俄罗斯玩偶风险模型

2022-5-7 06:14:54

俄罗斯玩偶风险模型祖拉·卡库沙泽§+1.§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，南塔姆福德，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，乔治亚州第比利斯市大卫·阿格马什内贝利巷，0159香港科技大学高级研究所，香港（2014年12月14日；修订日期：2015年3月15日）摘要我们给出了一个构建多因素风险模型的简单显式算法。它大大减少或完全消除了需要计算因子协方差矩阵的风险因子的数量。这是通过嵌套的“俄罗斯玩偶”emb edding实现的：因子协方差矩阵本身通过因子模型建模，因子协方差矩阵又通过因子模型建模，以此类推。我们详细讨论了如何在基于（二元）行业分类的风险因素（例如“行业”）的情况下实施该算法→ 工业→ 子行业），也存在（n关于二进制）风格因素。当长历史ookback不可用或不受欢迎时，我们的算法特别有用，例如在短期定量交易中。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于按照出版物惯例表明其专业职责。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，且不代表QuantigicSolutions LL C网站www.quantigic的观点。或者他们的任何一个朋友。1简介和总结股票多因素风险模型背后的基本思想是，它不需要为大量股票计算样本协方差矩阵（SCM），而是允许为更少的风险因素计算因子协方差矩阵（FCM）。

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2022-5-7 06:14:57

为什么这有用？当交易宇宙中的股票数量N很大时，可靠地计算SCM是不可行或不可能的。在实际应用中，基于SCM计算的收益时间序列中的历史观测值数量太少，因此SCM要么是奇异的，要么其反对角线元素不是样本外稳定的。f法案进一步加剧了这种情况，即对于涉及短期定量交易策略的应用，风险模型的预期回溯时间不应太长。事实上，对于寿命可能短至几个月的极为短暂且持有时间极短的Alpha来说，它与SCM ma t rix的样子（比如5年前）并不太相关——5年内每天只包含约1260个观察值，而一个典型的定量交易宇宙可能包含多达2000-2500个足以交易股票的流动性。多因素风险模型通过将供应链的对角元素建模为一个小得多的数字K来缓解这个问题<< 在零近似下，我们可以计算样本K×kfcm。在大多数情况下，这些风险因素包括风格因素和行业（基于分类）因素的组合。风格因素的数量通常是有限的，以股票的某些估计（或测量）属性（如规模、动量、收益、流动性、价值、增长等）为基础，约为10或更少。然而，行业因素的数量可能要大得多，从几十个较小粒度的康乃馨，到几百个较大粒度的风险模型，其中行业因素的数量可能取决于交易范围。在这些情况下，如果期望的回溯时间很短（例如，1-2年或更短），那么可靠地计算样本K×KFCM本身就变得不切实际或不可能。

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2022-5-7 06:15:01

在这种情况下我们能做什么？我们在本文中提出的想法非常简单。如果样本FCM无法计算，我们可以通过一个因子模型对FCM本身进行建模，这个因子模型的数值要小得多<< K.新的风险因素。如果样本FCM能够可靠地计算出这些新因素——良好；如果没有，那么我们通过另一个因子模型为新的f参与者建模FCM，该模型的L数要小得多<< F.新的风险因素。以此类推——直到我们能够可靠地计算出最终（少量）风险因素的FCM，或者，我们通过将风险f参与者的数量减少到1，完全消除了计算非对角FCM的需要（在这种情况下，我们发现这尤其适用于较短的持有期定量交易策略，在实践中，相关回望时间较短，且（行业）风险因素的数量较大（包括，为了实现更高的夏普风险）。相比之下，对于长期持有策略（夏普比率较低），文献通常关注一些风险因素，例如（Ang等人，2006年），（Anson，2013/14年），（Asness，1995年），（Asness和Stevens，1995年），（Asness等人，2001年），（Banz，1981年），（Basu，1977年），（Burmeister和Wall，1986年），（Chen等人，1986年，1990年），（Famaand French，1992年，1993年，2015年），（Haugen，1995年），（Jeg adeesh和Titman，1993年），（Lakonishok等人，1994年），（Liew和Vassalou，2000年），（Pastor和Stambaugh，2003年），（Scholes和Williams，1977年）。1×1 FCM，这是一个方差，可以可靠地计算）甚至0。我们将这种结构称为（嵌套的）俄罗斯玩偶风险模型，类似于俄罗斯的“matryoshkas”。在这里，人们可能会想，俄罗斯玩偶模型是否仅仅等同于风险因素较少的传统多因素风险模型。

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2022-5-7 06:15:04

答案是否定的。俄罗斯玩偶风险模型实际上相当于具有更多风险因素的传统多因素风险模型，但主要（或完全——在不需要计算FCM的情况下）具有对角因素协方差矩阵。在俄罗斯玩偶风险模型中，基本上是通过因子分解和特定风险对SCM中的对角线元素进行建模，风险因子在连续嵌套嵌入的每个中间步骤都存在。在这方面，我们自然想知道，给定一组风险因素，如果我们希望通过factormodel对其FCM进行建模，那么这种嵌套因子模型的新风险因素应该是多少？答案在基于风险因素的行业分类案例中显而易见，这些风险因素具有类似于“行业”的层级结构→ 工业→ “子行业”在BICS（彭博行业分类系统）的情况下——其他行业分类，如GIC、ICB、SIC、NAIC等，在其层次结构树中使用其他名称表示级别，此类树中的级别数量也不需要为3。使用BICSexample来说明我们的想法，如果我们从相对大量的子行业开始，通过factormodel为子行业建模FCM的风险因素将是行业，通过因子模型为行业建模FCM的风险因素将是行业。BICS扇区的数量只有10个。

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2022-5-7 06:15:07

如果需要的话，我们可以更进一步，使用“市场”（例如，所有股票收益的等权平均值，或回归数学中的截距）作为通过单因素模型为行业建模FCM的唯一风险因素，从而消除了计算非对角FCM的必要性：剩余单因素的1×1 FCM只是其方差。在基于二元行业分类的风险因素的情况下，正如我们上文所看到的，俄罗斯的风险是自然的。那么非二元风险因素呢？在这种情况下，没有简单的处方来减少他们的数量。然而，在实际应用中，没有必要减少风格风险因素的数量。这个数字已经很小了，特别是对于短期回报而言——最近（Kakushadze，2014）提出，隔夜（以及类似的短期）回报的相关风格风险因素的数量最多为4。正如我们在不同背景下详细讨论的那样，Chicheportiche和Bouchaud（2014）使用嵌套因子方法来建模股票回报的非线性依赖关系。有关因子模型的部分工作列表，请参见，例如fn。

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2022-5-7 06:15:11

3和（班萨尔和维斯瓦纳坦，1993年），（布莱克，1972年），（布莱克等，1972年），（布卢姆和朋友，1973年），（布兰特等，2010年），（坎贝尔等，1987年），（坎贝尔等，200 1年），（坎贝尔和希勒，1988年），（卡哈特，1997年），（科克伦，2001年），（康纳和科尔·阿奇奇克，1988年，1989年），（德邦德和泰勒，198 5年），（德莱姆斯等，1984年），（法玛和弗伦奇，1996年），（法玛和麦克白，1973年），（费森和哈维，1991年，1999年），（哈勒等人，2002年），（贾甘纳森和王，19 96年），（卡克·乌沙泽，20 14年，2015年），（卡库沙兹·e和刘，2014年），（科塔里和尚肯，1997年），（莱曼和t·1988年），（林特纳，1965年），（罗，2010年），（罗和麦金利，1990年），（麦金利，19 95年），（默顿，19 73年），（慕克吉和米什，2005年），（Ng等人，1992年），（罗斯，1976年），（施韦特，1990年），（夏普，1964年），（怀特劳，1997），（张，2010）。第3节，这使我们能够为styleplus基于行业分类的风险因素组合构建一个俄罗斯玩偶模型，在该模型中，我们通过俄罗斯玩偶嵌入来保持风格风险因素的影响，并减少行业因素的数量。最后，我们只需要计算少量风险因素的FCM，其中包括原始类型的风险因素（加上，例如，行业或“市场”风险因素）。在所有多因素模型构建中出现的一个问题是，如何以一致的方式计算Cm和特定风险。有很多算法可以实现这一点，它们通常被认为是专有的，因此在文献中没有讨论。在第3节中，我们将解释为什么需要这样的算法，以及为什么天真的方法会失败。在俄罗斯玩偶风险模型的背景下，可以在通过因子模型对FCM建模的每个阶段使用这种算法。

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2022-5-7 06:15:14

然而，在第4节中，我们讨论了一个示例，以及在基于行业分类的风险法的情况下构建俄罗斯玩偶风险模型的一种更粗糙的方法，而不需要使用这种复杂的专有算法。虽然这是一种公认的“外行”方式来构建俄罗斯玩偶风险模型，但它有助于说明构造的目的，并使我们能够对一些简单的日内均值-r外翻阿尔法进行回溯测试，以确保其增加价值。2多因素风险模型在多因素风险模型中，N只股票的样本协方差矩阵CIJi，i，j=1，N由Γij建模，由Γ给出≡ Ξ + Ohm Φ OhmT（1）Ξij≡ ξiδij（2），其中δij是克罗内克三角洲；Γij是一个N×N矩阵；ξ每只股票的特定风险（又称特质风险）；OhmIa是一个N×K因子载荷矩阵；ΦABis是K×K因子协方差矩阵，a，B=1，K.即，与N个股票收益率相关的随机过程ΥI通过N个随机过程χI（对应于特定风险）以及K r和OM过程fA（对应于因子风险）建模：ΥI=χI+KXA=1OhmiAfA（3）hχi，χji=Ξij（4）hχi，fAi=0（5）hfA，fBi=ΦAB（6）hΥi，Υji=Γij（7）样本协方差矩阵是根据股票收益率的时间序列计算的，例如每日收盘收益率。替换样本坐标系CijbyΓiji的主要原因是，通常情况下，预计Cijt的反对角线元素在样本外不会太稳定。当需要计算因子协方差矩阵Φ的风险因子的数量为K时，结构因子模型的协方差矩阵r ixΓij预计将更加稳定<< N.同样，如果M<N，其中M+1是每个时间序列中的观测次数，那么Cijis是奇异的，具有M个非零特征值。

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2022-5-7 06:15:17

假设所有ξi>0和ΦABis正定义，则Γij是自动正定义（且不可验证）。2.1样本外稳定性虽然因子模型协方差矩阵Γij预计比样本协方差矩阵Cij更稳定，但在实际应用中，如果风险因子k的数量太大，因子协方差矩阵ΦAB–a和Γij–可能不够稳定。事实上，如果M<K，那么ΦABitself是单数。这不仅是在股票收益时间序列中的可用观察值数量有限的情况下，而且是在不希望考虑长期回望的情况下，例如，当风险模型拟用于（ultr a-）短期策略时。在某些情况下，由于潜在阿尔法的短暂性，在计算fa cto r协方差矩阵和特定风险时，回顾几年甚至几个月通常没有什么意义。这就意味着风险因素K的数量不能太大。然而，在某些情况下，有一种方法可以通过捕获超过m个风险因素的部分（和样本外稳定）影响，有效地扩大风险因素的数量。我们将在下一节讨论这种方法，首先是针对二元行业分类的情况，然后是更一般的设置。然而，在我们这样做之前，让我们来评论一下多因素风险模型的主成分方法。如果我们简单地将样本协方差矩阵的前K个主成分作为风险因素，会怎么样？这里我们遇到两个问题。首先，只有M个Cijare的特征值是非零的，所以K≤ M在这个方法中，如果规模不大，我们就回到了起点。第二，由于主要成分通常基于Cij的反对角线成分，因此它们在样本外具有内在的不稳定性。

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2022-5-7 06:15:21

相比之下，在俄罗斯玩偶风险模型中，ma-In思想是快速减少或同时消除需要计算样本事实风险矩阵的风险因子，从而减少或消除这种样本外不稳定性。此外，基于行业的风险因素的样本因子协方差矩阵在样本外通常比股票样本协方差矩阵或其任何衍生物（如其主成分）稳定得多。这本质上是套利定价理论；对于partia l list，s ee，例如，（班萨尔和维斯瓦纳坦，1993年），（伯迈斯特和沃尔，1986年），（陈等人，1986年），（康纳和科拉杰克，1988年，1989年），（德莱姆斯等人，1984年），（莱曼和米斯特，1988年），（罗斯，1976年）。这是基于构建的风险因素（如BARRA、North Fild、Axio ma等）的多因素风险模型的主要原因之一。，在定量交易中更受欢迎，也更广泛地使用，而不是基于pr inc ipal组件（尽管交易者没有已知的嵌套俄罗斯玩偶风险模型）。嵌套风险模型背后的总体思想很简单。假设我们有K个风险因子fA。如果理想/可用的观测数M<K，那么因子协方差矩阵Φabi是奇异的。即使≥ K、除非K<< M、通常情况下，预计样品外的ΦAb不会太稳定。因此，我们的想法是通过一个因子模型对ΦABitself进行建模（相对于将其作为风险因子fA的样本协方差矩阵进行计算）：ΦAB=ζaδAB+FXa，b=1∧AaψAB∧Bb（8），其中ζa是fA的特定风险；∧Aa，A=1，K、 a=1，F是相应的因子载荷matr ix；ψabi是潜在风险因素ga的因子协方差矩阵，a=1。

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2022-5-7 06:15:25

，F，我们假设<< K.利用如上所述的因子协方差矩阵ΦAb，我们得到了以下股票的因子模型协方差矩阵：Γij=ξiδij+KXA=1ζAOhm内华达州OhmjA+FXa，b=1eOhmiaψabeOhmjb（9）式中（用矩阵表示法）eOhm ≡ Ohm ∧（10）注意，（9）中r.h.s.的第一项和第三项只包括一个F因子模型。然而，正是第二个术语的存在造成了差异。除了F风险因素（第（9）条中r.h.s.的第三项），它还通过因子载荷对Γij中的F对角项进行建模OhmIa和因子fA的特定风险ζa。如果计算得当（见下文），特定风险——就像总风险一样——在样本外比样本相关性更稳定。这是因为——就像总风险一样——特定风险对应于方差（与样本协方差矩阵中的有效对角线元素相反）。这使得嵌套的“俄罗斯玩偶”（“matryoshka”）风险模型构建（9）在样本外比直接构建（1）更稳定，但它捕捉到了F因子模型所能解释的对Ijyond的影响。事实上，（9）是一种特殊形式的（K+F）因子模型。实际上，我们可以将（9）改写如下：Γ=Ξ+ωφωT（11），其中ω是一个N×（K+F）因子，对于mωiA=OhmiA（12）ωiA=eOhmia（13）如何为定制建筑构建风险模型（有时选择主成分）。除了φAB=15的对角线形式之外，φAB.AB几乎是φa的对角线形式。事实并非如此。还有工作要做。尤其是，并不总是很明显的风险因素应该是什么。幸运的是，在某些情况下（大部分）所需的工作已经完成。

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2022-5-7 06:15:28

二元产业分类就是这样一种情况。首先，我们保持讨论的一般性，然后应用二进制属性。具体而言，我们将使用BICS术语来表示行业分类的级别，尽管这在这里并不重要。此外，BICS有三个级别的“扇区”→工业→ 子行业”（其中“子行业”是最详细的级别）。为了明确起见，我们将在这里假设三个级别，尽管对更多级别的概括是向前推进的。所以，我们有：N个股票，以i=1标记，NK子行业A=1，KF标记为a=1的行业，F和L扇形，用α=1，L.然后构建一个嵌套的俄罗斯玩偶风险模型，如下所示：Γij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAΦABOhmjB（17）ΦAB=ζAδAB+FXa，b=1∧AaψAB∧Bb（18）ψAB=ηAδAB+LXα，β=1aαΘαβbβ（19）Γij=ξiδij+KXA=1ζAOhm内华达州OhmjA+FXa=1ηaeOhm依斯克拉汽车电器公司Ohmja+LXα，β=1bOhmiαΘαβbOhmjβ（20）式中Ohm ≡ Ohm ∧（21）bOhm ≡EOhm （22）这里η是与行业相关的风险因素的特定风险，Θαβ是行业的因子协方差矩阵，以及aα是相应的因子载荷矩阵。其他符号如上所述，不言自明。请注意，这是r.h.s.上的第二项和第三项。

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2022-5-7 06:15:32

在（32）个因素中（以样本外稳定的方式），该结构不同于作为风险因素的行业对应的L因子模型。在这里，我们也可以将（32）视为特殊形式的更大的（K+F+L）因子模型：Γ=Ξ+ωφωT（23），其中ω是形式为ωiA=OhmiA（24）ωiA=eOhmia（25）ωiα=bOhmiα（26）和φ是一个（K+F+L）×（K+F+L）因子协方差矩阵，形式为φAB=ζaδAB（27）φAB=ηaδAB（28）φαβ=Θαβ（29）φAa=φAa=φaα=φαa=φaα=φaα=0（30），因此φ几乎是对角的——除了αβ中的对角元素。3.2“单因子”俄罗斯娃娃风险模型我们可以进一步将上述构造简化为“单因子”模型通过单因素风险模型对αβ进行建模。因子载荷矩阵∏α只是一列，一个（L×1）矩阵，可以选择为简单的截距∏α≡ 1.相应的因子协方差矩阵X只是一个正数（1×1矩阵），因此我们有Θαβ=σαΔαβ+X（31）和Γij=ξiδij+KXA=1ζaOhm内华达州OhmjA+FXa=1ηaeOhm依斯克拉汽车电器公司Ohmja+LXα=1σαbOhmiαbOhmjα+XOhm我Ohmj（32）在哪里Ohm我≡LXα=1bOhmiα∏α=LXα=1bOhmiα（33）这个“单因子”模型实际上是一个（K+F+L+1）因子模型，其因子载荷矩阵由ω=(Ohm,EOhm,BOhm,Ohm) 以及由φ=diag（ζaδAB，ηaδAB，σαδαβ，X）给出的对角因子协方差矩阵X。此外，请注意，如果我们设置X=0，我们会得到一个“零因子”俄罗斯玩偶模型，其中所有的斜元素都是通过（32）的r.h.s.的第二、第三和第四项建模的，这实际上是一个带有对角因子协方差矩阵的（K+F+L）因子模型。3.3二元属性二元属性意味着每只股票属于一个且仅属于一个子行业、行业和部门。

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2022-5-7 06:15:36

f因子载荷矩阵OhmiA∧Aaandaα由下式给出：OhmiA=δG（i），A（34）∧Aa=δS（A），A（35）aα=δT（a），α（36），其中G是股票和子行业之间的映射，S是子行业和行业之间的映射，T是行业和部门之间的映射：G:{1，…，N}7→ {1，…，K}（37）S:{1，…，K}7→ {1，…，F}（38）T:{1，…，F}7→ {1，…，L}（39）这意味着Ohmia=δeG（i），a（40）bOhmiα=δbG（i），α（41），其中≡ SG是股票和行业之间的地图，BG≡ TeG=T SG是股票和行业之间的地图。公式（20）则简化如下：Γij=ξiδij+ζG（i）δG（i），G（j）+ηeG（i）δeG（i），eG（j）+ΘbG（i），bG（j）（42）二元行业分类的关键简化特征是，一旦行业分类树被指定，风险因子fA，gaa和hα（其中hα是ψab的因子模型（19）的风险因子）就被明确知道：与子行业风险相对应，Ga对应行业风险，hα对应行业风险。因此，构建俄罗斯玩偶风险模型可归结为计算行业风险因素hα的Θαβ因子协方差矩阵，并确定特定风险ξi、ζa和ηa（见下文）。3.4非二元概括处理二元分类的美妙之处在于风险因素的层次结构（即fA← ga← hα）由分类层级（即“部门”）确定→见下文脚注11。在这里，人们还可以使用“非二元”行业分类，即每个股票市场属于（比如）多个子行业，例如，在企业集团的情况下。然而，通常情况下，此类股票的数量相对较少，而aticker所属的子行业的数量通常只有几个到几个。在这里，我们将坚持基本行业分类，而不是混淆视听。

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kedemingshi

2022-5-7 06:15:39

我们将处理非二进制类型的风险因素。工业→ 子行业），后者很容易获得——行业分类提供商已经完成了所有艰苦的工作，分析公司的产品和/或服务、收入来源等，这些决定了公司的分类和行业分类。对于非行业风险因素，确定风险因素的嵌套层次并不总是那么简单。例如，对于基于主要成分的风险因素，没有明显的指导原则。然而，并不是所有的东西都失去了。在实践中，最流行的多因素风险模型结合了非二元式风险因素和二元行业风险因素。风格因素的数量通常比行业因素的数量小得多，尤其是（超）短期模型。例如，最近在（Kakushadze，2014年）中，有人认为隔夜收益基本上有4个相关的风格风险因素。我们希望在这里解决的问题是，我们是否可以从少数类型的风险因素加上更多基于行业的风险因素开始（通常，~ 100或更多），并建立一个俄罗斯玩偶风险模型。正是因为我们只有少数几种风格的风险因素，所以我们可以建立一个俄罗斯玩偶模型——这是因为不需要减少风格风险因素的数量，只需要减少基于行业的风险因素的数量。所以，这里的想法很简单。我们将使用中希腊符号u，ν。为了标记样式风险因素，我们使用上面的i，A，A，α标签。莱塔≡ （A，u），ea≡ （a，u）和α≡ (α, u). 让U成为风格风险因素的数量。莱特克≡ K+U，eF≡ F+UandeL≡ L+U。

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2022-5-7 06:15:42

然后我们可以将第3.1小节的方法应用于i，eA，eA，eα：Γij=ξiδij+eKXeA，eB=1OhmieAΦeAeBOhmjeB（43）ΦeAeB=ζeAδeAeB+eFXea，eb=1∧eaeaeaψeAeB∧eBeb（44）ψeAeB=ηeAδeAeB+eLXeα，eβ=1eaeαΘeαeβebeβ（45），所以我们有Γij=ξiδij+eKXeA=1ζeAOhm国际能源署OhmjeA+eFXea=1ηeaeOhmieaeOhmjea+eLXeα，eβ=1bOhmieαΘeαeβbOhmjeβ（46）虽然有几种商业上可用的行业分类，它们有自己的专有方法，但性能最好的分类相对相似。在这里，我们不建议使用任何特定的行业分类——这是一个偏好和访问的问题。一些模型使用准二元行业风险因素，并在几个不同的行业中分配了分数权重——如上所述，为了简单起见，这里我们坚持使用二元行业风险因素。在哪里Ohmiea=eKXeA=1OhmieA∧eAea（47）bOhmieα=eFXea=1eOhm国际能源署eaeα（48），我们进一步得到了∧eAea=diag（λAa，Δμν）（49）eaeα=diag(aα，Δuν（50）ζu=0（51）ηu=0（52）Φuν=ψuν=53）Φau=FXa=1∧Aaψau（54）ψau=LXα=1aαΘαu（55）因此，在最后，一切都是通过因子协方差矩阵Θeαeβ和特定风险ξi、ζa和ηa确定的。与之前一样，因子载荷矩阵OhmiA∧Aaandα是二进制的。3.5固定因子协方差矩阵和特定风险有人可能会问，这都很好，但我如何计算剩余因子协方差矩阵Θ和特定风险ξI、ζa和ηa？一个简单的答案是，如果一个人知道如何计算usualfactor模型（1）的因子协方差矩阵和特定风险，那么同样的方法可以应用于俄罗斯玩偶因子模型，并进行一些简单的调整。然而，计算因子协方差和特定风险的方法通常被认为是适当的，因此，远远超出了本说明的范围。

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2022-5-7 06:15:46

尽管如此，在这里，我们将讨论如何计算因子协方差矩阵和特定风险的常见误解，并指出其失败的地方和原因。这种误解很可能源于（3）和线性（横截面）回归Ris=is+KXA=1βiAsfAs（56）之间的形式相似性，作者和QuantigicSolutions LLC也是如此。其中s标记时间序列，Risare股票收益率（例如，基本接近收盘收益率，在这种情况下s标记交易日期），是回归残差（对于每个日期），βiAsare因子β，和fAsare因子回报（注意我们有K个因子）。如果在一段时间内，βiAs独立于s，则βiAs≡ βiA（例如，我们每月计算一次），然后我们可以用OhmiA，对于每个日期s，Risis与Υi、isis与χi、Fas与fA识别。然后，我们很容易错误地得出结论，即fa-cto r共变矩阵Φabi仅由HFA、fBi给出，而具体方差ξiis由hi、ii给出，其中协方差h*, *iis在时间序列上计算（我们已经抑制了指数s）。然而，阿奎克计算揭示了这种方法的谬误。事实上，从线性回归（无截距和单位权重）的定义来看，我们有（矩阵表示法）f=OhmTOhm-1.OhmTR（57）=[1- Q] R（58），其中（注意Q=qt是一个投影算子：Q=Q）Q≡ OhmOhmTOhm-1.OhmT（59）因此，我们有：，T= [1 - Q] C[1- Q] （60）Ohmf、英尺OhmT=Q C Q（61），其中Cij≡ hRi，Rji是样本协方差矩阵。现在我们可以立即看到将ΦAb与hfA、fBi和ξi与hi、hii识别的问题。

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2022-5-7 06:15:49

根据因子模型，总方差Γii由Γii=ξi+KXA，B=1给出OhmiAΦABOhmiB（62）在上述（错误）识别的情况下，因子模型总方差Γii与样本内总方差Cii不一致——并且因子模型更好地产生样本内总方差（同时尝试尽可能精确地预测样本外总方差）。还要注意的是，如果我们将ΦAb的上述标识与hfA、fBi保持一致，并简单地定义ξi≡ Cii-PKA，B=1OhmiAΦABOhmiB，通常我们会（不可接受地）有一些负面的ξi.4一个错误的例子。虽然计算因子协方差矩阵和特定风险是非常规的（和专有主题），但俄罗斯玩偶风险建模允许通过使用简单的启发式绕过此类复杂情况。我们强调，使用全边缘风险，只有轨迹重合：Tr，T+ Ohmf、英尺OhmT= Tr（C）。通过仔细计算因子协方差矩阵和特定风险进行建模通常会产生更好的结果。然而，如果后一种方法不可行，我们在本节中阐述的启发式方法提供了一种近似方法，用于将对角相关关系合并到协方差矩阵中。这里的想法很简单。避免第3小节中讨论的头痛问题。5.让我们简单地避免计算任何因子协方差矩阵。然后，我们考虑了“单因子”俄罗斯玩偶因子模型（32），其中唯一的“因子方差矩阵”是1×1矩阵X，它实际上是单因子的方差，反过来可以解释为整体“市场”风险敞口。不要让我们的讨论过于复杂，让我们继续讨论二进制情况。

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2022-5-7 06:15:52

然后，使用与上述相同的符号，我们有：Γij=ζiδij+ζG（i）δG（i），G（j）+ηeG（i）δeG（i），eG（j）+σbG（i）δbG（i），bG（j）+X（63），因此，总方差由Γii=ξi+ζG（i）+ηeG（i）+σbG（i）+X（64）给出。如上所述，我们希望用样本总方差Cii识别Γii。这给出了关于N+K+F+L+1未知数ξi、ζA、ηA、σα和X的usN方程。然后，与之前一样，这里的主要问题是，一般来说，一些ξi、ζA、ηA、α和/或X将（不可接受地）为负值。因此，如果我们要求所有ζi，ζA，ηA，σα和X都是非负的，那么我们得到ζA≤ min（Cii），ηa≤ min（Cii），σα≤ min（Cii）和X≤ min（Cii），并且由于方差Cii有一个偏斜（理论上为lo g-normal）分布，这意味着ζa、ηa、σα和X将对大多数具有较大Cii的股票，包括相应的对角元素i，产生较小的影响。E涉及此类股票的相关性将很小。这里我们讨论一个简单的启发式“fix”（或“hack”）。这里的关键观察结果是，如果cii更均匀，那么要求所有ξi、ζA、ηA、σα和X一般为非负，不会产生小的相关性。因此，让我们考虑相关矩阵ψij而不是Cij:Cij，来考虑ciib中的不均匀性≡pCiipCjjψij（65），其中ψii=1。因此，特别地，代替Cij，我们现在通过一个俄罗斯dollfactor模型对ψij进行建模，也就是说，我们将Γii与ψii区分开来，因此我们有Γii=1和ξi+ζG（i）+ηeG（i）+σbG（i）+X=1（66），我们只剩下K+F+L+1个未知数ζa、ηa、σα和X。为了取得进展，让我们观察到这里没有唯一的解决方案或神奇处方。考虑到这一点，让我们考虑以下简单的假设：ξi=ζA=ηA=σα=X=1/5（67）。这里，“市场”回报定义为宇宙中所有股票回报的加权平均值，用i标记∈ {1 , . . .

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2022-5-7 06:15:55

，N}。即使是在afo转售专利算法中，也必须做出某些（复杂的）选择。也就是说，假设“市场”、部门、行业和子行业在总方差中的权重相等，与股票特定（特质）风险相同。同样，这是一个简化的假设，但出于说明目的，它将起作用。4.1赛马下一步，我们想看看上述简化的俄罗斯玩偶模型是否增加了价值。测试这一点的一种方法是，在给定交易范围和相应的预期回报（见下文）的情况下，进行一场市场竞争。一方面，为了获得所需的持有量，我们可以使用俄罗斯玩偶模型，在满足玩偶中立性约束的情况下，通过夏普比率最大化进行优化。另一方面，我们可以使用诊断样本协方差矩阵diag（Cii）进行同样的优化，受美元中性约束，甚至行业、行业和子行业中性约束。事实上，使用对角协方差矩阵r ix并受线性同质约束的优化相当于加权横截面回归，载荷矩阵ix的列（在该列上，r eturns被回归）与约束系数向量和用逆变量1/Cii识别的回归权重相同——详情见（Kakushadze，2015）。因此，为了术语上的方便，我们将赛马称为优化（使用俄罗斯玩偶模型）和加权积分（使用各种约束）。4.1.1注释请让我们设置我们的注释。π，i=1，N是由i标记的股票的股价。事实上，每只股票的价格是一个时间序列：Pis，s=0，1，M、其中，指数s标记交易日期，s=0对应于时间序列中的最新日期。

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2022-5-7 06:15:59

我们将使用上标O和C（未调整的开盘价和收盘价）以及AO和AC（开盘价和收盘价因拆分和股息而完全调整），因此，例如，PCisis是未调整的收盘价。Visis指未经调整的日交易量（以股份计）。此外，我们将隔夜收益定义为接近下一个开放收益：Ris≡ 自然对数PAOis/PACi，s+1（68）请注意，本定义中的两个价格均已完全调整。订单在开盘时以开盘价POI确定，并在当天收盘时以收盘价PCis结算，无交易成本或延误——我们的目标不是制定交易策略，而是检查我们的俄罗斯娃娃因子模型是否增值。每种股票的损益为∏is=His皮斯波伊斯- 1.（69）本节剩余部分与（Kakushadze，2015）第7节重叠，因为回溯测试模型类似（尽管不完全相同）。这就是所谓的“延迟-0”a lpha——在阿尔法中使用泊松，并作为确定的填充价格。他希望持有的美元在哪里。每天每只股票的买入加卖出（即建立和清算交易的合并）股份通过Qis=2 | His |/POI计算。4.1.2宇宙选择在我们运行模拟之前，我们需要选择我们的宇宙。我们希望这里的讨论尽可能简单，所以我们根据定义的平均每日美元交易量（ADDV）来选择我们的宇宙≡ddXr=1Vi，s+rPCi，s+r（70）我们将d=21（即一个月），然后通过ADDV将我们的宇宙列为2000强。然而，为了确保我们不会无意中引入单一选择偏差，我们不会每天重新平衡宇宙。相反，我们每月重新平衡，准确地说，每21个交易日一次。

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2022-5-7 06:16:02

也就是说，我们将5年的回溯测试周期（见下文）分成21天的间隔，我们使用ADDV计算宇宙（反过来，ADDV是根据紧接着该间隔的21天周期计算的），并在整个间隔期间使用该宇宙。然而，我们确实存在的偏见是生存偏见。我们采用截至2014年6月9日的Tickers数据，这些数据包含http://finance上的历史定价数据。雅虎。2008年8月1日至2014年9月5日期间的com（于2014年9月6日访问）。我们限制thisuniverse仅包括在美国上市的普通股和类别股（无OTC、优先股、e tc）自2014年9月6日起，完成BICS行业、行业和子行业任务。然而，存活率偏差似乎不是主要影响因素——详情见（Kakushadze，2015）第7节。此外，基于ADDV的universeselection绝对不是最优选择，这里选择它是为了简单。在实际应用中，流动性股票的交易范围是根据市值、流动性（ADDV）、价格和其他（专有）标准精心选择的。4.1.3回溯测试我们在5年内运行模拟。更准确地说，M=252×5，ands=0是2014年9月5日（见上文）。年化资本回报率（ROC）的计算方法为每日平均损益除以（日内–见下文）投资水平I（无杠杆），再乘以252。年化夏普比率（SR）计算为每日夏普比率乘以√每股252美分（CPS）的计算方法为总损益除以总交易股份。如上所述，我们假设没有交易成本。这是因为交易成本只需将优化和加权回归α的ROC降低相同的数量，而这两种策略的设计交易量完全相同。

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2022-5-7 06:16:05

因此，包括交易成本在内，不会影响在竞争中的实际表现。由于赛马的目的仅仅是检查两个Alpha的相对性能（而不是建立一个现实的交易策略），包括交易成本只会使事情复杂化，而不会带来任何实际好处。4.1.4加权回归α我们的投资组合中对所需美元持有量的限制如下：美元中立性：NXi=1His=0（71）行业中立性：NXi=1bOhmiαHis=0（72）行业中立性：NXi=1eOhmiaHis=0（73）子行业中立性：NXi=1OhmiAHis=0（74）注意，部门、行业和子行业的中立性自动意味着美元中立性asPLα=1bOhmiα≡ 1，PFa=1eOhmia≡ 1和pka=1Ohm内华达州≡ 1，即截距（即单位N向量）包含在载荷矩阵B中Ohmiα，eOhmiaandOhmIava通过其列的线性组合。接下来，对于标有s的每个日期，我们在相应的载荷矩阵上进行回归的横截面回归，称之为Y（指数被抑制），它有4种不同的体现：i）对于美元中性，Y是一个N×1单位的矩阵（即整数）；ii）对于扇区中性，Y是N×L mat r ixbOhmiα；iii）行业中立性Y是N×F矩阵Ohmia；对于子行业，中性度yy是N×K mat r ixOhm伊莉亚。不是说在情况i）中，回归只是在截距之上，而在情况ii）-iv）中，截距自动包括在内。回归权重由zi给出≡ CI1/I。更准确地说，对于每个日期s，样本方差Ciis根据样本计算如下：≡ 变量Ri，（s+1），Ri，（s+2），里（s+d）（75）也就是说，对于每个数据，我们计算前d个交易日的隔夜收益率，并根据相应的d日时间序列计算方差CIIS。Wetake d=21（即一个月）。

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2022-5-7 06:16:08

然而，为了避免权重zi出现不必要的变化（因为这种变化可能导致不必要的过度交易），就像交易世界一样，我们不每天计算zi，而是每月计算一次，准确地说，每21个交易日计算一次。也就是说，我们将5年的回溯测试周期划分为21天的间隔，我们计算该间隔前21天的方差CiiB，并使用这些方差通过zi=1/CiiD计算整个该间隔的权重。在上述4种情况i）-iv）中，我们计算加权回归的残差εisof，然后通过（我们使用矩阵表示法和抑制指数）计算所需的残差εisof：ε=R- Y Q-1YTZ R（76）Z≡ diag（zi）（77）Q≡ YTZ Y（78）eR≡ Zε（79）His≡ -eRisIPNj=1埃尔斯（80）其中Q-1是矩阵Q的倒数（在情况i中，它是一个1×1矩阵），我们有：NXi=1 | His |=i（81）NXi=1His=0（82），其中i是日内美元总投资水平（多头加短头），这与所有数据相同。等式（82）意味着投资组合是美元中性的。这是因为“回归收益”的横截面平均值为0，这是因为截距要么包含在（案例i）中，要么包含在荷载矩阵Y（案例ii-iv）中。表1给出了结果，图1中绘制了4种情况（i）-iv）的P&L。在表2中，为了进行比较，我们还给出了回归权重设置为1时相同4种情况下的结果。我们通过eεis表示相应的回归方程，我们也将在下面使用。

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2022-5-7 06:16:11

使用反向方差作为回归权重显然会增加价值，这并不奇怪，因为这相当于通过样本方差抑制波动性较高的股票对投资组合的贡献——如上所述，加权回归与通过Sharpe rat io最大化进行的优化相同，其对角线样本协方差矩阵受相应的线性齐次约束。4.1.5优化的alpha接下来，我们转到优化的alpha。在最大化夏普比时，我们使用Θij给出的近似协方差矩阵≡pCiipCjjh1.- ζG（i）- ηeG（i）- σbG（i）- 十、δij++ζG（i）δG（i），G（j）+ηeG（i）δeG（i），eG（j）+σbG（i）δbG（i），bG（j）+Xi（83）更准确地说，它以降低ROC为代价来提高SR和CPS——基于回归的投资组合更接近最大夏普比率。其中，样本方差CIIAR的计算方法与加权回归a lpha s的计算方法相同（基于21天的间隔），如上所述，为了简单起见，我们将ξi=ζa=ηa=σα=X=1/5。对于每个日期（我们省略了指数s），我们都在最大限度地提高夏普比率，以满足美元中性约束：s≡PNi=1HiEiqPNi，j=1ΘijHiHj→ 最大（84）NXi=1Hi=0（85），其中Ei≡ eεi指的是预期收益（eεi指隔夜收益的单位权重回归残差）OhmiA（子行业）-见上文。解由hi=γ“NXj=1Θ给出-1ijEj-NXj=1Θ-1Ijpink，l=1Θ-1klepnk，l=1Θ-1公斤（86）在哪里-1是Θ的倒数，通过nxi=1 | Hi |=I（87）的要求固定整体归一化常数γ。注意，（86）满足美元中性约束（85）。下面一行的表1给出了模拟结果。图1中包含了该优化alpha的损益图。

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2022-5-7 06:16:14

很明显，我们在这里使用的（原始和特别的）俄罗斯玩偶模型增加了价值——即使我们没有计算因子协方差矩阵或特定风险，只是做了一些启发式近似。表1 bot t t om行中的优化模型的ROC、SR和CPS略好于基于子行业的回归模型——就所有实际目的而言，它们的性能都相当。然而，不同之处在于，俄罗斯dollmodel（尽管这个特定版本很粗糙，这是一种外行的构建方式）是一个预测对角相关性的全风险模型，而回归中使用的只是载荷矩阵和回归权重，并不预测对角相关性。通过使用适当的算法来计算因子协方差矩阵和特定风险，我们可以比我们在这里使用的原始俄罗斯玩偶模型做得更好，尽管这种算法会带来成本。然而，由于明显的原因，此类算法不在本说明的范围内。同样重要的是要注意，在上面的示例中，我们有意不包括任何风格因素——如果我们包括风格因素，我们必须计算风格因素的因素协方差矩阵，再加上上述构造中的“市场”因素，这将需要使用专有算法。在这篇文章中，上述例子显然被淡化了，仅用于说明目的。在下一节中，我们将对此进行进一步阐述。5结论性意见总结而言，俄罗斯玩偶风险模型构建背后的基本理念和动机是，在某些情况下，基于（或更普遍地使用）历史时间序列数据计算因子协方差矩阵可能是不可取和/或不可取的。

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2022-5-7 06:16:17

在这种情况下，可以使用俄罗斯玩偶结构将因子协方差矩阵建模为fa cto r模型，从而减少必须计算因子协方差矩阵的f因素的数量。如果需要，可以连续应用此（近似）过程，以显著减少必须计算f因子协方差矩阵的剩余风险因子的数量，或完全消除它们。在本说明中，我们讨论了如何在（二元）基于行业分类的风险因素以及（非二元）类型因素存在的情况下应用该结构。在实际应用中，当需要因子模型来估计/预测对角相关性时，俄罗斯玩偶模型构建是一个强大的工具，但全边缘因子模型并不可用或不可行。在这方面，让我们回到我们在第4节中使用的原始结构。我们可以将这种结构推广到任意风险模型，而不必涉及俄罗斯玩偶结构。假设我们确定事实上的r载荷矩阵OhmiA，可能包含基于行业分类的因素、风格因素、基于主成分的因素等——p ri o ri可以是任意的。俄罗斯玩偶近似的粗略版本是因子协方差矩阵ΦABis对角线：ΦAB≈ ζAδAB。然而，与之前一样，即使采用这种近似方法，也不能保证所有ξi>0，其中ξi为特定风险。如第4节所述，我们可以通过因子模型（Cij）来模拟相关矩阵ψij，而不是通过因子模型（Cij）来模拟共变矩阵Cij=√CiipCjjψij）：ψij≈ Γij≡ ξiδij+KXA=1ζAOhm内华达州Ohm二元情况下的jA（88）OhmiA=δG（i），Awe有条件ξi+ζG（i）=1（89），因此，如上所述，我们可以应用一个简单的Ansatz，例如ξi=ζa=1/2。

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kedemingshi

2022-5-7 06:16:20

然而，fornon二进制OhmiAa simple Ansatz不存在，需要上述专有算法。当我们有（少量）风格因素和二元行业因素的组合时，情况也是如此。致谢这项工作大部分是在我访问香港科技大学高级研究所期间完成的。我要感谢泰亚斯及其主任亨利·泰伊教授的盛情款待。我还要感谢Jean-Philippe Bouchaud和R\'emy Chichepatiche，感谢他们使用嵌套因子模型来建模股票收益的非线性依赖关系。参考Sang，A.，Hodrick，R.，Xing，Y.和Zhang，X.（200 6）波动率和预期收益的横截面。金融杂志61（1）：259-299。安森，M.（20 13/14）私募股权的业绩衡量：另一个滞后的贝塔效应。《私募股权杂志》17（1）：29-44。Asness，C.S.（1995）过去股票收益率解释未来股票收益率的能力。高盛资产管理公司。工作文件。Asness，C.和Stevens，R.（1995）预期股票回报率交叉部分的行业内和行业间变化。高盛资产管理公司。工作爸爸。Asness，C.，Krail，R.J.和Liew，J.M.（2001）对冲基金对冲吗？《投资组合》杂志（19-6）：管理。Bansal，R.和Viswanathan，S.（1993）无套利和套利定价：新方法。金融期刊48（4）：1231-1262。Banz，R.（1981）公共股票回报与市场价值之间的关系。金融经济学杂志9（1）：3-18。Basu，S.（1977）普通股的投资业绩与其市盈率的关系：对有效市场假说的检验。金融日记32（3）：663-682。Black，F.（1972）限制借贷的资本市场均衡。

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2022-5-7 06:16:23

商业日志45（3）：444-455。Black，F.，Jensen，M.和Scholes，M.（1972）资本资产定价模型：一些实证检验。年：Jensen，M.（编辑）《资本市场理论研究》。纽约：Praeger出版社，第79-121页。Blume，O.和Friend，L.（1973）资本资产定价模型的新视角。《金融杂志》28（1）：19-33。勃兰特，M.W.，布拉夫，A.，格雷厄姆，J.R。和库马尔，A.（2010）。特质波动之谜：时间趋势还是投机事件？财务研究回顾23（2）：863-899。Burmeister，E.和Wall，K.D.（1986）套利定价理论和宏观经济因素度量。财务回顾21（1）：1-20。Campbell，J.（1987）股票回报和期限结构。金融经济学杂志18（2）：373-399。坎贝尔，J.Y.，莱塔大学，M.，马尔基尔，B.G.和徐，Y.（2001）个人股票是否变得更不稳定？对特质风险的实证探索。金融杂志56（1）：1-43。Campbell，J.和Shiller，R.（1988）股息价格比率以及未来股息和贴现因子的预期。财务研究综述1（3）：195227。Carhart，M.M.（1997）共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52（1）：57-82。Chen，N.，Grundy，B.和Stambaugh，R.F.（19-90）变化风险、变化风险溢价和股息收益率影响。《商业杂志》63（1）：51-70。Chen，N.，Roll，R.和Ross，S.（1986）经济力量和股票市场。商业杂志59（3）：383-403。Chicheport iche，R.和Bouchaud，J.-P.（2014）股票收益率非线性相关性的嵌套因子模型。定量财务（即将出版），内政部：10.1080/14697688.2014.994668。Cochrane，J.H.（2001）资产定价。普林斯顿大学出版社。康纳，G。和Korajczyk，R.（1988）n平衡APT中的风险和回报：新测试方法的应用。金融经济杂志21（2）：255-289。康纳，G。

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