无限交易的多资产消费投资问题

2022-5-6 23:33:59

因此，综上所述，多资产情况下的理论和数值结果都非常重要，本文可被视为对该文献的贡献。在多资产的情况下，在计算方面，Muthuraman和Kumar[20]使用政策改进过程为价值函数和相关的非交易区域构造数值解，Collings和Hausman[5]通过马尔可夫链近似推导出数值解，并证明了其收敛性。在理论方面，Akian等人[1]表明值函数是HJB方程的唯一粘性解（并在两种资产情况下提供了一些数值结果），Chen和Dai[4]确定了两种资产情况下无交易区域的形状。一般问题的显式解决方案仍然非常罕见。当显式解是可能的时，一种情况是不相关的风险集和具有恒定绝对风险厌恶的代理的相当特殊的情况。在这种情况下，问题分解为一系列优化问题，每个风险资产对应一个优化问题，参见Liu[17]。另一个取得了一些进展的背景是交易成本小的问题，见Whalley和Willmott[25]，以及Soner和Touzi[23]最近的分析。Wha Alley和Willmott使用展开法提供了最优策略的渐近公式。在本文中，我们考虑了一种不同的极端情况，即交易成本要么为零，要么（对于特定风险资产的一个方向的交易而言）为有限。不同的表述是，假设其中一项therisky资产不可用于动态交易（无论是向整个市场，还是向效用最大化代理，可能是出于法律原因，或者仅仅因为个人难以积极交易特定股票）。

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2022-5-6 23:34:03

相反，假设该资产只能出售：（不允许再）购买。我们的代理人被赋予了一个初始数量的设定，她的策略包括随着时间的推移何时出售该（可完全分割）资产的单位。假设存在具有无限交易成本的多资产消费-投资问题，3购买固定资产的有限交易成本通过允许出售和购买其他风险资产并产生零交易成本的假设来实现。我们将一项资产确定为非交易资产的问题与实物期权文献（Miao and Wang[18]、Henderson[13]、Henderson and Hobson[14]）中的问题类似，在实物期权文献中，有权投资项目（或出售资产）的代理人选择最佳销售时间。与此不同的是，我们假设非交易资产在本质上是可分割的，而在实物期权文献中，它通常被认为是不可分割的。我们的模型由一个代理人组成，该代理人被赋予可完全分割的风险资产的单位，该风险资产可能是旧的，但不是新的，其机会集包括对无风险债券的投资，以及对适用零交易成本的其他风险资产的投资。风险资产遵循相关的指数布朗运动，代理人的目标是选择消费率和投资策略（包括捐赠资产的销售策略），以最大限度地提高消费的预期效用。本文是Hobson和Zhu[15]的一个推广，该文考虑了一个具有赠与资产但没有其他风险资产的s-相似问题。

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mingdashike22

2022-5-6 23:34:06

[15]中的许多技术都适用于本文更广泛的背景，然而，由于在没有捐赠资产以外的投资时，参数较少，因此[15]中的问题明显更简单，更易于进行比较静态分析。相比之下，本文处理的是多资产问题，虽然在一个相当特殊的情况下，但很难对其进行全面的一般性分析。多资产环境带来了新的挑战，使分析变得复杂。对于我们的问题，写下汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）等式是很简单的。一般来说，价值函数是四个变量（流动资产、捐赠资产价格、捐赠资产持有量、时间）的函数，满足HJB方程，该方程为二阶非线性方程，在未知边界处进行价值匹配和平滑拟合。（平滑的曲线为二阶曲线。）在我们的特殊设置中，找到自由边界和值函数的问题被简化为研究一阶常微分方程（ODE）解的边界交叉问题。第一个交叉问题有四种解决方案（“在零处交叉”、“在（0，1）处交叉”、“在[0，1]处不交叉”和在交叉前达到零）。每种不同类型的解决方案都与优化问题的不同类型的解决方案相一致；例如，First类型的解决方案对应于立即出售所有捐赠资产单元的策略。识别导致不同类型解决方案的参数组合是相对简单的，即使无法获得三阶显式解决方案。然后将a-Agent路径的最优财富过程、消费策略、销售策略和投资策略与aSkorokho d型问题的解联系起来。2.模型和主要结果2。1.

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2022-5-6 23:34:11

问题表述。让(Ohm, F、 P，F=（Ft）t≥0）是一个经过过滤的概率空间，使得过滤满足通常条件，并由二维标准布朗运动生成英国电信⊥TT≥0.设置Bt=ρBt+ρ⊥B⊥t、式中（ρ）⊥)= 1.- ρ.我们可以考虑n个布朗运动的情况，n- 1.金融资产和单一捐赠资产，但情况仅限于此处考虑的情况。特别是- 1）金融资产减少为单一共同基金。具有无限交易成本的多资产消费投资问题4金融市场在此空间上由三个随机过程建模，一个债券支付恒定利率r，一个金融（或对冲）资产定价过程P=（Pt）t≥0和价格过程为Y=（Yt）t的未交易（或已转让）资产≥0.假设风险资产的价格过程satisfypt=pexpu -σt+σBt,式中，u和σ>0是金融资产的恒定平均回报率和有效性，pis是初始价格，Yt=yexpα -ηt+ηBt,式中，α和η>0是非交易资产的恒定平均收益率和波动率，i是初始价格。设λ=（u）- r） /σ，设ζ=（α- r） /η分别为套期保值和e资产的夏普比率。设C=（Ct）t≥0表示个人的消费率，设Θ=（Θt）t≥0表示投资者持有的被赋予资产的单位数，且∏=（t）t≥0表示投资于对冲资产P的现金金额。消费率要求是可逐步测量且非负的，过程Θ要求是可逐步测量的，具有左限的右连续且不增加，以反映非交易资产仅允许出售且∏要求是可逐步测量的事实。我们假设投资者最初持有的股份数为θ。

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2022-5-6 23:34:15

由于我们允许在时间0进行初始交易，我们可能有Θ<θ。我们写9200-= θ. 这符合我们的惯例，即Θ是正确的。我们用X=（Xt）t表示≥0个人的财富过程，并假设初始财富为x。如果财富的变化发生在消费、投资或捐赠资产的出售中，则x根据Xt=πtdPtPt+（Xt）演化- πt）rdt- Ctdt- YtdΘt=σ∏tdBt+{（u- r） πt+rXt- Ct}dt- 年初至今，以X0为准-= x、 x=x+y（θ-Θ). 我们认为，如果组成部分满足上述要求，并且由此产生的现金财富过程X始终为非负，则消费/投资/销售策略三元组是可接受的。设A（x，y，θ）表示初始设置（X0）的容许策略集-= x、 Y=Y，Θ0-= θ).代理人的目标是在允许的策略下最大化有限期内消费的贴现预期效用，其中假定代理人的效用函数具有恒定的相对风险规避，参数为R∈ (0, ∞) \\ 1和贴现系数β。特别是，目标是找到V=V（x，y，θ），其中（2.1）V（x，y，θ）=sup（C，π，Θ）∈A（x，y，θ）E“^∞E-βtC1-Rt1- Rdt#。由于该机构具有马尔可夫结构，我们期望最优消费、最优投资和最优销售策略是反馈形式，是代理人当前财富和禀赋以及瑞斯基资产价格的函数。这些技术扩展到R=1和对数效用的情况，但我们这里不考虑这种情况。

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2022-5-6 23:34:18

然而，许多结果可以通过在各种公式中设置R=1来获得。交易费用为5的多资产消费投资问题设V（x，y，θ，t）为问题的前向起始值函数，使（2.2）V（x，y，θ，t）=sup（C，π，Θ）∈A（x，y，θ，t）E^∞te-βsC1-Rs1- 无线电数据系统Xt-= x、 Yt=y，Θt-= θ.这里容许策略A（x，y，θ，t）的空间是这样的，即C=（Cs）s≥这是一个非负的、逐步可测量的过程，即∏=（s）s≥这是逐步可测量的，Θ=（Θs）s≥这是一个正确的、持续的、不增加的、渐进的、可测量的过程和满意度- (Θ）t=θ，X=（Xs）s≥这是一个非负过程，由xs=x+^st（λ∑∏u+rXu）给出- Cu）du+^stσ∏udBu-显然V（x，y，θ，t）=e-βtV（x，y，θ，0）=e-βtV（x，y，θ）。定义V（x，t）=V（x，y，0，t）（注V不依赖于y，因为代理没有y的单位）和V（x）=V（x，y，0），并定义确定等价价格p=p（x，y，θ，t）作为V（x+p，t）=V（x，y，θ，t）的解。请注意，p=p（x，y，θ）不依赖于t，因为p所以V（x+p）=V（x，y，θ）。问题的参数是r，β，u，σ，α，η，ρ和r，我们假设它们都是常数。我们假设ρ∈ (-1，1）（极限情况ρ=±1可通过类似技术处理）。确定辅助参数（bi）1≤我≤4，b=η（1）- ρ)β - r（1）- R）-λ(1 - R） 2R, b=λ- 2Rηρλ+ηRηR（1- ρ），b=2（ζ）- λρ)η(1 - ρ），和b=η(1 - ρ)-1.注意B=1+1- ρληR- ρ≥ 1.结果表明，最优销售和投资问题取决于原始参数，仅通过这些辅助参数和风险规避R。我们将在后面的章节中看到，BPA发挥了“标准化贴现因子”的作用。参数B指被赋予资产的“每单位特殊波动率的有效夏普比率”。

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2022-5-6 23:34:23

这个参数是最难解释的：本质上，它是一个非线性因素，源于问题的多维结构。b=1的情况比较特殊，在一定程度上将被排除在我们的分析之外。（我们自然发现b=1的一个场景是如果λ=0=ρ。在这种情况下，持有金融资产既没有对冲动机，也没有投资动机。基本上，投资者可以忽略金融资产的存在，降低问题的维度。这是霍布森和朱[15]中考虑的问题。）.这篇论文使用了许多与本文相同的想法，尽管设置要简单得多，并且可以被视为这里考虑的更一般问题的“热身”问题。）我们的目标是求解V，从而求解确定的等价价格p。正如可能预期的那样，V解决了一个变分原理，并且可以用四个变量（x，y，θ，t）中的二阶非线性偏微分方程来描述，该方程在未知的自由边界上进行值匹配和平滑fit（一阶和二阶导数）。事实上，从公共关系问题的固有规模可以预期会有很多简化。尽管如此，本文所依据的一个显著事实是，交易成本为60 0.2 0.4 0.6 0.8 10.90.920.940.960.9811.021.041.061.081.1qm，n，l0.2 0.4 0.6 0.8 10.650.70.750.80.850.90.951qm，n，lm（q）n（q）l（q）m（q）n（q）l（q）q*图2.1。m（q），n（q）的程式化绘图，l（q）对于R∈ (0, 1).

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2022-5-6 23:34:27

参数是这样的*∈ （0,1）（左图）和q*= 1（右图）。V的表达式和最优解的特征都来源于对一个一阶常微分方程的大量交叉问题的研究。如果R<1和b≤ 0那么价值函数V（x，t）对于默顿问题是有限的（在没有被赋予资产的情况下），更重要的是，非交易资产的正被赋予的价值函数也是有限的。在这种情况下，不可能确定确定性等价价格。如果r>1和b≤ 0，则对于初始禀赋为零的r isky资产，消费的预期贴现效用等于-∞, 同样，不可能为被赋予资产的单位确定相同的价格。为了排除这些情况，我们做了以下非简并假设：长期假设1。在本文中，我们假设b>0.2.2。主要结果。我们分析的关键是一阶或二阶微分方程（2.3）的重新解，其性质在命题1中陈述，其证明在附录a命题1中给出。问∈ [0,1]定义m（q）=（1-R） Rbq-b（1）-R） bq+1和l（q） =m（q）+1-Rbq（1）- q） +（b）-1） R（1）-R） bq[（1）-R） q+R]。设n=n（q）解（2.3）n′（q）n（q）=1- RR（1- q）-(1 - R） bRql（q）- n（q）+（1）- R） q2bR（1）- q） [（1）- R） q+R]ν（q，n（q））l（q）- n（q）受制于n（0）=1和n′（0）1-R<l′(0)1-R=（b）- b） /b，式中Γ（q，n）=а（q，n）- sgn（1）- R） p~n（q，n）+4R（1）- R）（b）- 1)(1 - q），和а（q，n）=bn+（1）- R）（b）- 2R）q+2R（1）- R）- B- bR（1）- R）。假设如果n为零，那么0是n的吸收。对于R<1，让q*= inf{q>0:n（q）≤ m（q）}，见图2.1。对于R>1，让q*= inf{q>0:n（q）≥m（q）}，见图2.2。

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2022-5-6 23:34:30

对于j∈ {l, m、 n}设qj=inf{q>0:j（q）=0}∧ 1.交易成本无限的多资产消费投资问题70 0.2 0.4 0.6 0.8 10.9511.051.11.151.21.25qm，n，l 0.2 0.4 0.6 0.8 10.90.920.940.960.9811.021.041.061.081 qm，n，l m（q）n（q）l（q）m（q）n（q）l（q）q）q*图2.2。m（q），n（q）的程式化绘图，l（q）对于R∈ (1, ∞). 参数是这样的*∈ （0,1）（左图）和q*= 1（右图）。如果R>1，则设置\'b=2R，\'b=min{2R，R+b1-R} 如果R<1。对于固定b，带R，存在一些临界值b3，crit（b，b，R），R<b3，crit≤\'b，并且（1）如果≤ 0，然后是q*= 0;（2）如果0<b<b3，那么0<q*< 1.（3）如果R>1和b≥ b3，crit（b，b，R）然后q*= 1.如果R<1和b3，则临界值（b，b，R）≤ b<b1-R+bR，然后是q*= 1.（4）如果R<1，b=1，b=b1-R+R≥ 2R，然后qm=qn=ql= Q*= 1.如果R<1，b=1，b=b1-R+R<2R，那么qm<qn=ql= Q*= 1.如果R<1，b>1，b=b1-R+bR，然后qm<qn=ql= Q*= 1.如果R<1，b>b1-R+bR，然后qm<qn=ql< Q*= 1.备注2。条件b<2R等价于m′（1）>0。如果R<1，则条件b≤b1-R+bR等于l(1) ≥ 0.（注意l(1) ≥ 0是qn=1的必要条件。）然后，如果R<1，0<b<2R和b<b1-R+bR，我们有ql= qn=1。我们将在引理16中证明，n在q处有一个转折点*∈ （0,1）当且仅当n（q）*) = m（q）*). 特别是，如果m是单调的，那么q*= 1.备注3。假设b=1。然后l（1） =m（1）。Moreove r~n（q，m）=r（1）- R）（1）- q）。如果R<1，那么如果n≥ 我们有φ（q，n）≥ ν（q，m）>0，且Γ（q，n）=0。相反，如果R>1，则如果n≤ m、 ν（q，n）≤ ν（q，m）<0和Γ（q，n）=0。因此，如果b=1，则（2.3）中n′的表达式非常简单，甚至可以简化为[15，等式n（3.6）]中相同名称的变量的等式。备注4。我们在引理17中展示了n（q），q*n（q）*) 在参数B，频带B或q中都是单调的≤ Q*. 特别是q*是b的递增函数。

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2022-5-6 23:34:34

因此，存在一个临界参数b3、Crit和q*< 1当且仅当b<b3，临界值。虽然我们可以得出结论，R<b3，crit≤ min{2R，b1-R+R}，我们没有b3的显式表达式，crit。具有无限交易成本的多资产消费投资问题8从问题的规模来看，一个关键变量显然是endowe dasset中的财富与流动财富的比率。（这里我们将流动财富定义为现金财富和投资于对冲资产的财富之和。）我们用Z表示这个比率，所以Zt=YtΘt/Xt∈ [0, ∞]. 在最优行为下，消费和投资率是液体财富和Z的函数。本文的主要贡献之一是确定优化问题的不同类型的解决方案，以及命题1中研究的第一个交叉问题的不同类别的解决方案。定理5。（1）假设b≤ 0.那么，立即出售捐赠资产的全部股份始终是最佳选择，因此对于t，Θt=0≥ 问题的值函数是V（x，y，θ，t）=bbR-重新-βt（x+yθ）1-R/1- R以及资产p（x，y，θ，0）=yθ持有量的确定性等价值。（2）假设0<b<b3，crit（b，b，R）。然后存在一个正且有限的临界比z*最优行为是出售足够数量的风险资产，以使风险资产中的财富与现金财富的比率低于临界比率。如果θ>0，那么p（x，y，θ，t）>yθ。（3）假设b≥ b3，临界值（b，b，R）和b<b1-如果R<1，R+bR。然后是临界比z*是固定资产，最佳行为是首先消费流动性财富并投资于风险资产，然后当流动性财富耗尽时，通过出售捐赠资产为进一步消费和投资于风险资产提供资金。（4）假设b≥b1-如果R<1，R+bR。

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2022-5-6 23:34:38

然后问题退化，假设θ为正，则值函数V=V（x，y，θ，t）是有限的。没有唯一的最优策略，也没有定义确定的等价值p。备注6。这一理论强调了参数b所起的作用，即“有效夏普比”，以区分不同情景。当bis为负值时，捐赠资产是不良投资，最好立即出售。对于较小且为正的b，存在一个确定的临界比率，非交易资产的出售会使非交易资产中持有的财富份额低于临界值。随着bbec变大，被赋予的资产更具价值，代理人等待时间更长，以便从被赋予的资产获得更好的回报。对于规模足够大的BSE，在ca sh财富耗尽之前，他不会出售任何既定资产。最后，如果R<1且bbec Ome过大，则valuefunction是有限的，并且捐赠的问题是不适定的。定理5最有趣的例子是中间的两个非退化情形，我们将在接下来的两个定理中更详细地研究这两个情形。回想一下，我们假设我们已经构造了（2.3）中微分方程的解n。定义N（q）=N（q）-R（1）- q） R-1，让W与N成反比。让h*= N（q）*).对于一个二次可微分函数，f定义为ψf（z）乘以（2.4）ψf（z）=（1- R） f（z）- （1+ηρRλ）zf′（z）-ηρλzf′（z）R（1）- R） f（z）- 2Rzf′（z）- zf′（z）。定理7。

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2022-5-6 23:34:42

假设R<1，假设0<b<b3，crit（b，b，R），那么0<q*< 1.然后N:[0，q*] 7.→ [1，h*] 并且W:[1，h]*] 7.→ [0，q*] 定义明确且不断增加。n（q）*)-R=h*(1 - Q*)1.-R.让z*由（2.5）z给出*= (1 - Q*)-1.- 1=q*1.- Q*∈ (0, ∞).具有无限交易成本的多资产消费投资问题91 1.5 2 2.5 3-0.200.20.40.60.811.21.41.61.8b2b3 1.5 2.5 300.511.522.533.5b2b3 b3=b2R+b1/（1）- R） b3=b3，临界值（b1，b2，R）b3=0 b3=b2R+b1/（1）- R） b3=b3，临界值（b1，b2，R）b3=0q*=1q*=0V=∞V=∞q*=10<q*<1q*=00<q*<1图2.3。（b，b）空间中对应于溶液不同特征的区域图，对于固定b>0和R<1。在左图中，参数areb=1，R=0.5。在右图中，参数是b=0.2和R=0.5，因此b<R（1- R）实线和虚线相交的值严格高于1.1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.8 3-1.-0.500.511.522.533.54b2b3 b3=b3，临界值（b1，b2，R）b3=0q*=1q*=00<q*<1图2.4。（b，b）空间中对应于溶液不同特征的区域图，对于固定b>0和R>1。请注意，当R>1时，没有一个区域的值函数是有限的（前提是b>0）。分隔q的线b3，crit=b3，crit（b，b，R）*< 1来自q*= 1在b=1时具有极限值2R，在b=∞.该图是在b=1和R=2的情况下绘制的。具有无限交易成本的多资产消费投资问题*= 简单*. 关于[1，h]*] 设h为（2.6）u的解*- u=^h*h（1- R） f W（f）df。因此h(-∞) := 利木↓-∞h（u）=1。设g由（2.7）g（z）给出=bbR-Rn（q）*)-R（1+z）1-RbbR-Rh（ln z）z∈ （z）*, ∞);Z∈ [0，z*].然后，值函数V由（2.8）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx.

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2022-5-6 23:34:45

x>0，y>0，θ≥ 0通过连续性ex趋向于x=0，通过v（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1- RbbR-Rn（q）*)-R.Let（J，L）=（Jt，Lt）t≥0是唯一的一对，使得（1）J是正的，（2）L是递增的，连续的，L=0，并且由集合{t:Jt=0}，（3）J solvesJt=（z）携带*- z）+-^t∧（Js）ds-^t∑（Js）dBs^tΓ（Js）dBs+Lt，其中∧（j）=∧（z）*- j），√∑（j）=∑（z）*- j） Γ（j）=Γ（z）*- j），其中反过来∧（z）=zg（z）-1.- Rzg′（z）-1/R- λ（λ+ηρ）zψg（z）+λzψg（z）+ζηz，Γ（z）=ηz和∑（z）=-σzψg（z）。对于这样的一对≤ Jt≤ Z*.设z=yθ/x，如果z≤ Z*然后开始*= θ和X*= 十、否则z>z*对于最优策略，有一个正数量θ的销售- Θ时间0的单位数，使得Θ*= θz*（1+z）*)（1+z）z≤ θ和X*= x+y（θ）- Θ).然后，最优持有量Θ*Θ给出了捐赠资产及其产生的财富过程*t=exp-Z*（1+z）*)书信电报;十、*t=YtΘ*t（z）*- Jt）；具有无限交易成本的多资产消费投资问题11及最优消费过程C*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t），最优投资组合过程∏*t=π（X）*t、 Yt，Θ*t），并以反馈形式给出确定性等价值p（x，y，θ）=xGyθx-1.- Ryθxg′yθx-R（2.9）∏（x，y，θ）=λσxψgyθx（2.10）p（x，y，θ）=xGyθxg（0）1.-R- x、（2.11）现在假设R>1，0<b<b3，crit（b，b，R）使得0<q*< 1.让所有数量都像以前一样确定。然后N:[0，x*] 7.→ [h]*, 1] 是递减的，W：（h）*, 1) 7→ [0，q*] 定义明确且不断减少。On（h）*, 1） h定义为viau*- u=^hh*（R）- 1） f W（f）df。价值函数V，最优持有量Θ*, 最优消费过程*, 最佳门静脉流程∏*, 由此产生的财富过程*确定性等价值p与之前相同。备注8。

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2022-5-6 23:34:48

给定n和第一个交叉点q*N，W，h，g以及V和pis的构造是直接的。进一步，给定价格过程P和Y的实现（或布朗运动B带（或B带）的等价路径）⊥) 然后，J和L由一个Skorokhodproplem[21，引理VI.2.1]的路径解产生。最佳捐赠资产持有量Θ*然后是最优现金财富过程X*根据斯科罗霍德问题的解明确给出；然后以反馈形式给出了最优消费和投资，作为这些基本量的函数。定理9。假设R<1，假设b3，crit（b，b，R）≤ b<b1-R+bR。让n在[0,1]上求解（2.3）。对于给定的参数组合，我们有q*= 1.然后N增加，W定义明确。定义γ：（1，∞) 7.→ R乘以（2.12）γ（v）=ln v1- R+R1- Rln（1）-1.- R^∞v（1）- 西南副翼西南副翼。设h与γ成反比，g（z）=（bR/b）Rh（ln z）。然后，值函数V由（2.13）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，y>0，θ≥ 0和V（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1-注册护士（1）-R.假设θ>0。设K=x/（yθ）∈ [0, ∞).

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2022-5-6 23:34:51

设（K，L）=（Kt，Lt）t≥0是唯一的一对，使得（1）K是正的，（2）L是递增的，连续的，L=0，由集合{t:Kt=0}携带的数据，（3）K solvesKt=K+^t^∧（Ks）ds+^t^∑（Ks）dBs+^t^Γ（Ks）dBs+Lt，具有无限交易成本的多资产消费投资问题，其中∧（K）=（η- ζ） ηk+λ（λ）- ηρ）kψg（1/k）- Kg（1/k）-g′（1/k）k（1）- R）-1/R，^∑（k）=λkψg（1/k）和^Γ（k）=-ηk.那么，最优持有量Θ*对于捐赠资产，最优财富过程由Θ给出*t=θexp{-Lt}，（2.14）X*t=YtΘ*tKt（2.15）最优消耗过程C*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t），最优投资组合过程∏*t=π（X）*t、 Yt，Θ*t），以及特定的ty当量值p=p（X*t、 Yt，Θ*t）由（2.9）、（2.10）和（2.11）中的表达式以反馈形式给出。现在假设R>1和b≥ b3，爆击。然后N在减少。定义（2.16）γ（v）=-在虚拟现实中- 1.-RR- 1ln（1）-R- 1^v（1）- 西南副翼西南副翼。设h与γ成反比，定义g和R<1时的值函数。然后，最优持有量、最优消费、金融资产的最优投资、最优财富过程和持有量的确定性等价值都如R<1的情况所示。备注10。根据定理7和定理9的结果，我们可以证明（推论18），在b带中，被赋予资产持有的确定等价物的价值在增加，在b带中减少。因此，例如，确定等价物的价值在被赋予资产的夏普比率ζ中增加，在贴现系数β中减少。备注11。这是定理9的一个结果，可能令人惊讶，它适用于b>1。确定停止时间τ=inf{t；X*t=0}。然后，对于定理9中研究的参数组合，在最优行为下，风险y asse t的投资为∏*τ=∏τ（0，Yτ，Θ）*τ) 6= 0.

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2022-5-6 23:34:54

这意味着，即使流动财富为零，对金融资产投资为零也不是最佳选择。金融资产价格的不利变动对流动性财富有负面影响，必须通过出售捐赠资产进行融资。相反，金融资产价格的良性变动将为代理人创造正的流动财富。特别是X*= 0不是正在吸收状态。相比之下，对于b=1和定理9适用的参数组合，在流动性财富耗尽之前，不会出售捐赠资产，但一旦流动性财富为零，就不会对金融资产进行投资，现金财富保持在零，消费通过出售捐赠资产持续进行。具有无限交易成本的多资产消费投资问题133。证明和验证论点：H=H（x，y，θ）的退化情形：[0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞) 7.→ 带H的R w∈ C2,2,1并使Hx>0微分算子lh=sup（c>0，π）c1-R1- R- cHx+αyHy+λσπHx+rxHx+σπHxx+ηyHyy+σηρyπHxy= H1-1/RxR1- R+rxHx+αyHy+ηyHyy-（ηρyHxy+λHx）2Hxx，MH=Hθ- yHx。左侧定义为（0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞). 然而，我们可以将L的定义范围扩展到[0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞) 通过将H的定义扩展到该地区-yθ<x≤ 这样H的导数在x=0时是连续的。MH定义于（0，∞) × (0, ∞) × (0, ∞). 注意，在θ=0时，我们不需要MH，但我们可以使用H到x的相同延伸，将M的定义域扩展到x=0≤ 0.3.1. 折旧资产的验证引理。假设b≤ 我们的目标是证明定理5（1）的结论成立。从命题1我们知道q*= 0

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2022-5-6 23:34:58

通过G（x，y，θ，t）=e定义候选价值函数-βtG（x，y，θ），其中（3.1）G（x，y，θ）=bbR-R（x+yθ）1-R1- R.候选的最佳策略是立即出售风险资产的所有单位。在证明定理之前，我们需要下面的引理。引理12。假设b≤ 0.考虑（3.1）中构造的候选值函数。然后MG=0，LG- βG≤ θ=0时等于0。证据给定（3.1）中的候选值函数的形式，MG=0紧随其后。另一方面，写z=yθ/x，LG- βG=x1-RRbbR1.-R（1+z）1-R“bbz1+z-Rbz1+z#≤ 0，z=0时相等，这就完成了证明。定理13。假设b≤ 值函数V由（3.2）V（x，y，θ，t）=e给出-βtbbR-R（x+yθ）1-R1- R=G（x，y，θ，t）。最优持有量Θ*对于被赋予的助理，最优消费过程是C*结果财富过程如下所示：(△Θ*)t=0=-θ、 C*t=bbRX*t、 π*t=λσRX*t、（3.3）X*t=（x+yθ）expλR+R-bbR-λ2Rt+λRBt.具有无限交易成本的多资产消费投资问题14确定性等价价格由p（x，y，θ，t）=yθ给出。证据我们证明了t=0时的结果，即V（x，y，θ）=V（x，y，θ，0）=G（x，y，θ，0）=G（x，y，θ）；一般t的情况源自问题的时间同质性。请注意，在（3.3）中提出的策略中，最佳策略是立即出售整个捐赠的ASSE tholding，这将给出X*0+=x+yθ，并从liquidwealth为投资和消费提供资金。

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2022-5-6 23:35:01

因此，财富过程（X*t） t≥0演变为dX*t=（λσ∏*t+rX*T-C*t） dt+σ∏*tdBt。这给了X*t=（x+yθ）expnλR+R-bbR-λ2Rt+λRBto。（3.3）isE“^”中提出的战略下的价值函数∞E-βtC*t1-R1- Rdt#=bbR1.-R（x+yθ）1-R1- R^∞经验λ(1 - R） 2R+R（1）- R）-b（1）- R） bR- βTdt=bbR1.-R（x+yθ）1-R1- R^∞经验-bbRTdt=bbR-R（x+yθ）1-R1- R=G（x+yθ，y，0）。因此V（x，y，θ，0）≥ G（x，y，θ，0）。现在，考虑一般的可接受策略。假设r<1。定义过程M=（Mt）t≥0byMt=^te-βsC1-Rs1- Rds+e-βtG（Xt，Yt，Θt）。将广义It公式[12，第4.7节]应用于MTT- M=^te-βshC1-Rs1- R- CsGx+αYsGy+λ∑∏sGx+rXsGx+σ∏sGxx+ηYsGyy+σηρYs∏sGxy- βGids+^te-βs（Gθ）- YsGx）dΘs+X0<s≤te-βs[G（Xs，Ys，Θs）- G（Xs）-, Y-, Θs-) - Gx(△十） s- Gθ(△Θ）s]（3.4）+^te-βsσ∏sGxdBs+^te-βsηYsGydBs=Nt+Nt+Nt+Nt+Nt。注意，对于一般可容许策略，Θ和X不需要是连续的，因此这里G·的参数是（Xs）-, Ys，Θs-).引理12意味着LG- βG≤ 0和MG=0，这导致Nt≤ 0和Nt=0。用不真实的(十） s=-Y(Θ）沙书写θ=Θs-, x=Xs-, χ = -(Θ）具有无限交易成本的多资产消费-投资问题中的seach non-z ero跳跃15的形式如下(N） s=e-βs{G（x+yχ，y，θ）- χ) - G（x，y，θ）+χ[Gθ（x，y，θ）- yGx（x，y，θ）]}。给出（3.1）中候选值函数的形式，很容易看出G（x+yφ，y，θ- φ） φ为常数，其中yGx=Gθ和(N） =0。那么，由于R<1，我们有0≤ Mt≤ M+Nt+Nt和（N+N）t≥0是两个局部鞅的和，是一个局部鞅，从belowand开始有界，因此是一个超鞅。通过接受期望，我们发现E（Mt）≤ M=G（x，y，θ，0），它给出了sg（x，y，θ，0）≥ E^te-βsC1-Rs1- Rds+EE-βsG（Xt，Yt，Θt）≥ E^te-βsC1-Rs1- Rds，其中，自G（Xt，Yt，Θt）之后的最后一个不等式≥ 0代表R∈ (0, 1).

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2022-5-6 23:35:04

让t→ ∞, 我们有g（x，y，θ，0）≥ E^∞E-βtC1-Rt1- Rdt！，在可容许策略上取上确界，得到G（x，y，θ，0）≥ V（x，y，θ，0）。附录C将考虑R>1的情况。3.2. 定理5病态情形的证明。在R<1和b的情况下≥b1-R+bR有必要给出一个消费预期效用有限的容许策略的示例。条件b≥b1-R+bR可以根据原始参数as（3.5）ζη（1）重写- R）-ηR（1）- R） +R（1）- R）- β ≥ 0.考虑以下消费、投资和销售策略（3.6）~Ct=ληXt，~πt=ησXt，dΘtΘt=-ζηXtYtΘtdt。首先请注意Θ是一个非递增过程。相应的财富过程X满足dXt=（ζη+r）~Xtdt+ηXtdBt，即Xt=xexpζη+r-ηt+ηBt.因此Xt≥ 0和（3.6）中定义的策略是可接受的。与消费、销售和投资策略（~C，~Θ，~π）相对应的消费~G的预期效用由~G=E（~C，~θ，~π）“^”给出∞E-βt~C1-Rt1- Rdt#=（ληx）1-R1- R^∞经验ζη(1 - R）-ηR（1）- R） +R（1）- R）- βTdt=∞,最后一个等式来自（3.5）。具有无限交易成本的多资产消费投资问题164。关于n和q的一些初步探讨*.回想一下魟和魟的定义：魟（q，n）=魟（q，n）- sgn（1）- R） pа（q，n）+E（q），а（q，n）=b（n- 1) + (1 - R）（b）- 2R）q+（2）- b） R（1）- R） )；其中E（q）=4R（1）- R）（b）- 1)(1 - q）≥ 0.附录A引理14证明了本节正文中未证明的结果。问∈ [0, 1], (1 - R） q+R>0，且φ（q，m（q））=R（1）- R）(1 - q）- （b）- 1)~n（q，l（q））=R（1- q）(1 - R） q+R-（b）- 1） R（1）- R） q+Rν（q，m（q））=-2R（1）- R）（b）- 1） Γ（q），l（q） )=-2R（1）- R）（1）- q）（b）- 1)(1 - R） q+R支持b>1。然后，对于R<1，Γ（q，n）<0，对于固定的q，Γ（q，n）是n的一个增加的凹函数。

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2022-5-6 23:35:08

对于R>1，则Γ（q，n）>0，对于固定q，则Γ（q，n）是n的一个递增凸函数。对于b=1，则Γ（q，n）=0。回想一下，n解决了（2.3）。这个表达式可以用几种方式书写。引理15。n′（q）=F（q，n（q）），其中F（q，n）=n1.- RR（1- q）-(1 - R） bRql（q）- n+（1）- R） q2bR（1）- q） [（1）- R） q+R]ν（q，n）l（q）- N(4.1)=(1 - R） nR（1）- q）-2(1 - R） qn/R2（1）- R）（1）- q） [（1）- R） q+R]- ν（q，n）- sgn（1）- R） p~n（q，n）+E（q）（4.2）=-(1 - R） n[2b[（1）- R） q+R]（n）- m（q））- q（Γ（q，n）- ν（q，m（q））]2R（1- q）（（1）- R） q+R）{S（q）- b（n）- m（q））}（4.3），其中S（q）=b(l（q）- m（q））=（1- R）问题（1）- q） +（b）- 1） R（1）- R） q/（（1）- R） q+R）。引理16。（1）对于R∈ （0,1），n′（0）是Φ（χ）=0的s m aller根，其中Φ（χ）=bRχ+R（1）- R）（b）- B-bR）χ- b（1）- R），代表R∈ (1, ∞), n′（0）是较大的根。（2）问∈ （0，qn），（1）- R） n（q）≤ (1 - R）l（q）。（3）问∈ （0，qn），n′（q）<0当且仅当n（q）>m（q），n′（q）>0当且仅当n（q）<m（q），n′（q）=0当且仅当n（q）=m（q）。（4）如果R>1，则qn=q*= 1或qn>q*. 如果R<1且l(1) ≥ 0那么qn=ql= 1.如果R<1且l（1） <0那么qn=ql< Q*.（5）如果0≤ Q*< 1那么q*>B兰德（1）- R） m在（q）上增加*, 1).引理17。(1-R） n在b中单调递增，在b中单调递增，在b中单调递减，在q中单调递减∈ [0，q*]. 此外，q*作为b的函数递减，作为b的函数递减，作为b的函数递减，具有无限交易成本的多资产消费投资问题17作为b的函数递增-R） n（q）*)-Ris在b中减少，在b中带内减少，在b中带内增加。我们还没有建立n和值函数之间的联系，但是暂时接受（2.7），（2.8）和（2.13）中的关系。这个引理有以下重要的推论。推论18。在b引理19中，确定性等价值p=p（x，y，θ）在带内逐渐减小。（1）假设b=1。

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mingdashike22

2022-5-6 23:35:11

然后b3，crit（b，1，R）＝bwhere recall＝b＝min{2R，R+b1-R} 如果R<1，如果R>1，则b=2R。（2）让b→ ∞. 然后四肢→∞b3，临界值（b，b，R）=R。因此R<b3，临界值≤“b.命题1的证明。假设R<1。（R>1的证明类似，只是最后一段不是必需的。）回想一下引理16中Φ的定义。注意Φ（m′（0））=（1- R） Rbb。如果b<0，我们有n′（0）<m′（0）和q*= 如果b=0，那么n′（0）=m′（0），需要更多的注意。自从b≤ 0，m在增加。对于[0,1]中的某些^x，支持n（^x）>m（^x）。设x=sup{x<^x:n（x）=m（x）}。非（x，^x）我们有n′（x）<0<m′（x）和m（^x）- n（^x）=m（x）- n（x）+^xx[m′（y）- n′（y）]dy>0，a矛盾。因此q*= 现在假设b>0。然后n′（0）>m′（0）并且至少最初n>m，和q*> 根据引理17，存在一个临界值b，即b3，crit，这样q*（b） <1如果b<b3、临界值和q*= 1福布≥ b3，爆击。注意，如果b≥b1-R+bR那么l(1) ≤ （4）中的结果现在来自引理16（4）。反之，如果b≥ 2R然后m减小，q减小*≥ qm。回想一下定义N（q）=N（q）-R（1）- q） R-而W与N相反。我们有h*= N（q）*).定义w（s）=（1）- R）西南部。我们在结束这一部分时给出了一些关于W和W命题20的有用结果。（1）当R<1时，N在[0，q]上增加*]. 此外，W在增加，因此0<W（v）<q*on（1，h）*). 当R>1时，N在[0，q]上递减*]. W减小到0<W（v）<q*on（h）*, 1).（2）设w（s）=（1）- R）西南部。

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可人4

2022-5-6 23:35:14

然后w满足w（h*) = (1 - R） h*W（h）*) = (1 - R） h*Q*求（w（s）w′（s））+（bs-1.- Rw（s）R-1R- [b+bR（1- R） [s+（b+2R）- 2） w（s））w（s）w′（s）+[（2R]- 1）（b）- 1） +R（1）- b） [w（s）+[（1）- 2R）b+bR（1）- R）- R（1）- R） b]sw（s）+bR（1）- R） h+b[（2R）- 1）女(s)- R（1）- R） s]s-1.- Rw（s）R-1R=0。（3）对于R<1和1<s<h*, 对于R>1和h*< s<1我们有1个- R<w′（s）<1- Rw（s）/（1）- R） s）带w′（h）*) = 1.- Rw（h）*)/((1 - R） h*).具有无限交易成本的多资产消费投资问题185。在第一个非退化情形下，具有有限临界锻炼率的验证引理反对0<b<b3，crit（b，b，R），因此0<q*< 1.假设我们在[0，q]上构造了n和n*] [1，h]上的W和W*]. 设定z*= Q*/(1 - Q*) 你呢*= 简单*. 通过h（u）定义h*) = H*为了-∞ < u<u*setdhdu=w（h）。然后als-odhdu=w′（h）w（h）。然后h解（2.6）。通过（2.7）定义g。引理21。让z*g如定理7的等式2.5和2.7所示。那么，g（z），g′（z），g′（z）在z=z时是连续的*.证据这些结果来源于g的定义。对于一阶和二阶的平滑曲线，很容易注意到dh/du=w（h），然后是z<z*,zg′（z）=bbR-Rh′（ln z）=bbR-Rw（h）zg′（z）=bbR-R（h′）- h′）=bbR-R（w′（h）- 1） w（h）（5.1）现在的结果来自w（h）的表达式*) 和w′（h*) 在20号提案中给出。22号提案。假设g解（2.7）。对于R<1，g是一个增加的凹函数，因此g（0）=bbR-R.否则，对于R>1，g是一个递减凸函数，使得g（z）≥ 0.进一步，对于z≤ Z*我们有0个≥ Rg′（z）≥ (1 - R） g（z）g′（z）在z=z处相等*.证据考虑第一个R<1。因为声明在z区域是直接的≥ Z*, 因为这里有二阶光滑t z*如果h(-∞) = 1，h在增加，使用（5.1）的第二部分，w（h）w′（h）- w（h）≤ 0

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2022-5-6 23:35:17

最后两个属性遵循fr om命题20，因为w（h）≥ 0和w′（h）<1。看到这个(-∞) = 1注意w（h）=（1- R） hW（h）从m零开始有界，因为h从1开始有界。然后，由于W′（1）是非零值，我们得出结论：h(-∞) = 1.对于R>1和z≥ Z*, 声明立即生效。为了z≤ Z*, 命题20意味着他的递减和w（h）≤ 0，w′（h）>1。与（5.1）一起，我们得到了g是一个递减凸泛函和g（z）≥ 考虑到h∈ [0，1]。用（5.2）G（x，y，θ）=x1定义t=0时的候选值函数-R1- Rgyθx.引理23。固定y，那么G=G（x，θ）在x和θ上是凹的。特别地，如果ψ（χ）=G（x- χyφ，y，θ+χφ），则ψ在χ中是凹的。证据为了显示候选值函数的凹性，有必要显示由hg=GxxGxθGxθGθ给出的hessian矩阵！。有一个正行列式，其中一个对角线项是非正的。具有无限交易成本的多资产消费投资问题19直接计算导致toGxx（x，y，θ）=x-R-1.-Rg（z）+2R1- Rzg′（z）+1- Rzg′（z）,Gxθ（x，y，θ）=-十、-R-1y1- R[Rg′（z）+zg′（z）]，Gθ（x，y，θ，t）=x-R-1y1- Rg′（z），Hessian矩阵的行列式为（5.3）GxxGθ- （Gxθ）=-十、-2Rθ-2R1- Rg（z）zg′（z）+R1- R（zg′（z））.如果z≥ Z*根据命题22，（5.3）右边的表达式为零。为了z≤ Z*,命题20收益率（5.4）（1）- R） g（z）zg′（z）+R（zg′（z））=（1）- R） h[w（h）w′（h）- w（h）]+Rw（h）≤ 0在h=h时相等*在光滑的条件下。此外，由于g是凹的，我们得到了gθ≤ 为了显示ψ在χ中的凹度，检查ψdχ的符号是等价的。但dψdχ=φyGxx+Gθ- 2yGxθ= φ（y，1）det（HG）（y，1）T≤ 0引理24。考虑（5.2）中构造的候选函数。

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2022-5-6 23:35:21

然后（a）对于0<x≤ yθ/z*, MG=0和LG- βG≤ 0 .（b）为了x≥ yθ/z*, LG- βG=0和MG≥ 0.请注意，G的导数在x=0时定义良好且连续，因此（a）的结果在x=0时保持不变。证据（a）为了z≥ Z*, MG=0是从G的定义开始的。对于LG- βG我们有它（x，y，θ）=bbR-Rn（q）*)-Rx1-R1-R（1+z）1-兰德·塞尔格- βG=x1-R1- RRbbR1.-Rn（q）*)-R（1+z）1-Rm（q）*) - Mz1+z,这里我们假设n（q*) = m（q）*). 所需的不等式来自引理16和m在（q）上增加的事实*, 1).具有无限交易成本的多资产消费投资问题20（b）为了证明LG- 我们计算βG=0- βG=x1-R1- R（zg′（z））+“bRG-1.- Rzg′（z）R-1R- [b+bR（1- R） [g+（b+2R）zg′（z）#zg′（z）+bR[2Rzg′（z）- R（1）- R） g]G-1.- Rzg′（z）R-1R- [2Rb+R（1- R） b]gzg′（z）+2Rb- Rb+R（zg′（z））+bR（1）- R） g）=x1-R1- RbbR-2R（（w（h）w′（h））+bH-1.- Rw（h）R-1R- [b+bR（1- R） ]h+（b+2R- 2） w（h）！w（h）w′（h）+（2R）- 1）（b）- 1） +R（1）- b）w（h）+[（1）- 2R）b+bR（1）- R）- R（1）- R） b]hw（h）+bR（1）- R） h+b[（2R）- 1） w（h）- R（1）- R） h]H-1.- Rw（h）R-1R）=0，其中最后一个等式来自命题20（2）。注意，G和LG定义良好且连续，tθ=0。现在考虑MG。我们有mg=x-雷（1+z）1- Rg′（z）- g（z）.因此，有必要证明ψ（z）≥ 0开（0，z）*] 式中ψ（z）=1+z1- R-g（z）g′（z），它遵循fr-om值匹配和平滑函数ψ（z*) = 因此，有必要证明ψ在减小。但ψ′（z）=R1- R+g（z）g′（z）g′（z）=R1- R+hhw（h）w′（h）- w（h）iw（h）≤ 0其中最后一个不等式来自命题20的最后部分。25号提案。让X*, Θ*, C*和∏*如定理7所定义。然后它们对应于一个允许的财富过程。此外，Z*t=YtΘ*/十、*tsatis Fies 0≤ Z*T≤ Z*.证据

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2022-5-6 23:35:25

注意如果yθ/x>z*然后，最优策略包括出售被赋予的资产，出售的效果是转移到新的状态变量（X*, y、 Θ*, 0）使用thatZ属性*= yΘ*/十、*= Z*. 因此，我们可以假设Z=yΘ*/十、*≤ Z*.考虑（5.5）^Jt=^J方程的无限交易成本多资产消费投资问题21-^t∧（Js）ds-^t∑（Js）dBs-^tΓ（Js）dBs+^Lt，受制于^J=（z）*- z） +。该方程与一个带有反射的随机微分方程（Revuz和Yor[21，p385]）相关联，并且有一个唯一的解（J，L），该解（J，L）适用于（J，L），J≥ 0，L是不断增加且连续的，L=0，L只在J为零时增加。让（J，L）成为（5.5）的解。注意∧（z*) = ∧（0）=0=Γ（z）*) =∑（z）*) 因此J的上边界是z*.现在让Z*t=z*- Jt和Θ*t=Θ*经验{-Lt/（z）*（1+z）*))}, 注意，只要L增加，（相当于Θ减少），我们就有Z=Z*. 因此，Z的动力学由dz控制*t=∧（Z）*t） dt+∑（Z）*t） dBt+Γ（Z）*t） dBt+Z*t（1+Z）*t） dΘ*Θ*t、现在设定X*t=YtΘ*t/Z*t、 C*t=X*t[g（Z）*（t）- Z*tg′（Z）*t） /（1）- R） ]-1/兰特∏*t=λσX*tψg（Z）*t）。然后X*C*积极、适应、过度*t=YtΘ*tZ*t“dΘ*Θ*t+dYtYt-dZ*tZ*t+dZ*tZ*T-dYtYtdZ*tZ*t#=Xtα -∧（Z）*t） Z*t+σ（Z）*t）（Z）*t） +Γ（Z）*t）（Z）*t） +2ρΓ（Z）*t） ∑（Z）*t）（Z）*（t）- ηρ∑（Z）*t） Z*T- ηΓ（Z）*t） Z*Tdt+η -Γ（Z）*t） Z*TdBt-∑（Z）*t） Z*tdBt- Z*tdΘ*Θ*T= (λσΠ*t+rX*T- C*t） dt+σ∏*tdBt- 年初至今*t、其中，我们使用∧、∑、Γ和ψg的定义作为最终等式。紧随其后的是X*是由消费、投资组合和销售策略产生的财富过程（C*, Π*, Θ*). 定理7的证明。首先，我们证明了存在这样一种策略，即候选值函数是附加的，因此V≥ G.首先观察如果z=yθ/x>z*那么θ- Θ*= θ1.-Z*1+z*1+zz安德斯*= x+y（θ）- Θ*) = x（1+z）（1+z）*)因此，yΘ*/十、*= Z*.

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