在单一工具内模拟市场效率低下

2022-5-9 11:19:49

本文提出了一个超越几何布朗运动的最小模型，旨在描述具有市场效率的价格行为。从简单的金融理论考虑，我们得出了一个简单的两变量隐马尔可夫时间序列模型，其中一个变量完全不被观测。然后，我们使用物理中的路径积分和格林函数技术分析了模型的最简单版本。我们表明，在该模型中，当对数合理价格（σ）的标准偏差大于对数市场价格（σ）的标准偏差时，有效市场价格是趋势跟随的，当其较小时，有效市场价格是均值反转的。风险溢价与当前市场价格与过去价格的指数移动平均值（EMA）之间的差异成正比。因此，该模型从理论上解释了过去价格的波动如何直接影响未来价格，即技术分析中的所谓“布林区”。然后，我们通过在傅里叶空间中整合合理价格，从观察到的市场价格对模型参数进行最大似然估计。最后，我们分析了最近的标准普尔500指数数据，看看这个简单的模型可以描述现实世界的数据。1简介在金融理论中，资产是根据预期贴现收益[1]：P=E（M x）定价的。（1）贴现因子M既描述了未来资金如何因利率而变得不那么值钱，更重要的是，人们如何对各种结果进行不同的估值。以股票和保险为例：在美国，股票市场的长期年回报率为8%，远高于美国国债的年回报率，最高可达2%-3%。

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2022-5-9 11:19:52

对这一事实的解释是，人们担心潜在的亏损；因此，当他们对资产（如可能贬值的股票）进行定价时，当他们有盈利时，他们的贴现率会更高，而当他们有亏损时，他们的贴现率会更低。这导致股票价格低于贴现预期收益。（注意单词的相反顺序；价格是预期的折扣支付，即最后一次获得预期，而我们通常想到的估值过程是在未来获得预期，即支付发生时，然后将其贴现回现在。）相比之下，当一个人购买保险时，他需要支付额外的费用，以防不幸发生，他有足够的报酬来处理它。在这种情况下，人们更看重不幸的事情；因此，价格最终高于贴现预期收益。因此，理论上，价格不一定低于或高于贴现预期，而是取决于人们如何评价各种结果。价格与贴现预期收益之间的差异除以工具的标准差，通常称为风险溢价。所以我们说股票通常有正的风险溢价，而保险有负的风险溢价。如果相关资产是可自由交易的，那么价格由市场决定。特别是，供应，即愿意以市场价格出售资产的人数，应满足需求，即愿意以市场价格购买资产的人数。在现实中为资产定价的贴现因子，因此描述了那些对以市场价格购买或出售资产持怀疑态度的人。

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mingdashike22

2022-5-9 11:19:55

从这个意义上说，当存在市场价格时，我们总是可以根据预测和当前市场价格得出有效的折扣系数。那么，高效市场的概念是什么？效率市场假说（EMH）的通常说法是，股票总是以公允价值交易，其价值已经反映了所有可用信息。详细讨论见REF。[1] 以及其中的参考文献。用我们的话来说，这意味着价格不应该与合理的折扣因素定价有很大的偏差。没有明确的合理风险定义，但例如，类似的工具应该有类似的风险溢价；对于任何工具而言，风险溢价都不应过高；对于一种工具，在没有任何新信息的情况下，风险溢价不应随时间发生显著变化。（一个重要的补充说明是，并非所有的工具都需要有类似的风险溢价才能让市场变得高效。投资者总是可以避免从更多独立资产中分散投资组合，因此风险溢价较低的工具仍然是有价值的，只是一个合理的投资者需要的风险溢价较少。）这与参考文献[1]中提到的“关节连字符”问题相对应。然而，弱意义上的有效市场假说更为具体。它指出，人们永远无法通过分析过去的数据来预测回报。换言之，不存在可利用的机会来换取更大的利润。已经做了大量工作（例如参见[2,3]和其中的参考文献）来解决这种假设是否适用于各种资产，但结果好坏参半。此外，还有[4,5,6]项研究开发了不同的统计数据来衡量市场效率。

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2022-5-9 11:20:00

另一方面，也有一些被提出的可数时间序列模型[7,8,9]，用于拟合观察到的财务时间序列，无论是否满足EMH。在本文中，我们采用了不同的方法。我们从金融理论的角度出发，而不是提出一个包含大量参数的时间序列模型，这些参数可以拟合ARIMA或GARCH等数据。我们思考如何以最小的方式打破市场效率。当市场不充分时，我们提出一个模型来代替几何布朗运动作为下一个最简单的描述。在下面，以秒为单位。2.我们从简单的财务理论出发，考虑并激励模型。以秒计。3我们首先对模型进行分析求解，并根据过去的历史确定其当前的风险溢价。然后我们讨论了一种从数据中估计模型参数的最大似然方法。以秒计。4.我们看一看真实数据，看看这种建模的效率是否确实存在。2模拟市场效率的简单理论在文献中，股票价格的最简单模型遵循几何布朗运动：dSS=udt+σdz。（2）如果我们假设股票的价格总是公平的，那么股票在近期的价格就是回报。然后，我们可以通过贴现系数S=E，使用与未来即时价格和当前价格相关的定价方程（1+d∧）（S+dS）. （3）为了简单起见，如果我们进一步假设无风险利率为零，即（d∧/∧）=0，这将意味着随机贴现因子为∧∧=-我是dz。（4）然后，可以使用该贴现因子为期权等衍生品定价。几点观察：1。贴现系数将当前价格与未来价格联系起来。这是因为当定价公平时，未来的价格只是当时的折扣支付。2.

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2022-5-9 11:20:04

我们从随机过程中得出了折扣系数，我们假设价格会随之变化。对于给定的随机过程，这总是可能的，但不能保证得到的折扣系数是合理的。相反，我们也可以假定一个影响因素，然后推断股价应该如何表现。然而，折扣系数并不是唯一决定股价的因素；它只确定漂移和标准偏差之间的比率。要建立一个有效的市场模型，最简单的方法是保持定价等式不变，但放弃折扣系数应该合理的约束。然而，控制价格的随机过程完全取决于我们想要如何选择这个不合理的折扣因素。因此，真正的问题始终是如何合理定义不合理的贴现系数。2.1市场效率的根本问题选择这种有效的不合理折扣系数的一种方法是假设一个合理的折扣系数，但随后允许价格偏离定价方程（方程式1）。也就是说，我们假设有一个合理的价格遵循合理折扣系数的定价方程，但实际价格并不总是与合理价格匹配。根据方程式，它大致如下所示：P=E（Mx）；（5） dPP=f（P，P）dt+σdz。（6） Pis是合理价格，M是我们选择的合理折扣系数，xis是支付，P是实际价格。第二个等式是必要的；由于我们已经将实际价格从定价方程中分离出来，我们需要提供关于它将如何发展的额外信息。f是使价格P在更长时间内跟踪合理价格的函数。DZ是一种零均值随机噪声，与合理价格的随机噪声不同。然而，这组方程并不是自洽的。

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2022-5-9 11:20:07

核心问题是，如果所讨论的工具可以在t=0时以P（t=0）的价格自由交易，则该价格构成即时支付（t=0），如果该价格高于卖方对长期贴现支付的估计，则卖方可以选择接受该价格，如果该价格低于其估计，则买方可以选择支付。因此，如果遵循公式5，合理价格P（即预期折扣支付）必须高于卖方的P，低于买方的P。对于独立于市场地位的合理价格定义，唯一可能的选择是P=P，即供需平衡。为了清楚起见，让我们考虑一个简单的例子。假设合理的折扣系数M=1，并假设我们目前有一只“定价过低”的股票，其价格/支付额x在稍后时间预计将高于当前价格P。我们如何定义P？根据等式5，潜在买家的最大支付将为P=x，高于P。另一方面，一个潜在的卖家只有通过立即回购才能获得最好的回报，他的合理价格是P=P。这个合理的价格，由预期的折扣支付确定，对双方来说是不同的，因为一个人总是可以随时选择交易。从概念上讲，我们希望在本例中确定的合理价格显然是买方的，但正如我们从上面看到的，我们无法将其定义为即时预期的折扣支付。任何时候以市场价格进行交易的能力都会阻止预期的折扣支付偏离实际价格。2.2问题的补救措施为了克服这个陷阱，当我们通过公式5确定合理的价格时，我们必须想象收益更多的是长期的，当前的市场价格不应该有直接的影响。

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2022-5-9 11:20:10

换句话说，在我们的理论中定义支付时，我们必须让它自由偏离市场价格P，至少在短期内是如此。目前，我们如何利用变量获取长期收益？答案是帕特在下一刻就捕捉到了。事实上，如果Pis是任何给定时间的预期贴现收益，那么每个PCP都会在其时间之后获得长期收益，定价方程将这一时刻与下一时刻联系起来。给定∧=-rdt- 例如mdz（7），如果我们假设合理价格的波动与其当前值成比例，那么我们可以得到dpp=（r+mσ）dt+σdz。（8）这里r是无风险利率，m是风险的市场价格，σ是工具价格百分比的标准差。dz描述了影响仪器的随机输入冲击；例如，这可能包括公司股票的稳定性、国债的整体宏观经济条件，或能源期货的国际关系。实际价格仍然根据公式6变化。在这里，我们对随机噪音进行了进一步说明：真实的消息和当前的市场力量影响都会影响市场价格。因此，我们写以下内容：dPP=f（P，P）dt+σdz+σdz。（9） dz代表市场力量波动，dz与价格方程中的冲击相同。在这种方法中，合理价格P现在似乎完全独立于实际市场价格P来定义，而实际市场价格正试图回归到带有一些额外噪音的P。然而，当前的市场价格可能会在某种程度上影响合理的定价。最简单的方法是在P的随机方程中加入一个项σdz。用这个项pTill满足相同的定价方程，因为额外的噪声dz不会带来风险溢价。

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2022-5-9 11:20:14

我们最终得到以下方程组：dPP=（r+mσ）dt+σdz+σdz；（10） dPP=f（P，P）dt+σdz+σdz。（11）然而有趣的是，仅仅观察这两种价格，我们无法真正区分dz和dz。我们所能说的就是每种价格的波动有多大，以及它们是如何相互关联的。如果我们能从无风险利率r和风险溢价m的先验知识中推导出σ，那么我们就可以知道所有的σ。然而，如果不能，那么给出两个价格相同方差以及它们之间相关性的所有σ的可能值都是等价的。因此，在没有任何关于模型参数的先验知识的情况下，该模型等价于以下内容：dPP=adt+σdz；（12） dPP=f（P，P）dt+σdz；（13） Cov（dz，dz）=ρdt。（14）也就是说，将该项添加到模型的演化中实际上并不会改变模型的动力学。它只是将原始模型映射到一组不同的参数值。在本文的剩余部分，我们将研究这组方程的动力学。顺便说一句，控制这组方程的数学与欧几里德时代的量子力学是相同的。如果我们选择f=-kln（P/P），这个理论是非相互作用的，完全可解的。在论文的结尾部分，我们将坚持这个选择。3模型的解析解通常，当我们谈到一组随机微分方程的解时，它指的是一个概率分布，作为时间的函数，给定价格的初始值。

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2022-5-9 11:20:17

在我们的例子中，有几个重要的区别：（i）我们没有遵守合理的价格P；（ii）我们只知道近期的可能性。虽然Pis的时间演化只是几何布朗运动，但将该分布插入X的演化并积分一定的时间（P本身也在方程的右侧），并不是一项简单的任务。幸运的是，对有限时间范围的预测对我们来说并不重要，因为任何新观察到的价格X都会改变它。只有在下一个时间步，我们才能知道X的行为。对我们来说，重要的问题是根据过去P（t）的演变，找到未被观察到的时刻。此外，我们还想根据观察到的价格推断模型参数。在第一小节中，我们将假设了解模型参数，并确定Pas的最可能值是时间的函数。在第二小节中，我们重点介绍了ln的结果，并讨论了市场价格P在不同参数范围内的动态变化。在最后一小节中，我们将通过积分Pin-Fourier空间的所有可能值来确定模型参数的最大似然估计（MLE）。3.1 PLet X的最大似然估计≡ P，X≡ 根据伊藤引理，我们得到dx=（a）-σ） dt+σdz；（15） dX=(-k（X）- 十）-σ） dt+σdz；（16）我们可以写出对数似然函数lnl（a，k，σ，σ，ρ；X（t），X（t））：lnl=-2(1 - ρ） σ∑ZdtσX+σ十、- 2ρσσ十、十、+ C、（17）与十、≡˙X- （a）- σ/2); (18)十、≡˙X+k（X- 十） +σ/2。（19） C是使似然函数标准化的参数的函数，而不是X或X的函数。考虑到参数和X（t）的一些历史，我们的第一步是找到最可能的X。

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2022-5-9 11:20:20

x上的变化将给出x应该满足的方程，以最大化ln L，这就是xineuclide时间的运动方程：-2σ¨X-2σk˙X+k（X-十） +σ/2+ 2ρσσ-k（a）-σ/2）+¨X+k˙X= 0; （20）收集条款，我们得到-σkσ¨X=X+k（1-ρσ）˙X-ρσkσ¨X+σ2k+ρσkσ（a-σ) ≡ g（t）。（21）右侧是已知的时间函数。让我们表示为g（t），那么最可能的X（t）应该是X（t）=kσ2σZ∞-∞dtg（t）exp-kσ∑t- t|. （22）我们可以对X的解有一些直觉。首先，σ/kσ定义了一个时间尺度，我们可以从X中恢复X。它与k成反比，因为-1是X响应X的特征时间尺度。σs存在，因为它们告诉我们价格有多“嘈杂”；例如，如果σ很小，那么我们知道xis不会受到太大的影响，因此我们可以尝试更长时间的平均值，以获得更准确的估计。如果σ很小，那么X携带的噪声就更少，因此在较小的时间尺度上进行平均是有意义的，以便更及时地反映X的变化。到目前为止，我们忽略了一件重要的事情。注意，内核σ2σexp-kσ∑t- t|即使在t>t时也非零；也就是说，对X的估计从之前和之后的价格中得到贡献。在物理学术语中，我们使用格林函数的费曼公式。这自然发生在最大似然估计中，因为当前的合理价格是从过去的合理价格逐渐演变而来的（因此它会受到以前价格的影响），并影响未来价格（因此我们需要从未来价格中得出推论来进行估计）此外，从数学上讲，这是唯一的收敛格林函数。

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2022-5-9 11:20:23

具体地说，如果我们把这个问题看作一个初值问题（换句话说，如果我们在寻找一个延迟格林函数），一般g（t）的解总是跑到±∞, 由于X和X之间的符号相同，因此时间序列中间Xin的最大似然估计不适合用于理解X的动力学，因为它已经包含来自未来的信息。相反，我们感兴趣的是类似于最大似然估计的东西，而不知道之后的价格。在我们的公式中，我们可以考虑的是时间序列末尾的Xat估计。不幸的是，特殊的解决方案（公式22）不适合这项任务，因为我们还没有规定它在时间序列结束时应该满足什么样的边界条件。Xis的通解形式如下：X=kσ2σZTdtg（t）exp-kσ∑t- t|+ 经验(-kσt）+b exp（kσt- 其中a和b是由边界条件确定的常数。a可以被认为是关于时间序列开始时的一些先验知识；为了我们的目的，只要（kσ/σ）T 1.它不影响X（T）。问题是b。为了确定b，我们应该在时间序列的末尾采用什么边界条件？事实证明答案很简单。当我们通过变分来最大化对数似然时，我们通过部分积分来改变与δX成比例的项。这会产生一个总导数，我们在推导整体运动方程时已经放弃了它。这个总导数将决定X（t）的解需要遵循的边界条件，如下所示：在变化中，我们有δln L=ZTdtLXδX+L˙Xδ˙X=ZTdtL十、-滴滴涕L˙XδX+L˙XδX|T（24）这里我们借用拉格朗日符号L≡σX+σ十、-2ρσσ十、十、/2σσ(1-ρ）表示对数似然函数中的被积函数。

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mingdashike22

2022-5-9 11:20:26

除了与运动方程成比例的体项外，我们还有一个可以积分到边界的总导数δln L（边界）=L˙XδX|T=-δX（1）- ρ)σ˙X- （a）- σ/2) -ρσσ˙X+k（X- 十） +σ/2|T.（25）设为零，我们可以得到一个关于Xto˙X:˙X（T）的边界方程- （a）- σ/2) -ρσσ˙X（T）+k（X（T）- X（T））+σ/2= 这是我们正在寻找的边界条件。有一个巧妙的技巧可以找到X（t）的解。首先，我们将时间范围扩展到2T和负（t）- T=g（2T）- t） )；T<T<2T。（27）也就是说，在额外范围内，g（t）是原始g（t）的镜像。需要注意的是，X（t）的诱导定义通常在t=t周围是不对称的。现在我们写下我们的解asX=kσ2σZ2Tdtg（t）exp-kσ∑t- t|+ bexp（kσ∑（t）- T））。（28）这只是重写相同通解的一种方法，因为我们可以看到，如果我们在T<T<2T的范围内积分，对于0<T<T，我们得到等式23，其中b=b+kσ2σZTdtg（T）exp-kσ（T）- （t）. （29）由于等式28中的第一项是t下的偶数函数→ 2T- t、 att=t，其时间导数消失。现在我们可以写出Xand˙XasX（T）=kσ∑ZTdtg（T）exp-kσ（T）- （t）+ B≡\'X+b；（30）˙X（T）=kσb。（31）插入式26，我们得到b=σkσ（1+ρ）A.- σ/2+ρσ（˙X+k（X-\'X）+σ/2）. （32）答案很复杂，但在时间序列的末尾却很简单。事实上，一个令人惊讶的特征是X（T）实际上独立于ρ。为了了解这一点，让我们考虑一下X（T）需要遵循的微分方程（也就是说，当我们逐渐积累更多数据并延长时间序列时，当前时间序列末尾最可能的X（T）是如何变化的。）首先请注意，“Xis”是唯一出现在X（T）中的积分，它满足“X（T）+σkσd”X（T）dT=g（T）。

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2022-5-9 11:20:29

（33）剩余部分x（T）-\'X（T）1+ρ=σkσ（1+ρ）A.- σ/2+ρσσ（˙X+kX+σ/2）≡ C（T）（34）仅取决于T处的本地信息。插入X（T）=（1+ρ）（X（T）-C（T））到等式33，我们得到X（T）+σkσ˙X（T）=1+ρg（T）+C+σkσ˙C（35）。结合右侧，我们发现ρ依赖性完全抵消，等式变成X（T）+σkσ˙X（T）=σkσ（a）- σ/2）+σ2k+X（T）+k˙X（T）≡ h（T）。（36）我们也可以显式地写出解asX（T）=kσ∑ZTdth（T）exp-kσ（T）- （t）. （37）推导同一事物的另一种方法是，将公式30中的ρ与g（t）中的ρ成比例的所有项进行部分积分。通过显式计算，可以看到所有ρ依赖项。这是什么意思？天真地说，这听起来很矛盾。Xbe的估计如何独立于ρ，ρ是X的函数和观测到的X之间的相关性？这是因为这个方程严格地描述了时间序列末尾的Xat估计。一旦有了新的数据，就需要更新当时的最佳估计。更新后的估计值将依赖于ρ。换句话说，对于给定的时间序列，对于不同的ρ，X（t）的估计值将不同，但它们都将在同一点结束。有趣的是，这必然意味着，如果我们只观察X（t），我们永远无法从数据中知道真实的ρ。这是因为X（t）的演化只取决于X和X之间的差异。当我们对Xis的估计与ρ无关时，它意味着对于任何ρ，观察数据X（t）的可能性是相同的。3.2原木价格的预测动态我们现在研究预期X（T）如何影响X。

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2022-5-9 11:20:33

对与˙X成正比的部分进行积分，我们可以写出X（T）=（1）-σ∑）kσ∑ztdexp-kσ（T）-（t）X（t）+σX（t）+σkσ（a）-σ/2）+σ2k。（38）换句话说，X（T）是过去价格的指数移动平均值（EMA）和当前价格之间的加权平均值，其变动与合理价格的风险溢价成比例。我们还可以写出XasuX=k（X）的预测漂移- 十）- σ/2=k（1）-σ（EMA）- 十） +σσ（a）- σ/2). （39）这是本文的中心结果。我们现在可以很容易地看到模型的预测。首先，组合（kσ/σ）定义了平均值的范围；当σ>σ时，模型是趋势跟踪的，当σ<σ时，模型是均值反转的。当σ=σ时，X总是与X相差一个常数，该模型相当于一个纯几何布朗过程（即实际价格是合理价格）它具有直观的意义，因为当σ很大时，意味着市场价格在很多时候都在追赶，所以当趋势开始时，人们可以预期这只是一个大趋势的开始。当σ较大时，市场价格在短期内自由波动，但在长期内必须回归到合理价格。因此，对于一组固定的参数，该模型具有局限性。它总是趋势跟随或均值反转，不足以灵活地动态生成具有不同特征的架构。尽管如此，该模型的优点是将趋势跟踪或均值反转的对比行为与市场价格和合理价格的波动率联系起来。有趣的是，在这个模型中，当我们允许σ和σ随时间缓慢变化时，异方差性自然会导致趋势跟踪和均值反转。在等式39中，我们实际上只得到了风险溢价uX的平均值。

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kedemingshi

2022-5-9 11:20:38

由于X（T）仍然是一个未观察到的随机变量，它有一个方差，并将导致uX的方差。幸运的是，在连续统极限下，uX的方差不会在X的演化中发挥作用。这是因为每次观察到步骤X时，都没有方差。当dX=uXdt+σdz时，（40）X（即对数回归）的变化方差为Var（dX）=Var（uX）dt+σdt。（41）只要uXis fine（在该模型中）的方差为dt→ 0，与dz的贡献相比，它的贡献微不足道。因此，如果模型假设是有效的（即σ、σ、k和a在时间上确实是常数，而dz和dz都是白噪声），那么投资该工具的最佳策略将是在任何给定时间保持与uX（t）/σ成比例的金额。在本节结束时，我们还注意到，该模型因此给出了技术分析中“布林带”概念的理论解释[10]。根据我们的理论，当价格到达波带边缘时，一个人是否应该买入或卖出，取决于这两个波动率的比率。3.3拟合模型参数在机器学习中，对于具有隐藏变量的模型，通常使用期望最大化技术[11]或维特比算法[12]。然而，在我们的例子中，由于模型是可积的，所以只需将模型参数的最大似然估计值进行积分就更为简单。事实上，由于模型是高斯的，积分出Pis与插入我们在似然函数中发现的最可能值（这实际上是连续体中的维特比算法）相同。然而，我们不会直接使用公式28。对数似然函数在傅里叶空间中可以更容易地对角化，它几乎成为所有不同频率的总和，这不仅仅是因为价格运动不是周期性的。

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何人来此

2022-5-9 11:20:42

我们将X和xin分解为周期函数和[0，T]中的常数漂移。需要漂移，因为对数似然中的导数项在转换为傅里叶空间时，包括初始值和最终值差异的贡献。如果我们只使用周期性成分（原则上可以忠实地表示[0，T]中的任何函数），那么实际上，我们说的是，在时间序列结束之前，从最终值到初始值有很大的变化。在正确的模型中，这种变化极不可能发生；不包括一个常数的移位将因此扭曲我们的fit。首先，为了稍微简化方程，我们将变量改为X=X+σt/2和X=X+σt/2。然后我们用ωn=2πmT写ex=vt+XnX0neiωnt（42）X=vt+XnXneiωnt（43）；M∈ Z（44）我们就有了X=（v）- b） T+TXnωn | X0n |（45）式中b≡ A.- σ/2 + σ/2.这对我来说有点混乱桑德十、它包含常数漂移和所有傅里叶分量之间的交叉项。我们将在下面的计算中保留这些项，但我们将看到，当我们正在分析的序列被模型合理地描述时，它们将很小。我们有十、~ZTdtv+k（v- v） t+k（X）- 十）+ 2k（v）- v） TXn6=0Xn+kiωn（Xn- X0n）+ TXn>02ωn | Xn |+2k | Xn- X0n|- 2iωnk（XnX）*0n- c、 c.）; （46）ZTdt十、十、~ZTdt（v- b）v+k（v- v） t+k（X）- 十）+ k（v）- v） TXn6=0X0n+TXn>0ωn（X0nX）*n+c.c）+iωnk（X0nX）*N- c、 c.）. （47）首先，我们来看与零频率变量耦合的项。积分outv，X和b，我们得到（lnl）∝6（σ（Pn6=0k/ωn（Xn- X0n）+Pn6=0Xn）- σρPn6=0X0n）σσ（1）- ρ） T.（48）将该项与剩余的有限频率项（与T成比例）进行比较，我们发现，当T较大时，它通常非常小。

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2022-5-9 11:20:45

具体来说，分子中的后两项可以忽略不计，只要成分不与T成比例。只要序列中的漂移不随时间发生显著变化，这将保持不变。（如果确实如此，比如如果我们研究一只股票在2008年金融危机期间的时间序列，使用这个模型本身并不是一个好方法。）当我们看下面X0nin的有限频率解时，我们会看到（Xn-X0n）与ωn成正比；这意味着在相同条件下，第一项也很小。上述论点表明，与所有的有限频率项相比，等式48很小。然而，它并没有说明这个术语的绝对值是否小于一。在最大似然估计中，估计参数的标准偏差通常被视为对数概率下降的范围。因此，有必要保持指数级的1阶项，即使它们与其他项相比很小。然而，这个论点并不简单，当我们对所有可能的X进行积分时，标准化的变化将远小于取对数时的变化。因此，在计算归一化时，可以安全地忽略等式48。当我们回到积分b之前的一步，如果忽略耦合到有限频率的项，我们得到（ln L）∝ -（b）- v） T2σ（49）这意味着我们对b的最大似然估计为b=v，标准偏差为（σ）/√T）。我们忽略的术语会导致系统误差，其标度为（1/T），这比T大时的标准偏差小得多。现在我们转向对数似然函数的有限频率部分。首先让我们看看等式48中的术语。它是所有频率的直接和。最大化关于X0n，我们发现它满足（σωn+σk）X0n=σk+iωnk（σ- ρσ）+ρσωnXn。

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2022-5-9 11:20:48

（50）注意，它同意等式22，这是它应该同意的。也可以看到（X0n- Xn）很小，并且与ω成比例，只要k是有限的。现在，集成outX0n，我们得到∝ 经验-T | Xn |（ωn+k）ωnσωn+σk; （51）ρ依赖完全被抵消了！还请注意，如果σ=σ，则kdependence消失，似然函数与标准偏差σ的纯随机游程相同。为了得到全似然函数，只需要通过积分出Xn来计算前面的归一化常数。当不同频率之间没有相互作用时，这很简单：logl=XnlogT（ωn+k）ωn2π（σωn+σk）+T | Xn |（ωn+k）ωnσωn+σk. （52）现在我们包括等式48的结果。对数可能性不再是所有频率的直接和；实际上，X0nnow是所有Xn的函数。我们仍然可以数值求解x0n，并将其插入指数形式。然而，当时间序列很长时（由于有必要计算T×T矩阵的对数行列式），使用公式48计算精确的归一化是非常昂贵的，我们将利用上述参数，并使用公式52中的原始归一化进行近似。用数值方法计算对数似然，并将其最大化，与参数σ、σ、k、a和ρ有关。在本节中，我们由此“解决”了模型：给定模型参数和观察到的市场价格，我们可以找到过去理论价格的最佳估计，这取决于时间前后的市场价格，以及最新的理论价格，这只能取决于之前的市场价格。我们发现，价格之间的相关性不会影响对最新理论价格的估计，因此也不会影响对未来市场价格的预测。

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2022-5-9 11:20:53

根据观察到的市场价格，我们还可以推断模型参数σ、σ、k和a.4的最可能值。在本节中，首先，我们将模型的解析解应用于模型生成的时间序列，以验证模型的解析解。然后我们看看真实世界的数据，看看这个模型是如何应用的。4.1解析解的验证首先，我们使用带有一些参数的模型生成时间序列，然后根据公式28和公式37确定X和X（T）。由于我们的时间序列是离散的，所以会有轻微的并发症；格林函数的归一化和指数之间存在微小差异，需要指定右侧导数的精确位置。可以通过根据离散变量及其差异明确编写模型来推导正确的离散公式。在这里我们只是顺便提一下，这两种推导之间有一个有趣的区别，就是它不需要通过部分积分来在离散时间内进行“变化”。价格的导数变成了连续价格之间的差异，可以很容易地与两个价格进行区分。等式26不是整合到边界上的一个总导数，而是直接来自与边界上的价格的差异。最后，当kT 1.在图1中，我们绘制了随机生成的原木价格，带有σ√t=0.5，σ√t=1，kt=0.2，at=0.125，ρ=0。在情节中我们选择了时间单位t=1。从现在起我们将使用这个装置。正如我们所看到的，蓝线没有向红线移动的趋势。在这个参数范围内，红线的波动比蓝线小，价格是均值回归。

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可人4

2022-5-9 11:20:56

请注意，我们无法真正恢复实际的合理价格，但最可能的合理价格X（ρ=0）至少会接近最后一个价格。在图2中，我们绘制了Xat差ρ的几个最大似然估计。我们可以看到，在序列的末尾，它们都收敛到大致相同的值（实际上在离散时间中存在一些弱的ρ依赖性）图1：随机生成的市场价格X，模型参数σ=0.5，σ=1，k=0.2，a=0.125，ρ=0。Xin深绿色是由-σ/2k，因此市场价格预计会跟随它。如果我们只知道当时的价格，红色的X（T）是由相同金额设定的最可能的合理价格；X（ρ=0）是知道整个时间序列的最可能的合理价格，也是由-σ/2k。现在我们开始拟合模型参数。我们将比较两个函数，一个包含等式48，另一个不包含。首先，我们使用参数集（σ，σ，k，a，ρ）=（0.05,0.1,0.2,0.002,0.5），从模型中随机生成20个独立的时间序列，每个时间序列有500个时间步。然后，我们找出任一模型参数的最大似然估计，并将其平均值和标准偏差记录在以下两个表格中：在表格中，“ave”表示20次运行的参数估计的平均值。“std1”是20次运行的样本标准偏差，“std2”是χ分析中标准偏差估计值的样本平均值，其中对数最大似然下降1/2。第一个表来自MLE分析，其中我们包括Eq的贡献。

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2022-5-9 11:20:59

48，而第二张表平均std1 std2σ0.0457 0.0144 0.005σ0.0965 0.0079 0.0019k 0.1919 0.0864 0.0158a 0.0016 0.0027 0.0022ρ0.2827 0.4967 0.0238平均std1 std2σ0.0434 0.0103 0.0041σ0.0967 0.0046 0.0039k 0.1879 0.0569 0.0122a 0.0015 0.0026 0.0022ρ0.0241 0.0319 0.02721：最大似然估计结果表1。左边的估计值考虑了等式48，而右边的估计值不考虑。图2：基本合理价格X和ρ的一些最大似然估计。每个序列的移位量相同-σ/2k。从我们忽视它开始。总的来说，除了ρ的估计之外，我们发现这两种分析给出了非常接近的结果。排除等式48，所有运行都错误地倾向于ρ=0，从平均值和零的差异以及两个标准偏差的微小程度可以看出。包括它给出了ρ更不稳定的行为；估计器似乎更喜欢每次运行的任意ρ差，如大std1和小std2所示。在任何情况下，我们在连续体中得出的结论似乎是，ρ不影响X的动态，这是一个合理的近似值，因为在这两种情况下，ρ的估计值远离模型中的设定值，但其他参数的估计是正确的。总的来说，从平均值来看，包括等式48的贡献确实略微改善了fit。然而，与此同时，它的估计也更不稳定，如std1所示。尽管如此，两种方法的最大似然估计仍然以同样的方式存在偏差，并且低估了两个σs。在下一小节中，我们将设置ρ=0，并使用不带等式48的最大似然估计来提取模型参数。

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mingdashike22

2022-5-9 11:21:02

我们将报告这两个最大似然估计是否返回了显著不同的模型参数。4.2标准普尔500指数的应用下面是过去10年标准普尔500指数的曲线图：由于2008年左右的金融危机，用统一的波动率σ、σ和风险溢价a来定义批发商不是一个很好的主意。让我们从2009年6月开始，在2009年6月市场有所恢复，直到最近的崩盘之前。数据从https://research.stlouisfed.org/fred2/series/SP500/downloaddataFigure3:2005年8月24日至2015年8月25日标准普尔500指数。使用最大似然估计程序，可以得到以下最佳参数（σ，σ，k，a）=（0.0066,0.0094,0.0965,0.0006）。如果我们使用Akaike信息准则（AIC）对几何布朗势进行比较，那么它是对几何布朗势的改进：δAIC=δ（2k）- 2 ln L=4- 15.73 = -11.73. （53）在方程中，k=2是两个模型中拟合参数的差异，我们计算了它们的对数似然。（我们的模型中的参数（σ，σ，0，a）给出了带有参数（σ，a）的几何布朗运动dX/X=adt+σdz。）我们还可以通过将预测的风险溢价与实际的对数回报率（ri）进行回归，来检查模型是否有效≡ （nπ+1）- ln（圆周率）~ uXi。（54）我们得到估计系数：估计SE tStat pValue（截距）-0.00014227 0.00034876-0.40794 0.68337x1 1.2212 0.43898 2.7818 0.0054706观测值数量：1560，误差自由度：1558均方根误差：0.00972R平方：0.00494，调整后的R平方0.0043F-统计与常数模型：7.74，p值=0.00547这将与我们从模型dx=uXdt+σdz（55）得出的理论预测进行比较，从而截距为零，斜率x1=1，R=Var（uX）/（Var（uX）+σ）=0.0036。

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2022-5-9 11:21:08

（注意，uXis的样本方差不同于我们在第3.2节中讨论的未观察到的随机变量X（T）的方差。）我们在图4a中绘制了预期风险溢价uxa随时间的函数。图4：（a）预测的风险溢价uxa是时间的函数。y轴以平均风险溢价a（b）累积收益曲线为单位。绿色曲线代表恒量（因此与图3中的曲线相同），蓝色曲线代表与预测风险溢价成比例的金额。将持有金额标准化，使收益的标准偏差与原始收益相同。如果模型假设是正确的，最佳投资策略是将金额与风险溢价成比例。然而，这样做会产生图4b中所示的收益曲线：标准偏差归一化为相同，我们发现与理论预测不同，夏普比应该增加一个系数[ux/a]~√2.它实际上减少了10%。鉴于预测的风险溢价确实能在模型规定范围内预测收益，这种投资策略之所以有效，原因如下。首先，从曲线可以明显看出，剩余收益的波动性不是一个常数。即使根据我们的模型预测的风险溢价最终在某种程度上是准确的，在策略中，现在需要用时变标准差来划分持有量。其次，我们可以检查剩余收益是否与模型中的假设不完全独立。有了这种相关性，持有量需要乘以相关矩阵的倒数。当同构性和独立性条件满足时，该策略的性能将更令人满意。

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可人4

2022-5-9 11:21:11

事实上，如果我们关注从2012年到2015年的下半年，该策略的整体夏普比率为75.9，而持有固定金额的夏普比率为62.1。在本节的结尾，我们将考虑从2005年开始使用该策略。累积收益如图5所示。背后没有任何理论基础，但即使在市场崩溃期间，该策略似乎也很有效！图5：从2005年到现在的累计回报率，使用该策略。绿色曲线保持不变。同样，两条曲线被缩放，以使返回具有相同的样本标准差。5讨论在本文中，我们提出了一个模型，使得在具有合理风险溢价的几何布朗运动之后存在一个不可观测的合理价格，并且市场价格试图跟随它。我们的主要结果是，如果市场价格的标准差小于合理价格的标准差，那么市场价格将是趋势跟踪的，反之，则意味着反转。我们还开发了theMLE，以根据给定的时间序列估计模型参数。我们已经证明，从2009年到现在，与纯几何布朗运动相比，该模型可以更好地描述S&P500指数，并且它处于均值反转状态。关于连续时间和离散时间公式之间的差异，有几个技术问题，我故意在上面不提。对我们的结果至关重要的一个问题是ρ是否真的不可测量且没有任何意义。在连续体中当然是这样，但从我的数值结果来看，它在离散时间中似乎并不完全正确。

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2022-5-9 11:21:14

极大似然估计结果都倾向于某些ρ，但偏好似乎与时间序列生成时的值集无关。最可能的解释是，当我们忽略等式48的部分或全部，或者忽略其对整体标准化的贡献时，这种偏好是我们所做的近似的结果。如果每件事都做得很准确，那么ρ的偏好应该仍然存在，但是偏好不应该随着时间序列的长度而变化。然后是离散时间序列如何逼近连续时间的问题。答案是，它完全取决于离散公式中参数k的值。如果我们将离散时间序列视为连续时间的近似值，那么在连续时间公式中，参数k是kdt。因此，本文的分析结果只有在k 1.一个值得注意的例子是，除了等式39给出的平均值外，当k不小时，还需要考虑ux的方差。当我们考虑使用预测风险溢价预测样本内收益时，会出现一个问题。问题是，我们的MLE程序是否将这种预测的误差最小化，从而选择产生预测收益最小误差的模型参数？从第3.3节的计算来看，这一点并不明显，尤其是因为似然函数包含两个误差，一个来自X，一个来自X。XDO上的集成并不能消除十、插入X（t）in的最大可能值X没有给出正确的预测误差，因为X（t）通常不同于X（t），这是我们在计算风险溢价时插入的。然而，我们对这个问题的猜测是，在连续统极限下，极大似然估计确实使预测收益的误差最小化。

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2022-5-9 11:21:18

这源于一个事实，即尿失禁X的演化由等式40给出，我们可以在其中替换uXbyits的平均值。这必然意味着原始模型的似然函数在x上的积分应与根据等式40计算的似然函数相同，即成比例的exp（Rdt/2σ).当序列的离散性变得明显时，在等式40中X（T）的随机性就不能忽略。预测收益的误差由两部分组成：第一部分是已实现收益与X（T）之间的差异，第二部分是X（T）的平均值与实际实现之间的差异。这两部分用不同的系数进行了优化，目前尚不清楚这种优化会导致它们的平方和最小化。一个有趣的观察结果是，在离散形式下，模型可以重新排列，看起来非常类似于ARMA（2,1）模型，其参数之间有一些固定的关系；一个很大的区别仍然是模型中有两个随机源，我们不确定它是否能以某种方式转化为一个。最后，我们提出了一些如何实际使用该模型的想法。即时的改进包括标准偏差随时间变化的可能性。在最小的扩展中，添加几个离散变量就足够了，每个变量用一组不同的参数描述模型的状态。在状态之间切换可以是一些额外的马尔可夫动力学，或者只是将它们隐藏起来，并通过一些统计数据确定当前状态。在实践中，我们也可以将预测的风险溢价作为一般指标，与过去的收益率一起使用，形成一些广义AR（n）模型，以消除预测收益误差之间的相关性。

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2022-5-9 11:21:21

看看这个模型是否能以低得多的时间尺度来描述动态，比如以分钟或秒为单位的日内运动，也会很有趣。将该模型扩展到包括多个工具（无论是每个工具与平均方差前沿上的定价组合的协方差有偏差，还是定价组合本身在其组成或价格中有偏差，或介于两者之间）或考虑衍生工具定价，例如期权，当基础工具遵循此模型规定的过程时。参考文献[1]诺贝尔奖。org，2013年经济科学奖-高级信息，2014年诺贝尔媒体协会。http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/advanced.html[2] 蒋志强，谢文杰，周卫兴，检验WTI原油期货市场的弱形式有效性，Physica A：统计力学及其应用，第405卷，2014年7月1日，第235-244页，ISSN 0378-4371，http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2014.02.042.[3] 伊藤三雄，杉山俊介，《衡量时变市场效率的程度》，《经济学快报》，第103卷，2009年4月第1期，第62-64页，ISSN 0165-1765，http://dx.doi.org/10.1016/j.econlet.2009.01.028.[4] L.Zunino，M.Zanin，B.M.Tabak，D.G.Prez，O.A.Rosso，禁止模式，置换熵和股市效率，Physica A:统计力学及其应用，第388卷，第14期，2009年7月15日，第28542864页，ISSN 0378-4371，http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2009.03.042.[5] L.祖尼诺，B.M.塔巴克，A.菲格利奥拉，D.G.普雷兹，M.加拉瓦格利亚，O.A。

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