构造非平稳系统的分析可处理集合

2022-5-7 21:33:32

构建分析可处理的非平稳协方差集合，并将其应用于金融数据Frederik Meudt，*Martin Theissen，+Rudi Sch¨afer，和Thomas Guhr§Fakult¨在德国杜伊斯堡埃森的杜伊斯堡大学物理学院（日期：2022年3月1日）。在复杂系统中，关键参数往往会随着时间发生不可预测的变化。气候、生物进化和网络为这种非平稳性提供了许多例子。在许多情况下，迫切需要改进统计模型。在一般情况下，我们研究相关量的系统，我们称之为振幅。我们感兴趣的是非平稳性，即看似随机的协方差。我们提出了一种从振幅分布推导协方差分布的通用方法。为了确保可分析性，我们构造了一个适当变形的随机矩阵Wishart集合。我们将我们的方法应用于财务回报，其中丰富的数据允许我们进行统计显著性检验。我们发现的集合以代数分布为特征，这有助于提高对大型事件的理解。PACS编号：05.10-a、 05.40-a、 05:45-a、 89.65。生长激素，89.75-非平稳性，协方差，随机矩阵，复合，财务数据。导言在脑电图（EEG）中，记录头皮不同位置的电流以测量大脑活动。这些电流的时间序列之间的相关性在很大程度上取决于大脑的整体状态。例如，在癫痫发作期间，这种相关性比正常时期强得多[1,2]。这种相关性的时间依赖性是我们想要解决的非平稳性。当波包穿过无序系统时，也可以看到非平稳性。

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2022-5-7 21:33:35

即使无序是静态的，当波包的方向或组成发生改变时，在不同位置测量的波强度与时间之间的相关性也会发生变化[3–5]。金融业为这种非平稳性提供了另一个重要例子。股票价格时间序列之间的相关性随着时间的推移而变化，就像企业与交易员市场预期之间的业务关系一样[6-11]。类似的非平稳性存在于许多复杂系统中，包括湍流中的速度波动、心跳动力学、一系列等待时间等[12–15]。显示非平稳相关性的系统可能被解释为失衡，这意味着统计物理学中的一些关键工具不适用。然而，这些挑战与平衡系统面临的挑战相似：是否存在通用或通用行为？-我们如何识别它？——我们能为这些非平稳性建立统计模型吗？-在金融方面，我们最近提出了一个随机的ma*电子地址：弗雷德里克。meudt@uni-到期。de+电子地址：马丁。theissen@stud.uni-到期。de电子地址：鲁迪。schaefer@uni-到期。de§电子地址：托马斯。guhr@uni-到期。detrix解决这些问题的方法[16]。我们还成功地将其应用于研究信用风险及其对系统稳定性的影响[17]。尽管存在概念上的差异，随机矩阵理论[18,19]在形式上与统计力学有许多共同之处。观测值在一个集合上平均；在统计力学中，它通常是微正则、正则或宏正则的，在随机矩阵模型中，它是描述或表征系统的那些矩阵的集合。在目前的讨论中，随机矩阵模型可以分为两类：1。这个乐队很有感染力。

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2022-5-7 21:33:38

它仅通过遍历性论证发挥作用。2.集合确实存在，并且可以在系统中识别。遍历性问题并不存在。例如，量子混沌中的绝大多数随机矩阵模型属于第1类，有关综述，请参见参考文献[19]。人们对单个系统的光谱统计感兴趣。其哈密顿量被视为一个随机矩阵，其维数最终被发送到单位。遍历性在这个极限下成立，这意味着在一个单独的光谱上可观测的平滑能量平均值等于在一个随机矩阵集合上的平均值。一个明显的例外是量子色动力学的随机矩阵应用[20]。在格点规范理论中，夸克首先在规范场的冻结配置中传播，然后在规范场上进行平均，由随机矩阵建模，作为第二步。这显然属于第二类。真正存在的是通量规范场，配分函数包含了它们上面的一个积分。遍历性推理不会被唤起。随机矩阵理论在金融领域有许多应用[21–31]，它们解决了相关矩阵的统计特性。它们中的许多还涉及非高斯集合。据我们所知，所有这些应用程序都属于第1类，因为有人对在特定时刻测量的单个相关矩阵的统计信息感兴趣。在我们的研究[16]中，我们首次提出了随机矩阵在第二类金融中的应用。非平稳性使协方差发生变化，从而产生协方差矩阵的集合，我们用随机矩阵的高斯-威斯哈特集合来近似该集合[32]。我们推导了无量纲价格变化的多元分布，即收益，由于非平稳性而获得重尾。

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2022-5-7 21:33:41

因此，我们证明了非平稳性确实具有普遍性。在这里，我们有三个目标：首先，我们在第二节。IIa是一种从数据中构造适当且可分析的随机矩阵集合的具有统计学意义的方法。我们强调，在相关性的背景下，这是随机矩阵模型的一个重要问题。与量子混沌不同，量子混沌的普适性取决于平均能级间距的尺度，在研究相关矩阵的统计特性时，没有这样的尺度。因此，高斯假设并不总是正确的，它确实影响到集合在现实中的样子。特别是，真实的集合有助于理解和模拟大型活动。我们的建设是一般性的，不受任何特定系统的约束。它的优点在于，一旦已知了enemble，它就可以根据相关矩阵计算出任何可观测数据的一般统计特性，参见参考文献。[17] 举个例子。其次，我们将我们的方法应用于Sec的财务数据。三、我们确定了一个代数集合，它与风险估计非常相关。第三，我们在第二节中讨论了在总体建设中出现的两个问题。IV和V分别是某种概念上的空洞和进一步的延伸。结论见第二节。六、二,。在第二节中建立一般问题后，构造适当的随机矩阵集合。II A，引入变形的Wishart系综，导出相应的振幅分布，单位为秒。II B.第二节讨论了表征系综和振幅分布的形变函数的确定。在这里，我们推导出一般情况下的方法，为了便于说明，读者参考参考文献[16]和第。IIIA。

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2022-5-7 21:33:45

我们在随机性K振幅为时间序列Rk（t），K=1，在时间t=1的长时间间隔内，托特。例如，这些振幅可以是无序系统中K个不同点的电场或磁场、K个随机移动粒子的位置或财务回报，即K个股票的无量纲价格变化。重要的是，我们假设时间序列之间存在相关性。在复杂系统中，人们经常会遇到这样的情况，即关键系统参数，尤其是相关性或相关性，似乎是时间的随机函数[33–35]。更准确地说，我们考虑的时间窗长度T比总间隔T短得多托特。现在我们要求子区间[t]的平均值- 长度为T的T+1，T]，其在总区间中的位置由时间T决定。然后将该子区间中函数f（T）的样本平均值写成Rkit（T）=TtXt=T-T+1f（T）。（1）我们特别感兴趣的是协方差∑kl（t）=hRkRliT（t）- hRkiT（t）hRliT（t）=hrkrliT（t），（2）其中我们引入了归一化为零平均值的振幅，rk（t）=rk（t）- hRkiT（t）。（3）我们记住，由此产生的K×K协方差矩阵∑（t）是根据长度t的时间序列计算的。我们现在通过数据移动长度T的时间窗口，得到的协方差∑kl（T）flucturate。这种非平稳性对其他统计观测有重要影响。在本研究中，我们主要关注振幅的分布。现在我们考虑一个尽可能短的时间间隔T，使得这个时间间隔的协方差矩阵∑sin处于良好的近似常数。

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2022-5-7 21:33:49

我们首先讨论一种情况，在给定的时间t内，振幅的分布由多元高斯（r |∑s）=pdet（2π∑s）exp很好地近似-r+∑-1sr（4）利用K分量向量r=（r，…，rk）和K×K协方差矩阵∑s。我们抑制r的参数t，并使用+表示转置。我们把g（r |∑s）称为静态振幅分布。由于相关关系，静态分布的高斯假设并不像看上去那么严格。在∑s的基函数中，振幅只出现在线性组合中。因此，对于大K，导致中心极限定理的机制开始起作用，并将分布推向高斯分布。稍后在Sec。然而，Vwe将放宽静态振幅分布的高斯假设，并研究更一般的函数形式。B.变形的Wishart系综及其振幅分布当分析总间隔的数据时，非平稳性如何影响振幅分布？-正如参考文献[16]中所述，我们通过随机矩阵对此进行建模。由于协方差矩阵在分析的每个时间t不同，我们用表达式∑s替换分布（4）中的协方差矩阵-→NAA+，（5）其中A是一个没有任何对称性的实矩形K×N随机矩阵。等式（5）的右侧必须具有给定的形式，以确保其能够对适当定义的协方差矩阵进行建模。这直接源自定义（2）。虽然第一个维度是固定的，但第二个维度N目前是一个自由模型参数。它可以被视为模型时间序列的长度。接下来将进一步澄清。为了得到整个区间的振幅分布，我们在随机矩阵上取平均值hgi（r |∑，N）=Zd[A]w（A |∑，N）gRNAA+, （6）其中d[A]是体积元素，即A中所有独立变量的乘积。

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2022-5-7 21:33:54

在Wishart[32,36]之后，高斯分布w（A |∑）=detN/2（2π∑）exp-tr A+∑-1A（7）对于参考文献[16]中的随机矩阵，假设。它描述了关于给定经验协方差矩阵∑的模型协方差矩阵AA+/N的高斯函数，该函数在总时间间隔Ttot内进行评估。它不应与在子区间[t]中计算的经验协方差矩阵∑（t）混淆-T+1，T]。与参考文献[16]相比，最重要的区别是对集合（7）的概括。我们介绍了变形的Wishart群（A∑，N）=∞Zdηf（η）wA.N∑η（8）由整体变形函数f（η）定义，具有以下性质：∞Zf（η）dη=1和f（η）≥ 0 . （9）为方便起见，等式（8）右侧的∑用N重新缩放。模型协方差矩阵AA+/N的表达式偏离高斯分布，但始终超出经验协方差矩阵∑。模型参数N的含义现在变得更清楚了。它设置了这些函数的方差。上述重新缩放只会改变函数依赖关系，但不会改变函数的r^ole of n。我们再次强调，∑是在整个时间间隔内计算的。参考文献中首次提出了随机矩阵群的类似变形，但在哈密顿量中，不是Wishart设置。[37, 38].将ansatz（8）插入式（6）后，我们可以使用结果[16]Zw（A∑）gRNAA+d[A]=∞ZχN（Z）gR锌∑dz，（10）将整个随机矩阵平均值重新表示为χ分布χN（z）=N/2Γ（N/2）zN/2上的单变量平均值-1exp-Z（11） N个自由度。在数学方面，公式（10）和散射理论中某些分布的计算之间存在联系[39,40]。利用结果（10），振幅分布减少到二重积分hgi（r∑，N）=∞Zdηf（η）∞ZdzχN（z）gRzη∑.

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2022-5-7 21:33:59

（12）再次，我们指出了∑与N的重标度，cf.Eq.（10）。将其重写为单个积分hgi（r∑，N）是有用的=∞Zp（x）g（r | x∑）dx（13）通过引入变量x=z/η及其分布p（x）=∞Zdηf（η）∞ZdzχN（z）δ十、-zη. （14）我们称之为振幅分布变形函数。一个容易获得的sp（x）=xN/2-1N/2Γ（N/2）∞Zdηf（η）ηN/2exp-ηx, （15）这建立了两个变形函数之间的关系。我们注意到，ansatz（8）将变形分布w（A∑，N）的形式限制为t R A+∑的函数-仅限1A。即使包含其他术语，如tr（A+∑-1A）有可能提高数据的质量，我们坚持安萨茨（8）。它的相当大的优势是有保证的，但在其他方面有问题的分析可处理性，这将在问题中显示。此外，进一步的项还将增加变形函数的数量，这将妨碍它们的确定。C.变形函数的确定从变形函数开始，分布w（A | N∑）和hgi（r | N∑，N）取决于通过在整个间隔内采样分析的常用协方差矩阵∑。我们注意到变形系综中相应的协方差矩阵∑（d）与之略有不同。根据定义，我们有∑（d）=hNAA+i=ZNAA+w（A∑，N）d[A]。（16）插入式（8），我们可以在高斯情况下进行系综平均，得到协方差矩阵N∑/η。因此，只剩下η积分，我们有∑（d）=N∑∞Zf（η）ηdη=N∑η-1（17）意味着两个协方差矩阵的平均值相差1/η。或者，可以从振幅分布计算∑（d）∑（d）=hrr+i=Zrr+hgi（r |∑，N）d[r]，（18），其产生∑（d）=∑∞Zxp（x）dx=∑x。（19）在这里，两个协方差矩阵的差值为x的第一个矩。

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2022-5-7 21:34:03

（14），很容易看出结果（17,19）是一致的。从数据中提取总时间间隔的协方差矩阵后，我们可以继续确定变形函数。等式（15）被积函数中的指数函数允许我们将其解释为拉普拉斯变换，Γ（N/2）p（x）xN/2-1=L~ηN/2f（2~η）, （20）在这里，我们引入了▽η=η/2，以避免两个不方便的因素。因此，系综变形函数是逆拉普拉斯变换f（2)η）=Γ（N/2）~ηN/2L-1.p（x）xN/2-1.. （21）振幅分布变形函数除以x的幂。这使得通过从振幅时间序列中提取p（x）并进行拉普拉斯逆变换来确定f（η）成为可能。相反，从数据中直接提取f（η）是一件麻烦的事情，并且受到有限统计数据的影响，如下讨论所示。A的行是长度为N的模型时间序列，不容易与长度为t的振幅时间序列rk（t）识别。然而，矩阵AA+/N构成了模型协方差矩阵的集合，可以与经验矩阵进行比较。由于需要一定的样本长度才能得到有意义的结果，因此直接比较这些矩阵是毫无疑问的，即它们各自的矩阵元素。更好的观测结果是分布q（s）=Zδs-Ntr AA+迹的w（A∑，N）d[A]（22），它可以很容易地写成涉及系综变形函数f（η）的单个积分。分布（22）是通过在振幅时间序列中移动时间窗口，并计算经验协方差矩阵和它们的曲线来经验获得的。然后得到f（η）。上述程序的问题在于其统计意义仍然有限。相反，从数据中提取振幅分布变形函数p（x）会得到更有意义的结果。

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2022-5-7 21:34:07

正如我们在续集中讨论的，数据点的数量比K大一倍。振幅Rk仅通过双线性形式r+∑r出现在等式（13）中。我们将振幅向量Rint旋转到经验获得的协方差矩阵∑的特征基上。通过定义，∑的特征值为正且大于零，前提是采样间期的长度大于K。我们将旋转振幅向量的每个分量除以相应特征值的平方根，并用r表示生成的向量。在我们的模型中，r的所有分量应均匀分布。除了一个rk之外，我们把所有的都整合起来，并在分布Hgi（~rk）处到达=∞Zp（x）√2πxexp-~rk2xdx。（23）因此，p（x）可以与高斯分布随机变量rk的方差x的分布相一致。从概念上讲，这是我们的主要结果。它提供了一种简单且具有统计意义的方法来获得振幅分布变形函数p（x），然后通过拉普拉斯逆变换得到整体分布函数f（η）。当我们有K时间序列K（t）时，我们通过聚集得到一个系数K。II I.金融数据的应用我们现在将我们的方法应用于股票市场数据。这一点尤其令人感兴趣，因为厚尾在金融领域无处不在。迫切需要一个更好的多元分布模型来改进风险估计。我们以秒为单位呈现数据。III A，以秒为单位提取变形函数。III B，并以秒为单位计算系综分布。III C.A.数据集我们分析K=306个连续交易的股票，其价格为Sk（t），K=1，标准普尔500R中的K1992年至2012年之间的指数[41]，我们之前用纯高斯分析过，即非变形威斯哈特系综[16]。这里的振幅是无量纲价格变化srk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t），（24）被称为返回。

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2022-5-7 21:34:11

它们取决于选择的回报期t、根据式（3），我们计算归一化为零均值的回报rk（t）。为了使我们的演示自我包含，我们再次展示了该数据集的整个K×K相关矩阵C随时间变化的强度。在图1中，它显示了后续三个月的时间窗口。在大多数情况下。1:K=306家inS&P 500R公司的相关矩阵2005年第四季度和2006年第一季度。颜色越深，相关性越强。这些公司是按行业分类的。摘自参考文献[16]。在dom矩阵方法中，集合是有效的，并且仅通过遍历性参数来确定。这里并非如此，如图1所示。我们的集合实际上是存在的，它是通过在数据中移动样本时间窗口来分析的一整套矩阵。英菲格。1.由于不同的工业部门，人们还可以在这些相关矩阵中看到相当稳定的条纹，例如参考文献[11]。显然，在这个数据集中不存在基不变性，可能在任何其他真实数据集中也不存在基不变性。因此，直接提取保持随机矩阵系综基不变性的系综变形函数f（η）是个问题。然而，还有另一个原因：确定了市场状态，这揭示了套头的一个明确结构[11,42]。由于每个随机矩阵集合都有一个有效特征，建议分析已经反映了这一点的数量。在本例中，这些量是振幅，在本例中是返回、分布和相应的变形函数P（x）。B.变形函数我们使用日常数据，即：。，t=1个交易日。

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2022-5-7 21:34:15

将返回向量r旋转为经验方差矩阵的特征基∑，标准化为特征值的平方根，并在五天窗口上进行聚合，得出如图所示的方差经验分布。2.十天窗口上的聚合给出了类似的0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0xpdf0 1 2 3 4 510-310-20.11xpdfFIG。2：在五天时间窗口内，在线性（顶部）和对数（底部）标度上计算的以点为单位的方差聚合分布。以实线形式符合beta primedistribution。为便于比较，用虚线表示χ分布。后果因此，估计噪声对分布没有重大影响。各种各样的函数都可以用来描述数据。在财务方面，人们通常采用对数正态分布来模拟波动率，参见参考文献[43]。在金融领域，标准偏差被称为波动率。然而，对数正态分布无法捕捉经验发现的尾部行为。更合适的是β素数分布p（x | N，L）=Γ（N+L/2）Γ（N/2）Γ（（N+L）/2）xN/2-1（1+x）N+L/2（25）有两个正参数N和L。为了进行下面的讨论，我们在表达式（25）中选择它们的组合，使N与第节中引入的参数N一致。二、如图2所示，与参考文献[16]集合对应的χ分布相比，与数据的一致性要好得多，后者通过设置f（η）=δ（η）正式获得- 1）或f（η）=δ（η）- N），分别取决于N的重新缩放。我们为不同的周转期进行融资t、对于N和L的结果，N和L的结果都显示在了《23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方òòòòòòòòòòòòDtN和LFIG。3：贝塔素数分布与回归视界的拟合值N（上，上升点）和l（下点）T

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2022-5-7 21:34:20

三角形和菱形用于约束整数值的fit，suare和circles不受约束。图3。当L在2左右保持不变时，N从每日数据的约7增加到每日数据的约23t=19个交易日。我们将解释推迟到集合和回报分布的评估。提取了振幅，即返回分布变形函数p（x | N，L），我们计算了拉普拉斯逆变换（21），f（2)η| N，L）=Γ（N+L/2）2)ηN/2Γ（（N+L）/2）L-1.（1+x）-N-L/2,对于整体变形函数f（η| N，L）=η（N+L）/2，用η=2 |η得出[44]-1（N+L）/2Γ（（N+L）/2）经验-η= χN+L（η）。（27）这是一个自由度为N+L的χN+L分布。根据需要，f（η| N，L）是一个正的归一化函数。C.变形系综和返回分布将式（27）插入式（8）中，经过简单计算W（a∑，N，L）=Γ（（N+nk+L）/2）Γ（（N+L）/2）detN/2（πN∑）1+tr A+∑-1AN-（N+NK+L）/2。（28）对于随机矩阵A的分布。因此，我们在一个以代数分布为特征的集合中生存。对于类似的系综，但在∑=1K的特殊情况下，光谱相关函数在参考文献中进行了研究。[45, 46]. 然而，在这里，我们从数据中导出了我们的集合，并且对一个非平凡∑的依赖在目前是必要的。预期结果（28），与参考文献[16]相比，我们用N标度∑。因此，Nand L在公式中是平等的。为了获得系综平均收益分布，我们将。（25）转化为等式（13）并得出（r |∑，N，L）=Γ（N+L/2）Γ（N+K+L）/2）Γ（N/2）Γ（N+L）/2）pdet（πN∑）UN+K+L，K-N+2，r+∑-1r（29）用反超几何函数[47]U（a，b，z）=Γ（a）∞齐亚-1（1+y）b-A.-1exp(-yz）dy（30）表示a和z的正实部。根据等式（17）或（19），协方差矩阵∑（d）=NN+L- 变形系综的2∑（31）如下。

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2022-5-7 21:34:23

为了与经验收益率分布进行比较，我们计算了积分（23），hgi（~rk | N，L）=Γ（N+L/2）Γ（（N+L+1）/2）Γ（N/2）Γ（（N+L）/2）√2πUN+L+1,3- N、 ~rk. （32）对参数允许值的评论是正确的。在收益分布（29）和（32）中，N可以取任何正实值。然而，在集合分布（28）中，N是模型时间序列的长度，或者等效地，是k×N矩阵A的维数之一，因此被限制为整数值。因此，一个人是否想要施加N为整数的约束是一个解释问题。对于参数L没有这样的限制。在任何情况下，我们也使用整数约束进行了计算。图3所示的结果并不表明该约束的强烈影响。数据比较的结果显示在下图中。4日报税表，t=1个交易日。fitted参数值分别为N=8.13和L=2.24。通过使用变形的Wishart系综而不是参考文献[16]中的非变形系综，可以更好地描述经验分布的中心。由于参考文献[16]的结果一贯低估了大事件，因此重尾清楚地表明，变形的Wishart系综在总体上得到了更好的描述。在图5中，我们给出了相同的回报率分析t=20个交易日，则N=20.98，L=2.07。在这里，尾部仍然很强，但不如日常数据那么明显。对于这些结果的解释，我们-0.4-0.2 0.0 0.2 0.40.300.350.400.450.50rkpdf-6-4-2 0 2 4 610-610-510-410-310-20.11rkPDFIG。4：每日收益的总分布，t=1个交易日。实证结果为点，分布（32）为实线。参考文献[16]的相应结果为虚线。

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2022-5-7 21:34:26

线性标度上的分布中心（顶部），对数标度上的整体分布（底部）-6-4-2024610-610-410-21r)kPDFIG。5：与图4（底部）相同，返回t=20个交易日。回想一下一个公认的事实，即一只股票的收益率的单变量分布在回归时会出现严重的尾部t变小，参见参考文献[48]。然而，在这里，我们分析了K相关股票的多元分布。因此，有两种竞争效应。首先，正如在EQ中所讨论的。（4）对于参考文献[16]中的财务数据，如果协方差是有效常数，那么振幅的叠加（在本例中）反过来推动多元分布向阿加西分布。第二，正如参考文献[16]和本文的延伸所观察到的，非平稳协方差的波动提升了长时间间隔内评估的分布的尾部，使其更重。毫不奇怪，单变量分布的尾部越重，上面所示的系综平均多变量分布的尾部也越重。这很好地反映在返回视界上参数N的近似线性增加中t、见图3。N越小，系综分布（28）和平均返回分布（29）中的尾越重。随着N的增长和L的固定，分布（28）更接近阿加西分布，即非变形系综。值得注意的是，L的F总是产生接近于2的值。根据式（31），这意味着∑（d）≈ Σ. 不同的是，与高斯假设相比，在考虑的情况下，重尾对测量协方差的影响很小。

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2022-5-7 21:34:30

然而，在考虑财务风险时，尾部非常重要。最后，我们利用这个机会讨论了一个普遍感兴趣的问题，即通过双线性形式（如r+∑）呈现和拟合依赖于统计变量的多元分布-1r。与上述将r旋转为∑和聚集的伊根基的过程不同，我们也可以将双线性形式视为广义半径ρ=√r+∑-K维空间中的1r（33）并研究其分布hgradi（ρ）=Zδρ -√r+∑-1rhgi（r∑，N，L）d[r]。（34）一个相当简单的计算yieldshgradi（ρ）=Γ（N+L/2）Γ（（N+K+L）/2）K/2-1Γ（N/2）Γ（K/2）Γ（（N+L）/2）ρK-1UN+K+L，K-N+2，ρ. （35）雅可比矩阵ρK-1是这种径向分布的典型值，由于K=306，它主导了小ρ分布的函数形式，如图6所示。理论结果（35）比相应的REF结果更好地描述了数据。[16]. 然而，ρK的优势-1给出了什么样的误导性图片，我们推断使用分布（29）和（32）更合适。四、变形函数的容许性从数据中提取返回分布变形函数p（x）时，我们遇到了令人困惑的0 5 10 15 20 25 30 350.000.050.100.15ρpdf0 5 10 15 20 25 30 350.0010.010.1ρpdfFIG。6：每日收益的径向分布，t=1交易日。实证结果为点，分布（35）为实线。参考文献[16]的相应结果为虚线，在线性（顶部）和单色刻度（底部）上。我们希望在此报告的问题。log–logisticsdistributionp（x | b，c）=bc（x/c）b-b=N/2的1（1+（x/c）b）（36）可以很好地描述数据，甚至比贝塔素数分布更好。c值约为1，N=4t=1交易日，并随着时间的推移而增加T

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2022-5-7 21:34:33

然而，由此产生的整体变形函数可以取正值和负值。例如，对于N=4，我们发现f（η| c）~sin（η/2）- ηcos（η/2）/2η。（37）因此，不能将其解释为分配。事实上，我们面临着解释的问题。在Sec的讨论中。II C清楚地表明，P（x）是一个定义良好的随机变量分布，即方差分布，f（η）也代表一个定义良好的分布并不明显。相应的indingrandom变量矩阵A没有直接的数据解释。因此，我们可以简单地将f（η）视为高斯分布（8）展开的连续系数函数。然而，即使人们不想将f（η）解释为一个分布，最终的系综分布（8）也必须是正定义的。我们通过计算tracesu（s）=Zδ的分布来检验这一点s-Ntr A+∑-1Aw（A | N，c）d[A]。（38）由于我们只希望测试正性，因此通过包含协方差矩阵，可以方便地选择不同于上述分布（22）的正性。经过一些代数运算后，我们可以把它表示为一个高阶导数，其中包括回归分布变形函数u（s）=(-1）（K）-1） N/2Γ（N/2）Γ（KN/2）sKN/2-1d（K）-1） N/2ds（K）-1） N/2p（s | b，c）sN/2-1.（39）原则上，这是对数-逻辑分布（36）u（s）的一般结果=(-1）（K）-1） N/2NcN/2Γ（N/2）2Γ（KN/2）sKN/2-1d（K）-1） N/2ds（K）-1） N/2（cN/2+sN/2）。（40）把我们自己限制在偶数N以内，我们可以用复函数理论来计算极点展开（cN/2+sN/2）=N/2Xn=1Qm6=N（an- am）（s）- （安）-s- anXl6=nan- 艾尔（41）polesan=c expi2πN（2n+1）. （42）式（40）中的导数现在可以很容易地计算出来，我们得到了u（s）=NcN/2Γ（N/2）2Γ（KN/2）sKN/2-1N/2Xn=1Qm6=n（一个- am）Γ（（K）-1） N/2+2（s）- 安（K）-1） N/2+2-2Γ（（K）-1） N/2+1）（s）- 安（K）-1） N/2+1Xl6=nan- 艾尔！。

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2022-5-7 21:34:36

（43）尽管电杆复杂，但这是通过构造面积函数实现的。然而，它将正和负的值作为分布，而正和负的值超出了对u（s）的解释，因此也超出了对w（A | N，c）的解释。通过这个例子，我们看到了一个有点令人惊讶的结果，即一个良好的分布p（x）不一定会产生一个良好的整体。每个案件都必须单独调查。V.通过变形静态振幅分布进一步扩展我们在第。II A.静态振幅分布的高斯假设（4）没有第一眼看到的那么严格。然而，我们现在通过假设更一般的函数形式来扩展我们的构造。目前，我们没有静态振幅分布为非高斯分布的数据，但我们现在扩展了构造，因为它可能对未来的数据分析有用。此外，我们还会看到一些有趣的观察结果。我们现在假设静态振幅分布可以表示为高斯（4）上的平均值，而不是等式（4），g（r |∑s）=∞Zh（ξ）gR∑sξdξ（44）和一个新的变形函数h（ξ），该函数∞Zh（ξ）dξ=1和h（ξ）≥ 0 . （45）我们按照第。II B.代替系综平均（6），我们现在有hgi（r |∑，N）=Zd[A]w（A |∑，N）gRNAA+. （46）这很容易被转换成形式hgi（r∑，N）=∞Zp（x）g（r | x∑）dx，（47），仅通过定义振幅分布变形函数与公式（13）不同。它现在由p（x）给出=∞Zdξh（ξ）∞Zdηf（η）∞ZdzχN（z）δ十、-zξη.（48）对于固定ξ，我们引入新变量^η=ηξ和find p（x）=∞Zd^η^f（^η）∞ZdzχN（z）δ十、-z^η. （49）与等式（14）一致，但现在涉及新的整体变形函数^f（^η）=∞Zh（ξ）ξf^ηξdξ。（50）这个积分让人想起卷积。

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nandehutu2022

2022-5-7 21:34:40

因此，变形、非高斯静态振幅分布的情况可以正式追溯到高斯情况。这种差异可以完全吸收到整体变形功能中。重要的是，这意味着她获得了Sec的结果。II继续保持，特别是拉普拉斯变换（20）和它的反转（21）。然而，以下问题仍然存在。我们可以使用第节中概述的方法从数据中提取h（ξ）和p（x）。II C分别适用于非常短的时间间隔和整个长时间间隔。从逆空间变换（21）中，我们得到了^f（^η），但为了确定f（η），我们剩下的任务是对等式（50）进行逆运算。虽然这在某些特殊情况下是完全可能的，但缺乏一个通用的反演公式。然而，在实际应用中，一致性测试更可能需要上面概述的扩展。例如，如果同一系统的一些可用数据允许静态振幅分布的高斯假设，而其他数据不允许，则可以首先确定f（η），如第。然后转向需要附加变形函数h（ξ）的数据。一旦这些变形函数的边界已知，就可以评估^f（^η）并检查它是否与从数据中独立提取的p（x）的逆（21）一致。作为一个例子，我们考虑f（η）和h（ξ）分别是N+L和M自由度的χ分布f（η）=χN+L（η）和h（ξ）=χM（ξ）（51）。f（η）的选择与Sec的结果一致。III B.通过等式（50），我们得到^f（^η）=√η（N+L+M）/2-2K（N+L）-M） /2(√^η）（N+L+M）/2-1Γ（（N+L）/2）Γ（M/2），（52），其中Kν是二阶ν的修正贝塞尔函数。该函数已出现在参考文献[16]的恩斯套平均收益分布中。根据等式。

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2022-5-7 21:34:43

（49），分布p（x）是一个涉及修正贝塞尔函数的积分，变形系综上的平均返回分布是修正贝塞尔函数乘积上的积分，但我们这里不给出公式。六、结论SNON平稳性是复杂系统中经常遇到的特征。这里，我们讨论了相关性的非平稳性。我们提出了一种根据振幅分布确定空气分布的方法。此外，我们还展示了如何从振幅数据中提取适当的随机协方差矩阵集合。通过对金融数据的分析，我们发现了反映振幅中重尾的协方差矩阵的代数分布，即回归分布。一个在概念上很重要的评论是正确的。考虑任意两个经验协方差矩阵∑（t）和∑（t）。它们当然不是独立的，因为首先，金融市场中的工业部门等引起的关联结构只会在很大的时间尺度上发生变化，其次，人们会认为时间差越小，它们的依赖性就越大-t |。第一个原因是我们模型的固有特性，因为随机模型协方差矩阵围绕经验∑展开。第二个原因是由于我们的模型时间序列N的长度，即随机矩阵A的第二维度，不同于评估经验方差矩阵∑（T）的子区间的长度T，因此可以有效地解释。数据分析得出的Nresulting值非常小 Kwhile T≥ 测量∑（t）时的K。我们的随机矩阵ansatz的目标不是以一对一的方式对经验协方差矩阵∑（t）的集合进行建模。这从来不是统计方法的目标。我们的模型有一个明显的效果特征，例如在关系N中 T

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2022-5-7 21:34:47

模型时间序列比经验时间序列短得多，有助于恰当地捕捉平均协方差矩阵周围的函数引起的统计效应。这也反映了经验协方差矩阵的相互依赖性。我们通过对财务数据的分析证明了我们的模型是多么有用。此外，振幅分布等观测值不能解析任何形式的时间自相关。即使在时间上改变经验协方差矩阵∑（t）的顺序，也不会改变总时间间隔的振幅分布。在分析量子色动力学的统计性质时，也会遇到类似的情况。规范场可以被视为一个真正存在的整体，在这个整体上进行平均——这就是划分函数的定义。虽然这些测量场也不是独立的，但这种自相关的影响只有在使用相应的观测值时才能看到。密度不受影响。随机矩阵作为高度非平凡规范场的模型得到了极大的成功应用。还有一个方面值得一提。与哈密顿系统的随机矩阵应用相比，没有一个局部尺度可以强制普遍的统计行为。因此，协方差的实际分布非常重要。高斯假设只有经过数据分析才是可以接受的。本研究扩展了之前的一项研究，我们在财务中采用了这种高斯假设。在这里，我们考虑了相同的数据集，清楚地证明了高斯假设低估了尾部。我们在这里发现的代数分布与风险估计相关，因为它们有助于更好地理解大事件。

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何人来此

2022-5-7 21:34:50

重要的是，一旦适当地提取了集合，就可以计算出依赖于非平稳协方差的Allobservable的有意义的平均值。在开发我们的结构时，我们遇到了一个令人困惑的特性，需要注意。从振幅分布中提取的变形函数一方面决定了系综的唯一性，但另一方面，该系综不一定定义良好。每个案例都必须单独研究。我们不认为这会在应用程序中造成严重问题，但从概念上讲，这是一个有趣的方面。我们还通过包含变形静态振幅分布来扩展我们的构造。这一扩展带来的额外自由可能会为解决上述令人困惑的问题提供一种可能性。从更一般的观点来看，我们必须强调，我们的构造只包括依赖于随机协方差矩阵和平均协方差矩阵乘积的迹的系综的函数形式。虽然这很自然，因为它保证了所有随机矩阵模型所需的一定数量的基不变性，但更一般的函数形式带来了一个有趣且潜在重要的挑战。迄今为止，我们仅将我们的方法用于融资。我们还计划将其应用于其他复杂系统。这可能是有益的，因为大型事件和风险评估不仅在财务上很重要。感谢Desislava Chetalova、Tobias Nitschke、ThiloSchmitt和Yurij Stepanov的富有成效的讨论。[1] J.P.Pijn，J.Van Neerven，A.Noest和F.H.L.da Silva，脑电图和临床神经生理学79371（1991）。[2] M·穆勒、G·拜尔、A·加尔卡、U·斯蒂芬尼和H。穆勒，《物理评论》E 71046116（2005）。[3] R·H¨ohmann，U·Kuhl，H-J·St¨ockmann，L·卡普兰，安第斯山脉。J.Heller，《物理评论快报》104093901（2010）。[4] J·J·梅茨格，R。

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2022-5-7 21:34:55

Fleischmann和T.Geisel，PhysicalReview Letters 112203903（2014）。[5] H-P.Degueldre、J.J.Metzger、R.Fleischmann和T。盖塞尔，《美国物理学会公报》第60期（2015年）。[6] G.贝卡尔特和C.R.哈维，《金融杂志》50403（1995）。[7] F.M.Longin和B.Solnik，《国际货币与金融杂志》第14期，第3期（1995年）。[8] J-P.Onnela，A.Chakraborti，K.Kaski，J.Kert\'esz，安达。关东，物理评论E68056110（2003）。[9] 张彦宏、李国浩、王俊杰、郭俊良、M.普鲁斯蒂和张世安，Physica A 3902020（2011）。[10] L.Sandoval和I.D.P.Franca，Physica A 391187（2012）。[11] M.C.M–unnix、T.Shimada、R.Sch–afer、F.Leyvraz、T.H.Seligman、T.Guhr和H.E.Stanley，Sci。《生物物理杂志》第32644页（2012）[12]F.Ghasemi、M.Sahimi、J.Peinke和M.R.R.Tabar，2006年）。[13] M.安瓦里、C.阿加莫哈马迪、H.达什蒂·纳斯拉巴迪、E.萨利希、E.贝贾特、M.库尔巴尼、M.哈扎伊·内扎德、M.齐拉克、A.哈吉霍塞尼、J.佩因克、M.R.塔巴尔、菲斯。牧师。E 87062139（2013年）。[14] F.Ghasemi、M.Sahimi、J.Peinke、R.Friedrich、G.R.Jafari和M.R.R.Tabar，Phys。牧师。E 75060102（2007）。[15] R.Sch–afer和T.Guhr，Physica A：统计力学及其应用3893856（2010）。[16] T.A.Schmitt，D.Chetalova，R.Sch¨afer和T.Guhr，EPL（欧洲物理学通讯）10358003（2013）。[17] T.A.Schmitt，D.Chetalova，R.Sch¨afer和T.Guhr，EPL（欧洲物理学通讯）10538004（2014）。[18] M.Mehta，《随机矩阵》（学术出版社，纽约，2004年），第三版[19]T.Guhr、A.M¨uller Groeling和H.A.Weidenm¨uller，《物理报告》299189（1998年）。[20] J.Verbaarschot和T.Wettig，《核与粒子科学年度评论》第50期，第343页（2000年）。[21]L.Laloux，P.Cizeau，J.-P.Bouchaud和M.Potters，Phys。牧师。莱特。83, 1467 (1999).[22]L.Laloux，P.Cizeau，J.Bouchaud和M.Potters，Risk12,69（1999）。[23]L。

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2022-5-7 21:34:58

Laloux，P.Cizeau，M.Potters和J.Bouchaud，Int.J.理论应用。《金融》3391（2000）。[24]V.Plerou、P.Gopikrishnan、B.Rosenow、L.A.NunesAmaral和H.E.Stanley，Phys。牧师。莱特。83, 1471(1999).[25]V.Plerou、P.Gopikrishnan、B.Rosenow、L.A.NunesAmaral、T.Guhr和H.E.Stanley，Phys。牧师。E 65066126（2002年）。[26]S.Pafka和I.Kondor，Physica A 343623（2004）。[27]M.Potters，J.-P.Bouchaud和L.Laloux，《物理学报》B 362767（2005）。[28]S.Dro˙zd˙z，J.Kwapie\'n和P.O\'swiecimka，《物理克隆学报》。B系列384027（2007）。[29]J.Kwapie\'n，S.Dro˙zd˙z和P.O\'swiecimka，《物理学：统计力学及其应用》359589（2006）。[30]G.Biroli，J.-P.Bouchaud，和M.Potters，Acta PhysicaPolonica。系列B 384009（2007）。[31]Z.Burda，A.Jarosz，M.A.Nowak，J.Jurkiewicz，G.Papp和I.Zahed，数量金融11，1103（2011）。[32]J.Wishart，生物计量学20A，32（1928）。[33]C.A.Ball和W.N.Torus，《经验金融杂志》第7373期（2000年）。[34]X.Burtschell，J.Gregory和J.-P.Laurent，信贷风险杂志13,31（2005）。[35]S.Ankirchner和G.Heyne，《金融与随机》16，17（2012）。[36]R.Muirhead，《多元统计理论的方面》（Wiley Interscience，2005），第二版[37]A.C.Bertuola，O.Bohigas和M.P.Pato，《物理评论》E 70065102（2004）。[38]K.A.Muttalib和J.R.Klauder，《物理评论》E71055101（2005）。[39]C.Poli，D.V.Savin，O.Legrand和F.Mortessagne，《物理评论》E 80046203（2009）。[40]Y.V.Fyodorov和D.V.Savin，《体检报告》108，184101（2012年）。[41]雅虎标准普尔500指数数据！金融[42]D.Chetalova，R.Sch¨afer和T.Guhr，统计力学杂志：理论与实验2015，P01029（2015）。[43]S.Michich\'e、G.Bonanno、F.Lillo和R.N。

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