模糊厌恶投资者的鲁棒默顿问题

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《The Robust Merton Problem of an Ambiguity Averse Investor》
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作者：
Sara Biagini and Mustafa Pinar
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We derive a closed form portfolio optimization rule for an investor who is diffident about mean return and volatility estimates, and has a CRRA utility. The novelty is that confidence is here represented using ellipsoidal uncertainty sets for the drift, given a volatility realization. This specification affords a simple and concise analysis, as the optimal portfolio allocation policy is shaped by a rescaled market Sharpe ratio, computed under the worst case volatility. The result is based on a max-min Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs PDE, which extends the classical Merton problem and reverts to it for an ambiguity-neutral investor.
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中文摘要：
我们推导了一个封闭形式的投资组合优化规则，适用于对平均收益率和波动率估计缺乏信心且具有CRRA效用的投资者。新颖之处在于，在给定波动性实现的情况下，置信度在这里用漂移的椭球不确定性集表示。本规范提供了一个简单而简洁的分析，因为最优投资组合分配政策由在最坏情况下波动率下计算的重新调整的市场夏普比率决定。该结果基于一个极大极小的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs偏微分方程，该偏微分方程扩展了经典的Merton问题，并针对一个模糊中立的投资者回归到该问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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The_Robust_Merton_Problem_of_an_Ambiguity_Averse_Investor.pdf
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kedemingshi

2022-5-7 11:37:53

模糊厌恶型投资者Ara Biagini和Mustafa C,的鲁棒Merton问题。Pinar*2015年2月11日摘要我们推导出了一个封闭形式的投资组合优化规则，适用于对平均收益率和波动率估计不敏感且具有CRRA效用的投资者。新颖之处在于，在给定波动性实现的情况下，这里使用漂移的椭球不确定性集来表示密度。本规范提供了一个简单而简洁的分析，因为最佳投资组合配置政策由重新调整的市场夏普比率决定，该比率是在最坏情况下波动率下计算的。结果基于一个极大极小的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs偏微分方程，该偏微分方程扩展了经典的Merton问题，并针对一个模糊中立的投资者回归到该问题。关键词：稳健优化，默顿问题，波动不确定性，平均收益率的椭球不确定性，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼-艾萨克斯方程。AMS主题分类：91G10、91B25、90C25、90C46、90C47致谢：我们真诚地感谢一位匿名副主编Fausto Gozzi和Paolo Guasoni的评论和建议。这项研究的一部分是在萨拉·比亚基尼访问伦敦经济和政治科学学院期间进行的，特别感谢康斯坦丁诺斯·卡达拉斯就这个主题进行了许多宝贵的对话。1引言传统上，金融建模严重依赖于基础概率测度P的选择，该测度的选择是为了结合市场价格变动的统计和随机性质。早在Bachelier、Samuelson和Black、Scholes和Merton的著作中，股价或利率等潜在风险因素就被建模为P。

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能者818

2022-5-7 11:37:57

然而，正如大家一致认为的那样，全球经济和金融动态的复杂性使得不可能精确识别风险因素演化的概率规律。不可避免的是，财务建模固有地受到模型不确定性的影响，这种不确定性也被称为奈特不确定性。*萨拉。biagini@ec.unipi.it，比萨大学经济与管理系，意大利比萨56100；mustafap@bilkent.edu.tr.比尔肯特大学工业工程系，土耳其安卡拉比尔肯特06800。在存在模型不确定性的情况下，人们可能会承认存在不同程度的严重性。人们可能只在P的等价类的水平上处理模型误判，或者超越并考虑一系列非支配模型。在过去的二十年里，投资组合优化的核心问题在多先验背景下得到了广泛的研究。投资者对概率持悲观态度，并对问题采取最大-最小（也称为稳健）方法，首先在先验中最小化效用函数，然后在投资策略中最大化效用函数。我们只知道在非支配情况下的一些结果，特别是在完全普遍但离散的情况下，以及在不同的背景下，由Nutz[15]和Lin和Riedel[19]最近的预印本。相反，在Priors案中有丰富的文献。我们满足于引用Chen和Epstein[3]、Garlappi et alii[11]、Maenhout[13]、F¨ollmer et alii[10]进行全面审查和参考，以及最近Owari[16]的工作。在这样一个活跃的环境中，本文给出了鲁棒非支配默顿问题的一个解决方案，该问题既简单又严格。

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大多数88

2022-5-7 11:38:04

本文的主要创新之处在于不确定性集合的形式和对市场不完全性的适应。我们假设资产价格过程是一个N维的扩散过程，驱动维纳过程是d维的≥ N投资者对持续漂移和波动性估计^u和^σ表示怀疑。因此，她认为存在于给定紧致集合中的所有方差-协方差矩阵都是合理的，并且对于给定的σ实现，她考虑了在以^u：U为中心的椭球体中取值的所有漂移（σ） ={u∈ RN |（u）- ^u)(Σ)-1（u）- ^u) ≤ },在哪儿 > 0是模糊半径，∑=σ是方差-协方差矩阵。在[11]、[12]中，对于稳健的均值-方差优化，对于模糊漂移的椭球表示的优点已经得到了充分的证明和讨论。Worst情形（max-min）稳健投资组合选择问题是一个在不同的模糊性表示下得到充分研究的问题（参见[4,5,6,7,8,11,12,17,18]了解单期问题中稳健投资组合优化）。直观地说，椭球的非线性但简单的几何结构提供了鲁棒性，避免了最坏的情况，即角点解。在多面体超矩形或长方体表示中就是这种情况，例如在Lin和Riedel中，允许漂移（以及波动性）在长方体中变化[u，u]。在主导设置中，[3]中的k-无知假设也相当于漂移的盒子表示。同时，选择美国（σ）保持易处理性。引用Fabozzi等人[6]：“假设效率实现与预测接近，但它们可能会偏离。

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何人来此

2022-5-7 11:38:09

如果它们的可变性（通过其标准偏差测量）更高，则它们更有可能偏离其（瞬时）均值，因此，与均值的偏差通过不确定系数的协方差矩阵的倒数来衡量。参数对应于已实现收益与投资者希望得到保护的预测之间的比例偏差总和。”考虑模型不确定性的另一个吸引人的特点是，它为股权溢价之谜提供了一个理论解决方案。正如Mehra和Prescott[14]所指出的，历史股票溢价的高水平和同时适度的股票需求似乎被不合理的风险规避水平所掩盖。他们的结论对无摩擦的欧盟经济能否解释这些经验证据持怀疑态度。然而，Abel[1]和Cecchetti、Lam和Mark[2]的研究重新提出了投资者完全了解概率定律的假设，从而解决了股权溢价之谜。关键的一点是，在多重先验设置中，最优股票需求取决于两个厌恶成分：风险厌恶和模糊厌恶。根据这些结果，以及随后的[3]、[13]和[19]，我们发现，决策的稳健性降低了股权的最佳需求，因为含糊不清且厌恶风险的投资者有效地表现为厌恶风险的投资者，其厌恶风险的系数增加。准确地说，在具有相对风险规避参数R的CRRA效用情况下，最优相对投资组合由π给出=（H）- )+RH∑-1(^u - r1）式中，∑是最坏情况下的方差协方差矩阵，H是在∑下计算的夏普比（见命题1、2和第4节）。

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可人4

2022-5-7 11:38:20

因此，当模糊半径太大，即超过最坏情况下的夏普比率时，投资者会避免投资风险资产，并将所有资金投入安全资产。相反的情况是漂移中没有不确定性，即 = 0，且波动率没有不确定性：然后最优解返回到默顿相对投资组合，πM:=R∑-1(^u - r1）。论文的结构如下。第2节包含非支配情况下的（扩散）模型规范，以及此处需要的鞅原理的一般版本。然而，为了从鞅原理导出抽象的最大-最小偏微分方程，必须在完全不完全市场模型中对波动性结构施加一些条件，如[9]对于系数取决于基础非交易资产的交易资产的情况。这里的重点是完整的市场情况，即波动率是一个平方矩阵。这允许进行更简单但有效的分析。事实上，HJB-Isaacs PDE公式表明，从观察角度来看，投资者相当于扭曲、最坏情况下对参数的信念的投资者。在第3节中，考虑了具有CCRA效用的代表性投资者，我们假设模糊性只存在于漂移中，即先验值都是等价的。这本身就是一个有趣的例子，因为漂移在估计中受到的不精确性比波动性大得多。在这里，我们解决了有限和有限地平线规划的稳健问题，并提供了明确的解决方案。最后，我们将第4节中的这些发现应用于真正非支配设置中的一些示例。2模糊厌恶下的默顿问题考虑一个代理人投资n个风险资产和一个无风险资产的问题。具体而言，我们在Black-Scholes-Merton市场模型假设下工作。

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大多数88

2022-5-7 11:38:24

也就是说，无风险评级者是常数，风险资产动态是，对于每个i=1，d:dSit=Situidt+dXj=1σijdWjt（1）其中σij和uiare常数，W是过滤空间上的标准d维布朗运动(Ohm, （Ft）t≥0，P）。假设d≥ n、因此，市场被允许是不完整的。在矩阵向量形式中，上述方程变成：dSt=Diag（St）（udt+σdWt），其中通过Diag（St）我们表示对角线n×n矩阵，第i个对角线元素等于它。此外，要求σ具有满秩，因此方差协方差矩阵∑=σσ是可逆的。在这里和下面的内容中，表示转置操作。考虑到初始捐赠w，投资者可以以自我融资的方式进行交易和消费。明确地说，让h=（ht）t表示n维渐进可测量过程，代表投资组合中持有的每项资产的份额，并让渐进可测量、非负、标量过程c表示消费流。假设alsothatR·csds是有限的-a、然后，财富过程由以下随机微分方程控制：dwt=（rwt+htDiag（St）（u）- r1）- ct）dt+htDiag（St）σdWtin，其中1是所有分量等于1的d向量。通过在每个风险资产中分配现金价值的向量过程θ，即θt:=Diag（St）ht，可以方便地重新计算财富方程。因此，dwt=（rwt+θt（u- r1）- ct）dt+θσdWt。（2）如果（2）给出的财富过程始终保持P-a.s.非负，则该对（θt，ct）可用于初始财富。设AP（w）是初始财富w的所有可容许（θ，c）对的集合。

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何人来此

2022-5-7 11:38:29

注意，容许集只依赖于P的等价类。然后代理尝试选择（θ，c）∈ AP（w），以最大化运行消费和终端财富的预期效用：sup（θ，c）∈AP（w）E[ZTu（t，ct）dt+u（t，wT）]。假设效用函数u为凹函数，在第二个参数中增加，在第一个参数中可测量。这类随机控制问题被称为默顿问题。它包括许多具体案例，其中包括有限的地平线规划。事实上，如果T=∞, W∞:= 林监督→∞WTU(∞, ·) = 0上述优化问题变成：sup（θ，c）∈AP（w）E[Z∞u（t，ct）dt]。到目前为止，这一论述是经典的，可以在许多教科书中找到。读者可以参考新的[20，第1章]，这是一种非常有教育意义的方法。然而，如果代理对风险资产的漂移矩阵和波动矩阵的（常数）估计^u和满秩矩阵^σ有所不同，情况就会发生很大变化。假设从现在开始Ohm 是连续函数的维纳空间，自然过滤F=（Ft）t≥0.我们的投资者假设“真实”波动率σ是一个渐进的可测量矩阵，因此方差协方差∑=σσ取n×n可逆矩阵的某些已执行的压缩集K中的值，其中包含∑：S:={σ∈ Rn×d∑∈ K} 。让我们用S={σprogr mis |σt（ω）表示∈ S表示所有ω，t}。这种选择符合经验实践，因为∑是估计对象，而不是波动率σ。不确定漂移也被认为是逐步可测量的，对于给定的σ实现，允许在（σ） ={u∈ Rn |（u）- ^u)Σ-1（u）- ^u) ≤ 对于所有ω，t}，也就是说，在以^u为中心半径的椭球体中. 让我们用Υ：={（u，σ）progr.meas.|σ来表示一组合理的漂移和波动∈ S、 ut（ω）∈ U（σt（ω））}并让Υσ表示其σ-截面。

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大多数88

2022-5-7 11:38:36

（u，σ）的不同选择∈ Υ对应于维纳空间上考虑的不同概率，即风险资产以规定系数演化的概率。这些概率在这些区间是正交的。然而，对于过程σ的固定选择，Girsanov定理确保所有向量过程∈ Υσ对应于FTT上相互等效的概率，因为allt>0。我们想将这些等效的测量变化描述为μ的函数。为此，让我们选择一个对应于（μu，σ）的参考概率，并将其称为Pμ，σ。市场不完全性意味着风险资产随漂移u演化的Υσ概率不是唯一的。然而，此类测量可以完全参数化为概率变化，与P^u、σ有关。最小选择（另请参见下面的备注1）是为每个u选择概率Pu，σ，对应于Dol’eans指数（R·udW）给出的测量变化，其中ut:=σt∑-1t（ut）- ^u).这种选择并不会降低普遍性，因为在我们预期效用最大化的背景下，重要的只是风险资产的分配属性。因此，我们现在有一对一的对应关系，在Υ元素和概率之间(Ohm, F）也就是说，可能的先验模型由P={Pu，σ|（u，σ）给出∈ Υ}.现在，财富过程在每个Pu下演化，σ根据wt=（rwt+θt（ut- r1）- ct）dt+θtσtdww这里W是Pu，σ-标准布朗运动。

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大多数88

2022-5-7 11:38:39

最后，我们将初始正财富wif的投资/消费对（θ，c）（稳健）称为可容许的。除了本节开头已经做出的可测量性和可积性假设外，对于所有P∈ P:Arob（w）：=∩P∈帕普（w）=∩σ∈SAP^u，σ（w）。rhs上的等式成立，因为对于给定的σ，容许类对于u的不同选择是不变的∈ Υσ. 规避歧义的投资者采取谨慎的最坏情况方法，并面临以下稳健的默顿问题：uopt（w）：=sup（θ，c）∈Arob（w）inf（u，σ）∈ΥE（u，σ）ZTu（t，ct）dt+u（t，wT）. （3）很明显，当不确定性集Υ较大时，会做出更保守的投资组合选择，而模糊中性投资者会设置S={^σ}和等于零，因此模型P^u，^σ面临经典梅顿问题。备注1固定σ∈ S.漂移的任何变化，比如从^u到^的变化，都对应于测量值从P^u、^σ到概率EP的变化，密度过程dp由Dol’eans指数（R·^dW）给出。合适的φs可以表示为以下形式：φt=φut+ψtin，其中ψ是一个（有效可积）渐进可测过程，属于dt dP^u，σa.e.到ker（σt（ω））。Chen和Epstein[3]将这一过程称为模糊的市场价格。用Pσ表示这类概率。

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nandehutu2022

2022-5-7 11:38:42

初等优化表明，μu最小，因为它在Pσ中具有最小的点态Rn范数：kμut（ω）k=mineP∈Pσk~nt（ω）kdt dP^u，σ- a、 e.因此，Υσ漂移上的椭球模糊度可以被改写为a（非凸！）以不确定性的市场价格为条件，即u∈ Υσi ff mineP∈Pσk~nt（ω）k≤ dt dP^u，σ- a、 e.这应该与文献中普遍存在的条件（参见[9]，[3]）形成对比，这些条件要求在凸集中对不确定性的市场价格进行估值。（3）的分辨率基于验证定理的下一个稳健版本。尽管针对集合P，Υ进行了公式化，但其有效性是一般性的，不依赖于先前模型集合的任何特定参数化。定理1：简而言之，把ν=（u，σ）称为Υ的一般元素。假设：1。存在一个函数V:[0，T]×R+→ R、它在[0，T]×R+上是连续的，在[0，T）×R+上是C1,2，验证V（T，）=u（T，）；2.对于任意（θ，c）存在一个最优解ν（θ，c）∈ （3）中的内极小的Υ，使得yt=Y（θ，c）t≡ V（t，wt）+Ztu（s，cs）ds（4）是Pν（θ，c）-上鞅；3.存在一些（\'θ，\'c）∈ Arob（w）使得相应的Y是Pν（°θ，\'c）-鞅。然后（°θ，’c）对于问题（3）是最优的，V（0，w）是最优值函数，即uOpt（w）=V（0，w）。证明：该证明是对Davis Varaiya鞅最优控制原理的简单修正[20，定理1.1]。实际上，根据Y在Pν（θ，c）和byV（T，）下的上鞅性质u（T，），我们有：Eν（θ，c）[YT]=Eν（θ，c）[ZTu（s，cs）ds+u（T，wT）]≤ Y=V（0，w）。取Arob（w）上的上确界可得到uopt（w）=supArob（w）Eν（θ，c）[RTu（s，cs）ds+u（T，wT）]≤V（0，w）。

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何人来此

2022-5-7 11:38:46

由于通过对一些ν=（\'θ，\'c）的假设，过程Y是Pν（\'θ，\'c）下的一个鞅，那么Eν[YT]=Y=V（0，w），结论立即出现。现在，使用验证定理来解决规避歧义投资者的问题是非常直观的。给定一个特定的效用函数，我们寻找一个满足定理前提的函数V。使用它的公式，任何过程Y如（4）中所示，在以下SDE下验证：dYt={u（t，ct）+Vt+Vw（rwt+θt（ut- r1）- ct）+θt∑tθtVww}dt+VwθtσtdW。（5）使Y在每一个Pν（θ，c）下为上鞅，并使Y在某些Pν（θ）下为鞅*,C*), （θ，c）上的最大值∈ ν最小值的Rn×R+∈ Υ必须等于零。此时，在完全不完全市场情况下，必须假设σ的其他特定结构，例如，依赖于[9]中的相关非交易资产。然而，在本文的其余部分，我们将重点放在完整的市场情况上，即我们假设σisa平方矩阵。然后，一个极大极小非线性偏微分方程由（5）：极大（θ，c）产生∈Rn×R+minσ∈S、 u∈U(σ)u（t，c）+Vt+Vw（rw+θ（u）- r1）- c） +θ∑θVww= 0，属于汉密尔顿·雅可比·贝尔曼·艾萨克斯类型。在下文中，我们简单地将其称为鲁棒HJB方程。σ固定的漂移最小化为：minu∈Rn{θu：（u）- ^u)Σ-1(u - ^u) ≤ },这是Karush-Kuhn-Tucker在必要和充分条件下的一个简单练习。当θ6=0时，最优解为u（θ）=^u- Σθ√θΣθ.将其替换回健壮的HJB，我们得到max（θ，c）∈Rn×R+minσ∈su（t，c）+Vt+Vw（rw+θ）- r1）- √θΣθ - c） +θ∑θVww= 也包括θ=0的情况。由于财富w中的值函数V将增加（并且是凹的），我们正在最小化S:minσ上的凹函数∈s-大众汽车√θ∑θ+Vwwθ∑θ. （7）请注意，要优化的函数仅通过二次型θ∑θ依赖于σ，其导数wrt y:=θ∑θ在Vw>0，Vww<0时为正。

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