委托代理问题的动态规划方法

2022-5-9 09:13:17

委托代理问题的动态规划方法*, Dylan Possama和Nizar Touzi 2017年1月10日摘要我们考虑了有限期一次性付款的委托代理问题的一般公式，为解决此类问题提供了一种系统的方法。我们的方法如下：首先，我们在代理人的价值过程允许动态编程表示的合同中找到最佳的合同，代理人的最佳效果很容易找到。然后，我们证明了在受限合同族上的优化并不代表道德损失。因此，我们将这种非零和随机微分问题简化为一个随机控制问题，可以用控制理论的标准工具来解决。我们的证明依赖于非马尔可夫随机控制的倒向随机微分方程方法，更具体地说，依赖于最近对二阶情形的扩展。关键词。非马尔可夫系统的随机控制、Hamilton-Jacobi-Bellman方程、二阶后向随机微分方程、委托人年龄问题、契约理论。1简介当代理人的影响无法契约化时，双方——当事人（“她”）和代理人（“他”）之间的最优契约是微观经济学中的一个经典道德风险问题。它在经济和金融的许多领域都有应用，例如在公司治理和投资组合管理方面（参见Bolton和Dewatripont[3]一书中的论述，主要是在离散时间模型中）。

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2022-5-9 09:13:20

在本文中，我们发展了一种通用的方法来解决连续时间布朗运动模型中的这类问题，在这种情况下，代理只在终端时间支付。第一篇关于连续时间委托代理问题的开创性论文是Holmstrom和Milgrom[21]。他们用CARA效用函数考虑委托人和代理人，在一个模型中，代理人的作用影响产出过程的漂移，但不影响波动性，并表明最优契约是线性的。他们的*加州理工学院，人文和社会科学，M/C 228-77，加利福尼亚大道东1200号。美国加利福尼亚州帕萨迪纳，邮编：91125；cvitanic@hss.caltech.edu.研究部分由NSF资助DMS 10-08219。+巴黎大学——巴黎理工大学多芬分校，CNRS，Ceremake，75016巴黎，法国，possamai@ceremade.dauphine.fr.感谢ANR项目Pacman ANR-16-CE05-0027的财务支持CMAP，法国帕莱索91128号萨克莱大道理工学院；尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.本文作者还感谢ERC 321111公司、ANR Isotace和Pacman以及金融风险（风险基金会，由Soci’et’e G’en’erale赞助）和金融与可持续发展（由EDF和CA赞助）主席的财务支持。Sch¨attler和Sung[33,34]、Sung[39,40]、M¨uller[25,26]以及Hellwig和Schmidt[20]对这项工作进行了扩展。Williams[42]和Cvitani\'c、Wan和Zhang[8]的研究人员使用随机最大值原理和前向后向随机微分方程（FBSDE）来描述更一般效用函数的最优补偿。本文的主要贡献如下：我们提供了一种系统的方法来解决这类问题，包括Agent c还可以控制输出过程的波动性，而不仅仅是漂移的问题。

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nandehutu2022

2022-5-9 09:13:23

对于CARA效用函数的特殊情况，我们首次使用该方法解决了本文之前未解决的委托代理问题，Cvitani\'c、Po ssamai和Touzi[7]，表明最优契约不仅取决于产值（由于CARA偏好，以线性方式），而且还取决于产出所面临的风险，通过它的二次变化。在本文的示例部分中，我们还将展示如何通过我们的方法解决这类其他问题，这些问题以前是通过特殊方法在个案基础上解决的。我们预计还会有许多其他应用涉及这类委托代理问题，这些问题以前没有得到解决，我们的方法将有助于解决这些问题。本论文将上述所有情况视为特殊情况（取决于一些技术因素），考虑了一种多维模式，该模式具有任意效用函数和代理效应，既影响输出的漂移，也影响输出的波动性，即回报和风险。我们还要指出，使用我们的方法不需要任何马尔可夫假设，这一点也推广了早期的结果。近年来，出现了一种不同的连续时间模型，并已成功地解释了各种情况下的合同关系——委托人/退休代理人和付款持续支付的有限期问题，而不是另一篇重要论文Sannikov[32]中介绍的期末一次性付款。

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2022-5-9 09:13:26

我们将使用我们的方法对塞萨尼科夫模型进行分析，以备将来发表论文之用。文献中采用的主要方法是描述代理人的价值过程（也称为持续/承诺效用）及其在给定任意合同报酬的情况下的最优行为，然后分析委托人在所有可能报酬上的最大化问题。这种方法可能很难应用，因为在给定任意报酬的情况下，可能很难解决代理人的随机控制问题，而且委托人也可能很难在所有此类合同中实现最大化。此外，代理人的最优控制可能以高度非线性的方式依赖于给定的契约，这使得委托人的优化问题更加困难。由于这些原因，在文献中，这个问题以其最普遍的形式也通过变分法来解决，从而使庞特里亚金最大原理的s-tochastic版本的工具适应；参见Cvitani\'c和Zhang[9]。我们的方法是不同的，更直接，它在基因水平上适用于gr e。我们的主要灵感来自Sannikov[32]的杰出工作，该工作利用了由动态编程原理导出的Agent动态价值函数的最小分解结构。

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2022-5-9 09:13:30

这让人想起，在具有多个风险源的模型中，也就是在多维布朗运动的驱动下，仍然会导致道德风险。具体地说，委托投资组合管理中的最优契约问题，在一个连续时间模型中，委托人观察投资组合的价值随时间变化，但不观察其他任何情况。例如，我们的方法也被用于Aid、Possamai和Touzi[1]的最优电价问题，在该问题中，消费者被给予了缓和其消费波动的激励。另见Mastrolia和Possamai[24]以及Sung[41]最近的研究报告，尽管与我们的配方有关，但基础设施的工作与我们的不同。关于最近的不同方法，请参见Evans、Miller和Yang[17]。对于每一个可能的代理人的控制过程，他们描述了与其激励相容的契约。然而，他们的设置不如你的一般，例如，它不允许自动控制。放松控制空间的方法在随机控制理论中，我们将可容许契约族限制为一个精心选择的契约族，对于该契约族，Agent的价值过程允许某种动态规划表示。对于此类合同，我们证明委托人很容易确定代理人的最优策略是什么；它使相应的哈密顿量最大化。此外，容许族是这样的，Principal可以应用随机控制的标准方法。最后，我们证明了在相对温和的技术条件下，委托人对该限制族的期望效用的上确界等于对所有可行合同的上确界。

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2022-5-9 09:13:34

从数学上讲，在允许Age nt同时控制产出波动性的情况下，考虑道德风险问题的主要技术障碍是，在较弱的公式设置中，波动性的变化不能仅通过Hirsanov的度量类型变化来实现，因此产生了非支配的度量集。我们克服了这一障碍，并证明了我们的合同类别是一般的enoug h，方法是用所谓的二阶B SDE来表示代理人的价值过程，如Soner、Touzi和Zhang[36]所介绍的（另见Cheridito、Sone r、Touzi和Victoir[6]），并使用Possamai、Tan和Zhou[30]的最新结果来通过Soner的规则条件，Touz i和Z hang[36]。下面是为我们的方法提供直觉的一种方法。在马尔可夫框架下，在技术条件下，代理人的价值是通过其与状态变量相关的一阶和二阶导数确定的。在一般的非马尔可夫框架中，这些衍生工具的作用由代理的价值过程对输出的（初始）敏感性以及其对二次变化过程的（二阶）敏感性所取代。因此，有可能将校长的问题转化为最佳选择这些敏感性的问题。如果代理人仅控制漂移，则只有一阶灵敏度相关，如果他也控制波动，则第二阶灵敏度也相关。在前一种情况下，这一观点在桑尼科夫[32]中以一种关键的方式使用。这一见解意味着（在马尔可夫模型中）委托人问题的适当状态变量是代理人的价值。自斯皮尔和斯里瓦斯塔瓦[3 7]以来，这一点在discr e te时间模型中就已为人所知。

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2022-5-9 09:13:38

我们从一个不同的角度来理解它，一个考虑合同的角度，它是通过一阶和二阶灵敏度预先定义的。本文的其余部分结构如下：我们描述了模型和委托代理关系。我们在第3.1节中介绍了可接受合同的限制族。第6节给出了一些例子。在第5节中，我们表明，在技术条件下，重新限制不会失去通用性。我们在第7节中总结。表示法：让N:= N\\{0}是正整数的集合，让R+是所有正数的集合。在本文中，对于每个p维向量b∈ N, 我们注意到b，BPC协调，适用于任何1≤ 我≤ p、对任何人来说∈ N和n≤ p、对于任何b∈ Rp，我们用b1:n表示∈ rα，β的第一个坐标的矢量∈ Rpwe用α·β表示通常的内积，带有ass关联范数|·|。无论如何(l, c）∈ N×N, Ml,c（R）表示空间l 带实数项的×c矩阵。矩阵M的元素∈ Ml,注意表示（Mi，j）1≤我≤l, 1.≤J≤c、 M的转置用M表示.我们认出了我l,1Rl. 什么时候l = c、我们让我l（R）：=Ml,l（R）。我们也用S表示l（R）（res p.S.）+l（R））M中的对称正矩阵集l（R）。矩阵的变换∈ Ml（R）将用Tr[M]表示，对于任何（x，y）∈ Ml,c×Mc，l, 我们使用符号x:y forTr[xy].2委托代理问题2。1.连续路径的规范空间我们现在介绍我们的数学模型。设T>0为给定的终端时间，且Ohm := C（[0，T]，Rd）对于给定的整数d>0，从[0，T]到Rd的所有连续映射的集合。

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能者818

2022-5-9 09:13:42

标准化过程Ohm,表示输出代理负责o f，用X表示，即Xt（X）=X（t）=Xt，代表所有X∈ Ohm, T∈ [0，T]，以及相应的标准过滤F:={Ft，T∈ [0，T]}，其中ft:=σ（Xs，s）≤ t），t∈ [0，T]。我们用p表示上的维纳测度(Ohm, 对于任何F-停止时间τ，由Pτ表示Pw的规则条件概率分布。r、 t.Fτ（见Stroock和Varadhan[38]），与x无关∈ Ohm 通过布朗增量的独立性和平稳性。让Prob(Ohm) 表示上所有概率测度的集合(Ohm, （英国《金融时报》）。我们说概率测度P∈ 问题(Ohm) 是一个半鞅测度，如果X是P下的半鞅。由Karandikar[22]，有一个F-逐步可测量的过程，用hXi=（hXit）0表示≤T≤T、这与X，P的二次变化有关-a、对于所有半鞅测度P，我们可以引入d×d非负对称矩阵bσtsuch that bσt:=lim supε0hXit- hXit-ε，t∈ [0，T]。由于bσ的值在S+d（R）中，我们可以用通常的方法确定其平方根bσ。在本文中，我们将使用过程ψ：[0，T]×Ohm -→ E、取空间E中的值，即F-可选，即O（F）-可测量，其中O（F）是所谓的可选σ-由F生成的字段-适应正确的连续过程。尤其是这样一个过程ψ是非预期的，即ψ（t，x）=ψ（t，x）·∧t），尽管如此∈ [0，T]和x∈ Ohm.最后，出于技术原因，我们在经典的ZFC集合论公理以及连续假设下工作。2.2受控状态方程在一个典型的委托代理问题中，有两个决策者。代理人可以通过自己选择的控制来施加影响，从而控制通常所说的“输出”过程（在我们的例子中是X）。

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能者818

2022-5-9 09:13:45

委托人将产出的管理委托给代理人，并设定合同条款，以激励其在产出管理方面发挥最佳效果。控制过程（代理的作用/作用）ν=（α，β）是F-对于有限维空间的某些子集A和B，可选过程的值为A×B。我们将控制过程的集合表示为U。输出过程采用Rd中的值，并通过受控系数定义：λ：R+×Ohm ×A-→ Rn，有界，λ（·a）F- 对于任何一个a，都是可选的∈ A、 σ：R+×Ohm ×B-→ Md，n（R），有界，σ（·，b）F- 任何b选项都是可选的∈ B、这是经典随机分析理论中广泛使用的标准公理。见Dellacherie和Meyer[10，第5页]。在本文中，应用Nu tz[27]的聚合结果需要这些公理。有关这一假设的更多细节和见解，请参见脚注8。其中，对于给定的整数d，n，我们用Md，n（R）表示具有实数项的d×n矩阵集。对于所有控制过程ν=（α，β），以及一些给定的初始数据X∈ Rd，受控状态方程由n驱动的随机微分方程定义-维布朗运动W，Xt=X+Ztσr（X，βr）λr（X，αr）dr+dWr, T∈ [0，T]。（2.1）注意，过程α和β是X路径的函数。由于它在概率论中是标准的，对规范过程的依赖性将被抑制。控制模型是（2.1）的弱解，定义为一对M:=（P，ν）∈ 问题(Ohm) 那么o 十、-1=δ{X}，存在一些n-维P-布朗运动wmxt=X+Ztσr（X，βr）λr（X，αr）dr+dWMr, T∈ [0，T]，P- a、特别是，我们有bσt=（σtσ）t）（X，βt），dt 数据处理- a、 e.在[0，T]×上Ohm.我们将M表示为所有此类控制模型（与控制过程相反）的集合，我们称之为容许。

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2022-5-9 09:13:49

在本文中，我们假设σ的以下隐式条件，见下文（2.4），m6=. （2.3）满足该条件，例如，如果x 7-→ σt（x，b）对于某些常数控制b是连续的∈ B、西。g、卡拉扎斯和什里夫[23]。请注意，我们不会对弱唯一性适用的控件重新严格控制。此外，根据byGirsanov定理，与（α，β）和（α′，β）有关的（2.1）的两个弱解是等价的。然而，不同的扩散系数会导致相应随机微分方程的相互奇异弱解。接下来我们介绍以下集合：P（ν）：=P∈ 问题(Ohm), （P，ν）∈ M, P:=Sν∈UP（ν），U（P）：=ν ∈ U、（P，ν）∈ M, U:=SP∈问题(Ohm)U（P）。由于λ是有界的，因此根据Girsanov定理，任何控制模型M=（P，α，β）∈ 对于无漂移的SDEXt=X+Ztσr（X，β）dWt，t∈ [0，T]，带dP′dPFT=e-RTλr（X，αr）dr-RT |λr（X，αr）| dr.（2.4）相反，对于（2.4）的任何弱解（P′，β），F-可选进程β在B中取值，任意有界F-对于A中的值，我们直接从上一个构造中检查（P，α，β）是（2.1）的弱解。布朗运动定义在一个可能扩大的空间上，如果bσ不是可逆的P-a、我们参考了Possamai、Tan和Zhou[30]的精确陈述。2.3代理问题我们接下来介绍成本函数C:R+×Ohm ×A×B-→ R+，可测量，带c（·，u）F- 可供所有u∈ A×B，我们假设在整个sup（P，ν）∈MEP“ZTct（X，νt）pdt#<∞, 对于一些p>1的人来说。（2.5）Let（P，ν）∈ 我很确定。标准过程X称为输出过程，控制ν称为输出过程或动作。代理负责通过在状态方程（2.1）中选择输出过程ν来控制输出过程的（分布），同时受制于r ate c（X，ν）的输出成本。

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2022-5-9 09:13:53

此外，代理具有固定的预订实用程序R∈ R、也就是说，他不会接受为委托人工作，除非合同规定其预期效用为上述效用。代理人在t=0时被雇佣，并在t时从委托人处收到补偿ξ。委托人不遵守代理人的义务，只遵守输出过程X。因此，作为估价人的补偿ξ只能取决于X，即ξ是FT-可测量的一个随机变量ξ叫做契约，我们称之为ξ∈ CifsupP∈PEP[|ξp]<∞, 对于一些p>1的人来说。（2.6）我们现在介绍Agent的目标函数ja（M，ξ）：=EP“KνTξ-ZTKνtct（νs）ds#，对于所有M=（P，ν）∈ M、 ξ∈ C、（2.7）式中kνt:=exp-Ztkr（νr）dr, T∈ [0，T]是通过函数k:R+×定义的贴现系数Ohm ×A×B-→ R、有界，带k（·，u）F- 可供所有u∈ A×B.注意JA（M，ξ）对所有（M，ξ）都有很好的定义∈ 这是k的有界性以及条件（2.5）和（2.6）的结果。代理人的目标是根据PrincipalVA承诺的补偿合同ξ（ξ）：=supM，以最佳方式选择福利∈MJA（M，ξ），ξ∈ C.（2.8）控制模型M= （P, ν) ∈ 当VA（ξ）=JA（M）时，M是对合同ξ的最佳响应, ξ). 我们用M表示（ξ）所有此类最优控制模型的集合。备注2.1。我们的方法还可以适应代理效用函数的风险规避，以及以下两种建模可能性。（i）给定一个可逆效用函数UA，在Agent的准则中将UA（ξ）替换为ξ，或等效地将U替换为-1A（ξ）到ξ，在下面的委托人标准中。（ii）给定一个具有常数符号的效用函数，考虑代理人的目标函数- sgn（UA）ZTKνtct（νt）dt！KνTUA（ξ）#。特别是，我们的框架包括指数效用，在适当修改假设的情况下，参见。

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2022-5-9 09:13:57

Cvitani\'c、Possamai和Touzi[7]。在文献中，价值过程的动态版本由初始时间的明显变化引入，有时被称为持续效用或承诺效用。这种动态版本将成为委托人优化问题的状态变量；参见Sannikov[32]，了解其在连续时间模型中的使用。2.4委托人问题我们现在陈述委托人的优化问题。Pr inc.ipal从产出X加班期[0，t]的价值中获得收益，并按照向代理人承诺的那样，在终端时间t支付补偿ξ。我们将把委托人可以履行的合同限制为那些承认代理人问题最优解决方案的合同，即我们只允许合同ξ∈ 我是哪一位(ξ) 6= . 还记得，代理人的参与是以其价值高于预定效用R为条件的。因此，委托人只能从集合Ξ中选择合同：=ξ ∈ C、 M(ξ) 6= , 和VA（ξ）≥ R. （2.9）作为最终的组成部分，我们需要确定代理人在以下情况下的最优策略：（ξ）包含多个最佳响应。按照标准惯例，我们假设，当这些解决方案之间不存在差异时，代理实施的是对原则最好的解决方案。其中，普林斯·伊帕尔的问题是vp:=supξ∈ΞJP（ξ），wher e JP（ξ）：=sup（P,ν)∈M（ξ） EPKPTUl - ξ,函数U:R-→ R是给定的非递减凹效用函数，l : Ohm -→ R是线性增长的变现函数，kpt:=exp-ZtkPrdr, s∈ [t，t]是一个贴现系数，通过贴现率函数定义：kP:R+×Ohm -→ R、有界，F-可选择的关于委托代理问题的评论（i）代理人和委托人问题是一个非标准的随机控制问题。首先，ξ可以是非马尔可夫性质的。

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mingdashike22

2022-5-9 09:14:00

第二，委托人的优化在ξ以上，这是一个先验的问题，不是一个可以用动态规划来解决的控制问题。本文的目的是开发一种方法，自然地将这两个问题简化为可以用动态规划解决的问题。（ii）与随机控制中的标准文献类似，假设受控系数λ和σ以r为界，以突出问题的一般结构，没有进入奇异随机控制的潜在困难（控制集的具体定义、缺乏规则性、边界层，即控制爆炸导致的值函数不连续）。然而，这种困难可以根据具体情况逐一解决，例如弗莱明和索纳[18]。我们强调，本文件的一般方法自然适用于无界控制的情况，见Aid、Possamai和Touzi[1]。（iii）注意，假设受控漂移σλ位于扩散矩阵的范围内。当扩散矩阵被允许退化时，这代表了模型的限制，这转化为反向SDE理论中的所谓结构条件。结构条件对于我们用反向SDE描述Agent的路径依赖控制问题的方法至关重要。（iv）在当前的连续时间原则代理文献中，问题的弱表述是标准的。首先，由于药剂的作用仅通过诱导分布影响pr问题，弱公式自然允许更大的控制类别。其次，委托人的合同被严格限制为在输出过程中是可测量的，因此捕获了Age nt和Pr inc ipal之间的差异信息。

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2022-5-9 09:14:04

在目前的弱公式中，不需要额外的可测性限制来解释问题的这一关键特征。3简化为标准随机控制问题本节包含预发论文的主要结果。3.1限制性契约族鉴于（2.8）中对主体问题的定义，很自然地引入了哈密顿泛函（t，x）∈ [0，T）×Ohm 和（y，z，γ）∈ R×Rd×Sd（R）：Ht（x，y，z，γ）：=supu∈A×Bht（x，y，z，γ，u），（3.1）ht（x，y，z，γ，u）：=-ct（x，u）- kt（x，u）y+σt（x，b）λt（x，a）·z+（σtσt）（x，b）：γ，（3.2）对于u:=（a，b）∈ A×B.备注3.1。（i）应用H在马尔科夫扩散的随机控制理论中起着重要作用，例如，参见弗莱明和索纳[18]。实际上，假设o系数λt，σt，ct，kt仅通过当前值xt依赖于x，契约ξ仅通过最终值xt依赖于x，即对于s ome g:Rd，ξ（x）=g（xt）-→ R.然后，在相当一般的条件下，Agent问题的值函数由VA（ξ）=v（0，X）给出，其中函数v:[0，T]×Rd-→ R可以被描述为动态规划偏微分方程（称为Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程）的唯一粘度解（具有适当的增长）-电视（t，x）- H（t，x，v（t，x），Dv（t，x），Dv（t，x））=0（t，x）∈ [0，T）×Rd，v（T，x）=g（x），x∈ Rd.最近发展起来的路径相关偏微分方程理论将该方法扩展到了非马尔可夫情况，见Ekren、Touzi和Zhang[11,12]。（ii）我们还可以通过将初始时间移动到t来引入Agent Vt（ξ）的动态值函数。

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2022-5-9 09:14:07

在（i）的马尔可夫条件下，进一步假设HJB方程的解v是C1，2，我们有vt（ξ）=v（t，xt），并且我们通过它的^o公式得到ξ（x）=g（xt）：g（xt）=v（0，x）+ZTzt·dXt+γt:dhXit的以下表示-Ht（Vt，zt，γt）dt，其中zt:=Dv（t，xt），γt:=Dv（t，xt）。（3.3）这为我们的方法提供了动力，其灵感来自Sannikov[32]：使用价值过程V（ξ）满足的动态规划原则，以导出形式（3.3）下合同ξ的表示。接下来我们将介绍normskZkpHp:=supP∈PEP“ZT | bσtZt | dt！p/2#，kY kpDp：=支持∈打气sup0≤T≤T|Yt|p,对于任何F-可预测的，Rd-有值过程Z和任意F-可选，R-用c`adl`ag路径对进程Y进行赋值。以下合同子集将在我们的分析中发挥关键作用。定义3.2。我们用V表示所有F的集合-可预测过程（Z，Γ）：[0，T]×Ohm -→ Rd×Sd（R）满足（i）kZkHp+kYZ，ΓkDp<∞, 对于某些p>1，其中对于初始值Y∈ R、过程YZ，Γ已定义-a、 s.为所有人P∈ P byYZ，Γt:=Y+ZtZr·dXr+Γr:dhXir- 人力资源YZ，Γr，Zr，Γrt博士∈ [0，T]。（3.4）（ii）存在弱解（PZ，Γ，νZ，Γ）∈ 我这样认为（Yt，Zt，Γt）=htYt，Zt，Γt，νZ，Γt, dt PZ，Γ- a、 e.在[0，T]×上Ohm. （3.5）条件（i）保证（3.4）中的过程YZ，Γ是明确的-a、 s.为所有人P∈ P.的确，如果右边的积分定义得很好，请注意，哈密顿量H是y中的Lipschitz-变量，因为k是未知的，因此保证YZ，Γ被定义为随机系数ODE的唯一解（3.4）。

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nandehutu2022

2022-5-9 09:14:10

接下来，为了证明积分确实定义得很好，我们观察了kνtYZ，Γt-ZtKνrcr（νr）dr=Y+ZtKνrZr·σr（βr）dWPr- Aνt，t∈ [0，T]，P- a、美国，对所有人（P，ν）∈ M、（3.6）其中，Aν是由Aνt定义的无n递减过程：=ZtKνrHr（年、锆、Γr）- hr（Yr，Zr，Γr，νr）t博士∈ [0，T]，P- a、美国，对所有人（P，ν）∈ M.因此，定义3.2（i）中的可积性条件保证（3.4）定义良好-a、美国，为了所有人∈ P.然后，YZ，Γ由可采性条件（2.5）明确定义。我们强调，RTZR·DX将在Ohm 不排除任何空集，作为Nutz[27]主要结果的结果。这是一个至关重要的事实，因为我们下面的主要结果表明，委托人的问题可以简化为选择形式为ξ=YZ，ΓT的合同，这要求此类合同独立于代理人的控制模型。关于连续时间委托代理问题的现有文献只涉及漂移控制的情况，因此容许控制模型包含等价的概率测度。在我们的上下文中，我们允许波动率控制，在条件（ii）中，存在（3.1）中定义的哈密顿量H的最大化子，这导致了AGE nt问题的容许控制模型。这是我们在下文提案N3.3中验证论证的标准技术条件，这是我们主要结果的关键因素。在这种情况下，下一个结果表明，在形式为ξ=YZ，ΓT的合同下，代理人的价值函数与上述过程YZ，Γ一致，相应的最优行动被确定为3.3上哈密顿量H.建议的最大rs。让我来∈ R和（Z，Γ）∈ V.然后，YZ，ΓT∈ C、我们有：（i）Y=VAYZ，ΓT, 和任何（PZ，Γ，νZ，Γ）∈ MYZ，ΓT是最优的；（ii）（P）, ν) ∈ MYZ，ΓT当且仅当Ht（Yt，Zt，Γt）=Ht（Yt，Zt，Γt，ν）t），dt P-a、 e。

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2022-5-9 09:14:13

在[0，T]×上Ohm, i、 e.控制过程是在P的支持下哈密顿量的最大化子.证据从YZ，ΓTin（3.4）的定义来看，这显然是一个FT-可测量的随机变量。考虑YZ，ΓT的表达式（3.6）。然后，由于离散率k是有界的，它遵循定义3。2（i）以及关于代理人成本函数的条件（2.5），即ξ=YZ，ΓTsatis fies（2.6）。因此YZ，ΓT∈ C.我们接下来证明（i）。首先，对于任意M=（P，ν）∈ M、它源于it^o公式的直接应用KνTYZ，ΓT= Y- EP“ZTKνrHr（YZ，Γr，Zr，Γr）+kνrrYZ，Γr- Zs·σβrrλαrr-bσr:Γrdr#，其中我们使用简化符号ur:=r（x，u）表示=k，σ，λ，其中我们使用了自（Z，Γ）以来的事实∈ 五、 s-tochastic积分r·KνrZr·bσrdwprd通过K和σ的b有界性定义了一个鞅。通过定义Agent的优化准则JA，我们可以写出最后一个方程asJAM、 YZ，ΓT= Y- EP“ZTKνtHtYZ，Γt，Zt，Γt- htYZ，Γt，Zt，Γt，νtdt#。（3.7）根据（3.1）中哈密顿量H的定义，这表明M、 YZ，ΓT≤ Y、因此YZ，ΓT≤ 由M的任意性∈ M.最后，使用定义3.2的可采性条件（ii）中引入的控制（PZ，Γ，νZ，Γ），我们看到（3.7）减少为JAPZ，Γ，νZ，Γ，YZ，ΓT= 我们接下来证明（ii）。它遵循（3.7）和等式YZ，ΓT= Y、建立在（i）中，我们必须为所有人（P, ν) ∈ MYZ，ΓTEP“ZTKν”RHr（YZ，Γr，Zr，Γr）- hr（YZ，Γr，Zr，Γr，ν）r）博士#=0。根据（3.1）中H的定义，当且仅当是人力资源的最大化者YZ，Γr，Zr，Γr, dt P-a、 e.on[0，T]×Ohm.这意味着我们的集合P不受支配。

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2022-5-9 09:14:16

因此，我们的方法有必要对随机积分进行路径定义。请注意，Bichteler[2]（另见Karandikar[22]）的经典路径随机积分结果不适用于我们的目的，因为我们需要限制p过程Z，使其具有进一步的路径正则性。Nutz[27]的最新结果完全适合我们的环境，但使用中值极限的概念来定义任何可预测过程的随机积分，该过程与任何c`adl`ag半鞅有关，其特征三元组相对于固定参考测度是绝对连续的。在通常的集合论框架ZFC（Zermelo-Fraenkel AXIOMPLUS，选择的不可数公理）下，不能保证中间极限的存在，必须添加更多公理。连续统假设是存在这些极限的几个有效公理之一，请参见[30，脚注3]以了解进一步的讨论。3.2受限委托人问题和主要归约结果最后一个命题3.3（ii）的结果建议，通过一个经典的可测选择函数，引入映射ut（x，y，z，γ）：=（α, β)最大化HHt（x，y，z，γ）=ht的t（x，y，z，γ）x、 y，z，γ，ut（x，y，z，γ）.因为可以有不止一个最大化者u, 我们介绍集合U最大化者。此外，提案3.3（ii）说t=ut（X，YZ，Γt，Zt，Γt）是定义良好的dtP-a、 s.为所有人（P, ν) ∈ MYZ，ΓT为了所有的你∈ U. 这些最优反馈控制为最优输出过程λ引入以下系数t（x，y，z，γ）：=λtx、 αt（x，y，z，γ）, σt（x，y，z，γ）：=σtx、 βt（x，y，z，γ）.

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2022-5-9 09:14:20

（3.8）注意，命题3.3（ii）说，对于所有人（Z，Γ）∈ Vand any u∈ U, 由n驱动的下列随机微分方程-维布朗运动WXt=X+Ztσr（X，YZ，Γr，Zr，Γr）λr（X，YZ，Γr，Zr，Γr）dr+dWr, T∈ [0，T]，（3.9）至少有一个弱解（P,Z、 Γ，ν,Z、 Γ）。当合同报酬为ξ=YZ时，P-Principal价值过程VP的以下结果是命题3.3的直接结果，并使用了支持 = -∞.3.4的提议。我们有副总统≥ supY≥RV（Y），其中V（Y）=sup（Z，Γ）∈Vsup（P，ν）∈P（YZ，ΓT）EPKPt，TUl - YZ，ΓT. （3.10）我们下面的主要结果确定了下限SUP≥RV（Y），当合同仅限于金融时报时，报告最大委托人价值-给定初始条件Y的可测随机变量z，Γt≥ R、在fa c t中等于无限制主体的值VP。在接下来的第3.3节中，我们回顾了原则上如何计算Vcan。备注3.5。因为H在（y，z，γ）中是凸的，所以σtλT（Yt，Zt，Γt）∈ zHt（X，Yt，Zt，Γt）和σtσT（Yt，Zt，Γt）∈ 2.γHt（X，Yt，Zt，Γt），其中赞德γ分别表示相对于z和γ的次梯度。此外，如果H在z和γ中是可微分的，并且哈密顿量有一个以一阶条件为特征的内部最大化子，那么我们可以重写状态方程（3.9）asXt=X+ZtzHr（X，YZ，Γr，Zr，Γr）博士+2.γHr（X，YZ，Γr，Zr，Γr）dWr，t∈ [0，T]。我们现在准备好陈述我们的主要结果。定理3.6。假设v6=.

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2022-5-9 09:14:23

然后，我们有VP=supY≥RV（Y）。此外，任何最大化子（Y, Z, Γ) 问题的答案是supY≥RV（Y）诱导最优契约ξ:=YZ公司,Γ负责校长的问题副总裁。定理3.6将我们的非z-和Stackelberg随机微分对策简化为标准随机控制问题的值函数的有限维最大化，该问题可通过随机控制理论的旁观者工具解决，见第3.3小节。这种减少是通过提供从Ξ到集合的合同类别限制来实现的YZ，ΓT，Y≥ R、（Z，Γ）∈ 五、不影响委托人的价值功能最简单的有效条件是证明任何ξ∈ Ξ可以表示为ξ=YZ，ΓT，P-a、 s.for all P∈ P.我们将在接下来的小节中看到，当挥发性系数不受控制，并生成满足PRE dic表格表示属性的弱解时，情况确实如此在第5小节的一般情况下，我们将证明最后的表示结果适用于ξ的方便近似ξε，这将允许Principal获得最佳值。备注3.7。在我们的例子中，V是非空的假设很重要，因为否则，主体的约化问题将退化并有价值-∞. 然而，请注意，这是一个相当简单的假设。例如，我们可以通过限制代理的成本函数c严格凸、强制且具有适当的正则性，来确保（Z，Γ）=（0，0）对，诱导恒定契约，属于V。备注3.8。通过直接应用后向SDE理论中的表示结果，解决了Agent对扩散矩阵不起作用，诱导弱解满足可预测表示性质的特殊情况。

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2022-5-9 09:14:26

我们在下面的第4节中隔离了这种设置，参见定理4。2.3.3简化问题的HJB表征我们方法的一个优点是，假设限制P（YZ，ΓT）6= 满足且过程esin V满足定义3.2（ii）的容许条件，针对标准随机控制问题，控制过程（Z，Γ）和受控状态过程（X，YZ，Γ），X的受控动力学（在弱公式中）由（3.9）给出，YZ，Γ由（3.4）dYZ，Γt给出=Zt·σtλt+Γt:σt（σ）（t）-Ht（YZ，Γt，Zt，Γt）dt+Zt·σt（YZ，Γt，Zt，Γt）dWMt、（3.11）在马尔可夫情况下，路径X的依赖性仅通过当前值，我们从受控动力学（3.9）-（3.11）中可以看出，与控制问题对应的动态规划方程的相关优化项定义为（t，X，y）∈ [0，T]×Rd×R byG（T，x，y，p，M）：=sup（z，γ）∈R×Sd（R）supu∈Un（σ）tλt）（x，y，z，γ）·px+z·（σ）tλt） +γ：σt（σ）（t）- Ht（x，y，z，γ）py+（σt（σ）（t）)（x，y，z，γ）：Mxx+zzMyy+ (σt（σ）（t）)（x，y，z，γ）z·Mxyo，其中M=：MxxMxyMxyMyy∈ Sd+1（R），Mxx∈ Sd（R），Myy∈ R、 Mxy∈ Md，1（R）和p=：pxpy∈ Rd×R.下一个声明提供了马尔科夫案例问题的验证结果。作为随机控制理论的标准，这需要假设哈密顿量G（t，x，y，p，M）的最大化子^z（t，x，y，p，M）和^γ（t，x，y，p，M）的存在性。我们将用tto表示所有f的集合-使用[0，T]中的值保存时间。定理3.9。考虑一个马尔可夫环境，并让φt（x，）=~nt（xt，.）对于φ=k，kP，λ, σ, H、及l（十）=l（xt）。

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2022-5-9 09:14:31

让v∈ C1,2[0，T），Rn+1∩ C[0，T]×Rd+1是动态规划方程的经典解((电视- kPv（t，x，y）+Gt、 x，y，Dv（t，x，y），Dv（t，x，y）= 0，（t，x，y）∈ [0，T）×Rd×R，v（T，x，y）=U(l（十）- y），（x，y）∈ Rd×R.进一步假设（i）家庭v（τ，Xτ，Yτ）τ ∈TTis P-对所有（P，ν）一致可积∈ P（YZ，ΓT）和所有（Z，Γ）∈ 五、（ii）函数G具有最大化子^z和^γ，使得oSDE（3.9）-（3.11）具有控制（z）t、 Γt）：=（^z，^γ）（，Dv，Dv）（t，Xt，Yt）有一个弱解（P*, ν),o （Z）, Γ) ∈ 然后，V（Y）=V（0，X，Y）和（Z）, Γ) 是问题V的最优控制。总的来说，我们看到Principal的问题涉及bo th x和y作为状态变量。我们考虑belowin第6节的条件，在这些条件下，状态变量的数量可以减少。在结束本节之前，让我们先谈谈最优契约的存在。如上定理3.9所述，这归结为值函数v具有足够的正则性，以便给出其相对于x的偏导数的意义（对于Sobolev sensecould中的实例弱导数，原则上是有效的），并将其用作SDE（3.9）–（3.11）中的反馈。在这方面，最优契约的存在性问题与一般随机控制问题的存在性问题相同；例如，参见El Karoui、Huu Nguyen和Jeanblanc Picqu\'e[13]以及Haussman和Lepeltier[19]的开创性研究。4输出的固定波动性我们在这里考虑的情况是，代理只允许控制输出过程的偏差，即B={bo}。在这种情况下，我们简单地用M表示控制模型，M=（P，α）。显然，只有当无漂移的SDE（2.4）Xt=X+Ztσr（X，bo）dWt，t∈ [0，T]，（4.1）有一个弱解（P′，bo）。

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2022-5-9 09:14:34

为了简单起见，我们在本节中还假设（P′，bo）是（4.1）的唯一弱解；此外，（P′，FP′）满足可预测的表示性质和Blumenthal零一定律（4.2），其中过滤FP′+是P′-我们注意到，关于连续时间委托代理问题的所有现有文献都属于这个框架，我们再次强调，我们的主要结果不需要这个条件。备注4.1。可预测鞅表示属性适用，例如，如果x7-→ σt（x，bo）isLipschitz，对于Ohm, 在t中一致，见任、头子和张[31]中的定理4.2。对于半鞅概率测度P，我们用Ft+：=∩s> TF表示右连续极限，FPt+表示P下的相应完成。完成的右连续过滤表示为FP+。在本文中，所有控制模型M=（P，α）∈ M等于测量值P′，由密度dpdp′定义FT=expZTλr（X，αr）dr+ZT |λr（X，αr）| dr！。哈密顿量H约化为ht（x，y，z，γ）=（σtσ）t）（x，bo）：γ+Fot（x，y，z），Fot（x，y，z）：=supa∈Afot（x，y，z，a），fot（x，y，z，a）：=-ct（x，a，bo）- kt（x，a，bo）y+σt（x，bo）λt（x，a）·z，因此约化合同定义为：yzt=YZ，0t=y-ZtFos十、 YZs，Zsds+ZtZs·dXs，t∈ [0，T]，P′- a、在美国，对过程Γ的依赖消失了。为了证明定理3.6，我们现在证明任何合同ξ∈ Ξ可以用ξ=YZT，P′的形式表示-a、从而将我们的结果简化为求解以下反向SDE的问题：Y=ξ+ZTFos十、 YZs，Zsds-ZTZs·dXs，P′- a、 s.（4.3）在下一个声明中，我们回顾包含{YZT:Y≥ R和（Z，0）∈ 五、 Ξ是显而易见的副定义。定理4.2。设B={bo}使得相应的无漂移SDE（4.1）满足条件（4.2），并假设v6=.

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2022-5-9 09:14:37

然后，Ξ={YZT:Y≥ R和（Z，0）∈ 五、. 特别是，VP=supY≥RV（Y）。证据条件v6= 意味着Ξ6=. 尽管如此，ξ∈ Ξ，我们观察到条件（2.6）意味着ξ∈ 利用H¨older不等式和λ的有界性，得到了某些P′>1的Lp′（P′）。此外，k、σ和λ的有界性意味着foi在（y，z）中是一致Lipschitz连续的，通过H′olderin等式和（2.5），我们可以发现p>p′>1，这样：ZT|Fot（0,0）|p′dt= EP′ZTinfu∈A×Bct（u）p′dt≤ sup（P，ν）∈欧洲议会ZTct（νt）pdt< ∞.然后，当P’满足前dic表鞅表示性质和零一定律时，后向SDEs的标准理论保证了L’P（[0，T]×中表示（4.3）的存在性和唯一性Ohm),带“p:=p”∧ p′，参见Pardoux和Peng[29]中的“p=2”，或Briand等人[4]中的“p>1”。最后，（Z，0）满足H¨older不等式定义3.2的条件（i）。此外，由于ξ=YZT∈ Ξ，根据第3.3条建议，（Z，0）也满足第3.2条定义的条件（ii）。因此（Z，0）∈ V.5一般情况在本节中，我们将定理4.2的证明扩展到定理3.6的一般情况，该定理绕过了非受控扩散框架中的条件（4.2），并涵盖了代理控制提取和输出过程X的波动性的情况。与前一节类似，关键工具是反向SDE理论，但是，控制波动性需要调用他们最近对第二种情况的扩展。出于技术原因，我们需要引入通用过滤FU=未来0≤T≤由FUt定义的Tde：=∩P∈问题(Ohm)FPt，t∈ [0，T]，我们用FU+表示，对应的右连续极限。

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2022-5-9 09:14:40

此外，对于asubset∏ 问题(Ohm), 我们引入∏集-极性集N∏：=N Ohm, N A一些A∈ FTwithsupP∈πP（A）=0, 然后我们介绍∏-FF∏的完成：=F∏tT∈[0，T]，其中F∏T:=FUt∨ σN∏, T∈ [0，T]，以及相应的右连续极限F∏+.5.1，从（T，x）的完全非线性到半线性哈密顿量∈ [0，T]×Ohm, 定义∑t（x，b）：=（σtσt）（x，b）和∑∑t（x）：=∑t（x，b）∈ S+d（R）：b∈ B, （5.1）我们还引入了逆映射，该逆映射将生成控制的相应集合Bt（x，∑）：=B∈ B、 σtσt（x，b）=∑, Σ ∈ ∑∑t（x），因此我们可以分离关于哈密顿量Hin（3.1）中平方差的部分最大化，并定义任何（y，z，γ，∑）∈ R×Rd×Sd（R）×S+d（R）Ht（x，y，z，γ）=sup∑∈∑∑t（x）nFtx、 y，z，∑+∑：γo，Ft（x，y，z，∑）：=sup（a，b）∈A×Bt（x，∑）- ct（x，a，b）- kt（x，a，b）y+σt（x，b）λt（x，a）·z.（5.2）换句话说，2H=(-2F）*是的凸共轭-2F.5.2隔离二次变量的控制遵循Soner、Touzi和Zhang[36]对二阶反向SDE的方法，我们从Agent的问题开始，隔离输出四次变量的控制。为此，回忆一下符号（5.1），让∑t（x，b）1/2b为相应的（d，d）-对称平方根。我们观察到无漂移二极管（2.4）可以转换为xt=X+Zt∑t（X，βt）1/2dWot，t∈ [0，T]。（5.3）实际上，（2.4）的任何溶液（P，β）也是（5.3）的溶液，通过Br ownianmotion的L’evy表征。反之，设（P，β）为（5.3）的解，设W:=（Wo，W）为n-维布朗运动扩展了原布朗运动Wo。让Rn表示所有旋转矩阵的se t，即RR= 进去，让罗德诺特（d，n）-由第一行R和Rhe（n）组成的矩阵- d、 n）- 由n组成的矩阵- d剩余的R行。

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2022-5-9 09:14:43

注意dWt=RdWtde定义了布朗运动，同样由布朗运动的L’evy刻画。让{Rt，t∈ [0，T]}be anRn-具有Rt（x）的有值可选过程：∑t（x，βt）-1/2σt（x，βt）。这里，∑t（x，βt）-1/2表示∑t（x，βt）1/2的伪逆。那么，尽管如此∈ [0，T]，Xt=X+Zt∑T（X，βT）1/2dWot=X+Zt∑T（X，βT）1/2Rt（X，βT）dWt=X+ZtσT（X，βT）dWt，这意味着（P，β）是SDE（2.4）的解。乐视网：=阿宝∈ 专业b(Ohm) : （Po，β）某些β的（2.4）弱解,我们观察到，对于（2.4）的所有弱解（Po，β），我们有^σt∈ ∑t：=∑t（b）：b∈ B} ，和βt∈ Bt（σt）：=B∈ B：∑t（B）=σt}，Po- a、与前一节类似，对于任何固定的扩散系数，（2.1）和（2.4）的解之间存在一对一的对应关系，通过Girsanov定理表征d。从以上讨论中，我们看到，通过介绍（Po）：=ν=（α，β）F- 可选过程，α∈ A、 β∈ B^σ, 在[0，T]上，Po- a、美国。,我们可以定义一组控制模型M和s e tMo之间的一一对应关系：=（Po，ν），Po∈ po和ν∈ U（Po）,如下：对于（Po，ν）∈ Mo，定义PνbydPνdPoFT=EZ.λt（αt）·dWtT=EZ.Rot（βt）λt（αt）·dWot+Rtλt（αt）·dWtT=EZ.∑t（βt）-1/2σt（βt）λt（αt）·dWot+Rtλt（αt）·dWtT.（5.4）然后，根据Girsanov-theo-rem得出（Pν，ν）∈ 注意，Ris的选择是不相关的。然后，我们可以重新编写Age nt的问题asVA（ξ）=supPo∈PoVA（ξ，Po），其中VA（ξ，Po）：=supν∈U（Po）EPν“KνTξ-ZTKνtct（νt）dt#。我们通过提供证明我们的主要定理3.6所需的表示形式的形式推导来结束这一小节。通过二阶反向SDE在子部分中报告了严格的调整。对于所有固定订单∈ Po，值VA（ξ，Po）是具有固定四次变量的随机控制问题的值。

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2022-5-9 09:14:47

通过与上一节相同的论证，我们得到了反向SDE表示va（ξ，Po）=YPo=ξ+ZTFt（YPot，ZPot，^σt）dt-ZTZPot·dXt，Po- a、因为VA（ξ）是VA（ξ，Po）对Po的上确界∈ Po，我们接下来根据动态编程原理证明，相应的动态值函数满足适当的Po-每个Po下的超鞅性质∈ Po，由Doob-Meyer分解得到的表达式为：VA（ξ）=Y=ξ+ZTFt（Yt，Zt，^σt）dt-ZTZt·dXt+KT，所有采购订单的采购订单a.s∈ Mo，（5.5），其中ZtdhXit=dhY，Xit和K是非递减的，Po-a、这是给所有人的∈ 阿宝。此外，如果是Po中的最佳度量，那么VA（ξ）=VA（ξ，Po）), 因此K=0，Po-a、一般来说，无法保证存在这样一个最优度量，因此我们通过条件infpo来解释K的最小值∈PoEPo[KT]=0。（5.6）这正是我们将从二阶倒向SDE中严格获得的表示，我们将利用它来证明我们的主要定理3.6。备注5.1。我们的方法的另一个正式证明如下。假设表达式ξ=YZ，ΓT=Y+ZTZt·dXt+ΓT:dhXit- Ht（Yt，Zt，Γt）dt，Po- a、美国为所有Po∈ Po是正确的，请记住，P中的所有度量都相当于Po上的一些对应度量。回想一下（5.2）中F的定义，以及定义˙Kt:=Ht（Yt、Zt、Γt）- 英尺Yt，Zt，bσt-bσt:Γt，t∈ [0，T]。通过对上述ξ表示的直接替换，我们得到了ξ=YZ，ΓT=Y+ZTZt·dXt-ZTFt公司Yt，Zt，bσtdt-ZT˙Ktdt，Po- a、 s.为所有人P∈ 根据F的定义，请注意˙Kt≥ 0代表所有t∈ [0，T]和˙kT在bσ取H定义中F的最大值时消失，即在二次变化密度为最大值的任何度量的支持下。

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2022-5-9 09:14:50

由于上确界可能无法达到，我们将其作为infpo的替代品∈波波KT= 0，含Kt:=Zt˙Ksds，t∈ [0，T]。通过三重态（Y，Z，K）对ξ的最后表示与（5.5）不同，只是在非递减过程K上稍微放松，降低了关于勒贝斯盖测度的绝对连续性要求。5.3代理人问题的2BSDE表征我们现在通过Soner、Touzi和Z hang[36]介绍的二阶反向SDE（下文简称2BSDE）提供代理人价值函数的表示。我们使用了Possamai、Tan和Zhou[30]的最新结果，绕过了[36]中的规律性条件。给定一个可容许契约ξ，我们考虑以下2BSDEYt=ξ+ZTtFs（Ys，Zs，bσs）ds-ZTtZs·dXs+ZTtdKs，Po- a、美国为所有Po∈ 阿宝。（5.7）以下定义回顾了2 BSDE的注释，并使用了附加注释（Po，F+）：=P′∈ Po，Po[E]=P′[E]表示所有的E∈ F+t; 阿宝∈ 阿宝，t∈ [0，T]。定义5.2。我们假设（Y，Z，K）是2BSDE（5.7）的解，如果对于某些p>1，（i）Y是c`adl`ag和FP+-可选流程，kY kpDop:=supPo∈波波监督≤T|Yt|p< ∞;（ii）Z是FPo-可预测的过程，kZkphop:=supPo∈波波RTZtbσtZtdtP< ∞;（iii）K是FPo-可选，非递减，从K=0开始，满足最小条件kT=essinfPoP′∈Pot（Po，F+）EP′KTFPo+t, 0≤ T≤ T、阿宝- a、美国为所有Po∈ 阿宝。（5.8）这一定义与Soner、Touzi和Zhang[36]以及Possamai、Tan和Zhou[30]的定义略有不同，因为此处假设非递减过程K是聚合的。这是可能的，因为Nutz[27]的随机积分聚合结果在本文假设的连续统假设下成立。

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