弱链矩阵、策略迭代和脉冲控制

2022-5-9 07:22:23

弱链矩阵、策略迭代和脉冲控制。阿齐姆扎德*P.A.福赛斯*与组合随机和脉冲控制问题有关的变分不等式（HJBKVIS）。特别地，我们考虑（i）直接控制，（ii）惩罚，以及（iii）应用于HJBKVI问题的半拉格朗日离散化方案。方案（i）的形式是一个涉及操作员的行李员问题，该操作员不需要控制。我们考虑Bellman问题的适定性，并给出相应策略迭代收敛的充分条件。为此，我们使用弱链对角占优矩阵，它给出了弱对角占优M-矩阵的图论特征。我们在以下示例下比较了方案（i）-（iii）：（a）汇率的最优控制，（b）具有固定和比例交易成本的最优消费，以及（c）在可变年金中定价保证的最低提款收益。我们发现应该避免使用方案（i）。关键词。Hamilton-Jacobi-Bellman方程，组合随机和脉冲控制，政策迭代，弱链对角占优矩阵，最优汇率，最优消费，GMWBAMS主题分类。65N06，93E201简介这项工作的动机是计算与组合随机和脉冲控制相关的Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式（HJBQVI）的数值解。这些问题的形式是：问题。找到HJBQVI0=F（t，x，u，Du（t，x），Du（t，x））的粘度溶液（见[17，定义2.2]）：-maxsupw∈W(U吴天宇- ρu+fw），μ- U在[0，T）×上(Ohm \\ ∧最大值（g）- u、穆- u）在+Ohm(1.1)*大卫·R。

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2022-5-9 07:22:26

加拿大滑铁卢滑铁卢大学切里顿计算机科学学院N2L3G1pazimzad@uwaterloo.ca和paforsyt@uwaterloo.caarXiv：1510.03928v4[math.NA]2017年9月24日在哪里Ohm 开放∧ Ohm,+Ohm:= （[0，T）×λ）∪（{T}×）Ohm),Lw:=L（t，x，w）是SDE的（可能退化的）发生器，fw:=f（t，x，w）是强迫项，而MIS脉冲（又称干涉）运算符mu（t，x）：=supz∈Z（t，x）{u（t，x+Γ（t，x，Z））+K（t，x，Z）}。（1.2）如果z（t，x）在特定点（t，x）为空，则μ（t，x）被理解为取该值-∞,对应于此时不允许有脉冲。我们主要研究HJBKVI问题的隐式离散化格式，这些格式不受显式格式通常的时间步长限制。特别地，我们考虑（i）直接控制，（ii）惩罚和（iii）半拉格朗日方案。半拉格朗日方案（用于[]中的HJBQVIs）与对应方案不同，它使用前一时间步的信息处理受控项。因此，仅在一阶项的系数内计算该模式的解。对于其他两种方案，需要迭代方法。本文分析的特定迭代方法是Howard’s，其性能较差，因为数值网格被重新定义[，§6.1]。应用于惩罚方案的策略迭代的收敛性证明是输入矩阵对策略迭代严格对角占优的一个微不足道的结果（5.2）。如下文所述，应用于直接控制方案的迭代收敛性是一个更微妙的问题。直接控制方案采用定点问题find v的形式∈ 使v=maxsupw∈WL（w）v+c（w），supz∈ZB（z）v+k（z）！（1.3）其中L（w）和B（z）分别是收缩矩阵和非扩张矩阵。

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2022-5-9 07:22:31

可以理解，上确界和最大值是基于元素的，控件是“行解耦的”（参见§2）。（1.3）2（iii）]。我们消除了这个限制。更重要的是，[]限制了可接受的控制集，并对B（z）（本研究中的假设（H2）是类似的）施加了一个强假设，以确保应用于（1.3）的策略迭代的重新收敛。不幸的是，问题（1.3）的合理实例（包括本工作中的示例）不一定满足此条件。我们证明，在较弱的假设下，（1.3）的解是唯一的。此外，当（H2）不能直接满足时，我们提供了一种通过考虑满足（H2）的“修正问题”来构造此解决方案的方法。粗略地说，我们通过从控制集中删除一些次优的控制来解决修改后的问题。然而，该程序是临时的（即，取决于问题）。矩阵。WCDD矩阵给出了弱对角占优M-矩阵的图论特征（定理3.5）。应用于（1.3）的政策迭代收敛的WCDD矩阵方法是直观的，并使用政策迭代（命题2.2）的著名结果建立。因此，人们自然会问，使用直接控制方案是否有好处。为了回答这个问题，我们将每个方案应用于以下示例：o汇率的最佳控制；o具有固定和比例交易成本的最优消费在可变年金中定价保证最低提款收益。由于不需要迭代方法，半拉格朗日格式每一时间步只需要一个线性解。然而，如上所述，如果控制出现在Lw的扩散系数中（或者如果基础过程是具有控制到达率的Lévy），则不能使用这种方案。我们发现，惩罚方案的表现至少与直接控制方案一样好。

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2022-5-9 07:22:35

两者产生几乎相同的结果，并且通常需要与直接控制方案大致相同数量的EVEN，每个时间步只需几次策略迭代即可收敛。我们提到，在有限的地平线设置中（T=∞), 在[]中，使用迭代最优停止法（一种理论工具[，第7章，引理7.1]来构建解决方案，并将其应用于数值实现[，]中，以数值方式考虑了具有超额和比例交易成本的最优消费。计算上，对于有限的地平线∞微分方程[18]，一种最近的替代方法，非常适合高维问题。在这项工作中，我们将注意力限制在三维或更低维度的问题上。为了继续关注脉冲控制的有趣方面，我们假设脉冲之间的u：ut，x，wσ：σt，x，战争速率为[13]）。这允许我们写Lwu（t，x）：=traceσ（t，x，w）σ|（t，x，w）Dxu（t，x）+ hu（t，x，w），Dxu（t，x）i。我们在这里提到的问题（1.3）也可以解释为行李员问题4。2（1.3）库什纳和杜普伊斯的专著（第39-40页）。在MDP的背景下，L（w）和B（z）分别捕获了折扣因子为非零和为零的状态下的跃迁概率。WCDD矩阵条件保证了4的收敛性。4该条件确保基础马尔可夫链（以正概率）到达ata状态，且不依赖于初始状态的非方差折扣。我们总结了以下一些主要发现：o矩阵迭代的可能奇异性。o我们建立了可证明收敛的技术来消除奇异性。

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2022-5-9 07:22:40

然而，应用这些技术取决于问题我们证明了应用于（单调）惩罚方案的策略迭代永远不会失败。对三个问题进行的数值试验证实，这种方案的性能至少与直接控制方案一样好（有时甚至更好）。为确保直接控制方案中的一致性，以及惩罚方案中的可比（如果不是更好的话）表现，需要额外的努力，这表明人们应该放弃直接控制方案。政策迭代的收敛性。§讨论WCDD矩阵。§给出了（1.3）假设的条件。其中给出了一个独立的MDP示例（示例4.2）。§介绍HJBQVI问题（1.1）的数值格式，以及后续§6.2政策迭代中给出的数值示例，我们将看到（1.1）的每个离散化格式都采用aBellman问题的形式：find v∈ 例如，支持∈P{-A（P）v+b（P）}=0（2.1），其中：P→ RM×Mandb:P→ RM。据了解，（i）P:=QMi=1Piis是非空集的唯一产物，（ii）控件是行解耦的：[a（P）]ij和[b（P）]i仅依赖于Pi∈ Pi，（iii）RM（分别为RM×M）上的顺序是元素级的：对于x，y∈ RM，x≥ y当且仅当xi≥ 对于所有i，和（iv）上确界由以下顺序诱导：{x（P）}P∈P 供应室∈Px（P）是一个包含分量supP的向量∈P[x（P）]i.LetSolve（A，b，x）表示通过初始猜测x调用线性解算器forAx=b（代数上，解算精确；实际上，使用迭代解算器，选择解算器会影响性能）。策略迭代算法由以下公式给出：“=1，2，…”的策略迭代（P，A（·），b（·），v）1。

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2022-5-9 07:22:43

.2.挑选这样的-A（P`）v`-1+b（P`=supP∈P{-A（P）v`-1+b（P）}3v`:=Solve（A（P`）、b（P`）、v`-1）定义2.1（单调矩阵）。如果对于所有实向量v，Av，实平方矩阵是单调的（在格子的意义上）≥ 0意味着v≥ 0.我们使用以下假设：（H0）P7→ A（P）-1在集合{P]上有界∈ P:A（P）是非奇异的}。（H1）（i）A和（ii）对于allxinRM，存在-A（Px）x+b（Px）=供应∈P{-A（P）x+b（P）}。命题2.2（政策迭代的收敛）。假设（H0），（H1），a（P）是allPinP的一个单子矩阵。（v`）`≥1政策迭代定义的是不减损的v（2.1）Pin，最多为| P |迭代（即v | P |=v | P |+1=··）。（v`）的单调收敛性`≥（2.1）的唯一解可以被证明与定理类似。附录A第3条。参见[，定理2.1]了解当P为有限时有限终止的证明。实际上，P通常是有限的，在这种情况下（H0）和（H1）是微不足道的。备注2.3。理论。3建立了（2.1）（H1.ii）2.2排除（H1.ii）的解的存在性和唯一性，并警告称，在确定时，策略迭代可以替换为Av``≥1必须不减损。3弱链对角占优矩阵如果| aii |>Pj6=i | aij | a（WDD）定义为弱不等式，则我们说复矩阵的rowio:=（aij）是严格对角占优的（SDD）。定义3.1。如果：（i）A是WDD，则称复平方矩阵为弱链对角占优矩阵（WCDD）；（ii）对于每一行r，从r到SDD行p.M×MA的图形中存在一条路径：aij{，…，M}ijifaij=0。请注意，ifris本身就是一个SDD行，一个微不足道的路径→ 满足上述第（二）项的要求。WCDD矩阵的非奇异性在[]中得到了证明。为了方便读者，我们提供了一个基本的证明：引理3.2。WCDD矩阵是非奇异的。证据假设λ=0是a:=（aij）的特征值。

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2022-5-9 07:22:46

Letv 6=0是一个相关的特征向量| vr|≥ |vj | j格什戈林圆定理，|λ- arr |=|arr |≤Xj6=r | arj | vj |≤Xj6=r | arj |。由于是WDD，因此| arr |=Pj6=r | arj |，henceris不是SDD行。因此，存在一条路径r→ P→ · · · → PK其中PKI是SDD行。由于| arr |=Xj6=r | arj | vj |=Xj6=r | arj |，| vj | | arj | 6 | arp | vp |参数与上述参数r=pyields | app |=Pj6=p | apj |相同，Hencep不是SDD行。继续这个过程，pkis而不是SDD，这是一个矛盾。我们回顾了一些著名的矩阵类别：定义3.3。Z矩阵是一个实矩阵，具有非正的反对角线。定义3.4。M-矩阵是单调Z-矩阵。我们现在准备陈述WDD M矩阵的一个基本特征：定理3.5（特征化定理）。以下是等价的：（i）A是具有正对角线的WCDD Z-矩阵；（ii）A是WDD M矩阵。证据例如，[25，定理1.A]），（i）意味着（ii）后面跟着引理3.2。反之，由于M-矩阵具有正对角元素（一个推论，例如，[，定理1.K]），因此有必要证明WDD Z-矩阵∈ Rn×nwith3。1（ii）R {，…，n}行违反定义3。1（ii）。根据我们的假设，至少有一个是这样的，henceRis不是空的。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设={，…，m}为1≤ M≤ n（否则，reorderA）。删除∈ rm表示元素都是统一的列向量。如果M=n，则A的每行和为零（即Ae=0），这意味着A是单数。如果m<n，A的块结构为B 0C D！B在哪里∈ Rm×m。因为违反定义3的行。1（ii）与区块B“隔离”，上述分区确保DIS WCDD。因此，通过引理3。2.线性系统dx=-Cehas有一个唯一的解x。此外，由于B的行和为零，Be=0。这就是thatAex=BeCe+Dx！=0，因此A是单数。

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2022-5-9 07:22:49

这种描述很严密：M矩阵不需要是WCDD（例如。1.-20 1).我们提到（i）意味着（ii）理论3。5出现在[]中。其中，具有正对角线的WCDD Z矩阵被称为正类型矩阵。据作者所知，文学作品中没有出现相反的情况。4不动点问题（1.3）4.1策略迭代的收敛性我们假设问题（1.3）中出现的=QMi=1WiandZ:=QMi=1zi是非空集的有限乘积。LetP:=QMi=1Piwhere Pi:=Wi×Zi×Diand 6=Di {0, 1} . （4.1）我们与每个ψ关联：=（ψ，…，ψM）inD:=QMi=1Dia对角矩阵ψ：=diag（ψ）。我们可以互换地使用ψ和ψ。我们写：=（w，z，ψ）∈ P在哪里∈ 旺兹∈ Z.我们可以通过取a（P）：=（I）将问题（1.3）转化为形式（2.1）- ψ）（I）- L（w））+Δψ（I）- B（z）B（P）：=（I）- ψ）c（w）+Δψk（z）（4.2）δLwBzcwkzgeneral，此后我们假设限制性较小的条件δ>0，而不是δ=1。在考虑受（4.1）和（4.2）、（4.3）约束的问题（2.1）的适定性之前，我们确定（4.3）的解集独立于δ：引理4.1的选择。对于δ=1的（4.3）解，当且仅当它是任意δ=δ>0的（4.3）解。附录B给出了上述证明。在续集中，我们利用了一个事实，即对于δ的特定选择，策略迭代可能会更快地收敛。作为一个激励示例，我们现在访问一个具有消失折扣的有限地平线MDP：示例4.2。让（Xn）n≥0是有限状态空间{，…，M}上的受控齐次马尔可夫链。stateis的控件是piin（4.1）的成员，writenpi:=（wi，zi，ψi）。马尔可夫链的转移概率areP（Xn+1=j | Xn=i）=wijifψi=0zijifψi=1，其中wi:=（wi1，…，wiM）≥0和wie=1（类似于forzi）。也就是说，Wandziar的成员是M维概率向量。

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2022-5-9 07:22:52

Letvi:=supP∈“体育”∞Xn=0U（Xn，P）n-1Ym=0D（Xm，P）X=i#适用于所有1≤ 我≤ M（4.4）1 2 3··Mψi=1ψ=0（a）1 2 3··Mψi=1ψ=0（b）图4.1.1：示例4.5中的可能矩阵b（z）图，其中U（i，P）：=ci（wi）如果ψi=0ki（zi）如果ψi=1和D（i，P）：=如果ψi=0，则为1/（1+ρ）；如果ψi=1，则为1。在上面的例子中，ρ>0是一个贴现因子。【引理5】证明了与（4.4）相关联的动态规划方程正好是（4.3）与[L（w）]ij:=wij/（1+ρ），[B（z）]ij:=zij，[c（w）]i:=ci（wi）和[k（z）]i:=ki（zi）。在上面，ψi=1的状态是具有消失因子的“故障”状态。事实上，对Allis要求ψi=0，会使我们回到一个非方差贴现因子问题，其适定性很容易确定。以下假设将被证明是最重要的：（H2）对于每一个hp:=（w，z，ψ）和ψi=1的状态i，在图B（z）中存在一条路径，从i到某个状态j（i），ψj（i）=0。（H3）对于eachP:=（w，z，ψ）inP，I- L（w）是一个带正对角线和i的SDD Z矩阵- B（z）是一个WDD z矩阵，其对角线满足0≤ [B（z）]ii≤ 1.定理4.3。假设（H0）-（H3）。（v`）`≥1政策迭代定义为不减损（4.3）Pin最多| P |迭代。证据（H2）和（H3）确保a（P）是具有正对角线的WCDD Z-矩阵。所设计的结果来自定理3.5和命题2.2。推论4.4。考虑例子4。2.假设（H0）-（H2）。（v`）`≥1按策略定义的迭代收敛到RMP（4.4）中的v。给出了一个满足（H2）的例子：例子4.5。考虑例子4.2。假设P中的所有P:=（w，z，ψ）满足ψ=0，如果1<i，则zij=0≤ j、（4.5）这对应于（i）状态1下的非零折扣，以及（ii）从无状态到零折扣的转换是单向的（如果ψXn=1，Xn+1<Xna.s）。参见图4。1.1例如B（z）的图受（4.5）约束。4.2唯一性sletlv:=supw∈W{L（W）v+c（W）}和Bv:=supz∈Z{B（Z）v+k（Z）}。

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mingdashike22

2022-5-9 07:22:56

（4.6）（H2）B的以下较弱性质并不罕见：（H4）对于每个解VOF（4.3）和每个状态i，都存在整数M（i）和N（i），例如0≤ n（i）<m（i）和[Bm（i）v]i<[Bn（i）v]i引理4.6。假设（H3）和（H4）。让（P`）`≥0:=（w`，z`，ψ`）`≥0是一个序列，并且是一个（4.3）令人满意的解-A（P`）v+b（P`）→ 晚餐∈P{-A（P）v+b（P）}=0`≥` ≥ `iψ`i是B（z`）从i到某个状态j（i，`）的图，ψ`j（i，`）=0。证据假设相反。一个鸽子洞原理论证证明了asubsequence（P`q）q的存在性≥0:=（w`q，z`q，ψ`q）q≥0of（P`）`≥0使得oψ`q=ψ是一个独立于q的常数；oB（z`q）（称之为G）的图形是一个独立于q的常数存在i，使得ψi=1，对于从i（G中）可到达的所有j，ψj=1。LetV:={j，…，jk}是可从i到达的状态。莱特∈ 五、∪ {i} 要武断。由于收敛序列的极限等于其任何子序列的极限，因此hB（z`q）v+k（z`q）ir- vr=δh-A（P`q）v+b（P`q）ir→ 0，英属维尔京群岛≥ vrv（4.3）Bv≤ v[Bv]r=vr。此外，[Bv]r=[B（Bv）]r≥ [B（z`q）（Bv）+k（z`q）]r=Xj∈V[B（z`q）]rj[Bv]j+[k（z`q）]r=Xj∈V[B（z`q）]rjvj+[k（z`q）]r=[B（z`q）V+k（z`q）]r→ [Bv]rand因此[Bv]r≥[Bv]r.SinceBis（H3）的单调算子，Bv≤ vimpliesBv≤ 我们可以继续这个过程，得到Vr=[Bv]r=[Bv]r=[Bv]r=[Bv]r=[Bv]r=.·在上面设置r=i会产生与（H4）的矛盾。我→ i`i<mimiby（H4））在b（z`）图中，从某个状态j（i，`）开始，ψ`j（i，`）=0。下面给出了一个示例：示例4.7。考虑例子4。2 Withzi=zj适用于所有州和州。对于所有的州，让基（子）：=-C<0。因此，对于RM中的所有x，Bx=supz，z∈Z{B（Z）B（Z）x}- 2C<supz∈Z{B（Z）x}- C=Bx，因此（H4）满足1=n（i）<m（i）=2的alli。

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2022-5-9 07:23:00

直观地说，控制器支付两次应用B的成本。在这种情况下，表示（4.3）的byva溶液，控制如图4所示。1.1不能对应于某个目标-A（Pv）v+b（Pv）=供应∈P{-A（P）v+b（P）}=0，因为从i>2到j=1的任何路径的长度至少为m（i）=2。我们现在可以证明与（H2）无关的唯一性：定理4.8。假设（H0），（H3）和（H4）。（4.3）的解决方案是唯一的。证据设x和y为两个解，且（P`）`≥0是P中的一个序列，以便-A（P`）y+b（P`）→ 晚餐∈P{-A（P）y+b（P）}=0。（H3）（H4）4.6A（P`）是具有正对角线的WCDD Z-矩阵，因此是定理3中的M-矩阵。5.对于某些序列(`)`≥0英寸RMwith`→ 0，我们可以写-A（P`）y+b（P`）+`= 0=支持∈P{-A（P）x+b（P）}≥ -A（P`）x+b（P`），所以A（P`）（x-y）≥ -`. 因为单调矩阵的逆有非负元素和P7→ A（P）-1以（H0），x为界- Y≥ 0.同样地，y- 十、≥ 0不幸的是，定理4的条件。8无法保证迭代（v`）`≥1受政策迭代的影响，asA（P`）在某些情况下可能是单数的≥1.这在以下示例中得到了证明，但（H2）不成立：示例4.9（策略迭代失败）。考虑例子4。2.对于所有状态i，letZi:={ej}Mj=1是标准基向量集，Ki（zi）：=-C-Xjzij|i- j |<0，其中C>0。如例4.7所示，由于固定成本C.Letδ=1，因此满足（H4）。假设存在一个具有1的状态∈ Drandcr（wr）<-C.所有控制人员。可以很容易地验证，用零向量v:=0初始化的策略迭代选择P:=（w，z，ψ），用zr=Eran和ψr=1。因此[A（P）]rj=[I- B（z）]rj=[I]rj- [一] rj=0表示A（P）为单数，因此未定义。对任何人来说≥1，可以构造更复杂的例子，其中矩阵a（P），A（P`-1）是非奇异的，而a（P`）是单数的。

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2022-5-9 07:23:03

也就是说，策略迭代可能会在任何迭代中失败。4.3如前一节所述，对修改后的问题进行政策迭代，如果（H2）不令人满意，政策迭代可能会失败。然而，我们可能希望通过对“修改的问题”执行策略迭代来构建一个解决方案，通过移除renderA（P）奇异的controlsPinPthat来设置控制。我们定义（H1）时，用（H1）的定义替换所有出现的。（H2）和（H3）的定义类似。我们现在可以精确地陈述上述观点：定理4.10。LetP:=QMi=1Piwhere eachPi 这不是空的。假设（H0），（H1），（H2），（H3），（H4）和对于RM中的所有v，支持∈P{-A（P）v+b（P）}=0==> 晚餐∈P{-A（P）v+b（P）}=0。（4.7）（v`）`≥1定义为策略迭代（P，A（·），b（·），v）是非减损的，并收敛到（4.3）的唯一解。此外，如果有限，收敛最多发生在| P |迭代中。证据辛塞普 P、紧接着（H0）和（H3）被满足，所以由理论4。v`，（3）`≥1定义良好，并收敛到修改问题的唯一解决方案。就是v`→ 范德普∈P{-A（P）v+b（P）}=0。通过（4.7），V解决了原始问题（4.3）。因为（4.3）的解决方案在定理4中是唯一的。8.预期结果如下。（H2）定理4.10：例4.11。考虑例子4。2.让（i）如例4所示。9、（二）威姆维奇|一- j |>cbe连续且有界，和（iv）c:=maxw∈Wc（w）带CI-1.≥ cifor all 1<i≤ M.PP:w，z，ψP（4.5）4.10满意证明。验证（H0）、（H1）、（H2）、（H3）和（H4）很简单。因此，这是一个很好的展示（4.7）。我们通过替换z:=QMi=1Ziin（4.6），写出i:=Wi×Zi×dian并定义[Bx]ifori>1。我们首先证明了修正问题的解决方案v是非递增的：vi-1.≥ vifor all 1<i≤ M.假设相反。设r>1为最小元素，使vr-1<vr。如果vr=[Bv]r，那么vr=vj- C- |R- j |对于某些j<r。

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2022-5-9 07:23:06

要么j=r- 1或VR-1.≥ [Bv]r-1.≥ vj- C- |（r）- 1) - j|≥ vr（两者都是矛盾）。因此，Vr=[Lv]r.Lettingw0j，v:=0.为了便于注释，假设（ii）意味着Vr-1.≥ [低压]r-1=最大值∈WrXj=r-2wr-1，j1+ρvj+[c（w）]r-1.≥虚拟现实-11+ρ+cr-1so thatvr-1.≥（1+1/ρ）cr-1.Ifvr≥ vr+1，它与vr=[Lv]rthatvr类似≤（1+1/ρ）crso thatvr-1.≥ vr（一个矛盾），因此必须是vr<vr+1。我们可以归纳地重复这个论点，得出矛盾的结论-1<vr<·和vr-1.≥ （1+1/ρ）cr-1.≥ （1+1/ρ）厘米≥ 虚拟机。因为v是非递增的，所以v≥ Bv（对于有j的状态i和j，取ψi=1和zij=1是次优的≥ i），因此（4.7）成立。HJBQVI问题的5个数值格式本文中的所有数值格式都在直线网格上，tNo×nx，x。o×···×nxd，xd。0=t<tN:=Tandxj<xj<。使用多个索引（即xi:=（xi，…，xid））。Mdenotes空间点xi的数量。对于[0，t]×Rd上定义的函数sq:=q（t，x），使用速记qni:=q（tn，xi）和qn（x）：=q（tn，x）。在没有歧义的情况下，我们使用分量sq和take来表示向量t:=tn+1- tn.据了解，Maxn{tn+1- tn}→0和maxi{xi+1- xi}→0灰烬→0，其中hdenotes是控制网格粗糙度的“全局”离散化参数。WZt，x 6Wh WZht，xZ（t，x）。

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2022-5-9 07:23:10

关注一致性的读者应该施加一些规律性来证明这种近似，例如：（i）Wis紧，（ii）关于Hausdorff度量的Zis处处紧且连续，以及（iii）maxw∈Wminwh∈Wh | w- wh|→0作为离散化参数h→ 0以及Z和Zh的相同逐点条件。离散脉冲算子（1.2）是[Mnhun]i:=maxz∈（Zh）ni{unJxi+Γni（z）K+Kni（z）}JxK~n，控制使i+Γni（z）退出数值网格的（Zh）ni不包括在（Zh）ni中。我们使用Lnh（w）表示系数冻结在t=tn.（1.1）的Lww的一致离散化条件适用。为了区分点，我们用Φ表示一个满足[Φ]ii=0的对角矩阵，只要xi在∧中，否则[Φ]ii=1。由于类狄里克莱条件是在最终时间T=T施加的，因此数值方法在时间上向后进行（即从tn+1totn开始）。更准确地说，lettinguNi:=gNi，时间步长1的数值解≤ n<n每个方案产生的解（给定前一时间步的解，un+1）被写成（2.1）的解，并适当地选择a和B。控制集由（4.1）和wi:=Wh，Zi:=（Zh）niif（Zh）ni6={} 否则，Di：={0，1}如果（Zh）ni6={0}否则（5.1）nn§5.3细节，我们将其视为非空集（我们选择{}任意）当（Zh）NI为空时，确保产品Wi×Zi×Diof（4.1）为非空。我们做出以下假设：（A0）W:=QMi=1wi和Z:=QMi=1Ziare finite。（A1）对于w中的所有w，-Lnh（w）是具有非负对角线的WDD Z-矩阵。（A2）对于allzinZ，Bn（z）是一个右随机数（又称为。

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2022-5-9 07:23:13

[Bn（z）v]i=vJxi+Γni（zi）K.（A3）ρ的马氏）矩阵≥ 0和δ， > 0.由于（A0）确保P是有限的，所以续集中的所有方案都满足（H0）和（H1）。备注5.1。Barles和Souganidis[]证明了一个数值格式收敛于一个完全非线性二阶方程（如（1.1））的唯一粘性解，如果它在粘性意义上是单调的，则比较结果令人满意`∞稳定，一致。HJBQVI（1.1）的比较结果见[定理5.11]。（A1）和（A2）未能收敛）。为简洁起见，我们在此不提供一致性的证明或讨论稳定性。5.1直接控制SUPW∈W{u/吴天武- ρufw}脉冲（μ- u）组件在任何网格点都处于活动状态。由于它们有不同的单位，在流动点算法中比较它们需要一个比例因子δ>0，以确保快速收敛[（另见引理4.1）。按δ缩放和离散化（1.1）（忽略边界条件）yieldsmaxmaxw∈Wh（un+1i）- 大学t+[Lnh（w）un]i- ρuni+fni（w）），δ（[Mnhun]i- uni）！=0.包括边界条件，通过取l（w）以（4.3）的形式表示：=Φ（Lnh（w）- ρI）Tc（w）：=Φ联合国+1+fn（西）T+ （一）- Φ）gn；B（z）：=Bn（z）；k（z）：=Kn（z）。（5.2）在上述B和k的情况下，运营商将其等同于（4.6）中定义的B。由于（A1）–（A3），上述地块满足（H3）。因此，（H4）是有效的。8（H2）用于相应策略迭代的收敛（定理4.3）。5.2惩罚的a惩罚公式（在[]中详细讨论）施加按1缩放的惩罚/每当我>你。

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2022-5-9 07:23:16

该方案由maxw给出∈Wh（un+1i）- 大学t+[Lnh（w）un]i- ρuni+fni（w））+max（[Mnhun]i- 大学，0）/= 0:T >式（2.1）中，取a（P）：=I+Φ（ρI- Lnh（w））t+ψ（I）- Bn（z））/;b（P）：=Φ联合国+1+fn（西）T+ （一）- Φ）gn+ψKn（z）/.相应策略迭代的收敛性很小，因为CEA（P）是一个带正对角线的SDD Z矩阵（借助于（A1）-（A3）），因此是一个M矩阵。5.3半拉格朗日系数对控制的依赖。假设（i）σ与控制无关，且（ii）漂移u和强迫项f可分为（非常规则的）受控和非受控成分：u（y，w）=u（y）+u（y，w）和f（y，w）=^f（y）+^f（y，w）。现在我们给出一个半拉格朗日格式背后的一些直觉。考虑对应于非受控SDE的生成器：^Lu（y）：=L（w）u（y）-D^^u（y，w），Dxu（y）E.让X:=X（t）表示满足X（tn）=xind dX（t）=D^u（t，X（t），w）dt on（tn，tn+1）的D维轨迹，因此X（tn+1）≈ X（tn）+^^u（tn，X（tn），w）t=xi+^^uni（w）t、我们定义了关于X asDuDt（t，X（t），w）的拉格朗日导数：=t[u（t，X（t））]=Ut（t，X（t））+D^^u（t，X（t），w），Dxu（t，X（t））E.忽略边界条件，我们用（1.1）代入来获得Maxsupw∈W（DuDtw+^Lu）- ρu+fw），μ- 你！=0.上述ismax的离散化马克斯∈嗯un+1qxi+^^uni（w）ty+^^fn+1i（w）T,hMn+1hun+1ii- 大学+赫努尼- ρuni+^fnit=0。据了解，控制因素是导致i+μ^uni（w）t退出数值网格，类似于[12，引理6.6]。代替（A1），我们假设：（A1）-^Lnhis是一个具有非负对角线的WDD Z矩阵~第二十一条（2.1）由takingA表示：=I+ΦρI-^LnhTb（P）：=Φ^fnt+（I）- Ψ)un+1q~x+n（西）ty+^^fn+1（西）T+ （一）- Φ）gn+ψBn+1（z）un+1+Kn+1（z）.sincea与p无关，（2.1）becomesAv=maxP∈P{b（P）}；不需要迭代方法。

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大多数88

2022-5-9 07:23:19

A是非奇异的，因为它是SDD（根据（A1）和（A3））。6个示例本工作的剩余部分侧重于数值示例。6.1汇率的最优组合控制[，]研究了以下内容。假设一个ZF能够通过以下方式影响其货币的外汇汇率：o选择国内利率（随机控制）；o购买或出售外币（冲动控制）。让（rt）t≥0表示国内利率过程和国外利率。在anyz>z<FEX市场。（Xt）t≥0，FEX速率的日志，followsdXt=-a（rt- r） dt+σdWtifτj<t<τj+1（随机控制）；Xτj+1=Xτj+1-+ zτj+1（脉冲控制）。（Wt）t≥0是标准的布朗运动。a>0参数化了利率差异的影响，wt:=rt- r、关于外汇汇率。参数值贴现系数ρ2%每年度折旧率σ30%每年度折旧率T 10年最佳平价x？利率差异W 0-7%每年利率差异a 0.25利率差异成本b 3标度交易成本λ1固定交易成本C 0.1表6.1：汇率的最佳组合控制：参数θ：=（W，τ，τ，…，zτ，zτ，…）其中（i）（wt）t≥0是一个适应的过程，（ii）τ，τ。是0=：τ的停止时间≤ τ≤ τ≤ . . . ≤ T、和（iii）zτkis是一个τk-可测量的随机变量，取一些setZ（τk，Xτk）的值。任何满足这些性质的θ都被称为组合控制。如果在任何时间t，wmin，则允许使用组合控制≤ wt≤ wmax（或者，我们可以将其强制为空集）。设Θ表示所有可容许控制的集合。当Xt=x时，时间t的最佳成本由u（t，x）给出：=eρtsupθ∈ΘE（t，x）-中兴通讯-ρsp（Xs）+bwsds-Xτj≤Te-ρτjλzτj+ C. （6.1）FEX利率与最佳平价之间的距离成本？由函数P参数化。我们取（x）：=（max（x）- 十、0)).

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2022-5-9 07:23:22

康斯坦特酒店≥0参数化与非零利率差异相关的成本。λ ≥0和C>0参数化冲动的代价。ρ ≥ 0是一个折扣系数。众所周知[]与（6.1）相关联的动态规划方程是HJBKVIOhm:= R和∧：由（1.1）给出，其中g（T，x）：=0，w:=[wmin，wmax]；Z（t，x）：=R；L（t，x，w）：=-哦Ux+σU十、Γ（t，x，z）：=z；f（t，x，w）：=-p（x）- 体重；K（t，x，z）：=-λ| z |- C.6.1.1直接控制方案的收敛性离散化要求我们截断[0，T]×Rto[0，T]×x[x，xM]和Z（T，x）=Rto[x，xM]- 因此，脉冲后的汇率，x+Γ（t，x，z）=x+z，仍然在计算域中。允许z>0分xM- x、截断z（t，x）的离散化为（Znh）i:={0，z、二,ZxM- x} +（x）- xi）。一种特殊的Neumann边界条件u/x=0用于x和x，因此Lnhw-3-2.5-2-1.5-1-0.50.0 0.5 1.0对数变换的外汇汇率（x）0.000.010.020.030.040.050.06最优利率差（w）x=η0 x=η脉冲（a）最优控制（T=10）-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0对数转换的FEX速率（x）-2.5-2-1.5-1-0.50.0最优成本（u（t=0，x））t=2T=10T=32T=∞（b）图6.1.1：初始时间[15，附录C]汇率的最佳组合控制，以便[Lnh（w）v]i：=如果i=1或i=M（vi-1.- vi）αni（w）+（vi+1- vi）βni（w），其中αni（w）和βni（w）是离散化产生的非负常数。直接控制问题由（4.3）根据（5.1）和（5.2）给出。很容易验证BX<BX是否满足（H4）（recallB=Mnh）。根据理论4。8.这个问题的解决方案是独一无二的。然而，政策迭代可能会失败，因为（H2）不令人满意。

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大多数88

2022-5-9 07:23:26

违反（H2）的一个简单示例是两个节点之间的循环xi=xj（例如，xi+Γ（t，xi，xj- xi）=xjand xj+Γ（t，xj，xi- xj）=xi）。我们对一个修改后的问题执行策略迭代，对于（H2）保持的所有i>1so，P中的控制集P（P包含所有控制P:=（w，z，ψ）满足ψ=0和zi<0。如果un+1不增加（即un+1i-1.≥ un+1i），我们可以使用same4。11V解决了最初的问题（即（4.7）是令人满意的），并且没有增加。因为ceun=0是非递增的，所以归纳法在每一个时间步产生了方案的收敛性。备注6.1。条件zi<0符合直觉：国内ZF不应该做出削弱本国货币（即zi）的冲动≥ 6.1.2最优控制如果货币非常疲软，ZF就会干预外汇市场。也就是说，在时间t时，脉冲只发生在[η（t），∞) 对于某些η（t）（区域(-∞, η（t））被称为连续区域，对应于数值解中ψi=0的节点。当时间点的FEX速率为[η（t），∞), ηt<ηt6。1.1a。图6.1.1b显示了不同到期时间T的最佳成本u。h x节点w节点z节点时间步132 8 16 161/2 64 16 32。。。。。。。。。。。。。。。表6.1.2：汇率的最优组合控制：数值网格6。1.3收敛测试收敛测试如表6所示。1.3. 时间标准化为最快的半拉格朗日解。报告溶液（在某一点）连续变化的比率。带有ILUT预条件器的BiCGSTAB用于本节和所有后续章节中的解决方案（策略迭代的第3行）。

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2022-5-9 07:23:29

在汇率问题的半拉格朗日格式的特殊情况下，可以使用简单的三对角解，因为该问题是一维微分。策略迭代在达到所需的容错能力时终止：maxivki- vk-1i最大值vki, 规模< 托尔。比例参数确保不会对解决方案施加不切实际的精度级别。我们取10-6对于本次测试和所有未来测试，ANDSCALE=1。在上一个时间步un+1中，最初的猜测是解决方案。[16]之后，我们将:= Dt和δ：=1/ D=10-2.为了完整性，我们提到^u（t，x）：=0和^f（t，x）的明显分裂：=-p（x）用于半拉格朗日格式。续集（6.2和6.3）的数值例子也使用了明显的分裂。直接控制和惩罚方案超线性收敛。我们推测这种情况发生在7世纪→ u（t，x）与x=η（t）的右边成线性关系，因此在近似术语dxuan和dxuther时没有误差。假设半拉格朗日格式的解un+1与η（tn+1）右侧成线性关系，则由于η（tn）与η（tn+1）的近似而引入误差。这表明，对于具有简单连续区域和线性交易费用的问题，直接控制和惩罚方案可能优于半拉格朗日方案。毫不奇怪，直接控制方案和惩罚方案在性能和精度上几乎相同，因为比例因子和惩罚因子的选择是相同的（即δ=1）/). 我们提到，选择δ=1（即无缩放）会在直接控制设置中产生较差的性能（有关解释，请参见[16]）。请注意，每次调用Solvec的BiCGSTAB迭代的平均次数可能少于一次，这表明有时在策略迭代的第3行不需要BiCGSTAB迭代。

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2022-5-9 07:23:32

当初始残差b（P`）时，就会发生这种情况-A（P`）v`-1，小到足够大（即在收敛前的最后一次策略迭代）。HU（t=0，x=0）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1-0.60685256 3.13 0.74 1.32e+011/2-0.61187228 2.88 0.90 6.99e+011/4-0.61300925 2.58 0.93 4.42 3.98e+021/8-0.61317577 2.49 0.94 6.83 2.77e+031/16-0.61321292 2 2.48 0.95 4.48 2.09e+041/32-0.61321903 2.46 0.95 6.08 1.61e+05（a）直接控制，H u（t）Avg=0。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1-0.60717652 3.19 0.71 1.38e+011/2-0.61194960 2.88 0.76 6.96e+011/4-0.61302973 2.55 0.91 4.42 3.95e+021/8-0.61317966 2.48 1.28 7.20 2.76e+031/16-0.61321390 2.48 1.33 4.38 2.09e+041/32-0.61321928 2.46 0.99 6.36 1.61e+05（b）DH=0常模比。时间1-0.69277804 1.00e+001/2-0.64806716 6.49e+001/4-0.62865965 2.30 4.90e+011/8-0.62027822.32 3.86e+021/16-0.61653511 2.24 3.17e+031/32-0.614800123 2.16 2.64e+041/64-0.61398311 2.12 2.17e+05（c）半拉格朗日方程6.1.3：汇率的最优组合控制：收敛性检验6。2具有固定和比例交易成本的最优消费和投资组合[]研究了以下内容。假设一个投资者在任何时候都有两个投资机会：一个股票和一个银行账户。让我们来看看≥0和（Bt）t≥0表示分别投资于这两个项目的金额。投资者能够连续消费（随机控制）（脉冲控制）。用（wt）t表示≥0消耗率为0≤ wt≤ wmax。在任何时间点，投资者都可以将资金转移到（z>0）或（z<0）股票，从而产生λ| z |+C的交易成本，其中C>0和0≤ λ < 1.

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2022-5-9 07:23:35

这可以通过dst=uStdt+ξStdWtifτj<t<τj+1（随机控制）来获取；dBt=（rBt）- wt）如果τj<t<τj+1（随机控制）；Sτj+1=Sτj+1-+ zτj+1（脉冲控制）；Bτj+1=Bτj+1-- zτj+1- λzτj+1- C（脉冲控制）。组合控制θ：=（w，τ，τ，…，zτ，zτ，…）如果股票持有量和银行账户始终为非负，则可接受。设Θ表示所有可容许控制的集合。银行账户中的tsbt=b由u（t，s，b）给出：=eρtsupθ∈ΘE（t，s，b）“中兴通讯-ρtwγtγdt+e-ρTmax（BT+（1- λ）圣- C、 0）γ#式中0≤- γ<1是投资者的相对风险规避和ρ≥0是时间首选项的比率。到期时收到的效用相当于清算资产并立即消耗所有东西。相关的HJBKVIOhm:= (0, ∞)和∧：=由（1.1）给出，其中g（T，x）：=max（b+（1- λ） s- C、 0）γ/γ和w:=[0，wmax]；Z（t，x）：={Z:x+Γ（t，x，Z）≥ 0} ;Lw:=ξss+uss+（rb）- w）b>0；否则为0；Γ（t，x，z）：=（z，-Z- λ| z |- C） )；fw:=b>0时wγ/γ；否则为0；K（t，x，z）：=0。在上面的表达中，比如ass·/当n=0时，应解释为相同的零。公约[q，q]= 如果q>QI使用。参数值贴现系数ρ10%年利率r 7%年利率裂开u11%年收益率ξ30%年利率T 40年相对风险规避1- γ0.7标度交易成本λ0.1固定交易成本C 0.05最大取款率W最大初始股票价值s$45.20初始银行账户价值b$45.20表6.2.1：最优消费：来自§6.1.1中直接控制方案收敛的参数，[0，T]×0，∞)andZ（t，x）被截断，因此anxit，xi，zixisi，Bit之后的状态直接控制问题由（4.3）根据（5.1）和（5.2）给出。假设存在一个网格节点exi和p:=（w，z，ψ），使得ψi=1，并且不存在从某个点到ψj=0的路径inB（z）。

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2022-5-9 07:23:38

因为CEC>0，所以存在一个路径→ 我→ · · ·有限长度，使得所有q的si+bi>si+bi>·和ψiq=1。由于网格的有限性，对于某些<`，xiq=xi`（hencesiq+biq=si`+bi`），这是一种传统。6.2.2最优控制在[]中，在最优控制中观察到三个区域：买入（B）、卖出（S）和继续/无交易（NT）区域。在B和S区域，控制器通过跳回标记的两条线中最近的一条进行干预和. 在NT中，控制器持续消费。6.2.3收敛测试收敛测试如表6所示。2.3. 我们提到了arti ficial Neumann边界条件曲/sq=0和u/b=0用于截断的boundariess=smax和bbmax。前者要求每个时间步有明显更多的策略迭代。半拉格朗日格式的收敛速度在更高水平的情况下变为次线性。6.3可变年金中的保证最低支取福利（GMWB）可变年金中的保证最低支取福利（GMWB）为投资者提供可变年金的税收递延性质以及保证最低付款。GMWB定价以前被认为是[，]和H s节点b节点w节点z节点时间步120 20 15 321/2 40 30 64。。。。。。。。。。。。。。。。。。表6.2.2：最优消费：数值网格u（t=0，s，b）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1 56.062123 7.63 1.28 1.63e+011/2 58.739224 8.80 1.90 2.93e+021/4 59.420125 10.4 2.28 3.93 5.66e+031/8 59.658413 11.8 3.28 2.86 1.03e+051/16 59.754780 13.4.45 2.47 1.85e+061/32 59.797206 14.2 6.54 2.27 3.05e+07（a）直接控制u（t=0，s，b）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。

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2022-5-9 07:23:42

时间1 56.058496 4.09 1.43 1.03e+011/2 58.739041 3.95 1.77 1.47e+021/4 59.420075 3.40 2.35 3.94 1.99e+031/8 59.658399 3.04 3.69 2.86 2.69e+041/16 59.754778 2.80 5.50 2.47 4.02e+051/32 59.797215 2.58 5.98 2.27 5.86e+06（b）平均处罚DH u（t=0，s，b）及其标签。比率标准。time1 55.621632 1.00 1.00e+001/2 58.782064 2.00 1.55e+011/4 59.404576 3.00 5.08 2.60e+021/8 59.569370 4.00 3.78 4.05e+031/16 59.651186 6.00 2.01 6.68e+041/32 59.705315 8.00 1.51 1.11e+061/64 59.748325 10.8 1.26 1.85e+07（c）半可计算的6.2.3：最佳消费：40万元汇合银行账户（100808080808080808080808080800B）股票1.20510152025最优消费（w）（a）最优控制股票持有量020406081000银行账户020406081000价值（u（t=0，s，b））020406080100（b）价值图6.2.1：初始时间的最优消费（与[11，图1和图2]相比）作为[]中的脉冲控制问题。[1]中考虑了具有年度提取的GMWBs的最优控制。GMWB由投资和担保账户（St）t组成≥0和（At）t≥分别为0。它是通过向保险公司支付一次总付，存入（风险）投资账户（即S=S）来实现的。GMWB承诺至少一次性偿还，前提是合同持有人的提款率不超过一定的比率。这是取款时的一美元对一美元的基础。只要保证账户为正，持有人可以继续提款。

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2022-5-9 07:23:46

特别是，在合同T到期之前的任何时间点，持有人可以：oG≥投资（随机控制）按超额提取率即时减少提取金额0≤ κ ≤ 1（脉冲控制）。持有人获得投资账户中较大的一个，到期时全额取款。担保账户可以连续或即时提取：dAt=-如果τj<t<τj+1（随机控制），则为wtdt；Aτj+1=Aτj+1-- zτj+1（脉冲控制）。让ρ≥ 0表示无风险利率。考虑一个指数（Yt）t≥0YTDYT=风险中性度量下的ρYtdt+ξYTDWTU。投资账户跟踪指数，并通过从担保账户取款进行调整：dSt=(ρ - η）圣- wt{St>0}dt+ξStdWtifτj<t<τj+1；Sτj+1=最大值Sτj+1-- zτj+1，0.每笔交易的一次性支付成本参数：$10%每年10%的年利率≤ η ≤ ρ是从投资账户中扣除的比例利率，用作θ：w，τ，τ，z、 z。任何时候，担保账户都是非负的。设Θ表示所有可容许控制的集合。保险人最坏情况下的套期保值成本（在[]中讨论）风险账户中的金额t=s和金额at=a isu（t，s，a）：=eρtsupθ∈ΘE（t，s，a）“中兴通讯-ρtwtdt+e-ρTmax（ST，（1- κ）在- C） +Xτj≤Te-ρτj(1 - κ） zτj- C#其中C>0为固定交易成本。最终支付金额对应于投资账户的最大金额，或按照超额提取率提取整个担保账户。Letx:=（s，a）和ζ：=ρ- η.

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mingdashike22

2022-5-9 07:23:49

相关的HJBKVIOhm:= (0, ∞)和∧：=由（1.1）和g（T，x）给出：=max（s，（1）- κ） a- C）和w:=[0，G]；Z（t，x）：=[0，a]；Lw:=ξss+ζss+-Wa+s如果s，a>0；-Waifa>0；否则为0；Γ（t，x，z）：=- （最小（z，s，z）；fw:=w如果a>0；否则为0；K（t，x，z）：=（1）- κ） z- C.6.3.1直接控制模式的收敛性i，ai，直接控制问题由（4.3）根据（5.1）和（5.2）给出。假设（H4）不满足，因此对于某些解决方案V，存在vi=[Bv]i=[Bv]i=。因为CEC>0，所以它就是vi=-∞, 矛盾。因此，（H4）成立。0 50 100 150 200 250 300投资账户020406081000担保账户（a）以Gw的利率支取固定金额Z01020304050607080最佳脉冲支取（z）图6.3.1:GMWB：初始时间的最佳控制，η=0.03126来自[12]Pcontrols P:=（w，z，ψ），当ai=0时满足ψi=0，当ai6=0时满足zi6=0。如例4所示。5，（H2）源于zi的单向性。（4.7）是通过指出Zi=0会产生有限成本（因此是次优的）来确定的。然后，从定理4.10和6.2的应用中得出收敛性。条件Zi=0符合直觉：持有者永远不应该为零美元的提款支付C>。6.3.2最佳控制图6。在最坏的情况下，如何考虑WBA的最佳成本。我们参考[12]来解释三个不同的撤退区域。6.3.3收敛测试收敛测试如表6所示。3.3. 从7号开始→ L（t，x，w）是线性的，我们取wh={，G}独立于h。在截断边界处使用渐近边界条件（沿方向）。有关详细信息，请参见[]。

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mingdashike22

2022-5-9 07:23:53

直接控制和惩罚方案产生几乎相同的结果，并表现出相似的执行时间。7结论性意见这项工作建立了（1.3）的适定性，并给出了相应策略迭代收敛的充分条件。（1.3）已应用于H w节点a节点z节点时间步长1 64 50 2 321/2 128 100 4 64的数值解。。。。。。。。。。。。。。。表6.3.2:GMWB：数值网格u（t=0，s，s）平均策略。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1 107.68342 3.47 1.47 1.71e+011/2 107.70679 4.25 1.64 2.03e+021/4 107.71878 4.34 1.85 1.95 2.60e+031/8 107.72578 4.43 2.22 1.71 3.46e+041/16 107.72964.31 2.71 1.81 4.75e+051/32 107.73176 4.15 3.40 1.83 7.55e+06（a）直接控制u（t=0，s，s，s）平均政策。比克斯塔布的平均值。比率标准。时间1 107.68243 3.47 1.58 1.80e+011/2 107.70639 4.08 1.65 2.06e+021/4 107.71870 3.95 1.76 1.95 2.45e+031/8 107.72576 3.98 1.97 1.74 3.22e+041/16 107.72964 3.71 2.39 1.82 4 4.34e+051/32 107.73175 3.32 3.01 1.83 6 6.62e+06（b）平均惩罚DH u（t=0，s，s，s，s，s+s）及其标签。比率标准。时间1 107.42351 1.00 1.00e+001/2 107.68443 1.00 1.02e+011/4 107.70841.00 10.9 1.39e+021/8 107.72257 1.00 1.70 2.03e+031/16 107.73015 1.00 1.87 3.31e+041/32§107.73224 1.98 3.62 6.10e+051/64 107.73337 2.90 1.85 1.13e+07（c）半稳定的6.3.3:ShGMWB+1.3:ShQ5收敛系数与Lagrange.4的拉格朗日（MD4）视界（§5）的收敛系数和消失系数。HJBKVI（1.1）的半拉格朗日格式易于实现，并且每个时间步只需要一个线性解。然而，如果潜在随机过程的扩散或跳跃到达速度依赖于控制，则不能使用该方法。直接控制和惩罚计划并不支持这些限制。Numericalevidence表明这两种方案的性能相似。

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大多数88

2022-5-9 07:23:56

然而，应用于直接控制方案的策略迭代可能会失败（例4.9），除非采取额外措施消除某些次优控制。取消这些控制措施是临时的（即取决于问题）。迭代求解得到的非线性方程组。Bellman问题（2.1）的一般适定性通过修改策略迭代，可以得到命题2的一个版本。2独立基金（H1.ii）。我们可以将该算法解释为考虑了在策略迭代中逼近上确界的误差。与[算法Ho-4]密切相关的算法XrmCrxCxC，每个组件都添加了c）：-策略迭代（P，A（·），b（·），v）1选择一个正序列(`)`≥在这种情况下`≥1.`< ∞2表示“=1，2。3.挑选这样的人-A（P`）v`-1+b（P`）+`≥ 晚餐∈P{-A（P）v`-1+b（P）}4v`:=Solve（A（P`）、b（P`）、v`-1）下面出现在[7]：引理A.1中。五``≥0R(`)`≥在这种情况下`≥1.`< ∞ 和v`- 五`-1.≥ -`为了`≥ 1.我们需要下面的引理，它的证明很简单，因此省略了：引理A.2。设一个集合，是赋范线性空间，T:X×Y→ R、 andQ:X→ 如上图所示。假设每个xinx，Tx:Y→ Rdefined byTx（y）：=T（x，y）是线性的，且TxHas算子范数关于tox一致有界。马皮7号→ 好的∈X{T（X，y）+Q（X）}是一致连续的。定理A.3。假设（H0），（H1.i），a（P）是allPinP的单调矩阵。（v`）`≥1定义人-策略迭代收敛到（2.1）的唯一解v。证据首先，注意a（P`）五`- 五`-1.= -A（P`）v`-1+b（P`）≥ 晚餐∈Pn-A（P）v`-1+b（P）o- `. （A.1）对于“>1，支持∈Pn-A（P）v`-1+b（P）o≥ -A（P`-1）五`-1+b（P`-1) = 0.结合（A.1），v`- 五`-1.≥ -A（P`）-1(`, . . . , `)|≥ -C`为了一些C≥ 0.P7→ 美联社-1（H0）A.1v`→ v代表RM中的一些v。

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