学原因和理解某些程式化事实。我们的动机不是给出一个比现在使用的Drather复杂方法性能更好的模型[34]。与此相反，我们关注的是模型的简单性和可视性，提供了先于基本随机行走方法一步的人猿学图像。本文的其余部分是关于股票指数的动力学和简单的弹簧-块-链系统之间的类比，以及讨论这种方法的建模能力。2.股票指数动态的程式化事实股票和市场的表现，以及一个地区或州在一定时间内的经济表现，传统上是通过r的分布来衡量的t（t）对数回报[33]，它给出了在一定时间内产生的回报t时间段。对于股票市场指数，它被定义为固定时间内价格变化的自然对数t时间间隔：rt（t）=s（t+（t）- s（t）=lnS（t+t） S（t）（1）其中S（t）=ln（S（t））是对数指数（S（t）是指数的值或股票的价格）。对数回归表示对数指数或股票价格在固定时间间隔内增加或减少的程度，从而表示公司的经济表现。除此之外，使用对数返回的优点在于它是一个累加量。以下金融时间序列为道琼斯工业平均指数（DJIA）。从1928年10月1日起，我们处理大约80年（超过20000个交易日）的每日收盘价。至2011年2月1日。我们选择了DJIA索引，因为这是最古老的连续运行索引，可以从互联网上免费下载。

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2022-5-6 21:30:08

该指数显示了总部位于美国的30家大型上市公司（如通用电气、IBM、微软、麦当劳、可口可乐等）在股市标准交易时段的交易情况。道琼斯工业平均指数的价值可以简单地计算出来，虽然它不是组成股票价格的实际平均值，而是组成股票价格除以除数的总和，每当其中一个组成股票出现股票分割或股票分红时，除数就会变化，从而为指数生成一致的价值[35]。如图2所示。显示了道琼斯工业平均指数的日收益时间序列（这意味着我们考虑t=1天的时间间隔）。图2:1928年10月1日起，道琼斯工业平均指数作为交易日函数的日对数收益率。至2011年2月1日。巨大的负值表明市场崩溃时发生的事件。r（t）日对数收益率的标准差称为波动率。σ波动率是衡量金融工具（如股票）价格变化的一种指标，因此，在波动率较高的情况下，出现较大价格波动的可能性较高，从而产生较大的收益或损失。就道琼斯工业平均指数而言，dailylog收益率的历史波动率约为σ=0.011，即σ≈ 1%.对数回报率的分布衡量的是在时间t时进行的初始投资在时间t+时获得或损失了多少T

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2022-5-6 21:30:11

实证结果表明，收益率的分布可以近似为高斯分布，尽管存在有意义的差异，例如厚尾的存在[26,28,33,36]。与主流理论金融[26,28,37]中的假设高斯统计相比，厚尾对应着更大的价格变化概率。Simonsen等人[33]最近提出了经济学中的逆统计方法，这一方法受到了早期湍流研究[38]的启发。该方法被用作衡量金融市场绩效的替代方法。我们的想法是扭转这个问题，提出一个相反的问题：在价格[33]中生成给定大小的波动的典型等待时间是多少？为此，我们必须确定指数或股票的τρ时间间隔分布，以获得预先确定的ρ回报水平。因此，我们寻找最短的tinterval，这是真的：rt（t）>ρ，如果ρ>0，（2）orrt（t）6ρ，如果ρ<0。（3）实际上，如果给定股票或指数的固定ρ对数回报屏障（由投资者提出），以及固定的投资日期（当投资者购买某些资产时），则估计相应的时间跨度，股票或指数的对数回报首次达到ρ水平。这也被称为通过水平ρ[33]的首次通过时间。在数学公式中（对于ρ>0），这相当于：τρ=inf{t>0 | rt（t）>ρ}。（4）在文献中，该τρ时间被称为该股票或指数的拟议ρ对数回报的投资期限[33]。投资期限表明，对于投资者来说，如果投资是在时间t之前进行的，他必须等待τρ时间间隔，以在t+τρ时实现建议的ρ（e.q.5%）对数回报。

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2022-5-6 21:30:14

第一次通过时间累积值的标准化直方图形成投资期的pρ（τ）概率分布函数。上述方法称为逆统计法。DJIA指数的投资期限分布如图3所示。分布函数的最大值决定了该对数回报的最可能等待时间，或者换句话说，最可能的投资期限。这是该股票或指数的最佳投资期限。第一段分布还提供了有关潜在资产价格随机性的信息[39,38]。负指数的回归指数ρa=-5%），研究发现[37,40]投资期限的分布与正水平的分布相似（具有明显的最大值），尽管存在一个重要差异。对于负收益水平，概率分布函数的最大值向左移动，产生大约τρ≈ 最佳投资期限内的15个交易日差异。图3显示了ρ=+5σ和ρ=-5σ日志返回。后来人们发现，每个重要的股票指数都存在逆统计的不对称性，因此股票市场呈现出一种普遍的特征，称为损益不对称[37]。与指数相反，股价表现出较小程度的不对称[41,42]。有人提出了最小模型来解释这一明显的悖论。其中的一个模型被称为非公平因素模型[43,40]。在这个模型中，引入了一个类似同步的概念，即所谓的恐惧因子。在某些时候，这种恐惧因素的存在会导致股票全部下跌，而在其他时候，它们彼此独立。

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2022-5-6 21:30:17

通过这种方式，恐惧因素模型假设下跌的市场比上涨的市场具有更强的股票相关性[42]。最近，恐惧因素模型的概念被推广到允许更长时间的股票相关性[41]。Balogh等人[42]通过对道琼斯工业平均指数及其组成股票进行一系列统计调查证明，在下跌的市场中，确实存在更强的股票相关性。这一实证结果证实了恐惧因素假说。收益-损失不对称的另一个解释是简单的单因素模型[44]和包含杠杆效应的受挫折影响的市场模型[45]。最近，D.Sornette[46]的研究小组也对这个问题进行了研究。弹簧块类比我们考虑图1所示的简单一维SB系统，在文献中称为“列车模型”[13]。弹簧块链由N个相同的块组成，放置在以恒定速度移动的平台（传送带）上。第一块由弹簧连接至静态外部点。因此，由于移动平台的拖拽效应，区块将经历复杂的粘滑动力学[25]。0.0020.0040.0060.0080.010.0120.0141 10 100τ[天]ρ=-5σρ=+5σ图3:DJIA正收益和负收益水平收盘价的投资期限分布。pρ（τ）概率分布函数以τ交易日为单位，标准水平为|ρ|=5σ≈ 0.05（即5%的回报率）[33,41]。对于正回报，我们注意到该函数的最大值约为τρ=25个交易日，这是产生最低5%回报的最可能时间。

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2022-5-6 21:30:21

对于这两个收益值，概率分布函数的特征是一个单一的最大值，尽管最优投资期限发生了变化，这在文献中被称为损益不对称[37]。当传送带以u速度启动时，整个系统与传送带一起移动，直到第一块开始滑动。当作用在块体上的弹性力之和超过静摩擦力（Fst）的最大值时，就会产生滑动力矩。滑动运动由动力摩擦力调节。当相对速度vr=vi时，挡块再次粘附在皮带上- u变成零。之后，该过程可能会再次开始（有关弹簧块系统动力学的amovie可参考[48]）。在这里进行的类比中，单个股票的价格可以建模为区块的xi（t）位置，从外部静态点测量。例如，如果我们想对代表30只大型美国股票经济状态的道琼斯工业平均指数（DJIA index）进行类比，那么模型中将考虑由N=30个区块组成的链。由于人们可以根据股票在指数中的价格在股票之间建立一个排名，因此链中各区块之间预先存在的顺序并非完全无关。当然，股票的价格排名会随着时间的推移而变化。相应的事件是，块体相互穿过，但在这个简单的模型中没有考虑这种非物理现象。在我们的模型框架中，X（t）指数的值被定义为系统的质心，在静态坐标系中测量：X（t）=PNi=1xi（t）N.（5）通过弹簧作用于块之间的弹性力对应于股票相关性。传送带通过摩擦力作用于系统。

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2022-5-6 21:30:24

皮带施加的拉力模拟了增长的愿望，这是所有公司和社会都期待的普遍趋势。对于较小的皮带速度，粘滑动力学将导致不同尺寸的“雪崩”。因此，链的长度（由最后一个区块的位置xN确定）随时间变化，振幅变化很大，如图8所示。a、参考文献[25]。当所有股票价格以相关方式下跌时，这种自组织行为会导致指数价值急剧下降[42]。为了解释指数持续上升时的随机跳跃，以及观察到的正对数回报的肥尾分布，皮带的u速度是随机变化的（更多细节见附录A）。使所提出的类比起作用的一个重要因素是在X（t）的动力学中选择采样时间。金融时间序列（在我们的例子中是道琼斯工业平均指数）代表了大约80年的每日收盘价格。与文献中的许多其他研究类似，本研究未考虑该指数的日内变异性。因此，在弹簧块类比中，除了动力学的显著连续时间外，我们还需要定义一个离散时间步。为此，模拟的时间序列需要以明确的频率进行采样，以这种方式产生一个离散的时间序列，该时间序列应对应于一个交易日间隔。该采样频率将影响Spring block模型生成的人工指数中测量的波动率。

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2022-5-6 21:30:27

由于道琼斯工业平均指数的对数收益波动率已知，我们可以通过施加该实验值来确定模型中的抽样区间（见附录A）。该模型中引入的类比的力量在于，X（t）动力学与观察到的股指动力学有许多相似之处。附录A.4中给出了弹簧块链的动力学、计算机模拟和使用参数的详细信息。模型结果与历史股市数据对比考虑到附录A中规定的模拟参数和附录B中描述的积分方法，我们现在比较SB训练模型和DJIA指数测量的统计结果。选择参数值是为了以最佳方式再现DJIA测量的所有程式化事实。当然，人们可以选择其他参数，这些参数将为某些统计指标带来更好的结果，但在这种情况下，其他指标将获得更大的差异。然而，我们记得，我们在这里声明的目的并不是对股票指数的动态给出区域性的描述，因此，用这样一个简单的力学方法无法重现股票指数动态的所有观察到的统计特征也就不足为奇了。9.29.39.4DJIA17700 17800 17900 18000 18100 18200t[天]8.28.38.4弹簧块图4：DJIA对数指数动态和弹簧块模型得出的对数指数（ln[X（t）]的相同大小（500天）的样本。在图4中，我们展示了DJIA的对数指数（s（t））与SB模型生成的对数指数（ln[X（t）]）之间的首次视觉比较。尽管人们可以观察到视觉上可察觉的统计差异，但结果还是很有希望的。

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2022-5-6 21:30:30

如果我们分析这些股票的对数收益率，也可以得出类似的结果t=1天（图5）。如果我们绘制对数指数的分布函数（图6），则通过目视检查对数回报所检测到的差异和相似性更好地说明。从对数图可以得出结论，在传送带的随机驱动下，SB模型成功地再现了高返回值下观察到的幂律尾。然而，在低回报限额方面存在显著差异。与我们的SB方法相比，DJIA的分布函数似乎更窄，不对称性更小。为了进一步进行统计比较，可以构造DJIA和SBIA模型的雪崩大小分布。雪崩被定义为时间矩与t之间指数的连续单调下降。雪崩指数变化的分布( = S（t）-S（t）代表DJIA和 = X（t）-X（t）对于B模型）生成雪崩大小分布。测量结果如图7所示。正如预期的那样-0.050.05DJIA11400 11600 11800 12000t[天]-0.050.05spring-Block图5：对数回报率之间800天时间段的视觉比较（对于在DJIA数据和spring区块模型中，t=1天）。±0.001 0.01 0.1rt=1>0弹簧块-0.01-0.1rt=1<00.00010.0010.010.1图6：正对数收益和负对数收益的分布(t=1天），用于DJIA指数和SBA模型生成的艺术指数。在这两个系统中都有许多小的雪崩，其中一个会发现一些非常大的雪崩。这种情况是自组织临界性的特征，这似乎是两个系统都具有的特征。

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2022-5-6 21:30:35

这两个分布函数非常相似，尽管SB模型的趋势比DJIA的情况更复杂。最后，我们考虑反向统计，即固定对数回报值的投资期限分布。我们考虑了相同的ρ=+5σ和ρ=-DJIA指数（图3）的5σ对数返回值和SB模型的结果绘制在图8中。SB模型成功地再现了真实股指数据中观察到的损益不对称性。虽然这些曲线的最大值位置移动了几天，但曲线的形状和投资范围内的不对称性是相似的。因此，SB模型也能够揭示股票指数的这种微妙的统计特征。5.结论考虑了一种简单的力学类比来模拟股票指数的动力学特征。一组由弹簧连接的块体被用作模型10 100 1000 10000，这些块体受到运行传送带的连续驱动0.00010.0010.010.1spring-Blockdjia图7:DJIA指数动态和弹簧块模型中的雪崩大小分布。1100 1000τ0.0050.010.0150.020.0250.03ρ=+5σρ=-5σ图8：考虑|ρ|=5σ，弹簧块模型生成的艺术指数的投资期限分布≈ 0.05（即5%的回报率）。将结果与DJIA指数的结果进行比较（图3）。股票指数系统。与最近报道的大量模型相反，我们的目标是截然不同的。我们没有考虑与经济相关的复杂描述，而是测试了一个普遍而简单的物理模型：弹簧块系统的适用性。

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2022-5-6 21:30:38

我们所做的类比是有充分动机的，强调了个别股票价格与其集体行为之间的联系。我们已经确定了模型的驱动（传送带的速度）和自由参数，以便DJIAstock指数已知的大多数程式化事实都能合理地重现。在判断我们的方法的成功或失败时，我们还必须考虑这样一个事实，即我们并没有像最近文献中提出的大多数模型那样，只关注少数几个和选定的程式化事实。相反，我们考虑了道琼斯工业平均指数（DJIA stockindex）的所有已使用和可测量的统计特征，试图用固定的参数集将它们作为一个整体重现。引入的模型的一个重要结果是，它解释了在逆静力学中观察到的令人困惑的增益-损耗不对称现象，并且该模型也很好地描述了雪崩尺寸分布曲线。尽管在定性地再现指数动态的已知统计特征方面取得了成功，但内部统计数据显示出明显的差异。我们认为这是正常的，因为人们不能指望从这样一个简单的机械类比中对一个复杂的社会经济现象有更深的理解。总之，我们认为，本文介绍的模型主要对经济物理学的跨学科领域具有教学价值。它提供了一个吸引人的力学类比，让物理学家在股票市场中研究集体现象。确认该研究得到了欧盟和匈牙利州的支持，由欧洲社会基金会在T\'AMOP 4.2.4的框架内共同资助。A/2-11-1-2012-0001国家卓越计划。附录A.弹簧块系统的动力学细节我们考虑由N个相同质量块m形成的链。

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2022-5-6 21:30:41

块体由相同的弹簧连接，弹簧常数为k，长度为l。计算机建模面临的挑战是摩擦和弹簧力的量化，以及运动方程的数值积分。m=1、k=1和l=50时使用无量纲单位。选择l的值是为了便于图形显示（弹簧长度对应于50像素）。为了使这些无量纲值符合实际实验情况，单位选择为：[m]=0.1158 kg（质量），[k]=19.8 N/m（弹簧常数），[l]=1.4·10-3米长。其他数量的单位遵循尺寸考虑。因此，时间、速度和力的单位是[t]=√[m] /[k]=0.0765秒，[u]=[l]/[t]=0.0183米/秒，[F]=[k].[l]=0.0277牛顿。链的第i块的运动方程是¨xi=Fe(L-) - Fe(l++Ff弗瑞(L-) - Fe(l+）, （6）在哪里L-= xi- xi-1.- 50和l+=xi+1- xi- 分别为50和Vr表示块体相对于传送带的相对速度。弹性力Fe和摩擦力Ff定义如下。用于积分运动方程的数值方法见附录B，时间步长选择为dt=0.01时间单位。弹簧中的弹力是线性的，达到一定的变形值，lmax。对于更高的变形，这种依赖关系被假定为指数，负变形的指数（模量）更大（见图9）。因此，Fe(l）=lmax+beb(|l|-lmax）-b、如果l<-lmax，-l、如果- lmax6l 6lmax，-[lmax+beb(|l|-lmax）-b] ，如果l>lmax，（7）我们选择的地方lmax=20，b=0.2l<0，b=0.01l>0。

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2022-5-6 21:30:44

由于考虑了弹簧力的非线性，避免了块体之间的碰撞，因此有了这些选择，该模型对于实验实现来说是非常现实的（参见示例[25]）。同时，我们还没有对这些参数进行系统的更改。对于与速度有关的摩擦，使用简单的库仑摩擦定律。静摩擦力和动摩擦力都与速度模量无关。在合力fexe超过静摩擦力Fst的值之前，块体保持在斗杆状态。对于较高的外力值，块体在存在动摩擦力Fk时开始滑动。我们假设，静摩擦力和动摩擦力之比Fk/Fst=Fst是常数。作用在滑车上的摩擦力F既取决于S（vr），其中S（·）是符号函数，vr是滑车相对于传送带的速度，也取决于作用在滑车上的合力值。在我们的1D设置中，摩擦力方向仅由符号Ff（vr，Fex）给出=-如果vr=0，|Fex |<Fst，-S（vr）fsFst，如果vr，0，（8），其中vr=v-u和v是试块相对于实验室框架的速度。为了使用与我们之前实验[25]中相同的摩擦力值，在无量纲单位中，静态摩擦力取Fst=71.4，我们认为fs=0.45-150-100-50-40 -20 0 20 40 60 80 100lFe(l）理想弹簧现实弹簧图9：本研究中使用的非线性弹簧力模型，与理想弹簧力模型进行比较。为了再现对数收益的经验测量厚尾（幂律）分布，传送带的速度随机变化，呈幂律分布，在u∈ [5100]速度间隔。

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2022-5-6 21:30:48

幂函数的指数被选择为α=-3.0. 通过这种方式，该模型再现了实证测量的正收益和负收益的幂律分布[47]。假设DJIA对数收益率的日波动率与我们的模型给出的日波动率相同，我们确定了X（t）动态的δt采样时间。在我们的模拟单元中，我们得到了δt=5（500个积分步）。在这个采样频率下，艺术指数的对数收益率波动率变为σa=0.011，对应于高达三位小数的经验值。附录B——运动方程的数值积分此处简要描述了用于积分运动方程（6）和处理块体不连续粘滑动力学的方法。当一个块体粘在传送带上时，它会在恒定的ELOCITY u处与之一起移动。因此，第i个块体相对于地面的位置通过simplexi（t+dt）=xi（t）+u·dt（9）方程计算。当块体相对于皮带滑动时，基本的Verlet方法xi（t+dt）=2xi（t）- xi（t）- dt）+ai（t）dt+O（dt）（10）用于更新其位置。可以看出，这是一种三阶方法，它也可以扩展到速度空间：vi（t+dt）=xi（t）- xi（t）- dt）dt++dt[11ai（t）- 2ai（t- dt）]+O（dt）。（11）当相对速度Vrich改变其符号时，发现第i个块粘在皮带上，而当作用在其上的外力总和超过静摩擦力的最大值时，即当-Fst>0。还开发了一种更复杂的随机数值方法来处理粘滑动力学，但发现该方法不会显著改变所给出的结果[25]。参考文献[1]R.Burridge和L.Knopo Off，Bull。地震。Soc。Am，第57卷，341371（1967年）。[2] P。

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2022-5-6 21:30:51

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