波动率聚类对期权无差异定价的影响

1046

收藏 2022-05-07

英文标题：
《Effect of Volatility Clustering on Indifference Pricing of Options by
Convex Risk Measures》
---
作者：
Rohini Kumar
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
In this article, we look at the effect of volatility clustering on the risk indifference price of options described by Sircar and Sturm in their paper (Sircar, R., & Sturm, S. (2012). From smile asymptotics to market risk measures. Mathematical Finance. Advance online publication. doi:10.1111/mafi.12015). The indifference price in their article is obtained by using dynamic convex risk measures given by backward stochastic differential equations. Volatility clustering is modelled by a fast mean-reverting volatility in a stochastic volatility model for stock price. Asymptotics of the indifference price of options and their corresponding implied volatility are obtained in this article, as the mean-reversion time approaches zero. Correction terms to the asymptotic option price and implied volatility are also obtained.
---
中文摘要：
在本文中，我们研究了波动率聚类对Sircar和Sturm在其论文（Sircar，R.，和Sturm，S.（2012））中描述的期权风险无差异价格的影响。从微笑渐近线到市场风险度量。数学金融。提前在线出版。内政部：10.1111/mafi。12015). 本文中的无差异价格是通过使用倒向随机微分方程给出的动态凸风险测度得到的。在股票价格的随机波动率模型中，波动率聚类由快速均值回复波动率建模。当平均回归时间接近零时，本文得到了期权的无差异价格及其相应的隐含波动率的渐近性。得到了渐近期权价格和隐含波动率的修正项。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
-->

Effect_of_Volatility_Clustering_on_Indifference_Pricing_of_Options_by_Convex_Ris.pdf
大小:(406.6 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

nandehutu2022

2022-5-7 08:33:27

波动率聚类对凸风险度量期权独立定价的影响Rohini Kumar*+2018年8月8日摘要在本文中，我们研究了波动率聚类对Sircar和Sturm在《从微笑无症状到市场风险度量》一文中描述的期权风险差异的影响[12]。[12]中的差异价格是通过使用反向随机微分方程（BSDE）给出的动态凸风险度量来获得的。在股票价格的随机波动率模型中，波动率聚类由快速均值回复波动率建模。本文得到了当平均反转时间接近零时，期权的差异价格及其相应的隐含波动率的渐近性。还得到了渐近期权价格和隐含效用的修正项。关键词：风险度量、差异价格、隐含波动率、波动率聚类、比较原则。1简介在一个不完整的市场中，期权的定价有几种方法。期权定价的无套利方法，即期权价格由风险中性等价鞅测度下贴现付款的预期值给出，已被广泛了解和研究（参见示例[4]）。另一种方法是差异定价法。[6]、[9]、[11]等对使用效用函数的期权的差异定价进行了广泛研究。后来发现，差异定价的相同概念可以从效用函数扩展到动态凸风险度量，见[2]。Sircar和Sturm在[12]中推导了一个非线性部分微分方程（PDE），描述了给定看跌期权的差异价格*密歇根州底特律韦恩州立大学数学系，邮编：48202(rkumar@math.wayne.edu)+部分工作由国家科学基金会DMS 1209363资助。通过动态凸风险度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 08:33:32

在他们的论文中，他们对期权定价使用了套期保值后的剩余风险度量；剩余风险度量是根据BSDE给出的。他们也得到了隐含波动率，对应于这种差异期权价格，作为非线性偏微分方程的粘性解。[12]中结果的意义在于，通过差异定价方案，隐含波动率偏差反映的市场风险可以与凸风险度量理论相关。通常，凸风险度量是通过BSDE抽象定义的（见[2]）。因此，很难确定BSDE中给出良好风险度量的正确驱动因素。使用Sircar和Sturm的差异定价，我们可以根据市场隐含的可用性数据校准驱动程序。在他们的论文[12]中，隐含挥发物的小成熟度渐近性屏蔽了简单公式。然而，一般来说，非线性PDEin[12]的封闭形式解决方案很难找到，如果不是不可能的话。本文通过考虑波动率聚类的影响，给出了一些有意义的、简化的隐含波动率面公式。人们认为，市场波动经常在高峰和低谷之间波动。虽然无法直接观察到波动性，但这种“聚集”行为是通过观察到的股价来估计的。为了根据这种波动性的聚类行为对股票价格进行建模，我们使用随机波动性模型，其中波动性是一个快速均值回复遍历过程。这种具有快速均值回复波动率的随机波动率模型被认为是股票价格数据的良好工具（见[4]第4章）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 08:33:35

本文感兴趣的问题是，快速波动意味着如何逆转对期权价格的影响？随着均值回归率的增加，遍历波动过程的长期行为表现出来。因此，根据遍历波动过程的不变分布，对波动的影响进行平均。在无套利定价的情况下，研究了期权价格波动率的快速均值回归分析，见[4]第5章。在本文中，我们将研究波动率的快速均值回归对[12]中给出的期权的不同价格的影响。在无套利定价的情况下，期权价格作为线性偏微分方程的解给出。对于较小的平均回复时间，由参数表示, 这导致了一个奇异摄动问题。在[4]中，假设波动过程是一个Ornstein-Uhlenbeck过程，期权价格以以及渐近期权价格，当 → 0，与顺序修正项一起获得√. 得到了相应的修正隐含挥发度。在本文中，与无套利情况不同，期权价格不是线性模型的解。事实上，解决方案的价格是不同的。最初，确定渐近差异价格似乎涉及平均BSDE。然而，存在一个困难：Sircar和Sturm在其BSDE中使用二次驱动程序，这不是Lipschitz，因此我们无法使用BSDE的已建立稳定性结果（例如[7]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 08:33:38

相反，我们利用了Pardoux和Peng在[10]中推导的非线性Feynman-Kac公式，并用非线性偏微分方程的解来表示期权价格；从而将其转化为一个平均非线性偏微分方程的问题。第3.1节和第4节中修正后的期权价格和隐含波动率的形式推导遵循了[4]中的相同推理。方法的不同之处在于第3.2节对修正的渐近公式的准确性进行了严格的证明。为了得到严格的证明，我们使用最大值原理将非线性模型的解（给出期权价格）限制在o(√) 修正的渐近期权价格公式的距离。我们观察这一现象的目的是两方面的。，波动性聚类，期权定价；其次，波动率的平均值导致隐含波动率的一个更简单的公式，这使得校准更容易。修正后的隐含波动率公式对风险参数的依赖性可以潜在地用于根据市场隐含波动率数据校准风险度量。有趣的是，看看这项工作是否扩展到了BSDE之外的其他风险措施。然而，这超出了本文的范围，将在未来的工作中加以考虑。一般来说，无论使用何种风险度量，如果证券价格可以表示为偏微分方程的解，我们可以潜在地使用本文中的方法来平均快速均值回复波动率的影响。论文的结构如下。在第2节中，我们回顾了[12]中期权的差异定价，并介绍了给出看跌期权差异价格的非线性PDEthat。第3.1节给出了修正渐近期权价格的启发式计算。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 08:33:42

修正后的渐近期权价格公式的主要结果和精确性的严格证明见第3.2节。修正后的隐含波动率公式见第4.2节的预备内容。我们首先介绍股票价格的随机波动率模型。2.1随机波动率模型。让我们,t时间t的tdenote股价，其中指波动性的平均反转时间尺度。像接近0，均值回复的速度，1/, 增加。让(Ohm, F、 P）表示S所在的概率空间,tsatis建立了以下随机波动模型。dS,t=b（Y）,t） S,tdt+σ（Y）,t） S,tdW（1）t，0≤ T≤ T、（1a）dY,t=m- Y,Tdt+σ（Y）,（t）√（ρdW（1）t+p1- ρdW（2）t），0≤ T≤ T、（1b）（S）,0，Y,0）=（s，y），（1c）其中|ρ|<1，W（1）和W（2）是平面上的独立布朗运动(Ohm, F、 P）。我们对随机波动率模型做出了与[12]相同的假设。为了方便读者，我们回忆一下这些假设。假设2.1。我们假设1。σ, σ∈ C1+βloc（R），其中C1+βloc（R）是可微分函数的空间，其局部连续导数的H¨older指数β>0.2。σ和σ都有界且远离零：0<c<σ<c<∞, 0<c<σ<c<∞,3.b∈ C0+βloc，b有界。当 = 1.那么，对于f∈C（R），Bf（y）：=（m）- y）yf（y）+σ（y）yyf（y）。（2）根据一维微分的一般理论（见Karlin和Taylor[8]，第221页），很容易看出存在唯一的概率测度π（dy）=Z-1expnRy2（m）-z） σ（z）dzoσ（y）dy，（3）使得所有f的rbf（y）π（dy）=0∈ Cc（R）；π=1，所以Z=dy。由（3）给出的Y的不变分布在下面的分析中起着重要作用。2.2差异期权价格。我们考虑一个到期时间为T，执行价格为K的欧式看跌期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-5-7 08:33:45

该欧洲看跌期权在时间t，P（t，x，y），在[12]中给出了以下风险度量。P（t，x，y）=R,T- R,t、（4）式中，（~R·，~Z·）和（R·，Z·）分别是下列BSDER的解,t=-ZTtf（~Z（1）,s、 ~Z（2）,s） ds-ZTt~Z（1）,sdW（1）s-ZTt~Z（2）,sdW（2）s；（5）安德烈,t=-（K）- s,（T）+-ZTtf（Z（1）,s、 Z（2）,s） ds-ZTtZ（1）,sdW（1）s-ZTtZ（2）,sdW（2）s.（6）上述BSDEs中的函数f满足允许驾驶员的标准（见[12]中的定义2.3]），以确保BSDEs的可解性。在本文中，我们将考虑[12]中介绍的一种称为扭曲熵风险度量的特定可接受驱动因素（见[12]第3.1节）。这类驱动器的形式如下：gη，γ（z，z）：=γ（z+ηz）+z,并由两个参数进行参数化：风险规避参数γ>0和波动风险溢价η。当η=0时，驱动因素降低到经典熵风险度量，其水平曲线是半径取决于风险规避参数γ的圆。通过引入η，我们把这个圆扭曲成一个椭圆（如果|η|<1）。在套期保值下，风险度量得到调整，现在由BSDE给出，其中驱动因素gη，γ被转换为gη，γ（z，z）=infν∈R（gη，γ（z+σ（y）ν，z）+b（y）ν）=zb（y）σ（y）+b（y）2γσ（y）-γz+ηb（y）zσ（y）。从今往后，我们将以此为驱动力，即定义（z，z）：=zb（y）σ（y）+b（y）2γσ（y）-γz+ηb（y）zσ（y）。需要注意的是，这个驱动因素不是利普希茨，因为它是二次的，而不是股价,t、我们将使用执行价标准化的股价对数：X,t:=lns,tK. 随着变量的变化，（1）变成,t=b（Y）,（t）-σ（Y）,（t）dt+σ（Y）,t） dW（1）t，0≤ T≤ T、（7a）dY,t=m- Y,Tdt+σ（Y）,（t）√（ρdW（1）t+p1- ρdW（2）t），0≤ T≤ T、（7b）（X）,0，Y,0）=（x，y）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 08:33:50

（7c）[12]中的Sircar和Sturm使用Pardouxand Peng在[10]中给出的广义Feynman-Kac公式来描述前向-后向SDE的解，~R,坦德尔,t、下面是非线性偏微分方程（9）的解。在引入此偏微分方程之前，我们首先对变量τ：=T进行另一次更改- t、这给了成熟的时间。微分算子L的定义拜尔g:=σ（y）xxg+2σ（y）yyg+ρ√σ（y）σ（y）xyg+（m）- y）-ρ√b（y）σ（y）σ（y）yg-σ（y）xg-b（y）2γσ（y）+γ（1）- ρ)2σ（y）(yg）-ηp1- ρ√b（y）σ（y）ygσ（y），（8）表示g∈ C（R）。让我们你呢表示PDE的解决方案τu=Lu、（9）初始条件为u（0，x，y）=0和u（0，x，y）=-[K]- 分别为Kex]+。根据[12]中的定理2.9，我们得到了看跌期权价格（τ，x，y）=u（τ，y）- U（τ，x，y）。（10）正如Ladyshenskaya等人[3，定理V.8.1]在[12]中提到的，u和▄u是半线性抛物方程（9）的唯一有界经典解，其导数为[0，T]×R×R。注2.1。由于（9）中的偏微分方程的系数和u是x独立的初始条件，我们得到u是x独立的。备注2.2。虽然我们只考虑欧式看跌期权，但本文的结果推广到了任何其他具有有界和连续支付的期权。3渐近期权价格我们将从获得渐近期权价格的启发式参数和渐近价格的修正项开始。启发式计算遵循与无套利期权定价相同的路线，如[4]3.1启发式中所示, ~u和P以…的力量√:U= u+√u+u+3/2u+，（11a）~u= ~u+√~u+~u+3/2u+，（11b）P= P+√P+P+。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 08:33:54

（11c）我们定义了以下不同的运算符：对于g∈ C（R×R），Lg（x，y）：=σ（y）xxg（x，y）-σ（y）xg（x，y）-b（y）2γσ（y），Lg（x，y）：=ρσ（y）σ（y）xyg（x，y）-ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）yg（x，y），LNLg（x，y）：=Bg（x，y）+γ（1）- ρ） σ（y）(yg（x，y））。请注意，运算符LNLis是非线性的。等式（9）可以改写为τu= LU= 鲁+√鲁+LNLu. （12） 3.1.1使用（12）中的扩展（11a）和订单1的收集条款的前置订单条款/ 我们得到BU=-γ(1 - ρ） σ（y）(yu），如果uis是独立的，这是令人满意的。因此，我们将假设u（τ，x）独立于y。使用此项并收集1阶项/√ 我们得到bu=0，这可以通过取y的依赖项来满足。由于u（τ，x）和u（τ，x）都与y无关，方程（9）中的O（1）项满足τu（τ，x）=Lu（τ，x）+Bu。因此，Um必须满足泊松方程Bu=τu（τ，x）- Lu，（13）有一个解决方案，前提是以下定心条件成立：τu=σxxu-σ（y）徐-2γb（y）σ（y）。（14）这里σ和b（y）σ（y）分别表示σ（y）和b（y）σ（y）项的平均值，与y过程的不变分布π有关。类似地，usatis fies方程（14）。u的初始条件和▄u分别给出u和u的初始条件，即u（0）=0（u独立于x和y，因此只有τ的函数）和u（0，x）=-[K]-Kex]+。观察期权价格的一阶近似项P（τ，x）=u（τ）- u（τ，x）满足方程tP=σxxP-σ（y）xP，P（0，x）=[K- Kex]+，这是Black-Scholes看跌期权价格的简单方程，PBS（τ，x；σ），带有波动率参数σ。因此，P（τ，x）=PBS（τ，x；σ）=KN(-d）- KexN(-d），（15）式中N（z）=√2πRz-∞E-y/2dy，d=x+στσ√τ和d=x-στσ√τ. 观察u（τ，x）=P（τ，x）-2γb（y）σ（y）τ。（16） 3.1.2高阶项定义L:=L+b2γσ=σxx-σx、所以^Lis是一个线性算子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 08:33:57

等价序项√ 在（9）中给出了方程式τu=^Lu+Lu+Bu。因此，是泊松方程的解Bu=τu-^Lu- 鲁。（17）只要满足以下对中条件：τu=^Lu+Lu。此后，任何项上的一条线表示该项相对于（3）中给出的Y过程的不变量分布的平均值。由于uis独立于y，上述等式变得τu=σxxu-σ徐路。（18）为了简化上面的右侧，回想一下，UI是（13）中泊松方程的解。与（14）一起，我们看到Ui是以下方程的解，Bu（τ，x，y）=b（y）2γσ（y）-b（y）2γσ（y）+σ（y）- σxu（τ，x）- xxu（τ，x）.设φ（y）和φ（y）表示bφ（y）=b（y）2γσ（y）的解-b（y）2γσ（y）和bφ（y）=σ（y）- σ分别地定义（τ，x，y）：=φ（y）+φ（y）xu（τ，x）- xxu（τ，x）. （19）然后U（τ，x，y）=U（τ，x，y）+F（τ，x）（20），其中F（τ，x）将在稍后确定，见（27）。备注3.1。注意，函数U（τ，x，y）满足方程（13）和（17）。我们计算u=ρσ（y）σ（y）φ（y）xxu（τ，x）- xxxu（τ，x）-ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）xu（τ，x）- xxu（τ，x）-ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）。在（18）中替换此，我们得到τu=σxxu-σ（y）徐- A.xxxu（τ，x）+（A+B）xxu（τ，x）- Bxu（τ，x）-~A，式中=ρσ（y）σ（y）φ（y），（21）~A=ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）（22）和b=ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）。（23）很容易验证上述方程的解isu（τ，x）=τh-A.xxxu（τ，x）+（A+B）xxu（τ，x）- Bxu（τ，x）-~Ai。（24）通过一个类似的论证，我们得到了∧u（τ）=τh-A.xxx~u（τ）+（A+B）xx~u（τ）- Bx~u（τ）-~Ai=-~Aτ。因此，P（τ，x）=τ-A.xxxP（τ，x）+（A+B）xxP（τ，x）- BxP（τ，x）.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 08:34:01

（25）3.1.3订单条款利用u的渐近展开在（9）和收集条件的O(), 我们得到τu=^Lu+Lu+Bu+γ（1- ρ)σ(于）。因此，是泊松方程的解Bu=τu-^Lu- 鲁-γ(1 - ρ)σ(yu），（26），前提是以下对中条件成立：τu-^Lu- 鲁-γ(1 - ρ)σ(于）=0。（27）（20）中的未知函数F（τ，x）由上述方程（27）确定。3.2修正的渐近价格公式的精度定理1。让P表示（10）中给出的看跌期权价格，并分别在（15）和（25）中定义Pand Pbe。然后，在假设2.1下，|P（τ，x，y）- （P（τ，x）+√P（τ，x））|≤ O(- 日志).证据我们使用最大值/比较原理参数来证明这个结果。定义ψ（y） =（y）- m） +D, （28）其中D> 0是一个常数，它的选择使得ψ（y） >|u（τ，x，y）|+√ |u（τ，x，y）|（29）表示所有（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R。有可能找到这样一个D, as和uhave atmost在y中的对数增长（见（16）、（24）、（19）、（17）和引理A.1），是τ和x的有界函数（见（19）和（16））。检查D是很容易的= O(-日志), 见Lemma。2在附录中。选择一个足够大的常数C>0，使C+2（y- m） >τU-^LU- 鲁。（30）选择这样一个C是可能的，因为τ和x的有界函数在y中最多有对数增长（见（16）、（24）、（19）、（17）和引理a.1）。德涅乌（τ，x，y）：=u（τ，x）+√u（τ，x）+U（τ，x，y）+3/2u（τ，x，y）- ψ（y）- （C+’C）τ，andu（τ，x，y）：=u（τ，x）+√u（τ，x）+U（τ，x，y）+3/2u（τ，x，y）+ψ（y） +（C+’C）τ，其中‘cis’是假设2.1中σ的上界，u，u，uan和ψ分别在（16）、（24）、（19）和（28）中定义。我们计算τu- LU=τu+√τu+τU+3/2τu- （C+’C）- 鲁-√^Lu- ^LU- 3/2^Lu-√鲁+√Lψ- 鲁- 日分-√Bu+Bψ- γ(1 - ρ） σ（y）于+√于- yψ,我们在UAN和uto中使用了y的独立性来消除一些术语。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 08:34:04

使用备注3.1、（13）、（17）和Bψ< -2（y）- m） +“c，我们得到了τu- LU< - （C+2（y）- m））+3/2-2（ρ+ηp1）- ρ） b（y）σ（y）σ（y）（y）- m） +τu-^Lu+ HτU-^LU- 鲁-γ(1 - ρ） σ（y）于+√于- 2（y）- m）i、术语-（C+2（y）-m））均匀地支配上述等式右侧的其他项，因为它们足够小. 要了解这一点，首先看看O的术语(3/2). 当b和σ有界且σ有界远离0时，第一项在y中线性增长。在y中最多对数依赖于ugrow的项，在τ和x中有界。这可以从（16）、（24）、（17）、（20）和引理A.1中看出。因此，O(3/2）术语主要由（C+2（y）-m））对于所有τ，x，y，对于足够小的. 现在我们来看O的剩余术语() 在上述不平等的第三行。通过在（30）中选择C，这个术语主要由（C+2（y）-m））。因此-（C+2（y）-m））在“足够小”的其他术语中占主导地位使上述不等式的右边为负。因此τu（τ，x，y）- LU（τ，x，y）<0，（τ，x，y）∈ （0，T）×R×R，（31）对于足够小的. 同样，可以证明τu（τ，x，y）- LU（τ，x，y）>0，（τ，x，y）∈ （0，T）×R×R，（32）对于足够小的.根据最大值原理，我们可以证明≤ U≤ U, 如下。我们的目标是在u最大值时证明这一点- U我们有你≤ U. 为此，我们首先需要确保- U为此，我们首先扰乱了我们的功能轻微地defineuδ= U- δ√1+x+T- τ,其中0<δ 1.请注意√1+X是有界的。因此，如果u替换为uδ, 对于足够小的δ。因为这个词-ψ（y）在美国这主导了y，u的增长→ -∞当| y |→ ∞. 还要注意的是在τ和x上有界，所以u的扰动通过-δ√1+x+T-τ确保uδ→ -∞ 当| x |→ ∞ 或τ→ T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 08:34:07

自从你是有界的，我们看到uδ- U→ -∞ 当| y |→ ∞, |x|→ ∞ 或τ→ T因此，uδ- U必须在域[0，T）×R×R中的某个特定点（τ，x，y）达到其最大值。对于（τ，x，y）在（0，T）×R×R的内部，我们有0=τu（τ，x，y）- LU（τ，x，y）≤ τuδ（τ，x，y）- Luδ<x，τ；（33）这是一个矛盾。因此，最大点必须出现在边界τ=0处。回想一下，在τ=0时，u（0，x）=u（0，x，y）=-[K]- Kex]+和u（0，x）=0（24）。然后，由D选择在ψ的定义中i、 e.（29），我们得到uδ（0，x，y）<u（0，x，y），对于所有（x，y）∈ R×R和uδ< U到处都是 1.在δ处取极限→ 0，我们有所需的比较菜单（τ，x，y）≤ U（τ，x，y），（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.（34）通过类似的论证，我们得到≥ U（τ，x，y），（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.（35）把不等式（34）和（35）放在一起，使用（29），我们得到| u（t，x，y）- （u（τ，x）+√u（τ，x））|≤ψ（y） +（C+？-C）τ，对于所有（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.回想一下常数D在ψ的定义中一切正常-日志() 那ψ在y中有一个二次增长的项，它给我们| u（t，x，y）- （u（τ，x）+√u（τ，x））|≤ O(- 日志) + O()y、我们可以重复同样的论点, 这会导致期望的结果| P（t，x，y）- （P（τ，x）+√P（τ，x））|≤ O(- 日志) + O()y、对于所有（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.4隐含波动率理论上，我们可以使用修正后的期权价格公式进行校准。然而，期权价格通常是根据其隐含波动率来报价的，因此推导出与修正期权价格相对应的修正隐含波动率公式是有用的。让我表示与看跌期权价格P对应的隐含波动率.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 08:34:10

回想一下，x=ln（S/K）和波动率为σ的看跌期权价格的Black-Scholes公式由公式PBS（τ，x；σ）=KN给出(-d）- KexN(-d），其中N（z）=√2πRz-∞E-y/2dy，d=x+στσ√τ和d=x-στσ√τ.根据定义，隐含波动率I通过设置pBS（τ，x；I（τ，x，y））=P（τ，x，y）。（36）从（15）中，我们知道看跌期权价格P（τ，x）=PBS（τ，x；σ）的前序项。因此，隐含波动率的前导项仅为σ。为了获得渐近隐含波动率的修正项，我们将展开I关于σ的幂√ 阿斯福洛西（τ，x，y）=σ+√I（τ，x，y）+I（τ，x，y）+·。（37）使用I的展开式在（36）中，我们得到了pbs（τ，x；σ）+√我美国公共广播电视公司σ（τ，x；σ）+··=P（τ，x）+√P（τ，x，y）+·。（38）因此，隐含波动率的修正项isI=P（τ，x，y）美国公共广播电视公司σ（τ，x；σ）-1.（39）区分布莱克-斯科尔斯公式，我们得到美国公共广播电视公司σ=Ke-d/2√τ√2π.用公式代替Pin（39），我们可以重写（37）asI=σ-√√2πK√τe-d/2τ-A.xxxP（τ，x）+（A+B）xxP（τ，x）- BxP（τ，x）+ o(√),（40）其中A和B分别在（21）和（23）中定义。常数A和B可以简化为：A=Z∞-∞ρσ（y）σ（y）Zy-∞(σ- σ） π（dy）dy，（41）和b=Z∞-∞（ρ+ηp1）- ρ） b（y）σ（y）σ（y）Zy-∞(σ- σ） π（dy）dy.（42）代入Pin（40）的导数，我们得到= σ+√Adσ√τ+Bσ+ o(√)= σ+√Axστ+B- A/2σ+ o(√).（43）我们发现，与无套利定价案例（见[4]）一样，修正后的隐含波动率是对数货币到期率（LMMR）的一个有效函数，其中LMMR=ln（执行价格/资产价格）到期时间=-xτ。出于校准目的，可以方便地重写隐含波动率公式，即,阿西= a（LMMR）+d+o(√), （44）凡=-√Aσ，d=σ+√σB-A..

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 08:34:13

根据市场化波动率数据校准a和d后，我们可以根据公式a确定a和B=-σa√andB=√（d）- σ)σ-σa.在[4]中，LMMR的一个有效函数适用于标准普尔500欧洲看涨期权隐含可用性数据，a和d估计分别为-0.154和0.149。利用这些估计值，我们绘制了（44）给出的隐含波动率曲面，见图1。假设YT是一个OU过程，σ（y）是一个反正切波动率函数，我们根据定理1中修正的渐近期权价格公式计算隐含波动率。取π=0.2，取ρ=0.5-0.2在我们的随机波动率模型（1）中。我们假设xτ=0.25 = 0.004. 图2给出了作为对数货币性函数的隐含波动率，即。-x=对数K/S，用于风险参数η的三个不同值。隐含波动率函数的偏差显而易见。观察到，随着η值的增加，隐含波动率下降。[12]中也观察到了这一点（参见[12]中的图3]）。在图2中，隐含波动率似乎是对数货币性的最线性递减函数。这与（44）中正式推导的修正渐近隐含波动率公式一致。备注4.1。修正后的隐含波动率公式仅依赖于波动率风险参数η和相关项ρ，不依赖于风险规避参数γ。通过校准，相关系数ρ和风险参数η可从（41）和（42）中获得。参考文献[1]Buckdahn，R.，Hu，Y.，Peng，S.，抛物型偏微分方程粘性解均匀化的概率方法，NoDEA，非线性微分方程。Equ。阿普尔。6，N.4，第395 411页，[2]Barrieu，P.和El Karoui，N.，定价、对冲和设计具有风险度量的衍生品。独立定价编辑R.Carmona。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 08:34:16

理论与应用，第75146页。普林斯顿大学出版社，2009年。[3] O.A.拉迪琴斯卡亚、V.A.索朗尼科夫和N.N.乌拉尔塞瓦。抛物线型线性和准线性方程，由S.Smith从俄语翻译而来。数学专著的翻译，第23卷。美国数学学会，普罗维登斯，R.I.，[4]福克，J.-P.，帕帕尼科劳，G.和瑟卡尔，R.K.，金融市场中具有短期波动性的衍生品，剑桥大学出版社，剑桥，2000.0.80.911.11.21.300.20.40.60.81-0.100.10.20.30.4 MoneyNeisestime to Expiration隐含挥发性学生版Matlab图1：隐含挥发性表面由（44）给出，a=-0.154，d=0.149。图2：当η=-0.25, 0, 0.25.[5] Fouque，J.-P.，Papanicolaou，G.，Sircar，R.K.和Solna，K.，多尺度随机波动渐近，多尺度模型。Simul。2003年第2期，第1期，第22-42页。[6] Hodges，S.D.，Neuberger，A.，交易成本下或有权益的最佳复制，期货市场评论8222-239（1989）。[7] Hu，Y.和Peng，S.，倒向随机微分方程的稳定性定理及其应用，C.R.Acad。Sci。巴黎S\'er。我喜欢数学。324（1997），第10591064页[8]S.Karlin和H.M.Taylor，随机过程第二课程，学术出版社。[Harcourt Brace Jovanovich Publishers]，1981年，纽约[9]Musiela，M.，Zariphopoulou，T.：不完全市场中差异价格的估值算法，《金融与随机》8399-414（2004）。[10] 帕杜，E。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 08:34:19

彭，S.，倒向随机微分方程和拟线性抛物偏微分方程，控制与信息科学课堂讲稿，柏林斯普林格/海德堡（1992），第176卷，200-217页。[11] R.Rouge，El Karoui，N.：通过效用最大化和熵定价，Mathematical Finance 10259-276（2000）[12]瑟卡尔，R.K.和Sturm，S.，从微笑渐近到市场风险度量，arXiv:1107.4632v1[q-fin.GN]A附录A.1。假设f∈ Cb（R）是一个有界连续函数，它以不变分布π为中心，即Rfdπ=0。然后，泊松方程bv=f，有一个最多对数增长的解，并且有界导数v证明。我们构建了一个满足所需生长条件的解决方案。假设f是有界的，v是Bv=f的解。回想一下（2）中微分算子B的定义。将方程Bv=f乘以积分因子xp{Rym2（m-z） σ（z）dz}，我们得到eRym2（m-z） σ（z）dzv（y）=2f（y）σ（y）eRym2（m）-z） σ（z）dz在不丧失一般性的情况下，我们可以假设m=0，所以呃-2zσ（z）dzv（y）=2f（y）σ（y）eRy-2zσ（z）dzy积分，我们得到v（y）=eRy2zσ（z）dzy-∞2f（u）σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu，（A.1）假设limy→-∞胡说八道-2zσ（z）dzv（y）为0。让我们用函数G（y）表示（A.1）的右侧，即G（y）：=eRy2zσ（z）dzy-∞2f（u）σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu。使用l\'h^opital规则作为|y |→ ∞ 关于f和σ的有界性，我们看到G是富足函数。然后v（y）：=RyG（u）du给出了泊松方程的一个解bv=f。我们将证明泊松方程的这个解v最多有对数增长。回想一下（3）中给出的不变度量π。利用定心条件rfdπ，我们得到v（y）=eRy2zσ（z）dzZ∞y2f（u）σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu。让y>1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 08:34:22

通过f和σ的有界性，我们可以将| v（y）|≤ ceRy2zσ（z）dzZ∞yσ（u）eRu-2zσ（z）dzdu（对于某些常数c>0）=ceRy2zσ（z）dzZ∞Y-U-2uσ（u）eRu-2zσ（z）dzdu，通过部分积分得出=ceRy2zσ（z）dz耶-Ry2zσ（z）dz-Z∞月如-2zσ（z）dzdu≤cy（A.2）对于某些c>0。让y<-1.我们使用界| v（y）|重复相同的论点≤ eRy2zσ（z）dzy-∞2 | f（u）|σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu=ceRy2zσ（z）dz-耶-Ry2zσ（z）dz-Zy-∞乌鲁-2zσ（z）dzdu≤C-y（A.3）表示某些c>0。|v（y）|对所有y的有界性，以及当|y |>1给出|v（y）|时的界（A.2）和（A.3）≤ 阻塞（1+| y |）+C，Y∈ R、对于某些C，C>0。引理A.2。D= O(-日志).证据回想一下D被选为正数，比如> |u（τ，x，y）|+√ |u（τ，x，y）|- （y）- m），对于所有τ，x，y。由于uand uare在τ和x中有界，并且最多有对数增长，我们可以写| u（τ，x，y）|+√ |u（τ，x，y）|≤ 阻塞（1+（y）- m））+c对于所有τ，x，y，对于某些正常数c，因此必须选择D就这样> 阻塞（1+（y）- m））+c- （y）- m），（A.4）对于所有τ，x，y.二次项（y- m）增长速度超过对数（1+（y- m））对于较大的| y |，因此（A.4）中右手边的最大值是在有限的y值下获得的。我们将确定（A.4）右手边的最大值，并选择D比那还要大。让我们注意（a.4）右侧的最大点，然后是Ddy阻塞（1+（y）- m））+c- （y）- m）|y=y=0，即c2（y- m） 1+（y）- m）- 2（y）- m） =0。求解ywe-get，y=m，在这种情况下选择D> cor（y）- m） =c- 1，而（A.4）的右侧变成了（c) + C- c+.因此，对于足够小的, 必须选择D= -2日志.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群