经济环境变化下储能设施的最优控制

2022-5-10 18:54:14

在变化的经济环境和部分信息下的储能设施最优控制Anton a.Shardin和Michaela Sz"olgyenyiPreprint，2016年4月摘要本文在一个具有部分信息的模型中考虑一个有限时间内的储能优化问题，该模型考虑了变化的经济环境。状态过程包括由存储管理器控制的存储水平和能源价格过程，这是一个扩散过程，其漂移被认为是不可观测的。我们应用过滤理论，找到一种适合我们观察过滤的替代状态过程。对于这种交替状态过程，我们推导了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并用数值方法求解优化问题。这就导致了一个最优策略的候选者，对于这个候选者，事先不清楚受控状态过程是否存在。因此，我们证明了一类具有不连续漂移和奇异扩散系数的时间非齐次随机微分方程解的存在唯一性。最后，我们应用我们的结果证明了候选最优控制的可容许性。关键词：储能优化、隐马尔可夫模型、随机微分方程、不连续漂移、退化扩散数学学科分类（2010）：93E20、93E11、60H10JEL分类：C61、G1A。A.沙丁数学研究所，BTU Cottbus Senftenberg，03044 Cottbus，德国。

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kedemingshi

2022-5-10 18:54:17

维也纳经济与商业大学统计与数学学院，澳大利亚维也纳1020。szoelgyenyi@wu.ac.at1本文研究了有限时间范围内的储能管理随机优化问题。为了将不可观测的经济变化纳入我们的模型，我们允许能源价格取决于无法直接观察到的单一因素。我们的模型通过以下方式扩展了文献中的现有方法：我们允许政权转换和有关能源价格过程的部分信息。假设代理只有关于能源市场的不完整信息，则该模型更现实，更适合实际应用。代理的目的是通过选择最佳的储能设施充电或放电速率，最大限度地提高储能设施的效益。这是通过低价买进和高价卖出来实现的。Thompson等人[34]指出了“投资分析和优化方法的必要性，这些方法能够准确地说明实际存储设施的各种运营特征”，并提到了“存储运营商的巨大利润机会”。卡莫纳和卢德科夫斯基[4]证实了这一点：“随着能源商品的重要性日益增加，对储能的复杂估值成为金融市场运作的一个不可或缺的方面。”“存储允许商品跨时间转移，并允许利用波动的市场价格。”[4] 解决储能管理器最优控制问题的动机是双重的。storagemanager希望在市场上采取最佳行动。为此，她需要知道最佳存储策略。因此，Sheesential的目标是在价格较低时购买能源，在价格较高时出售能源。

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2022-5-10 18:54:21

此外，能源市场中的一个代理想要知道最优控制的储能设施的价值，这与优化问题的结果相对应。Chen和Forsyth[5]、Carmona和Ludkovski[4]、Thompson等人[34]和Ware[37]等研究了储能设施的随机优化问题。他们考虑了天然气储存，并研究了确定最佳充电/放电策略的问题，在有限的时间范围内最大化预期折扣回报。与之相反，Thompson等人[33]和Zhao及Davidson[41]研究了抽水蓄能设施在有限时间范围内的随机最优控制问题。他们控制应泵送/释放的最佳水量，以最大化消耗/生产能源的预期折扣回报。所有这些模型都假设一个固定的经济环境以及有关能源价格过程的完整信息。Chen和Forsyth[7]对[5]进行了扩展，以考虑漂移建模的变化。为此，他们假设漂移是由一个可观测的两状态马尔可夫链驱动的。能源价格显然取决于决定供应和需求的外部因素，而外部因素意味着这些因素独立于能源价格过程中不确定性的驱动源。永久能源需求和供应的变化导致能源价格的结构性变化。造成这种变化的一个原因可能是季节性差异。例如，冬季用于制冷，夏季用于取暖。此外，还有日内波动。然而，安等人。

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2022-5-10 18:54:24

[1] 发现“从季节性差价中提取的存储价值明显低估了通过最佳注入/提取策略获得的价值。”季节性因素不能解释所有的能源价格变化，这就需要关注价格波动的其他决定因素。虽然可以清楚地观察到季节性，但其他类型的影响可能并不明显。能源价格取决于经济环境和地缘政治形势。这些是我们希望在模型中关注的效果。因此，有必要考虑能源价格过程模型中的状态依赖性。此外，随着能源市场的自由化，能源价格也取决于金融风险。因此，我们使用数学金融的建模方法。我们将能源价格建模为一个扩散过程，其漂移由不可观测状态的马尔可夫链驱动。假设潜在状态过程是不可观测的，这有经济原因和统计原因。经济环境的变化往往在发生的那一刻无法追踪，而只能随着时间的推移。因此，我们希望考虑到当前经济状况的不确定性。从统计学的角度来看，扩散过程的漂移随着时间的推移尤其难以估计，参见罗杰斯[27，第4.2章]。部分信息下的随机优化问题，尤其是那些状态过程受外生隐马尔可夫链影响的问题，已经在数学金融文献和保险数学文献中进行了深入研究，参见Elliott等人[10]、Lakner[17]、Honda[14]、Sass和Haussmann[29]、Riederand B"auelle[26]、Frey等人[12]，Leobacher等人。

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2022-5-10 18:54:27

[20] ，以及舍尔杰尼[31]。Shardin和Wunderlich[30]在不断变化的经济环境中对抽水蓄能进行建模，并假设了有关能源价格过程的部分信息。然而，为了研究它们的优化问题，出于技术原因，它们需要规范它们的基本过程。在此，我们可以省去这一步。我们的模型的一个结果是，最优控制策略的候选对象是阈值类型的，也就是说，在一定的能源价格水平下，储能经理会改变其行为。因此，受控地下过程具有不连续漂移系数。此外，由于模型的结构，扩散系数退化。因此，关于随机微分方程（SDE）解的存在唯一性的标准结果不适用。因此，为了证明由此产生的控制策略的可容许性，我们需要证明一个存在唯一性定理，将Leobacher等人[21]的结果推广到时间不均匀的情况。关于这个问题的详细介绍载于第4节。本文的主要贡献在于，我们研究了一个模型中部分信息下的随机优化问题，该模型考虑了储能设施不断变化的经济环境，并对该模型的结果，即价值函数以及最优政策的候选对象进行了广泛的数值研究。在技术方面，我们的贡献是，尽管我们的问题导致了一个退化的基本过程，但所有结果都是在没有任何正则化技术的情况下获得的。（对于应用正则化的示例，请参见[12,30]。）为了验证最优策略的候选者，基本受控过程的存在是至关重要的。

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kedemingshi

2022-5-10 18:54:30

我们证明了一类具有不连续漂移和退化扩散系数的时间非齐次随机微分方程存在唯一性的理论结果，推广了文献[21]的结果。论文的结构如下。在第二节中，我们提出了储能优化问题，描述了目标函数和潜在的状态过程，并推导了相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。然后，我们在第3节中用数值方法解决优化问题。我们的目标是对我们模型的结果进行广泛的研究。在第4节中，我们给出了一类具有不连续漂移和退化扩散系数的时间非齐次SDE的存在唯一性结果。（建设性）证据移至附录A。请注意，第4节和附录A是独立的，因此可以与第2节分开阅读。在第5节中，我们应用我们的结果证明了第3节中提出的最优控制策略的候选者的可容许性，即，我们证明了由该策略控制的底层状态过程系统具有唯一的全局强解。第6节对应用数学的不同领域进行了展望，在这些领域中，本文给出的SDE结果可能会得到应用。2储能优化问题：过滤概率空间（E，F，F，P）中的过滤满足通常条件，包含此处出现的所有随机变量。此外，让（eBt）t≥0是标准的布朗运动。我们对能源价格过程S=（St）t进行建模≥0作为一种Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程，dSt=κ（u（Yt）+K（t）- St）dt+σdeBt，S=S，（1）具有恒定的平均回归速度κ，（无季节性）平均回归水平u：RD-→ R、季节性函数k:[0，T]-→ R、和常数扩散参数σ。

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2022-5-10 18:54:33

u（Yt）+K（t）是长期均衡价格。对于季节性函数，我们假设K∈ C（[0，T]），并满足线性增长条件，即存在常数C，C>0，使得| K（T）|≤ c+c | t |代表所有t∈ [0，T]。选择此循环组件isK（t）=KScos的示例2π（t）- tS）,其中Ks决定季节性价格趋势，Ts代表均衡价格的季节性峰值时间，以及是一季的长度，c.f.[6，第2.2节]和[33，第3节]。Y=（Yt）t≥0是一个具有D维状态空间的外生马尔可夫链，它是w.l.o.g.由ED={e，…，ED}给出，其中ei是RD中的第i个单位向量，i=1，D.我们将给定的Y强度矩阵表示为∧=（λij）Di，j=1，并假设知道Y的初始分布。我们假设u（ei）=ui，i=1，D、也就是说，u是每个州的常数。W.l.o.g.我们假设u>…>uD.能源价格在现货市场上是可以观察到的，而平均回归水平很难估计。因此，我们假设储能经理可获得的信息包含在能源价格过程FS=（FSt）t生成的增强过滤中≥0，其中FSt=σ{Sr，r≤ t} 。我们选择OU过程对能源价格进行建模，因为在能源市场上，有必要考虑负价格，而且均值回归是能源价格的一个程式化事实。根据这一能源价格，储能设施的管理者必须决定何时对储能进行充电或放电，以及充电速率。因此，充电率u=（ut）t≥0用作控件。排放量为负。我们对储能水平Q=（Qt）t进行建模≥0asdQt=utdt，Q=Q。（2）由于u是不可直接观察的，我们处于部分信息的情况下。为了克服这个问题，我们应用过滤理论。过滤问题。

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2022-5-10 18:54:37

由于u不适用于观察过滤FS，因此S的整体漂移不适用于FS。为了方便起见，我们将这种漂移表示为asat:=a（St，Yt，t）：=κ（u（Yt）+K（t）- St）=DXi=1κ（ui+K（t）- St）1{Yt=ei}=：DXi=1a（St，ei，t）1{Yt=ei}。设Y的初始分布表示为ν=（ν，…，νD），且对于所有i=1，…，设νi>0，现在，我们估计漂移（a（St，Yt，t））t≥0根据能源价格过程产生的信息[23,39]：bat:=Ea（St，Yt，t）FSt= EDXi=1a（St，ei，t）1{Yt=ei}FSt=DXi=1a（St，ei，t）PYt=eiFSt=DXi=1a（St，ei，t）πit，（3）其中πit，i=1，D、 t≥ 0是Y在时间t处于状态i的条件概率。我们进一步表示π=（πt）t≥0和πt=（πt，…，πDt）。以下命题可以在Liptser和Shiryaev[23，Theorem9.1]中找到。提议2.1。条件概率πit:=P（Yt=ei | FSt），ei∈ ED，i=1，D，解下列SDE方程组：πit=νi+tZDXk=1λkiπkrdr+tZπira（高级、高级、高级）- 酒吧σdBr，i=1，D，（4）式中B=（Bt）t≥0是由BT=tZdSr给出的FS适应的布朗运动- bardrσ，通常被称为创新过程。特别是这意味着ba是马尔可夫的，bat=ba（St，πt，t）=κu，πt+ K（t）- 圣,u，πt:=DXi=1uiπit。（5）最后，我们找到了能源价格过程（1）在创新过程B中的等效表示：dSt=ba（St，πt，t）dt+σdBt，S=S，其中ba在（5）中定义。

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2022-5-10 18:54:41

这种表示法的优点是，现在我们模型的所有成分都适用于观察过滤，因此优化问题得到了很好的定义。因此，我们将部分信息下的原始模型转换为完全信息下的以下模型：dSt=ba（St，πt，t）dt+σdBt，S=S，dQt=utdt，Q=Q，dπt=∧>πtdt+σ-1.diag（πt）at- 蝙蝠πtdBt，π=ν。（6）如果S，Q，π在时间t开始∈ [0，T]，我们分别用s，q，ν=（ν，…，νD）表示起始值。最后我们指出，通过设置πDt=1，我们可以将（6）的维数减少1-警察局-1i=1πITT≥ 因此，过滤器的正确状态空间是单纯形S:={（ν，…，νD）-1) ∈ （0,1）D-1:PD-1i=1νi<1}带闭包S:={（ν，…，νD）-1) ∈ [0,1]D-1:PD-1i=1νi≤ 1}. 因此，获取完整信息的成本降低- 1过滤器的附加尺寸。优化问题。我们引入了能量存储设施0的容量下限和上限≤ Q≤Qt≤ 假设储能是满的，或者分别在q或q时是空的。对于控制u，我们假设u∈ U、其中，U是一组可接受的控制，强制要求U是渐进可测量的，且为反馈类型（参见[4，第2.1节]和[37，第2节]）。此外，由u控制的过程（S，Q，π）需要存在，即系统（6）需要有一个解决方案。此外，我们对控制装置施加条件，以便从运行角度正确建模储能设施。具体来说，如果储能设施分别接近满或空，充电和放电不应达到最大速率。出于技术原因，这些边界是以连续的方式建模的，即我们施加平滑过渡（参见[5，第2.1节]，[34，第3节]和[37，第4.1节]）。

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2022-5-10 18:54:45

所以我们有ut∈ [u（Qt），u（Qt）]代表t∈ [0，T]，其中u，u:R-→ R、与-穆≤ u（q）≤ 0,0 ≤ u（q）≤ Mu和u（q）=u（q）=0是充分光滑且有界的函数，分别描述了能量出售或购买的最大速率，并且Mu是常数。图1展示了[q，q]上的函数u，u。请注意，对于某些储能设施，例如天然气储能设施，q的所有级别的u、u都在下降。然而，由于我们研究的是一般的储能设施，我们没有制定确定这些界限的特定物理定律。感兴趣的读者可以参考，例如[34]。我们对u，u的选择保证了过程Q反映在边界上，如果从内部开始，则保持在[Q，Q]内。请注意，我们的模型从物理角度考虑了最重要的运行条件，但忽略了一些技术要求的详细建模，因为本文的主要目的是获得不可观察的外部影响的影响的印象。储能经理的目标是最大限度地提高储能设施的效益。定义F:R×[q，q]×[-穆，穆]-→ R byF（s、q、u）=-Us+d+- cq，u≥ 0（充电）-Us- D-- cq，u<0（卸货），图1：函数u和u，固定成本d±≥ 0和存储成本c≥ 0.关于F的定义，参见[5，第2.3节]，[4，第2节]，[34，第2节]和[37，第2节]。在计划期T结束时，储存设施中剩余能量的价值是立即以cSST（0<cS<1）的价格在市场上出售所有产品所获得的回报。CSI是必须由存储经理支付的报废率。因此，我们定义了终端奖励函数Φ：R×[q，q]-→ R乘以Φ（ST，QT）=QTcSST- D-. （7）现在我们已经准备好描述正在研究的随机优化问题。标志Ohm := R×[q，q]×\'S×[0，T]。

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2022-5-10 18:54:49

我们希望最大化预期的折扣利润：Ohm -→ R由j（s，q，ν，t；u）=Es，q，ν，thTZte给出-ρ（r）-t） F（Sr、Qr、ur）dr+e-ρ（T）-t） Φ（ST，QT）i通过找到最优控制u∈ U、其中ρ>0是一个常数贴现率，Es，q，ν，t（·）是起始值St=s，Qt=q，πt=ν的期望值。目的是找到最佳值函数V：Ohm -→ R由v（s，q，ν，t）=supu给出∈UJ（s，q，ν，t；u），（8）和（如果存在）最优控制策略u*= 阿格马苏∈UJ（s，q，ν，t；u）。引理2.2。值函数V是连续的，满足线性增长条件，即存在常数c，c>0，使得| V（s，q，ν，t）|≤ c+ck（s，q，ν，t）k证明。直接来自[15，第3章，定理5]以及F和Φ的构造。备注2.3。价值函数V也与实物期权的公平价格相关联，如果在时间t出售，则代表时间t时储能设施的价值。应用动态规划原理（参见。

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2022-5-10 18:54:52

[25，第3.3节，定理3.3.1]），我们推导了与系统（6）和优化问题（8）相关的HJB方程，Vt+（L- ρ） V+supu∈[u（q），u（q）]Vq+F= 0，V（s，q，ν，T）=Φ（s，q）（9）表示所有（s，q，ν，T）∈ Ohm 式中lv（s，q，ν，t）=κDXi=1uiπit+K（t）- sVs（s，q，ν，t）+σVss（s，q，ν，t）+DXi=1DXk=1（λkiπkt）Vνi（s，q，ν，t）+DXi=1κπitui-DXk=1ukπktVsνi（s，q，ν，t）+DXi，j=1κσπitπjtui-DXk=1ukπktuj-DXk=1ukπktVνiνj（s，q，ν，t）。解决逐点优化问题会导致以下候选最优充电策略：u*t=u*（s，q，ν，t）=u（q），s≤ s（s，q，ν，t）0，s（s，q，ν，t）<s<s（s，q，ν，t）u（q），s（s，q，ν，t）≤ 其中（s，q，ν，t）=（Vq（s，q，ν，t）- d+）和s（s，q，ν，t）=（Vq（s，q，ν，t）+d-) （10）是战略在购买能源、等待和出售能源之间切换的边界。由于HJB方程是退化抛物线方程，我们几乎没有希望找到解析解，或者证明经典解的存在。对于一个完全信息下的问题，Chen和Forsyth[5]提出了用粘性解证明所有问题的可能性，这是一个弱解的概念，它只需要解的连续性，但仍然足够强，足以证明唯一性，并进一步建立数值实验的基础。关于粘度解的概念，我们请感兴趣的读者参考Crandall等人[9]、Fleming和Soner[11]，以及Barles和Souganidis[2]的数字。允许Ohm, \'S表示封闭的边界Ohm, S、分别。我们从（9）的粘度解的定义开始。定义2.4（粘度溶液）。1.

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2022-5-10 18:54:55

函数w:“”Ohm -→ R是（9）的粘度亚解，如果φt（\'s，\'q，\'ν，\'t）+（L- ρ） φ（\'s，\'q，\'ν，\'t）+supu∈[u（q），u（q）]uφq（\'s，\'q，\'ν，\'t）+F（\'s，\'q，u）≥ 0表示所有（\'s，\'q，\'ν，\'t）∈ Ohm 无论如何∈ C(Ohm) 以至于-φ在w（\'s，\'q，\'ν，\'t）=φ（\'s，\'q，\'ν，\'t）时在（\'s，\'q，\'ν，\'t）达到最大值。函数w:“”Ohm -→ R是（9）的粘性上解，如果ψt（\'s，\'q，\'ν，\'t）+（L- ρ） ψ（\'s，\'q，\'ν，\'t）+supu∈[u（q），u（q）]uψq（\'s，\'q，\'ν，\'t）+F（\'s，\'q，u）≤ 0表示所有（\'s，\'q，\'ν，\'t）∈ Ohm 尽管如此，ψ∈ C(Ohm) 以至于-ψ在w（\'s，\'q，\'ν，\'t）=ψ（\'s，\'q，\'ν，\'t）时达到最小值。w:\'Ohm -→ R是（9）的粘性解，如果它既是粘性子解又是粘性上解。从[25，定理4.3.1]我们知道，值函数V是（9）的粘性解。证明唯一性的标准论据是，两个粘性解在域的边界上相等，在域的内部也相等。然而，我们在q的方向上和在ν的方向上都没有边界条件。由于Q永远不会离开[Q，Q]，如果从内部开始，我们也可以在整个R上定义Q（实际上，我们总是从储能设施容量范围内的值开始）因此，由于Q与Sπ解耦，我们不需要Q方向的边界条件，参见[37，p.429和p.431]。进一步，从[8，推论2.2]我们知道HMM滤波器达到了边界在有限时间内，概率为零。因此，我们可以根据[22，定理II.2和定理II.3以及备注II.4]来论证（9）的粘性解的唯一性。还有待证明，如果（9）有一个光滑解，那么这就是最优值函数。提议2.5。设v是（9）的粘性上解，v∈ 几乎到处都是。

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能者818

2022-5-10 18:55:00

然后V≤ v、此外，如果有一个策略u∈ 使得J（~U）是具有J（~U）的粘性上解∈ Calmost everywhere，那么J（~u）=V，~u是最佳充电策略。证据设φ（s，q，ν，t）：=πD+2e-（s+q+PD）-1i=1νi+r），其中π是半径为1且φn（s，q，ν，t）：=nD+2Z的圆的面积∞-∞. . .Z∞-∞v（s）- r、 q- r、（ν）- RνD-1.- rD+1），t- rD+2）~n（nr）dr。drD+2，其中nr=（nr，…，nrD+2）。为了n→ ∞, ~nn→ v和Lаn→ Lv，见[38]。让u=（ut）t≥这是一个可接受的策略。Thene-ρ（T）-t） ~nn（ST，QT，πt，t）=~nn（s，q，ν，t）+ZTte-ρ（r）-（t）[-ρ~nn（Sr，Qr，πr，r）+~nnr（Sr，Qr，πr，r）+L~nn（Sr，Qr，πr，r）+ur nx（Sr，Qr，πr，r）]dr+Mt，其中（Mt）t≥0是一个鞅。因为v是一个粘性上解，属于Ca.e类，所以它满足-ρv+vt+Lv+F（u）+u vq≤ 0 a.e.，这允许我们选择足够大的-ρ~nn+~nnt+L k n+F（u）+u k nq≤ ε .以我们得到的期望值，q，ν，tE-ρ（T）-t） νn（ST，QT，πt，t）= νn（s，q，ν，t）+Es，q，ν，t中兴通讯-ρ（r）-（t）[-ρ~nn（Sr，Qr，πr，r）+~nnr（Sr，Qr，πr，r）+ρ~nn（Sr，Qr，πr，r）- νnr（Sr，Qr，πr，r）- F（高级、高级、高级）- ur~nnq+ε+ur~nnx（Sr，Qr，πr，r）.作为n-→ ∞ 我们得到，q，ν，tE-ρ（T）-t） v（ST，QT，πt，t）≤ v（s，q，ν，t）- Es，q，ν，t中兴通讯-ρ（r）-t） F（高级、高级、高级）博士由主导收敛和asε>0是任意的。因此，Es，q，ν，tE-ρ（T）-t） v（ST，QT，πt，t）+ Es，q，ν，t中兴通讯-ρ（r）-t） F（高级、高级、高级）博士= Es，q，ν，t中兴通讯-ρ（r）-t） F（Sr、Qr、ur）dr+e-ρ（T）-t） Φ（ST，QT）= J（s，q，ν，t；u）≤ v（s，q，ν，t）。通过占领整个美国∈ [u（q），u（q）]在推导中我们得到V（s，q，ν，t）≤ 数值研究在本节中，我们用数值方法求解HJB方程（9）。本文的重点在于影响能源价格的不可观察因素。由于季节性是可以明显观察到的，这些影响是可以识别的，我们可以假设我们模型中的能源价格已经不受季节性影响。

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2022-5-10 18:55:03

因此，对于数值部分——为了能够识别不可观测因素的影响——weset K（t）≡ 0.我们采用半拉格朗日法和完全隐式时间步进法（见[5，第3节]）以及有限差分法（见[28，第3章，第5.3节]），以获得价值函数的近似值以及最佳收费政策。由于满足[5，第4节]的条件，该方法收敛于HJB方程的粘度解。我们对具有两种状态的马尔可夫链进行了数值研究，即D=2和以下参数集：u=50，u=30，κ=15，σ=50，λ=λ=-0.5，ρ=0.05，T=1年，c=0，d+=d-= 10，cS=0.95，q=0，q=100，Mu=730。图2显示了t=0和ν=0.5的结果值函数和收费策略。最优控制为阈值型，具有两个阈值水平。对于低能源价格，以最高价格购买能源（红色区域）。然后，如果能源价格超过较低的阈值水平，即s的价格≈ 25（取决于q），最佳策略是等待（绿色区域）。如果能源价格进一步超过s的更高阈值水平≈ 45，然后出售Energy（蓝色区域）。对于值函数，我们观察到V在q中增长。因此，存储设备中的能量越多，存储设备的价值就越高。此外，对于中高能源价格，V在s中增长，但如果q也很小，对于低能源价格，V在s中下降。这与最终的控制策略直接相关。

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2022-5-10 18:55:06

对于低能源价格，能源是被购买的，因此，当价格还在购买范围内时，价格上涨会降低价值。此外，请注意，在将图扩展到s的负值时，行为的发展方式与s的小值相同。图2：结果值函数（左）和收费政策（右）。图3显示了t=0和三个不同过滤值的值函数和相关控制，ν∈ {0, 0.5, 1}. 我们观察到，ν越高，值函数越高。这有以下原因。由于u>u，这意味着，如果处于价格过程平均回复水平较高的状态的概率增加，那么储能设施的价值也会增加。对于最优控制，较高的ν意味着较低的阈值水平，即区分购买能源和等待能源的区域（红色区域和绿色区域之间）和较高的阈值水平（绿色区域和蓝色区域之间）向上移动，因此，总的来说，购买面积（红色区域）增加，销售面积（蓝色区域）缩小。这意味着存储经理将购买更多能源，因为她预计能源价格会上涨。之后她可以以更高的价格出售。图3：从上到下增长ν值的价值函数（左）和收费策略（右）。在图4中，我们将t=0，fix q=50，这种影响变得更加明显。虽然价值函数在ν中缓慢增长，但买入等待区域和等待卖出区域之间的水平在ν中增长。因此，对于更高的ν，存储经理将购买更多的能源，因为她希望以后能够以更高的价格出售。注意，增长的ν并不一定意味着所有参数集中的值都在增长。例如，考虑u的情况 u.

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2022-5-10 18:55:09

如果存储水平很低，能源价格很高（约u），那么小的ν意味着价格下降，这样将来人们可以买到更便宜的东西，而增长的ν意味着价格可能会保持较高水平，使充电变得昂贵，从而导致价格下降。这种效应如图5所示，在图5中，我们计算s=u，并比较q=0（红色）和q=100（蓝色）的值函数与ν的关系。对于我们的参数集，对于q=0，V在ν中适度下降。图4：价值函数（左）和收费政策（右）对过滤器的依赖性。图5:q=0（红色虚线）和q=100（蓝色）的值函数。在图6中，我们fix q=50，而ν=0.5。我们观察到，价值函数在t中下降，因为随着t的增长，控制系统从而赚钱的时间就所剩无几了。此外，在规划期结束时，有一个倍增的废品率cS，它放大了这种影响。因为收费政策越来越严格，这意味着购买和等待，以及等待和销售之间的水平下降，以避免罚款。最后，我们将参数集中的规划范围更改为T=3，并将其与T=1 fort=0和ν=0.5的情况进行比较，见图7。对于较长的规划期，对于较小的价格，价值函数尤其高，因为较长的规划期增加了价格增长的机会。这种影响在收费政策方面变得更加明显。对于T=3，下限水平更高，因此将储存更多的能量，以更高的价格出售。

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2022-5-10 18:55:13

此外，对于高q值和不断增长的规划期，更高的阈值水平更高，因此储能经理将开始以更高的价格销售。对于T→ ∞ 价值函数和收费策略将收敛于价值自治的平稳情形。在我们所有的例子中，我们观察到最优控制的候选者达到三种状态，即销售能量状态、等待状态和购买能量状态。（10）中的函数s、s描述了最佳充电率在这些状态之间切换时的临界能源价格。因此，产生的策略是reshold类型。备注3.1。[20，第7节]表明，价值函数是其HJBFigure 6的唯一粘度解：价值函数（左）和收费政策（右）对时间的依赖性。具有固定阈值策略的方程，如果满足弱意义下的凹性条件。在我们的例子中也可以得到相关结果。然后，阈值策略是最优的，如果它们导致一个平滑的奖励函数，请参阅Proposition 2.5。还有待于检查阈值类型的策略是否可以接受。结果策略的可接受性问题归结为基础过程是否存在的问题，或者等价地，描述基础过程的DES系统是否有解决方案的问题。事实证明，这个问题并不简单。记住底层系统dst=κDXi=1uiπit+K（t）- 圣！dt+σdBt，S=S，dQt=u（Qt）1{St≥s（St，Qt，πt，t）}+u（Qt）1{St≤s（St，Qt，πt，t）}dt，Q=Q，dπt=∧>πtdt+σ-1.diag（πt）at- 蝙蝠πtdBt，π=ν。（11）系统（11）的漂移是不连续的，因此我们不能应用第1节中提到的经典理论。因此，我们对这个问题进行了详细的研究。

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2022-5-10 18:55:16

在第4节中，我们考虑一个更一般的设置。4存在唯一性结果我们考虑以下d维时间非均匀SDE:dXt=α（Xt，t）dt+β（Xt，t）dWt，X=X，（12）式中α：Rd×R+-→ Rd，β：Rd×R+-→ Rd×d，W=（Wt）t≥0是d维标准布朗运动。众所周知，如果α和β是（局部）Lipschitz，并且满足线性增长，则存在唯一的全局强解。对于仅α有界且可测量，以及β有界、Lipschitz且一致非退化，即存在一个常数λ>0，使得对于所有x∈ RDV∈ 我们有v>β（x）β（x）>v≥ λv>v，Zvonkin[42]和Veretennikov[35]证明了仍然存在唯一的全局强解。一个推广是Veretennikov[36]，其中β只需要在漂移不是Lipschitz的那些分量中是非退化的。另一个推广是Zhang[40]，其中只需要局部可积漂移。处理连续漂移的第一个想法是用光滑函数近似α，并分析近似极限，参见Krylov和Liptser[16]。Meyer Brandis和Proske[24]利用Malliavin演算的技术证明了漂移仅可测量情况下的进一步存在性和唯一性结果。然而，所有这些结果都如图7所示：价值函数（左）和收费政策（右）用于不断增长的规划期（上面T=1，下面T=3）。严重依赖于非退化扩散系数。对于退化情形，Halidias和Kloeden[13]通过子解和上解的近似，证明了漂移系数增加的SDE的存在唯一性结果。关于退化情况，Leobacher等人最近得出了一个结果。

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2022-5-10 18:55:19

[21]，其中扩散系数需要一致非退化的条件被扩散系数和漂移不连续的超曲面之间几何关系的条件所取代。他们的证明扩展了ideafrom Zvonkin[42]，然而，不要求系数有界，也不要求漂移增加。Leobacher等人[21]考虑时间均匀的SDE。我们将Leobacher等人[21]的结果推广到时间不均匀的情况，在这种情况下，系数的条件可以放宽。Leobacher和Sz"olgyenyi[18]将Leobacher等人[21]的结果推广到一维环境。对于具有不连续漂移和可能退化扩散系数的时间齐次SDE，最普遍的结果是Leobacher和Sz"olgyenyi[19]，这是Leobacher和Sz"olgyenyi[18]对多维SDE的推广。证明d维SDE（12）具有唯一的全局强解等价于证明DXT=α（Xt）dt+β（Xt）dWt，X=（X，0），（13）具有唯一的全局强解，其中α：Rd×R+-→ Rd+1，αi=αifor i=1，d、和αd+1≡ 1，β：Rd×R+-→ R（d+1）×d，其中βij=i的βij，j=1，d、和β（d+1），j≡ 0表示j=1，d、研究系统（13）而不是（12）似乎有点艺术化，但我们希望应用[21]的结果，因此必须将我们的问题融入其中。假设4.1。考虑一个函数f:Rd×R+-→ R（f1）f∈ C3,5,3（R×Rd）-1×R+；（f2）|Fx |>0。在这些假设下，存在e∈ C3,5,3（R×Rd）-1×R+）使得e（f（x，t），x，xd，t）=x，f（e（u，x，…，xd，t），x，xd，t=u。稍后，我们将允许α沿超曲面{（x，t）不连续∈ Rd×R+：f（x，t）=0}。为此，我们定义了α（u，x，…，xd，t）=Ft+dXi=1αi（u，x。

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2022-5-10 18:55:23

，xd，t）Fxi+dXi，j=1（ββ>）ijFxiαi（u，x，…，xd，t）=αi（u，x，…，xd，t），i=2，d+1，^β1j（u，x，…，xd，t）=dXi=1βijFxi，j=1，d，^βij（u，x，…，xd，t）=βij，i=2，d+1；j=1，d，（14）和d^Xt=^α（^Xt）dt+^β（^Xt）dWt，^X=（f（X，t），X，xd，t），（15），其中所有缺少的参数都是（e（u，x，…，xd，t），x，xd，t）。我们做出以下假设：假设4.2。Let（c1）β∈ C1,3,2（R×Rd）-1×R+；（c2）β是指^β是Lipschitz；（c3）f（x，t）·β（x，t）≥ 对于某些常数c和所有（x，t）c>0∈ Rd×R+；（c4）α存在函数α+，α-∈ C1,3,2（R×Rd）-1×R+，使得α（u，x，…，t）=α+（x，x，…，t）如果f（x，t）>0α-（x，x，…，t）如果f（x，t）<0；（c5）α，β满足线性增长，即存在常数c，c≥ 使得k^α（x，t）k+k^β（x，t）k≤ c+ckxk。备注4.3。f和系数α、β的下列条件意味着假设4中的（c2）和（c5）项。2等一下。然而，假设4.1和4.2对系数的限制条件较少（14）。（f3）F对于i=1，…，xi是有界的和Lipschitz，d、存在常数c，c>0，使得kFt（x，t）k≤c+ckxk；（f4）存在常数c，c>0，使得kFxixj（x，t）k≤ 对于所有i，j=1，D（c2’）β是有界的和Lipschitz；（c5’）α满足线性增长，即存在常数c，c≥ 使得kα（x，t）k≤ c+ckxk。备注4.4。假设4.2（c3）是一个关键条件，在退化扩散系数β的情况下，它具有良好的几何解释。这意味着扩散不能平行于漂移不连续的超曲面。我们参考[21]了解更多细节。定理4.5。假设4.1和4.2成立。

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2022-5-10 18:55:27

然后（13）有一个独特的全局强解。关于证明，我们参考附录A.5储能过程的应用。现在，我们应用第4节的结果来证明第2节研究的储能优化问题的阈值策略的可接受性。我们在数值研究中考虑了D=2的情况，以获得更多的直观性，但注意到第4节的结果也可以应用于一般情况。由此产生的策略的可接受性问题归结为基础过程是否存在的问题，或者等价地，描述基础过程的SDE系统是否有解决方案的问题。在第4节的注释中，使用π=1- π、该系统具有以下形式dxt=α（Xt，t）dt+β（Xt，t）dWt，（16）α（Xt，t）=κμπt+u（1- πt）+K（t）- 圣u（Qt）1{St≥s（St，Qt，πt，t）}+u（Qt）1{St≤s（St，Qt，πt，t）}λπt- λ(1 - πt）, β（Xt，t）=σ 0 00 0 0κσ(u- u）πt（1）- πt）0,X=（S，Q，π）>，X=（S，Q，ν）>，W=（B，W，W）>是一个三维标准布朗运动。通过第二节的研究，我们得出最优控制可以达到三种状态，即售能状态、等待状态和购能状态。s、 s描述了最佳充电率在这些状态之间切换时的临界能源价格。为了应用我们的存在唯一性结果，我们需要以下关系：≥ s（St，Qt，πt，t）<=> 圣≥ b（Qt，πt，t），St≤ s（St，Qt，πt，t）<=> 圣≤ b（Qt，πt，t），其中b，b是策略在状态之间切换的结果级别，即切换级别实际上是（q，ν，t）的函数。

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2022-5-10 18:55:31

在图8中，b是绿色和蓝色区域之间的边界，b是绿色和红色区域之间的边界。图8：切换级别b和b。理论上，可以通过应用隐函数定理证明函数b和b的存在，其中关键条件是ss- 1 6= 0,ss- 1 6=0，或等价于（s，q，ν，t）的Vsq6=1∈ R×[q，q]×[0，1]×[0，T]，对于开关电平附近的T=T，Φsq=cS6=1。图9显示了结果值函数V的混合导数。在我们的数值例子中，该条件总是在全球范围内得到满足。图9：混合导数Vsq。存在唯一性证明。现在我们用第4节的结果证明了系统（16）唯一解的存在性。首先，我们定义函数f（s，q，ν，t）=s- b（q，ν，t）和f（s，q，ν，t）=s- b（q，ν，t）。有了这个，我们可以重写系统（16），使α（Xt，t）=κμπt+u（1- πt）+K（t）- 圣u（Qt）1{f（St，Qt，πt，t）≥0}+u（Qt）1{f（St，Qt，πt，t）≤0}λπt- λ(1 - πt）. （17）现在，我们准备检查假设4.1和4.2是否已完成。我们首先检查α是否属于不连续面以外的C1,3,2类（R×（[q，q]×[0，1]）×0，T]）。根据假设K，这是成立的∈ C（[0，T]），由于函数u，u足够平滑。此外，βi，j∈ C1,3,2（R×（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）对于i，j=1,2,3。对于下一个条件，我们必须检查f，f∈ C3,5,3（R×（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）。清晰地Fs=Fs=0。然而，为了满足这个条件，我们还需要b，b∈ C5,3（（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）。此外Fs,Fs= 1.

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kedemingshi

2022-5-10 18:55:34

对于这两个（f，b）而言，非平行性条件都成立是至关重要的∈ {（f，b），（f，b）}:kf（s，q，ν，t）·β（s，q，ν，t）k=k（1，-bq（q，ν，t），-bν（q，ν，t），-bt（q，ν，t））·σ 0 0 00 0 0 0κσ(u- u)ν(1 - ν) 0 0 00 0 0 0k=|σ-κσ(u- u)ν(1 - ν）如果bν（q，ν，t）6=σκ（u），则bν（q，ν，t）|为正-u)ν(1-ν）适用于所有（q，ν，t）∈ [q，q]×（0，1）×[0，T]，其中β是β由零行和零行的延伸。请注意，我们在所有的数值例子中都检查了这个条件，并且一直都是确定的。此外，我们需要^β是Lipschitz，并且线性增长条件适用于^α和^β，如果b，b是有界域上充分光滑的函数，并且因为K通过假设满足线性增长，这两个条件都是完全满足的。提议5.1。如果两者都是b∈ {b，b}，b∈ C5,3（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）和bν（q，ν，T）6=σκ（u-u)ν(1-ν）适用于所有（s，q，ν，t）∈ R×[q，q]×（0，1）×[0，T]，则系统（16）具有唯一的全局强解。证据仍然需要将第4节的结果扩展到两个不连续的情况。由于b，b是不同的，即它们在[q，q]×[0，1]×[0，T]中不相交或收敛，我们可以找到一个超曲面γ∈ C∞此外，由于定理4.5，系统（16）的一个唯一全局强解存在于γ以下区域和γ以上区域。在γ中，上限和下限的系数相同。因此，由于强马尔可夫性，从上到下的解可以粘贴在γ中。因此，由此产生的策略确实是可以接受的。注意，在研究实际观测结果时，我们发现最优值函数是相对不变的w.r.t.b，b的微小变化。

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2022-5-10 18:55:39

因此，我们乐观地认为，我们可以找到C5,3（[q，q]×[0，1]）×[0，T]）函数，这些函数充分接近真实的——可能不太平滑的——切换障碍，从而在这些C5,3（[q，q]×[0，1]）×函数上的策略切换产生非常接近最优的奖励函数。6.展望一方面，我们研究了部分信息下储能设施的优化问题。另一方面，我们已经展示了如何在一般情况下处理由reshold类型的策略控制的过程的唯一性的存在性问题。我们强调，此类SDE出现在广泛的应用数学中。我们将列出我们的结果或[18,19,21]中给出的结果适用的其他领域。库存管理中出现的一个问题是最优库存问题，参见[32]。这里是存储文件L=（Lt）t≥0建模为asdLt=（ut- Dt）Dt，L=`，t∈ [0，T]，其中D=（Dt）T≥0是对库存商品的需求，可以建模为独立于L.ut的扩散过程∈ [0，Mu]是在时间t为库存订购的货物数量，以Mu为界，作为控制。对于得到的阈值型控制，我们的结果需要证明二维过程（L，D）的存在性和唯一性。[3]研究了电力市场上摆动期权的估值。在这里，出现了与第5节类似的SDE：dZt=utdt，Z=0，t∈ [0，T]，其中zt是T.ut时的可用能量量∈ [0，Mu]也是控制权，以Mu为界，它描述了行使期权时购买的能源量，除Z外，还取决于能源价格，参见第5节。在此设置中，控件再次为阈值类型，具有一个阈值级别。

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2022-5-10 18:55:42

因此，我们的结果也可能适用于此。总的来说，我们看到阈值策略出现在应用数学的广泛领域，因此本文给出的结果可能解决了大量问题。存在性和唯一性结果的证明我们希望应用[21]中的结果，其中只考虑时间齐次情况，以证明时间非齐次情况下的存在性和唯一性。在此，时间维度上的条件限制较少。为了证明定理4.5，我们需要根据我们的情况调整[21]中介绍的技术。为此，我们证明了两个引理。首先，我们假设α仅沿{x=0}不连续，即特例f（x，t）=x。对于这种情况（13）和（15）重合。然后，我们试图消除漂移中的不连续性，使剩余系数为局部Lipschitz。为此，我们用G:Rd×R定义了一个变换Z=G（X）+-→ Rd×R+byG（x，…，xd，t）：=（g（x），x+g（x），xd+gd（x），t），然后选择g，以这样的方式Gkxi（0，x，…，xd，t）=δi，kfor i，k=1，d+1。然后G与局部逆H是局部可逆的。因此，我们现在可以考虑变换后的SDEdZt=G（H（Zt））α（H（Zt））+trβ（H（Zt））>G（H（Zt））β（H（Zt））dt+G（H（Zt））β（H（Zt））dWt。（18）引理A.1。让假设4.2保持不变。然后存在函数g，gd:Rd×R+-→ R使得（18）的系数是局部Lipschitz，并且G在{x=0}附近是局部可逆的。下面的证明是建设性的，但请注意，提出的结构不是唯一的。引理A.1的证明。g的构造，GDI的做法与[21]中的类似。对于GConSiderZT=αGx+（β>）G十、dt+dXi=2αiG西德+Gtdt+dXi，j=1（1- δ（i，j））（ββ>）ijGxixjdt+dXi，j=1βijGxidWjt。（19）现在选择seg（x，t）=Zxexp-Zξ2α（s，x，…，xd，t）（ββ>）（s，x。

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能者818

2022-5-10 18:55:45

，xd，t）dsdξ，确保αGx+（β>）Gx全局消失，k>1时，αkGxkare局部Lipschitz自αkis局部有界且G{x=0}上的xkvanishes。此外G这是局部的利普希茨，因为假设4.2的时间维度。（19）第二行中的术语是局部Lipschitz，它来自假设4.2和[21，引理2.7]。对于k>1考虑因素dzkT=αk+αgkx+（β>）gk十、dt+dXi=2αigk西德+gktdt+dXi，j=1（1- δ（i，j））（ββ>）ijgkxixjdt+dXi，j=1βij1 +gkxi这里我们选择k（x，…，xd，t）：=ZxCk（ξ，x，…，xd，t）exp-Zξ2α（s，x，…，xd，t）（ββ>）（s，x，…，xd，t）dsdξ，带ck（ξ，x，…，xd，t）：=-Zξ2αk（η，x，…，xd，t）（ββ>）（η，x，…，xd，t）expZη2α（s，x，…，xd，t）（ββ>）（s，x，…，xd，t）dsdη。这保证了ZK的漂移也是局部的Lipschitz。在时间方向上，我们设置dZd+1t=dt。这就终结了证据。自从H/∈ C2,1（Rd×R+）我们需要证明它的公式仍然适用于一类包含h的函数。引理A.2。让我们来看看γ：D Rd×R+-→ R、 γ∈ C（D），γxixj（x，t）∈ C（D）对于所有i=1，d、 j=2，Dγx（x，t）∈ C（（R×Rd）-1×R+）∩ D），sup{x|x6=0}|γx（x，t）|<∞. 对于It流程Y=（Yt）t≥0，设ζ=inf{t>0 | Yt/∈ D} 。那么不管怎样≥ 0γ（Yt，t）=γ（Y，0）+γs（Ys，s）ds+dXi=1Zt∧ζγyi（Ys，s）dYis+dXi，j=1Zt∧ζγ易yj（Ys）d[Yi，yj]s.证明。这一证明与[21]中的证明是一致的。此外，我们使用的事实是，对于常规It公式，我们只需要γ∈ 时间的方向。现在，我们准备好证明第4节的主要定理。定理4.5的证明。我们从α沿{x=0}不连续的情况开始。

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