非凸环境下的多元风险测度

2022-6-11 14:03:16

在其他情况下，可能实现的收购可能以非线性方式取决于C，例如，当组成部分代表集团成员的资本，可接受的转让满足进一步的限制，例如，要求它们不会导致另一个偿债代理人资不抵债，见【3】。鉴于上述原因，将多资产组合表示为随机闭集是很自然的。回想一下，随机闭集X是概率空间中的可测映射(Ohm, F、 P）到由Felltopology生成的σ-代数定义的Rdequipped中的闭集空间。换句话说，X的可测性意味着{ω：X（ω）∩K 6=} ∈ 对于Rd中的所有紧集K，请参见【11，第1.1.1节】。如果一个随机闭集X几乎所有的实现都是较低的集，也就是说，对于几乎所有的ω，X∈ X（ω）和y≤ x坐标仅表示y∈ X（ω）。如果Arandom闭集的几乎所有实现都是凸的，则称其为凸的。如果X是arandom闭集，则其闭凸hullconv（X）也是一个随机闭集，请参见[11，Th.1.3.25]。对于p∈ [1, ∞], 用Lp（X）表示p-可积族（如果p=∞)随机向量ξ使得ξ∈ X a.s。；这种随机向量称为X的p-可积选择。此外，L（X）是X的所有选择的族；如果X为a.s.非空，则此族不为空，请参见[第11条第1.4.1款]。如果随机闭集X至少包含一个p-可积选择，则称其为p-可积；它被称为p-可积有界ifkXk=sup{kxk:x∈ 十} 是p的p可积随机变量∈ [1, ∞). 如果kXk是一个常数有界的a.s.，则称随机闭集X为本质有界。如果X可积（即1-可积），则其选择期望由ex=cl{Eξ：ξ定义∈ L（X）}，（1）其中cl（·）表示Rd中的拓扑闭包。

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2022-6-11 14:03:19

闭的Mink-owski-sumX+Y=cl{x+Y:x∈ 十、 y型∈ 两个随机闭集X和Y的Y}也是一个随机闭集。请注意-X={-x：x∈ X}表示X相对于原点的反射；这不是加法的逆运算。关于随机闭集的更多资料，请参阅[11]。本文的组织结构如下。在第2节中，我们引入了可能非凸随机下闭集的选择风险度量，从而推广了[3]和[12]的设置。由于非凸性，无法通过使用包含投资组合的半空间来评估风险，如[4，5]中所述。在第3节中，我们讨论了两个基本的集值风险度量，一个是基于考虑集值投资组合的固定点，另一个是由-十、这两种情况对应于将消极本质和消极预期作为基本的数字风险度量。第4节探讨了选择风险测度取凸值且具有法律不变性的情况。第5节讨论了固定交易成本的重要案例。最后，第6节讨论了只有有限组可接受交易的情况。2非凸投资组合的风险度量选择2.1定义x p∈ {0}∪[1, ∞] 向量r（ξ）=（r（ξ（1）），适用于p-可积随机向量ξ=（ξ（1），…）分量的货币Lp风险度量的rd（ξ（d）），ξ（d））。关于随机变量的风险度量，我们参考了[1]和[2]。假设r（0）=0，并且r的所有分量在p-可积随机变量上是有限的。当说r是相干的或凸的时，我们的意思是它的所有分量都是相干的或凸的。

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2022-6-11 14:03:22

只有在必要时，才会施加Convexity或coherency属性，并且会明确说明这些属性。在以下许多情况下，我们考虑以下基本数字风险度量。1、负本质界r（ξ）=-essinfξ，它是一个L∞-风险度量。2、负期望r（ξ）=-Eξ，一个L-风险度量。3、平均值-at-R isk（或非原子情况下的预期差额）R（ξ）=-αZαF-1ξ（t）dt。在α级∈ ξ为（0，1）∈ L（R），其中Fξ是ξ和F的累积分布函数-1ξ是分位数函数。4、扭曲风险度量（ξ）=-采埃孚-ξ的1ξ（t）dg（t）（2）∈ Lp（R），其中g：[0，1]7→ [0，1]是一个（凹）畸变函数，g（t）=1-g（1-t）是双重失真函数，选择p以确保积分是有限的。p-可积下随机闭集X的选择风险测度定义为r（X）=cl[ξ∈Lp（X）（r（ξ）+Rd+，（3）其中并集接管X的所有p-可积选择。因此，x∈ R（X）当且仅当lim inf R（ξn）≤ x表示ξn∈ Lp（X），n≥ 向量之间的不等式总是协调的，下限也是协调的。选择风险度量值为上集，且（3）可被视为R（X）的原始表示。如果不对X施加凸性，则Adual表示是不可行的。如果0，则称随机集X是可接受的∈ R（X）。换句话说，如果X包含一系列风险收敛为零的选择，那么X是可接受的。r的货币属性得出r（X）是所有X的集合∈ Rd使得X+X是可接受的，即R（X）={X:R（X+X） 0}.2.2选择风险度量的性质[12]中介绍了凸X和相干r的选择风险度量。非凸X和一般monetar y r的一些性质很容易在[12]中采用的凸相干设置中显示t hoseknown的复制品。定理2.1。

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2022-6-11 14:03:25

选择风险度量满足p-可积下闭集X和Y的以下性质。i）单调性，即R（X） R（Y）i f X Y a.s.ii）现金不变性，即R（X+a）=R（X）- a代表所有确定性a∈ Rd.iii）如果r是齐次的，则r是齐次的，即对于所有确定性c>0，r（cX）=cR（X）。iv）如果r是凸的，则r i s共凸，即r（λX+（1- λ） Y） λR（X）+（1- λ） R（Y）（4）对于所有确定性λ∈ [0, 1].证据我们只证明了凸性，其余的都很简单。（4）右侧集合的所有元素协调地大于或等于tolim infλr（ξn）+（1- λ） r（ηn）对于ξn∈ Lp（X）和ηn∈ Lp（Y），n≥ 1、然后需要注意的是，ξ和η风险的凸组合支配r（λξn+（1-λ） ηn），这是（4）左侧的一个元素。r的单调性得到r（C+Rd-) = r（C）+Rd+表示C∈ Lp（Rd）。如果选择风险度量是齐次和凸的，则称其为共相关；如果r具有所有相干分量，则为这种情况。如果r是相干的，C是p-可积随机向量，X是p-可积随机下闭集，则r（C+X） r（C）+r（X）。（5）这很容易从（4）选择λ=1/2，Y=C+Rd中看出-, 注意，即使X是确定性集，也不能保证（5）中的等式。然而，在这种情况下，它提供了一个有用的可接受性条件：如果r（C）+r（X），则C+X是可接受的如果满足定理2.1中的相应性质，则为P可积随机集定义的一般集值函数（不一定使用选择构造）称为单调、现金不变、齐次或凸函数。

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2022-6-11 14:03:28

如果集值（选择）风险度量在同分布随机集上的值重合，则称其为定律不变性。2.3选择的选择选择风险度量的定义涉及对X的所有p-可积选择进行联合。即使对于简单的随机闭集，这个族也可能非常丰富。在下文中，我们讨论了适用于减少确定选择风险度量所需的选择族的一般方法。与下闭集F关联+F o其帕累托最优点，即点集x∈ F使y≥ x代表y∈ F只有在y=x时才可能。如果x是一个Randomlower闭凸集，则该集+X的帕累托最优点的X是一个随机闭集，参见[3，引理3.1]。在非凸情况下，引用的结果证明+X是可测量的，所以它的闭包cl+X是rando m闭集，参见【10，第2.6条】。如果+X是闭合的且p可积的，那么可以将（3）中的并集减少为+十、下随机闭集X称为拟有界，如果+X本质上是有界的；如果k，X是p-可积拟有界的+Xk是p-整数。考虑因素X=F∪ ··· ∪ Fm，（6）式中F，Fmare确定性下凸闭锥。对于下面的结果，假设r是凸律不变的，并且概率空间是非原子的。在这种情况下，r表示扩张单调性，即r（ξ）在条件期望ξ的风险中占主导地位，参见【2，Cor.4.59】和【9】。提案2.2。如果X是由（6）给出的确定性se t，那么可以将（3）中的并集简化为确定性xi的选择ξ=Pmi=1xiaif∈ Fi，i=1，m、概率空间的AndPartitions A={A，…，Am}。证据考虑ξ=PηiAiforηi∈ Lp（Fi），i=1，m。

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2022-6-11 14:03:32

通过扩张单调性，r（ξ）控制给定A的ξ的条件期望的风险。因此，可以用其条件期望取代ηib，这也是Fi中的一个点。在凸集中，如果X是C和一个凸闭集F的和，那么unionin（3）可以减少到可测量的选择，特别是由C.3不动点生成的σ-代数和对一个随机闭集X的期望，FX={X：P{X∈ 十} =1}表示其固定点集。如果X是下闭集，则集fx是下闭集；如果X是凸集，则集fx是凸集。提案3.1。设X为p-可积随机下闭集。对于任何货币风险度量产生的选择风险度量，我们有- 外汇 R（X）。（7）如果r的所有成分都是本质界的负值，则r（X）等于-十、证明。通过选择常量ξ=x∈ FXin（3）并使用r（x）=-x、我们看到（7）成立。如果L∞（十） 6=, 然后FX6=, 因为X是一个较低的集合。选择r时，所有成分均为基本成分的负值，很容易看出，如果选择X时，所有a.s.非负值成分均为负值，则X是可以接受的。在这种情况下，0∈ X a.s.，其中0∈ 外汇。注释还包括F-X=-外汇。固定点集是一个一致的选择风险度量，它具有法律不变性，不一定是凸值的。示例3.2。FX的凸包是Conv（X）的固定点集的一个子集（可能是严格的）。设X是r中的一个随机集，该随机集具有相同的取值可能性{(-a、 a），（a，-a） }+R-以及{(-b、 b），（b，-b） }+R-对于0<a<b，则FX={(-b、 a），（a，-b） }+R-, 而conv（X）的固定点集是线段与端点的总和(-a、 a），（a，-a）安德烈-.示例3.3。固定点集也出现在以下上下文中。允许Ohm ={ω, . . .

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2022-6-11 14:03:35

，ωn}是一个有限的概率空间，让r的所有分量都是α级风险的平均值≤ P（{ωi}），i=1，n、 ThenR（X）=-外汇=-n\\i=1X（ωi）。实际上，因为P（{ωi}）≥ α对于所有i，我们有r（ξ（j））=-任何ξ的min{ξ（j）（ωi），i=1，…，n}∈ L（X）。因为每个X（ωi）都是一个较低的集合，所以我们有-r（ξ）∈ X（ωi）表示所有i。为了显示混响se包含，假设X∈ 外汇。那么ξ=x是x的一个确定性选择，由此-x=r（ξ）∈ R（X）。如果p=1且r（ξ）=-Eξ是ξ的负期望，则R（X）成为(-X）。请注意，R（X）=-EX是一种相干的选择风险度量，它在凸随机集上具有法律不变量，但在非凸随机集上可能不是法律不变量。事实上，如果非凸确定性集F被视为在平凡概率空间上定义的随机闭集，则EF=F，而如果基础概率空间是非原子的，则EF=conv（F），参见[11，Th.2.1.26]。通过对期望随机集进行划分，并考虑不同的概率度量，可能很容易定义集值风险度量。这将对应于通过取线性函数的上确界来构造凸函数。然而，如果概率空间是非原子的，则TakingExpection会导致风险度量的凸值；否则，它取决于空间的原子结构。此外，即使在Convex设置中，这样的构造也可能不符合X中可接受选择的存在，如以下备注所示。备注3。4、对于任何家庭Z Lq（Rd+），使得所有ζ的Eζ=1∈ Z、 definerz（X）=\\ζ∈ZE公司(-ζX），（8），其中ζX={ζX:X∈ 十} 。注意，我们使用向量表示法，例如，eζ=1意味着ζ的所有成分都具有平均值1，而ζξ=（ζ（1）ξ（1），ζ（d）ξ（d））是ζ和ξ的坐标积。定义的RZ（·）满足定理2.1的所有性质。

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2022-6-11 14:03:37

然而，RZin general不是选择风险度量。实际上，通过lettingX=ξ+Rd-, 我们看到，相应的相干向量值风险度量由r（ξ）=supζ给出∈ZE公司(-ζξ), ξ ∈ Lp（Rd）。假设+X是p-可积有界的，因此E（ζX）对于所有ζ都是闭合的∈ Lq。然后0∈ RZ（X）当且仅当0∈ E类(-ζX）对于所有ζ∈ Z、等效地，对于每个ζ∈ Z有ξζ∈ 有限合伙人(+十）使E(-ζξζ) ≤ 由于这些选择ξζ可能因ζ的不同而不同，我们无法推断X在选择风险度量方面是可接受的。实际上，X的可接受性要求存在一个选择ξ∈ Lp（X）等(-ζξ) ≤ 0表示所有ζ。因此，RZI是一致集值风险度量的一个例子，然而，它不一定是一个选择度量。rzdoe下X的可接受性不能保证存在可接受的X选择。此外，该风险度量无法区分X及其凸包。4凸性和定律不变性单调性性质得出R（X）是R（conv（X））的子集。众所周知，如果基础概率空间是非原子的，则可积随机闭集的选择期望是凸的，请参见[11，Th.2.1.26]。这个结果来源于李亚普诺夫关于向量值测度范围的理论。凸随机集的选择风险度量也是如此，如果基础风险度量r是凸的，请参见[12，Th.3.4]。对于非凸参数，情况并非如此，请参见示例3.2和第5.2节。尽管如此，在某些情况下，R（X）是凸的，即使对于非凸X也是如此。假设p∈ [1, ∞], r=（r，…，rd）的分量是σ（Lp，Lq）-下半连续凸风险测度，因此ri（ξ）=supζ∈Lq（R+），Eζ=1E类(-ζξ) - αi（ζ）, ξ ∈ Lp（R），i=1，d、（9）式中αi:Lq（R+）7→ (-∞, ∞], i=1，d、是与r的分量相对应的惩罚函数。

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2022-6-11 14:03:40

下面的结果推广了次线性设置中的李雅普诺夫定理，另请参见【13】。定理4.1。让(Ohm, F、 P）是一个非原子的概率空间，并让radmit表示（9）的分量与α（ζ），αd（ζ）是完整的，除非ζ属于Lq（R）中的一个单元。那么R（X）是凸的。证据我们需要证明，对于两个选择ξ′，ξ′∈ Lp（X）和λ∈ [0，1]，存在ξ∈ Lp（X）使得r（ξ）≤ λr（ξ′）+（1- λ） r（ξ′）。鉴于r的凸性，必须确保r（ξ）≤ r（λξ′+（1- λ)ξ′′).假设α（ζ）a的所有成分都在有限集合Z={ζ，…，ζm}之外的ζ的有限中。考虑SSIGN到每个可测子集a的映射 Ohm 向量ν（A）=（E(-1Aζξ′），E类(-1Aζmξ′），E(-1Aζξ′），E类(-1Aζmξ′））∈ R2md。很容易验证，这是一个向量值度量。根据李亚普诺夫定理，其图像是闭凸的，因此存在一个可测子集a Ohm 使得ν（A）=λν(Ohm) + (1 - λ)υ() = λυ(Ohm).然后是E(-1Aζiξ′）=λE(-ζiξ′）和E(-1Aζiξ′）=λE(-ζiξ′）表示所有i。因此，E(-λζiξ′- (1 -λ） ζiξ′）=E(-ζi（ξ′）+1A（ξ′）- ξ′）=E(-ξiξ），其中ξ=ξ′A+ξ′aci是X的选择。因此，E(-ζiξ）- α（ζi）=E(-ζi（λξ′+（1-λ)ξ′′)) - α（ζi）≤ r（λξ′+（1-λ） ξ′），所以ξ确实是所需的选择。备注4.2。对于确定性下闭集F，选择风险度量R（F）并不总是等于(-F）。例如，在定理4.1的框架内，或在第5.2节固定交易成本的背景下，情况并非如此。如果有任何x，x，则称集合F为r-凸（或r为risk-凸∈ F和任意A Ohm 我们还有-r（1Ax+1Acx）∈ F那么F是r-凸的当且仅当r（F）=-F很容易看出，风险凸集的交集也是风险凸集。

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可人4

2022-6-11 14:03:43

如果r是负期望且概率空间是非原子的，则风险凸性对应于通常的凸性概念。如果r是负必要的，则每个下集都是风险凸的。备注4.3。考虑X={ξ，η}+Rd-. 那么R（X）是凸的当且仅当，对于每个∈ （0，1），存在∈ F使得tr（ξ）+（1- t） r（η）≥ r（ξ1A+η1Ac）。随机m集的选择族不一定是规律不变的，即它们可以对具有相同分布的两个随机集进行选择，参见【11，第1.4.1节】。这可能导致选择风险度量R不具有法律不变性。尽管如此，r的定律不变性凸X的选择风险度量的定律不变性，请参见[12]。下面我们考虑可能是非凸X的情况。如果风险测度r在随机向量的a.s.一致p-可积有界序列上是连续的，则称其为Lebesgue连续的。定理4.4。假设概率空间是非原子的，r是Lebesgueco连续风险度量。然后，选择风险测度R（X）在平整拟有界投资组合上是定律不变的。证据设X和X′共享相同的分布，以便相应的闭包Y=cl+X和Y′=cl+它们的Pareto最优点的X′是p-可积有界的，且具有相同的分布。利用Y′和Y′的Lebesgue性质和p-可积有界性，可以分别在Y和Y′的p-可积选择上取（3）中的并。让x∈ r（ξ）+Rd+表示ξ∈ Lp（Y）。由于L（Y）和L（Y′）的弱闭包重合（见[11，Th.1.4.3]），因此存在一个序列ηn∈ Lp（Y′）弱收敛于ξ。THNKηnk≤ 后一个随机变量是可积的。因此，{ηn，n≥ 1} 在L（Rd）中相对紧凑。

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2022-6-11 14:03:47

通过传递到子序列，可以得到ηnk→ ξ几乎可以肯定。Lebesgue连续性性质得出r（ηnk）→ r（ξ）。因此，r（ξ）∈ R（Y′），因为后者是闭合的。最后，x∈ R（X′），因为后一组是上的。众所周知，每个Lp风险度量值都是有限的，p∈ [1, ∞) Lebesguecontinuous，请参见[8]。对于p=∞, [6，Thms.2.4，5.2]为凸风险度量提供了Lebesgue连续性的等价公式。我们给出以下另一个标准。提案4.5。假设r是相干L∞-风险度量，使得r（ξ）=supζ∈ZE公司(-ζξ），其中Z是L（Rd+）的一致可积子集。那么r是勒贝格连续的。证据假设tξn→ ξa.s.和kξnk≤ 所有n和c>0的c a.s。根据Egorov定理，对于每个ε>0，存在一个概率最大ε的事件A，使得ξn→ ξ一致地分布在A的补码aco上。利用两个上界差的绝对值以差的绝对值的上界为界的事实，我们得到了kr（ξn）- r（ξ）k≤ supζ∈ZkE公司(-ζ（ξn- ξ） k级≤ supζ∈ZEkζksupω/∈Akξn（ω）- ξ（ω）k+2c kE(-ζ1A）k.右侧的第一项通过Ac上的一致性收敛到零，而第二项通过Z.5固定交易cos ts5.1的一致可积性收敛到零。选择风险度量的边界假设C的组成部分代表相同的货币，并且转移不受限制，但无论何时进行转移，都会产生固定成本κ>0。如果C是大写位置，则相应的可达位置集由X=C+Iκ和非凸集Iκ=Rd给出-∪ H-k价格为零的投资组合，其中HT={x∈ Rd：dXi=1xi≤ t} ，t∈ R、 C+Iκ选择风险度量的以下界限很简单。提案5.1。我们有（r（C）- Iκ）∪ R（C+H-κ) R（C+Iκ） R（C+H）。（10）证明。

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2022-6-11 14:03:51

从fa ct中首次包含C+x是对所有确定性x的C+Iκ的选择∈ Iκ和H-κ Iκ。第二个包涵体成立，因为Iκ H、示例5.2。（1 0）左侧的包含可能很严格。设d=2，letC为(-1，1）具有概率α，否则为（0，0）。对于任何0≤ β ≤ α、我们可以定义一个选择ξ∈ Iκ使得C+ξ等于(-κ、 0）概率β(-1，1）概率α- β、和（0，0），概率为1- α. 对这些选择进行风险度量表明，R（C+Iκ）包含具有端点（1，0）和（κ，0）的段上的所有点。以下结果提供了固定交易成本情况下选择风险度量的简单界限。提议5.3。i） i fκ≤ κ和C≥ Cco成分，则R（C+Iκ） R（C+Iκ）。ii）如果r是次加的，则r（C+C+Iκ） R（C+Iκ）+R（C+Iκ）每当κ≤ min（κ，κ）。证据i）注意iκ Iκ代表κ≤ κ、 andC+Iκ C+Iκ C+Iκ。ii）来自Iκ+Iκ Iκ和选择风险度量的单整性。以下结果确定了C+HTS的选择风险度量，在某些情况下，总支付风险=C（1）+···+C（D）。如果r与所有相同的组分一致，则很容易看出C+HTC是可接受的，当且仅当D是可接受的。下面的结果涉及到这样一种情况，即除了一个组件外，r的所有组件都是相同的。提案5.4。i）如果r的所有分量都是相同的凸风险测度r，则r（C+Ht）=-Ht公司-dr（日/日）。ii）如果r的一个组成部分是负的，其他所有组成部分都是相同的风险度量r，则r（C+Ht）=-Ht公司-（d）-1） r（Dd-1).iii）如果r的一个组成部分是负预期，而所有其他组成部分都是相同的风险度量，则r（ξ）≥ -Eξ表示所有ξ∈ L（R），则R（C+Ht）=-Ht公司-教育证明。根据现金不变性，可以假设t=0。

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2022-6-11 14:03:54

声明i）如【3，Th.5.1】所示。ii）假设r的第一个组成部分是负必要的。请注意，0∈R（C+H）当且仅当存在一个选择ξ，使得Pdi=1ξ（i）≤ 0，C（1）+ξ（1）≥ 0 a.s.和r（C（i）+ξ（i））≤ 0表示i=2，d、通过r，r的凸性和单调性Dd公司- 1.= rd- 1dXi=1C（i）≤ rd- 1dXi=2（C（i）+ξ（i））≤dXi=2d- 1r（C（i）+ξ（i））。因此，如果r（C（i）+ξ（i））≤ 0表示所有i=2，d、然后0∈ -H-（d）-1） r（Dd-1). 另一方面，如果r（Dd-1) ≤ 0，则让ξ（1）=-C（1）和ξ（i）=-C（i）+D/（D）- 1），i=2，d、产生C+H的选择ξ，即r（C+ξ）≤ 0.iii）如果0∈ R（C+H），则存在ξ，使得E（C（1）+ξ（1））≥ 0和r（C（i）+ξ（i））≤ 0，i=2，d、表示η=d- C（1）- ξ(1). SincePdi=2ξ（i）≤ -ξ（1），我们有dxi=2（C（i）+ξ（i））=D-C（1）+dXi=2ξ（i）≤ η.因此，rη/（d）- 1)≤d- 1r级dXi=2（C（i）+ξ（i））≤d- 1dXi=2r（C（i）+ξ（i））≤ 0。（11）注意E（C（1）+ξ（1））≥ 0等于Eη≤ ED.不等式（11）得出-Eη≤r（η）≤ 0。因此，0≤ Eη≤ 根据需要进行ED。如果ED≥ 0，通过ξ（1）=-C（1）+D和ξ（i）=-C（i），i=2，d、然后E（C（1）+ξ（1））≥ 0和C（i）+ξ（i）=0，对于i=2，d、从何处0∈R（C+H）。5.2固定交易成本如果C=0如果C=0，则投资组合X=C+Iκ=Iκ是确定性的。然而，在非对流酶中，R（Iκ）可能是(-Iκ）。例如，当R（Iκ）=-H=转换(-Iκ）。在下文中，假设r是一致的风险度量，d=2。根据命题2.2，必须考虑选择ξ=（x，y）1满足x+y=-κ与（x，y）/∈ R-. Ifx公司≥ 0左右y≤ 0，则r（ξ）=（xr（1A），-年(-1A））。如果x<0，则r（ξ）=(-xr公司(-1A），年（1A））。因此，Iκ的风险由setBr={（r（1A），r(-1A））：A∈ F} ，其中P（A）=0到1之间的β值。

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大多数88

2022-6-11 14:03:58

ThenR（X）=[t≥0，（b（1），b（2））∈Br公司（tb（1）(-κ - t） b（2）），（tb（2），（t- κ） b（1））+ R+。（12）示例5.5。设d=2，且r=（r，r）的两个分量为风险a t水平α的平均值。如果P（A）=β，则（r（1A），r(-1A））=(0, β/α), β ≤ 最小值α, 1 -α),(0, 1), α < β ≤ 1.-α, α ≤ 1/2,(-1 + (1 - β)/α, β/α), 1 - α < β ≤ α, α > 1/2,(-1 + (1 - β） /α，1），最大值（α，1- α) < β ≤ 因此，如果α≤ 1/2，当Bris为两段的并集[（0，0），（0，1）]和[（0，1）(-1，1）]，它不依赖于α。在这种情况下，（12）得出R（Iκ）=-Iκ。现在假设α>1/2。然后Bris是连接点（0，0），（0，1/α）的线- 1),(1/α - 2、1）和(-1, 1). 只有中间部分与情况α不同≤ 1/2. 如果t>0，则点{（tb（1），（t- κ） b（2））：（b（1），b（2））∈ Br}-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0图1：Rκ=1和α=0.75的集合R（Iκ）的左下边界。用端点（0，（t）构成线段- κ)(1/α -1））和（t（1/α-2），t- κ). 计算这些片段的下包络线得出r（Iκ）=n(-x、 y）：x≥ 0，y≥ 最小值κ+x，√x+pκ（1/α- 1)o[n（x，-y）：y≥ 0，x≥ 最小值κ+y，√y+pκ（1/α-1)o、图1显示了α=0.75时的Iκ风险。该集合随着α的增长而增加，并变为conv(-Iκ）如果α=1.6可容许交易的有限集，当可以显式计算非凸集的选择风险度量时，我们考虑另一种特殊情况。假设可能的交易被限制为属于Rd中的有限终止集M，即X=C+M+Rd-.设r的所有分量r都是具有失真函数g的失真风险度量（2）。由于R（X）的分析计算不可行，可以使用（5）到达边界（C+M+Rd-) r（C）+r（M）+Rd-).在下文中，我们确定尺寸d=2中右侧的最后一项。示例6。1.

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2022-6-11 14:04:01

考虑两点集M的情况。通过平移，始终可以假设0∈ M、如果M由xy<0的两点（0，0）和（x，y）组成，则R（x）由所有A的一组值R（（x，y）1A）确定∈ F、在不丧失一般性的情况下，假设x>0，y<0。自r（1A）=-g（β）和r(-1A）=1-g（1-β） =g（β）如果P（A）=β，我们有R（M+R-) =[β∈[0,1]- g（β）x，（g（1- β) -1） y型+ R+。示例6.2。设M={（x，y），（x，y），（x，y）}由三个点组成，并假设x<x=0<x，y>y=0>y。在这种情况下，可能的选择可以是两个点选择这三个点中的两个点（在这种情况下，风险计算为样本6.1），三个点选择以正概率α，α，α达到所有三个点，α+α=1。三点选择的风险可以直接计算，因此R（M+R-) =[α+α≤1,α,α≥0- xg（α）- xg（α），-yg（α）- yg（α）+ R+。参考文献【1】F.Delbaen。货币效用函数。大阪大学出版社，大阪，2012年。[2] H·F¨ollmer和A·Schied。随机金融。离散时间简介。DeGruyter，柏林，第2版，2004年。[3] A.Haier、I.Molchanov和M.Schmutz。集团内部转移、集团内部多元化及其风险评估。安。《金融》，12:363–3922016。[4] 哈默尔和海德。集值风险度量的对偶性。暹罗J.FinancialMath。，1:66 –95, 2 010.[5] A.H.哈默尔、F.海德、A和B.鲁德罗夫。锥形市场模型的集值风险度量。数学芬南。《经济学》，2011年5:1-28。[6] E.Jouini、W.Schachermayer和N.Touzi。法律不变风险度量具有Fato特性。高级数学。经济。，9:49–71, 2006.[7] 于。M、卡巴诺夫和萨法里。具有交易成本的市场。数学理论。柏林斯普林格，2009年。[8] M.Kaina和L.R¨uschendorf。关于Lp空间上的凸风险测度。数学冰毒。操作。Res.，69:475–4952009。[9] J.L eitner。

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