那么对于所有的s，t∈ R+有s6t，我们有e（Yt | Fs）=e-b（t）-s） Y+Azze-b（t）-u） du，（2.2）E（Xt | Fs）=Xs+Zts（α）- βE（Yu | Fs））du（2.3）=Xs+α（t- （s）- β-YsZtse-b（u）-s） 杜- aβZts祖泽-b（u）-v） dvdu，因此“E（Yt）E（Xt）#=”E-英国电信-βRte-布杜1#“E（Y）E（X）#+”Rte-布杜0-βRt后悔-bvdv因此，如果∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=ab，limt→∞T-1E（Xt）=α-βab，如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=a，极限→∞T-2E（Xt）=-βa，如果b∈ R--, 特林姆→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab，limt→∞ebtE（Xt）=βbE（Y）-βab.基于期望（E（Yt），E（Xt））作为t的渐近行为→ ∞, 我们回顾了SDE（1.1）给出的赫斯顿过程分类，见Barczy和Pap[5，定义2.3]。2.3定义。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1。我们称之为（Yt，Xt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地在续集中-→,L-→ 安达。s-→ 将分别表示概率收敛、分布收敛和几乎确定收敛。下面的结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的遍历性∈在亚临界情况下，由（1.1）中的第一个方程给出的R+，参见Cox等人[9，方程（20）]、Li和Ma[25，定理2.6]或定理3.1，其中α=2和定理4.1 inBarczy等人[4]。2.4定理。设a，b，σ∈ R++。让（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y）的第一个方程的唯一强解∈ R+=1。

然后（我）YtL-→ Y∞作为t→ ∞, 以及Y的分布∞再见-λY∞) =1+σ2bλ-2a/σ，λ∈ R+，（2.4）即Y∞具有参数为2a/σ和2b/σ的伽马分布，henceE（Y∞) =ab，E（Y）∞) =（2a+σ）a2b，E（Y）∞) =（2a+σ）（a+σ）a2b。（ii）假设随机初值yh与Y的分布相同∞, 过程（Yt）t∈R+是严格静止的。（iii）对于所有Borel可测函数f:R→ R使得E（| f（Y∞)|) < ∞, 我们有（2.5）TZTf（Ys）dsa。s-→ E（f（Y）∞)) 作为T→ ∞.下面我们回顾连续（局部）鞅的一些极限定理。我们稍后将使用这些极限定理来研究（a，b，α，β）的最小二乘估计的渐近行为。首先，我们回顾连续局部鞅的强大数定律。2.5定理。（Liptser和Shiryaev[26，引理17.4]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。让（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。设（ξt）t∈R+是一个渐进的可测量过程，因此PRtξudhMiu<∞= 1，t∈ R+，和ztξudhMiua。s-→ ∞ 作为t→ ∞,（2.6）其中（hMit）t∈R+表示M.thenntξudMuRtξudhMiua的二次变化过程。s-→ 0作为t→ ∞.（2.7）如果（Mt）t∈R+是一个标准的维纳过程，（ξt）t的渐进可测性∈R+可以被放松到可测量性和对过滤（Ft）t的适应性∈R+。下一个定理是关于连续多元局部鞅的渐近行为，参见van Zanten[28，定理4.1].2.6定理。（van Zanten[28，定理4.1]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P成为满足通常条件的过滤概率空间。让（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的d维平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。

假设存在一个函数Q:R+→ Rd×d证明Q（t）是allt的可逆（非随机）矩阵∈ R+，极限→∞kQ（t）k=0和q（t）hMitQ（t）>P-→ ηη>as t→ ∞,其中η是一个d×d随机矩阵。然后，对于定义在(Ohm, F、 我们有（Q（t）Mt，v）L-→ （ηZ，v）as t→ ∞,式中，Z是与（η，v）无关的d维标准正态分布随机向量。我们注意到，如果函数Q仅在区间[t]上定义，则定理2.6仍然成立，∞)用一些t∈ R++.3基于连续时间观测的LSE的存在首先，我们基于离散时间观测（阴，心）定义（a，b，α，β）的LSE∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++（见（3.1）），指出LSE定义中出现的和可以被视为（a，b，α，β）基于离散时间观测（Yin，Xin）i的条件LSE的相应和的近似值∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++（Barczy等人[6]对此进行了研究）。然后介绍了基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）的LSE∈[0，T]，T∈ R++（见（3.4）和（3.5））作为基于离散时间观测（Yin，Xin）i的（a，b，α，β）的LSE概率极限∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++（见命题3.1）。基于离散时间观测（Yin，Xin）i的（A，b，α，β）LSE∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++，可以通过求解极值问题得到baLSE，DT，n，bbLSE，DT，n，bαLSE，DT，n，bβLSE，DT，n:= arg min（a，b，α，β）∈RbnT cXi=1“尹- 易-1n-NA.- 拜-1n+欣- xi-1n-Nα - β伊-1n#.（3.1）在符号中，字母D表示离散时间观测。

对于α稳定运动驱动的广义Dornstein-Uhlenbeck过程，LSE的这种定义可被视为Hu和Long[17，公式（1.2）]中给出的相应定义，另见Hu和Long[18，公式（3.1）]。关于基于离散观测的LSE（3.1）的启发式动机，请参见，例如，Hu和Long[16，第178页]（为朗之万方程制定），关于数学动机，请参见如下。以（2.2）为例∈ N、 尹- E（尹|菲）-1n）=Yin- E-bnYi-1n- 阿齐尼-1ne-b（在-u） du=阴- E-bnYi-1n- 阿兹内-bvdv=尹- 易-1n-anif b=0，Yin- E-bnYi-1n+ab（e）-bn- 1） 如果b6=0。使用e的一阶泰勒近似-b=0乘1-bn，和ab（e）的-bn- 1） at（a，b）=（0，0）乘以-安，随机变量尹- 易-1n-n（a）- 拜-1n）在（a，b，α，β）的定义（3.1）中，可以将（a，b，α，β）视为yin的一阶泰勒近似- E（Yin | Y，X，Yn，Xn，…，Yi）-1n，Xi-1n）=Yin- E（尹|菲）-1n），它出现在基于离散时间观测（Yin，Xin）的（a，b，α，β）的条件LSE定义中∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++。同样地，通过（2.3），对于所有我∈ N、 欣- E（辛菲）-1n）=Xin- xi-1n-αn+βYi-1nZini-1ne-b（u）-我-1n）du+aβZini-1nZui-1ne-b（u）-v） dv！杜欣- xi-1n-αn+βYi-1nZne-budu+aβZn祖伊-bvdv杜=欣- xi-1n-αn+βnYi-1n+aβ2n如果b=0，Xin- xi-1n-αn+βb（1）- E-（b）易-1n+aβbN-1.-E-bnb如果b6=0。使用β2nat（a，β）=（0，0）乘以0的一阶泰勒近似，βb（1）的一阶泰勒近似- E-bn）at（b，β）=（0，0）乘以βn，以及aβbN-1.-E-bnb=aβnP∞k=0(-1） k（b/n）k（k+2）！在（a，b，β）=（0，0，0）乘以0时，随机变量Xin- xi-1n-n（α）- β伊-1n）在定义（3.1）中，（a，b，α，β）的LSE可被视为xin的一阶泰勒近似- E（Xin | Y，X，Yn，Xn。

易-1n，Xi-1n）=Xin- E（辛菲）-1n），它出现在基于离散时间观测（Yin，Xin）的（a，b，α，β）的条件LSE定义中∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++。我们注意到，在Barczy等人[6]中，我们基于离散时间观测（Yi，Xi）i证明了（a，b，α，β）的条件LSE的强相合性和渐近正态性∈{1，…，n}，n∈ N、 从一些已知的非随机初始值（y，x）开始这个过程∈ R++×R，因为在亚临界情况下，样本量趋于一致。解决极值问题（3.1），我们有巴尔塞，DT，n，bbLSE，DT，n= arg min（a，b）∈RbnT cXi=1尹- 易-1n-NA.- 拜-1n,bαLSE，DT，n，bβLSE，DT，n= 精氨酸最小值（α，β）∈RbnT cXi=1欣- xi-1n-Nα - β伊-1n,因此，与Barczy等人[3]的675页类似，我们得到巴尔塞，DT，nbbLSE，DT，n= NbnT c-PbnT ci=1Yi-1n-PbnT ci=1Yi-1nPbnT ci=1Yi-1n-1.YbnT中国- Y-PbnT ci=1（阴- 易-1n）易-1n,（3.2）和bαLSE，DT，nbβLSE，DT，n= NbnT c-PbnT ci=1Yi-1n-PbnT ci=1Yi-1nPbnT ci=1Yi-1n-1.XbnT中国- 十、-PbnT ci=1（Xin- xi-1n）易-1n,（3.3）前提是存在相反的情况，即bnT-cPbnT-ci=1Yi-1n>PbnT ci=1Yi-1n. Barczy等人[6]中的引理3.1，对于所有的∈ N和T∈ 当bnT c>2时，我们有bnT cPbnT ci=1Yi-1n>PbnT ci=1Yi-1n= 1.3.1提议。

如果∈ R++，b∈ R、 α，β∈ R、 σ，σ∈ R++，ρ∈ (-1,1）和P（Y）∈ R++=1，那么对于任何T∈ R++，我们有baLSE，DT，nbbLSE，DT，nbαLSE，DT，nbβLSE，DT，nP-→BALSETBLSETBαLSETbβLSET作为n→ ∞,其中“baLSETbbLSET:=”T-RTYsds-RTYsdsRTYsds#-1“YT- Y-RTYsdYs#=TRTYsds-RTYsds“（YT- Y） RTYsds-RTYsdsRTYsdYs（YT）- Y） RTYsds- TRTYsdYs#，（3.4）和“bαLSETbβLSET:=”T-RTYsds-RTYsdsRTYsds#-1英寸XT- 十、-RTYsdXs#=TRTYsds-RTYsds“（XT）- 十） RTYsds-RTYsdsRTYsdXs（XT- 十） RTYsds- trtysdx#，（3.5）几乎肯定存在，因为ZTYsds!= 1为所有T∈ R++。（3.6）根据定义，我们称baLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSET基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）的LSE∈[0，T]，T∈ R++。证据首先，我们检查（3.6）。注意，P（RTYsds<∞) = 1和P（RTYsds<∞) = 所有人1人∈ R+，因为Y几乎肯定有连续的轨迹。每个T∈ R++，putAT:={ω∈ Ohm : t 7→ Yt（ω）在[0，T]}上是连续且非负的。然后在∈ F、 P（AT）=1，对于所有ω∈ 根据柯西-施瓦兹不等式，我们有Tztys（ω）ds>ZTYs（ω）ds,和TRTYs（ω）ds-RTYs（ω）ds= 0当且仅当几乎每s的Ys（ω）=KT（ω）∈[0，T]和一些KT（ω）∈ R+。因此，对于所有的s，Ys（ω）=Y（ω）∈ [0，T]如果ω∈ ATandTRTYs（ω）ds-RTYs（ω）ds= 因此，使用P（AT）=1，我们就得到了pTztySD-ZTYsds= 0!= P（TZTYsds）-ZTYsds= 0)∩ 在6p（Ys=Y，s∈ [0，T]）6 P（YT=Y）=0，其中最后一个等式后面是YTis绝对连续的事实（例如，参见阿方西[2，命题1.2.11]）以及全概率定律。因此PTRTYsds-RTYsds== 0，屈服（3.6）。此外，我们还没有bnT c-PbnT ci=1Yi-1n-PbnT ci=1Yi-1nPbnT ci=1Yi-1na、 美国。-→“T-RTYsds-RTYsdsRTYsds#作为n→ ∞,自从（Yt）t∈R+几乎肯定是连续的。

根据Jacod和Shiryaev[21]中的命题I.4.44，确定性细分的黎曼序列在里面∧ T我∈N、 N∈ N、 使用（Yt，Xt）t的几乎确定的连续性∈R+，我们得到YbnT中国- Y-PbnT ci=1（阴- 易-1n）易-1nP-→“是的- Y-RTYsdYs#as n→ ∞,XbnT中国- 十、-PbnT ci=1（Xin- xi-1n）易-1nP-→“XT- 十、-RTYsdXs#as n→ ∞.通过Slutsky引理，同时使用（3.2）、（3.3）和（3.6），我们得到了断言。2注意，命题3.1适用于所有b∈ R、 也就是说，不仅仅是亚临界赫斯顿模型。我们需要注意的是，（baLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSET）可以被认为仅基于（Xt）t∈[0，T]，因为过程（Yt）T∈[0，T]可使用观测值（Xt）T确定∈[0，T]和初始值Y，见Barczy和Pap[5，备注2.5]。我们还指出，Overbeck andRyd’en[27，公式（22）和（23）]已经根据连续时间观测（Yt）t对（a，b）的LSE（baLSET，bbLSET）进行了定义∈[0，T]，T∈ R++，用于CIR进程Y。他们只研究了CIR过程Y，因此我们的定义（3.4）和（3.5）可以被视为是Overbeck和Ryd’en[27]中公式（22）和（23）对Heston模型（1.1）的推广。Overbeck和Ryd\'en[27，定理3.4]还证明了基于连续时间观测的（a，b）的LSE可以通过基于适当离散时间观测的（a，b）的条件LSE在概率上近似。在下一条评论中，我们指出，（3.4）和（3.5）中给出的（a，b，α，β）的LSE可以使用X的离散时间观测值进行近似，这在实际应用中是令人放心的，因为连续记录中的数据不可用。3.2备注。随机积分tysdysin（3.4）是（Xs）s的可测函数∈[0，T]和Y。

的确，尽管如此∈ [0，T]，yt和rtysds是（Xs）s的可测函数∈[0，T]和Y，也就是说，它们可以从样本（Xs）s中确定∈[0，T]以及根据Barczy和Pap[5]中备注2.5的轻微修改（替换yby Y），以及根据It^o的公式，我们得到了d（Yt）=2YtdYt+σYtdt，T∈ R+，意味着RTYSDYS=YT- Y- σRTYsds,T∈ R+。对于随机积分ysdxsin（3.5），我们有（3.7）bnT cXi=1Yi-1n（Xin）- xi-1n）P-→ZTYSDXN→ ∞,根据Jacod和Shiryaev[21]中的命题I.4.44，采用确定性细分的黎曼序列在里面∧ T我∈N、 N∈ 因此，存在一个可测函数Φ：C（[0，T]，R）×R→ Rsuch thartysdxs=Φ（Xs）s∈[0，T]，Y），因为（3.7）中的收敛几乎肯定是沿着可测量的子序列进行的，对于每个n∈ N、 （3.7）中的序列成员是（Xs）s的可测量函数∈[0，T]和Y，可以使用达德利[13]中的定理4.2.2和4.2.8。因此，（3.4）和（3.5）的右侧是（Xs）s的可测量函数∈[0，T]和Y，也就是说，它们是统计数据。使用Karatzas和Shreve[22]中的SDE（1.1）和推论3.2.20，可以检查“baLSET- 艾伯斯特- b#=“T-RTYsds-RTYsdsRTYsds#-1“σRTY1/2sdWs-σRTY3/2sdWs#，bαLSET- αbβLSET- β#=“T-RTYsds-RTYsdsRTYsds#-1“σRTY1/2sdfWs-σRTY3/2sdfWs#，前提是TRTYsds>RTYsds, 其中fwt:=%Wt+p1- %英国电信∈ R+，和亨塞巴塞特- a=σRTY1/2sdWsRTYsds- σRTYsdsRTY3/2sdWsTRTYsds-RTYsds,bbLSET- b=σRTY1/2sdWsRTYsds- σTRTY3/2sdWsTRTYsds-RTYsds,bαLSET- α =σRTY1/2sdfWsRTYsds- σRTYsdsRTY3/2sdfWsTRTYsds-RTYsds,bβLSET- β =σRTY1/2sdfWsRTYsds- σTRTY3/2sdfwstrysds-RTYsds,（3.8）前提是TRTYsds>RTYsds.4 LSE的一致性和渐近正态性我们的第一个结果是关于亚临界Heston模型LSE的一致性。4.1定理。

如果a，b，σ，σ∈ R++，α，β∈ R、 %∈ (-1,1）和P（（Y，X）∈ R++×R）=1，则（a，b，α，β）的LSE是强一致的，即。，baLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSETa、 美国。-→ （a，b，α，β）asT→ ∞.证据根据命题3.1，存在一个独特的LSEbaLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSETallT的（a，b，α，β）∈ R++。到了（3.8），我们有了巴尔塞特- a=σ·TRTYsds·TRTYsds·RTY1/2sdWsRTYsds- σ·TRTYsds·TRTYsds·RTY3/2sdwsrttysdstrtysds-TRTYsds前提是RTYSDS∈ 几乎可以肯定成立的R++，参见命题3.1的证明。根据定理2.4的第（i）部分，E（Y）∞), E（Y）∞), E（Y）∞) ∈ R++，定理2.4 Yieldstztysda第（三）部分。s-→ E（Y）∞),TZTYsdsa。s-→ E（Y）∞),TZTYsdsa。s-→ E（Y）∞)作为T→ ∞, 然后是ztysda。s-→ ∞,Ztysda。s-→ ∞,Ztysda。s-→ ∞作为T→ ∞. 因此，通过连续局部鞅的强大数定律（例如，见定理2.5），我们得到了balset- aa。s-→σ·E（Y）∞) · E（Y）∞) · 0- σ·E（Y）∞) · E（Y）∞) · 0E（Y）∞) - （E（Y）∞))= 0作为T→ ∞,在最后一步中，我们还使用了E（Y）∞) - （E（Y）∞))=aσ2b∈ R++。同样，根据（3.8），bbLSET- b=σ·TRTYsds·RTY1/2sdWsRTYsds- σ·TRTYsds·RTY3/2sdWsRTYsdsTRTYsds-TRTYsdsa、 美国。-→σ·（E（Y）∞))· 0- σ·E（Y）∞) · 0E（Y）∞) - （E（Y）∞))= 0作为T→ ∞.可以证明bαLSET- αa.s。-→ 0和bβLSET- βa.s。-→ 0作为T→ ∞以类似的方式。2我们的下一个结果是关于次临界Heston模型LSE的渐近正态性。4.2定理。如果a，b，σ，σ∈ R++，α，β∈ R、 %∈ (-1,1）和P（（Y，X）∈ R++×R）=1，则（a，b，α，β）的LSE是渐近正态的，即T巴尔塞特- 艾伯斯特- bbαLSET- αbβLSET- βL-→ N0，S（2a+σ）aσb2a+σ2a+σ2b（a+σ）σa作为T→ ∞,（4.1）在哪里 表示矩阵的张量积，and:=“σ%σ%∑%σ#”-1，TI（T E2，T- E1，T）E1，TE3，T- E2，T--T E1，T巴尔塞特- 艾伯斯特- bbαLSET- αbβLSET- βL-→ N（0，S）一） （4.2）作为T→ ∞, 式中，Ei，T:=RTYisds，T∈ R++，i=1,2,3。证据

根据命题3.1，存在一个独特的LSEbaLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSET关于（a，b，α，β）。到（3.8），我们已经√T（baLSET）- a） =TRTYsds·σ√TRTY1/2sdWs-TRTYsds·σ√TRTY3/2sdWsTRTYsds-TRTYsds,√T（bbLSET）- b） =TRTYsds·σ√TRTY1/2sdWs-σ√TRTY3/2sdWsTRTYsds-TRTYsds,√T（bαLSET）- α） =TRTYsds·σ√TRTY1/2sdfWs-TRTYsds·σ√TRTY3/2SDFWSTRYSDS-TRTYsds,√T（bβLSET）- β） =TRTYsds·σ√TRTY1/2sdfWs-σ√TRTY3/2SDFWSTRYSDS-TRTYsds,前提是TRTYsds>RTYsds, 这几乎可以肯定。因此√T巴尔塞特- 艾伯斯特- bbαLSET- αbβLSET- β=TRTYsds-TRTYsds我“trtysdstrtysdstrtysds1#！”！√TMT=我\"1 -TRTYsds-TRTYsdsTRTYsds#-1.√TMT（4.3），前提是TRTYsds>RTYsds, 这几乎可以肯定，其中：=σRtY1/2sdWs-σRtY3/2sdWsσRtY1/2sdfWs-σRtY3/2sdfWs, T∈ R+，是一个由toRtE（Ys）ds<∞ 安德特（Ys）ds<∞, T∈ R+。接下来，我们展示√TMTL-→ ηZ为T→ ∞,（4.4）其中Z是一个四维标准正态分布随机向量，η∈ R4×4使得ηη>=S“E（Y）∞) -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#.这里右边的两个对称矩阵是正定义的，因为σ，σ∈ R++，%∈ (-1,1），E（Y）∞) =ab∈ R++andE（Y）∞) E（Y）∞) - (-E（Y）∞))=aσ4b（2a+σ）∈ R++，他们的Kronecker产品也是如此。因此，可以选择η作为所讨论的两个矩阵的Kronecker乘积的唯一定义的对称正定义平方根。WehavehMit=S“RtYsds-RtYsds-RtYsdsRtYsds#，t∈ R+。根据定理2.4，我们有q（t）hMitQ（t）>a.s。-→ s“E（Y）∞) -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#作为t→ ∞带Q（t）：=t-1/2I，t∈ R++。因此，定理2.6得出（4.4）。

然后，通过（4.3），Slutsky的lemmayields√T巴尔塞特- 艾伯斯特- bbαLSET- αbβLSET- βL-→我\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1.ηZL=N（0，∑）作为T→ ∞,其中（应用身份） B） >=A> B> 和（A） B） （C） D） =（交流） （BD）∑：=我\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1.ηE（ZZ>）η>我\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1.>=我\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1.s“E（Y）∞) -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#!我\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1.= （ISI）\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1英寸E（Y）∞) -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#\"1 -E（Y）∞)-E（Y）∞) E（Y）∞)#-1.=（E（Y）∞) - （E（Y）∞)))×S\"E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) - 2 E（Y）∞) E（Y）∞) + （E（Y）∞))#,其收益率为（4.1）。事实上，根据定理2.4，一个简单的计算表明E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) =aσ4b（2a+σ），E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))=aσ4b（2a+σ），E（Y）∞) - 2 E（Y）∞) E（Y）∞) + （E（Y）∞))=aσ2b（a+σ），E（Y）∞) - （E（Y）∞))=aσ2b。（4.5）现在我们来证明（4.2）。Slutsky引理，（4.1）和（4.5）yieldE-1，TI（T E2，T- E1，T）E1，TE3，T- E2，T--T E1，T巴尔塞特- 艾伯斯特- bbαLSET- αbβLSET- β= E-1，TI（E2，T）- E1，T）E1，TE3，T- E2，T--1 E1，T√T巴尔塞特- 艾伯斯特- bbαLSET- αbβLSET- βL-→ （E（Y）∞))-我E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))--1 E（Y）∞)×N0，S（2a+σ）aσb2a+σ2a+σ2b（a+σ）σaL=N（0，Ξ）作为T→ ∞,式中，Ei，T:=TRTYisds，T∈ R++，i=1,2,3和，应用恒等式（AB） >=A>B> ，（A） B） （C） D） =（交流） （BD），并使用（4.5），Ξ：=E（Y）∞)我E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))--1 E（Y）∞)×s（2a+σ）aσb2a+σ2a+σ2b（a+σ）σa×我E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))--1 E（Y）∞)>=E（Y）∞)（ISI）E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))--1 E（Y）∞)×（2a+σ）aσb2a+σ2a+σ2b（a+σ）σa×E（Y）∞) - （E（Y）∞))E（Y）∞) E（Y）∞) - （E（Y）∞))--10 E（Y）∞)!=制动辅助系统“σ（2a+σ）--1ab#（2a+σ）aσb2a+σ2a+σ2b（a+σ）σa“σ（2a+σ）--1ab#！=sI.因此我们得到（4.2）。

接下来，我们推导出定理4.2的一个推论，分别给出了基于连续时间观测（Yt）t的（a，b）的LSE的渐近行为∈[0，T]，T>0。我们需要注意的是，Overbeck和Ryd\'en[27，定理3.6]已经推导出了这种渐近行为（有关初始分布的作用的更多细节，请参见引言），然而，他们的定理3.6中有限正态分布的协方差矩阵有些复杂。事实证明，通过对Overbeck和Ryd’en[27]中的SDE（1）进行简单的重新参数化，可以以一种更简单的形式编写它-b而不是b（使用Overbeck和Ryd\'en[27]的符号），即考虑SDE（1.1）和估计b（使用我们的符号）。4.3推论。如果a，b，σ∈ R++，和P（Y∈ R++）=1，则（3.4）中给出的基于连续时间观测（Yt）t的（a，b）的LSE∈[0，T]，T>0，是强一致且渐近正态的，即。，巴尔塞特a、 美国。-→ （a，b）作为T→ ∞, 安德特·巴尔塞特- 艾伯斯特- 比尔-→ N0，“（2a+σ）ab2a+σ2a+σ2b（a+σ）a#！作为T→ ∞.5数值说明在本节中，首先，我们演示了模拟赫斯顿模型（1.1）的一些方法，然后我们使用赫斯顿模型（1.1）生成的样本路径说明定理4.1和定理4.2中的收敛性（4.1）。我们将考虑次临界赫斯顿模型（1.1）（即b∈ 具有aknown非随机初始值（y，x）∈ R++×R。注意，在这种情况下，强化过滤（Ft）t∈R+对应于（Wt，Bt）t∈R+和初始值（y，x）∈ 实际上，R++×R并不依赖于（y，x）。我们回顾了五种模拟方法，它们在如何模拟Heston模型（1.1）中的CIR过程方面相互不同。接下来，让ηk，k∈ {1，…，N}，是独立的标准正态分布随机变量∈ N、 把tk:=kTN，k∈ {0, 1, . . .

，N}，带有一些T∈ R++。Higham和Mao[15]引入了绝对值Euler（AVE）方法Y（N）tk=Y（N）tk-1+（a）- bY（N）tk-1） （tk）- tk-1） +σq | Y（N）tk-1 | ptk- tk-1ηk，k∈ {1，…，N}，其中Y（N）=Y表示CIR过程的近似值，其中a，b，σ∈ R++。该方案不保持CIR过程的非负性。截断欧拉（TE）格式使用离散化Y（N）tk=Y（N）tk-1+（a）- bY（N）tk-1） （tk）- tk-1） +σqmax（Y（N）tk-1,0）ptk- tk-1ηk，k∈ {1，…，N}，其中Y（N）=Y，其中a，b，σ∈ R++，有关CIR过程Y的近似值，请参见Deelstra和Delbaen[10]。该方案不保持CIR过程的非负性。对称化Euler（SE）方法通过迭代Y（N）tk给出了CIR过程Y的近似值=Y（N）tk-1+A.- bY（N）tk-1.（tk）- tk-1） +σqY（N）tk-1ptk- tk-1ηk, K∈ {1，…，N}，其中Y（N）=Y，其中a，b，σ∈ R++，参见，Diop[12]或Berkaoui等人[7]（其中对该方法进行了分析，以获得更一般的SDE，包括所谓的α根过程，以及有效α的差异√带α的x∈ （1，2）而不是√x） 。该方案给出了CIR过程Y的非负近似。以下两种方法不直接模拟CIR过程Y，但其平方根z=（Zt:=√Yt）t∈R+。如果a>σ，那么P（Yt∈ R++，T∈ R+=1，根据它的公式，dZt=A.-σZt-bZtdt+σdWt，t∈ R+。对于一般SDE，漂移显式平方根欧拉（DESRE）方法（参见Kloeden and Platen[23，第10.2节]或Hutzenthaler等人[19，方程（4）]模拟Z byZ（N）tk=Z（N）tk-1+A.-σZ（N）tk-1.-bZ（N）tk-1.（tk）- tk-1） +σptk- tk-1ηk，k∈ {1，…，N}，带Z（N）=√y、 其中a>σ和b，σ∈ R++。这里注意P（Z（N）tk=0）=0，k∈ {1，…，N}，因为Z（N）tkis是绝对连续的。转换回，即Y（N）tk=（Z（N）tk），k∈ {0, 1, . . .

N}给出了CIR过程Y的非负近似。漂移隐式平方根欧拉（DISRE）方法（见Alfonsi[1]或Dereich等人[11]）模拟了Z byZ（N）tk=Z（N）tk-1+A.-σZ（N）tk-bZ（N）tk！（tk）- tk-1） +σptk- tk-1ηk，k∈ {1，…，N}，带Z（N）=√y、 其中a>σ和b，σ∈ R++。这个递归有一个唯一的正解，由Z（N）tk=Z（N）tk给出-1+σ√tk- tk-1ηk2+b（tk- tk-1） +vuutZ（N）tk-1+σ√tk- tk-1ηk（2+b（tk）- tk-1))+A.-σ（tk）- tk-1） 2+b（tk）- tk-1） 为了k∈ 带Z（N）的{1，…，N}=√y、 再次变换回来，即y（N）tk=（Z（N）tk），k∈{0，1，…，N}给出了CIR过程Y的严格正近似。我们提到，对于CIR过程，存在所谓的精确模拟方法，例如，见阿方西[2，第3.1节]。在我们的模拟中，我们将使用SE、DESRE和DISRE方法来逼近CIR过程，从而保持CIR过程的非负性。赫斯顿过程（1.1）的第二个坐标过程X将通过由X（N）tk=X（N）tk给出的usualEuler Maruyama方案进行近似-1+ (α - βY（N）tk-1） （tk）- tk-1） +σqY（N）tk-1ptk- tk-1.% ηk+p1- %ζk（5.1）对于k∈ {1，…，N}，其中X（N）=X，其中α，β∈ R、 σ∈ R++，%∈ (-1,1）和ζk，k∈ {1，…，N}，是独立于ηk，k的标准正态分布随机变量∈ {1，…，N}。注意，在（5.1）中，系数qy（N）tk-1外观，在IR过程中得到很好的定义，Y由我们将考虑的SE、DESRE或DISRE方法近似。我们还提到，赫斯顿过程（1.1）存在精确的模拟方法，参见Broadie and Kaya[8]或Alfonsi[2，第4.2.6节]。我们将近似估计baLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSET在（3.4）和（3.5）中给出，使用（Y，X）生成的采样路径。

为此，我们需要在很大一段时间内模拟T∈ R++，随机变量syt，XT，I1，T:=ZTYsds，I2，T:=ZTYsds，I3，T:=ZTYsdYs，I4，T:=ztysdx。我们可以很容易地近似计算Ii，T，i∈ 分别为{1,2,3,4}，byIN1，T:=NXk=1Y（N）tk-1（tk- tk-1） =TNNXk=1Y（N）tk-1，IN2，T:=NXk=1（Y（N）tk-1） （tk）- tk-1） =TNNXk=1（Y（N）tk-1） ，IN3，T：=NXk=1Y（N）tk-1（Y（N）tk- Y（N）tk-1） ，IN4，T:=NXk=1Y（N）tk-1（X（N）tk- X（N）tk-1).因此，我们可以近似baLSET、bbLSET、bαLSET和bβLSETbyba（N）T:=（Y（N）T- y） IN2，T- IN1，TIN3，TT IN2，T- （IN1，T），bb（N）T:=（Y（N）T- y） IN1，T- T IN3，TT IN2，T- （IN1，T），bα（N）T:=（X（N）T- x） IN2，T- IN1，TIN4，TT IN2，T- （IN1，T），bβ（N）T:=（X（N）T- x） IN1，T- T IN4，TT IN2，T- （IN1，T）。我们指出，ba（N）T、bb（N）T、bα（N）和bβ（N）皮重定义良好，因为- （IN1，T）=TNNXk=1Y（N）tk-NNXk=1Y（N）tk-1!> 0，和T IN2，T- （IN1，T）=0<==> Y（N）tk=NNX`=1Y（N）t`-1，k∈ {1，…，N}<==> Y（N）=Y（N）t=····=Y（N）tN-因此，利用Y（N）是绝对连续的，再加上全概率定律，我们得到了P（T IN2，T）- （1，T）∈ R++=1。对于数值实现，我们取y=0.2，x=0.1，a=0.4，b=0.3，α=0.1，β=0.15，σ=0.4，σ=0.3，ρ=0.2，T=3000，N=30000（因此，tk- tk-1=0.1，k∈ {1，…，N}）。注意，a>σ与此参数选择有关。我们模拟了（YT，XT）的10000条独立轨迹和归一化误差T巴尔塞特-a、 bbLSET-b、 bαLSET-α、 bβLSET-β.

表1包含Y（N）TandTX（N）T的经验平均值，基于（YT，XT）的10000条独立轨迹，以及（理论）极限极限→∞E（Yt）=绝对极限→∞T-1E（Xt）=α-βab（根据命题2.2），使用方案SE、DESRE和DISRE模拟CIRE过程。Y（N）TandTX（N）TSE DESRE DISRElimt的经验平均值→∞E（Yt）=ab=1.3333 1.321025 1.325539 1.331852limt→∞T-1E（Xt）=α-βab=-0.1-0.09978663-0.100054-0.09941841表1：Y（N）T（第一行）和Tx（N）T（第二行）的经验平均值。从今往后，我们将使用上述参数选择，除了T=5000和N=50000（tk）- tk-1=0.1，k∈ {1，…，N}）。在表2中，我们计算了预期偏差（E（bθLSET- θ） ，误差的L范数（E | bθLSET- θ|）与误差的L范数E（bθLSET）-θ)1/2, θ在哪里∈ {a，b，α，β}，使用DISRE方案模拟CIR过程。误差预期偏差L-误差范数L-误差范数A-0.01089369 0.0153848 0.0190123b-0.007639168 0.01189344 0.01474495α0.0001779072 0.00957648 0.0120646β0.0001402452 0.007776999 0.009771835表2：使用DISRE方案的预期偏差、L-和L-误差范数。在表3中，我们给出了相对误差（bθ（N）T）- θ） /θ，其中θ∈ {a，b，α，β}，对于T=5000，使用方案DISRE模拟CIR过程。在图1中，我们展示了LSE每个坐标的极限定律baLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSET如（4.1）所示。为此，我们基于10000条独立生成的轨迹，使用模拟CIR过程的方案DISRE绘制每个坐标的密度直方图。我们还以红色绘制了相应正态极限分布的密度函数。

相对误差T=5000（ba（N）T- a） /a-0.02723421（bb（N）T）- b） /b-0.02546389（bα（N）T- α） /α0.001779072（bβ（N）T- β） /β0.0009349683表3：使用DISRE方案的相对误差。“a”归一化误差的密度直方图“a”密度的归一化误差-4.-2 20.0 0.1 0.2 0.3“b”归一化误差的密度直方图“b”密度的归一化误差-4.-2 20.0 0.1 0.2 0.3 0.4“α”归一化误差的密度直方图“α”密度的归一化误差-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4“β”归一化误差的密度直方图“β”密度的归一化误差-3.-2.-1 0 1 2 30.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图1：在从左到右的第一行中，1/2（ba（N）T）归一化误差的密度直方图- a） 和T1/2（bb（N）T- b） ，在从左到右的第二行中，T1/2（bα（N）T）归一化误差的密度直方图- α） T1/2（bβ（N）T- β). 在每种情况下，红线表示相应正态极限分布的密度函数。以上参数的选择，作为（4.1）的结果，我们有（baLSET- a） L-→ N0，ab（2a+σ）= N（0，1.28）等于T→ ∞,T（bbLSET）- b） L-→ N0,2ba（a+σ）= N（0，0.84）等于T→ ∞,T（bαLSET）- α） L-→ N0，aσbσ（2a+σ）= N（0，0.72）等于T→ ∞,T（bβLSET）- β） L-→ N0,2bσaσ（a+σ）= N（0，0.4725）等于T→ ∞.在参数a和b的情况下，我们可以在图1中看到偏差，我们认为，这可能与（a，b）和（α，β）的LSE的弱收敛速度不同，以及Y的应用离散化方案的不良性能有关。表4包含T（bθ（N）T的偏度和多余峰度-θ） ，其中θ∈ {a，b，α，β}，使用方案DISRE模拟CIR过程。

这也证实了我们在（4.1）中的结果。偏度和超额峰度T（ba（N）T- a） T（bb（N）T- b） T（bα（N）T- α） T（bβ（N）T- β） 偏度0.04915124 0.04544189-0.02317407-0.01399869超额峰度0.07666643 0.05226811 0.09994108 0.07877347表4：使用scheme DISRE模拟CIR过程的偏度和超额峰度。使用Anderson-Darling和Jarque Bera测试，我们测试每个坐标是否巴尔塞特- a、 bbLSET- b、 bαLSET- α、 bβLSET- βT=5000时是否遵循正态分布。在表5中，我们给出了安德森-达林（Anderson-Darling）和贾奎贝拉（JarqueBera）测试的测试值和p值，使用DISRE方案模拟CIR过程（* p值之后表示所讨论的p值大于任何合理的显著水平）。事实证明，通过选择这些参数，在任何合理的显著水平上，安德森-达林测试都接受这一点（baLSET）-a） ，T（bbLSET）-b） ，T（bαLSET）-α） 和T（bβLSET）-β） 遵循正常规律。Jarque Beratest也接受T（bbLSET- b） ，T（bαLSET）- α） 和T（bβLSET）- β） 遵循正常规律，但拒绝接受T（baLSET- a） 遵循正常规律。正态性检验T（ba（N）T- a） T（bb（N）T- b） T（bα（N）T- α） T（bβ（N）T- β） 安德森·达林0.34486（0.4857*) 0.62481 (0.1037*) 0.34078 (0.4962*) 0.35232 (0.467*)Jarque Bera 6.5162（0.03846）4.6077（0.09987*) 5.1089 (0.07774*) 2.9528 (0.2285*)表5：在y=0.2、x=0.1、a=0.4、b=0.3、α=0.1、β=0.15、σ=0.4、σ=0.3、ρ=0.2、T=5000和N=50000情况下的正态性测试，使用模拟CIR过程的方案DISRE生成10000个独立样本路径。总之，我们的数值说明或多或少与（4.1）中的理论结果一致。最后，我们注意到我们使用了开源软件R来进行模拟。参考文献[1]阿方西，A.（2005）。

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