根据我们之前的计算，当投资期限τ变大时，极限转移分布由随机变量决定：St+1R∞t、 t+1=bHt+1bHt（21），它揭示了随机贴现因子中的鞅增量。这也表明，由正向测度构造的限制单周期跃迁与Perron–Frobenius跃迁概率一致。Qin和Linetsky（2014a）在更一般的情况下描述了这种限制行为，而不依赖马尔可夫结构。当（21）的右边正好是一时，单期随机贴现因子是限制持有期收益的倒数。卡泽米（1992年）首次注意到了这种联系。更一般地说，根据这个公式对数R∞t、 t+1 | Xt=x≤ E[log St-log St+1 | Xt=x]，（22），因为詹森的《平等》告诉我们，ehlogbht+1-logbHt | Xt=xi≤ 0.Bansal和Lehmann（1997）的投资组合具有最大的增长，即达到（22）右侧的回报投资组合。当logbHt+1时-对数等于零，R∞t、 t+1与最大增长投资组合的回报相一致。AsBansal和Lehmann（1994）指出，Kazemi（1992）的结果忽略了

继g Alvarezand Jermann（2005）之后，我们在第8.3节中使用公式（21）讨论评估随机贴现因子过程中鞅分量大小的经验方法和证据。现在，假设我们改变度量，并使用随机贴现因子形成计算结果：bSt=StbHbHt。在这种情况下对数R∞t、 t+1 | Xt=x=贝洛格斯特-logbSt+1 | Xt=xi。为了解释这一发现，考虑任何一个时期的正回报率Rt，t+1。既然“bSt+1bSt！Rt，t+1 | Ft#=1，应用詹森不等式，bE[log Rt+1 | Ft]≤ EhlogbSt- logbSt+1 | Fti。通过构造，使BP概率测度下随机折扣因子的鞅分量退化。因此，持有期的投资回报为长期债券∞t、 t+1与BST+1/bStas inKazemi（1992）的模型相结合。5一个定量的例子我们现在展示了Bansal和Yaron（2004）提出的一个著名的资产定价结构模型，它暗示了一个显著的m artin gale成分。该模型具有增长率的可预测性和总消费过程的随机波动性。我们利用了Hansen等人（2007）中描述的连续时间布朗信息，该信息根据Ansal and Yaron（2004）中假设的消费动力学进行了校准。我们比较了使用Perron–Frobenius提取相关概率测度、原始概率测度和风险中性测度的应用。在这个例子中，Perron–Frobenius提取产生的概率度量与风险中性度量非常相似，与原始概率度量有很大不同。更一般地说，我们在本节中的目的是表明概率度量的差异可能是本质的，而不是给出一个明确的结论，即它们是本质的。

后一个结论将需要与直接的统计证据对抗，这是我们在第8节讨论的一个方面。假设date-t二元状态向量的形式为Xt=（X1，t，X2，t）′。在这个模型中，X1，t表示乘法函数增长率中的可预测成分，x2，t表示s对短期波动率的贡献。（16）中规定的X s动力学参数u（X）和σ（X）由u（X）=u（X）给出- ι） σ（x）=√x¨σ（23）式中，其中¨¨¨¨0¨u#σ¨σ¨σ#。（24）参数“σ”和“σ”是1×3行向量。向量ι是平稳分布中状态变量的均值向量。我们认为满足条件2的所有乘法泛函M。参数为β（x）和α（x），使得：β（x）=‘β+’β·（x- ι） αx=√x′α。（25）例如，总消耗过程C是一个由（βC（x），αC（x）参数化的乘法函数。附录D提供了以下计算的详细信息。我们在参数化中使用了三个不相关的冲击。直接消费冲击是布朗运动的组成部分，布朗运动是对消费过程的直接创新。增长率冲击是作为增长率X1，t创新的布朗成分，而波动性冲击是波动过程X2，t创新的布朗成分。我们赋予代表性投资者递归的同态偏好，如示例1.2所示。为了方便起见，我们采用了一元替代弹性f，因此使用了（10）的连续时间对应项。这些p参考文献的连续时间版本是由杜菲和爱泼斯坦（1992）以及施罗德和斯基亚达斯（1999）开发的。随机贴现系数solvesd log St=-δdt- d对数Ct+d对数H*t（26）其中H*是方程（12）中鞅的连续时间对应项。H*组件的构造如下所示。

设V为齐次一次效用聚合器的前瞻性延拓值过程，并构造V1-γ，其中γ是风险规避参数。假设消费过程的连续值的对数是对数C和X的可加分离函数。在随机贴现因子演化中，鞅的布朗增量与V1的布朗增量一致-γ. 随机折扣因子继承了函数形式（25）和附录D中导出的参数（βs，αs）。由于消耗过程C是使用永久冲击建模的，因此它还包含一个鞅分量，因此H*这不是从佩伦-弗罗贝尼乌斯问题中产生的鞅。对于Perron-Frobenius概率提取，我们找到了Perron-Frobenius问题3.1的解（be，bη），使得st=exp（bηt）be（X）be（Xt）bHtbH=BSTBTBHANDBH表示满足条件3的概率度量。2.我们在附录中显示，与BP相关的鞅bH采用形式DbHtbht=pX2tbαh·dwt，其中bα是一个向量，取决于模型的参数。这意味着我们可以为鞅H写出相当不同的动机*来自关于稳健性问题和资产定价的文献。例如，See Anderson等人（2003年）。在这种情况下，H*是一种内生确定的概率调整，用于潜在的模型误判。其他基于最大最小效用的模糊厌恶模型也在随机折扣因子中引入了鞅分量。对于给定的参数，可以通过直接计算来检查X在恢复的测度BP下的遍历性和平稳性，以及递归效用随机折扣因子解的存在性。例如，参见Boroviˇcka等人的计算。

（2014）获取详细信息。0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.006-0.004-0.0020.0020.0040.006条件波动率X0。6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.006-0.004-0.0020.0020.0040.006条件波动率X图1：在正确指定的概率测度P（左图）和恢复的概率测度BP（右图）下，状态向量X=（X，X）′的稳态密度f。右面板el中的虚线对应于风险中性概率度量下分布的最外轮廓。模型的参数化为‘βc，0=0.0015，‘βc，1=1，‘βc，2=0，’u=-0.021, u= u= 0, u= -0.013，\'αc=[0.0078 0 0]，\'σ=[0 0.00034 0]，\'σ=[0 0- 0.038], ι= 0, ι= 1, δ = 0.002, γ = 10. 参数按每月频率校准。状态向量X=（X，X）′asdX1t=[bu（X1t）的联合动力学-bι）+bu（X2t-bι）]dt+pX2t′σdcWtdX2t=bu（X2t-bι）dt+pX2t′σdcwt，其结构与（23）-（24）相同，附录中推导了一组新的系数buij。过程CW是一个布朗运动。5.1预测与替代概率测量结构宏观金融模型允许我们构建有关宏观经济数量和金融现金流未来分布的预测。从资产市场数据中提取的概率测度可用于预测宏观经济的未来状态，并在公共政策讨论中发挥作用。在本节中，我们比较了备选分布下的预测。图1绘制了P下（左面板）和P下（右面板）状态向量X的联合平稳分布。虽然左面板中的分布是与时间序列证据一致的真实分布，但右面板中的分布是假设投资者根据BP给出的信念预期观察到的分布。

BP下的分布显示出较低的平均增长率X和较高的条件波动率X，而不是低于BP下的分布。此外，不良状态是相关的；平均增长率较低的州更有可能出现0 20 40 60 80 1000.020.040.06到期日（季度）0 20 40 60 80 1000.020.040.06到期日（季度）图2：真实和恢复概率度量下的收益率。这些图表显示了现金流的年化收益率对应于总消费过程（左图）和不同到期日的债券（右图）。带实线的蓝色带对应于P下的分布，而带虚线的红色带对应于P下的d分布。这些线代表分布的四分位数。参数化如图1所示。与高波动性状态一起发生。Bidder和Smith（2013）使用等式（26）中的鞅记录了模型中类似的失真，并考虑了鲁棒性。图1右侧面板中的黑色虚线给出了风险中性动力学下关节密度的最外侧轮廓线。风险中性概率下的分布与BP状态概率非常相似，两者与物理概率非常不同。概率测度BP和P之间的相似性是因为已知鞅分量决定了随机贴现因子的行为。参见Hansen（2012年）和Backus等人（2014年），以获取这种影响的证据。考虑一个极端情况，在这种情况下，随机折扣因子表示Perron–Frobenius特征函数为常数，关联鞅表示在概率测度bp下，过程X是遍历的。

在这种情况下，短期利率随着时间的推移是恒定的，期限结构是固定的。虽然对于我们的参数化递归效用模型来说，这些ter m结构含义并不完全正确，但鞅成分在暗示嵌入BP和P的风险调整非常相似方面具有充分的优势。5.2资产定价含义概率测度P和BP h对收益率和持有期收益率的影响存在显著差异。在第4节中，我们表明，随着风险现金流到期日的增加，超过无风险基准的风险现金流收益率会收敛到零。图2中的左面板将收益率（20）绘制在一个收益率上，该收益率等于tas的总消费量，是t的函数。实线描绘了收益率分布yt[C]（x）的四分位数，对应于在P下计算的x=x的平稳分布。d灰线表示投资者使用恢复的测量值来计算预期收益率时推断的收益率[C]（x）；但这些产量的分布是在当前状态X=X的正确概率测度P下绘制的。由于消费过程与鞅bh负相关，因此产量计算的下限相对于P向下偏移。正如我们在第4节中所展示的，对于长期到期的债券来说，这是必然的。2.但从期限结构来看也是如此。通过构造，与Perron–Frobenius鞅分量相关的概率度量消除了与longhorizons总消费产生的现金流相关的风险调整。

在这个例子中，这种长期风险中性的衡量方法几乎占了所有投资期内与aggregateconsumption产生的现金流相关的全部风险溢价（超过到期匹配债券）。6基本识别问题我们现在转向识别问题。假设我们观察马尔可夫状态的替代实现的箭头价格。我们能恢复主观信念吗？正如我们已经观察到的，等式（13）描述的资产价格同时取决于随机贴现因子过程和投资者信念。因此，对于给定的可能性，可以很好地定义随机贴现因子过程。如果我们碰巧误认了投资者的信念，这种误认可能会通过改变随机贴现因子来实现。这种改变信念扭曲的能力给主观信念的识别带来了根本性的挑战。在本节中，我们将这个识别问题形式化，并考虑可以解决这一挑战的随机折扣因素的潜在限制。定义6.1。如果等式（13）给出了任何有界的、可测量的索赔Φt在任何时间t可支付的日期零价格，则这对（S，P）解释了资产价格∈ T现在考虑一个满足条件2的多重鞅H。2以及（15）中定义的相关概率度量。同样，让我们做一个乘法函数满足条件2。2，并在S=1时初始化。我们定义：SH=SHH。（27）以下命题是直接的：命题6.2。假设hi是一个满足条件2的鞅。2，E（H）=1，条件为2。2，S=1。如果这对（S，P）解释了资产价格，那么这对（SH，PH）也解释了资产价格。此外，SHA满足条件2。2和SH=1。这一命题抓住了这样一个概念，即随机贴现因子只有在给定的概率分布下才能很好地定义。

当我们改变概率分布时，我们通常必须改变随机贴现因子来代表相同的资产价格。设满足条件2.2的Hbetwo正鞅为EH= EH= 1.使用公式（27）构造相应的随机折扣f因子。那么，我们就无法区分HF所暗示的潜在主观概率和仅从箭头价格中暗示的潜在主观概率。这是一个普遍存在的身份识别问题。为了识别投资者的信念，我们必须限制随机贴现因子过程，或者必须限制用于表示估值因子∏τ、t或τ的概率分布≤ T∈ T我们可以通过多种方式解决这种缺乏识别的问题。首先，我们可能会强加期望，观察时间序列数据，并让平稳分布的大数定律确定概率。然后，通过对一整套流动证券的观察，我们可以识别S。或者，我们可以进一步限制随机贴现因子过程。例如，风险中性定价限制了随机贴现因子是预先确定的或局部可预测的。因此，对于离散时间规格：log St+1- log St=log[q（Xt）]，其中q（Xt）是一期贴现债券的价格。当使用此限制时，通常不会有人声称由此产生的概率分布与投资者使用的概率分布相同。不同的限制对S:条件6.3施加了特殊的结构。LeteSt=exp(-对于一些正函数m和一些实数δ，δt）m（Xt）m（X）。Ross（2015）证明了条件6.3下的识别结果，即X的动力学由有限状态马尔可夫链驱动，如第1节所示。

加强条件6.3有助于确保箭头价格在第2节介绍的更一般框架中识别随机折扣系数和与该折扣系数相关的概率分布。提议6.4。假设（S，P）解释了资产价格。设H为正乘法鞅，使得（SH，PH）也能解释资产价格，而X在PH.IfSHalso满足条件下是平稳且遍历的。3，那么H是唯一确定的。因此，如果满足条件6。3.这是这一命题所证明的唯一性，也是投资者的主观信念。这个结果的证明直接来自我们之前的分析。Letbe=mSeeHansen和Richard（1987）对随机贴现因子和大数定律进行了初步讨论，seeHansen和Singleton（1982）对随机贴现因子施加参数结构的计量经济学方法进行了讨论，并避免了假设分析师可以访问全套证券的数据。和bη=-δ. （be，bη）的选择解决了Perron–Frobenius问题3.1。由此产生的鞅bh使过程X保持平稳且遍历。结论直接来自假设2.1和命题3.3中建立的问题3.1解决方案的唯一性。回顾第3节，一般来说，BP概率度量吸收了长期风险r的调整。命题的直接含义。4是条件6.3使长期风险收益交易退化。

等价地，主观折扣因子过程只有一个生成鞅分量的候选概率测度，用于描述主观信念iseP=bP。7额外的状态向量命题3。3展示了如何识别与Perron–Frobenius问题相关的鞅。正如我们的例子所示，这个鞅在一般意义上是非平凡的。因此，“恢复”概率度量与主观概率度量不同。也许问题是我们限制了本征函数的选择太多，因为我们假设它们依赖于状态向量ly，而不是Yt。正如我们所展示的，放松对本征函数的限制可以允许主观概率对应于本征函数问题的一个解，但即使我们对X施加遍历性，对Y施加平稳和遍历增量，我们也可能失去识别。我们还研究了当Y是高度持续的，但在趋势线附近是静止的或静止的时会发生什么。我们通过探索当我们用高度一致的平稳过程近似一个平稳增量的过程时会发生什么来研究这个现象。我们认为，总的来说，由于缺乏对极限（平稳增量）过程的识别，使得高度持久的近似很可能有许多关于Perr on–Frobenius问题的近似解。

当很难区分平稳过程和具有平稳增量的过程时，这一现象使得实际构造Perron-Frobenius问题的解具有挑战性。在一个更积极的方面，我们表明，当我们指定一个与随机折扣因子具有相同鞅分量的先验乘法过程时，我们可以从箭头价格中恢复主观信念。在连续时间布朗信息系统中，潜在马尔可夫过程边界行为的替代条件也可以唯一地识别概率测度。这些条件利用了伯龙-弗罗贝尼乌斯定理与二阶微分方程理论中的Stu rm-Liouville问题之间的联系。Carrand Yu（2012年）、Dubynskiy和Goldstein（2013年）对反射边界施加了条件，而Walden（2014年）分析了自然边界。虽然这样的技术条件可能会提供独特的解决方案，但一旦我们放松条件6，它们并不能解决根本的识别问题。3.Walden（2014）使用有限状态和连续状态近似的数值计算记录了类似的挑战。7.1 Perron–Frobenius重温我们阐述了在离散时间内扩大状态空间的后果。类似的考虑也会持续下去。回想一下联合马尔可夫过程：Xt+1=φx（Xt，Wt+1）Yt+1- Yt=φy（Xt，Wt+1）。到目前为止，我们只考虑了依赖于Xt的本征函数，而不考虑依赖于Yt的本征函数。我们现在在解决Perr on–Frobenius问题时考虑依赖于（Xt，Yt）的本征函数。现在我们来解：ESt+1ε（Xt+1，Yt+1）|Xt=x，Yt=y= exp（η）ε（x，y）。我们之前的解决方案仍然是这个方程的解决方案，但可能还有很多其他解决方案。要了解原因，请注意exp（ζ·Y）是向量ζ替代选择的乘法泛函。

对于每个选项ζsolveSt+1Stexp[ζ·g（Xt，Wt+1）]eζ（Xt+1）|Xt=x= exp（ηζ）eζ（x）。作为这个方程的直接含义，ESt+1Stexp（ζ·Yt+1）eζ（Xt+1）|Xt=x，Yt=y= exp（ηζ）exp（ζ·y）eζ（x）。因此我们设置ε（x，y）=exp（ζ·y）eζ（x）。对于每个ζ，我们可以选择一个解决方案（如果存在的话），其中隐含的概率度量使状态向量过程X遍历，因此Y具有平稳和遍历增量。但请注意，我们已经构建了一系列以ζ为索引的解。虽然我们不确定存在性，但这样做的方法与S exp（ζ·Y）本身是一个乘法函数一样。因此，增加状态向量以包含平稳增量过程将为特征函数问题引入更多的解，这就提出了如何在这类解中选择特定解的挑战。当满足以下条件时，本征函数的这种更广泛的构造尤为重要。条件7.1。LeteSt=exp-eδt表达式ζ·（Yt）-Y） 我em（Xt）em（X）对于一些参数的选择，δ和ζ以及状态向量Xt的一些正函数em。对于Yt=log Ct时的站姿，假设7.1需要一个功率效用函数，该函数可能由状态向量Xt的函数修改，可以测量“习惯持续性”给定条件7。1，一个潜在的Perron–Frobenius本征函数可以用来揭示主观概率，但我们仍然存在识别ζ的问题。

即使有特殊的条件7。1.对于佩龙-弗罗贝尼乌斯问题，通常有一系列解决方案。改变ζ通常会改变Y组分的增长率，因此，可以将之前关于主观增长率的限制或其他信息与Arrow p rices结合使用，以有效的方式实现识别。7.2平稳近似高度持久的平稳过程很难与具有平稳增量的过程区分开来。虽然我们发现排除一类丰富的随机增长模型并不吸引人，但对这一观点的一个可能挑战是，模型构建者应该将重点放在具有高度持久性的静态马尔可夫模型上。在这一小节中，我们建议这种高持久性马尔可夫模型在实际实现中也会带来挑战。我们现在研究一系列反映这一挑战的模型。为了简单起见，假设Y是一个标量过程。多元对应项增加了符号，但没有增加洞察力。考虑由j:Xt+1=φx（Xt，Wt+1）Yt+1- Yt=аy(-ρjYt，Xt，Wt+1），其中ρj>0收敛到零。在limitYt+1中- Yt=аy（0，Xt，Wt+1）=φy（Xt，Wt+1）。例如，在其第一个论点中，аy应该是一个有效的参数：аy(-ρjYt，Xt，Wt+1）=-ρjYt+φy（Xt，Wt+1）。我们对条件6施加以下相应条款。3.条件7.2。LeteSt=exp(-eδt）em（Xt，Yt）em（X，Y）对于一些正函数em和一些实数δ。对于每个j<∞, 公关定位。4保证Perron–Frobenius问题有一个唯一的解ε（x，y）=1/em（x，y），该解保持（x，y）的能态性。

对于极限问题，条件7.2不足以保证S是满足条件2.2的乘法泛函。即使在添加了条件7.1之后，正如我们已经指出的，对于极限ρ，Perron–Frobenius问题通常有一系列的解∞= 0问题。当ρj接近零时，这种近似具有挑战性。当ρjis接近零时，我们在上述第7.1小节中描述的其他解成为“近似”解。近似的形式意义很重要。严格地说，即使极限过程有增长，也不存在沿序列的长期增长。考虑一位研究人员的观点，他使用标准的近似统计标准，以过渡动力学为目标。一个高度持续的随机过程会有增长的插曲，因此很难从一个增长的插曲中分辨出这样一个过程Y有一个正的无条件平均值，使用标准的近似统计标准，以过渡动力学为目标。为了分析这个函数，需要对近似进行更正式的讨论，这超出了本文的范围。虽然这一序列不包括趋势增长，但可以通过包含一条终点线来扩展这一论点*t=Yt+ν和日期t箭头合同是（Y）的书面条款*t+1，Xt+1）或（Y）*t+1- Y*t、 Xt+1）。西尼*t+1- Y*t=Yt+1- Yt+ν。我们假设我们的马尔可夫定价规范是以（Yt+1，Xt）的形式给出的。如果m模型中的分析师和投资者都知道ν，则我们之前的分析适用。或者，作为当前状态的函数，可以通过箭头价格中的时间不均匀性来揭示。

无论哪种方式，我们之前描述的计算挑战都将继续存在。7.3结构化恢复我们现在探索条件6的不同概括。第三个at也提供了主观概率的恢复。条件7.3。随机贴现因子处理Satifiest=exp(-δt）伊尔提尔em（Xt）em（X）对于一些预先指定的乘法泛函条件2。2.预先指定的过程Yr捕捉长期风险收益交易效应，随机贴现因子过程将具有与Yr相同的鞅分量。正乘法泛函的倒数本身就是一个乘法泛函。我们可以将扩展的Perron–Frobenius本征函数的形式限制为（yr）-1e（x）。一旦我们预先指定Yr，如命题6。4、em和δ可以从箭头价格中推断出来。在这些情况下获得独特性相当于假设一个过程包含消费的可分割成分。考虑到Yr的知识，我们可以再次在Perron–Froben-ius计算中从本征函数的参数中省略更一般的向量y。然后，箭头价格揭示了可能性。Bansal和Lehman n（1997）以及Hans en（2012）指出，在许多例子中，乘法函数可能来自一个具有直接解释的参考模型。例如，习惯持续性的任何模型，无论是内部的还是外部的，都有一个随机的贴现因子，可以用est+1eSt=exp来描述(-δ） 经验[-γ（对数Ct+1- log Ct）]em（Xt+1）em（Xt）其中1-γ用于每周期效用的功率规格中，该效用函数的参数取决于私人或社会“习惯”的大小。为了使本例适用，我们假设Yrt=-γlog Ct表示已知的γ值。

马尔可夫状态的函数m反映了偏好中隐含的不可分性随时间的影响。或者，Hansen和Scheinkman（2014）认为m可以被视为基于随机贴现因子过程的基础资产定价模型Yr.8测量鞅分量的暂时错误。在本节中，我们考虑从资产市场数据中提取有关随机贴现因子过程中鞅分量大小的证据的方法。我们对文献进行了详细的讨论，这样我们就增加了现有的方法。这为实证研究开辟了新的途径。鞅的存在有两种解释。根据一种解释，理性预期的假设使我们能够评估长期风险调整对快速增长的现金流的重要性。在第二种解释下，它测量主观信念与状态变量的实际随机演化之间的统计差异。为了使第二种解释有效，我们排除了主观概率模型的随机折扣因子过程中的鞅成分。8.1量化鞅分量差异的统计度量通常使用方便选择的凸函数构造。C在正实数上定义的边函数φθ为：φθ（r）=θ（1+θ）h（r）1+θ- 1如果习惯持续性模型是完全参数化的，那么在给定概率的情况下，可以通过计算隐含的跨期边际替代率来求解这些参数的函数。这将导致过度识别限制。对于参数θ的可选选择。通过设计φθ（1）=0和φ′θ（1）=1。对于θ=0和θ=-1当θ接近这两个值时，取r中的逐点极限。

因此φ（r）=r log r和φ-1（r）=-logr.函数φθ用于构造概率密度之间的差异度量，如《压缩与读取》（1984）中所述。我们对将鞅分量量化为随机折扣因子的方法感兴趣。回想一下，E“bHt+1bHt | Xt=x#=1和atbHt+1/bHTD定义了BP分布相对于P分布的条件密度。这导致我们将差异度量应用于HT+1/bHt。由于φθ是严格凸的，而dφθ（1）=0，来自Jensen不等式：E“θbHt+1bHt！”Xt=x#≥ 0，只有当Ht+1/b等于1时才相等。有三种特殊情况受到特别关注。（i） θ=1，在这种情况下，隐含的离散性度量等于bHt+1/bHt条件方差的一半；（ii）θ=0，在这种情况下，隐含的差异测量基于条件相对性：EhbHt+1/bHtlogbHt+1- logbHt| Xt=xi，这是BP概率度量下的预期对数似然。（iii）θ=-1在这种情况下，差异度量为：-EhlogbHt+1-logbHt | Xt=xi，是原始概率度量下预期对数可能性的负值。我们考虑这些差异度量的两种用途。8.2不完整的资产市场数据在实践中，为替代国家构建完整的箭头价格范围可能是一个挑战，如果不是不可能的话。因此，在不使用明确的资产定价模型和不使用完整的Arrow证券价格集的情况下，从经验上研究关于仓促贴现因子过程可以学到什么是有意义的。我们基于Hansen和Jagann athan（1991）提出的方法，旨在不使用全套箭头价格，对随机折扣因子进行非参数化描述。虽然无法完全识别，但来自金融市场的数据仍具有信息性。

我们借鉴了阿尔梅达、加西亚（2013）和汉森（2014）在心理学上有用的描述，但按照英戈什等人（2012）和韩森（2014）的建议，对错误的信仰进行了调整。在索多因，我们建立在卡泽米（1992年）和阿尔瓦雷斯和杰曼（2005年）的重要见解之上。我们描述了如何计算这些差异度量的下界。我们之所以要研究下限s，是因为我们不想强迫计量经济学家使用一系列的箭头价格。假设Yt+1为资产收益向量，QT为相应的价格向量。例如，长期债券持有人持有期限的计算公式∞t、 t+1=exp(-η） e（Xt+1）e（Xt），这意味着st+1St=bHt+1bHt！R∞t、 t+1！。正如inAlvarez和Jermann（2005）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012）所说，假设限制持有期返回R∞t、 t+1可以很好地近似。在这种情况下，我们可以通过评估是否存在“R”来直接测试鞅分量是否存在∞t、 t+1！（Yt+1）\'| Xt=x#=（Qt）\'。更一般地说，我们将价格限制表示为“bHt+1bHt！R！”∞t、 t+1！（Yt+1）\'|Xt=x#=（Qt）\'，其中bh现在被视为计量经济学家无法观察到的。为了限制差异度量，将随机变量Jt+1作为鞅增量的潜在规格：Jt+1=bHt+1bHt。求解λθ（x）=infJt+1>0E[φθ（Jt+1）| Xt=x]受线性约束：E[Jt+1 | Xt=x]- 1=0E“Jt+1R∞t、 t+1！（Yt+1）′|Xt=x#- （Qt）′=0。严格正λθ（x）意味着

为了保证优化问题（28）的解决，有时可以方便地将随机变量Jt+1包含在正概率为零的情况下。由于其目的是产生边界，因此，为了数学和计算的方便，可以对这种增强进行调整。尽管该问题优化了有限维随机变量族Jt+1，但优化与定价约束（29）相关的拉格朗日乘数的对偶问题通常是很容易实现的。参见Hansenet al.（1995）和关于实施广义经验似然方法的文献，以供进一步讨论。Alvarez和Jermann（2005）应用这些方法为随机贴现因子过程的鞅分量生成相应的界。虽然没有一篇论文计算了这里描述的类型的锐界，但Alvarez和Jermann（2005年）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012年）都提供了经验证据，用非常相似的方法支持随机贴现因子过程的大量鞅成分。8.3第7节中的箭头价格。1.我们提供了Perron–Frobenius问题的扩展版本，以允许在估值中进行长期风险调整的止赎。作为这个扩展的结果，我们得到了一个参数化的解族，即使当我们观察到箭头图的full数组时也是如此。回想一下，乘法鞅与Perron–Fr Obenius问题的每个解相关联。

一种可能性是选择一个参数，该参数的隐含主观信念区域尽可能接近实际数据生成过程，使用统计学的一个度量。简单计算表明，对于连续时间差异情况，对于θ的所有值，差异等于logbH局部方差的一半。对于θ=1的情况，Hansen和Jagannathan（1991）通过构造随机贴现因子的波动性边界来研究数学上等价的问题，并在忽略随机贴现因子应为非负的限制的情况下推导出解的准解析公式。Bakshi和Chabi-Yo（2012）应用后一种方法获得了随机贴现因子过程中鞅分量的θ=1界（波动性界）。类似地，Bansal和Lehmann（1997）研究了θ=-1并展示与最大增长率投资组合的联系。Bakshi和Chabi-Yo（2012）在表1中总结了两篇论文的结果，并对比了θ=1和θ=-1.差异度量。我们在第8.1节中描述的差异。文献中有这种方法的先兆。例如，Stutzer（1996）使用统计差异的θ=0相对熵度量来研究风险中性分布的比较，以及与实际数据生成形成的经验对应物的价格影响。此外，Chen等人（2014年）和Christensen（2014年）提出了Perron–Frobenius方法，用于理性预期下随机贴现因子模型的半参数识别，扩展了Hansen和Singleton（1982年）的方法。

Ait-Sahalia和Lo（2000）应用Breeden和Litzenberger（1978）的公式，使用低维马尔可夫状态环境的非参数统计方法来推断风险中性密度和实际密度。从这项研究中获得的见解可能进一步有助于制定一种可以正式调整的实际实施方法。9结论Perron–Frobenius理论应用于箭头价格，确定了市场决定的随机贴现因子过程的鞅成分。该鞅分量定义了一个吸收长期风险调整的扭曲概率测度，与风险中性概率测度吸收单期风险调整的概率相同。我们称之为长期风险中性指标。byRoss（2015）提出的一个确定性假设认为，在投资者的主观信念下，该鞅分量与鞅分量相同。在这种情况下，Perron–Frobenius理论涵盖的概率度量与主观概率度量一致。然而，如果随机贴现因子过程包含一个鞅分量，那么使用Perron–Frobenius特征值和函数可以恢复被该鞅分量扭曲的长期风险中性定价度量。通过扩展用于寻找Perron–Fr obenius问题解决方案的函数空间，我们避免了假设长期风险回报交易在主观信念下退化，但我们继承了一个识别问题。通常有一整套解决方案，几乎不知道哪种解决方案应该由一位分析师选择。许多基于经验证据的资产定价结构模型在随机贴现因子中具有非平凡的鞅成分。

这些鞅刻画了应用Perron–Frobenius理论实际恢复的概率。我们在一个例子中用宏观经济的长期风险因素和具有不可分离的执行偏好的投资者来说明这一结果。我们还提供了一个统一的讨论，该讨论是针对最近一次期权价格研究的计量经济学方法的调查，而Gagliardini等人（2011）则是针对有限日期的丰富期权价格集合与多个时期的时间序列证据相结合的计量经济学影响的讨论。后一项工作也提出了理性预期。Qin和Linetsky（2014a，b）最近的工作论文提供了连续状态空间环境中的其他结果，与Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen和Scheinkman（2014）之前的结果有明确的联系。文献推导了鞅分量大小的非参数界限，并发现该鞅分量在估值中起着很大的作用。最后，我们提出了进一步扩展文献中可测试含义集的方法，并将箭头价格的主观信念信息与观察到的时间序列演化相结合。在我们之前的工作中，我们展示了Perron–Frobenius理论如何帮助我们理解风险回报交易。Perron–Frobenius理论确定的概率度量吸收了长期风险调整。它的天真使用可能会以意想不到的方式扭曲风险回报交易。然而，有人可能会争辩说，佩龙-弗罗本-尤斯概率测度下的动态准确地说是有趣的，因为该测度针对宏观经济的长期风险进行了调整。

虽然我们认为前瞻性地使用这种概率度量是有价值的，但我们的分析清楚地表明，结果预测以一种特殊但实质上有趣的方式倾斜。最后，长期估值只是对替代投资期定价影响进行更系统研究的一个组成部分。Boroviˇcka等人（2011年）和Boroviˇckaet等人（2014年）最近的工作推导出了方法s，该方法扩展了脉冲响应函数，以表征在替代投资期内，因现金流急剧增长而受到冲击的风险。附录a乘法泛函乘法泛函的构造在概率文献和Ansenand Scheinkman（2009）中的其他地方使用。形式上，乘法泛函是一个过程M，它适用于F，在M=1时初始化，并稍微滥用符号：Mt（Y）=Mτ（Y）Mt-τ（θτ（Y））。（30）在公式（30）中，θτ是将Y的时间下标移动τ的移位算子，即（θτ（Y））s=Yτ+s。我们通过建立一个扩展的乘法泛函来推广这个构造。如果过程M是x和{Mt/M:t的严格正（Borel可测）函数，则过程M是一个扩展的乘法泛函∈ T}是一个乘法泛函。这允许在不同于unity的Mdi处初始化进程M。在这篇文章中，我们不再使用“为方便学习而扩展”这个词。B Perr on–Frobenius命题理论3。3.假设有两个解bη，be和ˋη，e。因此：exp（bηt）bHTHBe（X）be（Xt）=exp（ˋηt）HtˋHˋe（X）e（Xt）或者如果k（Xt）=e（Xt）be（Xt）>0，η=- bηexp(-ηt）bHtbHk（Xt）k（X）=ˇHtˇH，计算两边的期望值，并利用ˇH是鞅的事实，我们得到H=bHEH[k（Xt）|X=X]=exp（ηt）k（X）。（31）在下文中，我们考虑离散时间情况。

连续时间案例使用了相同的方法，但有明显的变化。首先注意，对于有界函数f，大数定律意味着Limn→∞对于H=bH和H=H，NNXt=1EH[f（Xt）|X=X]=EH[f（X）]（32）。考虑三种情况。首先假设η<0。Setbk（x）=min{1，k（x）}>0，对于所有的x。由于η<0，（31）的右手边对于每个x收敛为零，作为t→ ∞. 因此，对于H=bH0=limN→∞NNXt=1EH[k（Xt）|X=X]≥ 画→∞NNXt=1EHhbk（Xt）|X=xi=EHhbk（X）i>0。因此，我们建立了一个矛盾。接下来假设η>0。注意for H=ˇHEHk（Xt）|X=X= 前任警察(-ηt）k（x）。（33）Formbk（x）=最小值1，k（x）> 0，对于所有x。由于η>0，（33）的右手边对于每个x都收敛为0，即t→ ∞. 因此，0=limN→∞NNXt=1EHk（Xt）|X=X≥ 画→∞NNXt=1EHhbk（Xt）|X=xi=EHhbk（X）i>0。我们再次建立了一种矛盾。最后，假设η=0。然后又是H=H，呃k（Xt）|X=X=k（x）代表所有x.从（32）开始：limN→∞NNXt=1EH[kn（Xt）|X=X]=EHkn（X）。对于kn=min{1/k，n}。与n相同的等式适用于极限→ ∞ 因此，几乎所有X的EHhk（X）i=k（X）。因此k（X）是一个常数，bhtbh=Htˇh具有概率1。C长期估值限制首先，我们验证第4节中描述的近似结果。1在比条件4更弱的条件下持有。1.我们假设：lim inft→∞bE[ψ（Xt）|X=X]>0（34）和thatlim inft→∞是ψ（Xt）be（Xt）|X=X> 注意，对于每个有界函数flimt，这些假设如下→∞几乎可以肯定。Meyn和Tweedie（2009）在第327页的orem 13.3.3中确定（35）适用于有界函数f，前提是X是非周期的，且在测量B P下是正的。此外，我们假设ψ（Xt）be（Xt）< ∞,bE[ψ（Xt）]<+∞,X满足条件3.2 p。

然后，NlogbE[ψ（XN）|X=X]≤NlogbE“NXt=1ψ（Xt）|X=X#！=Nlog N+NlogbE”NNXt=1ψ（Xt）|X=X#！。结果（34）表明左侧的lim inf收敛到零。左侧的lim sup也收敛到零。为了验证这一点，请注意，大数定律和由此产生的几乎确定的收敛延伸到条件期望limN的时间序列平均值→∞bE“NNXt=1ψ（Xt）|X=X#=bE[ψ（X）]几乎可以肯定。因此，（36）右侧的两个项都以概率1收敛到零。因此，左侧的lim sup也会收敛。如果（36）到z的左侧的lim inf和lim sup都必须收敛到零almos t。同样的逻辑意味着limn→∞恩洛格贝ψ（XN）be（XN）|X=X= 0，概率为1。接下来，在分析中引入随机增长，如第4.2节所示。首先请注意，乘法函数SG满足条件2.2。让η*解决问题3时，使用SG代替S表示Perron–Frobenius e igenvalue。1.这需要解决：E[StGte]*（Xt）|X=X]=exp（η）*t） e*（x） 选择特征值-特征函数对，使隐含鞅产生平稳性。模仿我们对证券收益率的计算StGtbe（Xt）be（X）| X=X= exp（tη*) E*be（Xt）e*（十） be（X）e*（Xt）|X=XE在哪里*是用鞅H构造的*增量：H*tH*= 前任警察(-η*) StGtE*（Xt）e*（十）.类似地，E（StGt | X=X）=exp（tη）*) E*E*（十） e*（Xt）| X=X.假设H*导出一个概率度量，在该度量下，条件4。1是可满足的。此外，对于连续时间情况，在整数时间点对马尔可夫过程进行采样。这个过程保持平稳，但不一定是遍历的。大数定律仍然适用，但有一个限制，即以不变事件为条件的期望。

前面关于这些修改的论点确立了限制行为。那是*be（Xt）e*（Xt）< ∞, E*E*（Xt）< ∞.来自条件4。我们得到了，limt→∞tE*be（Xt）e*（Xt）|X=X= 极限→∞tlog E*E*（Xt）|X=X= 0.Thuslimt→∞tlog EStGtbe（Xt）be（X）| X=X== η*+ 极限→∞t[loge*（x） )- 对数be（x）]+limt→∞tE*be（Xt）e*（Xt）|X=X= η*,还有西米拉·雷利姆特→∞t对数E（StGt | X=X）=η*+ 极限→∞tlog e*（x） +极限→∞tlog E*E*（Xt）|X=X= η*.亨塞利姆→∞yt[G]（x）=-η + η*- η*= -η.D具有可预测消费动态的模型的推导在本节中，我们提供了第5节中分析的模型的推导。我们将重点分析佩伦-弗罗布-纽斯问题。Hansen（2012）和the Appendix inBoroviˇcka等人（2014）对该模型进行了全面分析。D.1鞅分解我们解决Perron–Fro benius问题[Stbe（Xt）|X=X]=exp（bηt）be（X），其中S是由系数（βS（X），αS（X）参数化的乘法泛函。

因为这个问题对每一个t都成立，所以它也在极限（只要它存在）limt0t[E[Stbe（Xt）|X=X]内成立- exp（bηt）be（x）]=0。该极限产生了偏微分方程se=ηe，其中，在方程（16）给出的一般布朗信息设置中，最小生成元S由Be给出=βs+|αs|be+bex·（u+σαs）+tr[bexxσ′。因此，方程（D.1）是一个二阶偏微分方程，我们正在寻找一个数bη和严格正函数be形式的解。Hansen和Scheinkman（2009）表明，如果存在多个这样的解决方案，那么只有与bη的最低值相关的解决方案才能在隐含的度量变化下产生e rgodicd动力学。对于第5节中介绍的、由（23）-（25）参数化的长期风险模型，我们可以用（x）=exp（\'ex+\'ex）导出方程组η=\'βs，0-βs，11ι-βs，12ι- “e”（“ιι+”ιι）- “e”uι0=”βs，11+”u”e0=”βs，12+|αs |+”e（\'u+\'σ\'）αs）+e |σ|+\'e（\'u+\'σ\'αs+\'e\'σ\'）+（\'e）| |。下面将确定系数βs和αs。最后一个方程是一个二次方程，用于“E”，我们选择“E”的解，从而得到较小的bη值。从分解St=exp（bηt）be（X）be（Xt）bhtbhw我们可以提取鞅bh:d logbHt=d logst- bηdt+d log be（Xt）和thusdbHtbHt=pX2t（‘αs+’σ′e+’σ′e）·dWt˙=pX2tbαh·dWt。这个鞅意味着度量值的变化，例如cw定义为dcwt=-pX2tbαhdt+dwt在新测度下是布朗运动。

根据BH暗示的测量变化，我们可以将模型的关节动力学写成DX1T=[bu（X1t-bι）+bu（X2t-bι）]dt+pX2t′σdcWtdX2t=bu（X2t-bι）dt+pX2t′σdcwt其中bu=’ubu=’u+’σbαhbu=’u+’σbαhbι=’ubιbι=ι+（‘u’-1(uι- bubι）。类似地，每个参数为（25）的乘法函数M都可以重写为asd log Mt=hbβ+bβ（X1t-bι）+bβ（X2t-bι）idt+pX2t′α·dcwtbβ=’β+’β（bι- ι） +β（bι- ι） +（‘α·bαh）bιbβ=’βbβ=’β+’α·bαh.D.2递归效用的值函数和随机贴现因子我们选择了一个方便的选项来表示连续值。与Chroder和Skiadas（1999）中的讨论类似，我们使用了折扣期望对数效用的对应项。d log Vt=uv，tdt+σv，t·dWt。局部演化满足：uv，t=δlog Vt- δ对数Ct-1.- γ|σv，t |（37）当γ=1时，这将缩小到贴现的预期效用。Letlog Vt=log Ct+v（Xt）并猜测v（x）=‘v+’v·x+’vx。我们通过将微型发生器应用于对数C+v（X）来计算uv。此外，σv，t=αc（Xt）+σ（Xt）′xv（Xt）。代入（37）可得到一组代数方程δ\'v=\'βc，0- ι\'βc，1+\'u\'v- ι\'βc，2+\'u\'v+\'u\'vδ\'v=\'βc，1+\'u\'vδ\'v=\'βc，2+\'u\'v+\'u\'v+（1- γ） |‘αc+’σ′v+’σ′v |可以为系数vi求解。第三个方程是一个‘v’的二次方程，当且仅当d=hu时才有实解- δ + (1 - γ） （‘αc+’σ′v）’σ′i--2 (1 - γ) |σ|\'βc，2+\'u\'v+（1- γ） |‘αc+’σ′v|≥ 特别是，对于较大的γ值，通常不存在解析式。如果存在该解决方案，则由“v”给出=-u- δ + (1 - γ） （‘αc+’σ′v）’σ′±√D（1）- γ） |‘σ’|带负号的解是我们感兴趣的解。由此产生的随机贴现因子有两个组成部分。

一个组成部分是贴现对数效用的跨时边际替代率，另一个组成部分是由连续值对数St=-δdt- d对数Ct+d对数H*这里是*是由DH给出的鞅吗*tH*t=pX2，t（1- γ） （‘αc+’σ′v+’σ′v）’dWt。这决定了随机贴现因子的系数（βs（x），αs（x））。当我们在方程（D.2）中选择“负”解时，则BS意味着度量值的变化，从而保持线性。注意，当H*是一个鞅，它不同于BHT/BHA，只要消费过程本身包含一个非中心市场成分。D.3乘法函数的条件期望为了计算资产价格及其预期收益，我们需要计算由（23）-（25）参数化的乘法函数M的条件期望。[Mt | X=X]=exp[θ（t）+θ（t）·X+θ（t）X]给出了条件期望，其中参数θi（t）满足一个由inHansen（2012）和Boroviˋcka等人（2014）的应用程序endix推导的普通微分方程组。参考文献Ait-Sahalia、Yacine和Andrew Lo。非参数风险管理和隐含风险规避。计量经济学杂志94（1-2）：9-51。阿尔梅达、凯奥和勒内·加西亚。2013.非线性定价内核的强大经济影响。阿尔瓦雷斯、费尔南多和厄本·J·杰曼。2005.使用Ass et价格来衡量财富边际效用的持续性。计量经济学73（6）：1977-2016。安德森、埃文·W·拉尔斯·彼得·汉森、d·托马斯·J·萨金特。2003.关于模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半群。欧洲经济协会杂志1（1）：68–123。巴克斯、大卫·K、艾伦·W·格雷戈里和斯坦利·E·辛。1989.术语结构中的风险预期：来自艺术经济的证据。