基于过程的风险度量与离散时间的风险规避控制

2022-5-7 03:28:47

基于过程的离散时间系统风险度量和风险规避控制*Andrzej Ruszczy\'nski+2014年11月5日；2016年2月15日修订；修订版2016年11月摘要对于受控离散时间随机过程，我们引入了一类新的动态风险度量，我们称之为基于过程的。它们的主要特点是，它们衡量的是作为基本流程历史函数的流程的风险。我们引入了条件随机时间一致性的一个新概念，并利用这个性质导出了基于过程的风险度量的结构。我们证明了它们可以等价地表示为基本过程状态函数空间上的一组静态定律不变风险测度。将这一结果应用于受控马尔可夫过程，导出了动态规划方程。关键词：动态风险度量、时间一致性、动态规划1简介本文的目的是为受控离散随机过程，特别是马尔可夫过程的动态风险度量理论提供理论基础。离散时间动态风险度量理论在过去10年中得到了深入发展（见[42,35,38,17,10,41,2,34,23,22,11]及其参考文献）。基本设置如下：我们有一个概率空间(Ohm, F，P），过滤{Ft}t=1，。。。，通过一个平凡的f，我们定义了适当的空间ztft可测随机变量，t=1，TForeach t=1，T，a映射ρT，T:ZT→ ZT被称为条件风险度量。该理论的核心是时间一致性的概念，它调节不同s和t的映射ρt，和ρs，t之间的关系。文献中使用的一个定义如下：对于所有Z，W∈ ZT，如果ρt，t（Z）≤ ρt，t（W）然后ρs，t（Z）≤ ρs，T（W）表示所有s<T。

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2022-5-7 03:28:50

这可以用来推导递推关系ρt，t（Z）=ρtρt+1，t（Z）, 使用更简单的一步条件风险映射ρt:Zt+1→ Zt，t=1，T- 1.大量工作致力于推导条件风险映射的双重表示，并研究它们在各种环境中的演化。*罗格斯大学，罗特科尔，皮斯卡塔韦，新泽西州，08854，美国，电子邮件：jf546@rutgers.edu+罗格斯大学管理科学与信息系统系，美国新泽西州皮斯卡塔韦08854，电子邮件：rusz@rutgers.eduWhen应用于受控核描述的过程，尤其是马尔可夫过程，风险的动态度量理论遇到了困难。空间zt因不同而不同，因此每个一步映射ρthas都是不同的域和范围空间。由于Zt包含所有可测量的随机变量，允许ρt对过去的任意依赖。此外，不存在适用于马尔可夫控制问题的法律不变性动态风险度量的令人满意的理论（在[25]和[43]中对法律不变性的限制性定义导致了实用性有限的结论，而将[45]的方法转化为马尔可夫情况似乎很困难）。在受控进程的情况下，当控制策略改变进程路径空间上的概率度量时，这些困难就更加复杂了。需要对控制政策定义的整个过程系列进行风险度量。基于这些问题，在[40]中，我们引入了一类特定的动态风险度量，非常适合马尔可夫问题。我们假设一步条件风险映射ρt有一种特殊形式，它允许它们在定义在马尔可夫过程状态空间上的函数空间中用静态风险度量表示。

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2022-5-7 03:28:53

这种限制使得动态规划方程和相应的求解方法得以发展，从而推广了期望值问题的著名结果。我们的想法在[8,7,28,44]中得到了成功的扩展。然而，我们对马尔可夫风险测度的构造似乎有些罕见。在本文中，我们介绍并分析了一类通用的风险度量，我们称之为基于过程的风险度量。我们考虑一个受控过程{Xt}t=1，。。。，t波兰空间X（状态空间）中的赋值，其条件分布由受控历史相关的transitionkernelsQt:Xt×U描述→ P（X），t=1，T- 1，其中xt=X×···×X |{z}t次，U是某个控制空间。允许任何历史相关（可测量）控制ut=πt（x，…，xt）。在这种情况下，我们只对测量Zt=ct（Xt，ut），t=1，…，形式的随机过程的风险感兴趣，T，其中ct:X×U→r可以是任何有界可测函数。这种对需要测量风险的随机过程的限制是我们方法的两个基石之一。另一个基石是我们的随机条件时间一致性的新概念。它比通常的时间一致性更具限制性，因为它涉及条件分布，并使用随机优势，而不是逐点顺序。这两个基础允许发展动态风险度量理论，该理论可以用状态空间X上可测函数空间V上的一系列静态定律不变风险度量来完全描述。在受控马尔可夫过程的特殊情况下，我们推导了[40]中假设的结构，从而提供了坚实的理论基础。

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mingdashike22

2022-5-7 03:28:56

我们还推导了比[40]更一般的动态规划方程。在现有文献中，已经采用了三种在马尔可夫决策过程中引入风险规避的基本方法：效用函数（见[19,20,14,4,21]）、均值-方差模型（见[46,16,29,1]）和熵（指数）模型（见[18,30,5,12,15,27,4]）。我们的方法推广了效用模型和指数模型；除[9]版本外，均值-方差模型一般不满足单调性和时间一致性条件。论文的结构如下。在第2.1-2.3节中，我们将基本模型形式化，并回顾风险度量的概念及其时间一致性。第一组原始结果见第2.4节；我们引入了随机条件时间一致性的一个新概念，刻画了具有这一性质的动态风险测度的结构（定理2.10）。第3节，我们将这些思想推广到受控过程的情况，并证明了关于这种情况下风险度量结构的定理3.3。这些结果在第4节中被进一步专门化为受控马尔科夫过程。我们引入了马尔可夫风险测度的概念，并导出了它的结构（定理4.4）。在第4.2节中，我们证明了这种情况下的动态规划方程的模拟。2基于可观测过程的风险度量在本节中，我们将介绍离散时间内非受控随机过程的动态风险度量的基本概念和性质。在2.1小节中，我们建立了概率框架，在2.2小节和2.3小节中，我们回顾了文献中存在的一些重要概念。

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能者818

2022-5-7 03:28:59

在2.4小节中，我们引入了随机条件时间一致性的新概念，它比标准时间一致性对动态风险度量有更高的要求，对受控随机过程特别有用。基于这个概念，我们推导了涉及转移风险映射的动态风险测度的结构：状态函数空间上的静态风险测度族。2.1初步在所有后续考虑中，我们使用波兰空间子集X和规范可测空间XT，B（X）T其中T是一个自然数，B（X）是borelset的乘积σ-代数。我们使用{Xt}t=1，。。。，To表示正则投影的离散时间过程。我们还将Ht=Xt定义为截至时间t的可能历史的空间，并将Ht用于Ht的一般元素：截至时间t的特定历史。随机向量（X，···，Xt）将用Ht表示。我们假设对于所有t=1，T- 1，在给定X，···，Xt的情况下，描述Xt+1的条件分布的转移核是可测函数qt:Xt→ P（X），t=1，T- 1，（1）其中P（X）是（X，B（X））上的概率测度集。这些核，连同X的初始分布，用乘积σ-代数在乘积空间XT上定义了唯一的概率测度P。对于上述随机系统，我们考虑一系列随机变量{Zt}t=1，。。。，Ttaking值inR；我们假设较低的Zt值是首选（例如，Zt代表时间t的“成本”）。我们需要{Zt}t=1，。。。，t有界并适应{Ft}t=1，。。。，T——过程X产生的自然过滤。为了便于我们的讨论，我们引入以下空格：Zt=nZ:XT→RZ是Ft可测且有界的，t=1，T.（2）那么就相当于说Zt∈ Zt。我们还介绍了空间szt，T=Zt×···×Zt，T=1。

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2022-5-7 03:29:03

因为zt是可测的，所以可测函数φT:Xt→使Zt=φt（X，…，Xt）。尽管有点滥用符号，我们仍然使用ZT来表示这个函数。2.2动态风险度量在本小节中，我们快速回顾了与风险度量相关的一些定义和概念。随机变量之间的所有关系（如等式、不等式）都是从“无处不在”的意义上理解的。定义2.1。A映射ρt，t:Zt，t→ Zt，其中1≤ T≤ 如果它具有单调性，则称为条件风险度量：对于Zt，T，if Zs中的所有（Zt，…，Zt）和（Wt，…，Wt）≤ Ws，对于all=t，然后ρT，T（Zt，…，Zt）≤ ρt，t（Wt，…，Wt）。定义2.2。条件风险度量ρt，t:Zt，t→ 如果ρt，t（0，…，0）=0，则Zt（i）被归一化；（ii）如果所有（Zt，…，Zt）都是平移不变的∈ Zt，T，ρT，T（Zt，…，Zt）=Zt+ρT，T（0，Zt+1，…，Zt）。在整篇论文中，我们假设所有条件风险度量至少是标准化的。平移方差是一个基本属性，也将被频繁使用；在归一化条件下，它意味着ρt，t（Zt，0，··，0）=Zt。定义2.3。一个条件风险度量ρt，Thas是局部属性ifAρt，t（Zt，…，Zt）=ρt，t（AZt，…，AZt），用于所有（Zt，…，Zt）∈ Zt，Tand代表所有项目A∈ Ft.本地财产是指时间t时的条件风险度量仅限于任何Ft事件，不受Zt，ZT接受Ac定义2.4。动态风险测度ρ=ρt，tt=1，。。。，这是一系列条件风险度量ρt，t:Zt，t→ Zt。我们说ρ是归一化的，平移不变的，或者具有局部性质，如果所有ρt，t，t=1。

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大多数88

2022-5-7 03:29:06

，T，满足定义2.2或2.3.2.3时间一致性的各自条件时间一致性的概念可以用不同的方式表述，假设较弱或较强；但关键思想是，如果一个成本序列与另一个成本序列相比，具有相同的当前成本和未来较低的风险，那么它应该具有较低的当前风险。在本小节和下一小节中，我们将讨论时间一致性的两种表述：标准表述和我们的新提议，特别适用于基于过程的度量。我们还展示了塔的属性（时间一致性所暗示的ρt和ρt+1，t之间的递归关系）是如何随着更明确的时间一致性概念而改善的。[40]采用了以下时间一致性定义。定义2.5。动态风险度量ρt，tt=1，。。。，这是时间一致的，如果任何1≤ t<t和forall（Zt，…，Zt），（Wt，…，Wt）∈ Zt，情况如何Zt=Wt，ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）≤ ρt+1，t（Wt+1，…，Wt），意味着ρt，t（Zt，…，Zt）≤ ρt，t（Wt，…，Wt）。事实证明，一个平移不变且时间一致的动态风险度量可以分解为所谓的一步条件风险映射，然后由其重构。定理2.6（[40]）。动态风险度量ρt，tt=1，。。。，当且仅当存在映射ρt:Zt+1时，是平移不变和时间一致的→ Zt，t=1，T- 1，满足单调性和规范化性质，称为一步条件风险映射，因此对于allt=1，T- 1，ρt，t（Zt，…，Zt）=Zt+ρtρt+1，t（Zt+1，…，Zt）. （3）这种关系与效用函数的库普曼方程[24]有关。

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2022-5-7 03:29:09

运算符a（Zt，Zt+1）=Zt+ρt（Zt+1）将聚合器的概念概括为风险度量。一般来说，时间一致性并不意味着本地属性，除非满足其他条件。从概念上讲，一步条件风险映射与一步条件期望起着类似的作用，并且在涉及塔楼属性的模拟时非常有用。在这个阶段，如果没有进一步的假设，它仍然是一个相当抽象和一般的对象，很难描述。在[21]中，对于期望效用模型，ρtwa是其参数的逐点单调变换的条件期望。在[40]中，对这种一步条件风险映射施加了一种更一般但似乎特殊的形式，非常适合马尔可夫应用，但尚不清楚是否存在其他形式的此类映射。为了更深入地理解这些概念，我们引入了时间一致性的更强概念，并且我们认为任何一步条件风险映射都是[40]中假设的形式。为此，我们使用空间的特殊结构XT，B（X）T以及概率度量在这个空间上的定义方式。2.4随机条件时间一致性和转移风险映射我们现在重新定义了基于过程的风险度量的时间一致性概念。定义2.7。动态风险度量ρt，tt=1，。。。，这是关于{Qt}t=1，…，的随机条件时间一致性，。。。，T-1如果有任何1≤ T≤ T-1.对于任何ht∈ Xt和所有（Zt，…，Zt），（Wt，…，Wt）∈Zt，T，条件Zt（ht）=重量（ht），ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）| Ht=Ht圣ρt+1，t（Wt+1，…，Wt）| Ht=Ht,（4）隐含ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）≤ ρt，t（Wt，…，Wt）（ht），（5）其中sti是被理解为如下的条件随机顺序：Qt（ht）x |ρt+1，t（Zt+1。

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2022-5-7 03:29:12

，ZT）（ht，x）>η≤ Qt（ht）x |ρt+1，t（Wt+1，…，Wt）（ht，x）>η, η ∈R.当从上下文中清楚地选择底层转换核时，我们将简单地说，动态风险度量是随机条件时间一致的。提议2.8。如果是动态风险度量ρt，tt=1，。。。，它是随机条件时间一致且具有平移性质，然后是时间一致且具有局部性质。证据如果ρt，tt=1，。。。，它是随机条件下时间一致的，那么它满足定义2.5并且是时间一致的。让我们通过从t到1的归纳证明ρt，t具有局部性质。显然，ρT，Tdoes：如果A∈ FT，则定义为2.2 yieldsAρT，T（ZT）=AZT=ρT，T（AZT）。假设ρt+1，t为约1的局部性质≤ t<t，并考虑任何A∈ 不管怎样∈ Xt和任何（Zt，…，Zt）∈ Zt，T。可能发生两种情况如果α（ht）=0，那么[AZt]（ht）=0。t+1的本地属性产生：ρt+1，t（AZt+1，…，AZt）（ht，·）=Aρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）=0。根据随机条件时间一致性，ρt，t（AZt，AZt+1，…，AZt）（ht）=ρt，t（0，…，0）（ht）=0.o如果a（ht）=1，那么[AZt]（ht）=Zt（ht）。t+1的局部性质意味着ρt+1，t（AZt+1，…，AZt）（ht，·）=Aρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）=ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）。通过随机条件时间一致性，ρt，t（AZt，…，AZt）（ht）=ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）。在这两种情况下，ρt，t（AZt，…，AZt）（ht）=Aρt，t（Zt，…，Zt）（ht）。通常，第2.2节中动态风险度量的定义和第2.3节中时间一致性属性的定义适用于对潜在概率空间的任何过滤(Ohm, F，P），而不是过程生成的过滤。

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2022-5-7 03:29:15

然而，从现在起，我们只考虑由特定流程产生的过滤定义的dynamicrisk度量，因为我们对可以在每个特定历史路径上评估的风险度量感兴趣。这就是为什么我们称这些风险度量为“基于过程的”下面的命题表明，随机条件时间一致性意味着一步风险映射ρtca可以等价地表示为V上的静态法律不变风险度量，即X上所有有界可测函数的集合。我们首先稍微定义了法律不变的标准概念。定义2.9。风险度量r:V→关于（X，B（X））上概率测度的Ris定律不变量，如果对于所有V，W∈ VVq~ W=> r（V）=r（W），其中Vq~ W表示q{V≤ η} =q{W≤ η} 总的来说η∈R.我们现在可以陈述本节的主要结果。定理2.10。基于过程的动态风险度量ρt，tt=1，。。。，当且仅当泛函σt：图（Qt）×V→R、 t=1，T- 1，存在，这样（i）对于所有t=1，T-全部1和1∈ 函数σt（ht，Qt（ht），·）是V上关于分布Qt（ht）的标准化、单调和规律不变的风险度量；（ii）对于所有t=1，T- 1.所有人（Zt，…，Zt）∈ Zt、T和所有ht∈ Xt，ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）=Zt（ht）+σtht，Qt（ht），ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）. （6）此外，对于所有t=1，T- 1，σ由ρt唯一确定，Tas如下：对于每个ht∈ 每v∈ 五、 σt（ht，Qt（ht），V）=ρt，t（0，V，0，…，0）（ht），（7）式中V∈ Zt+1满足方程V（ht，·）=V（·），在其他地方可以任意。证据

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2022-5-7 03:29:18

假定ρt，tt=1，。。。，它具有平移不变性和随机条件时间一致性。我们将证明σt满足（6）–（7）的存在性。公式（7）定义了空间V上的标准化单调风险度量。定义了固定ht∈ Xt，v（x）=ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，x），十、∈ 十、 V（ht+1）=v（x），如果ht+1=（ht，x），则为0，否则为。通过平移不变性和归一化，ρt+1，t（V，0，…，0）（ht，·）=V（ht，·）=ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）。因此，根据平移性质和随机条件时间一致性，ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）=Zt（ht）+ρt，t（0，Zt+1，…，Zt）（ht）=Zt（ht）+ρt，t（0，V，0，…，0）（ht）=Zt（ht）+σt（ht，Qt（ht），V）。这个关系链也证明了σt的唯一性。我们只需要验证σt（ht，Qt（ht），·）的假定定律不变性。如果V，V′∈ Zt+1具有相同的条件分布，给定ht，则定义2.7意味着ρt，t（0，V，0，…，0）（ht）=ρt，t（0，V′，0，…，0）（ht），以及（7）中的定律不变性。另一方面，如果存在这种转移风险映射，那么ρt，tt=1，。。。，这是由σ（ht，·）的单调性和定律不变性随机条件时间一致的。现在我们可以使用（6）来获得任意t=1，T- 1.无论如何∈ xtt表示下列恒等式：ρt，t（0，Zt+1，…，Zt）（ht）=σtht，Qt（ht），ρt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）= ρt，t（Zt，…，Zt）（ht）- Zt（ht），是ρt，t的平移不变性。备注2.11。考虑到在受控过程中的应用，我们稍微滥用了符号，将分布Qt（ht）作为过渡风险映射的参数。例2.12。在风险敏感马尔可夫决策过程理论中，采用了以下一系列熵风险度量（见[18,30,13,39,5,12,15,27,4]）：ρt，t（Zt，…，Zt）=γln进出口γPTs=tZsFti, t=1。

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能者818

2022-5-7 03:29:21

，T，γ>0。它是随机条件时间一致的，对应于转移风险映射σt（ht，q，v）=γlnEq[eγv]=γlnZXeγv（x）q（dx）, γ > 0. （8）在构建动态风险度量时，我们使用q=Qt（ht）。我们还可以使γin（8）依赖于时间t、当前状态xt，甚至整个历史ht，并且仍然获得随机条件下时间一致的动态风险度量。如果γ仅依赖于t和xtonly，则映射（8）对应于第4.1节和第4.2节中讨论的马尔可夫风险度量。例2.13。以下转移风险映射满足定理2.10的条件，并对应于随机条件下时间一致的动态风险度量：σt（ht，q，v）=ZXv（s）q（ds）+κt（ht）ZXh五(s)-ZXv（s′）q（ds′）+ipq（ds）！1/p，（9）式中κt:Xt→ [0,1]是一个可测函数，p∈ [1, +∞). 它类似于风险的静态平均-半偏差度量，其与随机优势的一致性是众所周知的[31,32]。在构建动态风险度量时，我们使用q=Qt（ht）。如果κtdepends仅在xtonly上，则映射（9）对应于马尔可夫风险度量（见第4.1和4.2节）。例2.14。以下转换风险映射源自风险平均值[36]：σt（ht，q，v）=minη∈R（η+αt（ht）ZX五(s)- η+q（ds）），（10），其中αt（ht）是一个可测函数，其值为[αmin，αmax] (0, 1). 映射（10）满足定理2.10的条件；它与随机优势的一致性是众所周知的[33]。例2.15。我们在定义随机条件时间一致性时使用了随机优势关系，排除了一些转移风险映射的可能性。假设σt（ht，q，v）=v（x），其中x∈ X是一个选定的状态。作为最后一个参数的函数，这种映射是一种连贯的风险度量，可能具有法律不变性。

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2022-5-7 03:29:26

特别地，它是定律不变量，X={X，X}，q（X）=1/3，q（X）=2/3，v（X）=3，v（X）=1，w（X）=2，w（X）=4。对于这个映射，我们有但是σt（ht，q，v）>σt（ht，q，w），因此违反了随机条件时间一致性的条件。这是因为达到x的概率，无论多么小，都不会影响风险度量的值。我们有意识地排除这种情况，因为InControl系统将在下一节讨论，第二个参数（q）是唯一取决于我们的决定的参数。如果要获得有实际意义的结果，就应该将其纳入我们偏好的定义中。3受控随机过程的风险度量我们现在扩展了第2节的设置，允许内核（1）依赖于控制变量ut。3.1模型我们仍然使用{Xt}t=1，。。。，在空间XT上引入Borel控制空间U。在每个时间t，我们观察状态XT，然后应用控制ut∈ 我们假设可容许控制集和转移核（下一状态的条件分布）依赖于所有当前已知的状态和控制值。更准确地说，我们做出以下假设：1。对于所有t=1，T，我们需要ut∈ Ut（x，u，…，xt）-1，犹他州-1，xt），其中Ut:Gt=> U是可测量的，G，GT是应用每个控件之前所有当前已知状态和控件值的历史记录集：G=X，Gt+1=图形（Ut）×X （X×U）t×X，t=1，T- 1.2.对于所有t=1，依赖于控制的转换核qt:graph（Ut）→ P（X），t=1，T- 1，（11）是可测量的，对于所有t=1，T-1，适用于所有（x，u，…，xt，ut）∈ 图（Ut），Qt（x，u。

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2022-5-7 03:29:29

，xt，ut）描述了给定当前已知状态和控件的xt+1的条件分布。对于这个受控过程，一个（确定性的）依赖历史的容许策略π=（π，…，πT）是一系列可测量的选择器，称为决策规则πT:Gt→ U使得πt（gt）∈ Ut（gt）适用于所有gt∈ Gt。通过t上的归纳，我们可以很容易地证明，对于一个可容许的策略π，每个πt都在Xt上化为一个可测函数，因为对于所有的s=1，T- 1.我们仍然使用π来表示决策规则，尽管它在形式上是一个不同的函数；这不会导致任何误解。可容许策略集为∏：=π=（π，…，πT）|t、 πt（x，…，xt）∈ Ut（x，π（x），xt-1，πt-1（x，…，xt）-1），xt）.（12）对于任何固定政策π∈ π，过渡核可以重写为可测函数，从xto到P（X）：Qπt：（X，…，xt）7→ Qtx、 π（x），πt（x，…，xt）, t=1，T- 1，（13）与（1）中给出的非受控情况的转移核一样，但以π为索引。因此，对于任何政策π∈ 我们可以考虑{Xt}t=1，。。。，在概率空间上，这是一个“非受控”过程XT，B（X）T，PπPπ由{Qπt}t=1定义，。。。，T-1.过程{Xt}适用于独立于政策的过滤{Ft}t=1，。。。，T.和之前一样，在本文中，ht∈ xt代表（x，…，xt）。我们仍然使用相同的空间Zt，t=1，T，如（2）所述，每个阶段产生的成本；这些空间还允许我们将控制相关成本视为Z1，T中政策指数成本的集合。因此，我们能够为每个固定π定义和分析（时间一致的）动态风险度量ρπ∈ π，如第2节所述。注意，ρπ是在相同的空间中独立定义的，因为过滤和空间Zt，t=1。

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2022-5-7 03:29:32

T不依赖于π；然而，我们不需要用政策π来衡量风险度量，因为转移核以及空间XT上的概率度量都依赖于π。3.2随机条件时间一致性和转移风险映射我们需要比较不同政策之间的风险水平，因此风险度量ρπ与π之间有意义的顺序∈ 是需要的。事实证明，我们的随机条件时间一致性概念可以扩展到这种情况。定义3.1。一系列基于过程的动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，T-1对于任何π，π′是随机条件时间一致的∈ π，对于任何1≤ t<t，尽管如此∈ Xt，全部（Zt，…，Zt）∈Zt，Tand all（重量，…，重量）∈ Zt，T，条件Zt（ht）=重量（ht），ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）| Hπt=ht圣ρπ′t+1，t（Wt+1，…，Wt）| Hπ′t=ht,隐含ρπt，t（Zt，…，Zt）（ht）≤ ρπ′t，t（Wt，…，Wt）（ht）。备注3.2。与定义2.7一样，条件随机顺序“st”的理解如下：对于所有η∈Rwe haveQπt（ht）x |ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，x）>η≤ Qπ′t（ht）x |ρπ′t+1，t（Wt+1，…，Wt）（ht，x）>η.这个定义有助于我们在动态风险度量ρπ之间建立联系∈ 就像我们在下面解释的那样。在讨论细节之前，我们可以简单地说，与非受控情况下相同的过渡风险映射是此类风险措施的唯一可能结构。如果一系列基于流程的动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，T-1是随机条件一致的，那么对于每个固定π∈ 基于过程的动态风险度量ρπt，tt=1，。。。，T-1如定义2.7所定义，必须有条件地保持时间一致。根据命题2。10，对于每个π∈ π，存在泛函σπt：图（Qπt）×V→R、 t=1。T- 1，这样对于所有t=1。

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mingdashike22

2022-5-7 03:29:35

T- 1.好的∈ 函数σπt（ht，Qπt（ht），·）是vw上关于分布Qπt（ht）和ρπt，t（Zt，…，Zt）（ht）=Zt（ht）+σπt的一个定律不变的风险度量ht，Qπt（ht），ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）, ht∈ Xt。考虑任意π，π′∈ π，ht∈ Xt和（Zt，…，Zt）∈ Zt，T，（重量，…，重量）∈ Zt，TsuchZt（ht）=Wt（ht），Qπt（ht）=Qπ′t（ht），ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）=ρπ′t+1，t（Wt+1，…，Wt）（ht，·）。然后我们有ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）| Hπt=ht~圣ρπ′t+1，t（Wt+1，…，Wt）| Hπ′t=ht,亲戚呢~这意味着站凝视真实；换句话说，法律上的平等。由于随机条件时间一致性，ρπt，t（Zt，…，Zt）（ht）=ρπ′t，t（Wt，…，Wt）（ht），从何处σπtht，Qπt（ht），ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·）= σπ′tht，Qπ′t（ht），ρπ′t+1，t（Wt+1，…，Wt）（ht，·）.σπ和σπ′皮重的三个参数都相同。因此，σπ并不直接依赖于π，所有对π的依赖都由受控核Qπt进行。当我们将动态风险度量应用于控制问题时，这是一个非常理想的性质。我们在下面的定理中总结了这个重要的观察结果，它将定理2.10扩展到了受控过程的情况。定理3.3。一系列基于过程的动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，当且仅当存在泛函σt:[π∈π图（Qπt）×V→R、 t=1。T- 1，这样：（i）对于所有t=1，T- 全部1和1∈ Xt，σt（ht，·，·）是标准化的，对于随机优势具有以下强单调性：q、 q∈Qπt（ht）：π∈ Π, v、五∈ 五、（V；q）st（v；q）==> σt（ht，q，v）≤ σt（ht，q，v），其中（v；q）=qo 五、-1表示“q下v的分布（ii）对于所有π∈ 对于所有t=1，T- 1.对于所有人（Zt。

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2022-5-7 03:29:39

，ZT）∈ Zt、T和所有ht∈ Xt，ρπt，t（Zt，…，Zt）（ht）=Zt（ht）+σt（ht，Qπt（ht），ρπt+1，t（Zt+1，…，Zt）（ht，·））。（14）此外，对于所有t=1，T- 1，σ由ρt唯一确定，Tas如下：对于每个ht∈ Xt，对于每一个q∈Qπt（ht）：π∈ Π, 对于每一个v∈ 五、 σt（ht，q，V）=ρπt，t（0，V，0，…，0）（ht），（15），其中π是任何允许的策略，使得q=qπt（ht），和V∈ Zt+1满足方程V（ht，·）=V（·），在其他地方可以任意。证据我们已经证明了{σt}t=1，。。。，t在定理前面的讨论中证明（14）和（15）。我们可以通过（15）和定义3.1验证强定律不变性。因此，示例2.12、2.13和2.14中的转移风险映射也完全适合于受控过程的转移风险映射，前提是相应的参数（γ、κ和α）仅依赖于t和XT。4受控马尔可夫系统的应用当{Xt}是受控马尔可夫系统时，结果可以进一步专门化，其中我们假设以下条件：（i）容许控制集是当前状态的可测多函数，即Ut:X=>U、 t=1，T（ii）转换内核（11）对历史的依赖仅通过最后一个状态和控件进行：Qt:graph（Ut）→ P（X），t=1，T- 1.（iii）逐步成本仅取决于当前状态和控制：Zt=ct（xt，ut），t=1，T，其中ct:graph（Ut）→R、 t=1，T是可测有界函数。设∏为可容许的历史相关策略集∏：=π=（π，…，πT）|t、 πt（x，…，xt）∈ Ut（xt）.为了简化符号，对于所有π∈ 对于所有可测的c=（c，…，cT），我们写出了c，πt（ht）：=ρπt，tct（Xt，πt（Ht）），cT（XT，πT（HT））（ht）。以下结果是定理3.3在马尔可夫情形下的直接结果。推论4.1。

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2022-5-7 03:29:42

对于受控马尔可夫系统，一系列基于过程的动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，t是平移不变且随机条件时间一致的当且仅当f函数σt:nht，Qt（xt，u）: ht∈ Xt，u∈ Ut（xt）o×V→R、 t=1。T- 1，存在，这样（i）对于所有t=1，T- 全部1和1∈ Xt，σt（ht，·，·，·）是关于随机占优的标准化且强单调的Qt（xt，u）：u∈ Ut（xt）;（ii）对于所有π∈ 对于所有有界可测c，对于所有t=1，T- 1.无论如何∈ Xt，vc，πt（ht）=ct（Xt，πt（ht））+σtht，Qt（xt，πt（ht）），vc，πt+1（ht，·）. （16）证据。为了验证“当且仅当”陈述，我们可以证明（15）是真的，如果σt对所有可测量的有界c是（16）。4.1马尔可夫风险度量考虑由状态相关的可测决策规则πt:x7组成的马尔可夫策略π→ U、 t=1，T由于转移核的马尔可夫性质，对于马尔可夫策略π，过程{Xτ}τ=t，。。。，这完全取决于当前状态xt，未来成本的分布cτ（Xτ，πτ（Xτ）），τ=t，T因此，可以合理地假设，条件风险度量对历史的依赖性也仅由当前州承担。定义4.2。一系列基于过程的动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，t对于一个受控马尔科夫系统，对于所有的马尔科夫策略π，它是马尔科夫if∈ π，对于所有可测量的c=（c，…，cT），对于所有的ht=（x，…，xt）和h′t=（x，…，x′，t），在xtxt=x′t时，我们有vc，πt（ht）=vc，πt（h′t）。提案4.3。在平移不变性和随机条件时间一致性下，ρπt，tπ∈πt=1，。。。，当且仅当σt的依赖性仅由xt携带时，对于所有t=1，T- 1.证据。认为ρπt，tπ∈πt=1，。。。，这是马尔科夫。对于所有t=1。

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2022-5-7 03:29:46

T- 1.对于所有ht，h\'t∈ 使xt=x′t，对于所有的u∈ Ut（xt）和所有v∈ 五、存在一个马尔可夫π∈ π使得πt（xt）=u。通过设置c=（0，…，0，ct+1，0，…，0）和ct+1:（x′，u′）7→ ρπ的马尔可夫性质意味着σt（ht，Qt（xt，u），v）=vc，πt（ht）=vc，πt（h′t）=σt（h′t，Qt（xt，u），v）。因此，σ实际上是无记忆的，也就是说，它对HTI的依赖性由xtonly携带。假设σt，t=1，T- 1.都没有记忆。我们通过时间倒转的归纳法证明，对于所有的t=t，1，vc，πt（ht）=vc，πt（h′t）对于所有Markovπ和所有ht，h′t∈ 我们有：vc，πt（hT）=cT（xt，πt（xt））=vc，πt（h′t）。我们可以把它写成vc，πT（xT）。如果这个关系对某些t+1是真的≤ 那么对于T，我们得到vc，πT（ht）=ct（xt，πT（xt））+σTQt（xt，πt（xt）），vc，πt+1（ht，·）= ct（xt，πt（xt））+σtQt（xt，πt（xt）），vc，πt+1（·）.右边是xt的函数，而不是ht，我们可以写出风险度量值vc，πt（xt）。通过归纳，结果适用于所有t。定理4.4。对于受控马尔可夫系统，一系列基于过程的动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，当且仅当存在泛函σt时，具有平移不变性、随机条件时间一致性和马尔可夫性：x、 Qt（x，u）: 十、∈ 十、 u∈ Ut（x）×V→R、 t=1。T- 1，其中V是X上有界可测函数的集合，因此：（i）对于所有t=1，T- 1和所有x∈ 十、 σt（X，·，·）是标准化的，关于随机占优，它是强单调的Qt（x，u）：u∈ Ut（x）;（ii）对于所有π∈ 对于所有可测有界c，对于所有t=1，T- 1.无论如何∈ Xt，vc，πt（ht）=ct（Xt，πt（ht））+σtQt（xt，πt（ht）），vc，πt+1（ht，·）.

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2022-5-7 03:29:50

（17）定理4.4为我们提供了一个简单的递推公式（17），用于评估阿马尔科夫政策的风险π：vc，πT（x）=cT（x，πT（x）），x∈ 十、 vc，πt（X）=ct（X，πt（X））+σtx、 Qt（x，πt（x）），vc，πt+1, 十、∈ 十、 t=t- 1.1.它涉及计算状态空间X上函数vc，πt（·）的值。4.2动态编程在本节中，我们计算成本函数c，C并考虑一系列动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，t标准化、平移不变（定义2.2）、随机条件时间一致（定义3.1）和马尔可夫（定义4.2）。我们的目标是分析风险最小化问题：minπ∈πvπ（x），x∈ 为此，我们引入了价值函数族：v*t（ht）=infπ∈πt，t（ht）vπt（ht），t=1，T、 ht∈ Xt，（18）其中∏t，t（ht）是可行的确定性策略集π={πt，…，πt}。如理论4所述。4.过渡风险映射σtt=1，。。。，T-1存在，使得vπt（ht）=ct（xt，πt（ht））+σtQt（xt，πt（ht）），vπt+1（ht，·）, t=1，T- 1, π ∈ π，ht∈ Xt。（19）我们的目的是证明价值函数v*t（·）是无记忆的，也就是说，对于所有的ht=（x，…，xt）和h′t=（x′，…，x′t），因此xt=x′t，我们有v*t（ht）=v*t（h′t）。在这种情况下，稍微滥用一下旋转，我们就写v*t（xt）。为了得到这一小节的主要结果，我们在X上的概率测度空间P（X）上配置了弱收敛拓扑。定理4.5。假设有一系列动态风险度量ρπt，tπ∈πt=1，。。。，它是标准化的、翻译变量的、随机条件时间一致的和马尔可夫的。我们假设以下条件：（i）过渡核Qt（·，·），t=1，T是弱连续的；（ii）对于每个下半连续v∈ 转移风险映射σt（·，·，V），t=1。

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2022-5-7 03:29:54

T，是下半连续的；（iii）函数ct（·，·），t=1，T是下半连续的；（iv）多函数Ut（·），t=1，T是紧值的，上半连续的。然后函数v*t、 t=1，T是无记忆的，下半连续的，并且满足以下动态规划方程：v*T（x）=分钟∈UT（x）cT（x，u），x∈ 十、五*t（x）=分钟∈Ut（x）nct（x，u）+σtx、 Qt（x，u），v*t+1o、 x∈ 十、 t=t- 1.1.此外，一个最优马尔可夫策略^π存在并满足以下方程：^πT（x）∈ 阿格米努∈UT（x）cT（x，u），x∈ 十、 πt（X）∈ 阿格米努∈Ut（x）nct（x，u）+σtx、 Qt（x，u），v*t+1o、 x∈ 十、 t=t- 1.1.证据。我们证明了v的无记忆性*t（·）并通过时间倒序归纳法构造最优马尔可夫策略。无论如何∈ 我们有*T（hT）=infπ∈πcT（xT，πT（hT））=infu∈UT（xT）cT（xT，u）。（20）因为cT（·，·）是下半连续的，所以它是一个正常的被积函数，即它的表观映射X 7→ {（u，α）∈ U×R:cT（x，U）≤ α} 是闭值且可测量的[37，定义14.1，Ex.14.31]。由于假设（iv），映射“cT（x，u）=cT（x，u）如果u∈ UT（x）+∞ 否则，也是正规被积函数。根据[37，Thm.14.37]，得到了（20）中的最大值，并且是xT的一个可测量函数。因此，v*T（·）是可测量且无记忆的。根据假设（iii）和（iv）以及Berge定理，它也是下半连续的（参见[3，Thm.1.4.16]）。此外，最优解映射ψT（x）=U∈ UT（x）：cT（x，u）=v*T（x）是可测量的，并且具有非空和闭合值。因此，一个可测量的选择器^πTofψTexists[26]，[3，Thm.8.1.3]。假设v*t+1（·）是无记忆的下半连续的，马尔可夫决策规则{πt+1。

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2022-5-7 03:29:58

，πT}的存在使得v*t+1（xt+1）=v{πt+1，…，πt}t+1（xt+1）， ht+1∈ Xt+1。那么对任何人来说∈ 我们有*t（ht）=infπ∈πvπt（ht）=infπ∈πnct（xt，πt（ht））+σtQt（xt，πt（ht）），vπt+1（ht，·）o、一方面，由于vπt+1（ht，·）≥ 五、*t+1（·）和σ对于最后一个参数是非递减的，我们得到v*t（ht）≥ infπ∈πnct（xt，πt（ht））+σtQt（xt，πt（ht）），v*t+1o=infu∈Ut（xt）nct（xt，u）+σtxt，Qt（xt，u），v*t+1o、（21）根据假设（i）-（iii），映射（x，u）7→ ct（x，u）+σt（x，Qt（x，u），v*t+1）是下半连续的。再次调用[37，Thm.14.37]和假设（iv），就像在t=t的情况下一样，我们得出最优解映射ψt（x）=nu∈ Ut（x）：ct（x，u）+σtx、 Qt（x，u），v*t+1= 英孚∈Ut（x）nct（x，u）+σtx、 Qt（x，u），v*t+1OO是可测量的，具有非空和闭合值；因此，一个可测量的选择器^πtofψtexists[3，Thm.8.1.3]。将这个选择器代入（21），我们得到v*t（ht）≥ ct（xt，^πt（xt））+σtQt（xt，πt（xt）），v{πt+1，…，πt}t+1= v{πt，…，πt}t（xt）。在上一个等式中，我们使用了（19）和决策规则^πt，π皮重马尔科夫。另一方面，v*t（ht）=infπ∈πvπt（ht）≤ v{πt，…，πt}t（xt）。因此，v*t（ht）=v{πt，…，πt}t（xt）是可测量的，无记忆的，v*t（xt）=分钟∈Ut（xt）nct（xt，u）+σtxt，Qt（x，u），v*t+1o=ct（xt，^πt（xt））+σtQt（xt，^πt（xt）），v*t+1.通过假设（ii）、（iii）、（iv）和Berge定理，v*t（·）是下半连续的（参见，例如[3，Thm.1.4.16]）。这就完成了导入步骤。备注4.6。如果我们在假设（ii）-（iv）中将半连续性替换为连续性，那么值函数v*t、 t=1，T将是连续的。证据是一样的。让我们验证示例2.13中均值-半偏差转移风险映射的弱下半连续性假设（ii）。

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mingdashike22

2022-5-7 03:30:02

为了使映射是马尔可夫的，我们假设参数κ仅依赖于x，即σ（x，q，v）=ZXv（s）q（ds）+κ（x）ZX五(s)-ZXv（s′）q（ds′）+pq（ds）！1/p.（22）和以前一样，p∈ [1, ∞). 为了简单起见，我们跳过σ和κ的下标t。引理4.7。假设κ（·）是连续的。然后对于每一个下半连续函数v，映射（x，q）7→ （22）中的σ（x，q，v）是下半连续的。证据让qk→ q弱与xk→ x、为了所有的人∈ 我们有不等式≤五(s)-ZXv（s′）q（ds′）+≤五(s)-ZXv（s′）qk（ds′）++ZXv（s′）qk（ds′）-ZXv（s′）q（ds′）+.利用Lp（X，B（X），qk），ZX中范数的三角不等式五(s)-ZXv（s′）q（ds′）p+qk（ds）！1/p≤ZX五(s)-ZXv（s′）qk（ds′）p+qk（ds）！1/p+ZXv（s′）qk（ds′）-ZXv（s′）q（ds′）+.在两边加上rxv（s）q（ds），我们得到zxv（s）q（ds）+ZX五(s)-ZXv（s′）q（ds′）p+qk（ds）！1/p≤ZX五(s)-ZXv（s′）qk（ds′）p+qk（ds）！1/p+最大值ZXv（s）qk（ds），ZXv（s）q（ds）.利用v的下半连续性和qkto q的弱收敛性，我们得到了ZXV（s）q（ds）≤ 林因夫→∞ZXv（s）qk（ds），也就是说，对于每一个ε>0，我们可以找到kε，使得对于所有的k≥ kεZXv（s）qk（ds）≥ZXv（s）q（ds）- ε.因此，对于这些k，我们得到zxv（s）q（ds）+ZX五(s)-ZXv（s′）q（ds′）p+qk（ds）！1/p≤ZXv（s）qk（ds）+ZX五(s)-ZXv（s′）qk（ds′）p+qk（ds）！1/p+ε。取两边的“lim-inf”，利用qkto-q的弱收敛性和积分函数的下半连续性，我们得出zxv（s）q（ds）+ZX五(s)-ZXv（s′）q（ds′）p+q（ds）！1/p≤ 林因夫→∞ZXv（s）qk（ds）+ZX五(s)-ZXv（s′）qk（ds′）p+qk（ds）！1/p+ ε.由于ε>0是任意的，最后一个关系式证明了在κ（x）的情况下σ的下半连续性≡ 1.

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2022-5-7 03:30:06

连续κ（x）的情况∈ [0，1]现在可以通过注意σ（x，q，v）是期望值和最后显示的关系的风险度量的凸组合来轻松分析：σ（x，q，v）=1.- κ（x）ZXv（s）q（ds）+κ（x）ZXv（s）q（ds）+ZX五(s)-ZXv（s′）q（ds′）p+q（ds）！1/p.由于这两个分量在（x，q）中是下半连续的，所以它们的和也是下半连续的。我们还可以验证示例2.14中风险转移风险映射平均值的弱连续性。为了使映射马尔可夫，我们假设参数α依赖于xonly，即σ（x，q，v）=minη∈R（η+α（x）ZX五(s)- η+q（ds）），（23）为了简单起见，我们跳过了σ和α的下标t。引理4.8。假设α（·）是连续的，取[αmin，αmax]中的值 (0, 1). 然后对于每个连续函数v，映射（x，q）7→ （23）中的σ（x，q，v）是连续的。证据考虑函数（q，η）7→ZX五(s)- η+q（ds）。（24）假设qk→ q弱与ηk→ η. 我们有ZX五(s)- η+qk（ds）≤ZX五(s)- ηk+qk（ds）+ηk- η|.利用两边的“lim-inf”，利用qkto-q的弱收敛性和积分函数的下半连续性，我们得出zx五(s)- η+q（ds）≤ 林因夫→∞ZX五(s)- η+qk（ds）≤ 林因夫→∞ZX五(s)- ηk+qk（ds）。因此，函数（24）是下半连续的。因此，（23）中关于η最小化的函数相对于（x，q，η）是联合下半连续的。自qk以来→ q弱，集合{qk}是紧的（Prohorov定理；参见，例如[6，第1.6节]）。因为v（·）是连续的，所以测量qko 五、-你也很紧。因此，有界区间CRexist使得所有qk的所有α-量子化o 五、-1和qo 五、-1包含在C中，对于所有α∈ [αmin，αmax]。因此，我们可以将ηtoC限制在（23）中，而不影响σ（xk，qk，v）和σ（x，q，v）的值。根据Berge定理，（23）中的最优值是连续的（例如参见[3，Thm。

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2022-5-7 03:30:10

1.4.16]).参考文献[1]A.阿洛托、N.甘斯和J.M.斯蒂尔。均值界方差的马尔可夫决策问题。运筹学，62（4）：864-8752014。[2] P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。一致的多周期风险调整值和贝尔曼原理。运筹学年鉴，152:5-22，2007。[3] J.-P.奥宾和H.弗兰科夫斯卡。集值分析。Birkh"auser，马萨诸塞州波士顿，2009年。[4] N.B"auelle和U.Rieder。风险更敏感的马尔可夫决策过程。运筹学研究数学，39（1）：105–1202013。[5] T.Bielecki、D.Hernández Hernández和S.R.Pliska。离散时间有限状态马尔可夫链的风险敏感控制，应用于投资组合管理。运筹学的数学方法，50（2）：167-1881999。[6] P.比林斯利。概率测度的收敛性。约翰·威利父子公司，2013年。[7] "O. 乔夫斯和A.罗斯茨基。风险规避未贴现瞬时马尔可夫模型的计算方法。运筹学，62（2）：401–417，2014年。[8] "O. 乔夫斯和A.罗斯茨基。未贴现瞬态马尔可夫模型的风险规避控制。暹罗控制与优化杂志，52（6）：3935–A,S–39662014。[9] 陈志强、李国强和赵勇。马尔可夫市场的时间一致性投资政策：均值-方差分析。J.经济。迪纳姆。控制组，40:293–316，2014。[10] P.切里迪托、F.德尔班和M.库珀。有界离散时间过程的动态货币风险度量。概率电子杂志，11:57–106，2006年。[11] P.切里迪托和M.库珀。离散时间内时间一致的动态货币风险度量的组成。《国际理论与应用金融杂志》，14（01）：137-1622011。[12] S.P.科拉鲁皮和S.I.马库斯。离散时间不确定马尔可夫决策过程的风险敏感和极小极大控制。Automatica，35（2）：301-3091999。[13] P.戴普拉，L。

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大多数88

2022-5-7 03:30:14

梅内基尼和W·J·伦格尔迪耶。不确定性下多元离散时间控制问题的显式解。《系统与控制信件》，34（4）：169–1761998年。[14] E.V.德纳多和U.G.罗斯布鲁姆。最优停止、指数效用和线性规划。数学节目，16（2）：228-244，1979年。[15] G.B.迪马西和L。斯特特纳。有限期内离散时间马尔可夫过程的风险敏感控制。暹罗J.控制优化。，38(1):61–78, 1999.[16] J.A.Filar、L.C.M.Kallenberg和H-M.Lee。方差惩罚马尔可夫决策过程。数学奥普。第14（1）号决议：147-1611989年。[17] H·F"ollmer和I·Penner。凸风险测度及其惩罚函数的动力学。《统计与决策》，24（1/2006）：61-962006。[18] R.A.霍华德和J.E.马西森。风险敏感的马尔可夫决策过程。管理科学。，18:356–369, 1971/72.[19] S.C.贾奎特。马尔可夫决策过程具有一个新的最优性准则：离散时间。安。统计学家。，1:496–505, 1973.[20] S.C.贾奎特。马尔可夫决策过程的效用准则。管理科学。，23(1):43–49, 1975/76.[21]A.Jaskiewicz、J.Matkowski和A.S.Nowak。广义贴现随机动态规划中的持续最优策略。运筹学数学，38（1）：108–1212013。[22]A.乔伯特和L.C.G.罗杰斯。估值和动态凸风险度量。《数学金融》，18（1）：1-22，2008年。[23]S.Kl"oppel和M.Schweizer。通过凸风险度量进行动态差异评估。数学《金融》，17（4）：599-6272007。[24]T.C.库普曼。平稳有序的效用和不耐烦。《计量经济学》，第287-3091960页。[25]M.Kupper和W.Schachermayer。定律不变的时间一致性函数的表示结果。数学与金融经济学，2（3）：189-2102009。[26]K.Kuratowski和C.Ryl Nardzewski。关于选择器的一般定理。公牛阿卡德。波隆。Sci。爵士。

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大多数88

2022-5-7 03:30:17

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