第二，我们想讨论在实践中对区块数量的选择。互补模拟结果可在Clinet和Potiron（2018b）中找到。5.2模型设计我们对M=1000天的高频观测进行蒙特卡罗模拟，其中相关的地平线时间设置为T=1/252（即年化）。一个工作日代表6.5小时的交易活动，也可以表示为23400秒。有关该模型的详细信息，可以在以前版本的手稿中找到，该手稿以“估计高频数据中局部参数模型的综合参数”为名分发。我们考虑三种高频采样频率场景：每秒、每隔一秒和每三秒。我们执行局部QMLE，块数从Bn=1（即全局QMLE情况）到Bn=20不等。在1秒采样频率的情况下，每个区块的相应观察次数从hn=1170到hn=23400不等；如果我们每隔一秒采样，则从hn=585到hn=11700不等；当每三秒进行二次采样时，则从hn=390到hn=7800不等。

请注意，考虑到全球QMLE的有限样本性能，每个区块的最小观测次数仍然合理（见秀（2010）中的数值研究）。我们提出了具有U型日内季节性成分和波动率跳跃的Heston模型，即dxt=bdt+σtdWt，σt=σt-,Uσt，SV，其中σt，U=C+Ae-at/T+De-c（1）-t/t）- βστ-,U{t≥τ} ，dσt，SV=α（°σ- σt，SV）dt+Δσt，SVd’Wt，其中参数设置为b=0.03，C=0.75，A=0.25，D=0.89，A=10，C=10，波动率跳跃大小参数β=0.5，波动率跳跃时间τ遵循[0，t]上的均匀分布，α=5，\'σ=0.1，δ=0.4，\'Wt是一个标准布朗运动，因此dhW，\'W it=φdt，φ=-0.75，σ0，sv从参数的伽马分布（2α′σ/δ，δ/2α）中取样，该分布对应于CIR过程的平稳分布。有关更多参考，请参见Clinet和Potiron（2018b）。该模型与Andersen等人（2012）的模型几乎相同。最后，假设噪声以零均值和常数方差v集正态分布，因此噪声与信号之比定义为ξ=aqTRTσudu（61）等于ξ=0.0001.5.3结果表1报告了局部拟最大似然波动率估值器的样本偏差、标准差和RMSE。块的数量从对应于全局QMLE的Bn=1到Bn=20不等。无论采样频率如何，数值实验结果都非常相似。样本偏差非常小（偏差与标准偏差之比大小约为0.03），随着块数的增加而增加，同时保持非常小的偏差，所有这些都表明在实践中不需要使用局部QMLE的偏差校正。标准偏差减小，然后保持（大致）稳定。

RMSE的图片是相同的，所有这些都非常符合这样一个事实，即在B=8块的情况下，几乎所有的理论增益都已经获得（参见Clinet和Potiron（2018b））。最后，当采样频率为1秒时，Bn=19个块，当采样频率为2秒时，Bn=8，当采样频率为3秒时，Bn=14个子采样观测值，表明采样频率越高，应使用的块数越大，从而获得最小的RMSE。当以最频繁的频率进行采样时，RMSE的收益几乎达到10%，而在其他情况下，收益不到5%。6结论在本文中，我们引入了一个一般框架，为建立时变参数模型中收敛速度n1/2的中心极限定理提供了理论工具。我们已经成功地将该方法应用于研究波动率的估计（交易信息下的可能性）、波动率的高次幂、具有不确定性区域的模型的时变参数和MA（1）。这使我们能够获得针对时变量的估计器、更有效的和/或新的量估计器（例如在波动性更高的情况下）。随后，我们相信，使用本文的框架可以解决许多其他例子，这是简单而自然的。这在我们的相关论文Potiron和Mykland（2017）以及Clinet和Potiron（2018a）中得到了成功实现。在这些情况下，正则条件分布技巧显著简化了证明工作。桑普。频率1秒。1秒。1秒。2秒。2秒。2秒。3秒。3秒。3秒。注意。块偏差s.d.RMSE偏差s.d.RMSE偏差s.d。

7.798 11.798 8 7.798 7 7.798 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7.7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5896-3.396 7.695 7.702-4.918 10.502 10.514-2.213 11.610 11.6127-3.662 7.665 7.674-5.373 10.523 10.537 -2.919 11.567 11.5718 -3.561 7.636 7.645 -5.561 10.474 10.489 -3.388 11.601 11.6069 -4.225 7.636 7.648 -6.344 10.557 10.576 -3.372 11.571 11.57610 -4.029 7.657 7.668 -6.646 10.536 10.557 -4.400 11.613 11.62111 -4.503 7.593 7.607 -6.876 10.526 10.548 -5.072 11.638 11.64912 -4.558 7.634 7.648 -7.495 10.522 10.549 -5.580 11.629 11.64213 -4.769 7.644 7.659 -8.045 10.548 10.578 -6.485 11.618 11.63614 -5.058 7.643 7.660 -8.340 10.495 10.529 -7.282 11.533 11.55515 -5.416 7.591 7.610 -8.394 10.498 10.531 -7.589 11.680 11.70416 -5.288 7.610 7.629 -8.752 10.491 10.527 -8.452 11.607 11.63817 -5.638 7.608 7.629 -8.856 10.457 10.494 -8.963 11.619 11.65318 -5.843 7.604 7.626 -10.093 10.517 10.564 -9.239 11.625 11.66119 -6.283 7.568 7.594 -10.270 10.499 10.549 -10.611 11.658 11.70620-6.109 7.644 7.668-10.488 10.568 10.620-10.644 11.603 11.652表1：在该表中，我们报告了局部QMLE的样本偏差（×10）、标准偏差（×10）和RMSE（×10），块数范围从Bn=1（即全局QMLE情况）到Bn=20。一个工作日的秒数是23400。蒙特卡罗模拟的数量是1000。考虑了三种采样频率：每秒、每隔一秒和每三秒。参考文献[1]A"it-Sahalia，Y.，J.Fan，R.Laeven，C.D.Wang和X.Yang（2017）。对连续和不连续杠杆效应的估计。《美国统计协会杂志》，1-15[2]A"it-Sahalia，Y.，J.Fan和D。

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此外，我们假设观测值是正则的，因此τi，n=inT。假设参数模型非常简单，尤其是收益率没有过去依赖性。它假设存在一个参数θ*∈ K这样的thatRi，是θ的独立同分布（IID）随机函数*. 如果我们引入U依赖于n的分布U的随机变量的Ui，n序列，我们可以将收益表示为ri，n:=FnUi，n，θ*, （62）其中Fn（x，y）是非随机函数。在（62）中，Ui、NCA可以被视为创新。自θ*在时变参数模型中，tcan实际上是时变的，Ri，ndo不一定遵循（62）。（62）的形式时变推广将在（65）中给出。总的来说，Ri，nare既不是同分布的，也不是独立的。在给定真参数过程θ的情况下，Ri，nare不一定是条件独立的*t、 正如我们在下面两个玩具示例中所看到的。例1。（估计波动率）考虑θ*t:=σt（因此假设波动率遵循（21）），以及Ri，n:=Rτi，nτi-1，nσsdWs，其中wt是标准的一维布朗运动。在这种情况下，参数空间是K:=R+*. 参数模型假设θ*:= σ，收益的分布是Ri，n:=σWτi，n，在哪里Wτi，n:=Wτi，n-Wτi-1，nis是（i）之间布朗运动的增量-1） 观察时间和第i个观察时间，σ为固定波动率。在这种假设下，回报率是IID。在时变参数模型下，Ri、Nareclayer不一定是IID，考虑到整个波动过程σtif，如果存在杠杆效应，它们也不一定是条件独立的。例2。

（估计泊松过程的速率）假设统计学家观察任意资产中事件（如交易）数量的数据，并认为发生在0到t，Nt之间的事件数量遵循速率为λ的齐次泊松过程。参数速率θ*t:=λt假设遵循（21），如果同质性假设成立，则可能为零波动率σθt=0。由于计量经济学家无法获得原始数据，她无法直接观察每个事件的确切时间。相反，她只观察一段时间内发生的事件数量（例如10分钟的街区）[τi]-1，n，τi，n），也就是Ri，n=n-τi，n-Nτi-1，n.如果统计学家对同质性的假设为真，则回报率为IID。在非均匀性的情况下，Nt将是一个非均匀泊松过程，并且收益Ri，nw很可能既不相同分布，也不独立。我们需要介绍一些符号和定义。在给定的区块i=1，···，bn上，观察到的收益将被称为Ri，n，··，Rhni，n。形式上，它意味着Rji，n:=R（i-1） hn+j，对于任何j=1，··，hn。与Rji，n类似，我们在第i个块中引入了近似的returnsRi，n，··········Rhni。我们还介绍了相应的观测时间τji，n:=τ（i）-1） hn+j，nj=0，··，hn。注意τi，n=τhni-最后，对于j=1，··，我们定义了（j）之间的时间增量-1） 第i个块的第th个返回和第j个返回τji，n:=τji，n- τj-1i，n.我们提供了参数模型（62）的时变推广，以及近似收益的正规表达式。为了处理前者，我们假设在一般情况下，n:=FnUi，n，{θ*s} τi-1，n≤s≤τi，n.

（63）（63）中的时变参数模型是参数模型（62）的自然延伸，因为返回值Ri，ncan取决于前一个采样时间τi的参数过程路径-1，nto当前采样时间τi，n。作为Ri，与参数路径无关，允许Ui本身成为过程路径似乎很自然。例如，当参数等于波动过程θ时*t:=σt，我们假设Ui，nare等于基本的布朗运动路径（更多细节参见示例3）。此外，由于Ui是随机创新，它们应该独立于过去的参数过程路径，而不是当前的参数路径。在波动的情况下，这意味着我们考虑了杠杆效应。byRi，n:=Fn给出了（63）的一个简单特例Ui，n，θ*τi-1，n, （64）即，返回仅通过其初始值取决于参数路径。最后，近似的返回Ri，n将参数模型（62）与初始块参数值混合在一起。我们现在提供了我们直觉的正式定义。Weassume thatRji，n:=FnUji，n，{θ*s} τj-1i，n≤s≤τji，n, （65）~Rji，n:=Fn乌吉，n，Θi，n, （66）其中，随机新息Uji，ntake值在一个空间上可以是函数，它可以依赖于n，Uji，nare IID，但分布可以依赖于n，Fn（x，y）是一个非随机函数。请注意，（65）只是（63）使用不同符号的重新表达。对于任何区块i=1，···，bn和第i个区块的任何观测时间j=0，···，hn，我们定义了Iji，时间τji，n之前的过滤。十字轴是一个Borel空间，例如空间C[0，一维连续光路的τn]被时间t分解∈ [0，τn]。设Cp（R+）是由时间t参数化的p维连续路径的空间∈ R+，这是Borel空间。因此，Un×Cp（R+）也是一个Borel空间。

我们假设Fn（x，y）是Un×Cp（R+）上的一个联合可测实值函数。注意，建议读者会看到先验{θ*s} τj-1i，n≤s≤τji，定义于Cp[0，τn]（通过-τj-（65）中的i，n）和Θi是（66）中的向量，而根据定义，两者都应该在空间Cp（R+）上定义。我们通过将定义扩展为R+上的连续路径来匹配这些定义。形式上，如果θt∈ Cp[0，τn]，我们将其扩展为θt:=θτ，对于所有的t>τn∈ K、 我们将其扩展为θt:=θ，表示所有的t≥ 0.让我们(Ohm, F、 P）是一个概率空间。定义分类过滤{Ik，n}k≥对于任何非负整数k，我们可以分解为k=（i）- 1） 我在哪里∈ {1，··，Bn}和j∈ {0，···，hn}，Ik，n:=Iji，n。我们假设Ik，是一个（离散时间）过滤(Ohm, F、 P）。另外，我们假设{θ*s} 0≤s≤τji，nand-Uji，nare-Iji，n-可测。假设Uji，NHA独立于过去的过滤（尤其是RofΘi，n）。注意，我们不假设随机过程与参数过程{θ之间有任何独立性*s} τj-1i，n≤s≤τji，n.在这两个玩具示例中，我们直接提供了和Uji的定义。例3。（估计波动率）在这种情况下，Unis定义为空间C[0，由时间t参数化的连续路径的τn]∈ [0，τn]，Uji，n:={W[τj-1i，n，s]}τj-1i，n≤s≤τji，两个连续观测时间之间的布朗运动增量路径过程。我们假设（Wθt，Wt）是一个（可能是非标准的）二维布朗运动。因此，考虑到布朗运动的马尔可夫性质，随机创新Uji，nare确实独立于过去。我们还定义了Fn（ut，θt）：=Rτnθsdu。

因此，我们得出收益定义为Rji，n:=Rτji，nτj-1i，nσsdWsand近似的返回值Rji，n:=στi，nW[τj-1i，n，τji，n]在区块上保持波动常数时是相同的量。例4。（估计泊松过程的速率）我们假设（可能是非均匀的）泊松过程的速率是αnλt，其中α是一个非时变的非随机量，因此αnτn:=1。在这种情况下，我们假设R+上的递增路径的空间从0开始，取N中的值，且其跳跃等于1。我们还假设，对于Un中的任何路径，R+的任何紧集上的跳数。Uji，nca可定义为标准泊松过程{Ni，j，nt}t≥0，相互独立。我们还有Fn（ut，θt）：=uRτnαnθsdus。因此，如果我们让tji，n:=Rτji，nτj-1i，nαnλsds，返回值是时变泊松过程sRji，n=Ni，j，ntji，n，（67）~Rji，n=nαnτji，nλi，j，nτi，n.（68）一致性在本节的下文中，我们将使块大小hngo为单位→ ∞. （69）过去过滤是指截至时间τj-1i，nFurthermore，我们会让街区变长Ti，nvanish渐近。因为weassume观测在本节中是有规律的，所以可以用NN表示-1.→ 0.（70）我们可以重写bΘnasBnXi=1的一致性bΘi，n- Θi，nTi，nP→ 0.（71）关于BΘi的正式定义，NCA可在（75）中找到。为了显示（71），我们可以组合增量（bΘi，n-Θi，n）分为与错误指定的分布误差相关的部分，关于近似回报误差估计的部分，以及点参数误差bΘi，n的演变- Θi，n=bΘi，n-bΘi，n+bΘi，n- θ*钛-1，n(72)+θ*钛-1，n- Θi，n,其中，bΘi，n是（76）中正式定义的参数估值器，用于基础的未观测近似收益。

它不是一个可行的估计量，在（72）中出现只是为了阐明如何在证明中获得估计量的一致性。我们首先讨论（72）中的最后一个误差项，这是由于光斑参数θ的非恒定性*t、 注意bnxi=1Θi，n- Θi，nTi，n=BnXi=1θ*钛-1，nTi，n-ZTi，nTi-1，nθ*十二烷基硫酸钠（73）因此我们从黎曼近似推导出bnxi=1Θi，n- Θi，nTi，nP→ （74）为了处理（72）中的其他项，我们假设对于任何正整数k，实践者手头有一个估计量^θk，n:=^θk，n（r1，n；··；rk，n），这取决于Jacod和Shiryaev（2003）第51页中的命题4.44，即返回{r1，n；··；rk，n}。在每个块i=1，··，bn上，我们估计局部参数asbΘi，n:=^θhn，nRi，n；···；Rhni，n. （75）不可行估计BΘi被定义为以近似收益作为输入而非观察收益的同一参数估计BΘi，n:=^θhn，n~Ri，n；···；~Rhni，n. （76）请注意，（76）是不可行的，因为近似的回报率Rji，nar是不可观测的等式。例5。（估计波动率）估计器是标度的常规RV，即^θk，n（r1，n；·k，n）：=T-1k-1nPkj=1rj，n。注意，^θk，nca也可以被视为最大似然估计（见Mykland and Zhang（2012）第112-115页的讨论）。例6。（估计泊松过程的速率）要使用的估计器是返回平均值^θk，n（r1，n；··；rk，n）：=k-1Pkj=1rj，n.为了处理（72）中的第二项，我们假设，如果我们实际观察到来自参数模型的收益，则参数估计在模型参数θ中局部一致地L-收敛。这可以用以下条件表示。条件（C）。让一个块（V1，n，·，Vhn，n）的创新与分布一致。对于任意M>0，supθ∈KMEhθhn，n（Fn（V1，n，θ）；··；Fn（Vhn，n，θ））- θ我→ 0.备注8。

（实用性）在条件（C）下，正则条件分布的结果告诉我们，在估计潜在的非观测回归时所产生的误差趋于0，即BnXi=1bΘi，n-Θi，nTi，nP→ 0.（77）参见Leo Breiman（1992），更多细节参见第8节。这种证明技术是本文的主要思想。正则条件分布用于使用参数模型中的一致结果推导时变参数模型的结果。备注9。（一致性）注意，L-收敛比参数估计的简单一致性稍强。尽管如此，在大多数应用程序中，我们将同时拥有这两种功能。我们现在可以在这个非常简单的例子中总结一致性结果，在这个例子中，观测以等距的时间间隔发生，并且在参数模型下返回IID。在条件（C）下，假设bnxi=1（bΘi，n-bΘi，n）Ti，nP→ 0，（78）我们有（3）的一致性，即bΘnP→ Θ. （79）我们在两个玩具示例中获得了一致性。备注10。（LPE等于参数估值器）读者会注意到，在这两个例子中，LPE等于参数估值器。这是因为在这些非常基本的例子中，参数估计是线性的，即对于任何正整数k和l=1，··，k- 1^θk，n（r1，n；··；rk，n）=lk^θl，n（r1，n；··；rl，n）+k- lk^θk-l、 n（rl+1，n；··；rk，n）在更一般的例子中，这个方程将被打破，我们将得到两个扩张器。请参见第8节中的校对。1.初步考虑到我们对θ的假设*t、 我们可以遵循标准的本地化论点（例如，见第160页）-Mykland and Zhang（2012）的161），并假设K是一个紧空间。

如果θ*这是一个满足条件（P1）的半鞅，我们也可以在不损失一般性的情况下假设存在0≤ σ+对于任何本征值λtofσθt，我们有0≤ λt≤ σ+并且存在0≤ a+这样的| aθt|≤ a+。最后，我们添加了一些符号。在本文的下文中，我们将对任何常数C>0使用C，其中的值可以从一行更改到下一行。我们从第7节中介绍的简单模型中与一致性相关的证明开始。这提供了证明技术的概述，尽管在证明定理2（中心极限定理）时，技术将更加复杂，其中包括非正则观测。8.2条件证明（C）=>（77）充分证明条件（C）意味着≥0EhbΘi，n- θ*钛-1，ni=op（1）。（80）到（66）和（76）时，我们可以建立一个我们可以写作的系统bΘi，n- θ*钛-1，n= gn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n），其中GNI是一个可联合测量的实值函数，因此gn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n< ∞.我们有gn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n）= EEgn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n）θ*钛-1，n= EZgn（u，θ）*钛-1，n）μω（du）其中，μω（du）是给定Θi，n的（Ui，n，··，Uhni，n）的正则条件分布（例如，见Breiman（1992））。从条件（C）中，我们得到了（80）。8.3示例1Let的显示条件（C）中的一致性证明。对于任何M>0，数量θhn，nFn（V1，n，θ）；···；Fn（Vhn，n，θ）- θ可以证明，作为TheoremI的直接结果，概率为0。Jacod和Shiryaev（2003年）第52页第4.47页。为了显示条件（78），有必要显示以下数量NH-1nETi-1，n“θ*钛-1，nW[Ti-1，n；[Ti，n]-ZTi，nTi-1，nθ*sdWs#（81）在i中统一为0。为了证明这一点，我们可以使用公式（a- b） =（a+b）（a）-b） ，以及条件Burkholder-Davis-Gundy不等式（BDG，见p。

8.4示例2条件（C）中的一致性证明可以很容易地显示出来。同样，条件（78）是（67）、（68）和（70）中定义的直接结果。8.5定理2的证明（具有非正则观测时间的中心极限定理）我们在这种一般情况下直接证明了中心极限定理。作为副产品，这意味着有规律观测的情况，即定理1。我们可以将pBNi=1分解bΘi，n- Θi，nTi，nasI+II+III+IV，（82）i=nBnXi=1bΘi，nTi，n-^ΘPi，n埃特皮，n,II=nBnXi=1^ΘPi，n- θ*钛-1，neTPi，n，III=nBnXi=1θ*钛-1，n埃特皮，n- Ti，n,IV=nBnXi=1θ*钛-1，n- Θi，nTi，n.很明显，IP→ 0乘（41）和IIIP→ Jacod和Protter（2011）中的引理2.2.10（第55页）以及θ*t在紧凑的集合中创建值。我们在接下来的IVP中证明了这一点→ 0和2→eZ，其中eZ遵循REM 2的定义。我们显示IVP→ 0我们首先考虑θ*tsatis fies状态（P2）。我们来介绍一下θ*钛-1，n- Θi，nTi，n.（83）充分证明PbNi=1 | ei，n | P→ 0，并且根据引理2.2.10（第55页）inJacod和Protter（2011年）得出pBNi=1ETi-1，n| 艾未未|P→ 0.我们计算Nxi=1ETi-1，n| 艾未未|= nBnXi=1ETi-1，新罕布什尔州ZTi，nTi-1，n（θ）*U- θ*钛-1，n）du我≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）| {z}Op（hnn）-1)ETi-1，n苏普蒂-1，n≤s≤Ti，nθ*s- θ*钛-1，n| {z}op（n）-)= op（1），其中我们使用条件柯西-施瓦兹（Conditional Cauchy-Schwarz）得到不等式，条件（T）和条件（P2）得到最后一个等式。我们推断IVP→ 在这种情况下也是0。现在我们考虑θ的情况*tsatis Fies状态（P1）和（26）保持不变。我们从分解ei开始，把它分解为它的偏倚和鞅部分。我们有，n=nZTi，nTi-1，nZsTi-1，naθuds |{z}e（b）i，n+nZTi，nTi-1，nZsTi-1，nσθudwudds |{z}e（m）i，n。我们将在下面的内容中展示pbni=1e（b）i，n=oP（1）和pbni=1e（m）i，n=oP（1）。韦斯特提出了第一个主张。

对于前一种情况，有必要证明PBNI=1ETi-1，n| e（b）i，n|P→ 0.当θ有界时，我们可以通过bNxi=1ETi来限定表达式-1，n| e（b）i，n|≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）.然后，使用条件（T）和（26），我们得出结论，这是oP（1）。我们现在证明pbni=1e（m）i，n=oP（1）。因为它是一个鞅，所以有必要证明pbni=1ETi-1，n| e（m）i，n|P→ 0.我们计算Nxi=1ETi-1，n| e（m）i，n|= nBnXi=1ETi-1，新罕布什尔州ZTi，nTi-1，nZsTi-1，nσθudWuds我≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）ETi-1，nhsupTi-1，n≤s≤Ti，nZsTi-1，nσθudWu我,≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）= op（1），其中我们在第一个等式中使用p=3/2和q=3的条件霍尔德不等式，在第二个等式中使用p=3的BDG，在最后一个等式中使用条件（T）和（26）。我们展示II→eZWe的目标是在Jacod（1997）中使用定理2-2（第242页）。在观测值为规则的情况下，定理3-2（第244页）进一步规定了条件。在定理3-2的证明之后，我们实际上可以通过选择过滤JTi，n来证明，当观测值不规则时，这种条件在更一般的情况下是成立的。需要注意的是，我们没有使用过滤Jτi，n。因此，我们的目标是展示Jacod（1997）中定理3-2（p.244）中的条件（3.10）-（3.14）。注意，（3.12）和（3.14）分别由（39）和（40）表示。偏差条件（3.10）满足（36）以及规则条件分布的应用。在这一步中，我们证明（3.11）是满足的。我们引入Ai，n:=n^ΘPi，n-θ*钛-1，neTPi，nandCi，n:=ETi-1，n哎，纳蒂，n- ETi-1，n哎呀ETi-1，n阿蒂，n.条件（3.11）可以表示为BNXi=1Ci，nP→ TZTVθ*sds。

（84）通过正则条件分布，（36）和（37），我们得到bnxi=1Ci，n=TBnXi=1ETi-1，nVθ*钛-1，n埃特皮，n+ 作品（1）。根据（42）、条件柯西-施瓦兹不等式和Vθ的有界性，我们得到bnxi=1ETi-1，nhVθ*钛-1，neTPi，ni=BnXi=1ETi-1，nhVθ*钛-1，nTi，ni+op（1）。利用Jacod和Protter（2011）的引理2.2.11、条件CauchySchwarz不等式（35）和Vθ的有界性，我们得到了bnxi=1ETi-1，nhVθ*钛-1，nTi，ni=TBnXi=1Vθ*钛-1，nTi，n+op（1）。现在我们可以应用Jacod和Shiryaev（2003）中的命题I.4.44（第51页），我们得到bNxi=1Vθ*钛-1，nTi，nP→ TZTVθ*sds。在这最后一步中，我们证明了林德伯格条件（3.13）是满足的。我们将在这一步中证明 > 0，BnXi=1ETi-1，n| 哎{|哎,哎|>}P→ 8.6定理3的证明（QMLE）我们想证明定理1的条件是满足的。我们从α>开始。关键结果是修（2010，第241页）中的定理6。我们选择P=（0，0）。我们展示了第一个条件（E）。我们可以很容易地从关键结果中看出，如果我们选择θ*t=6σt，则（37）满足。我们可以使用条件Cauchy-Schwarz不等式和以下事实来验证Lindeberg条件（38）^ΘP，θi，n- θ是有界的。至于偏差条件（36），我们可以看到，随着噪声收缩的速度超过返回到0的顺序，那么偏差趋向于（23）中定义的对角线元素之和减去单位（2010，第241页）。这等于0，因此（36）满足。结合噪声与XT无关的事实、上述定理以及第8.3节中的基本原理，满足条件（29）。我们现在证明（27）和（28）是满意的。实际上，我们可以证明（27）对于参考连续鞅Mt=0是成立的。

我们记得，我们“仅”显示了关于FXt的稳定收敛，现在我们显示了与稳定收敛相关的条件（28）。实际上，我们可以假设Nt=Xt，这意味着结果适用于任何N∈ Mb（M）⊥). 根据秀（2010）的定理6，我们得到了^ΘPi，n=ihn-1Xk=（i）-1） hnihn-1Xl=k+1ωk，l，n（Zτk+1，n，n- Zτk，n，n）（Zτl+1，n，n- Zτl，n，n）。我们可以发展（Zτk+1，n，n- Zτk，n，n）（Zτl+1，n，n- Zτl，n，n）=I+II+III+IV，其中I=（Xτk+1，n）- Xτk，n）（Xτl+1，n- Xτl，n），II=（Xτk+1，n- Xτk，n）(l+1，n- l、 n）三=(k+1，n- k、 n）（Xτl+1，n- Xτl，n）和IV=(k+1，n- k、 n）(l+1，n- l、 n）。因为Noise独立于Xt，所以很明显ETi-1，n二、* （XTi，n- XTi-1，n）= 0，ETi-1，n三、* （XTi，n- XTi-1，n）= 0和ETi-1，n四、* （XTi，n- XTi-1，n）= 至于我，我们可以表达*（XTi，n- XTi-1，n=I*ihn-1Xk=（i）-1） hn（Xτk+1，n- Xτk，n），从这个表达式直接计算得出-1，新罕布什尔州^ΘPi，n-Θi，nXTi，n- XTi-1，ni=0。我们现在考虑α=1/2的情况，即当噪声方差和返回率相同时。在这种情况下，我们需要使用偏差修正估计BΘ（BC）nso来验证定理1的条件。这里的关键结果是A"it-Sahalia等人（2005年）的命题1（第369页）及其证明（第391-393页）。偏差条件（36）是满足的，因为我们减少了估计量的偏差。事实上，估计器的去偏并不影响其余部分。此外，增量条件（37）和林德伯格条件（38）使用类似的证明技术得到满足。最后，条件（27）、（28）和（29）通过与前一个案例相同的推理得到满足。8.7定理4（波动性幂）的证明我们旨在证明我们可以验证定理1的条件。我们的想法是使用aTaylor展开，就像delta方法一样。

然后，在定理3的证明之后，部分满足条件。更具体地说，我们将对条件（E）的（23）和（24）进行证明，但不会明确说明（25）、（27）、（28）、（29）的证明，这些证明可以使用相同的思想进行证明。我们使用以下表示法：^ΘP，θi，n:=g（^Θσ2，P，σi，n）- Bi，n，（86），其中Bi，ncan对应于（49）和（50）中发现的两个偏差校正表达式之一。我们有^ΘP，θi，n- θ：=g（^^σ2，P，σi，n）- Bi，n- 对于某些σ，g（σ），（87）。利用泰勒展开式，我们得到：g（^σ2，P，σi，n）- g（σ）=（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）+（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）+（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（3）（η），（88），其中η介于σ和^^σ2，P，σi，n之间。结合（87）和（88）以及几个假设（包括g上的条件），我们得到：嗯^ΘP，θi，n- θ= （g（σ））Varhn（^^σ2，P，σi，n）- σ)+ o（1）。从这里，我们可以使用定理3的证明得出结论。对于偏置条件（23），结合（87）和（88）以及几个假设得出：^ΘP，θi，n- θ= E（σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）+（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）- 比恩+ o（n）-). 我们可以证明这一点（σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）= o（n）-) （91）如定理3的证明。我们也可以证明这一点（σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）- 比恩= o（n）-) （92）遵循与引理4证明中v=4的情况相同的推理路线。4在贾科德和罗森鲍姆（2013年，第1480页）。考虑到（90）、（91）和（92），我们可以展示偏差条件（23）。8.8定理5（E-（QMLE的LPE））的证明策略在于，证明ν中的估计误差不会渐近地影响QMLE的行为，因此我们可以直接应用定理3。为此，关键的结果将是李等人（2016）的定理3（i）（第37页）和秀（2010）的定理6（第241页）。我们记得bxτi，n=Zτi，n，n- g（Ii，n，^ν），我们定义了n维向量n=（bXτ1，n-bX，···，bXT-bXτn-1，n）。

我们还定义了Yn=（（Xτ1，n- 十） +（）1，n-~0，n），··，（XT）-Xτn-1，n）+（n）n、 n-~N-和δn=（g（I1，n，^ν）-g（I0，n，^ν））-（g（I1，n，ν）-g（I0，n，ν），g（In，n，^ν）- g（英寸）-1，n，^ν）- （g（In，n，ν）- g（英寸）-1，n，ν）。很明显，byn=Yn+δn.（93）最后，我们记得bΘ是QMLE在byn上的LPE，我们定义bΘ是QMLE在Yn上的LPE。考虑α<1/2的情况（α=1/2的情况是按照相同的理由进行的）。我们的目标是在分布1/2中稳定地显示这一点bΘn- Θ→6T-1ZTσsdsN（0，1）。（94）我们在（94）asn1/2（bΘn）中分解左手边项- Θ）=n1/2（eΘn- Θ）|{z}An+n1/2（bΘn）-eΘn）|{z}Bn。根据定理3，我们有一个→ （6T）-1RTσsds）N（0,1）。因此，如果我们能证明BnP→ 0，那么这意味着（94）。我们现在证明BnP→ 0.我们定义了实n×n矩阵集。根据秀（2010）的定理6（第241页），存在一个函数m:K→ Mn×Mnθ7→ （M（1）（θ），M（2）（θ））使得bΘi，n=bYnM（bΘi，n）bYnandΘi，n=YnM（Θi，n）Yn，其中我们定义了任何θ∈ 任意n维向量Y:YM（θ）Y=（YM（1）（θ）Y，YM（2）（θ）Y）。我们有bn=n1/2（bΘn-Θi，n），=n1/2（bYnM（bΘi，n）bYn- YnM（Θi，n）Yn），=n1/2（（Yn+δn）M（bΘi，n）（Yn+δn）- YnM（Θi，n）Yn），=n1/2（Yn（M（bΘi，n）- M（Θi，n）Yn+（δnM（bΘi，n）Yn+YnM（bΘi，n）δn+δnM（bΘi，n）δn）），=n1/2Yn（M（bΘi，n）- M（Θi，n））Yn+op（1），=op（1）。其中，我们在第三等式中使用了（93），在第五等式中使用了Liet al.（2016）中的假设A和定理3（i），在第六等式中使用了Xiu（2010）中的定理6和假设A，在Li et al.（2016）中使用了定理3（i）。8.9定理6（波动性幂）的证明该证明遵循定理5的证明以及定理4.8.10定理7（带不确定区的时变摩擦参数模型）的证明。为了证明该定理，我们将证明定理2的条件是满足的。

为此，我们设置P=（1，1）。首先，条件（T）与Robert and Rosenbaum（2012）中的推论4.4（第14页）完全一致。我们的目标是现在显示条件（E*）。我们从偏置条件（36）开始。为了避免更复杂的符号，我们保留第4.4节中介绍的符号来证明这一部分。我们回顾了ηasbηt，n:=mXk=1λt，k，nut，k，n的估计量的定义，其中λt，k，n:=n（a）t，k，n+n（c）t，k，nPmj=1N（a）t，j，N+N（c）α，t，j, （95）ut，k，n:=最大值0分钟1.KN（c）t，k，nN（a）t，k，N- 1.+ 1.. （96）可以很容易地从（96）中看出，ut，k，nar是η的一致估计量，其偏差满足条件（36）。此外，作为bηt，是ut、k、n的线性组合，它也是一个函数（36）。仍然需要证明的是，我们记得被定义为DRVT的波动率估值器，n=Nn（t）Xi=1（bXτi，n-bXτi-其中（97）bXτi，n=Zτi，n，n- αn（1/2）- bηt，n）符号（Ri，n），（98）也满足偏差条件。事实上，结合（97）和（98）以及Zτi，n，和Xτi之间的关键关系，可以在Robert andRosenbaum（2012）第5页的（2.3）中找到，我们可以推断（97）的偏差是bηt偏差的函数，满足条件（36）。我们现在证明条件（37）。我们设置了一个任意的M>0。考虑到采样次数（55）的形式，我们在θ中得到了一致的结果∈ i=1，··，BnthatVar中的KMand嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θTP，θi，n= 变量嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θETP，θi，n)+ op（hnn）-2） ，=Var嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θETP，θi，nTP，θi，n+op（hnn-2） ，=S（1）θ，nS（2）θ，nTP，θi，nT-hnn-1+op（hnn）-2） ，带（1）θ，n:=Var嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θS（2）θ，n:=ETP，θi，nT-1小时-1nn。根据Robert和Rosenbaum（2012）第26页中的引理4.19，在波动率为常数的特殊情况下，我们得到了S（1）θ的存在性和值，使得S（1）θ，n→ S（1）θ。同样，p。

在Robert andRosenbaum（2012）的第14章中，存在S（2）θ，使得S（2）θ，n→ S（2）θ。如果我们定义Vθ=S（1）θS（2）θ，（37）是满足的。林德伯格条件（38）可以通过条件柯西-施瓦辛格等式以及以下事实获得：θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θ是有界的，条件（T）。我们现在证明条件（39）和（40）。在这里，我们再次选择referencemartingale Mt=0，因此我们得到了微不足道的结果（39）。显示（40），如果我们分解^ΘPi，n- θ*τi，n根据估计员的定义，eTPi，nashnXj=1（eτP（i-1） hn+j，n- eτP（i）-1） hn+j-1，n），安丹蒂，n- NTi-1，n=hnXj=1（NP（i-1） hn+j，n- NP（i）-1） hn+j-1，n），并发展这三个表达式的乘积，我们可以很容易地去除交叉项，其他项可以按照罗伯特·安德罗森鲍姆（Robert Andresenbaum，2012）中引理4.11（第20-21页）和引理4.14（第22-23页）的证明，显示为0。现在我们来看（41）和（42）。我们首先展示后一种情况。我们可以合成埃特皮，n- Ti，ninto埃特皮，n- TPi，n+TPi，n- Ti，n, （99）在哪里TPi，n与TPi，n的定义相同（即我们在区块上保持波动率不变），但过去的起点未设置为P，而是保持为随机过去的PTi-1，n，n.我们在（99）中处理第一个术语。我们可以看到，在参数模型下，过去的Pτi，n在空间{1，··，m}×上有一个离散的马尔可夫链{-1, 1}.按照Potiron和Mykland（2017）中引理14的证明的相同推理路线，我们可以很容易地证明Nbnxi=1ETi-1，新罕布什尔州埃特皮，n- TPi，n知识产权→ 现在我们来看（99）中的第二个术语。使用与Potiron和Mykland（2017）中引理11的证明相同的想法，我们推导出NbNxi=1ETi-1，新罕布什尔州TPi，n- Ti，n知识产权→ 因此，我们已经证明（42）成立。

同样的推理路线可以引导我们到（41）。8.11定理8（时变MA（1））的证明该证明的关键结果是MA（1）过程与第4.1节中描述的模型观测之间的联系，在α=1/2的情况下。从A"it-Sahalia等人（2005年）的命题I证明（第391-393页）可以看出这种联系。更具体地说，我们可以使用泰勒展开式将该估计量重新表示为第4.1节中的估计量，然后使用定理3（ii）得出结论。在定理4的证明中已经得到了类似的泰勒展开式，我们将不再进一步解释这种特殊情况下的细节。8.12不确定性区域模型中摩擦参数偏差和标准偏差的估计在本节中，我们提供了经验说明中使用的摩擦参数偏差和标准偏差的正式定义，以及一些理论推导。第4.4节和第10节的符号有效。我们估计标准偏差为bsn:=bsn（bηT，n），其中V（η）：=bsn（η）方差的形式表达式或估计器根据设置提供如下内容。我们还导出了bηT，n的偏差的表达式或估计量，我们称之为b（η）。它们都是在假设摩擦参数固定为η的情况下获得的。在我们的数值研究中，我们发现这一偏差非常接近于0，因此在统计参考中，假设它等于0是相对安全的。我们首先考虑绝对跳跃大小恒定等于ticksize的情况，即Li，n:=1，并且Nn（t）是非随机的。根据（57），我们有bηt，n:=min1，N（c）t，1，n2N（a）t，1，N.我们还定义了交替次数为N（a）t，1，N=Nn（t）- N（c）t，1，N.然后N（c）t，1，N~ Bin（Nn（t），2η2η+1），（100），其中Bin（n，p）是具有n个观测值和概率p的二项分布。

让~ Bin（Nn（t），2η2η+1）。我们可以定义偏差asB（η）：=E闵1，B2（Nn）- B）- η和方差asV（η）：=Var闵1，B2（Nn）- B）.在这种情况下，我们已经证明了B和V可以很容易地用数值计算。现在我们假设Nn（t）可以是随机的。我们可以在Nn（t）的条件下工作。由于采样时间是内生的，所以在这种情况下，（100）不是真的。尽管如此，如果观测数量很大，我们仍然可以用Bin（Nn（t），2η2η+1）来近似N（c）t，1，nb。现在我们来看一般情况，即当Li，ncan与1不同时。Fork=1，··，m我们定义epk:=2η+k-12η+k我们假设bk是一个独立的分布Bin序列（N（c）t，k，N+N（a）t，k，N，epk），ck:=max0分钟1.KBkN（a）t，k，n+n（c）t，k，n- Bk- 1.+ 1..bηt，nca的分布可以用mXi=1λt，k，nCk的分布来近似，我们可以估计偏差asbB（η）：=Pmi=1λt，i，nECk方差asbV（η）：=Pmi=1λα，t，iVarCk.9额外的数值研究：时变MA（1）案例9。1本研究的目标为了研究LPE的有限样本性能，我们考虑了第4.5节中引入的具有零均值的时变MA（1），其中相关的局部估计量是MLE。这项研究的目标有两个。首先，我们想研究与一些幼稚的并发方法相比，LPEP的性能如何。其次，我们要讨论在实践中调谐参数的选择。我们考虑以下简单的并行方法：MLE：当考虑参数不是时变的[0，T]时，全局MLE。拟合最近的观测值（FRO）：这种方法包括用较少的观测值（例如：。

在[TF，T]上，其中TF>0），因此该块上的参数大致不变。计算偏差修正估计量bΘ（BC）n=bΘi，n- b（bΘi，n，hn），在数值研究之前，我们可以计算并实现函数b（θ，h）或进行蒙特卡罗模拟，以计算任意（θ，h）的b（θ，h）。我们选择后一种选择，这也可以消除泰勒展开式中出现的比O（h）高阶的偏差项-2). 事实上，尽管这些术语逐渐消失，但它们可以在有限的样本环境中出现。更具体地说，我们首先计算参数值和块长度（θ，h）网格的样本平均值，比如参数模型的100000条蒙特卡罗路径。然后在每个块上，我们估计b（bΘi，n，hn）的偏差。我们在这里讨论我们从理论上对偏差修正的期望。鉴于分解（9），我们可以将BΘi的偏差，非第一近似分解为两项之和，即参数估计的偏差和由于参数是时变的事实而产生的偏差。前者可以通过以下方法进行校正：实际上，当h增加经济系数时，蒙特卡罗路径的数量可以显著减少，我们据此定义了偏差校正的局部估计BΘ（BC）i。相反，由于参数路径未知，我们无法纠正后者。这就是为什么我们必须处理（直到常数项）hn<n的原因之一。理论表明，在这种情况下，标准化后一偏差将渐近消失。相反，选择在当地与hn>N合作的计量经济学家很可能会获得她无法识别的显著后一种偏见，在这种情况下，纠正前一种偏见可能不会改善估计。9.2模型设计我们记得时变参数是θ*t=（βt，κt）。我们将T=1设置为一天（或一周、一个月）。

我们将观测的数量乘以n=10000。我们考虑一个玩具模型，其中参数围绕目标参数确定地移动。我们假设噪声参数遵循cos函数θ*t=ν+acos（2πtδt），其中ν=（β，κ）是参数，A=（A（β），A（κ））对应振幅，δ=（δ（β），δ（κ））代表[0，t]上的振荡次数。在这个模型中，我们设置Θ=（β，κ）。我们确定参数ν=（0.5,1）和振幅A=（0.2,0.4）。我们还选择了一个振荡次数较少的设置δ=（4,4）和一个振荡次数较多的设置δ=（10,10）。我们模拟了M=1000次蒙特卡罗重复。根据定理8和条件（P2），调谐参数hn应（直到常数项）满足n1/4<hn<n1/2。在我们的例子中，n1/4=10和n1/2=100。因此，我们设置hn=25100500100020005000。对于FRO方法，我们将TF设置为0.95，这意味着我们考虑最后500次观测，以确定MLE。9.3结果δ=（4,4）时的结果见表2，δ=（10,10）时的结果见表3。首先，请注意，两个值的结果相似。第二，正如理论所预期的那样，当选择hn=n=100时，LPE表现最佳，而偏差修正版本则要好得多。此外，它的性能优于两种并行方法。这种选择是任意的，但不同的值会产生类似的结果。在hn=25的情况下，我们可以检查当我们有观测很少的块时会发生什么。偏差修正估计器在估计κ时表现良好，但在某种程度上，对估计β的偏差修正并不能提供更好的估计。这很可能是因为我们对每个区块的观测不够。在有少量振荡的情况下，用hn=500进行的估计是非常合适的。偏差修正估计量实际上没有那么好。

这证实了当hn>>100时，偏差的主要来源是时变参数，而不是参数估计偏差本身。如果我们有更多的振荡，估计就不那么准确了。当使用更大的hn时，我们会看到相同的模式，并且估计的准确性会随着hn的增加而降低。全局最大似然估计在估计β方面表现相对较好，但在κ方面有很强的偏差。这表明，即使在围绕目标值振荡的简单确定性模型中，MLE也不可信。最后，FRO远大于标准差。备注11。（块大小）本文的条件提供了调谐参数hn的渐近顺序。因此，它提供了一个经验法则，可以在具体的例子中使用，但最终由从业者选择hn。如果参数估计器存在严重偏差，从业者应增加hn值。此外，如果参数看起来大致恒定，HN可以选择更大。在我们的模拟研究中，这个经验法则是可信的。在我们的实证说明中，我们可以看到，如果我们选择hn，估计的波动率对hn的价值是稳健的≈ N1/2n。Asn可以选择为n=Nn，这表明经验法则似乎也取决于我们实证研究中HN的实际选择。10带有不确定性区域的模型中的实证说明在本节中，我们在带有第4.4节中介绍的不确定性区域的模型中实施LPE。我们记得，感兴趣的参数定义为ξ*t=（σt，ηt）。我们关注的是2013年3月4日周一的onerandom日，在CAC 40上交易活跃的Orange（ORA.PA）股票价格。为了防止打开和关闭效应，我们使用β-κ-κ估计器块大小样本偏差s.d。