分位数相干性：周期性数据之间相关性的一般度量

2022-5-9 08:59:51

条款编号：ectj？？？？？？《计量经济学杂志》（2018），第20卷，第1-22页。分位数相关性：周期性经济变量Jozef Barunik+和Tobias Kley+之间相关性的一般度量。捷克科学院计量经济系，布拉格查尔斯大学经济研究所。电子邮件：barunik@fsv.cuni.cz——布里斯托尔大学数学学院。电子邮件：托比亚斯。kley@bristol.ac.ukReceived：2018年10月摘要在本文中，我们引入分位数相干性来测量频域联合分布中出现的一般依赖结构，并认为这种依赖性对于经济时间序列来说是自然的，但在仅采用传统分析时仍然不可见。我们定义了捕获一般依赖结构的估计量，详细分析了它们的渐近性质，并讨论了如何对一类可能的非线性过程进行推理。在一个实证例子中，我们检验了双价股票市场回报的依赖性，并为金融市场尾部风险的测量提供了新的思路。我们还提供了一个建模练习，以说明应用研究人员在评估时间序列模型时如何利用分位数相关性。关键词：交叉谱分析、等级、Copula、股市、风险。1.二阶矩以外的依赖结构经济学研究人员面临的一个基本问题是如何量化经济变量之间的依赖关系。虽然相关变量是经济学中比较常见的现象，但通常情况下，研究中的强相关变量是真正独立的，我们测量的只是虚假的相关性；见Granger和Newbold（1974）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 08:59:54

相反，但同样具有欺骗性的不相关变量可能在联合分布的不同部分和/或不同频率中具有依赖性。当使用基于非线性相关和传统互谱分析的经典测度时，这种依赖性保持隐藏；参见Croux等人（2001年）、Ning和Chollete（2009年）以及Fan和Patton（2014年）。因此，从平均量导出的传统模型，例如基于协方差的度量，可能会产生误导性的结果。在本文中，我们介绍了一类新的交叉谱密度，它表征了联合分布在频率上（即相对于周期）的分位数依赖性。随后，前面提到的分位数光谱的标准化产生了一个相关量，我们称之为分位数相干性。我们定义并激励基于分位数的互谱量，与传统的互谱量类似。然而，新的衡量标准不是根据联合矩（即，通过对联合分布进行平均）来量化依赖性，而是根据超过分位数的可能性来定义。所以，它们被设计用来检测研究变量之间可能出现的任何一般类型的依赖结构。这种复杂的动态可能会在许多宏观经济或金融领域自然出现皇家经济学会2018。由Blackwell出版社有限公司出版，地址：英国牛津大学考利路108号OX41JF和美国马萨诸塞州马尔登大街350号，邮编：02148。arXiv:1510.06946v2[math.ST]20182年12月27日J.Barunik和T.Kleyseries，如增长率、通货膨胀、房地产市场或股市回报。在金融市场中，一项资产中的极端稀缺和负面事件可能会导致非理性的出局和恐慌，导致投资者忽视经济基本面，并在其他资产中造成类似的极端负面后果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 08:59:58

在这种情况下，市场之间的联系可能比小规模或正回报的平静时期更加紧密；参见Bae等人（2003年）。因此，在股票市场中，大负值的同时出现可能比反映经济主体不对称行为的大正值的同时出现更常见。此外，联合分布分位数的长期影响可能与短期影响不同，这是因为在不同的投资期限内，经济主体的风险感知不同。这种行为在联合分布的不同部分产生了不同程度的持久性，而平均而言，股市回报率仍然不稳定。在单变量宏观经济变量中，研究人员记录了不对称调整路径（参见Neftci（1984）和Enders and Granger（1998））作为企业更倾向于价格上涨而非下跌。不同分位数的不对称商业周期动态可能是由对产出的正向冲击比负向冲击更持久造成的。虽然产出波动已知是持续的，但Beaudry和Koop（1993）记录了更长时间内的持续性较低。在不同的视野中，这种不对称的依赖性可以被多个变量共享。由于传统的基于协方差的方法仅将平均信息纳入ac计数，因此传统方法无法识别这些类型的相关性。本文介绍的分位数互谱分析揭示了这种依赖结构，它可以从根本上改变我们看待经济时间序列之间依赖关系的方式，并为经济和金融变量之间相互作用的建模开辟了新的可能性。分位数互谱分析为估计经济时间序列之间的相关性提供了一个通用、统一的框架。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:01

正如Granger（1966）的早期研究所指出的，经济变量的谱分布具有典型的形状，它将长期波动与短期波动区分开来。这些波动指向不同频率的经济活动（剔除平均趋势和季节成分后）。在Granger（1966）研究了单个时间序列的行为之后，使用互谱分析来识别变量之间的相关性的重要文献迅速出现（从Granger（1969）到最近的Croux等人（2001））。研究人员不再只考虑横截面相关性，而是开始使用相干性（依赖频率的相关性）来研究多个时间序列的短期和长期动态特性，并确定商业周期的同步性；见Croux等人（2001年）。在他最后的一篇论文中，Granger（2010）假设了分位数中可能存在的协整关系，从而提出了分位数互谱分析所要解决的第一个一般依赖类型的概念。肖（2009）提出的分位数协整部分解决了这个问题，但不允许充分探索联合分布中不同分位数相关性的频率依赖结构。图1中描述了三个玩具示例，说明了分位数互谱分析的潜在影响。在每个例子中，都考虑了一种不同类型的依赖：横截面依赖（左）、串联依赖（中）和独立性（右）。我们考虑二元过程（xt，yt），它们具有所需的依赖结构，但在传统的相干性方面是不可区分的。在这些例子中(t）是标准正态分布随机变量的独立序列。在图1的左栏中，出现了坦然这是描述的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:04

注意这一点很重要坦然2.它们是不相关的。因此，传统的一致性(T2t）c 英国皇家经济学会2018分位数相关性30.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.75 | 0.750.5 | 0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.75 | 0.750.5 | 0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.75 | 0.750.5 | 0.5图1。进程XT和yt之间依赖关系的说明。所有频率的读数都为零，尽管很明显坦然我们是独立的。从新引入的分位数相干性可以很容易地观察到这种相关性。更准确地说，我们可以区分分布中每个部分的不同依赖程度。例如，分布中心没有相关性（即0.5 | 0.5），但当分位数水平不同于0.5时，相关性变得明显。1在这个例子中，分位数的相干性在频率上是恒定的，这与没有序列相关性的事实相一致。在图1流程的中柱中(T2t-1）我们引入了时滞。直观地说，从长远来看，这个二元过程的分位数依赖性将与前面的示例（左列）相同，即频率接近于零。随着频率的增加，依赖性将下降或逐渐倾向于符号相反的值，而高频率的运动由于滞后偏移而相反。这显然是由分位数相干性所捕获的，而依赖结构将远离传统的相干性，因为它将分位数之间的依赖性平均化。我们可以认为这些过程是“虚假独立的”。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-9 09:00:07

为了证明所考虑的过程真正独立时分位数相干性的行为，我们在图1的右栏中观察到独立的二元高斯白噪声的量，其中分位数相干性在所有分位数和频率上显示零相关性，如预期的那样。这些插图有力地支持了我们的观点，即需要更一般的衡量标准，以便更好地理解变量之间的依赖关系。这些非常简单但富有启发性的激励示例侧重于不相关变量的非覆盖依赖性。在本文后面（第6节），我们进一步讨论了基于分位数向量自回归（QVAR）的数据生成过程，它能够生成更丰富的依赖结构，再次揭示了传统方法的局限性。图2显示了QVAR（1）、QVAR（2）和QVAR（3）示例过程的分位数相干性的实部。此外，在S3节中，我们将讨论如何在二元GaussianVAR（1）的特殊情况下解释分位数相干性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了符号、定量相干及其估计。在第3节中，我们讨论了提出的方法和相关文献。在第4节中，我们对estima-1进行了严格的渐近分析，所有图都显示了插图目的复值量的实部。关于如何解释分位数相干性的实部和虚部的进一步讨论推迟到第3节。C 英国皇家经济学会20184 J.Barunik和T。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:11

克莱。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图2。向量分位数自回归过程之间相关性的说明。tor的统计特性。在第5节中，为了从实证上支持我们的理论讨论，我们采用新的方法来检验二元股票市场收益率，这是经济学中最显著的时间序列之一，并揭示基于分位数的特征周期的相关性。我们在第6节继续我们的实证研究，使用分位数相干性来比较时间序列模型在捕获收入相关性方面的能力。在本文的补充材料（可从出版商的shomepage上获得）中，我们讨论了其他基于分位数的交叉谱量（第S1节），讨论了分位数向量自回归过程作为富动态的例子（第S2节），讨论了新的基于分位数的谱量及其传统计数部分之间的关系（第S3节），陈述其他理论结果（第S4节），评论区间估计量的构造（第S5节），并为所有理论结果提供严格证明（第S6节）。分位数互谱量及其估计∈Zdenotes是一个d-变量，严格平稳过程，成分为Xt，j，j=1，Di、 e.Xt=（Xt，1，…，Xt，d）0。Xt，jj的边际分布函数用Fj表示，用qj（τ）：=F表示-1j（τ）：=inf{q∈ R：τ≤ Fj（q）}，其中τ∈ [0,1]，我们表示相应的分位数函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:15

我们使用约定 = +∞, 如果τ=0或τ=1-∞ 及+∞ 分别是qj（τ）的可能值。对于复共轭，我们写z，<z表示实部，=z表示虚部∈ C、分别。矩阵a的转置用A0表示，正则矩阵B的逆矩阵用B表示-1.作为（Xt）t的串行和交叉依赖结构的度量∈Z、我们定义了分位数互协方差核的矩阵，Γk（τ1，τ2）：=（γj1，j2k（τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、式中，γj1，j2k（τ1，τ2）：=CovI{Xt+k，j1≤ qj1（τ1）}，I{Xt，j2≤ qj2（τ2）}, （2.1）j1、j2∈ {1，…，d}，k∈ Z、 τ1，τ2∈ [0,1]和I{A}表示事件A的指示函数。在频域中，这产生（在适当的混合条件下）分位数交叉谱密度核f（ω；τ1，τ2）的矩阵：=（fj1，j2（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、式中，fj1，j2（ω；τ1，τ2）：=（2π）-1.∞Xk=-∞γj1，j2k（τ1，τ2）e-ikω，（2.2）c 英国皇家经济学会2018分位数相关性5j1，j2∈ {1，…，d}，ω∈ R、 τ1，τ2∈ [0, 1]. 一个密切相关的量，可以用来衡量两个过程（Xt，j1）t的动态相关性∈赞德（Xt，j2）t∈（Xt，j1）t的分位数相干核∈赞德（Xt，j2）t∈Z、我们定义为rj1，j2（ω；τ1，τ2）：=fj1，j2（ω；τ1，τ2）fj1，j1（ω；τ1，τ1）fj2，j2（ω；τ2，τ2）1/2, (2.3)(τ1, τ2) ∈ (0, 1)2. 我们将分位数互谱密度的估计器定义为集合ij1，j2n，R（ω；τ1，τ2）：=12πndj1n，R（ω；τ1）dj2n，R(-ω; τ2），（2.4）j1，j2=1，d、 ω∈ R、（τ1，τ2）∈ [0,1]2，称之为基于秩的copula交叉周期图，简称CCR周期图，其中djn，R（ω；τ）：=n-1Xt=0I{^Fn，j（Xt，j）≤ τ} e-iωt=n-1Xt=0I{Rn；t，j≤ nτ}e-iωt，j=1，d、 ω∈ R、 τ∈ [0,1]和^Fn，j（x）：=n-1Pn-1t=0I{Xt，j≤ x} 表示Xt、jand和Rn的经验分布函数；t、 jdenotes x，jamong X0，j，…，的（最大）秩，Xn-1，j。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:20

我们将用in表示CCR周期图的矩阵，R（ω；τ1，τ2）：=（Ij1，j2n，R（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、（2.5）从单变量情况来看，已经知道（参见Kley等人（2016）中的命题3.4），CCR周期图无法一致地估计fj1，j2（ω；τ1，τ2）。一致性可以通过平滑频率上的Ij1、j2n、R（ω；τ1、τ2）来实现。更精确地说，我们考虑^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）：=2πnn-1Xs=1Wnω - 2πs/nIj1，j2n，R（2πs/n，τ1，τ2），（2.6），其中Wn表示一系列权函数，精确定义见第4节。我们将用^Gn，R（ω；τ1，τ2）：=（^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、（2.7）分位数相干性的估计量由^Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）：=^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）给出^Gj1，j1n，R（ω；τ1，τ1）^Gj2，j2n，R（ω；τ2，τ2）1/2. （2.8）在第4节中，我们将证明^Rn，R（ω；τ1，τ2）：=^Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）j1，j2=1，。。。，dis是R（ω；τ1，τ2）的合理估计量：=Rj1，j2（ω；τ1，τ2）j1，j2=1，。。。，d、分位数相干矩阵。3.对引入量和估计器的讨论第2节中定义的基于分位数的量是两个变量τ1和τ2的函数。因此，它们的信息比传统的同类产品更丰富。为了强调这一事实，我们在名称中添加了“内核”一词，但这一术语经常出现为了简洁起见，英国皇家经济学会20186 J.Barunik和T.Kleyomit在论文的其余部分对其进行了说明。对于连续FJ1和Fj2，在（2.1）中定义的分位数互协方差与（Xt+k，j1，Xt，j2）的copula和独立copula的差异一致。因此，它们提供了有关串行相关性（通过让k变化）和横截面相关性（通过选择j16=j2）的重要信息。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:23

对于分位数交叉谱密度，我们有zπ-πfj1，j2（ω；τ1，τ2）eikωdω+τ1τ2=PXt+k≤ qj1（τ1），Xt，j2≤ qj2（τ2）, （3.9）其中，右边的量作为（τ1，τ2）的函数，同样是该对（Xt+k，j1，Xt，j2）的连接函数。因此，等式（3.9）显示了如何从（2.2）中定义的分位数互谱密度核推导出任何一对copulascan。因此，分位数交叉谱密度核提供了对过程中所有连接的完整描述。将这些新的量与其传统的对应量进行比较，可以发现协方差和均值基本上被连接函数和分位数所取代。与回归设置类似，这种方法提供了有价值的额外信息（参见Koenker（2005）），基于分位数的光谱分析方法补充了传统的L2光谱分析。观察R取Cd×d（所有复值d×d矩阵的集合）中的值。此外，请注意，作为ω的函数，但对于固定的τ1、τ2，它与二元二元过程的传统一致性相吻合I{Xt，j1≤ qj1（τ1）}，I{Xt，j2≤ qj2（τ2）}T∈Z.（3.10）（3.10）中的时间序列具有双变量时间序列（Xt，j1，Xt，j2）t∈ZA是一个“潜在驱动因素”，并指示成分J1和J22的值是否低于各自的边际分布的τ1-和τ2-分位数。注意，当（τ1，τ2）在[0，1]2的界元上时，Rj1，j2（ω；τ1，τ2）是不确定的。通过Cauchy-Schwarz不等式，我们进一步观察到可能值的范围仅限于Rj1，j2（ω；τ1，τ2）∈ {z∈ C:|z |≤ 1}. 注意，当（τ1，τ2）接近单位平方的边界时，分位数交叉谱密度消失。因此，分位数相干性比分位数交叉谱密度（未标准化）更适合测量极值的相关性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:26

隐式地，我们利用了分位数交叉谱密度和分位数谱密度以相同速率消失的事实，因此当分位数水平（τ1，τ2）接近单位平方的边界时，商产生了一个有意义的量。分位数相干核包含关于时间序列（Xt，j1）t的联合动力学的非常有价值的信息∈赞德（Xt，j2）t∈Z.与传统情况相反，在传统情况下，如果j1=j2=：j，相干度将始终等于1，基于分位数的这些量的版本能够提供关于（Xt）t的单个成分的有价值信息∈扎斯：很好。分位数相干然后量化（I{Xt，j）的联合动力学≤ qj（τ1）}）t∈赞德（I{Xt，j）≤ qj（τ2）}）t∈Z.请注意，分位数相干是一个复值的2π-周期变量ω函数，在这个意义上，我们有Rj1，j2（ω；τ1，τ2）=Rj1，j2(-ω; τ1，τ2）=Rj2，j1（ω；τ2，τ1）=Rj2，j1（2π+ω；τ2，τ1）。遵循Birr等人（2018）第2.1节中的类似论点，可以看出<Rj1，j2（ω；τ1，τ2）描述了J1St分量低于τ1分位数和j2nd分量高于τ2-c之间的过程切换动力学皇家经济学会2018分位数一致性7分位数。因此，对于τ1闭合为0，对于τ2闭合为1，它描述了从一个分量的极值到另一个分量的极值的变化动态。此外，可以证明=Rj1，j2（ω；τ1，τ2）包含关于不对称性的信息。关于相关数量、如何解释、如何不解释以及它们与高斯情况下的传统对应物之间的关系的讨论可在补充材料的S1、S2和S3节中找到。最近，文献中出现了旨在解释更普遍动态的重要贡献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:31

例如，距离相关性Sz’ekly等人（2007年）和鞅差异相关性邵和张（2014年）等度量超出了传统的相关性，而是可以分别指示随机量是否独立于鞅差异。对于时间序列，在时域中，Zhou（2012）引入了当且仅当测量的时间序列分量独立时为零的自动距离相关性。Linton和Whang（2007）以及Davis等人（2009）分别介绍了定量图和极值图的（单变量）概念。最近，分位数相关Schmitt等人（2015年）和分位数自相关函数Li等人（2015年）以及交叉分位数图Han等人（2016年）被提出作为分析分布分位数相关性的基本工具。1999年，谱密度在广义频率域中引入。在广义谱密度中，协方差被与经验特征函数密切相关的量所取代。Hong（2000）认为，在不同滞后条件下，经验法则的傅里叶变换用于检验成对独立性假设。最近，在拉普拉斯、分位数和copula谱密度和谱密度核的名称下，各种与分位数相关的谱概念被提出，用于频率域。Hagemann（2013）和Li（2008、2012）的方法旨在考虑用户指定分位数分布的周期性依赖性。Mikoschand Zhao（2014、2015）定义并分析了极端事件的周期图（及其综合版本）。正如Hagemann（2013）所指出的，其他方法旨在发现“时间序列数据中存在任何类型的依赖结构”，参考Dette等人（2015）和Lee and Rao（2012）的工作。该评论也适用于Kleyet al.（2016）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:34

在本文中，我们的目的是将现有的方法推广到多变量时间序列。我们提供的术语扩展，尤其是标准化分位数相关性的引入，对于经济应用非常重要，因为它使分析师能够对多个时间序列中的序列和横截面相关性进行更详细的联合分析。对于单变量情况，考虑了不同的一致性估计方法。Li（2008）针对τ1=τ2=0.5的特殊情况，提出了一种基于最小绝对偏差回归的加权分位数谱估计方法。Li（2012）使用分位数回归将估计量推广到τ1=τ2的情况∈ (0, 1).Dette等人（2015）首先考虑了一般情况，即数量可以与成对的连接词相关。这些作者也是第一个考虑基于arank版本的分位数回归类型估计器的作者，该估计器无需估计Li中的权重（2008年，2012年）。对于τ1=τ2的情况∈ （0,1），Hagemann（2013）提出了传统L2周期图的一个版本，其中观测值被I{^Fn，j（Xt，j）取代≤ τ} =I{Rn；t，j≤ nτ}。Kley et al.（2016）根据Dette et al.（2015）的精神，通过考虑轨道对（τ1，τ2）的交叉周期图，推广了该估计器∈ [0,1]2，并证明了它作为一个随机过程收敛到复值高斯极限。与传统的ALC类似定义的估计器英国皇家经济学会20188 J.Barunik和T.Kleylag窗口估计器由Birr等人（2017）在非平稳时间序列的背景下进行分析。4.建议估计器的渐近性质推导第3节中定义的估计器的渐近性质，需要进行一些汇总。回忆（比照布里林格（1975），p。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-9 09:00:39

19）随机向量（Z1，…，Zr）的第rth阶联合累积量cum（Z1，…，Zr）定义为ascum（Z1，…，Zr）：=X{ν1，…，νp}(-1） p-1（p- 1)!EhYj∈ν1Zji···EhYj∈νpZji，求和扩展到所有的分区{ν1，…，νp}，p=1，r、关于{1，…，r}。关于（Xt）t的依赖范围∈我们做出以下假设，假设4.1。过程（Xt）t∈Zis严格平稳且指数α混合，即存在常数K<∞ 和ρ∈ （0，1），使得α（n）：=supA∈σ（X0，X）-1,...)B∈σ（Xn，Xn+1，…）P（A）∩ B）- P（A）P（B）≤ Kρn，n∈ N.（4.11）此外，为了建立估计的一致性，我们考虑了渐近集中在2π倍数附近的权重序列，假设为4.2。权重定义为Wn（u）：=P∞j=-∞B-1nW（b）-1n[u+2πj]），其中bn>0，n=1，2。，是一系列满足bn的缩放参数→ 0和NBN→ ∞, 作为n→ ∞. 权重函数W是实值函数，甚至有支持度[-π、 π]、有界变化和满足性π-πW（u）du=1。本节末尾将对假设进行评论。这一节的主要结果（定理4.1）将把^Rn，R（ω；τ1，τ2）合法化为全相干性R（ω；τ1，τ2）的估计量。将In，R（ω；τ1，τ2）和^Gn，R（ω；τ1，τ2）作为分位数互谱密度f（ω；τ1，τ2）的估计值合法化的结果推迟到补充材料，以不影响论文的流动。估计的合法性源于这样一个事实，即在Ho off man-Jorgensen的意义上，估计值弱收敛（参见van der Vaart and Wellner（1996）的第1章）。我们用=> . 所考虑的估计量在（元素）有界函数[0,1]2的空间中取值→ Cd×d，我们用`∞Cd×d（[0,1]2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:42

虽然电磁过程理论中的结果通常是针对实值有界函数空间，但这些结果通过识别`∞Cd×d（[0,1]2）与产品空间`∞（[0,1]2）2d2。请注意，空间`∞Cd×d（[0，1]2）是沿着与空间相同的线构造的`∞克莱等人（2016）中的C（[0,1]2）。我们现在准备陈述本节的主要结果。定理4.1。假设4.1和4.2成立。假设边际分布函数Fj，j=1，d是连续的，常数κ>0和k∈ N存在，例如bn=o（N-1/（2k+1））和bnn1-κ→ ∞. 假设对于某些ε∈ （0，1/2）我们有英国皇家经济学会2018分位数相干9infτ∈[ε,1-ε] fj，j（ω；τ，τ）>0，对于所有j=1，d、然后，对于任何固定ω∈ R、 pnbn^Rn，R（ω；τ1，τ2）-R（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）(τ1,τ2)∈[ε,1-ε]2=> L（ω；·，·），（4.12）英寸`∞Cd×d（[ε，1- ε] 2），式中nl（ω；τ1，τ2）oj1，j2:=1pf1,1f2,2H1,2-12f1,2f1,1H1,1-12f1,2f2,2H2,2, （4.13）nB（k）n（ω；τ1，τ2）oj1，j2:=1pf1,1f2,2B1,2-12f1,2f1,1B1,1-12f1,2f2,2B2,2（4.14）我们已经将分位数互谱密度fja，jb（ω；τa，τb）的fa，bf写成（2.2），Ba，b:=Pk`=2b`n`！Rπ-πv`W（v）dvd`dω`fja，jb（ω；τa，τb），以及Hja，jb（ω；τa，τb）的Ha，b;H的一个分量（ω；·，·）：=（Hj1，j2（ω；·，·））j1，j2=1，。。。，dde定义为一个以Cd×d值为中心的高斯过程，以CoV为特征Hj1，j2（ω；u1，v1）, Hk1，k2（λ；u2，v2）= 2πZπ-πW2（α）dαfj1，k1（ω；u1，u2）fj2，k2(-ω; v1，v2）η（ω- λ） +fj1，k2（ω；u1，v2）fj2，k1(-ω; v1，u2）η（ω+λ）, （4.15）式中η（x）：=I{x=0（mod 2π）}[cf.（Brillinger，1975，第148页）]是Kroneckerδ函数的2π周期延拓。族{H（ω；·，·，·），ω∈ [0，π]}是独立过程和H（ω；τ1，τ2）=H的集合(-ω; τ1，τ2）=H（ω+2π；τ1，τ2）。定理4.1的证明是冗长且技术性的，因此授权给在线补充（第S6节）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:45

将定理4.1与传统相干的结果进行比较（例如，参见Brillinger（1975）中的定理7.6.2），我们观察到^Rn，R（ω；τ1，τ2）的分布与根据未观测到的时间序列计算的传统es激励[cf.（7.6.14）Brillinger（1975）]的分布是渐近等价的I{Fj1（Xt，j1）≤ τ1}，I{Fj1（Xt，j2）≤ τ2}, t=0，N- 1.（4.16）可以利用（4.12）中高斯过程的收敛性来获得渐近有效的逐点置信带。为此，可以根据（4.13）和（4.15）确定L的协方差核，从而得到类似于布里林格（1975）中（7.6.16）的表达式。关于如何进行推理的更详细说明见补充材料第S5节。请注意，Brillinger（1975）中（7.6.15）给出的偏置顺序的界限适用于（4.14）中给出的展开式。如果W是p阶核≥ 1.我们认为偏差为bpn级。因此，如果我们选择均方误差最小化带宽bn N-1/（2p+1）偏差为n级-p/（2p+1）。关于ε>0的限制，请注意，如果（τ1，τ2）位于单位平方的边界上，则收敛（4.12）不会发生变化，因为如果τj，则分位数相干R（ω；τ1，τ2）没有定义∈ {0，1}，因为这意味着Var（I{Fj（Xt，j）≤ τj}=0。我们现在对假设进行评论：假设4.1适用于广泛的脉冲、线性和非线性过程。例如（可能在温和的附加假设下）包括传统的VARMA或向量ARCH模型以及许多其他模型。重要的是要注意，假设4.1不要求存在anyc 皇家经济学会201810 J.Barunik和T.Kleymonts，这与经典假设形成鲜明对比，经典假设中必须存在达到各自累积量阶数的矩。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:48

假设4.2是相当标准的时间序列分析[cf.，例如，Brillinger（1975），第147页]。股票市场收益的分位数互谱分析：一种更准确的风险度量方法？股票市场收益率属于经济学和金融学的重要数据集之一。尽管在过去几十年里，人们已经确定了许多关于他们行为的重要类型化事实，但这仍然是一个非常活跃的研究领域。尽管有这些影响，但尚未完全解决的一个重要方向是关于收益共同分配的程式化事实。尤其是在过去动荡的十年里，了解收益分布中联合分位数的行为变得尤为重要，因为这对于理解系统性风险至关重要；“整个系统的中介能力可能受损的风险”；参见Adrian和Brunnermeier（2016）。几位作者以不同的方式专注于解释二元市场分布的尾部。Adrianand Brunnermeier（2016）建议根据机构分位数对市场冲击的敏感性对机构进行分类。与我们如何看待依赖结构的概念最密切相关的是Whiteet al.（2015）的多元回归分位数模型，该模型直接研究不同随机变量之间的尾部依赖程度。本文设计的分位数互谱分析允许分析联合分布的尾部（但也包括任何其他部分）和跨频率的有趣依赖量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:52

因此，对股票市场回报的应用可能会对股票市场的依赖性提供更深入的了解，并导致更有力的分析，确保我们免受金融崩溃的影响。股票市场收益率的一个重要特征是其波动性的时变性。时变波动过程几乎可以跨越其分布的每个分位数（参见Hagemann（2013）），并在分位数谱密度中产生峰值，如Li（2014）所示。Engle和Manganelli（2004）以及71zikeˇs和Barunik（2016）最近记录了这些概念，他们提出了基于过去波动率的回报分布条件分位数模型。Barigozzi等人（2014年）在多变量环境中发现了波动性中的强共同因素，他们得出结论，共同波动性是一个重要的风险因素。因此，共同波动性应被视为依赖性的可能来源。因为我们的目标是找到收益联合分布中的常见结构，所以我们研究了通过GARCH（1,1）模型估计的波动率标准化的收益；参见Bollerslev（1986）。这第一步通常在使用连接函数对联合市场分布进行建模的文献中进行；参见Granger等人（2006年）和巴顿（2012年）。在这些方法中，首先对边际分布的波动性进行建模，然后在第二步中考虑共同因素。因此，这将使我们能够发现其他可能的共同因素，在市场回报率跨频率的联合分布中，这些因素会导致虚假依赖，但不会被强烈的波动过程所掩盖。我们选择研究投资组合收益和超额收益在广阔市场上的联合分布，因此研究了资产定价理论指导下文献中最常研究的因素结构之一；查阅

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:55

夏普（1964）和林特纳（1965）。作为市场上的超额回报，我们使用证券价格研究中心（CRSP）c在纽约证券交易所、美国证券交易所或纳斯达克上市的所有公司的价值加权回报英国皇家经济学会2018年分位数相干度110.0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.2 0.4 0.6 0.8ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8ω2πY M W0。05 | 0.950.2 0.4 0.6 0.80.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9τ1=τ2W M y图3。投资组合的分位数相关性估计。数据库对于基准投资组合，我们使用由消费者非耐用品构成的行业投资组合。2我们使用n=23385个每日观察值（从1926年7月1日到2015年6月30日）。这些数据包括几个危机期，因此可能不适合被视为一个严格平稳的时间序列。然而，我们选择研究这一长周期的数据，因为我们相信，超过一年的周期可能构成依赖性的一个重要可能来源，并且我们相信实证结果非常有趣。此外，通过按波动率对收益率进行标准化，我们消除了我们认为最重要的数据时间变化来源。3在图3的左面板中，对0.05 | 0.05、0.5 | 0.5和0的分位数相干性进行了估计。95 | 0.95联合分布的分位数组合显示了行业投资组合和超额市场回报率的频率。图3中的中间面板显示了0.05 | 0.95的组合，我们稍后将对其进行评论。我们使用Epanech-nikov核和带宽bn=0.5n1/4来计算估计值（参见（2.8））。以虚线区域显示的置信区间为95%，并根据补充材料第S5节中所述的程序进行构造。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:00:59

为了清晰起见，我们绘制了x轴的日周期图，并指出了与年、月和周周期相对应的频率。虽然我们使用每日数据，但0.5的最高频率表示每天0.5个周期（即2天）。虽然精确的频率没有经济意义，但我们需要了解时域的解释。例如，0.2的采样频率相当于每天0.2个周期转换为5天的周期（相当于一周），但0.3的频率转换为难以解释的3.3周期。因此，经济学家对x轴的上标签特别感兴趣，因为人们可以研究周、月或年周期在联合分布的分位数之间的联系。为了表述清晰，我们将重点放在数量的真实部分，这与数据的选择有关：我们使用Fama and French在http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.该数据集在研究人员中很受欢迎，虽然可以选择多种类型的投资组合，但我们为该应用随机选择了非耐用消费品。尽管非常有趣和吸引人，但展示和讨论基于不同标准形成的更广泛投资组合的结果远远超出了本工作的范围。3作为稳健性检查，我们将时间序列分为几十年，发现我们在非重叠窗口上的结果没有实质性变化。C 皇家经济学会201812 J.Barunik和T.Kleyto研究了j1st分量低于τ1分位数和j2nd分量高于τ2分位数之间的过程切换动力学（参见第2节）。分位数相干估计的实部揭示了研究中收益联合分布的频率动态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-9 09:01:02

一般来说，较低分位数的周期似乎比较高分位数的周期具有更强的依赖性，这是一个关于股市回报的有据可查的程式化事实。它向我们指出了一个事实，即在商业周期的低迷期，回报比好转期更依赖于回报；参见Erb等人（1994年）、Longin和Solnik（2001年）、Ang和Chen（2002年）和Patton（2012年）。更重要的是，与短于每周的周期相比，低分位数在大于一周平均周期的周期中有更强烈的相关性，甚至在长于每月周期的周期中更紧密地联系在一起。这表明，与较小的日波动相比，超额市场回报更能解释偶尔出现的大量负投资组合回报。联合分布的上分位数中的收益似乎在所有频率上都有相似的联系。同样的结果也适用于中位数。为了更好地展示，我们还提供了三个固定的周、月和年周期（对应于ω）的分位数相干估计∈ 2π{1/5,1/22,1/250}）在所有的量子化水平τ1=τ2∈ {0.05,0.1，…，0.95}在图3的右面板中。这一备选方案突出了前面的讨论。现在，我们将我们的发现与交叉分位数图的相应分析进行比较，交叉分位数图是一种基于分位数的时域序列相关性测量方法。考虑严格平稳，R×R×Rd1×Rd2值时间序列（y1t，y2t，x1t，x2t），其中∈ Z和D1，d2∈ N、用Fyi | xi（·| xit）表示序列yitgiven xit的条件分布，分位数函数为qi，t（τi）=inf{v:Fyi | xit（·| xit）≥ τi}，τi∈ （0,1），i=1,2；哈恩等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:01:06

（2016）将交叉量化图定义为ρ（τ1，τ2）（k）：=E（I{y1t<q1，t（τ1）}- τ1）（I{y2，t-k<q2，t-k（τ2）}- τ2)E（I{y1t<q1，t（τ1）}- τ1)2E（I{y2，t）-k<q2，t-k（τ2）}- τ2)21/2.在我们的数据示例中，没有协变量信息，这将减少到x1t=x2t=1和qi，t是yit边际分布的分位数。值得注意的是，交叉量化图被定义为事件{y1t]之间序列相关性的标准化度量≤ q1，t（τ1）}和{y2t≤ q2，t（τ2）}在时域，而量子相干的定义类似，但在频域。在图4中，我们展示了我们根据数据样本估计的交叉量化图。对于计算，我们使用了Han等人（2016）定义的估计器和平稳自举过程。更准确地说，我们使用了R包quantilogram中可用的实现；参见韩等人（2014）。通过查看图表，可以看出存在明显的相关性，即滞后k，通常较短。此外，我们可以猜测，在0.05分位数水平上，正相关性和负相关性存在周期性变化，而在0.95分位数水平上，相关性似乎是非常正的。然而，考虑到置信区间，不确定这是否是一种重要的模式。此外，将交叉分位数图显示的这些周期模式的讨论与我们从图3的分位数相关性中读取的内容进行比较，很难读取特定的周、月和年周期成分，以及它们是否重要。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:01:09

因此，至少在研究人员对周期依赖性感兴趣的特定情况下，我们相信分位数相干可以提供时域分析中不可用的视角。总结我们的实证分析结果：虽然不对称性是普遍存在的英国皇家经济学会2018分位数相关性130 10 20 30 50 60-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10Lag0 10 20 40 50 60-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10Lag0 10 20 40 50 60-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10滞后图4。投资组合的交叉量化估计。研究人员记录了股票市场收益率的频率依赖性不对称性（即，联合分布周期的不对称性）。如果这种行为在更大类别的资产中很常见，我们的结果可能对假设收益正态分布的资产定价理论的基石之一有很大的影响。这让我们呼吁建立更一般的模型，更重要的是，需要以一种能够区分投资者短期和长期行为的方式来描述资产定价理论。我们的结果对于系统性风险度量也至关重要，因为希望优化投资组合的投资者应该关注那些在困境情况下不会在较低分位数处关联，但在给定投资期内市场上扬情况下会在较高分位数处关联的股票。我们使用传统的定价理论记录了不利于此类投资者的行为，因为我们表明，总体股市收益率在下跌时比在上升时更频繁地包含一个共同因素。这表明，手头的投资组合可能比普通衡量指标所暗示的风险要大得多。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:01:12

此外，我们的结果表明，这种影响对长期投资者来说更加严重。分位数互谱测度的一个重要特征是，它们使我们能够测量联合分布的τ16=τ2分位数之间的相关性。在图3的中心面板中，我们记录了收益分布的0.05 | 0.95分位数之间的相关性不是很强。一般来说，在股票市场的巨大负回报和所研究的投资组合的巨大正回报之间不存在强烈的依赖性。在研究单个资产之间的依赖性的情况下，这种分析可能更有趣。在那里，负面消息可能对研究中的资产产生强烈的相反影响。最后，关于我们估计的数量的解释，给读者一些警告是正确的。在补充材料S3节中，我们在正态分布数据的假设下，提供了分位数相干性和传统依赖性度量之间的联系。基于分位数的度量被设计用于捕获一般依赖类型，而无需对过程的潜在分布进行限制性假设。因此，在这里，我们有意不将其与传统的相关性联系起来。在理想情况下，只有在已知过程是高斯的情况下，才应解释传统的相关性。本节所研究的财务回报是已知的皇家经济学会201814 J.Barunik和T.Kleyto背离常态。因此，分位数相干性不能直接与传统的相关度量相比较。我们可以看到，在所有分位数上，投资组合收益和超额市场收益之间通常存在着很强的依赖性，这证实了超额收益是所研究投资组合收益的一个很强的共同因素。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-9 09:01:15

本节中基于分位数的分析揭示的细节在基于传统相干性的分析中仍然是隐藏的。6.分位数相关性在评估练习的模型中在上一节中，我们演示了应用研究人员如何使用分位数相关性来揭示数据的周期性特征，如果仅使用基于协方差的相关性度量来分析数据，这些特征可能仍然不可见。在本节中，我们将举例说明如何使用分位数相关性来评估时间序列模型捕捉数据中记录的此类周期的能力。更准确地说，我们建立了几个双变量时间序列模型，然后将估计参数所隐含的量化差异与非参数估计所得的量化差异进行比较（见图3）。评估模型的图形方法与Birr等人（2018）提出的方法类似。为了清晰起见，我们将重点放在两类模型上：（a）向量自回归（VAR）模型，以及（b）Koenker和Xiao（2006）引入的全瓦自回归（QVAR）模型的向量版本。许多应用研究人员使用的ClassicalVAR假设所有分位数都具有相同的自回归结构。为了对不对称性进行建模，可以使用更多灵活的连接函数，以允许对称依赖。此外，QVAR允许在不同的分位数上有不同的自回归结构。因此，不同的分位数可以由具有不同循环特性的过程驱动。我们按从简单到更复杂的顺序讨论模型，并评估更复杂的模型是否更适合捕捉第5节股市收益分析中发现的分位数相关特征的周、月和年周期。我们首先将VAR（1）设置为股市回报。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 09:01:18

固定模型为YT，1=0.0987+0.056Yt-1,1+0.186年至今-1,2+εt，1，Yt，2=0.0369- 0.056Yt-1,1+0.175Yt-1,2+εt，2，（6.17），其中（εt，1，εt，2）是白噪声，具有估计的Corr（εt，1，εt，2）≈ 0.822. 加上（εt，1，εt，2）是独立且联合高斯的常见假设，可以确定相应的分位数相干性。图5的顶行描绘了模型（6.17）所暗示的分位数相干性。为了便于比较，我们考虑了与图3相同的频率和分位数组合。在这幅图中，可以清楚地看到，这个高斯模型所暗示的周期依赖性是对称的。例如，在0.05 | 0.05和0.95 | 0.95水平下，对所有频率的依赖性都同样强。相比之下，从数据中获得的非参数估计（参见图3）显示出强烈的不对称性。此外，我们可以看到，对于每周、每月和每年的频率，应用程序搜索者可能特别感兴趣，τ|τ和1- τ |1 - τ水平也一致。如果应用研究人员试图像第5节所揭示的那样对依赖性进行建模，那么高斯VAR模型可能因此过于严格。接下来，我们考虑固定VAR的非高斯版本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 09:01:22

要获得这些模型，请注意（6.17）中的创新假设为白噪声，但不需要C 英国皇家经济学会2018年分位数相干度150.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0τW M Y0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0τW M Y0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0τW M y图5。从VAR模型模拟分位数相关性。成为i.i.d.高斯。因此，通过指定（εt，1，εt，2）具有Fittedvar模型所暗示的第一和第二矩的任何联合分布，可以获得另一个似是而非的模型。为了便于说明，我们现在考虑以下两种情况。在这两种情况下，我们假定边际分布为标准正态分布。在第一种情况下，我们假设依赖关系符合参数θ=4的克莱顿copula。在第二种情况下，我们假设它符合一个参数θ=2.7的Gumbel copula。正如阿松所料，VAR（1）过程的尾部依赖性现在显著不同。从图5中的左中图可以看出，对于Layton copula，下尾的依赖性更强（0.05 | 0.05），上尾的依赖性较弱（0.95 | 0.95）。对于低频率，这种依赖性稍强一些，这是从VAR模型中的时间依赖性中预期的。另一方面，在图5的左下角的曲线图中，我们看到上尾的依赖性更强，下尾的依赖性较弱。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-9 09:01:25

有趣的是，从中心图中可以看出，从第一个分量的0.05分位数以下到第二个分量的0.95分位数以下的变化周期的依赖性并不很大程度上取决于copula的选择。最后，在图5的右图中，我们看到当以周、月和年频率循环时，依赖性如何根据分位数水平变化，我们认为这可能与一些从业者最相关皇家经济学会201816 J.Barunik和T.Kleyconseed。正如预期的那样，我们看到，对于克莱顿copula，依赖性随着分位数τ的增加而减少，而对于甘贝尔copula，依赖性随着τ的增加而增加。尽管使用Gumbel和Claytoncopula的模型比使用Gaussian copula的模型更好地捕捉到不对称依赖性，但我们仍然可以看到，它们在分位数相关性方面与数据不同。在之前的讨论中，我们已经看到了VAR（1）模型的三个版本，其中任何一个都不特别适合捕捉我们在第5节中观察到的量子化水平上的循环依赖类型。在建模练习的第二部分，我们将注意力转向更灵活的时间序列模型。受Koenker和Xiao（2006）提出的分位数自回归模型的启发，我们考虑分位数向量自回归，QVAR，一种具有随机系数的VAR模型：Yt，j=θj0（Ut，j）+θj1（Ut，j）Yt-1,1+θj2（Ut，j）Yt-1,2，j=1,2，（6.18），其中θjiare系数函数和Ut，jare假设在[0,1]上独立且均匀分布。Zhu等人（2018）讨论了类似于（6.18）的模型。我们的目的是评估时间序列模型（6.18）是否足够灵活，以捕获第5节中确定的分位数周期性特征。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝