大型投资组合风险的稳健推断

2022-5-7 08:04:16

大型PortfoliosJianqing Fan风险的稳健推断*, Fang Han+、Han Liu和Byron Vickers§¨2015年1月10日摘要我们提出了一种基于自举的稳健高信心水平上限（RobustH CLUB），用于评估大型投资组合的风险。所提出的方法利用了基于银行和分位数的估计器，可以被视为H-CLUB方法的稳健扩展（Fan等人，2015）。这样的扩展使我们能够处理可能的错误模型和重尾数据。在混合条件下，我们分析了所提出的方法，并证明了其优于H-CLUB。我们进一步提供了完整的数值结果来支持已发展的理论。我们还将所提出的方法应用于股票市场数据集的分析。关键词：高维；稳健推理；排名统计；分位数统计；风险管理；协方差矩阵。1.引言让我们，RTbe是一个具有Rt的平稳多元时间序列∈ Rd表示时间t时的资产周转率∈ 作为一个投资组合分配向量，我们将风险定义为风险（w）：=（Var（wTRt））1/2=（wT∑w）1/2，*普林斯顿大学运营研究与金融工程系，普林斯顿，NJ08544，美国；电子邮件：jqfan@princeton.edu.他的研究得到了NSF拨款DMS-1406266和NIH拨款R01GM100474-04的支持。+美国马里兰州巴尔的摩约翰霍普金斯大学生物统计学系，邮编：21205；电子邮件：fhan@jhu.edu.他的研究得到了谷歌奖学金的支持普林斯顿大学运营研究与金融工程系，普林斯顿，NJ08544，美国；电子邮件：hanliu@princeton.edu.他的研究得到了NSF职业奖获得者DMS1454377、NSF IIS1408910、NSF IIS1332109、NIH R01MH102339、NIH R01GM083084和NIHR01HG06841的支持。§美国普林斯顿大学运营研究与金融工程系，普林斯顿，NJ08544；电子邮件：bvickers@princeton.edu.

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2022-5-7 08:04:19

他的研究得到了NIH 2R01-GM072611-10的支持。我们感谢邱慧彤的讨论。式中，∑表示Rt的未知波动率（或协方差）矩阵，即，∑：=e（Rt）- ERt）（Rt- ERt）T.评估投资组合的风险包括两个步骤：首先，我们需要一个协方差矩阵estimatorb∑est；其次，我们基于b∑est构造了wT∑w的置信区间。当d较大时，评估风险（w）具有挑战性。例如，给定2000个候选资产池，波动率矩阵∑涉及200多万个参数。然而，对于日收益率数据，在一年半的时间里，样本量通常不超过500。这是一个典型的“小n大d”问题，导致估计误差累积（Jagannathan和Ma，2003年；Pesaran和Zaff aroni，2008年；Fan等人，2012年）。为了处理维数灾难，在估计∑时采用了更多的结构正则化。例如，Fan et al.（2008）和Fan et al.（2013）将因子模型结构应用于协方差矩阵。假设的因子结构减少了必须估计的参数数量。此外，Ledoit和Wolf（2003）提出了∑的收缩估计。此外，Barndor ff-Nielsen（2002）、Zhang等人（2005）和Fan等人（2012）考虑基于高频数据估计∑。其他文献包括张和蔡（2010年）、戈米兹和盖隆（2011年）、赖等（2011年）、范等（2011年）、白和廖（2012年）和弗莱兹列维奇（2013年）。然而，这些论文大多侧重于风险估计，而不是不确定性评估。为了构建wT∑w的置信区间，Fan等人（2012）建议使用kwkkb∑est-∑kmaxa是| wT（b∑est）的上界-∑）w |。然而，这个界依赖于未知的∑，并且在数值研究中被证明过于保守。为了解决这个问题，Fan等人。

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2022-5-7 08:04:22

（2015）进一步利用多个基于样本协方差的估计器b∑estof∑，并提出| wT（b∑est）的高置信水平上界（H-CLUB）- ∑）w |：对于给定的信任级别1-γ、在时间序列的某些矩和依赖性假设下，证明了导出的H-CLUB支配| wT（b∑est）- ∑）w |概率近似为1- γ随着T和d增加到单位。本文针对高维不确定性提出了新的高维风险评估方法。特别是，当资产返回R，…，时，我们推导出WT∑w的置信区间，它们呈椭圆形分布。这一设置已被金融计量经济学普遍采用（续，2001年）。为了处理重尾数据，我们提出了一种新的风险不确定性评估方法，称为鲁棒高密度上界（鲁棒H-CLUB）。鲁棒H-CLUB利用一种新的基于区块引导的风险（w）不确定性评估方法。更具体地说，我们将评估风险wT∑w的问题分解为两部分：（i）我们提出了稳健估计B∑Est。我们将提供向量`norm（k·k）和矩阵`maxnorm k·kmaxlater的定义。∑；（ii）我们推导了wT（b∑est）的方差- ∑）w.对于∑的估计，我们利用了基于Rankbase Kendall的tau估计和基于分位数的中值绝对偏差估计。预测wT（b∑est）的方差- ∑）w，我们采用圆形块引导法（Politis and Romano，1992）。理论上，当T，d→ ∞ d可能比T大很多，我们发展了稳健风险估计的微分理论。特别是，我们展示了√T wT（b∑est）-∑）wis渐近正态，方差σ，基于块自举的估计量bσestofσ是一致的。即使当d几乎以指数形式大于T时，该理论仍然成立。此外，它适用于任何椭圆模型。

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2022-5-7 08:04:25

因此，我们不再需要资产收益的强矩条件（例如，分布尾部的指数衰减率）。1.1其他相关工作有大量关于估算大型稀疏/基于因子的协方差矩阵的文献。在数据点相互独立的假设下，提出了许多基于样本协方差的规则化方法，包括分带（Bickel和Levina，2008b）、渐缩（Cai等人，2010）、阈值（Bickel和Levina，2008a；Cai和Zhou，2012）和因子结构（Fan等人，2008；Agarwal等人，2012；Hsu等人，2011）。他们进一步应用于研究向量自回归依赖（Loh and Wainwright，2012；Han and Liu，2013c）、混合条件（Pan and Yao，2008；Fan et al.，2011，2013；Han and Liu，2013b）和物理依赖（Xiao and Wu，2012；Chen et al.，2013）下的平稳时间序列数据。本文还与在错误指定或重尾模型下估计大相关/协方差矩阵的文献有关。例如，韩和刘（2014b）、韩和刘（2013a）、韦坎普和赵（2013）、米特拉和张（2014）以及范等人（2014）利用了排名统计，而邱等人（2014）则关注分位数统计。这些工作中没有一个像本文那样研究风险推理问题。1.2符号设v=（v，…，vd）为d维实向量，M=[Mjk]为d乘d实矩阵。对于0<q<∞, 让向量\'qnorm为kvkq:=（Pdj=1 | vj | q）1/qand`∞正常∞:= maxdj=1 | vj |。对于两个子集I，J∈ {1，…，d}，我们用I索引的项表示v的子向量，用I和J索引的行和列表示M的子矩阵表示v的子向量。我们用kMkmax表示M的矩阵`maxnorm:=maxjk | Mjk |。让N=[Njk]∈ Rd×dbe另一个d×d实矩阵，我们用M表示o N=[MjkNjk]M和N之间的哈达玛积。

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2022-5-7 08:04:30

f:R→ R是实函数，用f（M）=[f（Mjk）]表示以f（Mjk）作为其（j，k）项的矩阵。我们写M=diag（M，…，Mk），如果M是对角矩阵M，…，的块对角，对于随机向量X，Y∈ 如果X和Y分布相同，我们写Xd=Y。在整个论文中，我们使用c，c，c，C，C，C。表示一般绝对正常数，实际值可能在一行到另一行之间发生变化。对于任何真正的正序列{an}和{bn}，如果我们有一个≥ 对于绝对常数和足够大的n，我们写一个。如果我们有bn&an和如果是的话。bnandan&bn。暂时∈ R、我们将dae和bac分别定义为大于a的最小整数和小于a的最大整数。1.3论文组织本文其余部分的组织如下。第2节介绍了用于评估投资组合风险不确定性的稳健H-CLUBestimator。我们考虑三种情况：（i）收益的边际方差已知；（ii）边际方差未知，但有助于确定值的额外信息；（iii）边际方差未知，没有其他可用信息。第3节介绍了风险估计器的参考理论，并对稳健H俱乐部的使用进行了论证。第4节和第5节介绍了支持已开发理论的合成和真实数据分析。第6节总结了结果并讨论了未来的工作。第7节给出了所有的证据。2鲁棒H-CLUB本节介绍鲁棒H-CLUB方法。我们考虑资产收益率的多元时间序列R，Rt1，…，Rtd）T∈ 对于t=1，T设∑：=Cov（Rt）为协方差矩阵，D∈ Rd×dbe是对角线∑1/2，∑1/2dd。

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2022-5-7 08:04:33

很容易推导出∑=D∑D，其中∑是Rt的相关矩阵。对于给定的投资组合分配向量w∈ Rd，我们的目标是为WT∑w构建一个置信区间。在本节中，我们的兴趣是分析重尾收益，这在金融应用中很常见。我们利用椭圆分布族来模拟重尾数据。椭圆分布通常用于金融数据建模（Owen和Rabinovitch，1983年；Hamada和Valdez，2004年；Frahm和Jaekel，2007年）。更具体地说，是一个随机向量∈ Rd服从平均μ的椭圆分布∈ Rd和正定义协方差矩阵∑∈ Rd×difZd=u+ξAU，其中A∈ Rd×Dsaties AAT=∑，U∈ RDI均匀分布在d维球体Sd上-1，ξ是一个非特定的非负随机变量，独立于U满足eξ=d。我们对{Rt}Tt=1施加以下平稳假设：o（A0）。RR是连续的，且以椭圆随机向量R的形式同分布，协方差和相关矩阵∑和∑。对于参数估计，我们定义了基于秩的Kendallτ相关系数和基于分位数的中值绝对偏差估计器。具体来说，考虑到R，RT，样本和总体Kendall的τ矩阵Bt=[bτjk]和T=[τjk]定义为bτjk:=T（T- 1） Xt<tsign（Rtj- Rtj）标志（Rtk）- Rtk），τjk:=设计（Rj）-eRj）标志（Rk）-eRk），（2.1）式中，R=（R，…，Rd）TandeR=（eR，…，eRd）是R的两个独立副本。在椭圆模型下，Kendall的τ矩阵T和相关矩阵∑满足（Lindskogetal.，2003）∑jk=sinπτjk. （2.2）接下来，我们定义了基于分位数的标度参数中值绝对偏差估计器。我们从一些额外的符号开始。让X∈ R是一个随机变量，{X，…，XT}是X的T个实现。

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2022-5-7 08:04:36

任何问题∈ [0,1]，我们定义了总体和样本q分位数asQ（X；q）：=infx:P（x）≤ 十）≥ Q,bQ（{Xt}；q）：=X（k），其中k=minnt:tT≥ qo。（2.3）此处X（1）≤ X（2）≤ ··· ≤ X（T）是X，…，的有序序列，XT。然后，我们将{X，…，XT}的总体和样本绝对偏差中位数定义为中心数据绝对值的总体和样本中位数。形式定义如下：σM（X）：=QN十、- Q十、o；,bσM（{Xt}Tt=1）：=bQNXt-bQ{Xt}Tt=1；oTt=1；. （2.4）它们是总体和样本标准偏差的可靠替代品。特别是，对于椭圆分布的随机向量R=（R，…，Rd）T，Han等人（2014）证明了σM（R）sd（R）=σM（R）sd（R）=····=σM（Rd）sd（Rd），（2.5）设F和F是X的分布函数和密度函数。我们将交换地使用Q（X；Q）、Q（F；Q）和Q（F；Q）。其中，对于任意随机变量X，sd（X）代表X的标准偏差。在椭圆模型下，使用基于秩和分位数的估计量，我们提出了三种稳健的方法来构造wT∑w的置信区间。正式地说，对于每个提出的稳健协方差矩阵估计量B∑estand和任何给定的γ>0，我们的目标是找到一个（γ），使得wT∑w∈wTb∑estw-bUest（γ），wTb∑estw+bUest（γ）→ 1.- γ、作为T，d→ ∞. 提出的方法对应于D具有不同结构的三种情况。值得注意的是，这三种方法的主要策略是分别估计边际标准差和二元相关系数。在本文中，我们着重于测量在估算相关系数时引入的不确定度，同时假设在估算边际标准偏差时引入的不确定度可以忽略不计。

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2022-5-7 08:04:39

为了测量相关系数估计的不确定度，我们采用了圆形块引导法。详细地说，假设我们导出了稳健的边际标准差估计量bdestofd。我们进一步推导了基于d维多变量时间序列X，XT。对于任意给定的投资组合分配向量w，我们建议估计wT∑w bydRisk（w）：=wTb∑estw，其中B∑est:=bDestb∑estbDest。（2.6）为了估计估计量wTb∑estw的渐近方差，我们采用了Politis和Romano（1992）提出的循环区块引导过程。首先，我们扩展sampleX，通过将Xi+T=Xi连接到i≥ 1.然后我们随机选择一块l=lT T1-某个绝对常数的扩展样本的连续观测< 1（例如，我们可以选择为0.9）。由于金融时间序列具有弱依赖结构，块大小l的选择不是很重要。我们独立地重复该过程b=bT/lc次，以获得样品X*, . . . , 十、*T、所以对于eachk=0，B- 1，P*十、*kl+1=Xj，十、*（k+1）l=Xj+l-1.= 1/T，对于j=1，T、 P在哪里*在条件分布上，重采样是，XT。基于每个重新采样的时间序列X*, . . . , 十、*T、我们计算了相关矩阵估计量b∑*美国东部时间。Letb∑*est:=bDestb∑*Estbdest是基于重采样数据和Var的∑估计量*这主要是为了构建基于bootstrap的推理理论。概率质量函数P的方差算子*. 我们用bσest:=Var估计wTb∑estw的渐近方差*(√T wTb∑*2.1已知边际挥发度在本节中，我们考虑Rt的边际标准偏差（编码为）已知的设置。

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2022-5-7 08:04:42

虽然这是一个理想的假设，但实际的实现是将一个参数模型（如Bollerslev（1986）中引入的GARCH（1,1）模型）应用于双收益时间序列。这样的估计比非参数估计要准确得多，可以理想地视为已知。当D已知时，估计wT∑w简化为估计相关矩阵∑。利用（2.2），在椭圆模型下，我们重点研究了协方差矩阵估计量b∑，其中b∑：=D sinπbT/2D.然后，我们通过（2.6）中的replacingb∑estbyb∑估计wT∑w。设bσbean估计wTb∑w的渐近方差σ。我们基于前面介绍的循环块bootstrap方法计算bσ。设Φ（·）为标准高斯随机变量的累积分布函数。对于任何给定的1级置信度- γ ∈ （0,1），我们定义了鲁棒H-俱乐部估计量Bu（γ）asbU（γ）：=Φ-1(1 - γ/2）pbσ/T。（2.7）风险的相应置信区间为wTb∑w-bU（γ），wTb∑w+bU（γ）. （2.8）在第3节中，我们将证明，在温和条件下，bσ=σ（1+oP（1））和Pn | wT（b∑）- ∑）w|≤bUτ（γ）o→ 1.- γ、随着T和d进入实体。因此[wTb∑w-bU（γ），wTb∑w+bU（γ）]是一个有效水平（1-γ）覆盖真实wT∑w.2.2额外数据的100%区间本节考虑了有可用历史数据用于估计D的设置。为了适应当前市场条件，我们通常选择一个短时间序列，以便资产回报率大致稳定。然而，与多变量时间序列相比，每个单变量时间序列在更长的时间尺度上很可能是平稳的，因此我们可以在计算边际标准差时加入额外的信息。受此启发，我们考虑了一个历史信息可用的环境。我们不假设历史数据是多变量平稳的，而只是略微平稳。正式地说，让R。

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2022-5-7 08:04:46

，RTbe是观测到的平稳多变量时间序列，HThbe可用的历史数据为Ht=（Ht1，…，Htd）和T=O（T1-δh），其中δ是一个绝对常数。（2.9）H，HTH应该与R重叠，RT.然而，Ht不一定分配给Hto或Rf或任何t 6=t∈ {1，…，Th}。相反，对于j，我们只假设h1jd=H2jd=·d=hthj和Var（H1j）=Var（R1j）∈ {1，…，d}。然后我们通过分别估计D和∑来估计wT∑w。形式上，为了估算D，我们使用历史数据H，HThand-derivebDh=（bDh，…，bDhdd），其中bdhjj:=bσhM，jbσhbσhM，1，（2.10）和bσhM，j=bσM（{Htj}Tt=1），对于j=1，d、是{Htj}Tt=1和bσh的中值绝对偏差估计量=dVar（{Ht1}Tt=1）1/2是皮尔逊样本标准偏差{Ht1}Tt=1。为了估计∑，我们根据{R，…，RT}计算肯德尔的τ矩阵xbt。备注2.1。在（2.10）中，为了计算EBDH，我们使用术语bσh/bσhM，1来近似中位数绝对偏差和皮尔逊标准偏差之间的比例因子。这有助于理论推导。在实践中，我们可以使用平均版本Pdj=1bσhj/Pdj=1bσhM，jt来估计比例因子。为了估计wT∑w，我们用bdestbybdh、b∑estby sin（πbT/2）和b∑estbyb∑hin（2.6）代替。对于任何给定的1- γ ∈ （0，1），我们计算了鲁棒H-俱乐部估计量buh（γ）asbUh（γ）=Φ-1(1 - γ/2）qbσh/T，（2.11），其中bσhis通过使用前面介绍的圆形块自举法计算。相应的风险置信区间为wTb∑hw-bUh（γ），wTb∑hw+bUh（γ）. （2.12）2.3未知边际挥发物本节考虑了在没有其他可用数据的情况下D未知的设置。更准确地说，我们使用数据分割策略来分别估计D和∑。更准确地说，我们使用整个数据集来估计D:bD=（bD。

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2022-5-7 08:04:49

，bDdd），其中bdjj:=bσM，jbσbσM，1，（2.13），其中bσM，j=bσM（{Rtj}Tt=1），对于j=1，d和bσ=dVar（{Rt1}Tt=1）1/2是皮尔逊样本标准偏差{Rt1}Tt=1。为了估计∑，我们提取了一个子序列-Ts+1，从时间序列R，RT，在哪里 T1-δ是一个小的绝对常数。利用这个子序列，我们计算了肯德尔矩阵。将其与bD相结合，我们得到了一个鲁棒协方差矩阵估值器B∑s:=bD sinπbTs然后我们通过replacingbDest、b∑est和b∑estbybD、sin（πbTs）和b∑sin（2.6）来估计wT∑w。然后我们得到了一个鲁棒H-俱乐部估计量asbUs（γ）=Φ-1(1 - γ/2）pbσs/Ts，（2.14），其中bσs通过使用圆形块自举法计算。因此，我们将风险的置信区间设为wTb∑sw-总线（γ），wTb∑sw+总线（γ）. （2.15）备注2.2。在（2.13）中，为了估算比例因子，我们可以采用与备注2.1类似的平均值。我们还注意到，数据分割策略主要用于理论分析。实际上，我们可以设置δ=0，并在计算b∑和执行块引导时使用整个数据集。3渐近理论在本节中，我们证明了与第2节中讨论的三种设置相对应的wT∑w的置信区间具有期望的覆盖概率。换句话说，我们证明了（2.7）、（2.11）和（2.14）中提出的鲁棒H-俱乐部估计是渐近的（1）-γ）风险的100%置信上限。显然，这个问题归结为计算wT（b∑est）的极限分布- ∑）w表示b∑est=b∑，b∑h和b∑s。在续集中，我们采用了Fan和Peng（2004）以及Greenstein和Ritov（2004）中的三角形阵列设置，并允许维数d随着样本量n的增加而增加。我们介绍了几种测量依赖度的混合条件。我们首先介绍三种混合系数。

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2022-5-7 08:04:53

对于d维平稳过程{Rt}t∈Z、让Fbabe由Ra生成的σ-代数，B或a≤ b、我们将α、β和φ混合系数定义如下：α（n）：=supB∈F-∞,A.∈F∞NP（A）∩ B）- P（A）P（B）,β（n）：=EnsupA∈F∞NP（A | F）-∞) - P（A）o、 φ（n）：=supB∈F-∞,A.∈F∞n、 P（B）>0P（A | B）- P（A）.对于任意正整数n，我们有α（n）≤ β（n）≤ φ（n）（吉原，1976年）。假设{RT}是{RT}的子序列∈Z.设Fbe为R的分布函数。对于a:=Dw=（a，…，ad）T，设g:Rd×Rd→ R be-akernel函数g（Rt，Rt）：=πXj6=kajakcos（πτjk）符号（Rtj）- Rtj）标志（Rtk）- Rtk）。（3.1）我们进一步定义了以下3个量，这将在后面的章节中有用：g（R）：=Zg（R，R）dF（R），（3.2）θ：=Zg（R，R）dF（R）dF（R）=aTncos（πT）oπToa，（3.3）σ：=4Eg（R）- θ+ 2∞Xh=1nEg（R）g（R1+h）o. （3.4）在下文中，我们假设第2节中的椭圆时间序列模型成立。3.1已知波动率的理论我们做出以下四个假设来调节投资组合分配向量和平稳过程{Rt}t∈Z.（A1）存在绝对常数c，例如kwk≤Cand k∑kmax≤C.（A2）σ的下限为正绝对常数。（A3）过程{Rt}t∈Zisφ-与φ（n）混合≤ N-1.-对一些人来说 > 0.（A4）对数d/（T1/2）=o（1）。假设（A1）调节投资组合分配向量w，以防止极端头寸。这是投资组合稳定性的常见假设（Jagannathan和Ma，2003年；Fan等人，2012年和2015年）。假设（A2）保证投资组合风险不会被转移。考虑到回报通常被假定为遵循一个因素模型，这是温和的（张伯伦，1983年；范等人，2015年）。假设（A3）通常用于分析时间序列，以获取序列依赖强度（潘和姚，2008；刘汉南，2013b）。

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2022-5-7 08:04:56

最后，假设（A4）允许d的增长速度接近于T的指数，因此是温和的。在第2.1节的设置和假设（A1）-（A4）中，我们推导了wT（b∑）的极限分布-∑）w.下列定理表明：√T wT（b∑）-∑）w/σ是渐近正态的。定理3.1（CLT，已知挥发性）。假设（A0）-（A4）保持不变，在第2.1节的设置中，我们有√T wT（b∑）- ∑）w/σd→ N（0，1），因为T和d都是完整的。以下定理证明，使用循环块自举法计算的bσ是σ的一致估计量。这个结果，结合定理3.1和Slutsky的定理，证实了√T wT（b∑）-∑）w/bσ弱收敛于标准高斯分布。因此，（2.8）中的置信区间给出了可靠的覆盖概率。定理3.2（bootstrap，已知挥发性）。在假设（A0）-（A4）下，我们有bσ=σ1+oP（1）,因此，对于任何给定的γ∈ （0,1），作为T，d→ ∞, 我们有wT∑w∈wTb∑w-bU（γ），wTb∑w+bU（γ）→ 1.- γ.上述两个定理仅假设存在边际二阶矩。因此，鲁棒H-CLUB估计器自然地处理重尾数据。3.2理论与其他数据在本节中，我们研究了第2.2节中的设置。当D未知时，我们需要额外的假设。首先，以下三个假设要求d与n和给定时间序列{Xt}t相比增长不太快∈Z（任{Rt}t∈Zor{Ht}t∈Z）是φ-与指数衰减序列相关的混合（A5）。最大{plog d/Tδ，log d/（T1/2）}=o（1）。o（A6）。过程{Xt}t∈Zisφ-与φ（n）混合≤ Cexp(-Cnr）对于某些绝对常数C，C，r>0.o（A7）。假设a=max（1，1/r），我们需要logd=o（T1/（2a+3））。回想一下，（2.9）中定义了δ，用于描述历史数据的长度。

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2022-5-7 08:04:59

其次，我们要求返回\'（4+)-对于某个绝对常数，矩是存在的> 密度函数在中位数附近远离零：o（A8）。对于任何j∈ {1，…，d}，E|X1j|4+≤ C<∞ 为了某个常数, C> 0.o（A9）。设fjand | fjbe为Xjand | Xj的密度函数- Q（Xj；1/2）|。给anyj∈ {1，…，d}，我们需要inf | x-Q（f；1/2）|<κf（x）≥ 对于某些正绝对常数κ和η，以及任何f∈ {fj，\'fj}。在（A0）-（A2）和（A5）-（A9）下，下一个定理表明√T wT（b∑h）- ∑）w是交感正常的。定理3.3（CLT，具有附加数据的未知挥发性）。假设假设（A0）-（A2）成立。此外，假设假设（A5）-（A7）对{Rt}t都成立∈Zand补充数据{Ht}t∈Z、假设（A8）-（A9）适用于{Ht}t∈Z.那么在第2.2节的设置中，我们有√T wT（b∑h）- ∑）w/σd→ N（0，1），因为T和d都是完整的。下一个定理表明，bσhis是σ的一致估计量，因此（2.12）中的置信区间是有效的。定理3.4（bootstrap，未知波动率和附加数据）。在定理3.3的假设下，我们有bσh=σ{1+oP（1）}，相应地，对于任何给定的γ∈ （0,1），作为T，d→ ∞, 我们有wT∑w∈wTb∑hw-bUh（γ），wTb∑hw+bUh（γ）→ 1.- γ、 3.3边际挥发率未知的理论最后，我们研究了第2.3节中的设置。在此设置下，我们使用数据拆分策略，仅对长度为T1的子序列进行推断-δ. 下一个定理证明了这种方法的使用。定理3.5（CLT，未知边际波动率）。假设假设（A0）（A2）成立，假设（A5）-（A9）成立{Rt}t∈Z.然后，在第2.3节的设置下，我们有ptswt（b∑s）- ∑）w/σd→ N（0，1）。此外，基于bootstrap的估计量bσ证明是σ的一致估计量。定理3.6（bootstrap，未知边际波动率）。

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2022-5-7 08:05:02

在定理3.5的假设下，我们有bσs=σ{1+oP（1）}，相应地，对于任何给定的γ∈ （0,1），作为T，d→ ∞, 我们有wT∑w∈wTb∑sw-总线（γ），wTb∑sw+总线（γ）→ 1.- γ.备注3.7。与Fan et al.（2015）中的方法相比，鲁棒H-CLUB估计器获得了很大的鲁棒性，因为它只假设（4+)-对于边际回报来说，时间是存在的。相比之下，Fan等人（2015年）要求尾部具有强大的指数衰减率（例如，检查假设3.4）。这些假设往往限制性很强，在实际应用中很少得到满足。鲁棒H-CLUB估计器以较小的Tδ效率为代价获得处理重尾数据的能力。这是由于数据分割策略，这是证据的产物。在实践中，我们发现第2.3节介绍的方法表现良好。数据分割策略允许投资组合分配向量是随机的。更具体地说，假设BW是基于数据R，下一个理论表明√TsbwT（b∑s）- ∑）bw在下面概述的假设下是渐近正态的。推论3.1。在定理3.5中的假设下，letbw=（bw，…，bwd）t是w=（w，…，wd）t的估计量，以满足P（|bwj/wj）- 1 |>t）≤ 2经验-CTt（3.5）对于某些绝对常数C，任何j∈ {1，…，d}，以及任何t>0。然后我们有，作为T，d→ ∞,pTsbwT（b∑s）- ∑）bw/σd→ N（0，1）。在这种情况下，我们也可以使用类似的圆形块引导程序来估计√TsbwT（b∑s）- ∑bw。4合成数据的模拟在本节中，我们研究了稳健H-CLUB估计器在合成数据中的有限样本性能，这些数据具有重尾和噪声污染。我们根据Fan et al.（2015）中使用的统计数据，计算了估计量的几个统计数据，以显示估计量的质量。

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2022-5-7 08:05:05

我们的分析表明，与完全置信界ξT=kwkkb∑est相比，鲁棒H-CLUB估计在所考虑的所有情况下都表现良好-∑kmax。我们观察到，我们提出的方法的95%置信区间比ξT给出的界限要紧得多。我们还证明，在存在重尾数据的情况下，基于可靠估计量计算的H-CLUB优于基于Fan等人（2012）提出的样本协方差矩阵估计量计算的H-CLUB。特别是，我们证明了H-CLUB估计器在重尾环境下不能达到95%的覆盖率，而鲁棒H-CLUB估计器的性能是一致可靠的。最后，我们证明了鲁棒H-CLUB估计在应用于高斯数据时也具有竞争力。4.1校准和参数选择为了校准我们模型中的数据生成参数，我们分别使用标准普尔500指数前100名股票的每日收益率（截至2012年6月29日），以及来自COMPUSTAT数据库（www.COMPUSTAT.com）和CSRP数据库（www.crsp.com）的三个月国库券利率。我们考虑了2008年7月1日至2012年6月29日期间的超额收益{eyt}。我们提取了以下特征：1。{d+i}i=1，d+等于第i个股票的样本标准偏差。2.∑0+={∑0+ij}i，j=1，观测序列的样本相关矩阵。从中，我们提取{d+i}i=1的均值和方差，分别用ud+和σd+表示。我们还计算所有成对相关性的平均值和标准偏差，分别用|∑0+和∑∑0+表示。这些参数随后用于生成相关矩阵和边际方差。我们还可以选择几个调整参数。

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2022-5-7 08:05:08

我们选择Th=dT1/（1）-δh）e，其中δh=0.1是确定估计器b∑h，l=bT1可用历史数据量的参数-c与= 0.8作为控制块引导中块大小的参数，Nbootstrap=50作为生成的引导数据集的数量，Ts=bT1-δc，δ=0.01作为控制估计器B∑s.4.2模拟中使用的数据分裂的参数。对于每个给定的总暴露约束c:=kwk，我们设置T=300，并允许d以50的倍数从50到500变化。对于每个d值，我们进行200次相同过程的迭代：生成一个模型，从该模型合成数据，然后根据合成数据计算估计值。我们将这200次迭代的结果与allowus进行比较，以比较不同估计器之间的性能。具体步骤如下：1。独立于伽马分布生成{di}di=1，平均值为ud+，方差为σd+。定义为对角线矩阵，使Dii=di。2.独立于高斯分布生成条目{∑ij}i6=jof∑，平均数∑0+和方差∑∑0+。我们将这些有效对角线元素的阈值设置为不大于0.95，并将∑的对角线设置为1。如果矩阵不是正定义的，我们使用Higham算法（参见，例如Higham（2002））使其成为正定义，同时保持对角线固定在1.3。定义协方差矩阵∑=D∑D.4。独立于具有5个自由度和协方差矩阵∑的多元t分布生成{Rt}Tt=1。从具有5个自由度和协方差矩阵D的多元t分布生成独立的历史数据{Ht}Tht=1。通过在{Rt}Tt=1中随机选择1%的元素，并将每个元素乘以独立于aUnif（1,15）分布的随机变量，将噪声污染添加到数据中。对{Ht}Tht=1中的1%元素执行相同的操作。

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2022-5-7 08:05:11

这一步可以被视为企业上的新闻，导致其回报率激增。6.使用第4.1.7节中给出的调整参数，计算样本协方差矩阵S和鲁棒估计器SB∑、b∑h和b∑S给出的协方差估计。根据Fan等人（2015）中概述的方法生成500个投资组合分配向量w，该向量近似均匀分布在流形{w:kwk=c，wT1=1}上。我们在实践中发现了以下微小的改变以提高绩效：对于基于B∑H的H俱乐部，我们在估计wTb∑hw的方差时，采用了{Ht}Tht=1和{Rt}Tt=1的块自举样本。为此，我们使用块大小参数lh=bT1-hc，完全类似于在{Rt}Tt=1和l=bT1上执行的块引导-c、我们在第4节和第5.8节中使用了这种修改。对于每个投资组合分配，计算与第6步中列出的估计数相对应的H俱乐部估计数。作为概念证明，我们还计算了b∑sTs=T的估计量，这是估计量b∑swith Ts=T（即，不进行数据分裂）。在500个投资组合中，计算真实风险R（w）的平均值：=√wT∑w，以及 := |wT（b∑est）- ∑）w |，ξT:=kwkkb∑est- 所考虑的估值器b∑的每一个∑kmax和bu（0.05）=2pbσ/T。我们画出了, ξT和bu（0.05）对每一个被考虑的估计器的d，以及c=1、c=1.6和c=2观察总暴露对风险评估的影响。接下来，对于d=200和d=500，我们计算10万个投资组合（200个合成数据集上的500个投资组合）的以下数量：覆盖率，定义为95%置信区间包含真实风险R（w）=（wT∑w）1/2的样本分数，定义为asRE的界限比率：=ξTpbσ/T，以及定义为asRE的相对误差：=pbσ/T2wT∑w，我们计算c=1，1.6和2的这些。

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2022-5-7 08:05:14

该度量将上界与95%置信区间的半宽度进行了重新比较，而Rei是由投资组合风险本身划分的投资组合风险{wT∑w}1/2的95%置信区间的半宽度。前者描述了置信上限的有效性，后者衡量了构建的置信区间的信息量。最后，我们重复前面的覆盖率计算，Rean和REina设置，其中数据是从高斯分布生成的，没有任何噪声污染。这意味着我们改变了上述过程的第4步（但用高斯分布代替t分布），并删除了第5步。这使我们能够在数据正常时检查鲁棒性的效率损失程度。在该设置中，我们还计算了ratiobU（0.05）/ 作为衡量H-CLUB相对于理论最小界限有多紧的指标。4.3结果在图1和图2中，我们使用估计器SB∑est=b∑、b∑h、b∑s和b∑sTs=T，绘制了平均风险估计误差以及总风险c=1、1.6和2的估计误差范围。注意，c=1.6导致平均130%的多头仓位和30%的空头仓位，其中100 200 300 400 5000 1000 2500样本协方差估计器100 200 300 400 5000 20 40稳健估计器100 200 300 400 5000 20 40稳健估计器（无数据-拆分）d100 200 300 400 5000 20 40稳健估计量（已知历史）d100 200 400 5000.0 1.5 3.0稳健估计量（已知边际方差）D图1: = |wT（b∑est）- ∑）w |（蓝色曲线），bU（0.05）=2qdVar（wTb∑estw）（虚线曲线），ξT=kwkkb∑est-∑kmax（红色曲线）表示c=1.0。横轴显示问题的维度，即投资组合大小。垂直轴显示计算出的平均值。通常在实践中使用。我们还使用了样本协方差矩阵估计量，Fan等人推导了该估计量的H-CLUB估计量。

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能者818

2022-5-7 08:05:18

（2015），这是不可靠的。从这些曲线图中，我们看到o虚线始终位于蓝色实线上方，表明BU给出的95%界限的有效性（0.05）。有趣的是，这仍然适用于样本协方差矩阵估值器，但这是在平均意义上。然而，正如我们将在表1中看到的，S未能达到95%的覆盖率粗界ξ远大于实际误差或95%的浓度（0.05）。这种差异随着d的增加而增加，但也随着c的增加而增加，我们可以通过比较图1和图2看到这一点。表2对此进行了量化对于大d，样本协方差矩阵估计的粗界几乎是任何稳健估计的100倍。这表明在存在重尾和污染的情况下，样本协方差的估计不准确。表1说明了每个估计值的覆盖率，定义为95%置信区间捕获真实方差wT∑w的样本比例。可以看出，所有稳健估计值的覆盖率约为95%。然而，100 200 300 500 000 3000样本协方差估计器100 200 300 400 5000 60 140稳健估计器100 200 300 400 5000 60 140稳健估计器（无数据-分裂）d100 200 300 400 5000 60 120稳健估计量（已知历史）d100 200 300 400 5000 4 8稳健估计量（已知边际方差）d（a）c=1.6100 200 300 400 5000 6000样本协方差估计量d100 200 300 400 5000 100稳健估计量d100 200 300 400 5000 100稳健估计量（无数据）-拆分）d100 200 300 400 5000 100稳健估计量（已知历史）d100 200 300 400 5000 4 8 14稳健估计量（已知边际方差）d（b）c=2图2: = |wT（b∑est）- ∑）w |（蓝色曲线），bU（0.05）=2qdVar（wTb∑estw）（虚线曲线）和ξT=kwkkb∑est- 对于c=1.6和c=2，∑kmax（红色曲线）。

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2022-5-7 08:05:21

水平轴显示问题的维度，即投资组合规模。垂直轴显示计算的平均值。样本协方差矩阵估计器的覆盖率要低得多。无法在当前设置下给出有效的界限。我们进一步比较了我们提出的稳健估计。表2列出了RE=ξT/bU（0.05）比率的平均值和标准偏差：完全信任界限和H俱乐部之间的比率。这些用于量化我们在图1和图2上的一些观察结果——特别是，比率ξT/bU（0.05）随C的增加而强烈增加，随d的增加而微弱增加。我们观察到：oRei的值大大大于1，反映了一个事实，即强健H俱乐部给出的密度区间比crudebound俱乐部给出的密度区间要紧得多。几乎在所有情况下，Re的值都反映了H-CLUB区间和原油区间之间的一个数量级的标度差异，使用ξT。表1：在1%噪声污染的TDI分布的数据提取设置中，95%置信区间的经验覆盖率。在T=300的条件下采集了200多个样本。d=200 d=500c=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=2.0Coverage81。平均值为88%72.29%69.31%83.30%82.24%80.12%97。59%95.26%97.64%99.00%97.09%95.52%b∑scoverage 96。38%95.70%97.49%98.18%97.03%95.03%b∑sTs=t平均值93。87%93.19%95.23%93.01%92.84%94.67%b∑hCoverage94。21%95.54%96.40%95.16%93.41%93.67%b∑随着我们准确估计边缘标准偏差的能力，该比率再次增加。注意RE（b∑）>RE（b∑h）>RE（b∑sTs=T）>RE（b∑s），这对应于基于用于估计边缘标准偏差的信息量的排序再增加的值随c的增大而增大，随d的增大而减小。

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2022-5-7 08:05:24

这表明，对于较大的投资组合和总敞口较高的投资组合，使用H-CLUB的准确性优势尤其重要。表3总结了相对误差（RE），显示了我们对真实投资组合风险的定义区间的信息量。与表2类似，我们显示了200多个模拟重新计算的平均值和标准差，其中500个随机生成的投资组合（即100000个投资组合）。在这里，我们看到了与之前类似的模式。当我们在估算边际标准差时获得更多信息时，值通常会更好（此处较小）。这种说法来自于观察到RE（b∑） RE（b∑h）<RE（b∑sTs=T）<RE（b∑s）。我们还观察到，在这里，重做的价值似乎与这两个命令没有太大的差异。它也比Fan等人（2015）中的值大得多，这可能是因为这里的数据中存在较重的尾部和噪声，而这些噪声在这些设置中是看不到的。通过与表4进行比较，可以立即观察到这种差异。

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2022-5-7 08:05:27

从表3的最后一行可以看出，置信区间的非信息性构造主要是由于在存在大随机噪声的情况下对边际方差的不准确估计。表2：200多个样本的RE:=ξT/（2pbσ/T）的平均值和标准差（括号内）。d=200 d=500c=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=1.6C=2.0RE5。57 14.73 21.62 6.63 17.55 27.50b∑s（1.94）（5.51）（7.68）（2.18）（6.13）（9.95）RE5。6414.5421.906.7017.4727.57b∑sTs=T（1.85）（5.64）（8.50）（2.32）（6.61）（9.39）RE5。8714.6522.446.9318.5427.22b∑h（2.11）（5.24）（8.55）（2.25）（6.56）（9.55）RE9。88 25.43 38.85 12.29 32.19 48.62b∑（2.80）（7.31）（10.89）（3.13）（9.10）（12.91）表3：200个样品中RE=pbσ/T/2wT∑的平均值和标准偏差（括号内）。d=200 d=500c=1.0C=1.6C=2.0C=1.0C=1.6C=2.0RE0。513 0.627 0.478 0.521 0.549 0.480b∑s（0.609）（0.880）（0.534）（0.586）（0.606）（0.540）RE0。500 0.644 0.483 0.517 0.559 0.471b∑sTs=T（0.594）（0.906）（0.554）（0.595）（0.626）（0.531）RE0。4620.571 0.5750.4920.471 0.494b∑h（0.485）（0.837）（0.691）（0.604）（0.555）（0.573）RE0。022 0.021 0.021 0.021 0.021 0.021 0.021b∑（0.002）（0.002）（0.002）（0.002）（0.002）和重尾。对于我们在合成数据上的最后一组结果，我们在表4中显示，当数据从高斯分布中提取且没有噪声污染时，稳健估计仍然与基于样本协方差的估计具有竞争力。在本表中，我们给出了覆盖率、Rean和RE的平均值，以及95%HCLUB与其上限值之间的比率的平均值，该比率由Bu（0.05）给出/.

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2022-5-7 08:05:31

这些是通过200多个随机生成的模型计算出来的。表4:RE、REandbU的覆盖率和平均值（0.05）/ 对于200个样本，当从无噪声污染的高斯分布中提取结果时，使用d=500。复盖率（0.05）/1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 948.944 4.927 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8.10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 01%5.09%6.977.14547B∑.957.949.92311.6530.6548.752.01%2.00%2.00%7.056.765.825AN实证研究在这一部分中，我们检验了鲁棒H俱乐部估计量在应用于真实数据时的行为。我们使用100个工业投资组合的每日超额收益，这些投资组合的规模和账面市盈率可从肯尼斯·弗伦奇的网站上获得。我们使用了从2008年7月1日到2012年6月29日的数据子集。对于每个21天的周期（名义月），我们使用前21天的数据来估计协方差矩阵xvia——具有数据分裂的鲁棒H-俱乐部估计量（b∑s）、具有节点数据分裂的鲁棒H-俱乐部估计量（b∑sTs=T）和具有已知历史的鲁棒H-俱乐部估计量（b∑H）。对于后一种估计中使用的附加观测矩阵，我们使用了之前1.5个月（31天）的收益数据。请注意，对于本节中的所有稳健估计器，我们使用调整参数l=bT0。5c（即。= 0.5）用于引导过程中的块大小。所有其他参数与上一节相同。最后，我们还通过样本协方差矩阵估计器来估计方差，以进行比较。我们跟踪了H-CLUB估值器在三个投资组合上的表现：一个加权相等的投资组合（bw=（1/100。

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kedemingshi

2022-5-7 08:05:35

，1/100），以及总风险c=1和c=1.6的两个最小方差投资组合，如BW=arg minwT1=1，kwk=cwTb∑estw所示。请注意，有时估计的协方差矩阵不是正定义的，这会导致求解最小方差投资组合的问题。在这些情况下，我们在计算最小方差投资组合之前，使用Higham算法强制估计协方差矩阵为正定义。最小方差的投资组合在每个名义月初计算。如上所述，每个HBW在持有月份的实际风险为R（bw）=（bwT∑bw）1/2和∑=Xt=1ytyTt，其中{yt}Tt=1是持有月份的集中每日收益。这是四年学习期间每个月计算的。对于每个估计器和投资组合策略，我们考虑五个数量。表5通过其平均值（在整个研究期间计算）总结了这些数量。我们比较了表5的前两列，并提供了一些观察结果价值观在所考虑的四个估计器中具有可比性。这表明，所有估计器对协方差矩阵∑的估计都是相似的，它们之间的差异在于能够准确地对b∑est进行推断（即构造一个有效的H-俱乐部）（非鲁棒）样本协方差矩阵估计器无法给出有效的上界，asbU（0.05）小于自始至终对于稳健估计，bU（0.05）大于除一例外，所有病例均适用。这与RobustStimators的BU（0.05）值为投资组合方差估计误差的95%上限的预期基本一致。

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2022-5-7 08:05:38

我们注意到，对于单一差异（b∑h，在KWK=1.6的最小方差投资组合上），BU（0.05）的值仍然只低于以微弱优势。最后，估计的风险误差bu（0.05）/q4wTb∑estw是H俱乐部对真实风险误差|（wT∑w）1/2的估计-（wTb∑estw）1/2 |（我们只需将delta方法应用于定理3.6的结果即可看出这一点）。表5的最后两列表明，robustestimators对这一点是正确的，在所有情况下，估计的风险误差一致地限定了真实的风险误差。然而，非稳健样本协方差估计器不会产生表5：根据100 Fama FrenchportfoliosAverage of Average of true risk estimated Strategy计算的年度真实和估计风险误差(×10-4） bU（0.05）（×10-4）真实风险误差风险误差（样本协方差矩阵估计器）等权2.310 1.939 27.36%8.32%6.62%最小方差（c=1）1.289 0.743 19.52%6.97%4.19%最小方差（c=1.6）0.760 0.312 15.25%6.38%2.66%b∑s（稳健估计器）等权2.165 4.790 27.36%8.35%18.67%最小方差（c=1）1.470 2.696%8.41%17.67%最小方差（c=1.05%46.32%b∑sTs=T（稳健估计-无数据分裂）等权2.154 5.121 27.36%8.32%18.94%最小方差（c=1）1.459 2.826 21.02%8.34%20.41%最小方差（c=1.6）1.562 2 2.218 18.22%12.86%37.81%b∑h（稳健估计-已知历史）等权2.100 3.325 27.36%7.69%12.85%最小方差（c=1）1.390 1.885 20.12.12%最小方差（c=1.52%12.358%1.52%17.40%注： = |wT（b∑est）- ∑w |，bU（0.05）=2×（dVar（wTb∑estw））1/2。真正的风险是√252×R（w）。真正的风险是错误√252×|（wTb∑estw）1/2- （wT∑w）1/2 |，估计风险误差为√252×bU（0.05）/q4wTb∑estw。

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2022-5-7 08:05:41

因素√252用于将风险转换为年度值。良好的上界，估计的风险误差均匀地低于真实风险误差。这再次证明了在存在重尾或噪声数据的情况下，所提出的稳健估计的强度。6结论与讨论本文考虑了以稳健的方式评估大型投资组合风险的问题。根据D是否已知，我们考虑了三种不同的设置，并基于稳健秩和分位数统计提出了三种相应的稳健H-CLUB方法。在文献中，我们首次提供了这些稳健风险估计器的推理理论。与Fan等人（2015）相比，提出的方法不需要对数据进行强矩假设。理论和实证结果都证明，Robust H-CLUB方法更适合研究重尾资产收益率。在本文中，我们没有对协方差矩阵施加任何结构假设，例如由因子模型引起的低秩加稀疏结构。Fan等人（2015年）提出了基于Fan等人（2008年）和Fan等人（2013年）提出的基于因子的协方差矩阵估计的方法。Fan等人（2013）的一个自然扩展是使用b∑（orb∑h，b∑s），而不是样本协方差s作为导频估计器，并将其插入Poet算法（Fan等人，2013）。这构造了另一个稳健的风险估计器。

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2022-5-7 08:05:46

我们打算研究这种稳健风险估计的理论性质及其未来的极限分布。本文的结果也为未来的研究提出了一些有趣的问题。其中一个例子是关于推导b∑的泛函的极限分布，而不是wTb∑w。例如，Han和Liu（2014a）研究了kb∑kmaxas T，d的极限分布→ ∞ 在这种情况下，观察结果是相互独立的。研究多元时间序列的这种渐近理论很有趣。7证明在本节中，我们将在第3节中提供结果的证明。在续集中，使用假设（A1），我们假设kwk=1和k∑kmax≤ 1不失概括性。7.1支持引理7.1（Kontorovich et al.（2008）和Mohri and Rostamizadeh（2010））。让f：OhmT→R是一个可测函数，关于某些c>0:supx，…，的汉明度量，它是c-Lipschitz，。。。，xt，xtf（x，…，xt，…，xt）- f（x，…，xt，…，xt）≤ c、还有X，Xt可以是平稳φ-混合随机变量序列。那么，任何 > 0，以下不等式成立：Pn | f（X，…，XT）- Ef（X，…，XT）|≥ o≤ 2扩展-2.tc{1+2PTk=1φ（k）}i.引理7.2（Yoshihara（1976））。让{Xt}t∈Zbe是一个具有分布函数F的平稳过程。对于T≥ m、我们定义（g）=商标-1Xi<···<img（Xi，…，Xim）是一个具有m阶和核函数g的U统计量。将函数gi（·）定义为gi（X，…，Xi）=Zg（X，…，Xm）dF（Xi+1）。dF（Xm），用于1≤ 我≤ m、将参数θ和σ定义为θ=Zg（X，…，Xm）dF（X）。dF（Xm），σ=4Eg（X）- θ+ 2∞Xh=1Eg（X）g（X1+h）- θ. （7.1）假设存在一个常数δ>0，使得对于r=2+δ，以下条件成立：1。Zg（X，…，Xm）rdF（X）。dF（Xm）≤ M<∞ 对于某些常数M；2.Eg（X，…，Xm）R≤ mF为某常数M；3.

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