对于（6.19）中定义的^θ（τ），这相当于θ的一致估计*（τ） =arg minθ（τ）2Xj=1EρτYt，j- θj0（τ）- θj1（τ）Yt-1,1- θj2（τ）Yt-1,2.Fan和Fan（2006）指出，θ需要附加条件，如单调性条件*（τ） θ（τ）重合。在将^θ（τ）解释为θ（τ）的估计量时，必须考虑这些重要参数。当然是datac 英国皇家经济学会2018分位数相关性170.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.40.0.40.8ω2πymw0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.40.0 0.40.8τW M Y0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.2 0.4 0.6 0.8 1.0ω2πY M W0。5 | 0.5 0.05 | 0.05 0.95 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.20.20.61.0ω2πymw0。05 | 0.950.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.3 0.5 0.7 0.9τW M y图6。从几个QVAR模型模拟的分位数相干性。可以根据方程（6.18）生成，其中我们用θ（τ）代替θ（τ）。为了评估QVAR模型的类别是否足够丰富，以反映我们在第5节的数据中看到的分位数的周期性特征，有必要考虑该类别的单独模型。在本节中，我们以数据驱动的方式选择（6.18）中定义的QVAR模型，然后将隐含的量化差异与第5节中非参数估计的量化差异进行比较。图6的顶行显示了与模型（6.18）相关的分位数相干性，其中用^θ（τ）代替θ（τ）。这些图的格式和我们以前考虑过的一样。

引人注目的是，我们观察到fittedModel的分位数相干性大大低于我们通过图3中的非参数估计所看到的。除此之外，在图6的顶行中，我们可以看到一般形状、随频率递减的线条和顺序（0.95 | 0.95显示的相关性小于0.05 | 0.05）与非参数估计更接近。最后，我们建议通过增加空间依赖性来扩展（6.18）中所述的QVAR（1）。更准确地说，我们现在考虑的模型是y，1=θ10（Ut，1）+θ111（Ut，1）y-1,1+θ121（Ut，1）Yt-1,2，Yt，2=θ20（Ut，2）+θ211（Ut，2）Yt-1,1+θ221（Ut，2）Yt-1,2+θ210（Ut，2）Yt，1。（6.20）对于该模型，我们计算分位数回归估计^θ（τ）=arg minθ（τ）nXt=2ρτYt，1- θ10(τ) - θ111（τ）Yt-1,1- θ121（τ）Yt-1,2+nXt=2ρτYt，2- θ20(τ) - θ210（τ）Yt，1- θ211（τ）Yt-1,1- θ221（τ）Yt-1,2.图8描述了从股票回报数据中获得的估计，也应谨慎解释。请注意，如果我们将Y1替换为tin，则表示第二个C 皇家经济学会201818 J.Barunik和T.Kley0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2τθ^10(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.17-0.15-0.13τθ^11(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.15 0.25 0.35 0.45τθ^12(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2τθ^20(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.06-0.02 0.00τθ^21(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.05 0.05 0.15τθ^22（τ）图7。模型的估计参数函数（6.18）。方程（6.20）通过第一个方程中给出的表达式，我们可以看到该模型中的“冲击”现在是相关的，因为它们的形式是（^θ10（Ut，1），^θ20（Ut，2）+^θ210（Ut，2）^θ10（Ut，1））。参数函数^θ210调节依赖强度。我们现在再次查看图6底部一行所示的分位数相关性，并看到分位数相关性与非参数估计更接近（在形状、阶数和量级上）。

这一点尤其适用于正确的绘图，其中显示了与每周、每月和每年周期相对应的频率，这对应用研究人员来说可能特别有趣。在本节中，我们说明了应用研究人员如何使用分位数相关性来评估时间序列模型，以了解其捕获股市收益一般周期之间相关性的能力。我们已经看到，高斯VAR模型完全无法捕捉周期依赖性中的不对称性。我们的modellingexercise展示了非高斯VAR模型如何可能通过为模型中的错误提供更一般的连接来弥补这一点。更进一步，我们还考察了二元分位数自回归模型，发现它们的灵活性更好地捕捉了我们在第5.7节使用分位数相干性发现的周期之间的一般相关性。结论本文介绍了经济时间序列的分位数互谱分析，提供了一种完全无模型的非参数理论，用于估计频域联合分布分位数产生的一般互相关结构。我们认为，时间序列中的复杂动态通常在许多宏观经济和金融时间序列中自然出现，因为大负值的不频繁周期（联合分布的下分位数）可能比大正值的不频繁周期（联合分布的上分位数）更具依赖性。此外，这种依赖性在长期、中期或短期可能有所不同。

因此，分位数互谱分析可能会从根本上改变我们看待经济时间序列之间相关性的方式，并可能被视为许多新建模策略背后的经济研究后续发展的先驱。同时连接了两个关注be-c依赖性的文献分支 英国皇家经济学会2018分位数相关性190.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2τθ^10(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.17-0.15-0.13τθ^111(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.15 0.25 0.35 0.45τθ^121(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.0 0.0 0.5 1.0τθ^20(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.79 0.81 0.83 0.85τθ^210(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.07 0.09 0.11τθ^211(τ)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.16-0.12-0.08τθ^221（τ）图8。模型（6.20）的参数函数。在其联合分布的分位数和跨频率的变量之间，所提出的方法也可被视为对传统交叉谱分析进行鲁棒性验证的重要步骤。基于分位数的光谱量非常有吸引力，因为它们不需要矩的存在，这是经典假设的一个重要放松，在经典假设中，通常假设存在高达累积量量级的矩。对于数据中发现的许多常见违反传统假设的情况，包括异常值、重尾和分布高阶矩的变化，建议的数量是稳健的。通过考虑分位数而不是矩，提出的方法能够揭示传统工具集看不到的依赖性。

作为成功应用的重要组成部分，我们对引入的估计量的渐近性质进行了严格分析，并表明对于一类一般的非线性过程，基于分位数的估计量的适当中心化和平滑版本收敛到中心高斯过程。在一个实证应用中，我们已经表明，经典资产定价理论可能不适合研究人员通常记录的数据，因为在联合收益分布中，存在着丰富的依赖结构，在分位数和频率之间存在差异。我们记录了在大负收益期间，二元收益序列的强依赖性，而正收益在所有频率上的依赖性较小。这一结果对投资者来说并不有利，因为投资者想要的恰恰相反：选择投资于独立负回报但依赖正回报的股票。我们的工具表明，与上分位数相比，系统风险更强烈地来源于长期和中期投资期联合分布的下分位数。在建模实践中，我们已经说明了分位数相关性如何用于时间序列模型的检查，并可能有助于找到一个能够捕获分位数相关特征周期相关性的模型，我们之前在经验应用中已经揭示了这一点。我们相信，我们的工作可能会为未来的理论和实证研究开辟许多令人兴奋的新途径。从应用的角度来看，基于分位数互谱估计器的探索分析可以揭示改善甚至重申许多经济问题的新含义。在许多经济时间序列中，依赖性是非高斯性质的，需要避开基于协方差的DC 英国皇家经济学会201820 J。

Barunik和T.Kleymethods，并允许详细分析联合分布分位数的相关性。确认作者按字母顺序列出，因为他们对项目的贡献是相等的。作者感谢Piotr Fryzlewicz、Roger Koenker、Oliver Linton、StanislavVolgushev以及各种研讨会和会议的参与者的评论。特别是，我们要感谢编辑丹尼斯·克里斯滕森和两位匿名裁判，他们的报告帮助改进了这篇论文。Jozef Barunik感谢捷克科学基金会对GA16-14179S项目的支持。Tobias Kley感谢德国研究基金会（DFG）的PSRC研究金“时间序列分析的新挑战”（EP/L014246/1）和合作研究中心“非线性动态过程的统计建模”（SFB 823，Teilprojekt C1）的部分支持。对于本文介绍的分位数互谱测度的估计和推断，提供了R包quantspec；参见Kley（2016）。R套餐在网上提供https://cran.r-project.org/web/packages/quantspec/index.htmlREFERENCESAdrianT.和M.K.Brunnermeier（2016年7月）。科瓦尔。《美国经济回顾》106（7），1705-41。Ang，A.和J.Chen（2002）。股票投资组合的不对称相关性。《金融经济学杂志》63（3），443-494。Bae，K-H.，G.A.Karolyi和R.M.Stulz（2003）。衡量金融传染的新方法。金融研究回顾16（3），717–763。Barigzzi，M.，C.Brownlees，G.M.Gallo和D.Veredas（2014年）。在波动性度量的面板中解开系统的静态和特殊动力学。《经济学与rics杂志》182（2），364-384。Beaudry，P.和G.Koop（1993年）。经济衰退会永久性地改变产出吗？《货币经济学杂志》31（2），149-163。Birr，S.，T.Kley和S。

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S1–S31。分位数相关性：周期性经济变量之间相关性的一般衡量标准：在线补充Jozef Barunik+和Tobias Kley+捷克科学院计量经济系和布拉格查尔斯大学经济研究所。电子邮件：barunik@fsv.cuni.cz——布里斯托尔大学数学学院。电子邮件：托比亚斯。kley@bristol.ac.ukReceived：2018年10月1日。与分位数互谱密度核有关的进一步量在本文描述的情况下，存在一个右连续正交增量过程{Zτj（ω）：-π ≤ ω ≤ π} ，每j∈ {1，…，d}和τ∈ [0,1]，这样Cram\'er代表{Xt，j≤ qj（τ）}=Zπ-πeitωdZτj（ω）成立[cf.，例如，谷口和Kakizawa（2000）中的定理1.2.15]。注意（Xt，j）t∈Zis是严格静止的，因此（I{Xt，j≤ qj（τ）}）t∈ZI是二阶稳定的，因为指示函数的有界性意味着二阶矩的存在。分位数交叉谱密度核与这些正交增量过程密切相关[cf.（Brillinger，1975，第101页）和（Brockwell and Davis，1987，第436页）]。更具体地说-π ≤ ω1≤ ω2≤ π、 以下关系成立：Zω2ω1fj1，j2（ω；τ1，τ2）dω=CovZτ1j1（ω2）- Zτ1j1（ω1），Zτ2j2（ω2）- Zτ2j2（ω1）,或者简而言之：fj1，j2（ω；τ1，τ2）=Cov（dZτ1j1（ω），dZτ2j2（ω））。观察FJ1，j2（ω；τ1，τ2）是复数是很重要的。表示fj1，j2（ω；τ1，τ2）的一种方法是将EIT分解为其实部和虚部。真正的部分被称为过程（I{Xt，j1）的共谱（cospectrum）≤ qj1（τ1）}）t∈赞德（I{Xt，j2）≤ qj2（τ2）}）t∈Z） 。imag初始部分的负数通常被称为正交谱。我们将这些量称为（Xt，j1）t的分位数共谱和分位数正交谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z

偶尔，为了强调这些谱是（τ1，τ2）的函数，我们将它们分别称为分位数共谱核和分位数正交谱核。如果j1=j2且τ1=τ2，则分位数正交谱消失。更一般地说，如Kley等人（2016）所述，对于任何固定的j1、j2，对于所有τ1、τ2，当且仅当（Xt-k、 j1，Xt，j2）和（Xt+k，j1，Xt，j2）对于所有k.c 皇家经济学会2018。由布莱克威尔出版社有限公司出版，地址：英国牛津大学考利路108号OX41JF和美国马萨诸塞州马尔登大街350号，邮编：02148。arXiv:1510.06946v2[math.ST]2018年12月27日2 J.Barunik和T.KleyTable S.1。与fj1，j2（ω；τ1，τ2）相关的光谱量。名称符号（Xt，j1）t的分位数共谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z<fj1，j2（ω；τ1，τ2）t的分位数正交谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z-=fj1，j2（ω；τ1，τ2）t的分位数振幅谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z | fj1，j2（ω；τ1，τ2）|（Xt，j1）t的分位数相位谱∈赞德（Xt，j2）t∈Zarg（fj1，j2（ω；τ1，τ2））t的分位数相干性∈赞德（Xt，j2）t∈ZRj1，j2（ω；τ1，τ2）t的分位数相干性∈赞德（Xt，j2）t∈Z | Rj1，j2（ω；τ1，τ2）|注：分位数互谱密度核fj1，j2（ω；τ1，τ2）的（Xt，j1）t∈赞德（Xt，j2）t∈Zis de Finedin（2.2）。观察fj1，j2（ω；τ1，τ2）的另一种方法是用极坐标表示。半径| fj1，j2（ω；τ1，τ2）|被称为两个过程（I{Xt，j1）的振幅谱≤ qj1（τ1）}）t∈赞德（I{Xt，j2）≤ qj2（τ2）}）t∈Z） 而角度arg（fj1，j2（ω；τ1，τ2））分别是所谓的相位谱。我们将这些量称为（Xt，j1）t的分位数振幅谱和分位数相位谱∈赞德（Xt，j2）t∈Z.我们注意到，分位数谱分布函数rω0fj1，j2（λ；τ1，τ2））dλ显然是表示频率do main中基于分位数的依赖性的另一种方式。

其性质和估算程序目前正在一个单独的研究项目中进行研究，因此在此不再进一步讨论。注意，我们在第2节中定义的分位数相干性Rj1，j2（ω；τ1，τ2），作为两个过程（Xt，j1）t的动态相关性的测量∈赞德（Xt，j2）t∈Zis是dZτ1j1（ω）和dZτ2j2（ω）之间的相关性。它的模平方| Rj1，j2（ω；τ1，τ2）| 2被称为（Xt，j1）t的分位数相干核∈赞德（Xt，j2）t∈Z.|Rj1，j2（ω；τ1，τ2）|接近1表示dZτ1j1（ω）和dZτ2j2（ω）之间存在强（线性）关系。为方便读者阅读，本节中介绍的数量和符号列表见表S.1。然后，分位数共谱、分位数正交谱、分位数振幅谱、分位数相位谱和分位数相干性的估计器由<^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）自然得出，-=^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2），|Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）|，arg（^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2））和|Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）|2。S2。产生分位数相关交叉频率的过程的一个例子：QVAR（P）为了更好地理解我们在本文中研究的相关结构，我们引入了一个能够产生它们的过程。我们关注的是在联合分布的不同点上产生依赖性，这种依赖性在不同的频率上会有所不同，但在经典度量中保持隐藏。换句话说，我们说明了纯自变量的直觉，当使用传统的互谱分析时，两个变量似乎是独立的，而它们确实明显依赖于联合分布的不同部分。我们的例子基于Koenker和Xiao（2006）引入的流行分位数自回归过程（QAR）的多元推广。

灵感来源于矢量au-c 英国皇家经济学会2018分位数相关性：在线补充S3回归过程（VAR），我们通过滞后结构将多个QAR过程联系起来，并将结果过程称为分位数向量自回归过程（QVAR）。这提供了一种在两个随机dom变量的联合分布点和不同频率上生成丰富依赖结构的自然方法。平稳QVAR（p）过程的自协方差函数是固定参数var（p）过程的自协方差函数。这源于Knight（2006）的论点，他得出结论，仅使用自相关可能因此“无法识别数据中可能非常有用的结构”。我们将展示分位数光谱分析如何揭示哪些部分可能仍然不可见。设Xt=（Xt，1，…，Xt，d）0，t∈ Z、 是一个随机向量序列，其ful fillsxt=pXj=1Θ（j）（Ut）Xt-j+θ（0）（Ut），（S.1），其中Θ（1），Θ（p）是函数的d×d矩阵，θ（0）是函数的d×1列向量，Ut=（Ut，1，…，Ut，d）0，t∈ Z、 是一个独立向量序列，包含U[0，1]分布的分量Ut，K。我们假设第`行的元素θ（j）`（u`）=θ（j）`，1（u`），θ（j）`，d（u`）Θ（j）（u1，…，ud）=θ（j）1（u1）0，θ（j）d（ud）0θ（0）的第n个元素θ（0）`（u`）=θ（0）1（u1），θ（0）d（ud）0分别取决于\'th变量。在这个假设下，我们可以重写（S.1）asXt，i=pXj=1θ（j）i（Ut，i）Xt-j+θ（0）i（Ut，i），i=1，d、 （S.2）如果（S.2）的右边是单调递增的，那么Xt，igiven（Xt）的条件量子化函数-1.Xt-p） 可以表示为qxt，i（τ| Xt-1.Xt-p） =pXj=1θ（j）i（τ）Xt-j+θ（0）i（τ）。请注意，在本设计中，UT的第`个分量决定了Xt的第`个分量的自回归方程的系数。

我们把这个过程称为p阶的量子化自回归过程，因此称为QVAR（p）。没有关于参数Θ（j）的假设的过程类别（S.1）自然更丰富。然而，用条件分位数函数来解释参数是可能的。在p=1阶的二元情况下（d=2），即QVAR（1），（S.1）采用以下形式：Xt，1Xt，2！=θ（1）11（Ut，1）θ（1）12（Ut，1）θ（1）21（Ut，2）θ（1）22（Ut，2）！Xt-1,1Xt-1,2!+ θ（0）1（Ut，1）θ（0）2（Ut，2）！。对于这些例子，我们假设分量Ut，1和Ut，2是独立的，并设置θ（0）到θ（0）1（u）=θ（0）2（u）=Φ的分量-1（u），u∈ [0,1]，其中Φ-1（u）表示标准正态分布的u分位数。此外，我们将Θ（1）的对角元素设为零（即θ（1）11（u）=θ（1）22（u）=0，u）∈ [0,1]）和θ（1）12（u）=θ（1）21（u）=1.2（u）的反对角线元素- 0.5），美国∈ [0, 1]. 因此，我们通过其他滞后贡献将这两个过程相互联系起来，从而产生了相互依赖。请注意，这种特殊的参数函数选择导致了一个独特的、严格的 皇家经济学会2018S4 J.巴伦克和T.克莱。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图S.1。QVAR（1）生成的依赖结构示例。固定溶液；比照布格洛尔和皮卡德（1992年）。（Xt，1）t∈赞德（Xt，2）t∈Zare不相关。

注意，Hafner和Linton（2006）讨论了单变量分位数自回归在二阶性质方面嵌套了流行的自回归条件异方差（ARCH）模型。类似地，我们的QVAR（1）可以被视为嵌套了一个多变量的拱外翻。图S.1描述了所述QVAR（1）过程的动力学。就传统的相干性而言，所有频率之间似乎并没有相关性。另一方面，在分位数相干方面，联合分布的不同部分揭示了丰富的动力学。虽然在分布的中心（在0.5 | 0.5水平），各频率之间的相关性为零，但我们看到，如果至少一个分位数水平（τ1，τ2）选择接近0或1，相关性就会增加。更准确地说，我们看到这个QVAR过程的分位数相干性类似于系数矩阵Θ（1）（τ1，τ2）的VAR（1）过程的形状。例如，当τ1=0.05和τ2=0.95时，这两个过程在低频时明显正相关，在高频时分位数相干性的值正好相反，而这两个过程是不合适的。

这也类似于本文导论部分中简单激励示例的动力学，并强调了定量交叉谱分析的重要性，因为如果只使用传统的测量方法，依赖结构将保持隐藏。在第二个和第三个例子中，我们考虑了一个类似的参数结构 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S50。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图S.2。QVAR生成的依赖结构示例（2）。第二和第三次滞后。对于QVAR（2）过程，我们假设θ（j）11（u）=θ（j）22（u）=0，对于j=1，2，θ（1）12（u）=θ（1）21（u）=0和θ（2）12（u）=θ（2）21（u）=1.2（u）- 0.5). 换句话说，在这里，这些过程通过另一个过程的第二个滞后连接在一起，而不是直接通过它们自己的滞后贡献连接在一起。在QVAR（3）过程中，除θ（3）12（u）=θ（3）21（u）=1.2（u）外，所有系数均设置为零-0.5），这样，这些过程只通过另一个组件的第三个滞后连接，而不是通过它们自己的贡献连接。图S.2和S.3显示了所述QVAR（2）和QVAR（3）过程的动态。将这两个过程的分位数通过第二个和第三个dLag连接起来，可以使我们在频率上获得更丰富的依赖结构。它们同样类似于VAR（2）和VAR（3）过程的传统相干性。

当传统的一致性用于QVAR（2）和QVAR（3）过程时，依赖结构保持完全隐藏。（S.1）中规定的一般QVAR（p）示例用于说明如何在联合分布点和不同频率点之间创建富相关结构。显然，与所示示例相比，系数函数的更复杂结构将导致更丰富的动力学。C 皇家经济学会2018S6 J.Barunik和T.Kley0。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04ω2π0.05 | 0.050.95 | 0.950.25 | 0.250.5 | 0.50.5 | 0.95图S.3。QVAR生成的依赖结构示例（3）。S3。分位数和传统光谱量之间的关系在高斯过程的情况下，在应用建议的量时，在将它们与传统的相关性和相干性度量相关联时，务必小心。在本节中，我们将研究弱平稳、多元过程的情况，其中提出的基于分位数的量与其传统对应量直接相关。讨论的目的有两个。一方面，当模型已知为高斯时，它为如何解释定量光谱量提供了帮助。

另一方面，更重要的是，它提供了额外的见解，当序列依赖结构没有完全由二次矩指定时，传统数量是如何分解的。我们首先讨论一般情况，其中考虑的过程被假定为平稳的，但不需要是高斯的。我们将陈述传统光谱（即光谱密度和交叉光谱密度矩阵）唯一决定分位数光谱（即分位数光谱密度和交叉光谱密度矩阵）的条件。在本节的最后，我们将讨论三个二元平稳高斯过程的例子，并解释传统相干和分位数相干是如何关联的。用c表示：={cj1，j2k:j1，j2∈ {1，…，d}，k∈ Z} 。cj1，j2k:=Cov（Xt+k，j1，Xt，j2），自协方差和互协方差的族。作为第二个mo，我们也会提到它们 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S7过程的重要特征。我们假设（|cj1，j2k |）k∈Zis可求和，因此传统谱fj1，j2（ω）：=（2π）-1Pk∈Zcj1，j2ke-ikω存在。因为关系式j1，j2k=Rπ-πfj1，j2（ω）eikωdω我们将等价地指f（ω）：=（fj1，j2（ω））j1，j2=1，。。。，das这一过程的第二时刻特征。我们现在陈述了传统光谱唯一确定分位数光谱的条件。假设Xt，j（j）的边际分布∈ 我们用Fj表示的{1，…，d}），不依赖于t，是连续的。此外，联合分发Fj1（Xt+k，j1），Fj2（Xt，j2）, j1，j2∈ {1，…，d}，即配对的copula（Xt+k，j1，Xt，j2）应仅依赖于k，而不依赖于t，并由过程的第二个动量特征唯一指定。

更准确地说，我们假设函数Cj1，j2k的存在，比如Cj1，j2kτ1, τ2; C= PFj1（Xt+k，j1）≤ τ1，Fj2（Xt，j2）≤ τ2.显然，如果存在，则fj1，j2（ω；τ1，τ2）由c[注（2.2）和γj1，j2k（τ1，τ2）=Cj1，j2k这一事实唯一确定τ1, τ2; C- τ1τ2].在平稳高斯过程的情况下，通过CJ1、j2k的传统光谱来唯一识别量化光谱的假设是有效的τ1, τ2; C:= cgaus（τ1，τ2；cj1，j2k（cj1，j10cj2，j20）-1/2），其中我们用cgaus（τ1，τ2；ρ）表示高斯copula。相反，可以在限制较少的条件下进行表述。如果边缘分布都是已知的，并且都具有二阶矩，那么分位数光谱将决定传统光谱。现在假设前面描述的情况，在这种情况下，二阶矩特征f唯一地确定了分位数谱，我们用fj1，j2f（ω；τ1，τ2）来表示它是由f确定的。因此，传统光谱和分位数光谱之间的关系是1:1。用Rj1，j2（ω）：=fj1，j2（ω）/（fj1，j1（ω）fj2，j2（ω））1/2表示传统相干性，并观察到它也是由二阶矩特征f唯一确定的。因为分位数相干性是由与二阶矩特征f相关的分位数谱确定的，如前所述，我们已经建立了传统相干性和分位数相干性的关系。显然，这种关系不一定是1比1了。如果平稳过程来自时间序列模型的参数族，则可以确定每个参数的二阶矩特征。我们现在讨论三个高斯过程的例子。与前一个示例相比，每个示例都具有更复杂的串行依赖性。在不丧失一般性的情况下，我们只考虑二元例子。

第一个样本是非退化高斯白噪声。更准确地说，我们考虑高斯过程（Xt，1，Xt，2）t∈Z、 其中Cov（Xt，i，Xs，j）=0，Var（Xt，i）>0，对于所有t 6=s和i，j∈ {1, 2}.观察到，由于（Xt，1，Xt，2）和（Xs，1，Xs，2）的独立性，t6=s，对于所有k6=0和τ1，τ2，我们有γ1,2k（τ1，τ2）=0∈ [0, 1]. 很容易看出R1,2（ω；τ1，τ2）=cgaus（τ1，τ2；R1,2（ω））- τ1τ2pτ1（1- τ1）pτ2（1）- τ2（S.3），其中R1,2（ω）表示传统的相干性，在这种情况下（二元i.i.d.序列）等于c1,20（c1,10c2,20）-1/2（对于所有ω）。通过采用（S.3），我们可以确定任何给定的传统相干性和τ1、τ2的固定组合的分位数相干性∈ (0, 1). 在C的顶部中间部分 皇家经济学会2018S8 J.Barunik和T.KleyFigure S.4这一转换是针对四对分位数水平和任何可能的传统相关性进行可视化的。观察分位数同调的有限范围很重要。例如，当τ1和τ2都接近0时，第一分量中的τ1-分位数和第二分量中的τ2-分位数之间从来没有强的正相关性。类似地，当一个分位数水平选择接近0，而另一个分位数水平选择接近1时，从来没有强的负相关性。这种观测并不特别适用于高斯情况，但适用于任何成对独立的二元随机变量序列。对应于完全正相关或完全负相关（在分位数水平上）情况的界限可以从连接性的Fr’echet/Hoe-ffing界限推导出来：在序列独立的情况下，分位数相关性以max{τ1+τ2为界- 1, 0} - τ1τ2pτ1（1- τ1）pτ2（1）- τ2))≤ R1,2（ω；τ1，τ2）≤min{τ1，τ2}- τ1τ2pτ1（1- τ1）pτ2（1）- τ2)).注意，这些界限适用于（Xt，i，Xt，j）的任何联合分布。

特别是，边界独立于相关性。图S.4的左上部分显示了本例的传统一致性。因为不存在序列相关性，所以所有的一致性都是直线。它们的水平与这两个成分之间的相关性相等。在图S.4的右上部分，当相关性为0.6时，显示了示例的分位数相关性（对应的相关性在左上角的图中用粗体线标记）。请注意，对于固定的τ1和τ2，分位数相干性的值对应于垂直灰线与相应图形相交的上中心图中的值。右边部分的数量差异不取决于频率，因为在这个例子中没有序列依赖性。在图S.4的中上部，重要的是要观察到，对于传统的相干度0（即，由于（Xt，1，Xt，2）是非相关的联合高斯，当分量是独立的时），分位数相干度在所有分位数级别都为零。在接下来的两个例子中，我们停留在高斯框架中，但引入了串行依赖。考虑一个二元稳定的VAR（1）过程Xt=（Xt，1，Xt，2）0，t∈ Z、 填充差异方程xt=AXt-1+εt，（S.4）带参数A∈ R2×2和i.i.d.，居中，二元，联合正态分布单位方差E（εtε0t）=I2的更新εt。在我们的第二个例子中，通过将每个成分与回归方程中滞后的其他成分联系起来，引入了序列相关性。换句话说，我们考虑了模型（S.4），其中矩阵A的对角线元素等于0，并且在反对角线上有一些值A。假设| a |<1产生一个稳定的过程。

如前所述，传统的光谱密度矩阵，在本例中为F（ω）：=（2π）-1.I2-0 aa 0E-iω-1.I2-0 aa 0eiω-1，|a |<1，唯一地决定了传统的相干性，并且由于高斯创新，也决定了分位数的相干性。图S.4中左图显示了当a取不同值时，该模型的传统相关性。如果我们现在确定一个频率【6=π/4】，那么该频率的传统相干性值唯一地决定了a.Inc的值 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S90。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π传统相干性（Re）-1-0.50.0 0.5 1.0传统相干度（Re）分位数相干度（Re）-1.-0.5 0 0.5 10.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π传统相干性（Re）-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0 0.5 1.0频率=2π52 512传统相干性（Re）分位数相干性（Re）0.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0ω 2π0.05 | 0.050.5 | 0.50.05 | 0.950.5 | 0.050.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.5 1.0ω2π传统相干性（Re）-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0 0.5 1.0频率=2π52 512传统相干（Re）分位数相干（Re）0.05 | 0.05 0.05 | 0.950.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.50.0 0.51.0ω2π0.05 | 0.05 0.05 | 0.95图S.4。选定高斯过程的分位数和传统相干。图S.4我们用灰线标记了ω=2π52/512的频率和0.6的相干性值，并用粗体打印了相应的相干性（作为ω的函数）。请注意，在许多图片中的一致性[每个a对应一个]∈ (-1，1）]只有一个值为0。6以这个频率。

在中间一行的中心图中，我们展示了所考虑模型的传统相干性和分位数相干性之间的关系。对于分位数级别和a的所有值的四个组合∈ (-1，1）显示了相应的传统相干和分位数相干。值得注意的是，该关系仅针对一个频率[ω=2π52/512]显示。我们观察到分位数相干性的值范围是有限的，并且该范围取决于分位数级别和频率的组合。虽然这与第一个例子非常相似 英国皇家经济学会2018S10 J.Barunik和T.Kleyquantile相干性必须是有界的，因为Fr\'echet/Hoe fff界限，我们在这里还观察到（对于这个特定的模型和频率），传统相干性的值范围是有限的。这一事实在中左图中也很明显。为了在这个特定的频率上关联传统的和分位数的相干性，可以使用中心-中间图，如第一个示例所示。对于给定的频率，选择有效的传统相干性（中心图的x轴）和分位数水平的组合（图中的一条线），然后确定分位数相干性的值（如右图所示）。请注意（在本例中），对于给定的频率和分位数级别的组合，关系仍然是传统相干的函数，但不是内射的。在我们的最后一个例子中，我们考虑了高斯VAR（1）模型（S.4），在该模型中，我们现在允许额外的自由度，方法是让矩阵A的形式为对角线元素均等于b，并像以前一样将值A保持在反对角线上。因此，与前面的示例（其中要求b=0）相比，每个组件现在也可能取决于其自身的滞后值。

不难看出，|a+b |<1产生稳定的过程。在这种情况下，传统的光谱密度矩阵的形式为f（ω）：=（2π）-1.I2-b aa bE-iω-1.I2-b aa beiω-1，|a+b |<1。图S.4的左下部分显示了一组传统的相干性（作为ω的函数）。由于模型中的额外自由度，形状的多样性急剧增加。特别是，对于给定的频率，传统相干的值不再唯一地指定模型参数。我们用粗体标记了三个相干性（作为ω的函数），它们在ω=2π52/512处的值为0.6，以强调这一事实。相应的过程（对于固定的分位数级别组合）在该频率下具有不同的分位数相干值。从图S.4的中下部可以看出这一事实，图中描述了频率固定时传统相干度和分位数相干度之间的关系，分位数电平的两种组合以黑色和灰色显示。请注意一个重要事实，即这种关系（对于FixedFrequency）不再是传统相干性的函数。图的右下部分显示了三个模型参数（图的左下部分以粗体显示）和两个分位数级别组合的分位数相干曲线（作为ω的函数）。很明显，即使对于特定的固定频率，传统的相干性是一致的，但分位数相干性的值和形状可能会因基本过程而有所不同。

第三个例子说明了传统相干性与基于分位数的计数器部分之间的频率对比可能会失败，即使过程非常简单。从本节开头的理论讨论中，我们已经看到，对于高斯过程，当边际分布固定时，传统光谱和分位数光谱之间存在关系。这种关系是数量与频率（和分位数）之间的1:1关系。这三个例子说明，在特殊情况下，按频率进行比较是可能的，但在一般情况下并不成立。总之，我们建议将分位数互谱密度视为其自身依赖性的度量，因为基于分位数的量侧重于更一般类型的依赖性。我们进一步指出，分位数相干性可用于满足使关系成为可能的条件的示例中，但也可用于分析分位数向量自回归（QVAR）过程中的相关性 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S11，第S2节。QVAR过程具有更复杂的动力学性质，不能仅用二阶矩特征来描述。S4。分位数互谱密度估计量的渐近性质我们现在将陈述（2.4）和（2.5）中定义的CCR周期图R（ω；τ1，τ2）的渐近性质的结果。命题S4。1.假设（Xt）t∈Zis严格固定，满足假设4.1。进一步假设边际分布函数Fj，j=1，它们是连续的。然后，对于每一个固定ω6=0 mod 2π，In，R（ω；τ1，τ2）(τ1,τ2)∈[0,1]2=>I（ω；τ1，τ2）(τ1,τ2)∈[0,1]2in`∞Cd×d（[0,1]2）。

（S.5）Cd×d值极限过程I，指数为（τ1，τ2）∈ [0，1]2的形式为（ω；τ1，τ2）=12πD（ω；τ1）D（ω；τ2）0，其中D（ω；τ）=（Dj（ω；τ））j=1，。。。，d、 τ∈ [0, 1], ω ∈ R是一个中心的、Cd值的高斯过程，其协方差结构如下所示（Dj1（ω；τ1），Dj2（ω；τ2））=2πfj1，j2（ω；τ1，τ2）。此外，D（ω；τ）=D(-ω; τ） =D（ω+2π；τ），以及{D（ω；·）∶ω族∈ [0，π]}是独立进程的集合。特别是，对于任何固定的频率集合ω，弱收敛性（S.5）都是成立的。对于ω=0 mod 2π，CCR周期图的渐近行为如下：我们有djn，R（0；τ）=nτ+op（n1/2），其中余项的精确形式取决于Xj，0，Xj，n-1.因此，在提案S4的假设下。我们有In，R（0；τ1，τ2）=n（2π）-1τ1τ21d10d+op（1），其中1d:=（1，…，1）0∈ Rd.我们现在陈述一个结果，该结果量化了渐近估计f（ω；τ1，τ2）byGn，R（ω；τ1，τ2）的不确定性。定理S4。1.假设4.1和4.2成立。假设边际分布函数Fj，j=1，d是连续的，常数κ>0和k∈ N存在，因此bn=o（N-1/（2k+1））和bnn1-κ→ ∞. 然后，对于任何固定ω∈ R、 过程gn（ω；·，·）：=pnbn^Gn，R（ω；τ1，τ2）- f（ω；τ1，τ2）- B（k）n（ω；τ1，τ2）τ1,τ2∈[0,1]满意度（ω；·，·）=> H（ω；·，·）in`∞Cd×d（[0，1]2），（S.6），其中偏置矩阵B（k）的元素由nb（k）n（ω；τ1，τ2）oj1，j2:=kX`=2b`n`！Zπ-πv`W（v）dvd`dω`fj1，j2（ω；τ1，τ2）（S.7）和fj1，j2（ω；τ1，τ2）在（2.2）中定义。过程H（ω；·，·）：=（Hj1，j2（ω；·，·））j1，j2=1，。。。，dc 英国皇家经济学会2018S12 J.Barunik和T。

Kleyin（S.6）是一个以Cd×d值为中心的高斯过程，以CoV为特征Hj1，j2（ω；u1，v1）, Hk1，k2（λ；u2，v2）= 2πZπ-πW2（α）dαfj1，k1（ω；u1，u2）fj2，k2(-ω; v1，v2）η（ω- λ） +fj1，k2（ω；u1，v2）fj2，k1(-ω; v1，u2）η（ω+λ）, （S.8）式中η（x）：=I{x=0（mod 2π）}[cf.（Brillinger，1975，第148页）]是Kroneckerδ函数的2π周期延拓。族{H（ω；·，·，·），ω∈ [0，π]}是独立过程和H（ω；τ1，τ2）=H的集合(-ω; τ1，τ2）=H（ω+2π；τ1，τ2）。对结果发表几点评论是合乎规程的。与经典光谱分析形成鲜明对比的是，经典光谱分析需要高阶矩才能获得光谱密度的平滑度[cf.Brillinger（1975），第27页]，假设4.1保证分位数交叉光谱密度是ω的分析函数。因此，ω7的第k阶导数→ （S.7）中的fj1，j2（ω；τ1，τ2）在没有进一步假设的情况下存在。ω=0 mod 2π的情况不需要像命题S4那样单独处理。1，因为Ij1，j2n，R（0，τ1，τ2）被排除在（2.6）：^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）的定义中。假设W是p阶核；i、 e.对于一些p，满足esRπ-πvjW（v）dv=0，对于所有j<p和0<Rπ-πvpW（v）dv<∞. 例如，Epanechnikov核是p=2阶的核。然后，偏差为bpn级。因为方差是有序的（nbn）-1，如果bn，则均方误差最小 N-1/（2p+1）。这个最优带宽满足定理S4的假设。1.详细讨论了定理S4的作用。1可用于构造渐近有效的置信区间，并推迟到D部分。极限{H（ω；·，·，·），ω）的独立性∈ [0，π]}有两个重要的含义。一方面，弱收敛（S.6）对任何固定的频率集合ω都适用。

另一方面，如果将平滑的CCR周期图视为三个参数（ω、τ1、τ2）的函数，弱收敛将不再成立。这种收敛的局限性是由于不存在紧元素`∞Cd×d（[0，π]×[0，1]2），具有正确的有限维分布，这是在`∞Cd×d（[0，π]×[0，1]2）。固定j1，j2和τ1，τ2 CCR周期图^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）和由不可观测的二元时间序列确定的传统平滑交叉周期图I{Fj1（Xt，j1）≤ τ1}，I{Fj1（Xt，j2）≤ τ2}, t=0，N- 1，（S.9）是渐近等价的。定理S4。1因此表明，在分位数互谱密度估计的背景下，边缘分布的估计对极限分布没有影响（参见Kley等人（2016）评论3.5后的评论）。S5。关于区间估计的构造在本节中，我们收集了关于如何构造逐点置信带的详细信息。第4节和S4节包含关于新引入的分位数互谱量的点估计不确定性的渐近结果。在本节中，我们将介绍估计（实部和虚部）方差的最佳策略 英国皇家经济学会2018分位数相关性：在线补充S13限制结果，并描述如何构建渐近有效的逐点置信带。在所有三个小节中，以下评论都是相关的。假设我们已经确定了权重Wn，形成了一个d阶的核W。我们将选择abandwidth bn=o（n-1/（2d+1））。这种选择意味着，与方差相比，偏差（以某种形式出现在两个极限结果中）是渐进可忽略的：√nbnB（k）n（ω；τ1，τ2）=o（1）。S5。1.

证明定理S4无效的逐点置信带。1我们现在构造点态渐近（1- α） -fj1，j2（ωkn；τ1，τ2）实部和虚部的能级密度带，ωkn:=2πk/n，如下所示：C（1）r，n（ωkn；τ1，τ2）：=<Gj1，j2n，r（ωkn；τ1，τ2）±<σj1，j2（1）（ωkn；τ1，τ2）Φ-1(1 - α/2），对于实部，和c（1）i，n（ωkn；τ1，τ2）：=~Gj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）±=σj1，j2（1）（ωkn；τ1，τ2）Φ-1(1 - α/2），用于分位数交叉谱的虚部。这里，~Gj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）：=^Gj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）/Wkn，Wkn:=2πnn-1Xs=1Wn（ωkn）- ωsn），Φ表示标准正态分布的累积分布函数，1<σj1，j2（ωkn；τ1，τ2）2:= 0∨（Cov（H1,2，H1,2）如果j1=j2且τ1=τ2,12冠状病毒（H1,2，H1,2）+<Cov（H1,2，H2,1）否则=σj1，j2（ωkn；τ1，τ2）2:= 0∨（如果j1=j2且τ1=τ2,12，则为0）冠状病毒（H1,2，H1,2）- <冠状病毒（H1,2,H2,1）否则，其中Cov（Ha，b，Hc，d）表示Cov的估计值Hja，jb（ωkn；τa，τb）, Hjc，jd（ωkn；τc，τd）.在这里，受布里林格（1975）定理7.4.3的启发，我们使用2πn·Wknדn-1Xs=1Wn2π（k）-s） /nWn2π（k）-s） /n~Gja，jcn，R（τa，τc；2πs/n）~Gjb，jdn，R（τb，τd；-2πs/n）+n-1Xs=1Wn2π（k）- s） /nWn2π（k+s）/n~Gja，jdn，R（τa，τd；2πs/n）~Gjb，jcn，R（τb，τc；-2πs/n）#（s.10）σj1，j2（1）（ωkn；τ1，τ2）的定义是由以下事实驱动的：如果j1=j2，τ1=τ2，则R（ωkn；τ1，τ2）=0。此外，请注意，对于任何复值随机变量Z，对于复共轭Z，Var（<Z）=12Var（Z）+<Cov（Z，\'Z）; Var（=Z）=12Var（Z）- <冠状病毒（Z，\'Z）, （S.11）1注意，对于k=0，N- 1我们有Wkn:=2π/nPn-10=s6=kWn（2πs/n）。为了k∈ k<0的Z≥ n我们可以将其定义为n周期延拓。C 皇家经济学会2018S14 J.Barunik和T.Kleyand我们有H1,2=H2,1。S5。2.