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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Property Safety Stock Policy for Correlated Commodities Based on
Probability Inequality》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
Deriving the optimal safety stock quantity with which to meet customer satisfaction is one of the most important topics in stock management. However, it is difficult to control the stock management of correlated marketable merchandise when using an inventory control method that was developed under the assumption that the demands are not correlated. For this, we propose a deterministic approach that uses a probability inequality to derive a reasonable safety stock for the case in which we know the correlation between various commodities. Moreover, over a given lead time, the relation between the appropriate safety stock and the allowable stockout rate is analytically derived, and the potential of our proposed procedure is validated by numerical experiments.
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中文摘要：
求出满足顾客满意的最优安全库存量是库存管理中最重要的课题之一。然而，当使用在需求不相关的假设下开发的库存控制方法时，很难控制相关适销商品的库存管理。为此，我们提出了一种确定性方法，在我们知道各种商品之间的相关性的情况下，使用概率不等式推导出合理的安全库存。此外，在给定的提前期内，通过解析推导出了适当的安全库存与允许缺货率之间的关系，并通过数值实验验证了我们提出的方法的潜力。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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Property_Safety_Stock_Policy_for_Correlated_Commodities_Based_on_Probability_Ine.pdf
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可人4

2022-5-31 00:29:22

基于概率不平等的相关商品财产安全库存政策Takashi Shinzato1，P1 Mori Arinori高等教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，Kunitachi，Tokyo，Japan。P作者对此工作作出了贡献。*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JPAbstracts导出满足客户满意度的最佳安全库存量是库存管理中最重要的主题之一。然而，当使用在需求不相关的假设下开发的库存控制方法时，很难控制相关适销商品的库存管理。为此，我们提出了一种确定性方法，在我们知道各种商品之间的相关性的情况下，使用概率不等式推导出合理的安全库存。此外，在给定的提前期内，分析推导了适当的安全库存与允许缺货率之间的关系，并通过数值实验验证了我们提出的方法的潜力。1简介安全库存管理是库存控制最重要的问题之一。通常使用一种众所周知的方法来确定适当的库存，但它是基于对库存项目的需求是独立的假设；因此，当需求相互关联时是不合适的。此外，当需求分布的统计特性（均值和方差）未知时，它也不适用。近年来，各种研究[1-4]积极探索解决这一难题的新方法；它基于概率不等式，特别是马尔科夫不等式或切比雪夫不等式，推导出安全库存量与允许缺货率之间的关系。

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大多数88

2022-5-31 00:29:25

例如，Foto poulos等人讨论了安全库存量与允许缺货率之间的关系；他们使用切比雪夫不等式，因为实际s tockout率小于需求量平均值[1]。Takemoto等人【2】和Takemoto andArizono【3】将Hoefffding不等式用于有限的需求信息，其中只有最小值和最大值是已知的，并计算了能够保证给定允许缺货率的安全库存质量。特别是，Takemoto和Arizono[3]评估了两种电力供应的缺货率，这两种电力由两个不相关的随机变量表示。Shinzato和Kaku【4】推导出了安全库存量和允许缺货率之间关系的表达式。他们考虑了一种情况，即已知其中一种商品需求序列中的时间序列1/16序列相关性（趋势）；这一信息是通过使用切尔诺夫不等式得到的。尽管各种研究使用概率不等式来估计适当的安全库存质量，但大多数安全库存分析都是针对个别商品或不相关的需求。然而，在实践中，库存管理通常必须处理多个需求相关的商品；这方面的研究还不够充分。为了解决这一问题，我们利用切尔诺夫不等式推导了安全库存量与允许缺货率之间的关系，并进行了实验，验证了所提方法的有效性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了Chernoffinequality，作为分析估计提前期缺货率的一种方法。然后利用该方法推导出安全库存量与允许缺货率之间的关系。

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何人来此

2022-5-31 00:29:28

在第3节中，我们使用两种相关商品的已知需求分布的统计特性，并进行数值模拟，以验证我们提出的方法的有效性。在第4节中，我们总结了我们的结论，并讨论了该主题的未来工作领域。2安全库存管理和模型设置在本节中，我们将讨论现有的安全库存管理政策，该政策基于商品分布独立的假设，并制定相关问题。然后，对于非独立的需求分布，在给定安全库存量和允许缺货率的情况下，提出了一种新的安全库存管理方法；我们使用Chernoff不等式来解决现有方法的问题[5]。2.1基于独立性假设的安全库存管理本小节讨论了现有的安全库存管理系统，该系统基于单个商品的需求重新独立且独立分布的假设；它假设数据的统计特征是众所周知的，并且市场是稳定的。这里，商品的需求是dt（t=1，2，·L），其中L是提前期；距离平均值E【Dt】=u的距离为Xt（=Dt- u），（t=1.2....................L），我们考虑了需求独立且相同分布（i.i.d.）的情况，平均值为0，方差为σ。然后，基于上述方法的安全库存量与允许缺货率δ，SSpre。，表示为SSpre=√Lσ×k，（1）其中k是安全库存系数，允许缺货率δ满足δ=Z∞kdz公司√2πe-z、（2）此外，尽管该商品的订货点由Lu+SSpre表示。，我们将考虑需求不确定情况下的安全库存量。式（1）由中心极限定理数学保证。

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能者818

2022-5-31 00:29:31

请注意，对于较大的提前期L，由于需求不相关，因此提前期内的平均需求缺口之和SS=PLt=1Xt渐近遵循均值为0的正态分布w和方差Lσ。然而，由于该方法强烈要求需求是独立的，因此很难管理需求时间序列相关的社区的安全库存【1，4】或不同商品需求相关的社区的安全库存【6】。之前的研究【7–14】已经定性和定量地研究了不可能假设独立需求的情况下的非线性效应。此外，Ray【10】、Lau和Wang【14】以及Zhang等人。[15] 详细考虑了需求中固有的相关性的影响。特别是，Shinzato和Kaku[4]表明，当时间效应相对较强时，基于E q.（1）的库存管理政策导致缺货率约为可接受率的36倍。在下一小节中，我们考虑一个数学框架，该框架可用于评估安全库存量，而无需假设需求的独立性；然后，我们利用该框架提出了一种新的安全库存管理方法。2.2切尔诺夫不等式在本小节中，我们讨论了在不假设需求独立的情况下，使用切尔诺夫不等式推导安全库存量。考虑一个取离散值且具有密度函数p（D）的随机变量D，其中D不限于特殊分布，如泊松分布或正态分布），则我们有以下不等式[5]：p r[η≤ D]≤ e-uηE[euD]，（3）其中η是一个常数，u>0是一个控制参数，E[f（D）]是期望值off（D）（这里和下面，E[·····]表示表达式）。

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可人4

2022-5-31 00:29:34

这个不等式被称为切尔诺夫不等式，无论随机变量的分布如何，它都成立。在不丧失一般性的情况下，我们假设随机变量D的平均值为0。为了证明Chernoff不等式，我们定义了以下s-tep函数：Θ（Z）=1 0≤ Z0否则。（4）使用该阶跃函数，η的概率≤ D可以重写为asP r[η≤ D] =Z∞ηdDp（D）=Z∞-∞dDp（D）Θ（D- η） =E[Θ（D- η）】。（5）然后，Θ（Z）≤ 欧盟(u>0，Z∈ R），（6）保持。因此，切尔诺夫不等式P r[η≤ D] =E[θ（D- η） ]≤ E[欧盟（D-η） ]=e-uηE【euD】，（7）获得PLOS 3/16。由于公式（3）中的切尔诺夫不等式适用于ar位负相关u>0，因此存在公式（3）右侧的最小值：P r[η≤ D]≤ 分钟>0e-uηE[欧盟日]= e-R（η），（8），其中速率函数R（η）定义为R（η）=maxu>0{uη- φ（u）}，（9）φ（u）=log E[euD]，（10），其中φ（u）是累积量母函数，它是定义为矩母函数E[euD]的对数算法（见a）。此外，我们可以使用累积量基因评级函数φ（u）来评估任何η的评级函数R（η）∈ R、请注意，累积量生成函数是t到u的凸函数，从式（10）中的定义可以看出，式（9）是legendre变换[4，16]，因此R（η）也是η的凸函数。我们现在利用上界e推导出安全库存量和允许缺货率之间的关系-uηE[euD]，这是概率P r[η]的紧上界≤ D] 当前观察到的随机事件，即minu>0e-uηE【euD】=E-R（η）。注意，我们在切尔诺夫不等式的上述证明中使用了连续随机变量D的密度函数，尽管它也适用于离散随机变量。

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可人4

2022-5-31 00:29:38

此外，η的概率≥ D、即P r[η≥ D] ，isP r[η≥ D]≤ e-uηE【euD】，（11）当u<0时；离散情况可以用类似的方式表示。如上所述，但对于随机变量D、D、常数η、η，我们考虑了其内在质量η概率的切尔诺夫不等式≤ Dandη≤ D、即P r[η≤ D、 η≤ D] ，我们得到r[η≤ D、 η≤ D] =E[Θ（D- η） Θ（D- η） ]≤ e-uη-uηE[euD+uD]，（12），其中u，u>0。此外，我们还可以写出N个随机变量~D=（D，···，DN）T的不等式概率的切尔诺夫不等式∈ RNand N常数~η=（η，···，ηN）T∈ RN：P r[~η≤~D]≤ e-~uT ~ηE[E ~ uT ~ D]，（13），其中有N个控制参数u=（u，···，uN）T∈ RN，（ui>0），ηi≤ Diholds表示每个分量，T表示向量或matr ix的转置。注意，我们不需要假设随机变量是独立的，因此在需求重新相关的情况下，这一点成立。与式（12）的推导类似，我们得到了不等式η概率的切尔诺夫不等式≤ Dandη≥ D、即P r[η≤ D、 η≥ D] ：P r[η≤ D、 η≥ D]≤ e-uη-uηE【euD+uD】(u> 0，u<0）；（14） PLOS 4/16关于不等式η的概率≥ Dandη≤ D、 P r[η≥ D、 η≤ D]≤ e-uη-uηE【euD+uD】(u<0，u> 0），（15）和不等式η的概率≥ Dandη≥ D、 P r[η≥ D、 η≥ D]≤ e-uη-uηE【euD+uD】(u<0，u<0）。（16）在此，应注意两点。首先，虽然我们考虑满足两个条件η的概率≤ Dandη≤ Din公式（12），实际上，只需施加其中一个：P r[（η≤ D）∪ （η）≤ D） ]=E[Θ（D）- η） +Θ（D- η）- Θ（D- η） Θ（D- η） ]=E[Θ（D）- η） +Θ（D- η） Θ（η- D）】。（17）当不可能直接计算这种概率时，我们可以用与inEq中所示类似的方法使用切尔诺夫不等式来获得它的更紧上界。（12）。

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kedemingshi

2022-5-31 00:29:42

也就是说，切尔诺夫不等式的计算公式如下：P r[（η≤ D）∪ （η）≤ D） ]≤ e-uηE【euD】+E-uη-uηE【euD+uD】(u> 0，u> 0，u<0）。（18）为了避免重复，在下面的讨论中，我们将只考虑（η≤ D）∩ （η）≤ D） =[η≤ D、 η≤ D] 第二，两个随机变量之和，D+D，超过常数η，P r[η]的概率≤ D+D]=E[Θ（D+D-η），满足以下Chernoffinequality:P r[η≤ D+D]≤ e-uηE[euD+uD]，（19），其中u>0。有两种方法可以解释等式（19）。首先，如上所述，D和D表示同一时期内特定商品的需求，如果允许替代，则D+D表示可替代商品的总需求和P r[η≤ D+D]是可替代商品的需求之和超过某个常数η的可能性[3，15]。替代品安全库存管理意见见B。第二种解释是，dI是周期i内单个项目的需求。然后，D+dR表示两个周期内的总需求，而P r[η≤ D+D]是总需求超过η的可能性[4]。我们将对公式（19）进行后一种解释，并在给定的交付周期内确定安全库存量与允许缺货率之间的关系；这将在第2节中详细讨论。3和2.4.2.3切尔诺夫不等式与库存率之间的关系在本小节中，我们将讨论在交付周期L内产生的需求之和，即PLt=1Dt，与允许缺货率δ之间的关系。类似于我们在公式（19）中所做的，我们替换了E q中切尔诺夫不等式中的随机变量D和5/16常数η。

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mingdashike22

2022-5-31 00:29:45

（3） D=PLt=1，η=Lu+Lε。然后，我们得到r“Lu+Lε≤LXt=1Dt#≤ e-LR（ε），（20），其中每degr ee R（ε）的速率函数和每度φ（u）的累积量生成函数由R（ε）=maxu>0{u（u+ε）定义- φ（u）}，（21）φ（u）=Llog E“expuLXt=1Dt！#，（22），其中u=E[Dt]是需求Dt的平均值。请注意，在q（20）的右侧，我们有E-LR（ε），非e-R（ε）。为了证明这一点，请考虑以下内容：如果一枚硬币的长度是一枚硬币的L倍，那么人头数X遵循二元分布，因为X=n的概率∈ Z、也就是说，P r[X=n]和/或随机变量和的概率上界的主体部分的概率与Lth次方成正比，即e-LR（ε），非e-R（ε）。因此，P r【Lu+Lε≤式（20）中的PLt=1Dt]描述了在交付周期L内产生的需求总和PLt=1Dt大于常数η=Lu+Lε（作为缺货率）的概率。在库存管理的背景下，该概率中的论证Lε可被视为提前期L内的安全库存量。类似地，关于N个共同数，如式（32）所示，P r“Lu+Lε≤LXt=1～Dt#≤ e-LN R（~ε），（23）其中ηi=Lui+Lεi，Dit是时间t时商品i的需求，Di=PLt=1Dit，E[Dit]=ut，以及每度R的速率函数（~ε）和每度累积量生成函数φ（~ u）ar eR（~ε）=max ~ u>0（NNXi=1ui（ui+εi）- φ（~ u）），（24）φ（~ u）=Nlog E“expNXi=1uiLXt=1Dit！#。（25）此外，当商品i的需求的时间序列与时间序列不相关时，式（42）中的累积量生成函数φ（~ u）的一阶可总结为φ（~ u）=Nlog EhexpPNi=1 IDITi、 2.4安全库存量和允许缺货率之间的关系式。

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nandehutu2022

2022-5-31 00:29:48

（20）等于允许缺货率δ，其中δ=e-LR（ε），左侧的概率可考虑实际缺货率。安全库存质量Lε为thusLε=LR-1.-Llogδ, （26）PLOS 2016年6月，其中R-1（···）是速率函数R（ε）的反函数。请注意，该公式不要求假设需求为i.i.d.，并由上述概率理论描述。我们获得了多个相关商品的安全库存量和允许缺货率之间的关系，类似于公式（26）。我们无法从公式（26）中得出准确的安全库存，该公式与原理中的允许缺货率δ相符。然而，我们可以推导出与N种商品的安全库存相对应的允许缺货率δ，L~ε=（Lε，···，LεN）∈ RN，根据公式δ=e-LN R（~ε）。作为Chernoffinequality得出的安全库存限值的应用，我们注意到以下几点：（1）当ε<0时，即当安全库存量lε为负时，R（ε）=0；因此，它没有提供有用的上限；（2）当需求的概率分布未知，且我们无法评估矩母函数时，我们无法直接将切诺夫不等式用于安全库存管理。然而，如果我们可以解析地确定力矩生成函数，我们就可以这样做。例如，关于威布尔分布p（X，α，β）=αβXβα-1膨胀-Xβ已知参数α和β的αi，则sinceE[euX]=P∞k=0ukβkΓ（k+1）Γkα+1, 对于低g-正态分布np（X）=√2πσXexph-（日志X-u）2σi对于已知参数u和σ，则ne[euX]=P∞k=0ukeku+σkΓ（k+1）。

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kedemingshi

2022-5-31 00:29:51

请注意，由于遵循韦伯分布和/或对数正态分布的随机变量没有有限的上界，因此基于[2]中开发的安全库存的霍夫丁不等式的分析方法不适用。此外，在市场稳定且需求分布未知的情况下，当NM足够大时，如果给定维数L的需求序列（D1a，D2a，······，DLa）（a=1，·····，M），则对于任何C（>0），在切比雪夫不等式中，矩母函数EheuPLt=1Dti的估计可以替换为MPma=1eulpt=1Dta：P r“EheuPLt=1Dti-MMXa=1euPLt=1Dta≥ CsE公司euPLt=1Dt- EheuPLt=1Dti#≤MC。（27）因此可精确估计矩母函数（或其对数，累积量母函数）（图1）。3分析结果和数值实验在本节中，我们使用多维正态分布的几个样本来验证我们提出的方法的有效性，这些样本可用于建模统计特性众所周知的相关商品。3.1具有i.i.d.正态分布的单一商品首先，我们将单个商品在t，Dt时的需求与交付周期L内的平均u=E【Dt】的差值定义为Xt（=Dt- u）；我们假设新变量PLOS 7/161e-061e-050.00010.0010.010.1-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2abs（phi（u）-其估计值）uM=10M=100M=1000M=10000M=1000000图1。当需求Dais i.i.d.具有标准归一化分布（L=1）时，累积量生成函数的参数与φ（u）- 日志MPMa=1euDa. 横轴显示u，纵轴显示累积量生成函数φ（u）与其对数估计值之间的绝对差MPMa=1euDa, 也就是说，φ（u）- 日志MPMa=1euDa.

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何人来此

2022-5-31 00:29:54

当M变大时，记录MPMa=1euDa接近累积量母函数φ（u）。此外，可以验证该结果具有自平均特性[17，1 8]。Xtis i.i.d.具有正态分布，平均值E[Xt]=0，方差E[Xt]=σ。由此，当安全库存量为Lε时，我们得到φ（u）=σu，并得到r[Lε≤ 十] =Z∞LεdXp（X）≤ e-Lε2σ,（28）其中X=PLt=1Xt=PLt=1Dt- Lu。由此可知，当允许缺货率为δ时，安全库存质量为Lε=p-2Lσlogδ。这里应该指出一点。在正态分布的情况下，由于累积生成函数φ（u）=σu是已知的，尽管方差σ出现在从上述讨论中获得的安全库存量中，但对于一般的需求分布，方差并不总是出现在累积生成函数的描述中，在一般情况下，不可能确定一个安全库存量来保证更充分的库存率。以类似于图中所示的方式。1、如果我们能估计出累计生成函数，我们就可以利用率函数更准确地确定安全库存量；这种实用的库存管理策略使用了我们提出的方法。此外，请注意，对于该模型，P r[Lε≤ 十] 可直接获得，如下所示：P r[Lε≤ 十] =小时Lε√Lσ, （29）PLOS 8/16，其中h（k）=Z∞kdt公司√2πe-t、（30）根据该公式和等式（29），当允许缺货率为δ时，安全库存量Lε（=SSpre。）isSSpre=√LσH-1（δ），（31），其中k=H-1（δ）是H（k）=δ的反函数。可以看出，之前的库存管理策略是我们提出的方法d的一个特例。这里需要注意两点。首先，虽然我们分析推导了正态分布情况下的安全股票质量，但分析了Chernoff不等式inEq。

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mingdashike22

2022-5-31 00:29:58

（28），并严格描述公式（29），对缺货率P r[Lε]的解析解并不总是容易的≤ 十] 。Nex t，一般来说，即使需求与其平均值Xt之差的概率密度函数P（Xt）是众所周知的，严格允许的缺货率P r[Lε≤ 十] =E[Θ（PLt=1Xt-Lε）]的解析描述如下：P r[Lε≤ 十] =Z∞-∞LYt=1dXtP（Xt）ΘLXt=1Xt- Lε=Z∞-∞LYt=2dXtP（Xt）×Z∞Lε-PLt=2XtdXP（X）。（32）然而，即使我们能够找到Xin公式（32）的积分的闭合形式，X，·······，XLs的积分也不容易计算，我们需要通过使用梯形积分来近似这种卷积积分。特别是，因为有必要计算L的指数- 1、无法对其进行严格评估。另一方面，如果我们可以使用基于切尔诺夫不等式的方法检验矩母函数，那么我们可以评估与允许缺货率相对应的率函数R（ε）和安全库存质量Lε。3.2缺货率的定义在本小节中，我们总结了管理多种商品安全库存的方法。为了简单起见，我们将考虑两种类型的商品。对于提前期L，设Xt和Yt分别为两种商品的归一化需求（即当前需求和平均需求之间的差值）。我们假设Xt，Yt是i.i.d.，具有高斯分布，使得E[Xt]=E[Yt]=0，E[Xt]=σX，E[Yt]=σY，E[XtYt]=ρσXσY。由此，提前期L上的需求之和，X=PLt=1XtandY=PLt=1Yt，分别超过LεX和LεY的概率计算如下：P r[LεX≤ 十] =HLεXpLσX！，（33）P r[LεY≤ Y]=HLεYpLσY！。

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大多数88

2022-5-31 00:30:01

（34）PLOS 9/16此外，还需要评估缺货概率：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]和p r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]+P r[LεX>X，LεY≤ Y]+P r[LεX≤ 十、 LεY>Y]在三种以上商品的情况下。由于这些缺货状态的变化随着商品数量的增加而指数增加，并且从第2.2节的disc ussion来看，Chernoff不等式适用于任何缺货模式。此后，我们将讨论其中一种库存模式，即所有商品都缺货的情况。3.3两种具有正态分布的i.i.d.商品分别满足商品1和商品2的需求。与需求及其在交付周期内的平均需求的差异（E[DXt]=uX，E[DYt]=uY）表示为Xt=DXt- uX，Yt=DYt- uY，E【Xt】=E【Yt】=0，E【Xt】=σX，E【Yt】=σY，E【XtYt】=E【Xt】E【Yt】=0。由此可知，当相应的安全库存量为LεX和Lεy时，交付周期为L，则缺货率P r【LεX≤ 十、 LεY≤ Y]，这是两个公数同时丢失的概率，isP r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεXdXZ∞LεYdY p（X，Y）≤ e-LεX2σX+εY2σY, （35）式中，X=PLt=1xT，Y=PLt=1Yt。由此可知，当安全库存量LεX，LεYareLεX=p2LσXlog（1/δX），LεY=p2LσYlog（1/δY）时，允许缺货率为δ=δXδY。此外，P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]可直接计算为a s，如下所示：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=HLεXpLσX！HLεYpLσY！。（36）由此可知，如果我们有lεX=qLσXH-1（δX），（37）LεY=qLσYH-1（δY），（38）则得出允许缺货率δ=δXδY。3.4两种正态分布的相关商品——设Xt，Yt为两种相关商品在交付周期L内的需求，其中它们是正态分布的，平均值E[Xt]=E[Yt]=0，方差E[Xt]=σX，E[Yt]=σY，协方差E[XtYt]=ρσXσY。

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何人来此

2022-5-31 00:30:05

然后，当安全库存量为LεX和LεY时，缺货率P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]isP r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεXdXZ∞LεYdY p（X，Y）≤ 经验值-LεXσX- 2ρεXεYσXσY+εYσY2（1- ρ）, （39）PLOS 10/16，其中X=PLt=1xT，Y=PLt=1Yt。由此，LεX=q-2LσXlogδX，（40）LεY=σYσXρ（LεX）+q-2LσY（1- ρ）对数δY，（41），因此我们可以计算δ=δXδY。注意，在这个模型中，P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]直接计算为二重积分：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεX√LσXdu√2πe-u×Hp1- ρLεYpLσY- ρu！！，（42）其中，如果ρ=0，则等式（42）与等式（3 6）匹配。在这种情况下，我们对缺货率有另一种分析描述：P r[LεX≤ 十、 LεY≤ Y]=Z∞LεX√LσX（1-ρ） dsZ公司∞LεY√LσY（1-ρ） dt2πe-s+teρstp1- ρ。（43）正如在公式（32）的讨论中所述，随着交付周期L的增加，计算量随着要考虑的项目数（N）呈指数增长，因此对于足够大的N，使用直接方法（如公式（4.2）或（43））是不切实际的。3.5数值实验在本小节中，我们通过进行数值实验来评估所提出方法的有效性。为简单起见，我们考虑需求方差相等的情况，σX=σY=σ。从这个对称性，我们可以计算δX，δybyasuming LεX=LεY=Lε。来自Eqs。（37）、（38）、（40）、（41）和（43），对于给定的低缺货率δ，严格的安全库存量SSrig。（钻机=严格），建议的安全库存量SSpro。（pro.=建议），以及之前的安全库存量SSpre。（pre.=previous）可评估：SSrig.=P-1（δ），（44）SSpro=pLσ（1+ρ）log（1/δ），（45）SSpre=√LσH-1个(√δ），（46）其中我们使用P（SS）=P r[SS的反函数≤ 十、不锈钢≤ Y]在等式中定义。（42）和（43）。此外，根据第3小节。3，我们有δX=δY=√δ、从第3.4小节，我们得到δX=δ1+ρ，δY=δ1-ρ。无花果

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nandehutu2022

2022-5-31 00:30:08

2比较拟定安全库存量与严格安全库存量SSpro的比例/SSrig公司。以及pre-vious安全库存量与钻机安全库存量SSpre的比例/SSrig。。同样，缺货比例为P（SSpro.）/P（SSrig.）andP（SSpre.）/P（SSrig.）如图3所示。在图中。2和3，σ=1，ρ=0.9，L=10。从图2可以看出，允许缺货率小于10%，建议的安全库存策略前一个安全库存策略图2严格的安全库存缺货率L=10，rho=0.9。比较我们提出的SSpro方法得出的安全库存量。相对于钻机安全库存SSrig。以及用前一种方法SSpre估算的安全库存量。相对于严格的安全库存SSrig。。横轴表示允许缺货率δ，纵轴表示安全库存率。根据该方法得出的安全库存量是严格安全库存量的1.2至1.9倍。从图3可以看出，所提出方法的缺货率始终小于允许的缺货率；这是由切尔诺夫不等式保证的。然而，在现有方法中，缺货率总是超过允许值。此外，图中使用的ρ，L的其他情况。2和3为lso担保。

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能者818

2022-5-31 00:30:12

因此，很明显，尽管s安全库存意味着将机会损失最小化，但当不同类型的商品之间存在相关性时，之前的方法无法保证适当的水平。4结论和未来工作在本研究中，我们提出了一种新的方法来管理具有相关需求的多个商品的库存；我们使用切尔诺夫不等式推导了安全库存量与允许短缺率之间的关系。利用Legendr e对累积量生成函数的变换定义的比率函数，我们能够确定安全库存水平，以确保库存率始终是可接受的。理论性质是众所周知的，因为它们遵循多维正态分布。我们推导了三种不同模型的安全库存：我们提出的方法、现有方法和精确（分析）方法。我们确定了每种方法的允许缺货率，并通过数值实验验证了我们方法的有效性。在本研究中，我们考虑了两种相关商品，但为了提高所提方法的有用性，我们讨论了多种商品的安全库存量，包括正相关和负相关商品。我们讨论了一个生命周期的安全库存量，但在现实中，重要的是考虑到12/160.010.10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1库存率的比例w.r.t。严格的安全库存率l=10，rho=0.9建议的安全库存策略先前的安全库存策略图3。

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nandehutu2022

2022-5-31 00:30:15

将我们提出的方法得出的缺货率与允许缺货率P（SSpro）的比例进行比较/P（SSrig.）前一种方法得出的缺货率占允许缺货率P（SSpre）的比例/P（SSrig.）。横轴表示允许缺货率δ，纵轴表示缺货率与允许缺货率的比例。考虑安全库存，同时包括预订单和延期订单，并跨越多个生命周期。我们打算在未来的研究中解决这一问题。作者感谢I.Arizono、Y.Takemoto、K.Kobayashi和I.Kaku的富有成效的评论。这项工作得到了第15K20999号赠款的部分支持；秋田县立大学Young科学家校长项目；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；曾金经济与金融研究基金会第1414号研究项目；统计数学研究所2068号研究项目；坎波基金会第二研究项目；以及三菱UFJ信托奖学金基金会的研究项目。A比率函数的性质在本附录中，我们给出了比率函数R（η）的性质，用于推导安全库存量与允许缺货率之间的关系。首先，我们可以重写公式（9），速率函数的定义如下：R（u，η）=uη-log E【euD】，（47）PLOS 13/16，其中R（0，η）=0，R（u，η）是u和soR（η）的连续函数≥ 0

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可人4

2022-5-31 00:30:18

（48）因此，我们得到了P r[η]的正上界≤ D] 使用Chernoffinequality：P r[η≤ D]≤ e-R（η）≤ e-0=1。接下来，由于指数函数是凸的，因此E[euD]≥ euE[D]成立，因此weobtainR（u，η）≤ uη- uE【D】。（49）当η≤ E【D】，自u（η- E[D]）≤ 0时，u的最佳值接近0，我们得到R（η）=0。另一方面，当η≥ E[D]，u的最佳值不等于0，因此我们得到R（η）>0。因此，我们可以将η的定义改写为η=E[D]+ε，可以看出，速率函数的符号由ε的sig n决定，即如果ε≤ 0，则R（η）=0，否则，R（ε）>0。此后，我们将速率函数R（η）视为距离平均值E[D]的函数。我们还注意到，从速率函数的定义来看，R（u，η）相对于u是凸的，因为R（u，η）u≤ 因此，以下更新规则将优化u:us+1=us+κulimu→我们R（u，η）u、（50）其中，usis是步骤s中u的状态，fo r s∈ Z、阶跃常数为κu=10-3、如果| us- us+1 |接近0，或者u的变化小于无穷小θ，例如θ=10-6、控制参数u和常数η都可以发展为多维情况；例如，对于~ u，~η∈ RN，R（~ u，~η）相对于~ u是凸的，因此R（~η）=max ~ uR（~ u，~η）相对于~η是凸的。从上述结论出发，利用比率函数的凸性、比率函数和累积量母函数的对偶性以及凸优化研究中开发的算法，我们可以在随机现象下为库存管理评估更合适的安全库存量。B等式（9）的可用性等式（9）显示了关于N种商品的切尔诺夫不等式。

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能者818

2022-5-31 00:30:22

提前期Xit（i=1，···，N，t=1，··，L）上的标准化需求（或当前需求和平均需求之间的差异）没有时间上的相关性，并遵循E[Xit]=0，E[XitXjt]=∑ij的正态分布。从式（9）中，我们可以导出以下不等式：P rhL~ε≤~xi≤ e-L~uT~ε+L~uT∑~u，（51），其中~u≥ 0，~ X=PLt=1 ~ Xt，方差-协方差矩阵∑={∑ij}∈ RN×N。我们可以通过使用以下关于参数u的方程来获得更紧的上边界：~ us+1=max（~ us+κ（~ε- ∑~us），0），（52），其中κ为正且无穷小，~u=（1，1，···，1）T∈ RN，在步骤s，~ us=（u1，s，···，uN，s）T∈ 注册护士。停止条件为 =PLi=1 | ui，s+1- ui，s |<10-严格缺货率Lε计算如下：P rhLε≤~Xi=Z∞L~εd~ Xe-2L～XT∑-1~X（2π）Npdet（L∑）。（53）PLOS 14/16我们首先对方差-协方差矩阵∑进行对角化，然后准备新变量，这些新变量位于∑的特征向量方向。然而，由于新变量的积分域更为复杂，因此不容易对等式（53）的右侧进行分析评估。因此，当商品数量N较大时，我们使用梯形过积分来近似它；然而，计算复杂度随N呈指数增长，因此这种方法不实用。C可替代商品的安全库存管理我们在此讨论X和Y为可替代商品的情况下的安全库存管理。

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kedemingshi

2022-5-31 00:30:25

使用第3.4小节中的模型设置，对于交付周期L内两种商品X和Y的修正需求，我们考虑了它们与均值Xt、Yt的差异（由于它们是可替代的，我们假设它们具有负相关），使用切尔诺夫不等式计算sumPLt=1Xt+PLt=1Ytis大于安全库存量Lε的概率：P r“Lε≤LXt=1（Xt+Yt）#≤ e-uLεEheuPLt=1（Xt+Yt）i=e-uLε+Lu（σX+σY+2ρσXσY）。（54）由此可知，速率函数isR（ε）=maxu>0uε-u（σX+σY+2ρσXσY）=ε2（σX+σY+2ρσXσY）。（55）因此，相对于允许缺货率的安全库存δisLε=q-2L（σX+σY+2ρσXσY）对数δ。（56）这里，我们假设X和Y之间的相关性为负，但这也适用于相关性为正的情况。因此，安全库存量Lε相对于相关系数ρ是一个单调的非减函数。参考文献1。Fotop oulos S.，Wa ng M.-C.，Rao S.S.，1988年。具有相关需求和任意提前期的安全库存测定，欧洲运营研究杂志，35（2），172-181.2。Takemoto Y.，Iwamoto I.，Arizono I.，2011年。有限需求信息下满足允许短缺率的再订购点建议，日本工业管理协会杂志，62（1），21-24.3。Arizono I.，Takemoto Y.，2013年。关于设定节电率以避免发生电力短缺风险的建议，综合，6（3），140-151。PLOS 15/164。Shinzato T.，Kaku I.，2011年。《相关需求安全库存管理的大偏差方法》，日本工业管理协会杂志，62（4），164-173.5。施密特J。P、，Siegel A.，Srinivasan A.，1995年。Chernoff-Hoefffing有限独立应用程序界限，暹罗离散数学杂志，8（2），223-250。6、Silver E.A.，Pyke D.F.，Peterson R.，1998年。

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kedemingshi

2022-5-31 00:30:28

库存管理和生产计划与调度，Wiley。7.Kottas J.K.，Lau H.S.，1979年。模拟随机laedtime分布的现实方法，AIIE事务，11（1），54-60.8。Kottas J.K.，Lau H.S.，1980年。在一些随机库存计算中使用多种分布模式，运筹学学会期刊，31（5），393-403.9。Ray W.D.，1980年。《相关需求和可变提前期对库存控制政策的意义》，《运营研究学会杂志》，31（2），187-190.10。Ray W.D.，1981年。当需求与提前期随机相关时，再订购水平的计算，运营研究学会杂志，32（1），27-34.11。Bagchi U.，Hayya J.C.，Ord J.K.，1983年。Hermite分布作为缓慢移动项目交付周期内需求模型，《决策科学》，14（4），447-466.12。Bagchi U.，Hayya J.C.，Ord J.K.，1983年。《提前期内的需求分布》，综合使用现状，宾夕法尼亚州立大学工作论文。13、Van Ness P.D.，Stevenson N.J.，1983年。具有圆盘可回收性分布的再排序点模型，决策科学，14（3），363-36 9.14。Lau H.S.，Wang M.C.，1987年。估计每日需求非正态且自相关时的提前期需求分布，欧洲运筹学研究杂志，29（1），60-67.15。Zang R.，Kaku I.，Xiao Y.，2011年。c ross selling提出的具有部分背景和相关需求的确定性EOQ，欧洲运营研究杂志，201（3），537-551.16。Cengel Y.A.，Boles M.A.，2010年。热力学：工程方法，麦格劳-希尔高等教育。17、Shinzato T.，2015年。均值-方差e模型最小投资风险的自平均特性，公共科学图书馆一号，10（7），e0133846.18。Wakai R.，Shinzato T.，Shimazaki Y.，2014年。

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kedemingshi

2022-5-31 00:30:31

投资组合优化问题的随机矩阵Appr-oach，日本工业管理协会杂志，65（1），17-28。PLOS 16/16

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