贝叶斯-贝塔-马尔可夫随机场的术语结构校正

2022-5-6 21:40:05

隐含风险中性密度期限结构的贝叶斯贝塔-马尔可夫随机场校准Roberto Casarin+Fabrizio Leisen+German Molina§Enrique ter Horst+k+意大利福斯卡里大学肯特大学爱达利资本集团美国CESA&IESA，哥伦比亚和委内瑞拉Abstractwe建立在Fackler和King（1990）的工作基础上，并提出了隐含风险中性密度的更一般的校正模型。我们的模型允许通过贝叶斯动态贝塔-马尔科夫随机场在不同的温度和日期对一组密度进行联合校准。我们的方法考虑到具有相同成熟度的密度之间可能存在的时间依赖性，以及在同一时间点跨成熟度的依赖性。这种解决问题的方法包括模型灵活性、参数节约，更重要的是，跨密度的信息共享。关键词：贝叶斯推理，贝塔随机场，交换梅托利斯-黑斯廷斯，马尔可夫链蒙特卡罗，风险中性度量。1简介在金融数学中，通常将股票价格建模为几何布朗运动（GBM），在物理概率测度P下，平均漂移等于u。为了在下面的K对应作者：fabrizio上对期权进行定价。leisen@gmail.com.作者的名字是字母表icalorder。资产，必须对资产流程进行测量变更，以使其风险中性，这意味着它使所有投资者在风险偏好方面保持中性。这种概率测度被称为Q（Delbaen和Schachermayer，2011）。在一般的参数随机过程模型中，从P到Q的度量变化的数学问题带来了技术问题，主要是由于Q的不存在或其非唯一性（Delbaen和Schachermayer，2011；Boyarchenko和Levendorskii，2002）。

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nandehutu2022

2022-5-6 21:40:08

当从常规GBM到跳跃扩散或几何L’evy过程设置（Tankov和C ont，2003）时，Q的唯一性无法保证，埃舍尔变换等几种方法被用来规避这些限制（埃舍尔，1932；格伯和肖，1994）。经济学文献显示，人们对非参数隐含风险中性敏感度的兴趣越来越大（Fackler和King（1990）；Lai（2011）），因为它们都允许衡量经济主体对未来的看法，以及他们的经济预期（Bliss和Panigirtzoglou，2004年；Rodriguez和ter Horst，2008年），并且还提供了此类风险中性密度的最优估计（Lai，2011年）。Fackler和King（1990）的风险中性密度校准程序，是根据对作为基础的感兴趣变量的观察从衍生价格中提取的，允许我们获得此类变量的密度预测。密度预测现在被广泛应用于许多应用经济环境中，更具体地说，隐含风险中性密度的非参数校准现在被用于宏观经济学中，以生成对通货膨胀和利率的预测（见Bhar和Chiarella（2000年）、Carlson等人（2005年）、Vincent Humphr eys和Noss（2012年）、Vergote和Guti’errez（2012年）、Vesela和Guti’errez（2013年），Sihvonen和V–ah–amaa（2014年））。我们的贡献提供了对Radon-Nikodym导数的动态估计（Nikodym（1930）），它允许我们在P的参数估计上从Q的非参数估计移动到a n。

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nandehutu2022

2022-5-6 21:40:11

最后的结果为隐含的非参数风险中性和物理概率分布的术语结构提供了一个自然的建模框架，它解释了给定成熟度的不同到期日和不同日期的概率积分变换（PIT）之间可能存在的依赖性，而之前的校准方法缺乏这种普遍性，因为他们通常不会利用信息来源之间的不同依赖来源。概率积分变换由随机变量X的给定实现定义为PITt=Rxt-∞f（y）dy。由于凹坑属于单位间隔，我们的校准方法使用了Fackler和King（1990）建议的β密度。然而，我们在本文中将他们的方法扩展到了多成熟度、多期设置。为了解释时间和交叉成熟度的依赖性，我们提出了一个具有β密度的随机场模型，该模型描述了有关依赖性的数据的众所周知的特征。我们对时间（滞后）和空间（邻域系统）结构做了一些一般性的假设，这是获得一个简约模型所需要的。我们提供了一个合适的贝叶斯推理框架，允许我们在密度校准中包含参数不确定性。此外，使用分层先验分布不仅可以避免由于过度参数化而导致的潜在过度拟合，还可以实现不同到期日之间不同程度的信息共享。在经济学和金融学中，使用密度来预测感兴趣的质量是很常见的，最近的许多论文都集中在预测密度的组合和校准上。Hall和Mitchell（2007）、Geweke和Amisano（2011）考虑了最佳线性密度池，而Billio等人（2013）、Fawcett等人（2011）考虑了密度组合的更一般方法。

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2022-5-6 21:40:15

（2013年）和片麻岩与兰扬（2013年）。预测密度最佳组合的时间演化建模是这些论文中解决的具有挑战性的问题之一。在片麻岩等（2005）和片麻岩及Ranjan（2013）中，考虑了校准密度的iss ue，它们还建议使用白云岩来实现预测密度的连续变形，并获得校准良好的凹坑。校准良好的PIT定义为校准函数允许您在正确的目标分布（物理测量）下获得观察到的基础资产的累积概率分布，并产生统一的直方图（Fackler和King，1990）。尽管预测和财务文献中存在类似的问题，如密度校准和组合，但隐含的风险中性校准文献与预测校准文献有很大不同，因为第一种假设校准模型正在产生从风险中性获得物理测量所需的测量变化。我们的论文通过捕获关键特征的迫切需要的扩展为这一系列文献做出了贡献，因为它提供了一种联合校准密度的通用方法，允许跨不同预测密度（不同到期日的风险中性密度）汇集信息。最后，作为旁注，本文还对有界域上的mo-delling数据的文献作了更全面的贡献。我们的Bayesian-Beta-Markov随机场模型方法和推理过程是统计文献中最近提出的Bayesian-Beta-Markov随机场模型和推理的多元背景的原始扩展。见布兰斯库姆等人。

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nandehutu2022

2022-5-6 21:40:18

（2007）关于贝叶斯贝塔回归，Casarin等人（2012）关于贝叶斯贝塔自回归模型中的模型选择，以及其中的参考文献。虽然我们通过一个金融应用程序构建了我们提出的方法，但该模型和应用程序是通用的，可以用于需要更通用、多维校准方法的其他领域。论文组织如下：第2节介绍了密度校准问题，以及用于联合校准的贝叶斯贝塔-马尔可夫随机场模型。在第3节中，我们讨论了所提出模型的引用困难，并开发了一个后验计算的数值程序。在第4节中，我们通过模拟来研究我们估计过程的效率。在第5节中，我们提供了一个欧盟rodollar curren cy的应用程序，而第6节总结并讨论了潜在的扩展。2动态校准模型xt，τi，i=1，M、 t=1，T是一组基本的实现远期水平（到期时资产水平的市场隐含估计），在时间T时可用于不同的未来到期日τ，τM.设FQt，τi（x）和FPt，τi（x）分别表示风险中性和物理累积密度函数（cdf），FQt，τi（x）和FPt，τi（x）分别表示其概率密度函数（pdf）。我们假设以下节理变形模型fpt（xt，τ，…，xt，τM）=Ct（FQt，τ（xt，τ），FQt，τM（xt，τM））（1）式中，Ct:[0，1]M→ [0,1]，t=1，T是一系列变形函数。该模型可以用密度fpt，τ（xt，τ，…，xt，τM）=ct（FQt，τ（xt，τ），FQt，τM（xt，τM））MYj=1fQt，τj（xt，τj）（2），其中Ct是Ct对所有参数的混合偏导数。设yjt=FQt，τj（xt，τj），j=1，M

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2022-5-6 21:40:21

然后，为了建模不同日期预测密度的依赖关系，我们的建模假设是β-动态马尔可夫随机场（β-MRF）。设E=[0，1]为相空间，S={1，…，M}为对应于不同成熟度的有限场地集（见Bremaud（1999），第7章），则我们的β-MRF由以下局部规范定义：ct（y1t，…，yMt）=ZtMYj=1cjt（yjt|yN（j））（3）式中，yN（j）=ykt∈ N（j） S} N（j）是第八个Bourhood系统N的成员，CJTre表示联合校准函数Ct的第j个分量，Zt是一个标准化函数，可能取决于校准模型的参数，对于某些β-MRF邻域系统规范来说可能是未知的。对不同温度下密度之间的完全依赖结构进行建模，并考虑该结构中的时间变化，可能会导致模型参数化过度，从而导致过度拟合问题。因此，在本文中，我们考虑了节省的aβ-MRF模型。也就是说，我们假设一个时不变拓扑（S，N），并关注两个特殊的邻域系统。第一个是马尔可夫模型（j）= 如果j=1{j- 1} 如果j 6=1，第二个是邻近模型n（j）={2} 如果j=1{j- 1，j+1}如果j6=1，M{M- 1} 如果j=M将每个密度与两个相邻的成熟度密度连接起来。根据财务校准文献中的标准实践（例如，见Fackler和King（1990）），我们假设联合校准函数的第j分量是β分布的概率密度函数。

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2022-5-6 21:40:25

为了解释凹坑中可能存在的时间依赖性，我们让密度在成熟度τjto的β校准函数的参数取决于相同成熟度的凹坑的过去值。注：这种仅依赖于相邻密度的假设在金融应用中得到了很好的支持，其中，以相邻成熟度的矿坑为条件，矿坑独立于其他成熟度的矿坑（因为成熟时间重叠），并以给定成熟度的最近矿坑为条件，对于该成熟度，矿坑独立于其他矿坑（基础过程的基本马尔可夫假设）。我们在贝叶斯混合模型（例如，见Robert and Rousseau（2002）和Bouguila et al.（2006））和贝叶斯贝塔自回归过程（例如，见Casarin et al.（2012））cjt（yjt | yN（j））=Bjtyujtγjt中使用了β-pd fs的参数化-1jt（1- yjt）（1-ujt）γjt-1（4）bjt=Γ（ujt）Γ（ujtγjt）Γ（（1）- ujt）γjt）和ujt=~nα0j+pXk=1αkjyt-k、 j+Xk∈N（j）βkjyt，k（5） γjt=γj（6），带φ：r7→ [0,1]一个二次微分严格单调连接函数。我们假设一个逻辑函数。3.贝叶斯推断假设xt=（xt，τ，…，xt，τM）是一组不同性质的观测值，而xp+1:T=（xp+1，…，xt），则模型写入asL（xp+1:T |θ）=TYt=p+1fPt，τ（xt，τ，…，xt，τM）（7）=TYt=p+1ZtMYj=1Bjt（ujtγj，（1）- ujt）γj）FQt，τj（xt，τj）ujtγj-1.1.- FQt，τj（xt，τj）(1-ujt）γj-1fQt，τj（xt，τj）注意，这是一个伪似然，因为我们假设β-MRF的p初始值是已知的。为了完成我们的贝塔-马尔可夫随机场模型的描述，我们假设以下关于区域分布的分层规范。对于给定的j，j=1，M、我们假设αkji。i、 d。~ N（αj，sj）k=1，p（8）βkji。i、 d。~ N（βj，gj），k=1。

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kedemingshi

2022-5-6 21:40:29

，mj，（9）对于层次结构的第二级，我们假设γji。i、 d。~ Ga（ξ，ξ），j=1，M（10）αji。i、 d。~ N（α，s），j=1，M（11）βji。i、 d。~ N（β，g），j=1，M（12）α~ N（a，s）（13）β~ N（b，g）（14）其中mj=Card（N（j））是N（j）的元素数，Ga（ξ，ξ）表示den sityf（γ|ξ，ξ）=Γ（ξ）γξ的伽马分布-1exp{-ξγ}ξ此外，为了设计有效的后验模拟算法，我们重新参数化σj=log（γj），j=1，M.我们将定义参数向量θ=（θ，…，θM，α，β），其中θj=（αj，βj，σj，αj，βj），αj=（α0j，α1j，…，αpj）和βj=（β1j，…，βmjj）。先验分布的联合概率密度函数isf（θ）∝ 经验(-2s（α）- （a）-2g（β- b）-MXj=12s（αj）- α）（15）+2g（βj）- β） +（αj）- uj′S-1j（αj）- uj）+（βj- νj′G-1j（βj）- νj）)MYj=1exp{-ξ/2 exp（σj）}exp（ξ/2σj），其中uj=αjι（p+1），νj=βjιmj，单位向量为n维。先验协方差矩阵是Sj=sjI（p+1）和Gj=gjIm，具有n维单位矩阵。点后验分布可以表示为π（θ| xp+1:T）∝ 经验-TXt=p+1log Zt-TXt=p+1MXj=1log Bjt（16）+TXt=p+1MXj=1Ajtujt+对数（1- FQt，τj（xt，τj））exp（σj）f（θ），其中Bjt=Bjt（ujtexp（σj），（1- ujt）exp（σj））andAjt=log（FQt，τj（xt，τj）/（1- FQt，τj（xt，τj）））该模型的一个主要问题是归一化常数Zt，t=p+1，T，在似然函数和后验分布中是未知的，可能取决于参数。因此，用标准的MCMC程序很难获得π（θ| xp+1:T）的样品。例如，标准MH算法不能直接应用，因为接受概率涉及未知归一化常数的比率。在过去的二十年里，人们提出了各种近似方法，以避免棘手的归一化常数问题。最近，Moller等人。

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大多数88

2022-5-6 21:40:34

（2006）提出了一种辅助变量CMC算法，这是一种适用于具有难以处理的归一化常数的多个模型的可行模拟程序。Murray等人（2006年）成功改进了Moller等人（2006年）的单辅助变量方法。他们提出了交换算法，它消除了在采样开始前估计参数的需要，并且比Moller等人（2006）的算法具有更高的接受概率。不幸的是，单辅助变量和交换算法都需要从其条件分布中精确采样辅助变量，对于许多统计模型来说，这可能会在计算上非常昂贵。我们的β-MRF模型没有精确的模拟算法，因此，在本文中，我们遵循和替代路线，并应用Liang（2010）提出的双MH算法。双MH通过应用内部MH步骤来生成辅助变量，从而避免了精确的模拟步骤。假设我们有兴趣从条件分布L（zp+1:T|θ′）模拟辅助变量zp+1:T。如果样本是通过使用转移核Kθ′（z|x）对MH算法进行n次迭代生成的，则n步转移概率为nθ′（zp+1:T|xp+1:T）=Kθ′（xp+1:T|xp+1:T）·Kθ′（zp+1:T|xn-1:1:T）然后，默里等人（2006）2006年的交换算法的接受率的接受率写为：ρ（θ，θ，θ，zp+1:P+1:T:T+1:T）的交换算法的接受率写为：ρ（θ，θ，θ，2006年）的交换算法的接受率写为：ρ（θ（θ，θ，θ，θ，zp+1:P+1:T+1:T+1:T+1:T（T+1:T+1:T+1:T+1:T，xp+1:T（1:T）1:T1243:T（T）T）和（xp+1:T（1:T）T）的）T（3:T（1:T1243:T）和（3:T）和（10）的）的）T（10）的）的）的）的）的（xp（xp+1:T（10）+1:T）作为Metropolis转换内核，那么交换是一个MH步骤，具有转换Pnθ′（zp+1:T | xp+1:T）和目标分布L（zp+1:T|θ），等式17中的接受概率变成ρ（θ，θ′，zp+1:T|xp+1:T）=L（zp+1:T|θ）L（xp+1:T|θ）L（xp+1:T|θ′）L（zp+1:T|θ′）（18）假设MH链的当前值为θ（T）=），然后双MH采样器重复以下步骤1。

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2022-5-6 21:40:37

使用从θ开始的MH算法模拟π（θ）中的新样本θ′。生成辅助变量zp+1:T~ Pnθ′（zp+1:T | xp+1:T）并以公式183中给出的概率min{1，ρ（θ，θ′，zp+1:T | xp+1:T）接受它。如果接受辅助变量，则设置θ（t+1）=θ′，否则设置θt+1=θ。关于双MH中的第一个MH步骤，我们假设了一个多变量行走方案，即θ*~ N（θ（t），其中∧是N维正对角矩阵，N=（p+4）M+M+2。关于第二个MH步骤，我们考虑一个吉布斯采样器，该采样器从每个样本的完整条件分布中迭代生成样本。通过使用我们的动态随机场的马尔可夫性质，在选定的邻域系统中，第j个位置的完整条件分布，有条件地在剩余位置上是j的第八个位置的函数，即π（xt，τj | xt，τj）-1，xt，τj+1，θ）∝ （19） BjtFQt，τj（xt，τj）ujtexp（σj）-1.1.- FQt，τj（xt，τj）(1-ujt）exp（σj）-1fQt，τj（xt，τj）pYk=1Bj，t+kFQt+k，τj（xt+k，τj）uj，t+kexp（σj）-1.1.- FQt+k，τj（xt+k，τj）(1-uj，t+k）exp（σj）-1fQt+k，τj（xt+k，τj）Yi∈N（j）位FQt，τi（xt，τi）uitexp（σi）-1.1.- FQt，τi（xt，τi）(1-uit）exp（σi）-1fQt，τi（xt，τi）对于t=p+1，T和j=1，M.full条件不容易模拟，因此我们采用建议分布q（x | xt，τj）的MH步骤-1，xt，τj+1，θ）∝FQt，τj（x）ujtγjt-1.1.- FQt，τj（x）(1-ujt）γjt-1fQt，τj（x），可精确模拟如下：*~ Be（ujtexp（σj），（1-ujt）exp（σj））和x*= FQ，-1t，τj（y）*).

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2022-5-6 21:40:40

这种方案分配的选择导致对数接受概率的简化：logρ=Xi∈N（j）（对数位）- 日志B*it+Ait（u）*信息技术- uit）exp（σi））与B*it=位（u）*itexp（σi），（1- u*it）exp（σi）和u*it=~nα0i+pXk=1αkjyt-k、 i+Xk∈N（i），k6=jβkiyt，k+βjiy*接下来是对邻里系统的定义，如果我∈ N（j）然后j∈ N（i）.4模拟练习参数和非参数风险中性密度的提取不仅对ord er的交易员使用该密度为更奇异的衍生品定价，而且对央行行长以及政策制定者都很重要（Ait-Sahalia和Duarte，2003；Rouah和Vainberg，2007）。最近，人们越来越感兴趣的是同时预测非参数化中性及其物理对应物，如inVesela和Guti’errez（2013）所示，使用非参数化中性密度固定到期的β校准函数，而不是恒定和滚动成熟度到期，如3,6,9，12个月，如Vergote和Guti\'errez（2012年）。这些恒定到期风险中性密度实际上是根据Vergote和Guti’errez（2012）中的固定到期密度进行插值的。我们不需要遵循他们的方法，因为我们有滚动、固定到期时间（而不是固定到期日）、期权价格和forwardsavailable。从这个意义上说，我们的方法更适用于反向市场，市场集中在d（滚动期限）固定的到期时间点，而不是固定的到期日。在本节中，我们进行了几次模拟练习，以测试我们的方法的准确性，从而生成一个校准函数，该函数允许更好地评估PITdata中通常遇到的非标准特征，包括错误估计过程的基本参数。

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2022-5-6 21:40:44

本练习按照以下顺序分为几层：o首先，我们在物理测量下生成模拟数据，这对所有模拟练习都是通用的。我们在3个月、6个月和12个月的物理测量下，在T=2年、u=0.20、r=0.05、σ=0.15、τ=0.25（年）、τ=0.5（年）和τ=1（年）的时间间隔内，模拟资产价格的价格路径根据这些数据，我们估计了风险中性度量，假设我们（大体上）错误地估计了该风险中性度量的参数。对于这个pur姿势，我们假设两个可能的场景涵盖两个极端：1。高估布朗运动的波动性：我们将假设在校准练习中高估了物理过程的未知波动性，并将σ=0.20.2。对布朗运动的波动性进行更深入的估计：我们将在校准过程中假设我们低估了物理过程的未知波动性，并将σ=0.10.3。请注意，在这两种情况下，我们使用的是不同于u的r对于上述每种情况，以及模拟练习中的每种到期日，我们比较两条曲线（图（1））：1。NC曲线：这是未校准的曲线。它只是使用风险中性数据，在波动率的规定值下，说明了PITs CDF的形状。2.C曲线：这是在规定的波动率值下，使用风险中性数据，使用β-MRF过程校准的数据。3.

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kedemingshi

2022-5-6 21:40:47

请注意，在这两种情况下，我们对波动性使用相同的场地，以确保仅对校准效益进行比较。作为参考，45度线代表（校准）凹坑均匀分布的完美场景。为了运行该模拟，我们假设数据来自财务文献（GBM）中的标准过程，其中St，t∈ [0，T]，T建模Black and Scholes（1973）和Merton（1973）中的基础价格，即St=S+ZtSuudu+ZtSuσdW（u）（20），其中Wt，T∈ [0，T]是一个维纳过程。我们在3个月、6个月和12个月的时间间隔内，在T=2年、u=0.20、r=0.05、σ=0.15、τ=0.25、τ=0.5和τ=1的情况下，模拟实际测量下的价格样本路径。我们还可以解析地知道St+τj，j=1,2,3的风险中性密度，条件是St，由以下公式给出：fQt，τj（St+τj）=St+τjp2π∑τjexp“-[log（St+τj/St）- （r）- 0.5σ）τj]2στj#（21）j=1,2,3。一旦我们在3个月后观察到历史测量下的St+τ价格水平，然后我们继续计算时间t的3个月、6个月和12个月的时间点，如下所示：yt，τj=ZSt+τj-∞fQt，τj（St+τj）dSt+τj（22）j=1,2,3。

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2022-5-6 21:40:50

第二天，在时间t=t+1时，我们以与方程（22）相同的方式重新计算凹坑，获得一个向量xt=（xt，xt+1，…，xt+t），其中增益xs=（FQs，τ（xs，τ），FQs，τ（xs，τ），FQs，τ（xs，τ）），考虑到成熟的重叠时间，其中xs的成分很可能是相关的。在我们的模拟练习中，我们假设一年有252个交易日（价格），3（6和12）个月分别对应63（126和252）个交易日。假设凹坑不具有自相关性，则凹坑的均匀边缘分布表明无需进行校准。假设坑s是自相关的，则坑s的均匀边缘分布不一定说明需要校准功能。在某些情况下，凹坑可能是极端自相关的，但却显示出一个完美统一的柱状图，导致错误的结论，即风险中性和物理测量都是不可信的。坑的自相关来源于数据的滚动性质。在每个时期t，我们为每个成熟度获得一个新的坑，它是给定成熟度下物理过程的结果。因为，对于给定的成熟度τ，我们将产生τ×252个重叠周期（具有不同的重叠水平），这些周期对每个凹坑都有共同的贡献。例如，今天有参考点，到期日为65个工作日（3个月）的一个3个月的PIT将与另一个PIT共用64个工作日，明天有参考点，从明天起到期65天。这会在凹坑中生成艺术自相关，嵌入到任何重叠数据中。经典的方法仅仅是对数据进行细化（我们在模拟练习中就是这么做的），只取不重叠的周期。然而，这种方法对较长期限的债券尤其不利。

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2022-5-6 21:40:53

例如，一年的格式，传统方法每年只收集一个数据点。我们的方法更一般，因为它在通过β-MRF应用程序roach建模凹坑之间的不同相关源（包括这种自相关）时考虑到了这一点。对于两个给定的矿坑（A，B），驱动它们的数据由起点tA，tB和成熟度τA，τB的组合表示，物理过程中包含的重叠信息量是[tA，tA+τA]的交点∩ [tB，tB+τB]该信息是通过β-MRF方法自然处理的，该方法考虑了自相关性的两个原因（随着时间和邻居）。我们将贝叶斯β-MRF校准模型应用于以下超参数设置α=0、β=0、sj=10、gj=10、s=100和G=100。我们应用所提出的MCMC算法来逼近感兴趣的后验量。在MCMC算法中，我们考虑了5000次收敛后的迭代（这是通过应用Geweke（1992）收敛诊断测试统计量在大约2000次burnin迭代后检测到的）。选择从q生成θ的MH阶跃的建议分布的标度∧，以实现0之间的平均接受率。对于两种MH算法（第1步和第2步），这是一个很好的迹象，表明了大多数MCMC算法的效率，例如byRosenthal（2011年）。这种选择可以通过在磨合阶段运行算法“在线”完成。关于表（1）：oα是代表时间依赖性的β-MRF（时间因子）的自回归部分β是连接不同到期日（到期因子）的参数，代表交叉到期依赖性。随着时间的推移，自相关度随着成熟度的增加而降低。这可以从相应参数α的值中看出。

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2022-5-6 21:40:56

此外，β和β分别代表相邻到期日之前和之后的相关参数。所以β代表成熟度1和成熟度2之间的相关参数，而β代表成熟度2和成熟度3之间的相关参数。此外，c组和D组在到期日之间进行合并。这种组合产生了一种有趣的实用方法，因为它假定随着时间的推移，各个成熟期的矿坑具有相同的自回归结构。校准练习的结果如表1和图1所示。注意以下显著特征：o自回归系数对所有成熟度都很重要。Proximity p参数仅在最后一个成熟期才有意义。cr中的精度参数值随成熟度的增加而降低。图1显示了未校准和校准的P ITs。图2显示了时间t=504时价格的p预测性和校准预测性，使用时间t时可用的隐含d灵敏度-τj表示波动性参数σ（列）的不同j（行）和不同错误值我们还考虑了一个更简洁的模型，其中我们假设βkj=βkandαkj=αkf，对于所有的j=1，M.结果见表1。5外汇市场应用我们将我们的方法应用于从2010年1月1日到2013年4月1日的不同期限（一个月、两个月和六个月）的欧洲美元现货场外年化隐含收益。在2004年，我们分别将样条线密度和隐含密度应用于相同的风险；Vergote和Guti’errez（2012），以转换回期权价格空间，并采用二阶导数得出风险中性密度。

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2022-5-6 21:41:01

有关如何使用Matlab代码从期权价格中提取风险中性密度的广泛综述，请参见Fusai和Roncoroni（2000）。我们将这种方法应用于我们假设每个等级都有自己的校准函数的情况，以及我们假设有一个单一的校准函数，通过在ujt的规格中设置βkj=0，可以跨多个等级工作的情况。图3显示了不同PIT序列的时间序列（左列）和直方图（右列）。尽管由于样本量大，凹坑时间序列的大多数直方图看起来非常一致，但时间越长，自回归分量越强。关于如何估计我们工作中获得的风险中性密度，我们在附录中给出了更全面的描述。面板（a）（σ=0.1）τj，j=1τj，j=2τj，j=3θij^θijCI^θijCI^θijCIγj1。42（1.01,1.51）2.82（2.79,2.93）13.46（13.40,13.64）α0j-0.32（-0.44，-0.25）-0.55（-0.64，-0.46）-1.09（-1.15，-1.02）α1j0。43（0.32,0.48）0.51（0.35,0.61）0.32（0.23,0.42）β1j0。11（0.01,0.21）0.16（0.04,0.26）β2j0。18（0.06,0.27）0.03（0.01,0.15）面板（b）（σ=0.2）τj，j=1τj，j=2τj，j=3θij^θijCI^θijCIθijCIγj3。75（3.73,3.81）7.01（6.67,7.23）14.03.88（13.83,14.16）α0j-0.24（-0.34，-0.11）-0.11（-0.19，-0.03）-0.23（-0.29，-0.18）α1j0。37（0.23,0.47）0.30（0.24,0.41）0.47（0.32,0.58）β1j0。37（0.27,0.43）0.05（-0.09,0.21）β2j0。（c）（σ=0.58、5.58、5.58、5.58、7.55）面板（d）（σ=0.58、7.55）面板（d）（8）（σ=0.81）γ9.4.4（42.7171.71.81）3γ99.4（42.7171.81.71.81）α（42.71.71.81.81）α0.17（7.81）αα0.17（5.17（-5.17（5.25.25，7.25，7.7.19）、7.19）19）α--0.17（5（5.19）α---0-0-0-0-0.20（5（5.19）α-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0（-8（5（-8（-8（8.37，5.37，5.37，5.37，5.5.5.5（8（5.37，5.5.5 7.48,7.77）表1：后验平均值（^θi）和95%可信区间（CI），对于β-MRF的参数。

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2022-5-6 21:41:05

当标度p参数的真值为σ=0.15时，σ=0.1（面板（a）表示分层模型，面板（c）表示混合模型）和σ=0.2（面板（b）表示分层模型，面板（d）表示混合模型的未校准预测模型。σ=0.1σ=0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0.2 0.4 0.8 100.8 100.40.60.81非校准波动率和非校准风险分布水平（图1：校准列和非校准列的风险分布差异）。σ=0.1σ=0.260 80 100 120 140 1600246810 80 100 120 140 1600246860 80 100 120 140 160024680100 120 140 1600246860 80 100 120 140 160024680100 140 160024680100 120 140 160024680100 120 140 160024686图2：样本最后一点的未校准（虚线）和校准（实线）风险中性分布和价格水平（垂直虚线），即t=504，不同成熟度（行）和不同波动率水平（列）。10.0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.6 0.0.0 0 0 0 0 0 0.6 0.6 0 0 0.0.0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 8.0.9图3：矿坑时间序列（第一列）和柱状图（第二列）。我们进一步显示了在样本最后一天（2013年4月1日）对不同到期日估计的风险中性密度，以及通过对每个风险中性密度应用校准函数计算的物理密度。我们使用模拟实验中使用的优先级和MCMC设置应用我们的β-MRF校准模型（见前一节）。

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2022-5-6 21:41:08

结果如图4所示。正如表2中面板（a）的结果，我们发现了自相关成分（系数α1j）和相邻到期日之间相关性（系数βij）的证据。从该图的面板（b）可以看出，当对其时间序列应用细化（细化因子100/15）以减少样本之间的依赖性时，自回归系数的值会降低。6结论本论文以Casarin等人（2012）的方法论为基础，提供了一个新的建模框架，该框架使用衍生波动率（在货币、中期市场、日终波动率）和同步现货和远期的隐含可能性的期限结构，解释了不同到期日的可能相关性，以及特定到期日的不同日期。这种方法允许在不同的基调之间借用风险中性和物理度量的信息。我们还提供了一个适当的推断贝叶斯框架，允许在密度校准函数中包含参数不确定性，通常是文献中监督的一个因素，因此也包括在物理密度中。模拟预测密度的时间演化以及来自多个来源的密度之间的关系是一个具有挑战性的问题。例如，在传统方法中，当重建校准函数时，不能有任何重叠的时间间隔，因此凹坑是独立的，以估计β校准函数，如Fackler和King（1990）所述，后来在（Vergote和Guti’errez，2012；Vesela和Guti’errez，2013）中使用。

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2022-5-6 21:41:12

使用独立的PIT有一个缺点，即需要大量数据才能具有可靠的校准功能，新资产或不经常交易的资产并不总能获得这些数据。我们的方法以滚动窗口的方式利用了所有可用信息，而无需稀释源，因为诱导相关性被纳入了相关坑的建模中。未来的研究将包括使我们的方法适用于其他资产，如股票、商品、固定收入指数和其他交易所0.20.40.60.81 NCCU0.20.40.40.81 NCCU0 0.40.40.60.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0 0.20.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0图4：未校准（实线），根据有效校准（虚线），以及三种不同到期日（行）的β-MRF校准（灰色虚线）风险中性分布：一个月、两个月和六个月。在每个图中，灰色区域代表95%的HPD区域。面板（a）（原始数据s样本）τj，j=1τj，j=2τj，j=3θij^θijCI^θijCI^θijCIγj2。24（2.14,3.01）2.78（2.76,2.98）3.55（3.42,3.97）α0j-0.04（-0.16,0.09）-0.06（-0.21,0.07）-0.08（-0.24,0.04）α1j0。15（0.06,0.24）0.31（0.14,0.45）0.31（0.21,0.52）β1j0。14（0.04,0.28）0.13（-0.01,0.26）β2j0。17（0.04,0.28）-0.01（-0.2,0.01）面板（b）（稀释数据样本）τj，j=1τj，j=2τj，j=3θij^θijCI^θijCI^θijCIγj2。63（2.52,2.78）2.57（2.34,2.71）3.52（3.48,3.62）α0j0。03（-0.14,0.23）0.04（-0.15,0.18）0.02（-0.17,0.21）α1j0。05（-0.25,0.21）0.10（-0.04,0.33）0.11（-0.02,0.23）β1j0。06（0.01,0.26）0.09（-0.01,0.34）β2j0。07（-0.10,0.32）0.03（-0.14,0.23）表2：β-MRF参数的后验平均值（^θi）和95%可信区间（CI）。

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2022-5-6 21:41:16

未校准和β-MRF校准预测pits原始数据（面板（a））和稀释数据（面板（b））的经验分布函数，稀释系数为100/15。交易市场，根据固定到期合同而不是滚动固定期限合同进行交易，通过插入固定到期合同中不同固定到期期限的风险中性，如中所述（Vergote和Guti’errez，2012）。致谢感谢2014年哥伦比亚麦德林国立大学数学系George Box研讨会的与会者。Roberto Casarin的研究得到了来自欧洲联盟第七框架计划FP7/2007-2013的资金支持，协议为SYRTO-SSH-2012-320270，并得到了意大利教育、大学和研究部（MIUR）2010-2011年4月拨款MISURA的支持。风险中性密度估计我们的应用包括不同（固定到期日，而非固定到期日）到期日的每日隐含欧元波动率。完整数据包括2010年1月1日至2013年4月1日期间现货、远期和货币隐含可用性交易日结束时的收盘快照。Wefollow Campa等人（1997年）；Vergote和Guti’er rez（2012）和tr将期权价格（y轴）和价格（x轴）转换为sigma（y轴）和delta（x轴）空间，以便将三次平滑样条曲线转换为volatilitysmile。在sigma-delta空间而非常规期权价格空间中工作的原因是，由于高流动性和交易量，期权数据中引入了不希望出现的噪音，这使得期权价格的插值变得困难。

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kedemingshi

2022-5-6 21:41:20

通过将隐含效用（sigma-delta）而不是期权价格直接进行拟合，可以解决Shimko（1993）提出的期权数据中的后一个噪音问题；哈钦森等人（1994年）；马尔兹（1997）；Ait Sahalia和Lo（1998年）；恩格尔和罗森伯格（2000）；布利斯和帕尼吉特佐格鲁（2002）。此外，这是场外期权市场的自然做法，在场外期权市场中，期权价格通常由做市商在波动空间中进行报价，而不是以价格的速度进行报价。使用与Vergote和Guti’errez（2012）中相同的旋转，隐含波动率的最佳三次平滑样条是最小化以下函数的样条：minλnXi=1ωi（σi）-^σ（Θ）i）+（1- λ） Zg′（δ，Θ）dδ（23），其中δ是Black和Scholes期权看涨期权价格相对于基础的偏导数，σi，^σ（Θ），ωi=νiPniνi是观察到的波动率，固定波动率，观察i的权重，以及它的希腊Black和Scholes vegaν。分别地此外，Θ表示三次样条的多项式参数矩阵，而g（）表示三次样条函数。使用的λ值等于0.99。值得注意的是，Black-Scholes公式仅用于将期权价格转换为隐含波动率，以使平滑更有效。这种方法并不意味着我们假设Black和Scholes定价公式是正确的，但它只是一种使插值中的平滑更有效的方法。函数csaps在MatlabReferencesAit-Sahalia，Y.和Duarte，J.（2003）中用于执行三次平滑样条插值。非参数选项pricingunder形状限制。《计量经济学杂志》，116 9–47。Ait Sahalia，Y.和Lo，A.（1998年）。金融资产价格中隐含的状态价格密度的非参数估计。《金融杂志》，53（2）449–547。巴尔，R。

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能者818

2022-5-6 21:41:24

和Chiarella，C.（2000年）。利率衍生工具的概率分布隐含的澳大利亚货币政策预期。《欧洲金融杂志》，6113-125。Billio，M.，Casarin，R.，Ravazzolo，F.和Van Dijk，H.（2013）。预测密度的时变组合使用非线性滤波。《计量经济学杂志》，177 213–232。布莱克，F.和斯科尔斯，M.（1973）。期权定价和公司责任。《政治经济学杂志》，81 637–654。布利斯，R.和帕尼吉特佐格洛u，N.（2002）。测试隐含概率密度函数的稳定性。《银行与金融杂志》，26（2）381-422。布利斯，R.和帕尼吉特佐格鲁，N.（2004）。期权隐含风险规避估计。《金融杂志》，59 407–446。N.布圭拉、D.齐奥和E.蒙加（2006年）。通过吉布斯抽样对有限β混合物的实用贝叶斯估计及其应用。统计与计算，16215-225。Boyarchenko，S.I.和Levendorskii，S.Z.（2002）。非高斯-布莱克-斯科尔斯理论。世界科学统计与应用研究高级系列第9卷。布兰斯库姆，A.J.，约翰·森，W.和瑟蒙德，M.（2007）。Bayesian-Beta回归：应用于家庭支出数据和口蹄疫病毒之间的遗传距离。澳大利亚和新西兰统计杂志，49 287–301。Bremaud，P.（1999年）。马尔可夫链：吉布斯场、蒙特卡洛模拟和Q ueues。斯普林格。Campa，J.，Chang，P.和Reider，R.（1997年）。EMU及其后的ERM带宽：来自外汇期权的证据。经济政策，2455-89。Carlson，J.B.，Craig，B.和Melick，W.R.（2005）。恢复市场对联邦公开市场委员会利率变化的预期，并对联邦基金未来进行选择。期货市场杂志，25 1203–1242。卡萨林，R。，Valle，L.D.和Leisen，F.（2012）。贝叶斯模型选择f或贝塔自回归过程。

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2022-5-6 21:41:28

贝叶斯分析，71-26。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（2011）。悲剧的数学。斯普林格金融公司。Engle，R.和Rosenberg，J.（2000年）。使用期权对冲标准测试波动性期限结构。衍生工具杂志，8 10-29。埃舍尔，F。(1932). 论风险集合论中的概率函数。Skandinavisk-Aktuarietidsk裂谷，15 175–195年。Fackler，P.L.和King，R.P.（1990）。农业商品市场中基于期权的可能性评估的校准。《美国农业经济学杂志》，72-73-83。N.福塞特、G.卡佩塔尼奥斯、J.米切尔和S.普莱斯（2013）。广义密度预测组合。沃里克商学院技术代表。Fusai，G.和Roncoroni，A.（2000年）。定量金融中的实施模型：方法和案例。斯普林格。Gerber，H.U.和Shiu，S.（1994年）。Esscher transforms的期权定价。《精算师学会学报》，46 99–191。Geweke，J.（1992年）。评估基于抽样的后验矩计算方法的准确性。在贝叶斯统计中。大学出版社，169-193。Geweke，J.和Amisano，G.（2011）。最佳预测池。《经济计量学杂志》，164 130–141。T.格尼廷、A.拉弗瑞、A.韦斯特维尔德、A.H.和Goldma n.T.（2005年）。使用集合模型输出统计和最小CRP估计进行校准概率预测。每月天气回顾，13301098–1118。Gneiting，T.和Ranj-an，R.（2013年）。结合预测分布。《电子统计杂志》，71747-1782。霍尔，S.G.和米切尔，J.（2007）。结合密度预测。《国际预测杂志》，23 1-13。哈钦森，J.，罗，A.和波乔，T.（1994）。通过learningnetworks对衍生证券进行定价和对冲的非参数方法。《金融杂志》，49（3）851–889。赖，W-N.（2011年）。期权估值方法的比较隐含着风险中性密度。

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2022-5-6 21:41:31

定量金融1-17。梁，F.（2010）。双Metropolis Hastings采样器，用于具有难以处理的规范化常数的空间模型。《统计计算与模拟杂志》，80（9）1007-1022。Malz，A.（1997）。根据期权价格估计未来汇率的概率分布。衍生工具杂志，5（2）18–36。默特·安，R.（1973）。理性期权定价理论。贝尔经济和管理科学杂志，4141-183。Moller，J.，Pettitt，A.N.，Reeves，R.和Bertelsen，K.K.（2006）。一种有效的马尔可夫链蒙特卡罗方法，用于求解具有难处理的归一化常数的分布。Biometrika，93 451–458。默里，I.，加赫拉曼一世，Z.和麦凯，D.J.C.（2006）。MCMCF适用于双难处理的分布。在第22届艺术情报不确定性年度会议上。Nikodym，O.（1930年）。位于m.j.radon国际集团南部。数学基础（法语h）JFM 56.0922.02。检索到200905-11，15131-179。潘尼格茨·奥格鲁，N.和斯基亚多普洛斯，G.（2004）。隐含分布动态建模的新方法：SP500期权的理论和证据。银行与金融杂志。罗伯特，C.P.和卢梭，J.（2002）。Bayesiango odness of Fit的混合方法。技术报告02009，巴黎大学Ceremake。Rodriguez，A.和ter Horst，E.（2008）。贝叶斯动态密度估计。贝叶斯分析，339-366。罗森·塔尔，J.S.（2011）。最优建议分布和自适应MCMC。在《马尔可夫链与蒙特卡罗手册：方法与应用》（G.J.S.P.Brooks，A.Gelman和X.-L.Meng编辑）。查普曼和霍尔，93-112。Rouah，F.和Vainberg，G.（2007）。期权定价模型和波动性使用excel vba。约翰·威利和他的儿子们。Shimko，D.（1993年）。概率的界限。风险，6（4）33–37。Sihvonen，J.和V–ah–amaa，S.（2014）。

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