赌博中的Jarzynski型均衡：信息在资本中的作用

2022-5-8 06:11:31

RIKEN-QHP-182，RIKEN-STAMP-10Jarzynski赌博中的等式：信息在资本增长中的作用，*Yoshimasa Hidaka2，+纽约石溪石溪大学物理与天文学系，11794-3800，日本和子351-0198理研中心美国理论研究部（日期：2018年8月28日）。摘要我们研究赌博中的资本增长，有（或没有）副信息和记忆效应。我们推导了赌博的几个等式，它们的形式类似于Jarzynski等式，并将其推广到带有反馈控制的系统。这些关系为我们提供了量化信息对赌博资本增长统计的影响的新方法。我们讨论了等式的含义，并表明它们重现了平均资本增长率的已知上界。PACS编号：*电子地址：YUji。hirono@stonybrook.edu+电子地址：hidaka@riken.jpContentsI.导言3II。凯利准则与信息论4A。凯利标准5B。附带信息的二进制赌博7III。独立赌博游戏的Jarzynski型等式9A。简单的二进制赌博9B。附带信息10C的二进制赌博。备注13IV。Jarzynski型记忆效应赌博等式13A。简单的二进制赌博14B。附带信息17C的二进制赌博。泛化：附带信息的赛马22D。赌博中Jarzynski型平等的统一表达25V。总结和展望25致谢26A。符号和定义26B。马尔科夫硬币投掷和1D伊辛模型28i参考文献29I。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 06:11:34

引言非平衡等式的发展，如微分定理和Jarzynski等式，是自1990年代以来统计物理学的主要进展之一[1–13]。这些关系包含了有关物质生产在不稳定环境中的变化的信息，并用于推导热力学第二定律。它们被推广到具有测量和反馈控制的系统，并阐明了可提取功与通过测量获得的信息之间的关系[14–16]；因此，麦克斯韦魔鬼的悖论得到了充分的理解[15]。最近，将信息处理纳入热力学是一个备受关注的话题[17–24]。信息是赌徒和恶魔成功的关键。本文的目的是论证一个类似的理论框架可以被发展为g-ambling。凯利在1956年提出了赌博资本增长率与信息理论之间的紧密联系[26]。他证明了重复赛马中的最佳财富增长率是由一个信息理论量（即通道容量）从上方限定的[27]。凯利还考虑了在信息员的帮助下进行赌博，信息员在下注前将结果（可能是错误的）告诉赌徒。Kelly指出，平均资本增长率的最大值的增加是因为来自告密者的信息，即所谓的“附带信息”，是由附带信息和赌博结果之间的相互信息量化的。将资本对数最大化的想法被称为凯利标准，由21点点卡的发明者索普首次应用于实际赌博[28]和股票投资[29]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:11:38

庞德斯通（Poundstone）[31]撰写的《财富公式》（Fortune’s formula）一书将凯利的理论介绍给了更广泛的读者。在本文中，我们推导了几个等式，它们限制了赌博中资本增长率的统计。我们首先考虑二元期权的重复博弈，每个博弈都是独立且相同的，在这种情况下，我们推导出了Jarzynski型等式。在存在旁侧信息的情况下，等式包括反馈控制系统中的功的扩展和赌博之间的相互信息，最近在参考文献[25]中讨论了这两者之间的类比。卡计数是一种利用已发卡的信息来提高赌徒回报的方法。附带信息和赌博的结果。然后，我们将等式推广到具有记忆效应的案例，其中游戏的结果可能取决于过去的结果。在利用附带信息赌博的情况下，我们得到了一个等式，其中包括定向信息[32,33]，这是因果关系的一种度量。derivedJarzynski型等式阐明了信息在赌博资本增长中的作用。我们发现，将Jensen不等式应用于等式，可以重现资本增长率的上界，这类似于从Jarzynski等式推导热力学第二定律[3]。我们在这里展示的独立赌博游戏中的一些等式也是由Bell和Cover使用不同的推理路线推导出来的[34]。从这个意义上说，我们的主要贡献在于概括了赌博与记忆的关系。不过，为了举例说明，我们还是从讨论独立的赌博游戏开始。论文的结构如下。以秒计。二、我们回顾了两人赌博游戏中的凯利准则，它们是独立的和相同的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:11:41

我们解释了平均资本增长率的上限与信息论中的概念之间的关系。以秒计。三、我们推导了二元赌博的独立g ames的几个Jarzynski型等式，并讨论了它们的含义。我们引入了一个称为效率的量，作为衡量赌徒下注的程度以及附带信息的质量。以秒计。四、我们推广了具有记忆效应的二元赌博的Jarzynski型等式，其中的结果可以依赖于过去的结果。我们进一步推广了与赛马的关系，其中包括作为特例的二元投注。这种效应也被推广到具有记忆效应的病例。在第二节的最后一节。四、我们给出了本文讨论的赌博中Jarzynski型等式的统一表达式。第五部分是总结和展望。在附录A中，我们总结了本文件中使用的信息理论量的符号。在附录B中，我们将讨论第节中如何讨论马尔科夫币抛掷。IV被映射到一维伊辛模型。二、KELLY准则和信息理论Let us首先对KELLY准则及其与信息理论的关系进行了教学回顾，使用了一个重复的二元博弈，结果是独立的，且呈身份分布（i.i.d.）。我们证明了平均资本增长率的上界是用信息论中的量子信息来描述的。以秒计。我们讨论了一个简单的二元期权博弈，并引入了凯利准则的概念。不安全。II B，我们研究了附加信息对资本增长的影响。凯利标准让我们考虑一下简单的赌博游戏。玩家在游戏中有二元选择下注。如果玩家赢了，赌场将向玩家支付下注金额的两倍。玩家多次重复游戏。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 06:11:46

让我们用fi表示玩家在第i个游戏上下注的钱的分数。本节假设每场比赛的结果为i.i.d。在米的第1场比赛之前，我们先把球员的首都挖出来。首都随着我的进步而发展-→Mi（1+fi）winMi（1- fi）失败。（1）我们引入一个随机变量yi∈ {1, -1} 表明玩家是否在第i场比赛中获胜或失败。首都的演变写为asMi+1=Mi（1+fiyi）。（2）问题是：为了尽快赚钱，玩家应该下注多少？凯利的食谱如下。让我们来确定玩家在ngames bygn（fn）期间的资本增长率≡nlnMn+1M，（3）是下注分数fn的函数≡ {f，···，fn}。分数对于玩家来说是可控的变量。Kelly的建议是选择fn，以使资本增长率（3）的平均值最大化，该平均值写为sgn（fn）iyn=nlnMn+1Myn=nnXi=1hln（1+fiyi）iyi=nnXi=1[piln（1+fi）+piln（1- fi）]，（4）式中，pi（`pi=1- pi）是玩家在第i场比赛中获胜（失败）的概率，h··iy是关于变量y的平均值。我们用f表示最佳fr动作*n={f*, · · · , F*n} 。因为所有的游戏都是i.i.d.，p=·p=pn≡ p、在本文中，我们使用上标来共同表示变量。分数都是一样的，f*= · · · = F*N≡ F*. 因此，hgn（f*n） iyn=hg（f）*)艾伊≡ 汞（f）*)我只需要考虑一个游戏中的平均资本增长率。D hg（f）iy/df=0的溶液很容易从asf中获得*= P- \'p，（5）其中\'p≡ 1.- p、为了最大化logof Mn+1/Mis的平均值而选择的下注分数称为凯利标准[26]。布雷曼表明，凯利战略在长期战略中明显优于其他战略[35]。自从f*应该满足0≤F*≤ 1，p应该满足p≥ 1/2. F*≤ 1代表p的任何值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-8 06:11:49

当p<1/2时，玩家不应下注，即f*= 0.平均资本增长率的最大值e hg（f*)我得到了hg（f）*)i=ln2- 其中S（Y）是结果的香农熵，可以写成S（Y）=S（p）≡-p-ln-p- “p ln”p.如果p接近1，S（p） 0和hg（f）*)我第二阶段，这意味着玩家每场比赛的资本都会翻倍。在她手上，如果p 1/2，S（p）而玩家很难增加资本。Kelly没有指出，在Kelly准则下，资本增长率（6）只不过是错误率为p（或1）的二元对称信道的信道容量- p）。一般f增长率的方差写为sv[g]=gn（f）- hgn（f）i=p¨pln1+f1- F.（7）在凯利下注的情况下（f=f）*),v[g（f）*)] = p’plnp\'p. （8）尽管从长期来看，凯利博彩是最有利的，但众所周知，它在短期内风险很大，而且资本会受到大波动的影响。为了减少r iskof破产，一种流行的策略是“分数凯利下注”，即赌徒下注凯利分数的一定分数（例如，1/2）。B.有边信息的二元赌博我们在这里考虑存在边信息的二元赌博。在本节中，所有的g游戏都假设为i.i.d.，我们只需考虑一个游戏的资本增长率。游戏的结果用y表示∈ {1, -1}. 玩家在下注前会收到SideX信息。我们用P（y | x）表示agiven边信息x的结果y的概率分布。玩家根据边信息确定资本的分数，因此分数取决于x，f=fx。大写字母表示sMi+1=Mi（1+fxy）。（9）我们定义了资本增长率asg（fx）=lnMi+1Mi=ln（1+fxy）。（10）让我们计算一下这种情况下平均资本增长率的最大值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:11:52

固定x的Kellyfraction由f给出*x=P（y=1 | x）- P（y=-1 | x）。它是1+f*xy=2P（y | x）。（11）凯利赌注下的平均资本增长率由Hg（f）给出*x） ix，y=Xx，yP（x，y）ln2p（y | x）=ln2- S（Y）+I（X:Y），（12）其中P（X，Y）是X和Y的联合概率，S（Y）=- hlnp（y）i是香农熵，i（X:y）≡ hln[P（x，y）/P（x）P（y）]i是相互信息。这是在存在旁侧信息的情况下，人均增长率的最大值。在没有旁侧信息的情况下，前两项为上限。第三项是附加信息的贡献。借助于边信息，资本增长率的上界由边信息和赌博结果I（X:Y）之间的互信息量增加。这种关系量化了附带信息的财务价值。让我们用一个具体的例子来说明这一点。我们考虑的情况是，当玩家收到表格x的侧面信息时∈ {1, -1} 下注前从线人那里得到的。表1的值I：在下注前，在资本单位下注后，将附带信息和游戏结果P（x，y）和金钱联合分布。（x，y）P（x，y）比值(-1.-1） “pq 1- F-1（1，1）pq 1+f(-1,1）p\'q 1+f-1(1, -1） “p”q 1- f(-1）意思是“玩家会赢（输）。”不幸的是，告密者提供的信息可能是错误的。让我们对条件概率asP（x=1 | y=1）=P（x=-1 | y=-1） =q，P（x=-1 | y=1）=P（x=1 | y=-1) = 1 - Q≡ “\'q，（13），其中q是量化侧信息正确性的参数。玩家获胜的概率（lo se）用p（`p）表示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:11:55

g（fx）的平均值为（见表一）hg（fx）ix，y=Xx，yP（x，y）ln（1+fxy）=pq ln（1-F-1） +pq ln（1+f）+p\'q ln（1+f）-1） +p/q ln（1）-f）。（14）我们可以确定分数f*-1和f*给出了hg（fx）ix，ybysolving的最大值 hg（fx）ix，y/f=0和 h g（fx）ix，y/F-1= 0. 解决方案是F*-1=p'q- “pqp”q+“pq，f*=pq- “p”qpq+“p”q.（15）平均资本增长率的最大值*x） ix，y=\'pq ln2\'pqp\'q+\'pq+p\'q ln2p\'qp\'q+\'pq+pq LN2PQ+\'p+\'p\'q=ln2- S（Y）+I（X:Y），（16）其中S（Y）=S（p）=-p-ln-p- “p ln”p，我们使用p（x=1）=pq+“p”q和p（x=-1） =p‘q+’pq。三、独立博弈的JARZYNSKI型等式从到目前为止的讨论中，我们了解到，平均人均l增长率ingambling是有界的，g（f）≤ 液氮- 例如，在没有附加信息的二进制赌博的情况下，S（Y），（17）。这种关系可以被视为赌场的“第二定律”。如果人们回忆起热力学第二定律是从积分涨落定理（IFT）推导出来的，人们可能会想，也可能有一个相应的类似于IFT的方程，它可以导出等式（17）。正如下文所示，在第二节讨论的所有情况下，实际上都存在这样的等式。下面我们认为赌博的结果是不对称的∈ {R，-\'R}，其中R和\'R是正数。我们引入以下量，Q（y=R）=\'RR+\'R，Q（y=-\'R）=RR+\'R.（18）Q（y）可被视为概率分布，因为Q（y）∈ （0:1）和Pyq（y）=1。后来被广泛使用的Q（y）的一个重要性质是y在Q（y）上的平均值为零，XyyQ（y）=0。（19）我们还表示sqy≡ - lnq（y）。（20） A.简单二进制赌博在没有第节讨论的附带信息的简单二进制赌博中。II A，以下等式成立。定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 06:11:59

1设g（f）为资本增长率，其中有一个下注分数f。g（f）满意度经验g（f）+sy- sQyy=1，（21），其中sy=- ln P（y），其平均值为香农熵py，hsyi=S（y）。在非平衡态物理学的背景下，sy被称为轨迹（随机）entr opy[11]证明。LHS=（1+fy）Q（y）P（y）y=Xy（1+fy）Q（y）=1，（22），其中我们使用了Q（y）的范数，Pyq（y）y=0。方程（21）表示增长率和结果的（随机）熵之间的平衡。我们可以从公式（21）中复制凯利策略下的人均增长率上限。因为指数函数的凸性（exp[hF i]≤ hexp F i），式（21）表示Hg（F）iy≤ DKL（P（y）| | Q（y）），（23），其中DKL（·| |·）是Kullback-Leibler散度（见附录A或定义）。在偶数下注的情况下（y）∈ {1, -1} ），增长率的界限写为ashg（f）iy≤ 液氮- S（Y），（24），等于通过显式最大化hg（f）iy获得的资本增长率（6）的上限。B.带边信息的二元赌博在第节讨论的边信息下带二元期权的赌博中。II B，资本增长率满足以下等式。定理。2.假设下注分数fx是共振峰信息x的函数。资本增长率g（fx）服从经验g（fx）+sy- 伊克西- sQyx、 y=1，（25），其中ixy≡ ln[P（x，y）/P（x）P（y）]，平均时给出互信息，hixyi=I（x:y）。在非平衡等式的讨论中，参考文献中引入了IXY。[16, 36]. 方程（25）是反馈控制下广义Jarzynski等式的一部分。证据经验g（fx）+sy- 伊克西- sQyx、 y=（1+fxy）Q（y）P（y | x）x、 y=Xx，y（1+fxy）P（x，y）Q（y）P（y | x）=Xx，y（1+fxy）P（x）Q（y）=1，（26），其中我们在最后一行使用了Q（y）的范数，Pyq（y）y=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:02

等式（25）限制了资本增长率、结果熵和获得的副信息的统计。利用Jensen不等式exp[hF i]≤ hexp fi，可以导出hg（fx）ix，y，hg（fx）ix，y的上界≤ DKL（P（y）|Q（y））+I（X:y）。（27）在偶数下注的情况下（y）∈ {1, -1} hg（fx）ix，y≤ 液氮- S（Y）+I（X:Y），（28），与式（12）一致。同样，我们能够从质量（25）中推导出K elly界。在存在旁侧信息的情况下，等式（21）的RHS偏离统一。让我们把这个量记为γ，γ≡经验g（fx）+sy- sQyx、 y，（29）也可以写成γ=1+Xx，yfxyP（x | y）Q（y）。（30）我们将γ称为有效性[16]，因为γ是衡量玩家如何有效地使用附带信息的一个指标。如果一个人把γ表示为γ，这个意思就很明显了-1=hexp[Axy- ixy]ihexp[Axy]i hexp[-ixy]i，（31）Axy在哪里≡ g（fx）+sy- sQy，我们使用等式（25）和一个平凡的恒等式hexp[-ixy]i=1。因此，γ是Axy和互信息ixy之间相关性的度量。如果附带信息对资本增长没有影响，γ=1。当附带信息有助于增加资本增长时，它可以大于1。为了明确地看到这一点，让我们对条件概率P（x | y）asP（x=-\'R|y=-\'R=P（x=R | y=R）=q，（32）P（x=-\'R|y=R=P（x=R|y=-\'R）=\'q.（33）参数q量化了x和y之间的相关性。值q=1/2表示没有相关性，而q=1表示完美相关性。有了参数q，效率表示为γ=1+R\'RR+R（f- F-1）（q）- q）。（34）在没有相关性的情况下（q=’q=1/2），效率为单位，γ=1。即使q 6=1/2，如果玩家忽略获得的边信息（f=f-1） γ又是统一。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:05

如果q6=1/2且玩家下注良好，则γ变得大于1。正如我们在上面所看到的，效率取决于选择的策略，以及附带信息的性质。当赌徒选择凯利策略时，效率的形式很简单，γ*= hexp[ixy]ix，y=Xx，yP（x | y）P（y | x），（35）式中γ*是凯利战略下的效力。γ的上界*可以找到γ*= hexp[ixy]ix，y=经验sy- sy|xx、 y≤ hexp[sy]iy=Xy1=NY，（36）其中sy | x≡ - lnp（y | x）和NY=2是可能结果的数量，我们使用了属性sy |x≥ 0.有效性可用于检测赌博中使用的辅助信息。假设赌场里有个赌徒，我们不知道赌徒是否在秘密使用机密信息。如果我们知道赌徒下了多少赌注，赌博的结果，以及结果的概率分布，我们就可以计算出h··i inEq中的数量。(2 9). 观察赌徒在多个游戏中的行为并取平均值，我们可以评估其效果。如果赌徒使用的是内幕信息，那么效果就会偏离统一性。C.注释：关于本节中得出的等式，有几条注释是正确的所得到的关系适用于任何投注策略的选择，并且不受凯利投注的限制。这与Jarzynski等式的情况类似，它适用于任何远离平衡的过程[3]。o在以上讨论的所有情况下（除涉及效率的情况外），可将获得的质量改写为以下形式：，例如（f）-g（f）*)= 1，（37）可通过注释1+f进行验证*y=P（y）/Q（y），适用于无旁侧信息或1+f的情况*xy=P（y | x）/Q（y）在存在旁侧信息的情况下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:08

方程式（37）是在贝尔和Cover[34]以不同方式进行股票投资的情况下推导出来的。由于赌博可以被视为某种形式的股票投资，情商（37）是他们结果的特殊情况。以秒计。四、我们将这个等式推广到具有记忆效应的赌博。四、具有记忆效应的赌博的JARZYNSKI型等式我们假设所有的游戏都是独立且相同的。在这里，让我们考虑更一般的情况，每一次赌博都可能取决于过去的结果。也就是说，我们利用记忆效应进行赌博。我们将发现，Jarzynskit型等式可以推广到这些情况。以秒计。IV A，我们讨论了无边信息的二进制博弈，并在Sec中考虑了有边信息的情况。IV B.不安全。IV C，我们将等式推广到更一般的一类具有任意多个选项和任意支付函数的遗传算法。以秒计。IV D，我们给出了本文推导的等式的统一表达式。A.简单的二元博弈这里我们把没有附带信息的简单二元博弈推广到有记忆效应的情况。我们确定了n届奥运会期间的资本增长率asgn（fn）≡nlnMn+1M=nnXi=1lnMi+1Mi=nnXi=1ln1+fi（易）-1）易, （38）其中第i局的下注分数为Fi，而yi∈ {R，-\'R}。f对IME的依赖性意味着玩家可以自适应地改变下注策略。分数fi=fi（yi-1）是过去结果的函数，易-1={y，···，yi-1}. 资本增长率的平均值写为ashgn（fn）iyn=XynP（yn）gn（fn），（39），其中P（yn）=P（y，··，yn）是比赛结果的联合概率。我们定义了概率分布Q（yn）byQ（yn）≡YiQ（yi），（40），其中Q（yi）由Q（yi=R）=R/（R+）-R）和Q（yi=R）定义-\'R）=R/（R+\'R）。后来我们使用了Q（yi）、XyiQ（yi）=1、（41）和xyiyiyiq（yi）=0的性质。（42）我们还表示sqyn≡ - lnq（yn）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:11

（43）定理。3对于具有记忆效应的二元赌博，资本增长率gn（fn）满足指数phngn（fn）+syn- sQyniEyn=1，（44）其中syn≡ - lnp（yn）=- lnp（y，··，yn）。证据Dexphngn（fn）+syn- sQyniEyn=XynnYi=1（1+fi（yi-1） yi）Q（yi）=Xyn1+fn（yn）-1）伊恩Q（yn）n-1Yi=1（1+fi）yi-1） yi）Q（yi）。（45）扩大第一个括号，第二项在公式（42）中求和时消失。重复这个过程，Dexphngn（fn）+syn- sQyniEyn=XynQ（yn）=1，（46），其中使用Q（yn）[Eq.（41）]的归一化。将詹森不等式应用于等式（44）可得出hgn（fn）iyn≤nDKL（P（yn）| | Q（yn））。（47）通过选择博彩分数asf，不等式（47）达到饱和*i=RP（yi=R | yi）-1) -\'-RP（yi=-“R|yi”-1） R’-R.（48）选择分数，1+f*iyi=P（yi | yi）-1） Q（yi），（49），平均资本增长率为*n） iyn=nXynP（yn）nXi=1lnP（yi | yi-1） Q（yi）=nDKL（P（yn）| | Q（yn）），（50），其中我们使用联合概率P（yn）=QiP（yi | yi）的分解-1). 就连莫尼赌博（易建联）∈ {1, -1} ），hgn（fn）iyn≤ 液氮-nS（Yn），（51）其中S（Yn）≡ - hln P（yn）是结果的熵。平均资本增长率的最大值由yn，S（yn）的熵决定。也就是说，不确定性的大小决定了赌徒能赚多少钱。yiis的顺序越可预测，玩家的资本增长越快。举个例子（马尔可夫抛硬币）让我们考虑一下用硬币赌博。首先，商人把一枚硬币放在桌子上。然后，经销商拍了拍桌子。硬币的浮动取决于庄家在桌子上的力度。如果硬币是正面（反面），玩家赢（输）。下一场比赛是通过再次击球来完成的。在这场赌博中，结果产生了马尔可夫记忆效应P（yi | yi）-1） =P（yi | yi）-1).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:16

我们将第i场比赛的结果与之前的结果asP（yi=1 | yi）的相关性参数化-1= -1） =P（yi=-1 |易-1=1）=（52）P（yi=1 |yi）-1=1=P（yi=-1 |易-1= -1） =\'，（53）其中0<<1为常数，且≡ 1.- . 参数是硬币的翻滚概率。让我们假设硬币的表面最初是随机的，P（y=1）=P（y）=-1） =1/2，其中Ys是作为虚拟变量引入的，而不是实际下注开始数n=1。在这个模型中，P（yi=1）=P（yi=-1） =1/2对于任何i，如果不使用相关性，就不可能增加资本。赌徒可以通过利用下一场比赛的结果与过去的结果之间的相关性来赚钱。jo int分布的熵P（yn）=P（y，···，yn）可以通过asS（yn）=- hln P（yn）iyn=-nXi=1hln P（yi | yi-1）伊伊，易-1=（n）- 1） S（）+ln2，（54）其中S（）≡ -ln-ln。注意，当P（yi | yj）=P（yi）为空时，我们使用的符号。例如，式（54）中的P（y | y）=P（y）。式（47）的RHS为byRHS=n- 1n[ln 2- S（）]。（55）另一方面，我们可以通过选择1+f的分形明确地最大化增长率*iyi=2P（yi | yi）-1）满足。该分数选择的平均资本增长率为*)iyn=nnXi=1hln（1+f*iyi）i=nnXi=1hln 2P（yi | yi-1） i=n- 1n[ln 2- S（）]，（56）与界（54）重合，不等式（47）是饱和的。由于AcquiredGrowth rate（54）为正，玩家有机会增加资本，除非硬币的流动是完全随机的（即=1/2）。如附录B所述，此处讨论的马尔科夫硬币可以映射到一维伊辛模型。抛硬币结果的顺序与一维伊辛自旋的配置一致。B

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:19

带边信息的二元赌博我们在这里研究带记忆效应和边信息的二元赌博。在第i场比赛中，玩家根据过去的结果确定下注分数-1和边信息xi={x，···，xi}，所以分数写为fi=fi（xi，yi）-1).n次下注期间的资本增长率定义为ashgn（fn）ixn，yn≡NlnMn+1Mxn，yn。（57）在这种情况下，我们也可以显示Jarzynski型关系。定理。4对于具有记忆效应和副信息的二元下注，Dexphngn（fn）+syn- ixn→伊恩- sQyniExn，yn=1，（58）其中≡ - lnp（yn），ixn→伊恩≡ lnP（yn | | xn）P（yn），sQyn≡ - lnq（yn）。（59）表达式P（yn | | xn）≡QiP（yi | yi）-1，xi）是基于xn的Yn的概率分布。证据公式（58）的LHS计算为dexphngn（fn）+syn- ixn→伊恩- sQyniExn，yn=齐（1+fi）（xi，yi）-1） yi）Q（yi）P（yn | | xn）xn，yn=Xyn，xnP（yn，xn）P（yn | | xn）Yi（1+fi（xi，Yi）-1） yi）Q（yi）=Xyn，xnP（xn | | yn-1）易（1+fi）（xi，易-1） yi）Q（yi）=Xyn，xnYi（1+fi（xi，yi）-1） yi）P（xi | xi）-1，易-1） Q（易）≡ ,（60）其中我们使用了联合概率P（yn，xn）=P（yn | | xn）P（xn | | yn）的分解-1）以及P（xn | | yn）的定义-1）（见附录A）。让我们来定义（易，习）≡ (1+fi)(xi,yi)-1） yi）Q（yi）P（xi | xi-1，易-1). 表情可以写成 =Xyn，xnnYi=1Ai（yi，xi）=Xyn，xnAn（yn，xn）n-1Yi=1Ai（yi，xi）=Xyn，xn1+fi（xn，yn）-1）伊恩Q（yn）P（xn | xn-1.yn-1） n-1Yi=1Ai（yi，xi）。（61）如果我们展开最后一行中的括号，第二项将消失，因为它在ynandPynynQ（yn）=0中是线性的。对xn进行求和（注意pxnp（xn | xn-1.yn-1） =1），并重复相同的程序n次， =Xyn，xn-1Q（yn）n-1Yi=1Ai（yi，xi）=···=XynQ（yn）=1。（62）使用Jensen不等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:22

（58），我们得到了平均资本增长率ashgn（fn）ixn，yn的界≤nDKL（P（yn）|Q（yn））+nIdr（Xn）→ Yn），（63）其中IDR（Xn）→ （伊恩）≡ hixn→ynixn，yn=lnP（yn | | xn）P（yn）xn，yn。（64）数量Idr（Xn→ Yn）是来自Xnto Yn的定向信息，这是因果关系的度量[32,33,37]。相关度量，例如X和Y之间的互信息和互相关，在X和Y的交换下是对称的，并且不能捕获影响的方向性。定向信息量化了信息的“定向”流动，有助于揭示交互系统之间的因果影响。当玩家下注分数f时，不平等性（63）达到饱和*i=RP（yi=R | yi）-1，xi）-\'-RP（yi=-“R|yi”-1，xi）R’-R.（65）这个选择意味着“玩家应该根据所有可用信息下注凯利分数。”选择这个分数，1+f*iyi=P（yi | yi）-1，xi）Q（yi），（66），可以很容易地检查等式（63）是否饱和。在对称下注的情况下（y∈ {1, -1} ，DKL（P（yn）|Q（yn））=n ln 2- S（Yn）和t平均资本增长率的上限写为ashgn（fn）ixn，Yn≤ 液氮-nS（Yn）+nIdr（Xn→ （伊恩）。（67）示例（附带信息的马尔可夫硬币抛掷）让我们在上一节讨论马尔可夫硬币抛掷的扩展。商人拍了拍桌子，像以前一样试着把硬币弄脏。这一次，第i场比赛的起跳率是一个随机变量。玩家从庄家那里推断出牌价（庄家拍打桌子的力度）。我们表示硬币asP（yi | yi）的浮动率-1，θi）=θiyi6=yi-1，’θiyi=yi-1，（68）式中θi∈ [0:1]是一个随机变量。玩家测量下注率，并根据测量的下注率确定下注分数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:25

我们假设硬币的初始面是随机的，P（y=1）=P（y=-1) = 1/2.让我们计算公式（67）的RHS。从mΘ到YnreadsIdr（Θn）的定向信息→ （伊恩）=lnP（yn |θn）P（yn）θn，yn=hlnp（y |θ）iy，θ+nXi=2hlnp（yi | yi）-1，θi）iyi，yi-1，θi+S（Yn）=- 液氮-nXi=2hS（θi）iθi+S（Yn），（69）其中S（p）≡ -p-ln-p- “p ln”p是二元熵函数，我们使用p（yi）=1/2，因为硬币的初始状态是随机选择的。如果硬币的表面与测量的浮力ra t e，P（yi | yi）无关-1，θi）=P（yi | yi-1），则定向信息消失，Idr（Θn）→ Yn=0。因此，等式（67）的RHS被写成RHS=n- 1nln 2-nnXi=2hS（θi）iθi.（70）凯利下注下的资本增长率计算如下。注意到1+f（易）-1，θi）yi=1+f（yi）-1，θi）yi=2P（yi | yi）-1，θi），（71）平均资本增长率ishg（f）*n） iθn，yn=nnXi=1自然对数1+f（易）-1，θi）yi=nnXi=2hln 2P（yi | yi）-1，θi）i+nhln 2P（y |θ）i=n- 1nln 2-nnXi=2hS（θi）iθi，（72），这里我们再次使用P（yi）=1/2。这与等式（70）一致，不等式（67）是饱和的。假设θi服从均值为p且方差为σ的高斯分布，θi与方差无关。当σ与p相比很小且p=1时- p、定向信息IDR（Θn）→ Yn）近似为asIdr（Θn）→ （伊恩）（n）- 1） σ2p′p.（73）由于附加信息δhg对最大资本增长率的额外贡献*我≡ 汞（f）*n） iθn，yn- 汞（f）*n）因此，iyn被写成δhg*i=nIdr（Θn）→ （伊恩）N- 因此，随机波动率θ总是帮助赌徒，它是波动率方差的递增函数。让我们找到假设赌徒遵守凯利战略的有效性表达式。这种效率可以用类似于无记忆情况的方式来定义[见等式（92）]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:28

如下一节所示，凯利策略下的效率写为γ*= hexp[iθn→我们可以计算γ*as（γ）*)n=hexp[iθn→[yn]我=P（yn |θn）P（yn）yn，xn=Xyn，θnP（yn，θn）P（yn |θn）P（yn）=Xyn，θnP（y，θ）P（y |θ）P（y）nYi=2P（yi，θi | yi）-1，θi-1） P（yi | yi）-1，θi）P（yi | yi）-1).（75）注意到P（yi，θi | yi）-1，θi-1） =P（yi，θi | yi）-1） P（yi，θi | yi）-1） =P（yi | yi）-1，θi）P（θi | yi-1） =P（yi | yi）-1，θi）P（θi），（γ）*)n=Xyn，θnP（y，θ）P（y |θ）P（y）nYi=2P（yi | yi）-1，θi）P（θi）P（yi | yi）-1). （76）式（76）中的总和可以用与一维伊辛模型的传递矩阵法类似的方法计算。在当前模型中，出现在inEq中的边际通货膨胀率。（75）是asP（易|易）写的-1） =XθiP（yi，θi | yi）-1） =XθiP（yi | yi）-1，θi）P（θi）=p yi6=yi-1，\'p yi=yi-1.（77）让我们定义矩阵偏差[Bi]yiyi-1.≡XθiP（yi | yi）-1，θi）P（θi）P（yi | yi）-1)=h′θii′phθiiphθiiph′θii′p=\'p+σ\'pp+σpp+σp\'p+σ\'p. （78）这些矩阵实际上都是相同的，我们把它们表示为B≡ 毕。还注意到P（y）=P（y |θ）=1/2，效率可以用这些矩阵的乘积表示为（γ）*)n=Xa=1nYi=2Bi1/21/2a=Xa=1（B） n-1.1/21/2a=1+σp\'-pN-1.（79）因此，在当前近似中，效率和定向信息由（式（73）和式（79））γ关联*=1+n- 1Idr（Θn）→ （伊恩）1.-n、（80）C.泛化：有边信息的赛马我们在这里把Jarzynski型等式推广到一种赌博，在这种赌博中，玩家有多种选择，可以借助边信息下注。这种情况实际上与赛马相对应，在赛马中，一场比赛的每个结果都取决于第一场比赛的结果。赛马可以被视为前几节讨论的二元下注情况的推广。关于赛马资本增长率上限的讨论，见参考文献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:32

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:36

利用詹森不等式，我们得到了资本增长的界，hgn（fn，on）iyn，xn≤nhln o（yn）iyn，xn-nS（Yn）+nIdr（Xn→ Yn），（89）我们使用hixn的地方→ynixn，yn=Idr（Xn→ （伊恩）。在“公平统一”的赔率下（o（yi | yi）-1） =M表示任何i，其中M表示比赛中的马数），hgn（fn，on）iyn，xn≤ 在M-nS（Yn）+nIdr（Xn→ Yn），（90），再现了参考文献中获得的结果。[40, 41]. 当玩家选择下注分数asf（yi | yi）时，上界（89）就达到了-1，xi）=P（yi | yi-1，xi）。（91）这种效应也可以直接扩展到具有记忆效应的情况，我们将其定义为γ≡hexp[ngn（fn，on）+syn- ln o（yn）]iyn，xn1/n.（92）效率也写为γ-n=hexp[Axnyn- ixn→yn]iyn，xnhexp[Axnyn]iyn，xnhexp[-ixn→yn]iyn，xn，（93）Axnyn在哪里≡ ngn（fn，on）+syn- 在o（yn）中，我们使用了hexp[-ixn→yn]iyn，xn=1和q。(85). 从表达式（93）可以明显看出，效率衡量的是资本增长率和信息流之间的相关性。如果赌徒要采取凯利策略，效果写为γ*=hexp[ixn→yn]iyn，xn1/n，可表示为（γ*)n=hexp[ngn（fn，on）+syn- ln o（yn）]iyn，xn=f（yn | | xn）P（yn）yn，xn=P（yn | | xn）P（yn）yn，xn=hexp[ixn→yn]iyn，xn，（94），其中使用了f（yn | xn）=P（yn | xn）对凯利下注有效的事实。γ的上界*被发现为γ*=hexp[ixn→yn]iyn，xn1/n=经验syn- syn | | xnyn，xn1/n≤hexp[syn]iyn1/n=Xyn！1/n=M，（95），其中syn | | xn≡ - lnp（yn | | xn）和a，我们使用了属性syn | | xn≥ 0.D.gambling中Jarzynski型等式的统一表达式这里我们给出赌博中Jarzynski等式的统一表达式。本文所示形式h··i=1的等式可写成以下形式：，英[gn（fn）-gn（f）*n） ]yn，xn=1，（96），其中fn是n次博弈的下注分数，f*根据凯利策略确定下注分数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:40

投注分数可能取决于过去的结果，也取决于附带信息。无论选择何种下注方式，这种平等都是成立的。等式（96）是Bell和Cover结果[34]对具有记忆效应的赌博的推广。V.总结与展望在本文中，我们导出了赌博中新的Jarzynski型等式。基于这些关系，我们讨论了记忆的附带信息如何影响赌徒的资本增长。本文的主要结果总结如下：o简单的二进制赌博→ Eqs。（21）和（44）o附带信息的二进制赌博→ Eqs。（25）和（58）o具有辅助信息和记忆效应的赛马→ 等式（85）o引入有效性→ Eqs。（29）和（92）赛马平等是最普遍的平等。我们还提供了本文所示的Jarzynski型关系的统一表达式（涉及效率的除外）。(9 6). 这些等式通过应用詹森不等式重现了已知的资本增长率的凯利·博恩兹。在使用辅助信息下注的情况下，信息的财务价值由独立重复下注中的多个信息和具有记忆效应的定向赌博信息确定。我们在等式中定义了有效性。（29）和（92），这是衡量赌徒利用附带信息的程度。我们证明了当赌徒在凯利策略下下注时，效率允许一个简单的表达式[Eqs.（35）和（94）]，并讨论了它的上限。最后，让我们谈谈未来可能的发展方向适用于实际赌博。一个有趣的方向是对实际赌博的分析。21点是个不错的候选人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-8 06:12:44

在21点游戏中，玩家可以利用已经开放的汽车ds的信息来提高回报率。这种方法被称为“卡片计数”[30]。玩家为每张牌指定一个数字，并将所有已发牌的数字相加。总数被称为计数，这是对鞋牌组成的衡量。真正的计数，即计数除以剩余甲板的数量，表示预期收益。卡片上的重量有很多可能的选择。计算系统的性能由一个称为下注相关性的量来评估。在凯利标准下，作为改善相关性的函数，可以估计财富的增长率扩展到股票投资。虽然我们在本文中关注的是赌博，但将这种平等延伸到股票投资中是非常有趣的。非平衡物理学中发展出来的贾辛斯基质量和波动定理等概念可能有助于揭示信息在金融世界中的作用。致谢。广野感谢S.Nakayama进行了有益的讨论，并仔细阅读了手稿。Y.Hirono得到了JSPS青年科学家研究金的支持。这项工作得到了RIKEN iTHES项目的部分支持。这项工作还得到了JSPS战略青年研究员海外访问计划（编号R2411）的支持。附录A：符号和定义这里我们总结了文本中使用的信息理论量的符号和定义。随机变量X的一个函数由它的小写字母X表示，在这种情况下为X。Werthamer[42]的一本新书全面分析了21点的数学方面。设{xi}，{yi}为随机变量的时间序列。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:47

上标为9的变量表示从1到n的变量，统称为xn≡ {x，···，xn}。（A1）我们假设变量的依赖关系是因果的，这意味着如果j<i，概率分布P（xi）依赖于xjonly。联合概率（xn）分解为asP（xn）=YiP（xi | xi）-1）式中，P（x | y）是条件概率。变量{x，y，···}的平均值用h··ix，y，···表示。下标可以省略，在这种情况下，所有随机变量的平均值都可以忽略。Xn={X，··，Xn}isS（Xn）的香农熵≡ - hln P（xn）ixn=-XxnP（xn）ln P（xn）。（A3）分布Q（y）与另一个分布P（y）的库尔贝克-莱布勒散度由dkl（P（y）| | Q（y））定义≡XyP（y）lnP（y）Q（y）。（A4）随机变量X和Y之间的互信息由i（X:Y）定义≡lnP（x，y）P（x）P（y）x、 y=Xx，yP（x，y）lnP（x，y）P（x）P（y）。（A5）我们使用了Kramer[33]开发的下列因果条件符号。XnCa的概率分布通常以yn为条件-dis表示asP（xn | | yn）-d）≡nYi=1P（xi | xi）-1，易-d）。（A6）如果我- D≤ 0，易-dis设置为null。大多数情况下，使用d=0，1的情况：P（xn | | yn）=nYi=1P（xi | xi）-1，yi），（A7）P（xn | | yn-1） =nYi=1P（xi | xi）-1，易-1). （A8）x和yn的联合概率被分解为asP（xn，yn）=P（xn | | yn）P（yn | | xn）-1). （A9）∵ P（xn，yn）=叶（xi，yi | xi-1，易-1） =叶（xi | xi）-1，yi）P（yi | xi-1，易-1） =P（xn | | yn）P（yn | | xn）-1).（A10）因果条件熵定义为asS（Xn | | Yn）≡ - hlnp（xn | | yn）i=nXi=1S（Xi | Xi）-1，易）。（A11）梅西[32]介绍的定向信息定义为asIdr（Yn）→ Xn）≡ S（Xn）- S（Xn | | Yn）。（A12）它可以明确地写为ADR（Yn）→ Xn）=lnP（xn | | yn）P（xn）=xilnP（xi+1 | xi，yi+1）P（xi+1 | xi）.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:51

（A13）附录B：马尔科夫硬币抛掷和1D伊辛模型我们在这里展示了第节中讨论的马尔科夫硬币抛掷的等效性。IV A采用一维伊辛模型。在不丧失一般性的情况下，我们可以将条件概率P（yi+1|yi）asP（yi+1|yi）=exp[βJ yi+1yi]2 coshβJ.（B1）参数化，可以看到0<P（yi+1|yi）<1，并且也可以满足标准化条件Pyi+1P（yi+1|yi）=1。新参数J可以与波动率相关，如βJ=ln。（B2）通过以下方式重写P（yn）的非规范化条件，伊辛模型的对应关系是明显的：1=XynP（yn）=xynxp“xilnp（yi+1 | yi）#=（2 coshβJ）nXynexp”XiβJ yi+1yi#≡trE-βHZ.（B3）因此，数值是伊辛模型的配分函数的定义，没有外部场。当fi（Yi | Yi）时，g的指数平均值写成ashexp[ngn]iyn=XynP（yn）Yi（1+fiyi）=（2 coshβJ）nXynexp“XiβJ Yi+1yi+Xiln（1+fiyi）#（B4）-1）独立于易-1，RHS的分子是伊辛模型的配分函数，是一种奇怪的磁场形式。在一维中，伊辛模型在特定温度下不会出现对称性破坏。在马尔可夫抛币的背景下，对称性破坏的缺失与以下事实相对应：在一定的值下，在一定的试验次数后，硬币会浮起，“磁性”总是消失，limn→∞nXihyii=0。（B5）[1]丹尼斯·J·埃文斯、E·格德·科恩和GP莫里斯。希林斯泰迪州违反第二定律的可能性。《物理评论快报》，71（15）：24011993。[2] 丹尼斯·J·埃文斯和黛布拉·J·西尔斯。产生第二稳态的平衡微态。物理评论E，50（2）：16451994。[3] 克里斯托弗·贾津斯基。自由能差的非平衡相等。物理评论，78（14）：26901997。[4] 加文·克鲁克斯。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:54

熵产函数定理和自由能差的非平衡功关系。物理回顾E，60（3）：27211999。[5] Joel L Lebowitz和Herbert Spohn。随机动力学大d方向泛函中的gallavotti–cohen型对称性。统计物理杂志，95（1-2）：333–365，1999年。[6] 豪尔赫·库昌。量子涨落定理。arXiv预印本cond mat/00073602000。[7] 哈尔·塔萨基。量子系统的Jarzynski关系及其应用。arXiv预印材料/00092442000。[8] Hatano Takahiro和Shin ich i Sasa。朗之万系统的稳态热力学。《物理评论快报》，86（16）：34632001年。[9] Christopher Jarzynski和Daniel K.W\'ojcik。热交换的经典和量子膨胀定理。菲斯。牧师。莱特。，2004年6月92:230602。[10] 原田隆弘和佐佐慎一。将能量耗散与破坏波动响应关系联系起来的等式。《物理评论快报》，95（13）：130602，2005年。[11] 乌多·塞弗特。沿s-tochastic轨迹的熵产生和积分函数定理。菲斯。牧师。莱特。，2005年7月95:040602。[12] 大卫·安德烈和皮埃尔·加斯帕德。电流涨落定理与Schnakenberg网络理论。《统计物理杂志》，127（1）：107–131，2007年。[13] 米歇尔·坎皮西、彼得·塔克纳和彼得·亨吉。任意开放量子系统的涨落定理。菲斯。牧师。莱特。，2009年5月102:210401。[14] 佐川隆弘和上田正彦。热力学第二定律与离散反馈控制。《自然评论快报》，100（8）：0804032008。[15] 佐川隆弘和上田正彦。热力学信息处理的最低能源成本：测量和信息擦除。物理回顾信，102（25）：2506022009。[16] 佐川隆弘和上田正彦。非平衡反馈控制下的广义jarzynski等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:12:59

《自然评论快报》，104（9）：0906022010。[17] Dibyendu Mandal和Christopher Jarzynski。maxwells demon的可解模型中的工作和信息处理。美国国家科学院院刊，109（29）：11641-116452012。[18] 安德烈·卡多佐·巴拉托和乌多·塞弗特。一个自主可逆的麦克斯韦恶魔。EPL（欧洲物理学通讯），101（6）：600012013。[19] Dibyendu Mandal、HT Quan和Christopher Jarzynski。麦克斯韦冰箱：一个可精确求解的模型。《物理评论》勒特尔斯，111（3）：030602，2013年。[20] AC Barato和U Seifert。统一了随机热力学中信息处理的三种观点。《物理评论快报》，112（9）：0906012014。[21]塞巴斯蒂安·德弗纳和克里斯托弗·贾津斯基。信息处理和热力学第二定律：一种包容的哈密顿方法。物理回顾X，3（4）：041003，2013年。[22]安德烈·巴拉托、戴维·哈蒂奇和乌多·塞弗特。蜂窝信息处理的效率。《新物理学杂志》，16（10）：1030242014。[23]胡安·帕龙多先生、乔丹·M·霍洛伊茨和佐川隆弘。信息热力学。《自然物理学》，11（2）：131-1392015。[24]乔丹·M·霍洛维茨和亨里克·桑德伯格。第二定律与信息不平等及其解释类似。《新物理学杂志》，16（12）：125007，2014年。[25]Dror A Vinkler、Haim H Permuter和Neri Merhav。赌博和基于测量的工作抽取之间的类比。信息论（ISIT），2014 IE EE国际研讨会，第1111-1115页。IEEE，2014年。[26]约翰·L·凯利。对信息速率的新解释。信息论，IRE Transactionson，2（3）：185-1891956。[27]克劳德·香农。保密系统的通信理论*。贝尔系统技术期刊，28（4）：656-7151949。[28]爱德华·索普。最理想的赌博系统。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 06:13:02

《国际统计研究所评论》，第273-293页，1969年。[29]爱德华·索普。投资组合选择和凯利准则。《随机模型财务》，1971年第599-619页。[30]爱德华·索普。击败庄家：21人游戏的制胜策略。复古，1966年。[31]威廉·庞德斯通。《财富》的公式：科学博彩系统击败赌场和华尔街的不为人知的故事。麦克米伦，2010年。[32]J梅西。因果关系、反馈和定向信息。在程序中。国际研讨会。Inf.理论应用。（ISITA-90），第303-305页。Citeseer，1990年。[33]格哈德·克莱默。D有反馈的渠道的直接信息。加拿大曼尼托巴大学博士论文，1998年。[34]罗伯特·M·贝尔和托马斯·M·盖普。对数投资的竞争最优性。运筹学数学，5（2）：161–166，1980年。[35]我是布莱曼。最佳赌博系统，1961年。[36]Jordan M Horowitz和Suriyanarayanan Vaikuntanathan。重复离散反馈的非平衡详细扩散定理。物理评论E，82（6）：0611202010。[37]詹姆斯·L·梅西和彼得·C·梅西。保护相互和定向信息。《信息论》，2005年。ISIT 2005。诉讼。国际研讨会，第157-158页。IEEE，2005年。[38]伊藤崇介和佐川隆弘。因果网络的信息热力学。《物理评论快报》，111（18）：1806032013年。[39]Thomas M Cover and Joy A Thomas。信息论的要素。约翰·威利父子公司，2012年。[40]哈伊姆·佩尔穆特、金永汉和蔡希·魏斯曼。关于定向信息和赌博。《信息论》，2008年。ISIT 2008。IE EE国际研讨会，第1403-1407页。IEEE，2008年。[41]哈伊姆·H·佩尔穆特、年轻的韩金和Tsachy Weissman。在投资组合理论、数据压缩和假设检验中对定向信息的解释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝