关于椭圆分布条件协方差矩阵的一个注记

nandehutu2022

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《A note on conditional covariance matrices for elliptical distributions》
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作者：
Piotr Jaworski and Marcin Pitera
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this short note we provide an analytical formula for the conditional covariance matrices of the elliptically distributed random vectors, when the conditioning is based on the values of any linear combination of the marginal random variables. We show that one could introduce the univariate invariant depending solely on the conditioning set, which greatly simplifies the calculations. As an application, we show that one could define uniquely defined quantile-based sets on which conditional covariance matrices must be equal to each other if only the vector is multivariate normal. The similar results are obtained for conditional correlation matrices of the general elliptic case.
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中文摘要：
在这篇简短的注释中，当条件是基于边缘随机变量的任何线性组合的值时，我们提供了椭圆分布随机向量的条件协方差矩阵的分析公式。我们证明，可以仅依赖于条件集引入一元不变量，这大大简化了计算。作为一个应用，我们可以定义唯一定义的基于分位数的集合，如果向量是多元正态的，则条件协方差矩阵必须彼此相等。对于一般椭圆情形的条件相关矩阵也得到了类似的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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kedemingshi

2022-5-31 05:29:47

关于椭圆分布的条件协方差矩阵的注记Piotr Jaworski*, Marcin Pitera+2017年3月6日摘要在这篇简短的说明中，我们提供了椭圆分布随机向量的条件协方差矩阵的分析公式，条件是基于边际随机变量的任何线性组合的值。我们表明，可以引入单变量不变量，这完全取决于条件集，这大大简化了计算。作为一个应用，我们表明，只要向量是多元正态的，就可以定义唯一定义的基于分位数的集合，条件协方差矩阵必须彼此相等。对于一般椭圆情形的条件相关矩阵也得到了类似的结果。关键词：椭圆分布，条件协方差，条件相关，尾部协方差矩阵，尾部条件方差。MSC 2010:62H05，60E05.1简介考虑一个具有有限协方差矩阵∑的n维椭圆分布随机向量X。设Y表示X的边距的任何非平凡线性组合。在这个简短说明中，我们提供了条件协方差矩阵Var[X | Y]的分析公式∈ B] ，其中B是{Y∈ B} 具有积极意义。我们认为这个条件n×n矩阵可以表示为var[X | Y∈ B] =k（B）Var[X]+（Var[Y | Y∈ B]- k（B）Var[Y]）ββT，其中β是从marginsof X到Y的L-正交投影的回归系数向量，k（B）是仅依赖于X的特征生成器、Y的概率分布和集合B的不变量。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:29:50

这大大减少了Var[X | Y]的计算∈ B] 因为我们不需要考虑条件n维向量X。特别是，我们表明，对于多元正态随机向量，只需要考虑集合B上Y的条件方差，因为不变k（B）的值不取决于B的选择。接下来，我们使用此结果构造一组基于分位数的条件集，如果只有X来自特定的d分布，则相应的协方差（或相关）矩阵必须重合。这种方法可以用来构造统计检验，检验样本是否来自给定的多元分布。作为一个直接应用，我们证明了如果我们（近似地）将概率空间分成三个子集：B：={q（0.0）<Y≤ q（0.2）}，B：={q（0.2）<Y≤ q（0.8）}，B：={q（0.8）<Y≤ q（1.0）}，其中q（·）：=F-1Y（·），则对于任何多元正态向量X，三个条件方差矩阵Var[X | Y∈ B] ，Var[X | Y∈ B] ，和Var[X | Y∈ B] 必须彼此相等。此外，该（近似）20/60/20分割比是一个唯一的比率*波兰华沙华沙大学数学研究所+波兰克拉科夫贾吉略大学数学研究所。此属性。对于更多的条件集和基于分位数的视觉，我们给出了类似的结果。当考虑金融应用时，基于分位数的调节区域中依赖性结构的变化尤其令人感兴趣，因为它可能对应于资产之间的空间联系（见[2，1]和其中的参考文献）或尾部风险的增加，而在风险度量框架中考虑了所谓的尾部条件方差（见[3，10，9]和其中的参考文献）。

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何人来此

2022-5-31 05:29:54

在社会背景下，Y可能对应于金融投资组合，而在决策科学中，它可能与（基准）决策标准相关联。本说明组织如下：在第2节中，我们提供了一组贯穿本文的基本概念。在第三节中，我们介绍了K不变量的概念，它是研究条件协方差和相关矩阵的主要工具。第4节专门研究条件方差/协方差矩阵。这里，我们给出了本注释的主要结果——Theorem4.1，它提供了条件方差矩阵的分析公式。在第5节中，我们考虑多元法向量的特殊情况。定理5.2是本文的第二个主要结果，它表明可以构造条件协方差矩阵彼此相等的唯一除法分区。第6节讨论了CorrelationMatrix。命题6.2可能被视为与一般椭圆定理5.2的类似。2预备课程(Ohm, M、 P）是一个概率空间，让我们x n∈ N、在本文中，我们假设X~ En（u，∑，ψ），这意味着X=（X，…，Xn）是一个具有位置参数u、尺度矩阵∑和特征生成器ψ的n维椭圆分布随机向量，其中等式ψ（xT∑X）=Ehexp(-ixT（X- u））满足任何x=（x，…，xn）T，其中x，xn公司∈ R（详见[8，4]）。

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mingdashike22

2022-5-31 05:29:58

我们还假设X接受由xd=u+RAU（2.1）给出的连续分布函数的正则（随机）表示，其中-R是正随机变量，使得E[R]=n；-A是一个n×n可逆平方矩阵，因此AAT=∑，其中∑是一个正定义（非退化和有限）协方差矩阵；-U是一个独立于R的随机向量，均匀分布在Rn的单位球面上。向量U是奇异的，U+····+Un=1，U的边距与E（UUT）=nIdn不相关。此外，对于任何正交矩阵O，我们得到OUd=U。出于技术原因，我们将U写为垂直形式（作为n×1矩阵）。注意R=RUTU=RUTAT∑也很有用-1AUd=（X- u）T∑-1（X- u），因此Var[X]=E[（X- u）（X- u）T]=E[R]AE[UUT]AT=∑。换句话说，尺度矩阵∑实际上是X和dψ′（0）=-E[R]2n=-.许多已知的椭圆分布族都与R的特定半径分布相关。例如，如果X是多元高斯向量，则可以注意到，对于任何椭圆分布，尺度矩阵与协方差矩阵（只要存在）成比例，且尺度因子等于-2ψ′（0）；详见【8，定理4】。图中，R是以具有n个自由度的χ分布形式分布的。在给定u和∑的特殊情况下，我们使用标准符号X~ Nn（u，∑）。接下来，对于任意随机向量Z和W，以及M-可测集B，使得p[B]>0，我们设置eb[Z]：=E[Z | B]，VarB[Z]：=Var[Z | B]=Eh（Z- EB[Z]（Z- EB[Z]）T | Bi，CovB[Z，W]：=Cov[Z，W | B]=Eh（Z- EB[Z]（W- EB[W]）T | Bi，分别表示集合B上的条件期望、条件方差矩阵和条件协方差矩阵。此外，通过本文，我们得出=（a，…，an）∈ Rn \\{0}并考虑随机变量y：=aX=nXi=1aiXi，这是X坐标的线性组合。

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大多数88

2022-5-31 05:30:01

我们将Y作为X的基准。请注意，当我们将Xi垂直投影到Y跨越的线上时，“最小平方误差模型”由Xi=βiY+εi，Cov（Y，εi）=0，（2.2），其中回归系数β=（β，…，βn）的向量等于β（X | Y）：=Cov[Y，X]Var[Y]=a∑aT。3 K-不变量在这一节中，我们介绍了两个不变量，这两个不变量将在以后对条件协方差和相关矩阵的研究中起关键作用。定义3.1。给定一个特征生成器ψ和一个Borel子集a （0，1）对于正Lebesgue测度，K（ψ，A）=Var[V | F（V）给出了K-不变量和K′-不变量∈ A] ，K′（ψ，A）=Var[V | F（V）∈ A] Var[V | F（V）∈ A] ，其中V=（V，V）~ E（0，Id，ψ）和Fdenotes是V的分布函数。K不变量只是椭圆随机向量的标准化边缘的条件方差，条件是（标准化）不相关边缘。它将成为条件协方差矩阵计算中的一个重要工具。另一方面，K′-不变量可以看作是K-不变量的标准化版本，将用于条件相关矩阵分析。为便于将来参考，请注意givenX~ En（u，∑，ψ），X的任何二维边缘也是椭圆的，具有相同的生成器，随机向量（X，Y）也是椭圆的；详见【4】。另外，请注意，对于正态随机向量，不相关意味着独立性，因此在这种特殊情况下，K-不变量不依赖于a，并且始终等于1。值得注意的是，K不变量可以用相应椭圆密度发生器（假设存在）的所谓尾密度（参见[7，定义2]）表示。提案3.2。让我们假设V~ E（0，Id，ψ）允许密度。

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大多数88

2022-5-31 05:30:04

然后，使用定义3.1中的符号，我们得到k（ψ，A）=P[W∈ B] P【V】∈ B] ，（3.1），其中B=F-1（A），W是密度h（W）=cZ的随机变量∞带2g（u）du，w∈ R、（3.2）函数为E（0，1，ψ）和cis的密度生成器提供相应的归一化常数。有关gand c.Proof的定义，请参见[7]。对于k=1，2，我们用gk表示Ek（0，Idk，ψ）密度的发生器；见【7】。特别是，h（x）：=gx个h（x，y）：=g（x+y）分别是E（0，1，ψ）和E（0，Id，ψ）的密度。我们得到Var[V | V∈ B] =P【V】∈ B]EV{V∈B}- EV{V∈B}=P【V】∈ B]Zw公司∈BZ公司∞-∞vg公司（v+w）dv数据仓库- 0=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞√2v gv+wdv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z√2vgv+wdu dv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z∞ug公司v+wdv du dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z∞g级v+u+wdv du dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z∞-∞g级v+u+wdu dv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞g级v+wdv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈Bh（w）dw=P[w∈ B] P【V】∈ B] ，从而得出结论。表示式（3.1）表明，K（ψ，·）可以看作概率畸变函数的一种形式；见【7】。此外，可以证明（3.2）中定义的函数是球形随机变量的密度。关于许多已知椭圆族的尾密度的更多细节和示例，请参阅[7]。4条件方差/协方差矩阵我们现在准备好呈现本注释的主要结果–定理4.1。它指出，对于基准随机变量Y和条件集B{Y∈ B} ，其中B∈ B（R）和P[B]>0，我们可以很容易地计算集B上X的条件协方差矩阵。因此，我们只需要考虑（单变量）条件随机变量Y和相应的K-不变量的值。这可能简化了计算，因为我们不需要考虑条件n维向量X。定理4.1。对于椭圆随机向量X，设Y=aX~ En（u，∑，ψ），Var[X]<∞.设B={Y∈ B} 使B∈ B（R）和P[Y∈ B] >0。

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kedemingshi

2022-5-31 05:30:07

那么，VarB[X]=k（B）Var[X]+（VarB[Y]- k（B）Var[Y]）ββT，（4.1），其中k（B）=k（ψ，FY（B））和β=β（X | Y）。证据证明基于随机表示（2.1）。我们设置z：=^a1/2ROU，其中^a：=a∑aTand O是正交矩阵，使得aa=^a1/2eO，对于e=（1，0，…，0）。那么，X- ud=RAU=^a-1/2奥茨（4.2）安迪- au=a（X- u）d=R（aA）U=^a1/2REO=eZ=Z。因此，Z=（Z，…，Zn）是一个具有Y版本的球面向量-au作为第一个坐标；见【4】。进一步Morez~ En（0，^aIdn，ψX）andE（Z | Z+au∈ B） =…=E（Zn | Z+au∈ B） =^ak（B）。此外，我们知道（Y- au，X- u）d=（Z，RAU），这意味着通过Y调节与通过Z+au调节一致。对于anyBorel函数f，我们有e（f（X- u）| Y∈ B） =E（f（RAU）| Z+au）。因为Z是一个球面随机向量，所以随机向量sz（i）：=Z- 2ZieTi=（Z，-Zi，Zn）T，i=2，n、具有与Z相同的概率分布。这对于条件分布Z（i）| Z也是有效的∈ B- aud=Z | Z∈ B- au，i=2，n、因此，对于j 6=i，我们有b[-ZiZj]=EB[ZiZj]=0，andEB[ZZT]=EB[Z]0 00 Idn-1.+ EB【Z】1 00 0n-1.= EB[Z]Idn+EB【Z】- EB【Z】eTe=^ak（B）Idn+EB【Z】- ^ak（B）eTe。此外，VarB【Z】=EB【ZZT】- EB[Z]EB[Z]T=EB[ZZT]- EB[Z]eeT=^ak（B）Idn+（VarB[Z]- ^ak（B））等。因此，回顾（4.2）并注意到^a=Var[Z]以及Zd=Y- au，we getVarB[X]=VarB[^a-1/2AOTZ]=^a-1AOTVarB[Z]OAT=k（B）AOTOAT+^a-1VarB[Z]- k（B）AOTeTeOAT=k（B）Var[X]+^a-1VarB[Z]- k（B）^a-1∑aTa∑=k（B）Var[X]+^a-1VarB【Y】- k（B）^aβT，（4.3），其中总结了公式（4.1）的证明。值得注意的是，定理4.1中的K-不变量可以使用托卡斯特表示（2.1）来表示。

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mingdashike22

2022-5-31 05:30:11

实际上，使用定理4.1中的符号，它可以表示为k（ψ，FY（B））=n- 1.EB【R】-EB[（Y- au）]Var[Y].还值得注意的是，X和Y开始B的条件协方差矩阵可以用Y和回归系数β（X | Y）的向量显式表示。这是命题4.2的陈述。提案4.2。在定理4.1的假设和符号下，我们得到covb[X，Y]=VarB[Y]β（X | Y）。（4.4）证明。设β：=β（X | Y）。为了证明命题4.2，注意aβ=1就足够了。使用定理4.1中的符号，我们立即得到covb[X，Y]=VarB[X]aT=k（B）Var[X]aT+（VarB[Y]- k（B）Var[Y]）β=k（B）（Cov[X，Y]- Var[Y]β）+VarB[Y]β=VarB[Y]β。等式（4.4）具有有趣的线性建模结果。设γ为Rn的水平向量。如果一个随机变量γX与Y不相关，那么在集{Y上的条件下，相同的仍然有效∈ B} 。实际上，CovB[γX，Y]=γCovB[X，Y]=VarB[Y]γβ（X | Y）=VarB[Y]Var[Y]γCov[X，Y]=VarB[Y]Var[Y]Cov[γX，Y]=0。因此，（2.2）中介绍的“最小二乘误差模型”在Y条件下保持不变。换句话说，对于βi=βi（X | Y），我们得到xi=βiY+εi，CovB（Y，εi）=0，（4.5），并且L-正交投影与Y的条件交换。注意，对于Bis为半直线的情况，在[10]中考虑了条件协方差矩阵CovB[X，Y]；详见【10，定理1】和【10，定理3】。5多元正态在本节中，我们详细讨论了当X~ Nn（u，∑）。我们记得，对于正规特征发生器ψ（t）=exp(-t） K-不变量与a无关，且始终等于1。将其与定理4.1相结合，我们得到以下推论（参见[6，引理3.2]）。推论5.1。让X~ Nn（u，∑）和B={Y∈ B} 使B∈ B（R）和P[Y∈ B] >0。然后，VarB[X]=Var[X]+（VarB[Y]- Var[Y]）ββT，（5.1），其中β=（β。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:30:14

，βn）T，βi=Cov[Y，Xi]Var[Y]。从推论5.1中，我们可以看到，条件协方差矩阵VarB[X]仅通过集合B上基准的方差依赖于B，即值VarB[Y]。因此，如果我们有Borel集B的任何数字，bk使之变差[Y | Y∈ B] =…=Var[Y | Y∈ Bk]，然后我们立即得到协方差矩阵var{Y上的相关等式∈B} [X]=…=变量{Y∈Bk}[X]。此外，如果∈ Rn \\{0}，对于任何k∈ N可以发现（aunique）将R划分为Borel子集(-∞, b），[b，b），…，[bk-1，黑色），[黑色，∞),其中b<b<…<bk是这样的，var[Y | Y∈ (-∞, b） ]=Var[Y | Y∈ [b，b）]=…=Var[Y | Y∈ [bk，∞)].而序列（b，…，bk）取决于a的选择∈ Rn \\{0}它可以是expressedas（b，…，bk）=（q（α），q（αk）），其中q（·）=F-1Y（·）和（α，…，αk）是一个独立于a选项的数字序列∈ Rn \\{0}。换句话说，假设th在Y处~ N（uY，σY）和k∈ N我们得到存在唯一的序列α<…<αk对于等式链var[Y | Y∈ （q（0），q（α））]=Var[Y | Y∈ [q（α），q（α））]=…=Var[Y | Y∈ 满足[q（αk），q（1））]（5.2）。此外，序列（a，…，ak）独立于uYandσY。关于证明的id ea（以及情况k=2的精确证明），我们参考[6，引理3.3]。将推论5.1和（5.2）结合起来，我们得到以下结果，这可以看作是[6，定理3.1]的推广。定理5.2。让X~ Nn（u，∑），Y=aX，k∈ N、然后，Var{Y<q（α）}[X]=Var{q（α）<Y<q（α）}[X]=…=Var{q（αk-1） <Y<q（αk）}[X]=Var{q（αk）<Y}[X]，（5.3）对于唯一序列0<α<…<αk<1，其中q（·）=F-1年（·）。此外，序列（α。

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何人来此

2022-5-31 05:30:16

，αk）是固定的，且与n、u、∑和a无关。我们知道，如果（5.3）中定义的条件协方差矩阵不一致（对于任何k∈ N和相应的唯一序列），则X不是正态分布。因此，该应用程序可用于构建统计检验，检验样本是否来自多元正态分布。当考虑金融应用时，基于分位数的条件区域中依赖结构的变化尤其令人感兴趣，因为它可能对应于资产之间的空间传染或尾部风险的增加。请注意，在这种特殊情况下，Y可能被视为金融投资组合，较低的分位数集可能与回报率较低的时期相关。因此，我们认为，从实践的角度来看，理论5.2可能很有趣。请注意，在简化的形式中，可以简单地采用X的单变量坐标的任何线性组合，根据（预先指定的）分位数进行调节，并比较方差。或者，可以关注依赖结构并比较相关矩阵而不是协方差矩阵。现在让我们简要讨论一下OREM5.2中给出的唯一序列（α，…，αk）。对于固定k∈ N、由于X的对称性，我们立即得到αi=1- αk+1-i、对于i=1，2，k、 k=1，2…，时序列（α，…，αk）的ap近似值，表1给出了6个。特别地，当k=2时，我们得到了近似比率为20%、60%和20%的划分。

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何人来此

2022-5-31 05:30:19

这可能与所谓的20-60-20规则有关；有关更多详细讨论，请参见[6]。kαα分配比1 0.500---50/502 0.198 0.802---20/60/203 0.075 0.500 0.925---7/43/43/74 0.027 0.270 0.730 0.973---3/24/46/24/35 0.010 0.133 0.500 0.867 0.990-1/12/37/12/16 0.004 0.062 0.307 0.693 0.938 0.996 0.5/5/25/39/5/0.5表1：k=1，…，的序列（α，…，αk）近似值，6和四舍五入的分配比。6条件相关矩阵在第5节中，我们已经证明定理4.1可以用来检验X是否（非）正态分布；详见定理5.2。（5.3）中基于分位数的条件集的选择很困难，因为它与∑，u，nand a的选择无关。不幸的是，对于一般的椭圆随机向量，这个结果不正确，因为两个子集的条件方差的质量并不一定意味着相应的K不变量相等。然而，很容易注意到，使用K′-不变量，我们可以重写方程（4.1）asVarB[X]VarB[Y]=K′（B）Var[X]Var[Y]+1.- k′（B）ββT，（6.1），其中k′（B）=k′（ψ，FY（B）），B={Y∈ B} 。从等式（6.1）可以看出，如果我们有两个子集B={Y∈ B} 和^B={Y∈如果k′（B）=k′（B）（6.2），那么条件矩阵VarB[X]和Var^B[X]与VarB[Y]Var^B[Y]=k（B）k（B′）=k（ψ，FY（B））k（ψ，FY（B））成比例。这立即意味着条件相关矩阵的对应相等。这实际上是命题6.1的陈述，我们在没有证据的情况下提出。提案6.1。让n≥ 2.

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何人来此

2022-5-31 05:30:22

对于k∈ {1，2}let1）Xk~ En（uk，∑k，ψk）为椭圆随机向量；2） Yk=akXkbe一些固定ak的相应基准∈ Rn \\{0}；3） Bk={FYk（Yk）∈ B*i} 是B的相应调节设置*k∈ B（（0，1））是正Lebesgue测度集。此外，假设协方差矩阵和权重向量是成比例的，即存在κ，λ∈ R+，使得∑=κ∑，a=λa。然后，等式k′（ψ，B*) = λK′（ψ，B*)意味着条件相关矩阵CorB[X]和CorB[X]相等。特别是，命题6.1暗示了相关矩阵定理5.2的以下变化：命题6.2。让k≥ 设ψ为特征发生器。让分区{B*i} 单位间隔（0，1）的ki=1使得K′（ψ，B*) = K′（ψ，B）*) = . . . = K′（ψ，B）*k）。然后，对于任意椭圆随机向量X~ En（u，∑，ψ）和Y=aX（其中a 6=0），我们得到corb[X]=…=CorBk[X]，（6.3）表示Bi={FY（Y）∈ B*i} ，i=1，k、对于许多椭圆分布，命题6.2中提到的单位区间划分是存在的，并且可以很容易地近似。

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nandehutu2022

2022-5-31 05:30:26

t-studentdistribution的示例性（近似）结果如表2所示。致谢第一作者感谢波兰国家科学中心通过项目2015/17/B/HS4/00911提供的支持。k vαα分配比0.045 0.955-4.5/91.0/4.55 0.123 0.877-12.3/75.4/12.37 0.150 0.850-15.0/75.0/15.010 0.166 0.834-16.6/66.8/16.62 12 0.173 0.827-17.3/65.4/17.315 0.179 0.821-17.9/64.3/17.925 0.187 0.813-18.7/62.7/18.750 0.193 0.807-19.3/61.4/19.3100 0.196 0.804-19.6/60.8/19.6∞ 0.198 0.802-19.8/60.4/19.83 0.002 0.500 0.998 0.2/49.8/49.8/0.25 0.016 0.500 0.984 1.6/48.4/48.4/1.67 0.032 0.500 0.968 3.2/46.8/46.8/3.210 0.045 0.500 0.955 4.5/45.5/4.53 12 0.051 0.500 0.949 5.1/44.9/5.115 0.055 0.500 0.945 5.5/44.5/44.5/44.5/5.525 0.063 0.500 0.937 6.3/43.7/43.7/6.350 0.069 0.500 0.931 6.9/43.1/6.9100 0 0.072 0.500 0.928 7.2/42.8/42.8/7.2∞ 0.075 0.500 0.925 7.5/42.5/42.5/7.5表2：划分集k=2、3和自由度v=3、5、7、10、12、15、25、50、100的近似t-student分位数值，对应的条件相关矩阵彼此相等。为了完整性，我们还提供了高斯情况下的结果（v=∞).参考文献[1]F.Durante、E.Foscolo、P.Jaworski和H.Wang，《金融时间序列的空间传染测度》，专家系统与应用41（2014），第8期，4023–4034。[2] F.Durante和P.Jaworski，《金融市场之间的空间传染：基于copula的方法》，应用。斯托赫。模型总线。索引26（2010），551–564。[3] E.Furman和Z.Landsman，《尾部方差溢价与ellipticalportfolio of risks的应用》，Astin公告36（2006），第02433-462号。[4] 例如，G'omez、M.A G'omez Villegas和J.M.Mar'n，《关于连续椭圆角分布的调查》，Revista matem'atica complutense 16（2003），第1期，345–361。[5] E。

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mingdashike22

2022-5-31 05:30:29

Hashorva和P.Jaworski，《条件椭圆连接函数的高斯近似》，J.多元分析111（2012）397–407。[6] P.Jaworski和M.Pitera，《20-60-20规则，离散和连续动态系统系列B 21》（2016）1149-1166。[7] Z.M.Landsman和E.A.Valdez，《椭圆分布的尾部条件期望》，北美精算杂志7（2003），第4期，55-71。[8] S.Cambanis、S.H Huang和G.Simons。关于椭圆等高分布理论。J、多变量分析11（1981），3368–385。[9] E.A.Valdez，《关于尾部条件方差和尾部协方差》，新南威尔士精算研究，悉尼（2004）。[10] E.A.Valdez，《椭圆等高线分布的尾部条件方差》，比利时公报5（2005），第1期，26-36。

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