RWe的点态置信带利用定理4.1构造点态渐近（1-α） -Rj1，j2（ω；τ1，τ2）实部和虚部的置信区间如下：C（2）r，n（ωkn；τ1，τ2）：=<^Rj1，j2n，r（ωkn；τ1，τ2）±<σj1，j2（2）（ωkn；τ1，τ2）Φ-1(1 - α/2），对于实部，和c（2）i，n（ωkn；τ1，τ2）：==^Rj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）±=σj1，j2（2）（ωkn；τ1，τ2）Φ-1(1 - α/2），用于分位数相干性的虚部。这里Φ代表标准正态分布的cdf，<σj1，j2（2）（ωkn；τ1，τ2）2:= 0 ∨如果j1=j2且τ1=τ2,12，则为0冠状病毒（L1,2，L1,2）+<Cov（L1,2，L2,1）否则=σj1，j2（2）（ωkn；τ1，τ2）2:= 0 ∨如果j1=j2且τ1=τ2,12，则为0冠状病毒（L1,2，L1,2）- <冠状病毒（L1,2,L2,1）否则σj1，j2（2）（ωkn；τ1，τ2）的定义是由（S.11）和我们有l1,2=L2,1这一事实驱动的。

此外，请注意，如果j1=j2且τ1=τ2，则^Rj1，j2n，R（ωkn；τ1，τ2）=1。。在定义σj1，j2（2）（ωkn；τ1，τ2）时，我们使用Cov（La，b，Lc，d）来表示Cov的估计值Lj1，j2（ωkn；τ1，τ2, Lj3，j4（ωkn；τ3，τ4）.回顾定理4.1中极限过程的定义，我们得出以下表达式：1pf1,1f2,2f3,3f4,4CovH1,2-12f1,2f1,1H1,1-12f1,2f2,2H2,2,H3,4-12f3,4f3,3H3,3-12f3,4f4,4H4,4=冠状病毒（H1,2,H3,4）pf1,1f2,2f3,3f4,4-12f3,4Cov（H1,2,H3,3）qf1,1f2,2f33,3f4,4-12f3,4Cov（H1,2，H4,4）qf1,1f2,2f3,3f34,4-12f1,2Cov（H1,1，H3,4）qf31,1f2,2f3,3f4,4+14f1,2f3,4Cov（H1,1，H3,3）qf31,1f2,2f33,3f4,4+14f1,2f3,4Cov（H1,1，H4,4）qf31,1f2,2f3,4-12f1,2Cov（H2,2，H3,4）qf1,1f32,2f3,3f4,4+14f1,2f3,4Cov（H2,2，H3,3）qf1,1f32,2f33,3f4,4+14f1,2f3,4Cov（H2,2，H4,4）qf1,1f32,2f3,3f34,4，其中我们已经为分位数谱密度fja，jb（ωkn；τa，τb），以及极限分布的Ha，bfa，jb，jb（ωkn；τa，τb）对于任何a，b=1,2,3,4）。C 皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S15因此，考虑到τ3=τ1和τ4=τ2的特殊情况，我们有COV（L1,2，L1,2）=1f1,1f2,2冠状病毒（H1,2，H1,2）- <f1,2Cov（H1,1，H1,2）f1,1- <f1,2Cov（H2,2，H1,2）f2,2+14 | f1,2 | 2Cov（H1,1，H1,1）f21,1+2<Cov（H1,1，H2,2）f1,1f2,2+Cov（H2,2，H2,2）f22,2（S.12）对于τ3=τ1和τ4=τ2的特殊情况，我们有cov（L1,2，L2,1）=1f1,1f2,2冠状病毒（H1,2,H2,1）-f1,2Cov（H1,2，H2,2）f2,2-f1,2Cov（H1,2，H1,1）f1,1+14f21,2Cov（H1,1，H1,1）f21,1+2<Cov（H1,1，H2,2）f1,1f2,2+Cov（H2,2，H2,2）f22,2.我们用一致估计代替未知量。为此，我们使用fa、bto表示Gja、jbn、R（ωkn；τa、τb），并将Cov（Ha、b、Hc、d）写入（S.10）中定义的数量。中六。第4节和S4节结果的证明本节给出了第4节和S4节结果的证明。在我们开始之前，请注意，通过对Kley等人的命题3.1的简单概括。

（2016）我们假设4.1意味着存在常数ρ∈ （0,1）和K<∞ 这样，对于任意间隔A1。。。，美联社 R、 任意索引j1，太平绅士∈ {1，…，d}和时间t1。。。，总磷∈ Z、 |cum（I{Xt1，j1）∈ A1}，I{Xtp，jp∈ Ap}）|≤ K′ρmaxi，j|ti-tj |。（S.13）在本节的证明中，我们将多次使用这一事实。中六。1.定理4.1的泰勒展开式证明，对于每个x，x0>0,1√x=1√x0-121px30（x- x0）+38ξ-5/2x，x0（x- x0）2，其中ξx，x0在x和x0之间。设Rn（x，x0）：=38ξ-5/2x，x0（x- x0）2，然后√yz-x0√y0z0=1√y0z0（十）- x0）-12x0y0（y- y0）-12x0z0（z- z0）+rn, （S.14）其中：- x0）-121y0（y）- y0）-121z0（z）- z0）+ 十、Rn（y，y0）√y01.-121z0（z）- z0）+ Rn（z，z0）√z01.-121y0（y）- y0）+141y0（y）- y0）1z0（z）- z0）+√y0z0Rn（y，y0）Rn（z，z0）C 英国皇家经济学会2018S16 J.Barunik和T.KleyWrite fa，bfor fja，jb（ω；τa，τb），Ga，bfor^Gja，jbn，R（ω；τa，τb）和Ba，bfor{b（k）n（ω；τa，τb）}ja，jb（a，b=1,2,3,4）。我们想要使用（S.14），为此，letx:=Ga，by:=Ga，az:=Gb，bx0:=fa，b+Ba，by0:=fa，a+Ba，az0:=fb，b+Bb，bBy定理S4。1差异x-x0，y-y0和z-Z0在Op中（（nbn）-1/2），与τ1、τ2一致。假设nbn→ ∞, 作为n→ ∞, 这需要一个，一个-Ba，a→ fa，a，在概率上。对于ε≤ τ1, τ2≤ 1.-ε、 我们有fa，a>0，这样，根据连续映射定理，我们有（Ga，a）- 文学士（a）-5/2→ F-5/2a，a，概率。作为Ba，a=o（1），我们有y-5/2- Y-5/20=op（1）。最后，由于ξ-5/2年，y0≤ Y-5/2n∨ Y-5/20≤ （y）-5/2n- Y-5/20) ∨ 0+y-5/20=op（1）+O（1）=op（1），我们有Rn（y，y0）=op（（nbn）-1).类似的参数产生Rn（z，z0）=Op（（nbn）-1). 因此我们证明了^Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）-fa，b+Ba，bpfa，a+Ba，apfb，b+Bb，b=1pf1,1f2,2[G1,2-f1,2-B1,2]-12f1,2f1,1[G1,1-f1,1-B1,1]-12f1,2f2,2[G2,2-f2,2-B2,2]+ Op1/（nbn）,对于τ1，τ2，opolding是一致的。

此外，请注意fa、b+Ba、bpfa、a+Ba、apfb、b+Bb、b=fa、bpfa、afb、b+1pfa、afb、b巴，b-12fa，bfa，aBa，a-12fa，bfb，bBb，b+ O（|Ba，b |（Ba，a+Bb，b）+B2a，a+B2b，b+Ba，aBb，b），我们再次使用（S.14）。引理S6。5我们有SUPτ1，τ2∈[ε,1-ε]d`dω`fj1，j2（ω；τ1，τ2）≤ Cε，`。因此，满足度τ1，τ2∈[ε,1-ε]kX`=2b`n`！Zπ-πv`W（v）dvd`dω`fj1，j2（ω；τ1，τ2）= o（nbn）-1/4,对于所有j1，j2=1，d、 这意味着| Ba，b |（Ba，a+Bb，b）+B2a，a+B2b，b+Ba，aBb，b=o（nbn）-1/2.因此，pnbn^Rj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）- Rj1，j2（ω；τ1，τ2）-1pfa、afb、b巴，b-12fa，bfa，aBa，a-12fa，bfb，bBb，bτ1,τ2∈[0,1]和√nbnpf1,1f2,2[G1,2-f1,2-B1,2]-12f1,2f1,1[G1,1-f1,1-B1,1]-12f1,2f2,2[G2,2-f2,2-B2,2]（S.15）c 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S17在某种意义上是渐近等价的，如果两个中的一个在`∞Cd×d（[0，1]2），那么另一个也是。接着是定理S4。Slutzky引理和连续映射定理。2S6。2.命题S4的证明。1证据类似于Kley等人（2016年）中命题3.4的证据，该命题处理了univari-ate案件。对于j=1，从fj的连续性来看，随机变量X0，j。。。，Xn-1，jand Fj（X0，j）。。。，Fj（Xn-1，j）几乎可以肯定地吻合。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设CCR周期图是根据不可观测数据（Fj（X0，j））j=1，。。。，D（Fj（Xn）-1，j））j=1，。。。，d、 特别是，我们可以假设边缘是一致的。随后应用连续映射定理，证明N-1/2djn，R（ω；τ）τ∈[0,1]，j=1，。。。，D=>Dj（ω；τ）τ∈[0,1]，j=1，。。。，喧闹`∞Cd（[0，1]），（第16条）其中`∞Cd（[0，1]）是有界函数[0，1]的空间→ 我们认同产品空间`∞（[0,1]）2d。Letdjn，U（ω；τ）：=n-1Xt=0I{Fj（Xt，j）≤ τ} e-iωt，j=1。

，d，ω∈ R、 τ∈ [0,1]，请注意，（S.16）保持不变，这是足够的N-1/2djn，U（ω；τ）τ∈[0,1]，j=1，。。。，数据满足以下两个条件：（1）有限维分布的收敛性，即：。，N-1/2dj`n，U（ω`；τ`）`=1.杜兰特-→Dj`（ω`；τ`）`=1.k、 （S.17）对于任何（j`，τ`）∈ {1，…，d}×[0，1]，ω`6=0模2π，`=1，k和k∈ N（i2）随机等连续性：对于任意x>0且任意ω6=0 mod 2π，limδ↓0lim supn→∞Psupτ1，τ2∈[0,1]|τ1-τ2|≤δ| n-1/2（djn，U（ω；τ1）-djn，U（ω；τ2））|>x= 0, j=1，d、 （S.18）在（i1）和（i2）下，应用van der Vaart and Wellner（1996）的定理1.5.4和1.5.7得出N-1/2djn，U（ω；τ）τ∈[0,1]，j=1，。。。，D=>Dj（ω；τ）τ∈[0,1]，j=1，。。。，喧闹`∞Cd（[0,1]）。（S.19）与upτ结合∈[0,1]| n-1/2（djn，R（ω；τ）- djn，U（ω；τ））|=op（1），对于ω6=0模2π，j=1，d、 （S.20）我们将在下面证明，（S.19）产生期望的结果：（S.16）。为了证明（S.20），c 皇家经济学会2018S18 J.Barunik和T.Kleywe用^F表示-1n，j（τ）：=inf{x:^Fn，j（x）≥ τ}^Fn，jand-letinf的广义逆 := 0.然后，如Kley等人（2016）的（7.25）所述，我们得到了SUPω∈Rsupτ∈[0,1]djn，R（ω；τ）- djn，U（ω；^F）-1n，j（τ））≤ n supτ∈[0,1]|^Fn，j（τ）-^Fn，j（τ）-)| = Op（n1/2k）（S.21），其中^Fn，j（τ）-) := limξ↑0^Fn，j（τ）-ξ). （S.21）中的Op界来自引理S6。7.因此，必须对术语SSUPτ进行约束∈[0,1]n-1/2 | djn，U（ω；^F）-1n，j（τ））- djn，U（ω，τ））|，对于所有j=1，d、 为此，请注意，对于满足n1/2δn的任何x>0且δn=o（1）→ ∞, 我们有supτ∈[0,1]n-1/2 | djn，U（ω；^F）-1n，j（τ））- djn，U（ω；τ））|>x≤ Psupτ∈[0,1]sup | u-τ|≤δn | djn，U（ω；U）- djn，U（ω；τ）|>xn1/2，supτ∈[0,1]|^F-1n，j（τ）- τ| ≤ δn+ Psupτ∈[0,1]|^F-1n，j（τ）- τ|>δn= o（1）+o（1）。第一个o（1）来自（S.18）。第二个是引理S6的结果。8.因此，仍需证明（第17条）和（第18条）。对于任何固定的j=1。

d.过程djn，U（ω，τ）τ∈[0,1]由单变量时间序列X0，j，Xn-1，j.根据此处所做的假设，（S.18）因此遵循Kley等人（2016）中的（8.7）。最后，我们通过使用引理S6建立（S.17）。6与引理P4结合。5和布里林格（1975）的定理4.3.2。更准确地说，应用引理P4。5从Brillinger（1975）开始，我们必须验证，对于任何j1，j`∈ {1，…，d}，τ1，τ`∈ [0, 1],` ∈ N、 ω1，ω\'6=0 mod 2π，向量的所有累积量-1/2dj1n，U（ω1；τ1），dj1n，U(-ω1; τ1), . . . , dj`n，U（ω`；τ`），dj`n，U(-ω`; τ`)收敛到向量的相应累积量Dj1（ω1；τ1），Dj1(-ω1; τ1), . . . , Dj`（ω`；τ`），Dj`(-ω`; τ`).对于一阶累积量，单变量情况下的论点（参见Kley et al.（2016）中的命题3.4证明）适用：我们有| E（n-1/2djn，U（ω；τ））|=o（1），对于任何j=1，d、 τ∈ [0,1]和固定ω6=0模2π。此外，对于二阶累积量，将Brillinger（1975）中的定理4.3.1应用于二元过程（I{Xt，j1≤ qj1（u1）}，I{Xt，j2≤ qj2（u2）}），我们得到了cum（n-1/2di1n，U（λ1；u1），n-1/2di2n，U（λ2；u2））=2πn-1.n（λ1+λ2）fi1，i2（λ1；u1，u2）+o（1）对于任何（i1，λ1，u1），（i2，λ2，u2）∈Sk`=1{（i`，ω`，τ`），（j`，-ω`，τ`）}，得到了正确的二阶矩结构。功能在引理S6中定义。6.最后，cu-c 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S19 J阶公式，带J∈ N和J≥ 3，都趋向于零，就像在引理S6中。6cum（n）-1/2di1n，U（λ1；u1），N-1/2diJn，U（λJ；uJ））≤ Cn-J/2(|n（JXj=1λj）|+1）ε（|logε|+1）d=O（n-（J）-2） /2）=o（1），对于（i1，λ1，u1），（iJ，λJ，uJ）∈Sk`=1{（i`，ω`，τ`），（i`，-ω`，τ`）}，其中ε：=minJj=1uj。这意味着极限Dj（τ；ω）是高斯的，并且完成了（S.17）的证明。命题S4。1如下。2S6。3.

定理S4的证明。1我们以与Kley等人（2016）分析的单变量估计量的证明类似的方式进行。首先，我们陈述了一个渐近表示结果，通过该结果，可以在适当的统一意义上，通过另一个过程来近似估计量^Gn，Rcan，uw，该过程不被定义为标准化秩^Fn，j（Xt，j）的函数，而是不可观测量Fj（Xt，j），t=0，N-1，j=1，d、 更准确地说，这个过程被定义为^Gn，U（ω；τ1，τ2）：=（^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2））j1，j2=1，。。。，d、 式中，^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）：=2πnn-1Xs=1Wnω - 2πs/nIj1，j2n，U（2πs/n，τ1，τ2）Ij1，j2n，U（ω；τ1，τ2）：=12πndj1n，U（ω；τ1）dj2n，U(-ω; τ2）djn，U（ω；τ）：=n-1Xt=0I{Fj（Xt，j）≤ τ} e-iωt.（S.22）定理S4。1接着是^Gn，Rby^Gn，U（即定理S6.1（iii））的渐近表示和^Gn，U（即定理S6.1（i）-（ii））的渐近性质，我们现在陈述：定理S6。1.假设条件（S.13）和假设4.2保持不变，并假设分布函数Fjof X0，Jar对于所有j=1，d、 让bn满足定理S4的假设。1.然后，（i）对于任何固定ω∈ R、 作为n→ ∞,pnbn^Gn，U（ω；τ1，τ2）- E^Gn，U（ω；τ1，τ2）τ1,τ2∈[0,1]=> H（ω；·，·）in`∞Cd×d（[0，1]2），其中过程H（ω；·，·）在定理S4中定义。1.（ii）仍为n→ ∞,C 皇家经济学会2018S20 J.Barunik和T.Kleysupj1，j2∈{1，…，d}τ1，τ2∈[0,1]ω∈RE^Gj1，j2n，U（τ1，τ2；ω）- fj1，j2（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2= O（（nbn）-1） +o（bkn），其中B（k）n（ω；τ1，τ2）j1、J2在（S.7）中定义；（iii）对于任何固定ω∈ R、 supj1，j2∈{1，…，d}τ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，R（τ1，τ2；ω）-^Gj1，j2n，U（τ1，τ2；ω）|=op（nbn）-1/2+bkn;此外，如果核W是一致Lipschitz连续的，则该界相对于ω是一致的∈ R.定理S6的证明。1是冗长的、技术性的，在许多地方类似于Kley等人（2016）中定理3.6的证明。

我们在第S6节中提供证据。3.1–S6。3.3，技术细节推迟至第S6节。4.为了方便读者，我们首先简要介绍了必要的步骤。定理S6的第（二）部分。1可以按照Brillinger（1975）的经典结果来证明，但对于参数τ1和τ2是一致的。第（一）和（三）部分要求不同于经典理论的传统论点。这些额外的ar方程是由于估计量是一个随机过程，且具有随机等连续性^Hj1，j2n（a；ω）A.∈[0,1]2:=pnbn^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）τ1,τ2∈[0,1]（S.23）对于所有j1，j2=1，d必须被证明，以确保收敛不仅在点方向上，而且是一致的。证明（i）和（iii）的关键是增量^Hj1，j2n（a；ω）上的一致边界-^Hj1，j2n过程的^Hj1，j2n（b；ω）。这个界需要用来表示过程的随机等连续性。为了使用受限链接技术（参见引理S6.3），我们需要两个不同的界限。首先，我们证明了增量^Hj1，j2n（a；ω）的矩在a和b中是一致的一般界-^Hj1，j2n（b；ω）（参见引理S6.4）。其次，我们证明了增量^Hj1，j2n（a；ω）上的一个更清晰的界-^Hj1，j2n（b；ω），当a和b“非常接近”（参见引理S6.10）。引理S6需要的条件（S.28）。4.坚持是相当普遍的。在引理S6中。6我们证明了假设4.1所暗示的条件（S.13）暗示了（S.28）。中六。3.1. 定理S6的证明。1（i）足以证明以下两种说法：（i）过程（S.23）的有限维分布的收敛性，即，^Hj1`，j2`n（a1`，a2`）；ωjj=1，。。。，杜兰特-→Hj1`，j2`（a1`，a2`）；ωjj=1，。。。，k（S.24）表示任何（j1`，j2`，a1`，a2`，ω`）∈ {1，…，d}×[0，1]2×R，`=1。

，k和k∈ N（i2）随机等连续性：对于任意x>0，任意ω∈ R、 以及任何j1，j2=1，d、 limδ↓0lim supn→∞P苏帕，b∈[0,1]2ka-bk1≤δ|^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|>x= 0.（S.25）c 皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S21By（S.25）我们有所有实部<^Hj1，j2n（·ω）和想象部=^Hj1，j2n（·ω）的随机等连续性。因此，根据van der Vaart and Wellner（1996）中的定理1.5.4和1.5.7，我们将证明第（i）部分。首先我们证明（i1）。对于固定τ1，τ2，^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）是剪裁过程（I{Fj1（Xt，j1）的交叉谱的传统平滑周线估计量≤ τ1}）t∈赞德（I{Fj2（Xt，j2）≤ τ2}）t∈Z[见布里林格（1975）第7.1章]。因此，（S.24）遵循Brillinger（1975）中的定理7.4.4，根据该定理，这些估计量是渐近联合高斯的。极限的一阶和二阶矩结构由Brillinger（1975）的orem 7.4.1和推论7.4.3给出。联合会聚（S.24）如下。请注意，假设4.1所暗示的条件（S.13）意味着适用布里林格（1975）中三个定理所需的可和性条件[即，布里林格（1975）中的假设2.6.2（`]）。现在来看（i2）的证明。Orlicz范数kXkψ=inf{C>0:Eψ（|X |/C）≤ 1} ψ（x）：=x6与L6norm kXk6=（E | x | 6）1/6一致。因此，对于任何κ>0和足够小的ka- bk1，我们有引理S6。4和引理S6。6 thatk^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）kψ≤ K灵魂- bkκ1（nbn）2+ka- bk2κ1nbn+ka- bk3κ11/6.因此，对于所有a，b和ka- bk1su非常小，并且- bk1≥ （nbn）-1/γ和所有γ∈ （0，1）使得γ<κ，k^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）kψ≤“Kka- bkγ/21。注意ka- bk1≥ （nbn）-1/γ当且仅当d（a，b）：=ka- bkγ/21≥ （nbn）-1/2=：ηn/2。包装编号（van der Vaart and Wellner，1996年，第。

98）满足（ε，D）的（[0,1]2,D）D（ε，D） ε-4/γ. 引理S6。因此，对于所有x，δ>0和η≥ ηn，P苏普卡-bk1≤δ2/γ|^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|>x= Psupd（a，b）≤δ|^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|>x≤“8Kx Zηηηn/2-2/（3γ）d + （δ+2′ηn）η-4/(3γ)!#6+Psupd（a，b）≤ηn|^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|>x/4.现在，选择2/3<γ<1，让n趋于完整，第二项通过引理S6趋于零。10，因为通过构造，1/γ>1和d（a，b）≤ ηnif，仅ifka- bk1≤ 22/γ（nbn）-1/γ. 总的来说，这是一个很好的选择↓0lim supn→∞Psupd（a，b）≤δ|^Hn（a；ω）-^Hn（b；ω）|>x≤“8~KxZη0-2/（3γ）d#6，对于每x，η>0。然后，由于相应地选择η，右边的积分可能会小得多。2S6。3.2. 定理S6的证明。1（ii）根据Kley et al.（2016）第8.1节中应用的参数，我们可以导出E[Ij1，j2n，U（ω；τ1，τ2）]c的渐近展开式 英国皇家经济学会2018S22 J.Barunik和T.Kleyand E[^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）]。事实上，很容易看出，当拉普拉斯累积量增加时，证明仍然适用I{Xk1≤ x1}，I{Xk2≤ x2}，I{X0≤ xp}Kley et al.（2016）中考虑的结果被其多变量对应项所取代I{Xk1，j1≤ x1}，I{Xk2，j2≤ x2}，I{X0，jp≤ xp}.更准确地说，我们现在陈述引理S6。1及中六。2（无证据）是Kley等人（2016）中引理8.4和8.5的多变量对应项，我们假设为S6。1.让p≥ 2, δ > 0. 存在一个非递增函数ap:N→R+这样的pk∈Nkδap（k）<∞ 和supx1，。。。，xp | cumI{Xk1，j1≤ x1}，I{Xk2，j2≤ x2}，I{X0，jp≤ xp}| ≤ 美联社maxj | kj|,尽管如此，jp=1，d、 注意这个假设。1源于条件（S.13），假设4.1反过来暗示了条件（S.13），但它实际上稍微弱一些。我们现在陈述两个引理中的第一个。

它是布里林格（1975）定理5.2.2的推广。引理S6。1.假设S6。1，K=2，δ>3，EIj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）=fj1，j2（ω；τ1，τ2）+12πnhsin（nω/2）sin（ω/2）i2τ1τ2+ετ1，τ2n（ω）ω6=0模2πfj1，j2（ω；τ1，τ2）+n2πτ1τ2+ετ1，τ2n（ω）ω=0模2π∈[0,1],ω∈R |ετ1，τ2n（ω）|=O（1/n）。两个引理中的第二个是布里林格（1975）定理5.6.1的推广。引理S6。2.假设假设S6。1，p=2且δ>k+1，假设4.2成立。然后，用定理S4的符号。1，supτ1，τ2∈[0,1],ω∈RE^Gj1，j2n（ω；τ1，τ2）- fj1，j2（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2= O（（nbn）-1） +o（bkn）。因为假设4.1所暗示的条件（S.13）暗示了假设S6。引理S6。2意味着定理S6。1（ii）。2S6。3.3. 定理S6的证明。1（iii）使用（S.20）和类似于引理S6证明中的论点。下面是supω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）-^Gj1，j2n，U（ω；^F）-1n，j1（τ1），^F-1n，j2（τ2））|=op（1）。因此，有必要限制差异τ1、τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）-^Gj1，j2n，U（ω；^F）-1n，j1（τ1），^F-1n，j2（τ2））|c 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S23J1，j2=1，d、 ω中的点态一致。我们首先证明固定ω的陈述∈ R的全部细节，稍后将概述证明统一结果所需的附加参数。

对于任意x>0和序列δnw，Pn（ω）：=Psupτ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，U（ω；^F）-1n，j1（τ1），^F-1n，j2（τ2））-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>x（（nbn）-1/2+bkn）≤ Psupτ1，τ2∈[0,1]supk（u，v）-（τ1，τ2）k∞≤supi=1,2；τ∈[0,1]|^F-1n，ji（τ）-τ| |^Gj1，j2n，U（ω；U，v）-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>x（（nbn）-1/2+bkn）≤ Psupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Gj1，j2n，U（ω；U，v）-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>x（（nbn）-1/2+bkn），supi=1,2；τ∈[0,1]|^F-1n，ji（τ）- τ| ≤ δn+2Xi=1Psupτ∈[0,1]|^F-1n，ji（τ）- τ|>δn= 比如说Pn1+Pn2。我们选择n-1/2 δn=o（n-1/2b-1/2n（对数n）-D） ，其中D表示引理S6中的常数。5.然后从引理S6开始。8 PN2为o（1）。另一方面，对于Pn1，我们有以下界限：Psupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>（1+（nbn）1/2bkn）x/2+ 因苏普τ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>（（nbn）-1/2+bkn）x/2o。由于（S.25），第一项趋于零。当n足够大时，指示剂消失，因为我们有supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|≤ supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- fj1，j2（ω；u，v）-B（k）n（ω；u，v）j1，j2 |+supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2+fj1，j2（ω；τ1，τ2）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|+supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn | fj1，j2（ω；u，v）+B（k）n（ω；u，v）j1，j2- fj1，j2（ω；τ1，τ2）-B（k）n（ω；τ1，τ2）j1，j2 |=o（n-1/2b-1/2n+bkn）+O（δn（1+| logδn |）D），其中D仍然是引理S6中的常数。5.约束我们的前两个条款 皇家经济学会2018S24 J.Barunik和T.Kleyaapplied定理S6的第（二）部分。1和引理S6。第三张5元。因此，对于任何固定ω，我们展示了Pn（ω）=o（1），这是该主张的逐点版本。接下来，我们概述了一致（关于ω）收敛性的证明。

对于任何yn>0，通过与上述类似的参数，使用相同的δn，我们得到psupω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]|^Gj1，j2n，R（ω；τ1，τ2）-^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>yn≤ Psupω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>（nbn）1/2yn/2+ 因苏普ω∈Rsupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn|E^Gj1，j2n，U（ω；U，v）- E^Gj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|>yn/2o+o（1）。后一个表达式中的指示符是o（1），其参数与上述参数相同[注意，引理S6.5和第（ii）部分的陈述都一致适用于ω∈ R] 。对于概率界，请注意引理S6。9，supτ1，τ2supk=1，。。。，n | Ij1，j2n，U（2πk/n；τ1，τ2）|=Op（n2/k），对于任何k>0。此外，通过W的一致Lipschitz连续性，函数wn也是一致Lipschitz连续的，且具有O（b）阶常数-2n）。把这些事实和引理结合起来。5和关于bn的假设，我们得到了supω1，ω2∈R |ω1-ω2|≤N-3上升τ1，τ2∈[0,1]|^Hj1，j2n，U（ω1；τ1，τ2）-^Hj1，j2n，U（ω2；τ1，τ2）|=op（1）。通过^Hj1，j2n，U（相对于ω）的周期性，可以证明maxω=0,2πn-3.2πsupτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|=op（1）。引理S6。3和中六。10存在一个随机变量S（ω），即supτ1，τ2∈[0,1]sup | u-τ1|≤δn | v-τ2|≤δn |^Hj1，j2n，U（ω；U，v）-^Hj1，j2n，U（ω；τ1，τ2）|≤ |S（ω）|+Rn（ω），对于任何固定ω∈ R、 带supω∈R | Rn（ω）|=op（1）和maxω=0,2πn-3.2πE[|S2L（ω）|]≤ K2LL Zη0-4/（2Lγ）d + （Δγ/2n+2（nbn）-1/2)η-8/（2Lγ）！2l对于任何0<γ<1，L∈ N、 0<η<δN，常数kl仅取决于L。对于适当选择的L和γ，后一个界是o（n）-3). 注意，最大值是关于一组基数O（n3），这就完成了第（iii）部分的证明。2S6。4.辅助引理在本节中，我们陈述了Kley等人（2016）第7.4节中辅助引理的多变量版本。注意引理S6。3是不变的，因此无需说明。

剩下的引理适用于多元量和证明orc 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S25关于如何调整Kley et al.（2016）中证据的说明收集于本节末尾。对于引理S6的陈述。3.我们定义了实值随机变量Z askZkψ=infnC>0:eψ的Orlicz范数[参见范德瓦坦韦尔纳（1996），第2.2章]|Z |/C≤ 1o，其中ψ：R+→ R+可以是任何不递减的凸函数，ψ（0）=0。对于引理S6的陈述。4，中六。6和中六。9我们定义，对于任何Borel集A，djn（ω；A）：=n-1Xt=0I{Xt，j∈ A} e-它是ω。（S.27）引理S6。3.让{Gt:t∈ T}是一个具有kGs的可分随机过程- Gtkψ≤Cd（s，t）代表所有s，t和d（s，t）≥ η/2 ≥ 0.用D表示(, d） 度量空间（T，d）的填充数。那么，对于任何δ>0，η≥ η，存在一个随机变量s1和常数K<∞ 这样的话≤δ| Gs- Gt|≤ S1+2辅助（s，t）≤η，t∈~T|Gs- Gt |和ks1kψ≤ KhZη′η/2ψ-1.D(, d）D + (δ + 2η)Ψ-1.D2（η，d）i、 其中，集合T最多包含D（(R)η，D）个点。特别是，根据马尔可夫不等式[cf.van der Vaart and Wellner（1996），第96页]|S1 |>x≤Ψ十、8KZη′η/2ψ-1.D(, d）D + (δ + 2η)Ψ-1.D2（η，d）-1.-1.对于任何x>0。引理S6。4.让我们。。。，Xn-1，其中Xt=（Xt，1，…，Xt，d）是X0，j的严格平稳过程的最终实现~ U[0,1]，j=1，d、 让假设4.2保持不变。对于x=（x1，x2），设^Hj1，j2n（x；ω）：=√nbn（^Gj1，j2n（x1，x2；ω）- E[^Gj1，j2n（x1，x2；ω）]。Letdjn（ω；A）的定义如（S.27）所示。假设p=1，存在一个常数C和一个函数g:R+→ R+，都独立于ω1。。。，ωp∈ R、 n和A1。。。，美联社，诸如此类cum（dj1n（ω1；A1），djpn（ωp；Ap））≤ CNpXi=1ωi+ 1.g（ε）（S.28）对于任何指数j1，太平绅士∈ {1，…，d}和区间A1，Apwith minkP（X0，jk∈（Ak）≤ ε.

然后，存在一个常数K（仅取决于C，L，g），比如supω∈苏普卡-bk1≤εE |^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|2L≤ 吉隆坡-1X`=0gL-`（ε） （nbn）`对于g（ε）<1且所有L=1的所有ε，P引理S6。5.在定理S4的假设下。1，导数（τ1，τ2）7→dkdωkfj1，j2（ω；τ1，τ2）c 皇家经济学会2018S26 J.Barunik和T.Kleyexists and satis，适用于任何k∈ n0和一些常数C，d独立于a=（a1，a2），b=（b1，b2），但可能依赖于k，supω∈Rdkdωkfj1，j2（ω；a1，a2）-dkdωkfj1，j2（ω；b1，b2）≤ Cka- bk1（1+|对数ka）- bk1 |）D.引理S6。6.让严格平稳过程（Xt）t∈Z满足条件（第13条）。Letdjn（ω；A）的定义如（S.27）所示。让我们，美联社 [0,1]是区间，设ε：=mink=1，。。。，pP（X0，jk）∈ Ak）。然后，对于任何p-元组ω1。。。，ωp∈ R和j1，太平绅士∈ {1，…，d}，cum（dj1n（ω1；A1），djpn（ωp；Ap））≤ CNpXi=1ωi+ 1.ε（| logε|+1）D，其中n（λ）：=Pn-1t=0eitλ，常数C，D仅取决于K，p和ρ[条件（S.13）中的ρ]。引理S6。7.让严格平稳过程（Xt）t∈Z满足条件（S.13）和X0，j~ U[0,1]。表示X0，j，…，的经验分布函数。。。，Xn-1，jby^Fn，j.那么，对于任何k∈ N、 存在一个只依赖于k的常数dk，比如supx，y∈[0,1]，|x-y|≤δn√n|^Fn，j（x）-^Fn，j（y）- （十）- y） |=Op（n2δn+n）1/2k（δn | logδn | dk+n-1)1/2,asδn→ 0.引理S6。8.让我们。。。，Xn-1，其中Xt=（Xt，1，…，Xt，d）是满足条件（S.13）和X0，j的严格平稳过程的最终实现~ U[0,1]，j=1，d、 然后，supj=1，。。。，dsupτ∈[0,1]|^F-1n，j（τ）- τ|=Op（n）-1/2).引理S6。9.让严格平稳过程（Xt）t∈Z满足条件（S.13）和X0，j~ U[0,1]。将djn（ω；A）定义为（S.27）。那么，对于任何k∈ N、 supj=1，。。。，dsupω∈Fnsupy∈[0,1]| djn（ω；[0，y]）|=Op（n1/2+1/k）。引理S6。10

在定理S6的假设下。1，设δnbe是一个非负实数序列。假设存在γ∈ （0，1），使得δn=O（（nbn）-1/γ).然后，supj1，j2，∈{1，…，d}supω∈罗苏普，v∈[0,1]2ku-vk1≤δn |^Hj1，j2n（u；ω）-^Hj1，j2n（v；ω）|=op（1）。引理S6的证明。3.引理如Kley等人（2016年）所述，未作任何改变。可在Kley等人（2016）的在线附录第8.3.1节中找到该版本。C 英国皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S27引理S6的证明。4.按照单变量版本的证明（Kley et al.（2016）第8.3.2节），我们可以证明|^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|2L=X{ν1，…，νR}|νj|≥2，j=1，。。。，RRYr=1Da，b（νr）（S.29），求和运行在{1，…，2L}的所有分区{ν1，…，νr}上，使得每个集合νj至少包含两个元素，而da，b（ξ）：=X`ξ1`ξq∈{1,2}n-3q/2bq/2n嗯∈嗯×n-1Xsξ1，。。。，sξq=1嗯∈ξWn（ω）- 2πsm/n）嗯(-1） m-1sm:m∈ ξ） ，对于任何集合ξ：={ξ1，…，ξq} {1，…，2L}，q:=|ξ|，and `，s:=dj1n（2πs/n；M1（`））dj2n(-2πs/n；M2（`）），`=1，2，s=1，N- 1，带有集合M1（1）、M2（2）、M2（1）、M1（2）和符号σ`∈ {-1，1}定义为σ1:=2I{a1>b1}- 1，σ2:=2I{a2>b2}- 1，M1（1）：=（a1）∧ b1，a1∨ b1]，M2（2）：=（a2）∧ b2，a2∨ b2]，（S.30）平方米（1）：=（0，a2）b2≥ a2[0，b2]a2>b2，M1（2）：=（[0，b1]b2≥ a2[0，a1]a2>b2。利用假设（S.28），我们可以通过遵循单变量版本的参数，进一步证明{1，…，2L}|ξ|=qsupka-bk1≤ε| Da，b（ξ）|≤ C（nbn）1-q/2g（ε），2≤ Q≤ 2L。然后引理跟随，通过观察RYr=1Da，b（νr）≤ CgR（ε）（nbn）R-l对于（S.29）中的任何分区[注意prr=1 |νr |=2L]。引理S6的屋顶。5.

注意thatcum（I{X0，j1≤ qj1（a1）}，I{Xk，j2≤ qj2（a2）}）- cum（I{X0，j1≤ qj1（b1）}，I{Xk，j2≤ qj2（b2）}）=σ1cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（1）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（1）}）+σ2cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（2）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（2）}），具有集合M1（1）、M2（2）、M2（1）、M1（2）和符号σ`∈ {-1，1}定义见（S.30）。C 英国皇家经济学会2018S28 J.Barunik和T.Kleyf根据λ（Mj（J））的事实≤ 灵魂- 对于j=1，2，我们得出结论d`dω`fj1，j2（ω；a1，a2）-d`dω`fj1，j2（ω；b1，b2）≤Xk∈Z | k | ` | cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（1）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（1）}）|+Xk∈Z | k | ` | cum（I{Fj1（X0，j1）∈ M1（2）}，I{Fj2（Xk，j2）∈ M2（2）}）|≤ 4.∞Xk=0k`（Kρ`）∧ 灵魂- bk1.然后，在经过一些代数运算之后，该断言就出现了。引理S6的屋顶。6.与Kley et al.（2016）中的（8.27）类似，通过对累积量和严格平稳性的定义，我们得到了cum（dj1n（ω1；A1），djpn（ωp；Ap））=nXu2，。。。，向上=-ncum（I{X0，j1∈ A1}，I{Xu2，j2∈ A2}，I{Xup，jp∈ Ap}）exp-ipXj=2Ωjuj×n-1Xt1=0exp- it1pXj=1ωjI{0≤t1+u2<n}··I{0≤t1+up<n}。（S.31）由Kley等人（2016）中的引理8.1编写，n（pXj=1ωj）-N-1Xt1=0exp- it1pXj=1ωjI{0≤ t1+u2<n}··I{0≤ t1+up<n}≤ 2pXj=2 | uj |。（S.32）根据Kley et al.（2016）中关于（8.29）证明的论点，我们进一步得出，对于任何p+1区间A0，美联社 R、 任何指数j0，太平绅士∈ {1，…，d}，和任何p-元组κ：=（κ1，…，κp）∈ Rp+，p≥ 2.那∞Xk1，。。。，金伯利进程=-∞1+pX`=1 | k`|κ`附有I{Xk1，j1∈ A1}，I{Xkp，jp∈ Ap}，I{X0，j0∈ A0}≤ Cε（|logε|+1）d.（S.33）为此，定义k0=0，考虑setTm：=（k1，…，kp）∈ Zp | maxi，j=0，。。。，p|ki- kj |=m,请注意| Tm |≤ cpmp-1对于某些常数cp。

从累积量和一些简单代数的定义中，我们得到了界| cum（I{Xt1，j1）∈ A1}。。。，I{Xtp，jp∈ Ap}）|≤ C mini=1，。。。，pP（X0，ji）∈ 哎）。根据假设4.1所暗示的这个界和条件（S.13），我们得到c 皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S29采用上述符号∞Xk1，。。。，金伯利进程=-∞1+pXj=1 | k`|κ`附有I{Xk1，j1∈ A1}，I{Xkp，jp∈ Ap}，I{X0，j0∈A0}=∞Xm=0X（k1，…，kp）∈商标1+pX`=1 | k`|κ`附有I{Xk1，j1∈ A1}，I{Xkp，jp∈ Ap}，I{X0，j0∈ A0}≤∞Xm=0X（k1，…，kp）∈商标1+pmmaxjκjρm∧ ε金伯利进程≤ 内容提供商∞Xm=0ρm∧ ε|ε的Tm | mmaxjκj≥ ρ、 （S.33）然后是琐碎的。对于ε<ρ，设置mε：=logε/logρ，并注意ρm≤ ε当且仅当m≥ mε。因此∞Xm=0ρm∧ ε穆≤Xm≤mεmuε+Xm>mεmuρm≤ Cεmu+1ε+ρmε∞Xm=0（m+mε）uρm.ρmε=ε的事实完成了所需不等式的证明（S.33）。这个断言来自（S.31），（S.32），（S.33）和三角不等式。引理的屋顶。7，中六。8和中六。9.请注意，Kley等人（2016）中的成分过程（Xt，j）是平稳的，且充分假设（C），对于每一个j=1，d、 由于维度d不依赖于引理S6的n.2P，因此该断言遵循单变量版本（即分别为引理8.6、7.5和7.6 inKley et al.（2016）。10.在不丧失普遍性的情况下，假设n-1=o（δn）[其他情况下，通过考虑δn:=max（n）来扩大上确界-1，δn）]。用a=（a1，a2）和b=（b1，b2）表示，我们有^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）=b1/2nn-1/2n-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）（Ks，n（u，v）- EKs，n（u，v）），其中，对于djn，定义在（S.22），Ks，n（a，b）：=n-1.dj1n，U（2πs/n；u1）dj2n，U(-2πs/n；u2）- dj1n，U（2πs/n；v1）dj2n，U(-2πs/n；v2）= dj1n，U（2πs/n；u1）n-1.dj2n，U(-2πs/n；u2）- dj2n，U(-2πs/n；v2）+ dj2n，U(-2πs/n；v2）n-1.dj1n，U（2πs/n；u1）- dj1n，U（2πs/n；v1）.引理S6。9.我们有∈ N、 supy∈[0,1]supω∈Fn | djn，U（ω；y）|=Opn1/2+1/k.

（S.34）使用引理S6。7.我们有∈ N和j=1，d、 supω∈瑞斯比∈[0,1]supx:|x-y|≤δnn-1 | djn，U（ω；x）- djn，U（ω；y）|≤ supy∈[0,1]supx:|x-y|≤δnn-1n-1Xt=0 |I{Fj（Xt，j）≤ x}- I{Fj（Xt，j）≤ y}|≤ supy∈[0,1]supx:|x-y|≤δn |^Fn，j（x）∨ y）-^Fn，j（x）∧ y）- 十、∨ y+x∧ y |+Cδn=Opρn（δn，`）+δn,C 皇家经济学会2018S30 J.Barunik和T.Kleywhithρn（δn，`）：=n-1/2（n2δn+n）1/2`（δn | logδn | D`+n）-1） 1/2，^Fn，jdenoting Fj（X0，j）的经验分布函数，Fj（Xn-1，j）和d是一个仅依赖于`的常数。结合这些论点，观察supω∈注册护士-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）= O（n）（S.35）yieldssupω∈罗苏普，v∈[0,1]2ku-vk1≤δnN-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）Ks，n（u，v）= Opn3/2+1/k（ρ（δn，`）+δn）. （S.36）如（S.30）所述，对于Mi（j），i，j=1，2，我们有Supka-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1 | EKs，n（a，b）|≤ N-1苏普卡-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1.cum（dj1n，U（2πs/n；M1（1）），dj2n，U(-2πs/n；M2（1）））+ N-1苏普卡-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1.cum（dj1n，U（2πs/n；M1（2）），dj2n，U(-2πs/n；M2（2）））（S.37）其中我们使用了Edjn，U（2πS/n；M）=0。引理S6。6和λ（Mj（j））≤ δn，对于j=1，2（λ表示R上的勒贝格测度）yieldsupka-bk1≤δnsups=1，。。。，N-1 | cum（dj1n（2πs/n；M1（j）），dj2n(-2πs/n；M2（j）））|≤ C（n+1）δn（1+| logδn |）D，因此（S.37）中的右侧是O（δn | logδn | D）。

因此，通过（S.35），我们得到了supω∈苏普卡-bk1≤δnb1/2nn-1/2n-1Xs=1Wn（ω）- 2πs/n）EKs，n（a，b）= O（nbn）1/2δn | log n | D.鉴于假设n-1=o（δn），我们有δn=o（n1/2ρn（δn，`）），它与（S.36）结合，产生ω∈苏普卡-bk1≤δn |^Hj1，j2n（a；ω）-^Hj1，j2n（b；ω）|=Op（nbn）1/2[n1/2+1/k（ρn（δn，`）+δn）+δn | logδn | D]= Op（nbn）1/2n1/2+1/kρn（δn，`）= Op（nbn）1/2n1/k+1/`（n）-1.∨ δn（对数n）D`）1/2= 作品（1）。op（1）和我们一样适用于任意k和`，O（（nbn）1/2n1/k+1/`δ1/2n（logn）D`/2）=O（（nbn）1/2-1/2γn1/k+1/`（对数n）D`/2）。关于BNN（nbn）1/2的假设-1/2γ=o（n-κ） 对于一些κ>0，使得k的后一个量为o（1），非常大。术语（nbn）1/2n1/k+1/`n-1/2的处理方式类似。证据到此结束。2c 皇家经济学会2018分位数一致性：在线补充S31参考Bogerol，P.和N.Picard（1992）。广义自回归过程的严格平稳性。《概率年鉴》20（4），1714-1730。布里林格，D.R.（1975）。时间序列：数据分析和理论。纽约：霍尔特、林哈特和温斯顿公司，布罗克韦尔，P.J.和R.A.戴维斯（1987年）。时间序列：理论与方法。统计学中的SpringerSeries。纽约：斯普林格。哈夫纳，C.M.和O.B.林顿（2006）。议论《美国统计分类杂志》101（475），998-1001。Kley，T.，S.Volgushev，H.Dette和M.Hallin（2016）。分位数谱过程：渐近分析和推断。伯努利22（3），1770-1807年。奈特，K.（2006）。对“分位数自回归”的评论。《美国统计协会杂志》101（475），994-996。Koenker，R.和Z.Xiao（2006）。分位数自回归。美国统计协会杂志101（475），980-990。Taniguchi，M.和Y.Kakizawa（2000年）。时间序列统计推断的渐近理论。斯普林格。van der Vaart，A.和J.Wellner（1996年）。

弱收敛和经验过程：应用于统计学。纽约：斯普林格。C 英国皇家经济学会2018