现代经济增长可以通过在一定时间范围内使用指数函数来近似（尼尔森，2014），但也可以采用其他轨迹。将任何类型的增长描述为指数增长的流行习惯是不合理的，因为还有许多其他类型的增长。对数据的仔细分析对于解释增长机制至关重要，因为数据可以帮助消除各种不相关的机制。例如，过去的经济增长和人口增长可以用简单的一阶双曲线分布来描述（尼尔森，2014；冯·弗斯特，莫拉和阿米奥特，1960）。这些信息已经向前迈出了重要的一步，因为与其寻找各种可能的增长机制，我们现在可以专注于试图解释为什么历史增长是双向的。我们也可以根据经验增长率的检验，采取另一种方法。双曲线增长的增长率与增长实体的大小成正比。所以现在我们甚至不必问为什么增长是双曲线的，这个问题可能很难回答，因为双曲线分布似乎很复杂，但要问为什么增长率与增长率的大小成正比，这可能更容易回答，因为线性趋势比更复杂的双曲线趋势更容易理解。对S或（）的直接分析很简单，不需要任何进一步的解释。Weshall现在专注于分析增长实体S的增长率R或适当定义的函数（）FS的增长率，如（）lnF S。一般概念是使用最简单的数学分布重现增长率。

Weshall展示了如何将这种简单的增长率数学表示转化为描述研究过程增长的数学表达式。导出的数学公式可能看起来并不简单，但它们将基于最简单的起始步骤。基于这些程序的数据数学表示不仅可以用来描述现有数据，还可以用来预测未来的增长。即使我们知道增长的机制，也没有绝对可靠的预测，因为增长的机制可以改变。我们只能在这样的假设下预测未来，即机制将保持不变，过去的模式将反映在未来的增长中，但即便如此，我们也可能有不止一条未来路径。然而，基于对数据进行严格分析的此类预测可能是有用的。例如，如果我们能够证明经济指数增长的可能性很大，我们可以把这种预测作为一个警告信号，因为指数增长会无限期地增长，并且在一定时间内变得不可持续。其他类型的增长也可能变得不可持续，探索这种可能性是有益的。数学方法生长率由以下等式定义：11dS SRS dt S t（1），其中（）sti是生长实体的大小，t是时间。更明确地说，对于数据的直接计算：1111IIIS t。（2）规模可以代表，例如，国内生产总值（GDP）或人口规模。然而，所描述的数学方法具有普遍的应用。原则上，它们可以用于任何类型的生长。

如果我们有足够多的数据，我们可以使用它们来确定经验增长率，进行数学分析，使用其数学描述来拟合数据并预测增长。如果使用适当定义的分布（）FS而不是S来进行数据分析，那么起点是计算（）FS的增长率：1（）1（）（）（）dF S SRF S dt F S t。（3）使用等式（2）直接从数据计算is增长率的最简单方法。然而，这种计算对局部梯度/林分很敏感。因此，它们通常会产生剧烈波动的增长率，这掩盖了趋势。更好的方法是使用多项式插值梯度/St计算增长率。这种方法可以更清晰地表示增长率。应该注意的是，在拟合数据和预测增长时，增长率的剧烈波动对增长实体的规模没有影响（尼尔森，2015b）。同样，即使是增长率的巨大变化或波动，通常也会产生微不足道的影响。增长实体的行业不是由这些变化决定的，而是由相应增长率的总体趋势决定的。作为一个例子，我们展示了瑞典的数据及其使用恒定自然增长率（RNI）的分析结果。图1的顶部显示了出生率、死亡率以及自然增长率，在这种情况下，这与增长率大致相同，因为迁移率较小。这个数字的下半部分显示了人口的相应增长。很明显，即使是RNI或增长率的大幅波动也没有反映在人口增长中。

这些波动可以忽略不计。此外，如图1顶部所示，RNI（或增长率）不会在一个恒定值附近波动。尽管如此，一个产生指数增长的常量可以很好地复制数据。当RNI（或增长率）远离假定的常数值时，计算的指数增长和数据之间的明显差异就在显示的分布接近尾声时。为了研究这一特性，还需要包含更多的数据。这可能只是暂时的偏离，但也可能是转向一种新趋势。我们的目的不是分析瑞典的数据，而是证明即使是简单的增长率轨迹近似也可以成功地描述人口增长或任何其他增长实体的增长。因此，我们不仅可以忽略增长率的波动，还可以忽略其周期性、长期性的变化，我们只能用增长率的总体趋势来研究增长轨迹和计算未来趋势。图1。瑞典人口统计资料（瑞典统计局，1999年）。增长率可以表示为时间的函数，也可以表示为增长率大小的函数。我们现在将讨论这两种可能性。如果经验定义的增长率可以用一个特定的时间相关函数（）ft来描述，即if1（）dSftS dt，（4）那么为了找到数据的数学表示，我们必须求解以下微分方程：（）dSf t dtS。（5） 它的解决方案是（）exp（）stdt。（6） 如果（）f t r const，（7）等式（4）的解由指数函数（）rtS t Ce（8）给出，其中C与积分常数有关。

等式（8）描述了指数增加，if0ror减少，if0r。如果经验确定的增长率可以用一条直线来表示，即If（）f t a bt，（9）其中a和b是常数，那么2（）exp 0.5S t C在bt.（10）在这种情况下，（）Stis2（）exp 0.5dS tC a bt在btdt。（11） 如果a和b都为正值，则size（）将继续无限期地增加。然而，如果拟合的直线在减少，即如果0b在0a时，则（）st将在/t a波段达到最大值，然后开始减少。现在让我们假设，经验确定的增长率可以表示为增长实体大小的函数，S:1（）dSfSS dt。（12） 我们可以将这个方程表示为（）dSdtS f S.（13）我们现在有一个数学上更复杂的问题，因为对于这类微分方程的解没有单一的公式。在最简单的情况下，当（）f S r const时，解再次由一个指数函数表示。如果我们采取下一个最简单的步骤，并假设（）Fs由一条直线表示，即如果（）Fs a bS，（14），那么我们有以下微分方程：dSdtS a bS。（15） 为了找到如何积分这个方程的左边，让我们考虑一个一般情况：（）（）dxa bx c ex，（16）其中a，b，c和e是常数。为了积分这个分数，我们把它分成两个分数：1（）（）ABa bx c ex a bx c ex，（17）其中a和B是某些常数，我们现在必须确定。等式（17）的右侧可以表示为（）（）（）（）AB c ex A bx Ba bx c ex A bx c ex。

（18） 通过比较等式（17）和（18），我们可以看到（）（）1c exa bx B，（19），这给了我们一组两个方程：1cA aB，（20a）0eA bB。（20b）他们的溶液是Ba，（21a）eB，（21b）其中Cb是ae。（22）现在，方程（17）可以替换为1（）（）（）bea bx c ex a bx c ex。（23）这个方程左边的积分可以替换为两个更简单的分数的积分。它们的整合可以通过替换来完成。因此，举例来说，如果我们使用一个bx，我们得到1个ln（）dudx u a bxa bx b u b b b。因此，我们得到了一个有用的积分通式。特别是，我们现在可以看到1ln（）dx a bxx a bx a x，（26）因为0c，1e和随后的a。我们现在准备好解方程（15）。方程两边的积分dSDTS a bS（27）给出1LNA BSTCA（28），其中C是积分常数。简单的算术运算可以得到以下等式（15）的解：1atbS-Cea。（29）常数C可以通过将计算出的S标准化为特定时间0t，000ata bSCS ae的数据来确定，（30）其中0t是在选定时间0t增长实体（例如GDP）的经验规模。Ifa bS r const，即如果增长率是恒定的，则等式（29）给出指数增长。我们有两种可能性：一个B代表的增长率随着增长实体的大小而增加或减少：1 dSa bSS dt。（31）如果是0b，则等式（29）代表增长的逻辑类型。这种增长特征的增长率呈线性下降。

增长实体的相应大小S逐渐接近ASB的最大值。（32）等式（32）定义了生长的数学极限，通常被描述为承载能力，但只有当参数a和b与定义明确且充分探索的生态极限明确且令人信服地相关时，它才是承载能力；否则，计算出的极限只是计算出的增长极限，它可能代表也可能不代表承载能力。例如，如果我们考虑GDP的增长，如果我们使用增长率的经验值以经验方式确定参数a和b，那么认为计算出的S代表了以经验方式确定的承载能力是不正确的，因为过去的经济增长可能会遵循不安全的轨迹，而经济崩溃可能早就发生了达到计算出的极限。出于这个原因，将逻辑极限描述为承载能力可能会产生误导，最好避免这样的描述。同样的注释也适用于使用等式（10）时计算出的最大值。即使使用经验确定的参数a和b，计算出的最大值也只是计算出的最大值。它也没有描述承载能力。在有限资源的情况下，甚至在达到根据经验确定的参数计算的最大值之前，增长可能会终止。如果0b然后，根据等式（29），增长在1Lnsbtta aC时接近奇点（从逸出到完整）。

（33）这种类型的增长类似于双曲线增长，其特征是历史经济增长和人口增长（尼尔森，2014年，2015a；冯·弗斯特，莫拉和阿米奥特，1960年）。双曲线增长（或者更精确地说，一阶双曲线增长）由以下简单方程给出：1（）S C bt，（34）其中0b。双曲线增长逃逸到无穷大。（35）双曲分布是下列微分方程的解：1 dSbSS dt。（36）如果我们将这个方程与等式（31）进行比较，我们可以看到它们是相似的。在这两种情况下，增长率都随增长实体的大小线性变化。然而，对于双曲线增长[eqn（36）和0b]来说，增长率与S成正比，对于等式（31）所描述的增长，线性变化的增长率被参数a取代。这是一个微小的差异，但会产生显著的后果，理解这两种不同增长模式之间的相似性和差异非常重要。由等式（29）和（34）给出的相应解for0b如图2所示。它们的倒数值1/（）St如图3所示。微分方程（31）及其解（29）所描述的0bis的分布不是双曲线的，但在固定时间内它会逃逸到无穷大[见等式（33）]。因此，我们可以称之为伪夸张分布。图2。将方程（34）给出的双曲分布与方程（29）给出的伪双曲分布进行比较。在这个例子中，它们同时逃逸到同一个地方。图3。

比较等式（34）给出的双曲分布和等式（29）给出的伪双曲分布的倒数值1/（）St，求0b。在本例中，它们同时穿过水平轴。伪双曲分布倒数值的极限为/ba。各自的微分方程（31）和（36）之间奇怪的区别在于，eqn（31）不能被视为eqn（36）的推广。这两个方程必须独立求解。等式（31）的解不能用于推导等式（36）的解。虽然解方程（31）很困难，但解方程（36）很简单。溶液可通过置换1SZ获得。这两种分布，即等式（34）所描述的双曲分布和等式（29）所描述的伪双曲分布，在某一时间逃逸到无穷大，但它们的互易值1/S（见图3）的行为存在本质差异。对于双曲线增长，倒数值随时间线性减小。对于由等式（29）给出的伪双曲增长，它们非线性减小，接近/ba的极限。在图2和图3所示的示例中，伪双曲增长的参数为：24.475 10a，32.155 10B 381。437 10C。双曲增长的参数32。155 10band04。376 10C。奇点在2031年。35吨。表1总结了所讨论的微分方程、其解及其性质。拟合数据和预测增长也可以通过将S的增长率替换为任何适当定义的分布的增长率来实现。这里的目的再次是寻找增长率的最简单数学描述。

如果S增长率的数学描述很复杂，那么（）F增长率的数学描述可能会更简单。通过寻找数据的替代表示法，可以简化对数据的分析，总体思路是尽可能将分析简化为最简单的数学表达式——直线。表1。讨论的微分方程及其解和性质摘要微分方程解注释1 dSrS dtrtS CEE指数增长（if0r）或下降（if0r）1（）dSftS dtexp（）S C f t dt1 dSa btS dt2exp 0.5S C在btIf0b，增长无限期增加If0b，增长在/t a b1 dSbSS dt1（）S C btIf0b达到最大值，双曲线增长。在/st C b处出现奇点。倒数值1/S随时间线性减小。1 dSa bSS dt1atbS CeaIf0b：伪双曲线增长。奇点为1Lnsbta aC。倒数值非线性降低至/bawhentt。If0b：物流增长。S逐渐增加至/abwhentt。因此，例如，iflnFS，其中S代表增长实体的经验确定的大小，以及if1 dFa btF dt，（37）然后2EXP（0.5）F C在bt，（38）和2EXP exp（0.5）S C在bt（39）iflnFS和if1 dFa bFF dt，（40）然后1ATBF Cea，（41）和1ExpatBS Cea。（42）等式（39）和（42）给出的S的数学表示并不简单，但它们是可以接受的，因为它们基于将数据的数学分析简化为F增长率的直线给出的最简单表示。我们还可以通过用合理定义的函数（）FR替换增长率R来扩展这种替代表示。

如果S增长率的数学描述变得复杂，那么一个适当定义的函数（）fR可能会简化分析。因此，例如，对S的经验增长率的视觉检查可能表明，它在很大程度上依赖于时间。我们可以尝试将双曲线分布与经验确定的增长率相匹配，但通过检查R的倒数值来检查分布是否为非双曲线也是一个好主意，因为如果1/R沿着直线，则R为双曲线。如果1（）F R a btR（43），那么11dsr dt a bt（44）双曲分布不像直线那么简单，但它可以简化为一条直线，这更容易接受和理解。这样的练习增加了人们的信心，即分布确实是双曲线的，或者至少可以很好地近似于双曲线分布。微分方程（44）可以表示为ds dtS a bt，（45），当积分时，它给出1ln ln（）S a bt Cb。（46）因此，1/（）bS C a bt（47）是因为exp（ln）zz。最后两个方程中的常数C不同，但这并不重要，因为它们只是归一化常数，必须通过将计算的S与其相应的经验值进行比较来确定。等式（47）并不简单，但它是通过将数学分析简化为等式（43）给出的最简单的数学表达式而得到的，等式（43）确定了R的双曲线分布。

基本的起始步骤很简单，S的导出表达式，即使很复杂，也可以被高度信任地接受。如果对经验增长率R的目视检查表明它遵循指数分布，我们可以尝试将指数函数拟合到R，或使用这些参考的对数标度来显示它。如果R a bt，（48）那么1exp（）dSa btS dt（49），这个方程的解再次表示C eb（50），这不是对S的简单描述，但这个复杂的表达式是用R vialn R的最简单表示法推导出来的。这里给出的S的所有数学描述[见等式（10）、（29）、（34）、（39）、（42）、（47）和（50）]都不简单，但它们都是用相关量的最简单数学表示法推导出来的。构造复杂但可疑的公式很容易，但即使是复杂的公式，如果使用简单且可接受的假设推导出来，也是可以接受的。图3和图4使用世界GDPdata（世界银行，2015年）说明了所讨论方法的应用示例。在图4中，我们给出了GDP增长率的两组计算结果：（1）直接从数据计算的增长率，（2）使用插值梯度计算的增长率。正如预期的那样，直接根据数据计算的增长率具有强烈波动的特点。这样的计算无助于揭示这种正在恶化的趋势。然而，如果我们使用插值梯度计算增长率，趋势就会变得清晰。图4。描述1960年至2014年全球经济增长的增长率R，直接从数据R（直接）计算，并使用插值梯度R（细化）。使用世界银行（2015年）的GDP数据进行计算。图5。

使用1980年至2014年期间的增长率线性近似值和每年2.5%的恒定增长率拟合GDP数据和预测增长。计算得到了世界银行（2015年）GDP数据的支持。使用插值梯度计算的增长率遵循常见数学分布的倒数（Nielsen，2011），此处标记为最佳拟合，这将在单独的出版物中讨论。世界GDP增长率通常接近2.5%的恒定值，接近2014年的2.7%。世界经济增长已经大致呈指数级增长。在这里，我们将使用更简单的近似值：一条通过拟合1980年至2014年的经验增长率获得的逐渐递减的直线，如图4所示，以及一条代表GDP指数增长的水平直线。1980年至2014年间随时间变化的增长率的线性近似值由以下参数描述：13.895 10和41。80510B。在这种近似下，增长率缓慢下降到零，因此如果我们在Eqn（10）中使用这些参数，我们可以预期未来的经济增长将达到最大值，并开始下降。然而，直线的梯度很小。从1980年到2014年，增长率从每年3.5%下降到只有2.7%。图5所示的指数轨迹是使用2.5%的恒定渐近增长率计算的。如果增长率保持不变，到本世纪末，世界GDP将增长到2005年的500万亿美元左右，前提是这种增长能够得到支持。

然而，如果增长率呈线性下降，如图4所示，那么世界GDP的增长预计将在2158年左右达到最高约390万亿美元，前提是如此巨大的GDP可以得到生态支持。总结和结论我们讨论了增长率分析和预测增长的数学方法。在最简单的应用中，增长率要么是时间的函数，要么是增长实体大小的函数。这样做的目的是找到增长率的最简单数学描述，并用它来计算增长轨迹。在extendedapplication中，我们可以定义一个数量（）Fs，它取决于增长实体的大小，我们可以通过检查F的时间依赖性或大小依赖性来应用相同的方法。所描述的方法是对增长性大小S的常规分析或对适当定义的分布的分析的扩展根据具体情况，例如（）1/fssor（）ln（）fss。这些方法使用世界GDP数据进行了说明，但它们可以有更广泛的应用。参考Ashraf，Q.H.（2009）。关于比较经济发展的深层决定因素的论文。普罗维登斯布朗大学经济学系博士论文。Artzrouni，M.，和Komlos，J.（1985）。历史中的人口增长和逃离马尔萨斯陷阱：一个稳态模拟模型。属，41，21-39。鲍姆（2011）。Oded Galor：10万年的经济增长过程。http://news.brown.edu/features/2011/06/galorGalor，O.（2005a）。从停滞到增长：统一增长理论。P.Aghion&S.Durlauf（编辑），《经济增长手册》（第171-293页）。阿姆斯特丹：爱思唯尔。Galor，O.（2005b）。

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