约束随机线性二次模型的最优控制

2022-6-10 03:23:29

[22]采用状态分离定理，对一类带乘性噪声系统的约束离散时间随机LQ最优控制问题给出了显式的控制策略。除了这些特殊情况外，所谓的模型预测控制（MPC）方法（例如，见[3][18]）已经很好地建立起来，用于描述近似控制策略。对于求解约束随机LQ控制模型的MPC方法的最新发展，读者可参考文献[20][3][17]进行全面调查。据我们所知，在目前的文献中，研究连续时间约束随机LQ控制问题的解析控制策略的工作很少。虽然可以用一般的最优conFor和经典的离散时间LQ控制模型来建立这类问题的最优性条件，但我们需要解决一系列无约束的凸二次规划问题。trol理论（参见，例如，[23][19]），分析控制策略仅适用于某些特殊的结构化问题。动态平均方差（MV）投资组合选择问题就是其中之一。研讨会工作【24】首先将经典的MV投资组合选择模型扩展到连续时间设置，并使用随机控制方法制定最优投资组合策略。按照这条思路，Li等人[16]解决了无卖空约束（或等效的非负控制约束）的投资组合优化问题。他们将该问题转化为约束LQ控制问题，并通过构造相关Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的粘度解来发展半解析解。基于动态编程，Cui等人。

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2022-6-10 03:23:32

[8] [9]分别在无短路约束和圆锥约束的离散时间模型下开发了此类问题的解决方案。对于约束随机LQ控制问题，Hu等人[13]采用倒向随机微分方程（BSDE）方法来描述具有锥约束控制问题的解析解。最近，Hu等人[12]描述了具有输入约束的LQmean-field博弈的解析解。我们的工作有助于发展约束随机LQ控制问题的控制策略。这项工作的贡献包括几个方面。首先，对于有限时间范围的问题，我们成功地导出了一类具有一般线性约束的随机LQ控制问题的解析解。这种类型的约束超出了[9][13]中考虑的锥约束和[8][16]中考虑的非负约束。我们证明了最优控制策略是状态变量的一个函数，可以通过求解两个Riccati方程来有效地计算。其次，对于时间范围内的问题，我们证明了在一些温和的条件下，可以得到平稳的最优控制策略。当存在平稳控制时，我们还提供了一种算法来识别相关代数Riccative方程的解。最后，我们应用这样一个最优控制模型来解决有约束的动态MV投资组合选择问题。基于realmarket数据，我们还提供了一个示例来说明如何在实际应用中使用我们的solutionmethod。本文的组织结构如下。第2节提供了有限时间和有限时间范围内连续时间约束随机LQ控制问题的基本模型。

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2022-6-10 03:23:35

第3节和第4节分别给出了这两个问题的解析解。第5节致力于推导约束动态MV投资组合选择问题的最优投资政策和有效边界。第6节提供了一些示例，说明如何在实际应用中使用我们的解决方案。最后，第7节对全文进行了总结，并提供了一些进一步的扩展。符号在本文中，我们使用以下基本符号：Rn表示n维实列向量集，Rn×mde表示n×m实矩阵集，R 0（R 0）表示正半定义（正定义）矩阵；0和I分别表示属性维数中的零矩阵（向量）和标识矩阵；1A表示指示器功能，如果条件A为真，则1A=1，否则1A=0。我们使用v（P）来表示任何问题（P）的最优目标值。2问题公式2.1有限时间范围的问题公式在这项工作中，我们考虑以下标量状态线性随机微分方程（SDE），对于∈ [0，T]，dx（t）=A（t）x（t）+B（t）u（t）dt公司+x（t）C（t）+u（t）D（t）dW（t），x（0）=x，（1），其中t是一个有限数，a（t）∈ R、 B（t）∈ Rn，C（t）∈ Rm，D（t）∈ Rn×mare确定性和有界系统矩阵，u（t）∈ Rn是控制向量，x（t）∈ R是系统状态，W（·）是m维标准布朗运动。所有随机性都由一个完整的过滤概率空间建模(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中fti是由W（t）生成的增广σ-代数，它表示在t，t时可用的信息集∈ [0，T]。我们将LF（0，T；Rk）定义为fta适应的平方可积随机过程集，即{Ft}T的集≥满足E[RTkf（t）kdt]的0-自适应随机过程f（t）<+∞.

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能者818

2022-6-10 03:23:38

在下一部分中，我们使用Et[·]表示条件期望E[·| Ft]。我们假设容许控制u（·）是平方可积的，即u（·）∈LF（0，T；Rn）。此外，从实际应用出发，容许控制满足以下控制约束Ut（x（t））=u（t）∈ LF（0，T；Rn）H（t）u（t）≤ d（t）| x（t）|（2）对于t∈ [0，T]，其中H（T）∈ Rk×nand d（t）∈ Rk分别给出了确定性矩阵和向量。为了确保状态x（t）和控制u（t）的可行性的存在，u（t）是所有t的随机变量∈ （0，T），我们假设（2）中给出的不等式应该几乎肯定成立，即对于概率测度为零的情况，不等式的性质无效。为了简化符号，我们在本文中省略了“几乎肯定”一词。控制策略，我们需要以下假设。假设1以下集合，K∈ Rn | H（t）K≤ d（t），H（t）K≤ 0,对于所有t都是非空的∈ [0，T]。不难看出，在假设1下，可行集Ut（x（t））总是非空的。在该模型中，约束集（2）可以自由建模几种类型的控制约束。如果我们设置d（t）=0，H（t）=-一、约束（2）成为非负约束，即u（t）≥ 0、如果weset H（t）=我-我和d（t）=d（t）-d（t）对于所有t，d（t）>d（t）∈ [0，T]在约束（2）中，它等价于上下界约束d（T）| x（T）|≤ u（t）≤ d（t）| x（t）|，对于所有t∈ [0，T]。此外，如果我们将d（t）=0，则约束（2）将成为锥约束。为了制定性能指标，我们引入以下确定性矩阵和向量R（t）∈ Rn×Nw，带R（t） 0，q（t）∈ R带Q（t）≥0和S（t）∈ Rnfor t公司∈ [0，T），分别表示对控件、系统状态和交叉项的惩罚。让qT∈ 带qT的R≥ 0 bethe终端状态的惩罚。

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2022-6-10 03:23:41

这些参数可以用更紧凑的公式Q（t）表示：=R（t）S（t）S（t）q（t）对于t∈ [0，T）.我们提出了连续时间内的无质量约束随机LQ控制问题（ICLQ），如下所示，（PTLQ）min{u（T）}| Tt=0EZT公司u（t）x（t）Q（t）u（t）x（t）dt公司+ E[qTx（T）]s.T.{x（T），u（T）}满意度（1）和（2）。为了解决上述问题，我们需要以下假设。假设2假设Q（t） 0和D（t）D（t） t为0∈ [0，T]。注意，假设2要求矩阵D（t）D（t）是非奇异的。这类假设也适用于连续时间MV投资组合选择问题，该问题要求波动系数σ（t）为非退化（请参考[16][24][13]）。此外，假设2还保证了问题（PTLQ）的凸性。2.2有限时间范围内的问题公式我们还对问题的平稳控制（PTLQ）感兴趣，当时间范围T变为有限时。在这种情况下，我们假设所有系统参数，A（t）、B（t）、C（t）和D（t）表示t≥ 0是时不变的，即A（t）=A，B（t）=B，C（t）=C，D（t）=D表示t≥ 0，其中A、B、C和D是适当维数中的常数矩阵（向量）。系统动态（1）变为dx（t）=Ax（t）+Bu（t）dt公司+x（t）C+u（t）D对于t，dW（t），x（0）=x（3）≥ 对于约束（2），我们还假设所有参数都是常数，即￠Ut（x（t））=u（t）∈ LF（0，∞; Rn）|胡（t）≤ d | x（t）|, （4）对于t≥ 0，其中H∈ Rk×nand d∈ Rnare常数矩阵和向量。与假设1类似，我们提出以下假设以确保约束集的可行性，假设3以下集，K∈ Rn |香港≤ d、香港≤ 0,是非空的。对于代价函数，我们假设所有矩阵都是时不变的，即Q（t）=Q=R SSq对于任何t∈ [0, ∞), 其中R∈ Rn×n，S∈ Rnand q∈ 分别为稀有常量矩阵、向量和标量值。

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2022-6-10 03:23:44

然后，我们考虑以下在有限时间范围内的问题，（P∞LQ）min{u（t）}|∞t=0EZ∞u（t）x（t）Qu（t）x（t）dt公司s、 t.{x（t），u（t）}满意度（3）和（4）。对于问题（P∞LQ），我们需要一个更强的假设，要求Q为正定义，假设4假设Q 0和DD 0.3问题的解决程序（PTLQ）在本节中，我们首先提供了一个重要的定理，该定理描述了我们公式的状态分离特性。然后，我们将此结果应用于求解问题（PTLQ）。3.1状态分离性质为了发展问题的解析解（PTLQ），我们需要以下状态分离定理，它可以被视为[16]中发展的定理的推广。我们引入以下与控制约束Ut（x（t））相关的集合，即，K（t）=nK∈ Rn | H（t）K≤ d（t）o，用于t∈ [0，T]。定理1在任意时间t∈ [0，T]，给定一个矩阵Ohm ∈ Rn×N带Ohm 0和向量ω∈ Rn，假设下列问题的解和最优目标值，（^P）minK∈K（t）KOhmK+2ωK和（(R)P）水貂∈K（t）KOhmK- 2ωK，分别是^K与v（^P）和'K与v（'P）。然后给出了一类α的下列问题的解∈ R、（P（α））分钟∈Ut（α）uOhmu+2αωuisu*(α) =α1{α≥0}^K+|α|1{α<0}\'\'K最佳目标值V（P（α））=αv（^P）1{α≥0}+v（(R)P）1{α<0}. （5）证明。我们首先考虑α的情况≥ 0、引入拉格朗日乘子β≥ 0表示约束H（t）u≤ |α| d（t）在问题（P（α））中，该问题的Karush-KuhnTucker（KKT）条件（例如，见[5]）为，u*= Ohm-1（αω+H（t）β），H（t）u*≤ d（t）α，H（t）u*- αd（t）iβi=0，βi≥ 0，对于i=1，···，k，（6），其中β=（β，···，βk），u*=（u）*, · · · , u*n）以及H（t）u*- αd（t）iis向量H（t）u的第i个元素*- αd（t）对于所有i=1，···，k。同样，我们引入了拉格朗日乘数ρ=（ρ，···，ρn）≥ 0表示问题（^P）。

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2022-6-10 03:23:46

相应的KKT条件如下：，^K=Ohm-1（ω+H（t）ρ），H（t）^K≤ d（t），H（t）^K- d（t）iρi=0，ρi≥ 0，对于i=1，···，k，（7），其中ρ=（ρ，··，ρk），^k=（^k，···，^Kn）和（H（t）^k- d（t））是H（t）^K的第i个元素- d（t）对于所有i=1，···，k。比较两个KKT条件（6）和（7），我们可以使用（7）的解构造KKT条件（6）的解。更具体地说，假设ρ*和^K*解决KKT条件（7）。如果我们让β*= αρ*和u*= α^K，则可以轻松验证该对{u*, β*} 满足KKT条件（6）。也就是说，u*= α^K求解问题（P（α）），最优值为g（u*, α） =α^g（^K）。对于α<0的情况，我们可以采用类似的分析来证明相应的结果。因此，我们省略了细节。2定理1表明，我们可以通过使用问题（^P）和（(R)P）的解来构造问题（P（α））的解。这一结果对于随机动态优化问题具有重要意义。例如，如果α∈ rre表示随机系统中的系统状态（允许正或负），直接解决问题（P（α））很困难，因为α是一个随机变量。然而，通过使用定理1，我们可以分别为^K和'K求解两个确定性优化问题（P）和（'P）o off-line，然后构造问题的解（P（α））。3.2问题解（PTLQ）对于经典的无约束随机LQ控制问题（例如，见[23]），众所周知，对应的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程的解对于系统状态采用二次型，这使我们能够识别解析最优反馈控制律。然而，由于我们的模型（PTLQ）中的限制，传统方法不再适用。此外，相应的HJB方程不再允许光滑解。

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2022-6-10 03:23:51

为了克服这一困难，我们对我们的模型（PTLQ）导出的约束HJB方程采用了偏微分方程粘性解的概念。我们在任何时间t首次定义问题的值函数（PTLQ）∈ [0，T]如下，V（T，x）：=min{u（s）}| Ts=tEtZTt公司u（s）x（s）Q（s）u（s）x（s）ds公司+ qTx（T）s.T。dx（s）=A（s）x（s）+B（s）u（s）ds公司+x（s）C（s）+u（s）D（s）dW（s），x（t）=x，u（s）∈ Us（x（s）），s∈ 【t，t】，根据经典最优控制理论（【23】，【19】），值函数V（t，x）满足以下HJB方程，Vt（t，x）+infu（t）∈Ut（x（t））Vxx（t，x）C（t）C（t）x+2xC（t）D（t）u+uD（t）D（t）u+ Vx（t，x）×A（t）x+B（t）u+用户体验Q（t）用户体验= 0（8），边界条件V（T，x）=qTx。在给出主要结果之前，我们首先介绍两个未知函数^G（t）和^G（t）的以下两个普通微分方程（ODE），如下所示，˙G（t）=-^G（t）C（t）C（t）- 2^G（t）A（t）- q（t）- 水貂（吨）∈K（t）^f（t，K（t），^G（t））（9）˙G（t）=-(R)G（t）C（t）C（t）- 2？G（t）A（t）- q（t）- 水貂（吨）∈K（t）’f（t，K（t），’G（t））（10）终端条件^G（t）=qT和‘G（t）=qT，其中^f（t，K（t），^G（t））表示Vx（t，x），Vt（t，x）和Vxx（t，x）表示值函数V（t，x）的一阶和二阶偏导数。符号˙G（t）表示一些可微分函数G（t）的sdg（t）dt。和'f（t，K（t），'G（t））分别定义如下，^f（t，K（t），^G（t））=K（t）[^G（t）D（t）D（t）+R（t）]K（t）+2^G（t）C（t）D（t）+^G（t）B（t）+S（t）K（t），\'f（t，K（t），\'G（t））=K（t）[\'G（t）D（t）D（t）+R（t）]K（t- 2.\'G（t）C（t）D（t）+\'G（t）B（t）+S（t）K（t）。我们需要ODE（9）和（10）的以下属性。引理1在假设2下，常微分方程（9）和（10）的解满足^G（t）≥ 0和G（t）≥ 0表示所有t∈ [0，T]。证据证明^G（t）≥ 0，我们引入另一个ODE，如下所示，˙^G*（t） =-^G*（t） C（t）C（t）- 2^G*（t） A（t）- q（t）- 水貂（t）^f（t，K（t），^G*（t））（11）其中^G*（t）是未知函数。

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2022-6-10 03:23:54

求解方程（11）右侧的优化问题得到˙G*（t） =-^G*（t） C（t）C（t）- 2^G*（t） A（t）- q（t）-^G*（t） D（t）C（t）+^G*（t） B（t）+S（t）×^G*（t） D（t）D（t）+R（t）-1×^G*（t） D（t）C（t）+^G*（t） B（t）+S（t）. （12）请注意，（9）和（11）之间的区别在于，（11）中没有控制约束。此外，不难看出，方程（12）是经典无约束LQ最优控制模型的相应Riccati方程。众所周知，（12）saties^G的解*（t）≥0对于所有t∈ [0，T]（例如，参见[23]中的第7章）。由于约束集，等式（11）的右侧不大于等式（9）的右侧。因此，它有|˙^G*（t） |≤ |˙^G（t）|对于所有t∈ [0，T]。在两侧进行积分得到0≤^G*（t）≤所有t的^G（t）∈ [0，T]。这个证明同样适用于方程（10）。我们省略了细节。2现在，我们提供了问题的主要结果（PTLQ）。定理2问题的最优控制策略（PTLQ）isu*（t）=^K*（t） x（t）如果x（t）≥ 0-\'\'K*（t）如果t的x（t）<0（13），则为x（t）∈ [0，T]，其中^K*（t）和“K”*（t）定义为，K*（t） =arg水貂（t）∈K（t）^f（t，K（t），^G（t）），（14）(R)K*（t） =arg水貂（t）∈K（t）’f（t，K（t），’G（t）），（15），以及^G（t）和‘G（t）分别在（9）和（10）中定义。此外，问题的最优目标值（PTLQ）为v（PTLQ）=x（0）^G（0）1{x（0）≥0}+(R)G（0）1{x（0）<0}（16）证明。证明的结构如下。

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2022-6-10 03:23:57

我们验证以下值函数V（t，x）=x^G（t）1{x≥0}+(R)G（t）1{x<0}（17）是HJB方程（8）的粘度解，相关的最优反馈控制为，u+（t，x）=^K*（t） x如果x≥ 0,-\'\'K*（t）如果x<0，则为x。（18）用（17）和（18）中的状态变量x（t）代替虚拟变量x，我们可以分别得到问题（PTLQ）的最优控制策略（13）和最优目标值（16）。为了证明（17）是（8）的粘度解，我们首先考虑（t，x）-平面中的区域Φ为，Φ=（t，x）∈ [0，T]×Rx>0.显然，在区域Φ中，值函数（17）变成V（t，x）=x^G（t），这使我们能够计算导数，Vt（t，x）=˙G（t）x，Vx（t，x）=2^G（t）x，Vxx（t，x）=2^G（t）。然后，我们将这些项替换为HJB方程（8）。（8）的左侧（LHS）变为LHS=˙^G（t）x+^G（t）C（t）C（t）x+2^G（t）A（t）x+q（t）x+分钟∈Ut（x）L（x，u，t），（19），其中L（x，u，t）定义为，L（x，u，t）=u^G（t）D（t）D（t）+R（t）u+2倍^G（t）C（t）D（t）+^G（t）B（t）+S（t）u、注意，根据假设2和引理1，它有R（t）+^G（t）D（t）D（t）因此，内部优化问题，minu∈方程（19）中的Ut（x）L（x，u，t）是一个凸优化问题，它允许唯一的最优解。现在我们将定理1应用于这个问题。更具体地说，我们将术语R（t）+^G（t）D（t）D（t），^G（t）C（t）D（t）+^G（t）B（t）+S（t）和x视为术语Ohm, ω和α分别位于问题（P（α））中。因此，在Φ区域，它有x^K*（t） =参数分钟∈Ut（x）L（x，u，t），其中^K*（t）定义见（14）。

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2022-6-10 03:23:59

从（5）中，LHS（19）可以写为，LHS=x˙^G（t）+^G（t）C（t）C（t）+2^G（t）A（t）+q（t）+水貂（t）∈K（t）^f（t，K（t），^G（t））.根据定义（9），其LHS=0，这意味着值函数（17）是区域Φ中HJB方程（8）的解，最优控制策略为x^K*（t）。现在我们考虑（t，x）-平面中的区域Φ为，Φ=（t，x）∈ [0，T]×Rx<0.在此区域中，值函数变为V（t，x）=x'G（t）。我们可以应用区域Φ的类似求解过程来证明值函数V（t，x）=x'G（t）是HJB方程（8）的解，并导出关联的最优控制策略为（18）。细节省略。最后，我们考虑（t，x）-平面中的区域Φ为，Φ=（t，x）∈ [0，T]×R | x=0.V（t，x）的非光滑性就出现在这个区域。但是，对于任何（t，x），值函数V（t，x）仍然是连续的∈ Φ，因为该区域的V（t，x）=^G（t）x=(R)G（t）x=0。此外，V（t，x）在Φ区域的任何点上都存在一阶偏导数，即V（t，x）=Gx=0，Vx（t，x）=2？Gx=0∈Φ. 然而，由于^G（t）6=(R)G（t），二阶偏导数Vxx（t，x）在Φ上的任何点都不存在，这导致V（t，x）的非光滑性。因此，我们需要使用粘度解决方案的框架来克服这一困难。我们遵循[25]和[16]中给出的验证定理的类似想法，证明值函数（17）是HJB方程（8）的粘度解。根据粘度溶液理论（见[23][25]），我们在（t，x）处引入了V（t，x）的二阶超微分和次微分∈ Φ如下所示，D1,2，+t，xV（t，x）={0}×{0}×[^G（t）+∞),D1,2，-t、 xV（t，x）={0}×{0}×(-∞,分别为\'G（t）]。

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2022-6-10 03:24:03

此外，我们为HJB方程（8）定义了以下项，W（t，x，u，p，p）=pC（t）C（t）x+2xC（t）D（t）u+uD（t）D（t）u+ pA（t）x+B（t）u+q（t）x+2xS（t）u+uR（t）u.对于任何（η，p，p）∈ D1,2，+t，xV（t，x）和（t，x）∈ Φ，有η+分钟∈Ut（x）W（t，x，u，p，p）=分钟∈Ut（x）uP D（t）D（t）+2R（t）u≥ 分钟∈Ut（x）u^G（t）D（t）D（t）+2R（t）u= 因此，我们可以看到V（t，x）是HJB方程（8）的粘度亚解。另一方面，对于任何（η，p，p）∈ D1,2，-t、 xV（t，x）带（t，x）∈ Φ，ithas，η+分钟∈Ut（x）W（t，x，u，p，p）=分钟∈Ut（x）uP D（t）D（t）+2R（t）u≤ 分钟∈Ut（x）u(R)G（t）D（t）D（t）+2R（t）u= 0，这表明V（t，x）是HJB方程（8）的粘度上解。总的来说，我们可以得出（17）中给出的值函数V（t，x）是HJB方程（8）的粘度解，终端条件V（t，x）=qTx。注意，对于任何（t，x）∈ Φ，取（η*（t，x），p*（t，x），P*（t，x））=（0，0，^G（t））∈ D1,2，+t，xV（t，x）和u+（t，x）=0，它有η*（t，x）+W（t，x，u+（t，x），p*（t，x），P*（t，x））=0。Chp中可以找到二阶辅助和次级辅助的详细定义。5在参考文献【23】中，可在【23】中找到下解和上解的定义。因此，根据[25]定理3.1中的验证定理，我们得出表达式（18）中定义的u+（t，x）是最佳反馈控制。2在定理2中，两个Raccati方程（9）和（10）的作用与由经典无约束连续时间随机LQ控制问题导出的单个Riccati方程相同。如果没有约束Ut（x（t）），这两个方程将合并为一个方程，这是从经典LQ控制问题生成的方程。

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大多数88

2022-6-10 03:24:06

为了求解方程（9）和（10），通常我们需要使用数值方法，因为对于一般线性约束，这两个方程中的内部优化问题都没有解析解。更具体地说，我们可以将时间范围[0，T]离散为一些离散时间点。然后，根据这些离散的样本周期，我们用差分公式近似这两个方程。在任何固定时间内，我们都可以解决内部优化问题并实现这些方程的求解。4问题的最优解（P∞LQ）在这一节中，我们着重于为问题（P∞LQ）。主要思想如下。我们首先研究具有有限视界的关联问题，然后通过将时间视界扩展到有限视界来研究渐近性能。用有限视界T，（AT）min{u（T）}Tt=0E引入以下辅助问题ZT公司u（t）x（t）Qu（t）x（t）dt公司（20） s.t。dx（t）=Ax（t）+Bu（t）dt公司+x（t）C+u（t）DdW（t），x（0）=x，u（t）∈Ut（x（t）），t∈ [0，T]。显然，如果我们将问题（PTLQ）中的所有参数设置为时不变常数并将qT设置为0，那么问题（AT）只是问题（PTLQ）的一个特例。为了研究不同时间范围长度下问题（AT）的性质，我们引入符号^G（t；t）和'G（t；t），分别表示在时间范围为且终端条件为'G（t；t）='G（t；t）=0时ODE（9）和（10）的输出（解）。根据定理2，辅助问题（AT）的最优目标值可以表示为，v（AT）=x^G（0；T）1{x≥0}+(R)G（0；T）1{x<0}. （21）我们可以看到问题（AT）的最优值是x^G（0；T）或x'G（0；T），这取决于初始状态x的符号。

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可人4

2022-6-10 03:24:09

此外，输出^G（t；t）和'G（t；t）具有以下特性。引理2考虑τ>0的问题（AT）和（AT+τ）。设{G（t；t），\'G（t；t）}和{G（t；t+τ），\'G（t；t+τ）}分别是这两个问题在时间t时常微分方程（9）和（10）的解。对于任何t，它有^G（t；t）=^G（t+τ；t+τ）和'G（t；t）=G（t+τ；t+τ∈ [0，T]。通过将定理2应用于问题（AT）和（AT+τ），可以很容易地验证引理2。引理2表明，输出^G（t；t）和'G（t；t）是时间齐次的，也就是说，这两个函数，^G（t；t）和'G（t；t）仅取决于时间差- t、引入以下集合▄K：={K∈ Rn |香港≤ d}，它与约束集▄Ut（x（t））关联。然后我们给出问题的主要结果（P∞LQ）。定理3对于辅助问题（AT），如果任意T的^G（0；T）和'G（0；T）的统一上界M>0，则存在极限^G*> 0和'G*> 0，使^G*= 限制→∞^G（0；T）和'G*= 限制→∞\'G（0；T）。此外，^G*和'G*满足以下方程式，0=-^G*科科斯群岛- 2^G*A.- q- 水貂∈~K^f（K，^G*), (22)0 = -\'\'G*科科斯群岛- 2？G*A.- q- 水貂∈K'f（K，'G*), （23）其中^f（K，^G*) 和f（K，’G*) 定义为，^f（K，^G*) =K^G*DD+RK+2^G*镉+^G*B+SK、（24）’f（K，’G*) =K\'\'G*DD+RK- 2.\'\'G*镉+(R)G*B+SK、（25）分别。最优控制策略u*（t）对于问题（P∞LQ）智能开关单元*（t）=^K*x（t）如果x（t）≥ 0-\'\'K*x（t）如果x（t）<0（26）且有^K*和“K”*给出人，^K*= arg水貂∈~K^f（K，^G*) （27）千*= arg水貂∈K'f（K，'G*). （28）此外，问题的最优目标值（P∞LQ）由v（P）给出∞LQ）=x（0）^G*{x（0）≥0}+(R)G*{x（0）<0}. （29）此外，在平稳最优控制策略（26）下，闭环系统（3）是L-渐近稳定的，即limt→∞E[（x*（t））]=0。证据我们首先表明，随着时间范围T的增加，问题的最优目标值（AT）不会减少。

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2022-6-10 03:24:13

我们假设策略▄u（·）解决了问题（AT+τ），而▄x（·）是相关的状态轨迹，这导致了以下不等式，v（AT+τ）=EZT+τ~u（t）~x（t）Q~u（t）~x（t）dt公司≥ EZT公司~u（t）~x（t）Q~u（t）~x（t）dt公司≥ v（AT），（30），其中最后一个不等式来自以下事实，即截断策略u（t）| Tt=0只是问题（AT）的可行策略。根据表达式（21）和（30），它有^G（0；T+τ）≥^G（0；T）和'G（0；T+τ）≥\'G（0；T）。因此，很难看出^G（0；T）和^G（0；T）都不会随着T的增加而减少。当存在统一的上界M，使得任何T的^G（0；T）<M和‘（0；T）<M时，非减量序列^G（0；T）和‘（0；T）将随着T的进入而收敛。接下来，我们证明极限^G*和'G*满足方程式（22）和（23）。介绍t的以下方程式∈ [0, ∞):˙^G+（t）=-^G+（t）CC- 2^G+（t）A- q- 水貂∈K^ft、 K，^G+（t）, （31）G+（t）=-\'G+（t）CC- 2？G+（t）A- q- 水貂∈K'ft、 K，\'G+（t）, （32）式中，^G+（0）=0和^G+（0）=0，其中^f（t，K，^G+（t））和^f（t，K，G+（t））定义如下，^f（t，K，G+（t））=K^G+（t）DD+RK+2^G+（t）CD+^G+（t）B+SK、 \'f（t，K，\'G+（t））=K(R)G+（t）DD+RK- 2.\'G+（t）CD+\'G+（t）B+SK、根据引理2，对于任何T>0，我们得到以下结果，^G（T；T）=^G+（T- t），\'G（t；t）=\'G+（t- t），对于t∈ [0，T]。在上述方程式中取t=0，则得出t的^G（0；t）=^G+（t），(R)G（0；t）=G+（t≥ 也就是说，研究^G（0；T）和'G（0；T）相对于T的渐近性质等同于研究^G+（T）和'G+（T）相对于T的渐近性质。由于存在^G（0；T）和^G（0；T）的极限，因此它具有极限→∞˙^G+（t）=0和极限→∞G+（t）=0。因此，等式（31）和（32）分别变为（22）和（23）。最后，我们证明了闭环系统（3）在平稳最优策略u下是渐近稳定的*（t）。

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2022-6-10 03:24:16

当x（t）时≥ 0，将[7]中的公式（9）应用于以下具有平稳最优策略（26）的表达式，dx（t）=2A+CC+2（B+CD）^K*+ （^K*)DD^K*×x（t）dt+（2C+2（^K*)D） x（t）dW（t）。根据上述SDE的预期得出todE【x（t）】dt=^N（^K*)E[x（t）]其中^N（K）=2A+CC+2（B+CD）K+（K）DDK.将上述方程与（22）的产率进行比较，G*^N（^K*) = -[q+（^K*)R^K*+ 2S^K*]= -^K*Q^K*.从Q0和G*>0，我们得到^N（^K*) < 0，这将进一步导致→+∞E[x*（t） {x*（t）≥0}] = 0.类似地，当x（t）<0时，我们可以证明*) < 0，带N（K）=2A+CC- 2（B+CD）K+（K）DDK.在这种情况下，它有限制→+∞E[x*（t） {x*（t） <0}]=0。总的来说，它有局限性→+∞E[x*（t） ]=0，这就完成了证明。2在定理3中，我们可以使用数值方法来求解方程（22）和（23）。定义与方程式（22）和（23）相关的以下函数，^F（^G）=-^GCC- 2^GA- q- 水貂∈~K^f（K，^G），（33）f（\'G）=-“”GCC- 2英寸GA- q- 水貂∈K'f（K，'G）。（34）显然，解方程^F（^G）=0和'F（'G）=0提供了解^G*和'G*. 我们以方程（22）为例来说明牛顿迭代法的主要思想。设^Gk>0为第k次迭代的解，梯度为^F（^Gk）。请注意，以下方程式y-^F（^Gk）=^F（^Gk）（z-^Gk），描述了通过点（^Gk，^F（^Gk））的直线与坡度{y，z}空间中的^F（^Gk）。该方程是原始方程^F（^G）=0在点^Gk处的线性近似值。让y=0给出这条线与0的交点，并为我们提供下一次迭代的解，^Gk+1=^Gk-^F（^Gk）/^F（^Gk）。方程^F（^G）=0的解可以通过重复此过程获得，直到满足某些标准。我们在算法1中总结了此过程。

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大多数88

2022-6-10 03:24:19

上述程序可通过将^F（^G）替换为‘‘F（’G）来简单修改方程式（23）。5动态均值-方差投资组合选择中的应用在本节中，我们使用第3节中提供的求解方法来解决经过训练的动态MV投资组合选择问题。我们考虑一个有n项风险资产和一项无风险资产的金融市场。无风险资产的价格为S（t），由以下等式决定：，dS（t）=r（t）S（t）dt，t∈ [0，T]，S（0）=S>0，^F（^Gk）的梯度可近似为，^F（^Gk）≈^F（^Gk+)-^F（^Gk）对于某些数字.算法1（22）的迭代解法要求：参数A、B、C、D、R、S和q、初始解^G+、参数 > 0和最大迭代次数Imax。确保：1：让k← 0，^Gk←^G+；2：计算^F（^Gk）；3：如果（|^F（^Gk）|<), 停止，返回溶液^Gk；否则进入下一步；4：计算^F（^Gk）和^Gk+1=^Gk-^F（^Gk）/^F（^Gk）5:k→ k+1，如果k>Imax，则转到下一步，否则转到步骤2；6：未能找到方程（22）的解。其中，r（t）>0是无风险回报率。n项风险资产的价格满足SDE，dSi（t）=Si（t）{ui（t）dt+Pnj=1σij（t）dWj（t）}，Si（0）=Si>0，其中ui（t）>0和σij（t）分别是升值率和波动系数。Letu（t）：=u（t），···，un（t）和σ（t）：=σ（t）··σ1n（t）··σn1（t）··σnn（t）,对于所有t∈ [0，T]。我们假设r（t）、u（t）和σ（t）是时间的确定性函数，并且它们对t有界∈ [0，T]。我们还假设以下非退化条件适用于某些常数δ>0，σ（t）σ（t）≥ δI，t∈ [0，T]。投资者以初始财富X进入市场，并在投资期内持续分配该财富【0，T】。

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可人4

2022-6-10 03:24:23

时间t的总财富表示为x（t），投资组合决策向量表示为u（t）：=u（t），···，un（t）,这表示财富在n项风险资产中的分配。财富水平x（t）根据以下SDE演变（例如，见Zhou等人【24】），dx（t）=r（t）x（t）+b（t）u（t）dt+u（t）σ（t）dW（t），t∈ [0，T]，x（0）=x>0，（35），其中b（T）：=b（t），···，bn（t）=u（t）-r（t），···，un（t）-r（t）是excessreturn速率向量。我们还假设以下条件成立。假设5存在一些i*∈ {1，···，n}这样bi*（t） >0。假设5表示，一些风险资产的回报率应该高于无风险资产的回报率，这在现实市场中是合理的。基于实际投资中的限制，我们考虑投资组合决策向量H（t）u（t）的以下约束≥ 0，t∈ [0，T]，（36），其中H（T）∈ Rk×nis t的确定性矩阵∈ [0，T]。上述约束称为凸锥约束，其中包括各种投资组合约束作为其特例，例如无卖空约束（[16]）。在下面的部分中，我们使用Var[x]：=E[（x- E[x]]表示某个随机变量x的方差。投资者采用以下动态MVportfolio决策模型来指导其投资，（MV）：min{u（t）}| Tt=0Var[x（t）]+中兴通讯[u（t）R（t）u（t）]dt（s.t.）E[x（t）]=d{x（t），u（t）}满意度（35）和（36），其中d是预期的最终财富水平。通常，我们设定d>xeRTr（s）ds，即目标预期终端财富应大于通过将所有资产投资到无风险账户获得的财富。在模型（MV）中，惩罚项u（t）R（t）u（t）用于控制风险资产中的风险敞口。

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2022-6-10 03:24:26

值得一提的是，我们的模型比当前文献中研究的模型更一般，例如，工作[16]只涉及无卖空约束，而[13]没有考虑模型中的惩罚项u（t）R（t）u（t）。为了解决问题（MV），我们首先将其重新表述为LQ控制问题（PTLQ）的特例。我们利用了Li等人介绍的嵌入技术。[15] 克服动态规划意义上方差项不可分离的困难。我们在[16]中考虑了以下辅助问题（dMV（λ）），需要一些额外的假设，例如，对于所有i=1，···，n，他们假设ui（t）>r（t）。这个假设对于获得他们的结果至关重要。然而，在我们的模型中，我们可以将这种假设放宽到假设5。通过引入拉格朗日乘子λ∈ 对于约束E[x（T）]=d，（dMV（λ））：min{u（T）}| Tt=0E[（x（T）- λ） ]+中兴通讯[u（t）R（t）u（t）]dt- (λ - d）（s.t.）{x（t），u（t）}满意度（35）和（36）。我们将贴现系数定义为ρ（t）：=e-RTtr（s）DST∈ [0，T]并将新的状态变量z（T）构造为z（T）：=x（T）- λρ（t）。替换（dMV（λ））中的状态变量会产生以下问题，（MV（λ））：min{u（t）}| Tt=0E[z（t）]+ZTE[u（t）R（t）u（t）]dt（s.t.）dz（t）=r（t）z（t）+b（t）u（t）dt+u（t）σ（t）dW（t）。显然，通过设置a（t）=r（t），B（t）=B（t），C（t）=0n×1，D（t）=σ（t），q（t）=0，S（t）=0n×1，这个问题是问题（PTLQ）的特例∈ [0，T）和qT=1。因此，与方程（9）和（10）类似，我们为两个未知函数^Gmv（·）引入以下两个常微分方程：R→ R和？Gmv（·）：R→ R、 ˙^Gmv（t）=-2^Gmv（t）r（t）- 水貂：H（t）K≥0^fmv（t，K，^Gmv（t）），˙Gmv（t）=-2’Gmv（t）r（t）- 水貂：H（t）K≥0'fmv（t，K，'Gmv（t）），其中^Gmv（t）=Gmv（t）=1，且^fmv（t，K，G）=2Gb（t）K+KGσ（t）σ（t）+R（t）K、（37）(R)fmv（t，K，G）=-2Gb（t）K+KGσ（t）σ（t）+R（t）K

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何人来此

2022-6-10 03:24:29

（38）此外，函数^Gmv（·）和'Gmv（·）具有以下特性。任何t的引理1∈ [0，T]，下列不等式成立，^Gmv（T）ρ（T）≤ 1，（39）(R)Gmv（t）ρ（t）<1。（40）证明。我们首先考虑^Gmv（t）。由于K（t）=0是^fmv（t，K（t），^Gmv（t））的可行解，我们得到，minK（t）：H（t）K（t）≥0^fmv（t，K（t），^Gmv（t））≤^fmv（t，0，^Gmv（t））=0。因此，它有˙Gmv（t）≥-2^Gmv（t）r（t）导致以下不等式，ZTt^Gmv（t）d^Gmv（t）≥ -ZTt2r（s）ds=> 1.-^Gmv（t）e-2RTtr（s）ds≥ 0，同样，我们可以证明1-(R)Gmv（t）ρ（t）≥ 0。现在，我们显示1-(R)Gmv（t）ρ（t）6=0。如果1-\'Gmv（t）ρ（t）=0，它有，minH（t）K（t）≥0'fmv（t，K（t），'Gmv（t））=0，这与事实minh（t）K（t）相矛盾≥根据表达式（38）和假设5，0’fmv（t，K（t），’Gmv（t））<0。2注意，在引理1中，严格不等式只适用于（40）。这一结果在接下来的部分中起着重要作用。以下结果描述了问题（MV）的解决方案。定理4问题（MV）的相关最优投资组合策略由u给出*（t） =（^Kmv（t）（x（t）- λ*ρ（t））如果x（t）- λ*ρ（t）≥ 0,-(R)Kmv（t）（x（t）- λ*ρ（t））如果x（t）- λ*ρ（t）<0，（41），其中^Kmv（t）=arg minK:H（t）K≥0^fmv（t，K，^Gmv（t）），（42）Kmv（t）=arg貂：H（t）K≥0'fmv（t，K，'Gmv（t））。（43）此外，最优拉格朗日乘子λ*is，λ*=d- x？Gmv（0）ρ（0）1-(R)Gmv（0）ρ（0）。（44）证明。应用定理2，我们得到了任意fixλ，u的问题的最优策略（MV（λ））*（t） =（^Kmv（t）z（t）如果z（t）≥ 0,-如果z（t）<0，Kmv（t）z（t）。（45）剩下的任务是确定最佳拉格朗日乘子λ*. 从定理2，不难得出任意fixλas，v（MV（λ））的问题（MV（λ））的最优值=^Gmv（0）（x- λρ(0))- (λ - d）如果x（0）- λρ(0) ≥ 0，’Gmv（0）（x- λρ(0))- (λ - d）如果x（0）- λρ（0）<0，则最佳拉格朗日乘子λ*可通过最大化λ来识别*= 最大λ∈Rnv（MV（λ））。

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大多数88

2022-6-10 03:24:32

根据（39）和（40），我们发现v（MV（λ））是关于λ的分段凹函数。因此，最佳拉格朗日乘子λ*可导出为（44）。通过将（45）中的z（t）替换为x（t）来实现最优投资组合决策（41）。2通常，投资者对中等效率前沿感兴趣，即预期最终财富d的平行预测集和相关的最小方差Var【x（T）】。替换λ*返回到v（dMV（λ）），得到MV有效前沿的半解析表达式，如下所示，Var[x*（T）]=v（dMV（λ*) -中兴通讯[（u*（t））R（t）u*（t） ]dt=(R)Gmvρ（0）1-(R)Gmvρ（0）E[x*（T）]- xρ（0）-中兴通讯[（u*（t））R（t）u*（t） ]dt，带E[x*（T）]≥ xρ（0）-1、注意，第二项可以在计算完所有的“Kmv（t）和^Kmv（t）后，通过Monte Carlo模拟方法进行评估。6说明性示例在本节中，我们提供了示例来说明前面章节中针对问题（PTLQ），（P∞LQ）和（MV）。例1我们考虑问题（PTLQ）的一个例子，其参数设置与[7]中给出的参数相同，即系统参数为，A（t）=0.2，我们将系统矩阵归一化为0.1。B（t）=(-5.-10、20）、C（t）=(-0.84, -3.78、0.849）和D（t）=6.85 11.22 -1.98-8.78 13.24 -5.440.68 14.53 -2.32,对于t∈ [0，T]。成本矩阵areR（t）=3.0 0 00 5.0 00 0 4.0, S（t）=0.10.40.5对于t，q（t）=10∈ [0，T），qT=0。控制范围为T=0.1。我们考虑以下上界和下界控制约束，d（T）| x（T）|≤ u（t）≤\'d（t）| x（t）|，其中d（t）=[-0.2, -0.2, -0.2]和'd（t）=[0.5，0.5，0.5]表示t∈ [0，T]。利用定理2，我们可以得到问题的最优控制（PTLQ）asu*（t） =^K*（t） x（t）1{x（t）≥0}-\'\'K*（t） x（t）1{x（t）<0}，其中^K*（t）和“K”*（t）如图1所示。

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2022-6-10 03:24:35

此外，时间t的值函数是v（t，x（t））=^G（t）x（t）{x（t）≥0}+’G（t）x（t）{x（t）<0}，其中^G（t）和‘G（t）如图2所示。然后，我们将控制范围扩展到T=∞ 考虑控制问题（P∞LQ）。根据定理3和算法1，我们可以识别^G*=0.7191和'G*= 1.2032. 相关的平稳最优控制为u∞（t） =^K*x（t）1{x（t）≥0}+(R)K*x（t）1{x（t）<0}，对于所有t∈ [0, ∞), 其中^K*和“K”*由，^K给出*=0.38150.2032-0.2000和“K”*=-0.2000-0.20000.1689.注意，方程（22）和（23）是否允许解取决于系统参数和约束。图3分别绘制了（33）和（34）中定义的函数^F（^G）和'F（'G），例如1。基于上述参数，我们发现方程^F（^G）=0和'F（'G）=0允许解，^G*= 0.7191和¨G*= 1.2032.（例如，用圆圈标记的线）但是，如果我们将t的约束更改为d（t）=[0.2，0.2，0.2]和d（t）=[0.8，0.8，0.8]∈ [0，T]，函数^F（^G）和'F（'G）都不接受解，由'绘制*’ 如图3所示。例2我们考虑第5节中研究的MV投资组合选择模型的一个示例。我们使用了美国六个工业部门的财务指数0.02 0.04 0.06 0.08 0.1time-0.200.20.40 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1time-0.200.2Fig。1、反馈增益^K*（t）和“K”*（t） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1时间00.20.40.60.8图。2.

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能者818

2022-6-10 03:24:38

将^G（t）和^G（t）股票市场作为风险资产的解决方案，即玩具和娱乐、通信、造船、煤炭、黄金和工业采矿等部门。根据2008年1月至2013年12月的月度回报历史数据，我们可以估计平均回报率和波动率的参数，例如，这些行业指数的详细说明和历史数据是否可以从http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/Data_Library/det_48_ind_port.html.00.5 1 1.5 2-20-1001020溶液存在无溶液0.5 1 1.5 2-20-1001020溶液存在无溶液图。3、函数^F（^G）和'F（'G）为所有t设置u（t）=u和σ（t）=σ∈ [0，T]带u=0.0321 0.0123 0.0217 0.0217 0.0282 0.0146和‘∑=0.0845 0.0062 0.0166 0.0069 0.0087 0.00680.0062 0.0327 0.0148 0.0124 0.0067 0.00540.0166 0.0148 0.0589 0.0271 0.0204 0.00880.0069 0.0124 0.0271 0.1015 0.0215 0.05010.0087 0.0067 0.0204 0.0215 0.0609 0.01200.0068 0.0054 0.0088 0.0501 0.0120 0.1313与[16]中研究的MV投资组合模型不同，在该模型中，所有风险资产都施加了无卖空约束，我们的模型允许仅对部分资产施加无卖空约束，即我们将无卖空约束设置为，u（t）≥ 0，u（t）≥ 0，u（t）≥ 0和u（t）≥ t为0∈ [0，T]。剩余资产没有约束，即u（t）和u（t）没有约束。这些约束可以很容易地用矩阵公式h（t）u（t）表示≤ 0，即通过将H（t）的对角线元素设置为-1除第一个和第五个元素外，并将所有其他元素设置为0。我们还认为有一种无风险资产，月回报率为0.25%。投资者以初始财富x=100进入市场，并希望在T=12个月的投资期限内达到预期的最终财富水平d=130。

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2022-6-10 03:24:41

我们还包括R（t）=10的投资组合惩罚矩阵-所有t的2I∈ [0，T]。根据定理4，我们可以计算最佳拉格朗日乘子as024681012-4-20246810024681012-0.200.20.40.60.811.2Fig。4、^Kmv（t）和'Kmv（t）λ的输出*= 189.78，最优投资组合政策为，u*（t）=^Kmv（t）x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）如果x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）≥ 0,-(R)Kmv（t）x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）如果x（t）- 189.78×e0.0025（t-T）<0。其中，图4中绘制了t的^Kmv（t）和'Kmv（t）∈ [0，T]。我们使用买入并持有投资组合政策作为基准，即我们将总T=12个月视为一期静态MV投资组合选择模型。所有约束和参数的设置都与我们的动态MV portfolioselection模型（MV）相同。解决这一问题为我们提供了买入并持有投资组合的政策。图5描绘了我们的模型（MV）生成的财富过程的实现情况以及价格过程相同样本路径的静态基准。图5显示，我们的模型的性能优于staticbenchmark模型。为了比较这两个模型的性能，我们在图6中绘制了两个模型的最终财富x（T）的平均方差系数前沿。有效前沿描述了Mean02468101280901001101020130我们的动态MVClassic静态MVRisk free returnFig的Parato最优集。5、已实现财富过程0 5 10 15 20 25 30105110115120125130135图。6、财富的有效边界和标准差。图6显示，对于相同的预期终端财富水平，我们的动态MV投资组合政策实现的风险水平低于静态MV投资组合政策。7结论本文给出了连续时间约束随机LQ控制问题的显式解。

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能者818

2022-6-10 03:24:44

我们的模型包括控制变量和状态变量的一般线性约束，它能够建模各种控制约束，例如正约束和负约束、约束和状态相关的上限和下限约束。这类问题的结构性质有助于我们发展控制策略的状态分离结果，这在本例中起着关键作用，有效边界按以下方式绘制。我们改变预期的终端财富水平d，并计算相应的最优投资组合。一旦我们有了投资组合，我们就可以计算最终财富的标准差。显式控制策略。我们还将我们的结果扩展到了具有内部控制水平的问题。在一定条件下，可以实现平稳最优控制策略。这些结果已应用于动态约束均值方差投资组合选择问题。未来一个可能的研究是将我们的结果推广到以部分矩为目标函数的随机控制问题，该问题在投资组合管理中有着广泛的应用，如平均下行风险投资组合优化模型。参考文献【1】B.D.O.Anderson和J.B.Moore。最优控制：线性二次法。多佛出版公司，纽约Mineola。[2] A.Bemporad、M.Morari、V.Dua和E.N.Pistikopoulos。约束系统的显式线性二次型调节器。《自动化》，38（1）：2002年3月20日。[3] D.Bernardini和A.Bemporad。随机约束线性系统的镇定模型预测控制。IEEE Trans。自动复制。《控制》，57（6）：1468–14802012年。[4] J.M.铋。具有随机系数的线性二次型最优随机控制。暹罗J.控制优化。，14(3):419–444, 1976.[5] S.Boyd和L.Vandenberghe。凸优化。剑桥大学出版社，2004年。[6] S.L.坎贝尔。

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2022-6-10 03:24:47

关于正控制器和线性二次型最优控制问题。Internat公司。J、《控制》，36（5）：885–8881982年。[7] X.陈和X.Y.周。有限时间范围内带圆锥控制约束的随机线性二次控制。暹罗J.控制优化。，43(3):1120–1150, 2004.[8] 崔晓勇、高俊杰、李晓勇和李德胜。无卖空约束下的最优多期均值方差策略。欧元J、操作。第234（2）号决议：459–4682014年。[9] 崔世友、李德明和李克明。离散时间约束市场的均值-方差策略：效率和最小方差的一致性签名的超鞅测度。数学《金融》，27（2）：471–5042017。[10] 高俊杰（J.J.Gao）和李德军（D.Li）。基数约束线性二次型最优控制。IEEE Trans。自动复制。《控制》，56（8）：1936-19412011。[11] W.P.Heemels、S.V.Eijndhoven和A.A.Stoorvogel。具有正控制的线性二次调节器问题。Internat公司。J、控制，70（4）：551–5781998。[12] 胡耀辉、黄建华和聂天勇。具有异质输入约束的线性二次高斯混合平均场对策。2017年提交申请。[13] 胡勇和周小燕。具有随机系数的约束随机lq控制及其在投资组合选择中的应用。暹罗J.控制优化。，44(2):444–466, 2005.[14] R·E·卡尔曼。对最优控制理论的贡献。Bol。Soc。小地毯墨西哥，5（63）：102–1191960。[15] D.Li和W.L.Ng。最优动态投资组合选择：多周期均值方差公式。《数学金融》，10:387–4062000。[16] 李学友、周学友和林爱培。无卖空约束的动态均值-方差投资组合选择。暹罗J.控制优化。，40(5):1540–1555, 2002.[17] A.梅斯巴。随机模型预测控制：综述和未来研究展望。IEEE控制系统，36（6）：30–442016。[18] P.Patrinos、P.Sopasakis、H.Sarimveis和A.Bemporad。

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