关于自动微分及其在

2022-5-31 05:55:37

ESAIM：会议记录和调查，卷？，2017年，1-10名编辑：将由publisherMINI自动差异化及其在金融业中的应用研讨会设定，ebastien Geeraert、Charles Albert Lehalle、Barak Pearlmutter、OlivierPironnaau和Adil ReghaiAbstract。长期以来，应用数学中一直使用自动微分作为有限微分的替代方法，以提高导数数值计算的精度。每次涉及数值最小化时，都可以使用自动微分。在形式导数和标准数值格式之间，这种方法基于应用机械链式规则公式的软件解决方案，以获得所需导数的精确值。它在内存和CPU消耗方面有成本。对于金融市场参与者（银行、保险、金融中介机构等），需要计算衍生品，以获得其对明确的潜在市场变动的敏感性。这是一种了解特定情况下资产负债表变化的方法。自2008年危机以来，监管要求计算许多不同情况下的此类风险敞口，以确保市场参与者意识到并准备好面对广泛的市场配置。本文展示了自动微分如何为最近即将执行的计算爆炸提供部分答案。答案的一部分是直接应用伴随算法微分（AAD），但这还不够。由于财务敏感性涉及特定函数和混合差异与蒙特卡罗模拟，因此需要专用工具和相关理论结果。我们在此简要介绍使用AAD金融市场时出现的典型案例。1.

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2022-5-31 05:55:40

导言与专业人士的多次讨论强调了金融机构自动分化的重要性。因此，在“蒙特卡罗技术国际会议”上自然会有一个关于这个主题的小型研讨会。市场参与者最近对自动区分感兴趣的根源之一是对灵敏度计算的要求越来越高。例如，巴塞尔银行监管委员会（Basel Committee on Banking Supervision）的《市场风险最低资本要求》[2]第B.2和B.3节包含了一长串投资银行对其所拥有的每一种产品的敏感性。然后，必须根据监管公式对敏感性进行汇总，以获得银行必须在其风险面前提出的资本要求。银行在其账簿中拥有金融产品，金融产品的敏感性是其价值与Murex（法国巴黎）的变化。资本基金管理（法国巴黎）和帝国理工学院（英国伦敦）。爱尔兰基尔代尔市梅诺思大学计算机科学系。索邦大学s，LJLL，UMR 7598，案例187，4 pl.de Jussieu，F-75252 Paris Cedex 5，法国。Natixis（法国巴黎）。c EDP Sciences，SMAI 20172 ESAIM：关于市场环境明确变化的会议记录和调查。例如，[2，B.2.iii.节]要求计算银行拥有的“每种具有可选性的金融产品”的ELTA、vega和曲率。这些敏感性是工具价值对不同风险因素的偏导数，分为风险类别。定义了七个风险类别。

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2022-5-31 05:55:43

例如，一般利率风险类别的风险因素为[2，pp20-22]：o对于delta：“delta风险因素沿两个维度定义：利率敏感工具计价的每种货币的无风险收益率曲线和“十种到期日”。o对于vega：“在每种货币中，vega风险因素是指参考一般利率风险敏感基础的期权的隐含波动率；进一步定义为两个维度：期权到期日的期权基础剩余成熟度和期权到期日的期权基础剩余成熟度。”每一个都超过5个期限。我们刚刚列出了30多个要计算的敏感度，属于七个风险类别之一，将应用于银行拥有的每种金融工具。每个灵敏度都是偏导数。在监管需求增加之前，银行限制了对冲其投资组合所需的计算敏感度（即偏导数），几乎没有更多。他们在“少数”必要的方向上使用了有限的差异方法。要计算的偏导数的突然增加激发了对计算它们的其他方法的探索。此外，由于监管更新不断增加要计算的偏导数列表，银行试图找出在不太改变软件代码的情况下完成新偏导数的方法。使用自动差异（或伴随算法差异：AAD），您不必每次有需要计算灵敏度的新产品时都开发专用代码。将整个数字库嵌入到支持AAD的框架中“就足够了”（参见第3节）。

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2022-5-31 05:55:46

这个小型研讨会的会议（以及本文的章节）表明，它有一个总体成本，但一旦支付了这个成本，计算更多灵敏度的边际成本就很小了。因此，ADD被视为当前监管需求的解决方案之一，并准备以合理的成本应对未来的监管需求。它解释了为什么银行正在仔细研究ADD，或者已经在某种程度上使用了它。如果AAD存在很长时间并且有很多应用（参见[4]了解AAD和统计学习的互动调查），那么金融支付的具体城市需要一些专门的发展，如[27]（参见第3节）。此外，一些金融问题的重新制定（如信贷价值调整，见第5节）有助于将其纳入AAD框架。本文各部分反映了小型研讨会的会议内容：每个部分都由一位发言人撰写，并包含一条关于AAD的一个特定方面的“带回家的信息”，该方面对金融市场有用。本文末尾的参考文献列表将帮助读者更深入地了解这一领域。在第一节中，Barak Pearlmutter概括介绍了AAD最重要的方面。读者可参考【4】了解详细信息。本节强调AAD在应用数学中的作用：数值优化中的进步，作为最小化标准中涉及的特定函数的手动推导与通过有限差分的纯数值方案之间的平衡。因此，非线性统计和最近的机器学习等领域取得了AAD的进展。在第3节中，塞巴斯蒂安·吉拉特强调了他在Murex探索的一些实践方面。他强调了如何通过特殊的选择来提高AAD的效率，从而利用金融合同支付中所涉及的确定性和随机性过程的特定组合。

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2022-5-31 05:55:50

通常，ADD必须用于内部Monte Carlo模拟，从而在内存和cpu消耗方面产生特定的约束。在下一节中，Olivier Pironnau重点介绍了如何将AAD应用于不可区分函数。本节遵循通过平滑将颤音方法应用于不可微分函数的思想。它允许在某些情况下获得二阶偏导数的精确估计。著名的机器学习框架，如Theano或TensorFlow，都使用AAD。ESAIM：会议记录和调查3Adil Reghai在最后一节中披露了Natixis如何在生产中使用AAD来计算其暴露于潜在市场变动的敏感性。它证明了AAD在对交易对手风险敏感的特定情况下的优势。2、自动微分对Meby Barak A.PearlmutterWe brie fly意味着什么（并从自私的偏见和修正主义的角度）考察了自动微分的基本思想和直觉：计算机程序指定的函数导数的高效机械精确计算。2.1。简介自动微分（Automatic Differentiation）或AD【20】是数值计算的一个分支学科，致力于研究一个诱人的想法：将一个计算数值函数的计算机程序机械转换为一个增强的计算机程序，该程序也能准确高效地计算出一些所需的导数。如何实现这一点的说明可以通过考虑一个实现函数f的计算机程序来形成，该函数f将输入向量映射到输出向量f:Rn→ RMA由流动图组成：从输入到输出的有向无环图，其边带有R值，其节点表示原始算术运算或扇出。

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2022-5-31 05:55:53

该流程图是所考虑的编程语言提供的常用原子操作符中计算实现的自然“分割”。自动微分在该图的级别上运行，将其扩展以同时计算所需值及其泰勒展开的第一项。2.2。Forward ADUsing modern terminology，[40]提出流动图中的每个实数r可以替换为“双数”[12]，一对实数hr，ri正式表示截断的幂级数r+r + O().它将正式允许不仅在r上执行操作（从而提供标准操作），而且在RTO上执行操作（提供r方向的导数）。对偶空间中的每个操作都由一对操作组成：标准操作及其导数。这意味着将每个基本算术运算g：（v，…，vm）=g（u，…，un）替换为其修改F g，其中操作符F是一种形式化的方法，我们将u替换为g：（hv，vi，…，hvm，vmi）=F g（hu，ui，…，hun，uni），其中hvi，vii=F gi（hu，ui，…，hun，uni）=hgi hgi（u，…，un），Xjuj（d/duj）gi（u，…，un）i。图1显示了两种基本运算（上框显示乘法和正弦或余弦的流动图）到其对偶表示的转换。或者，将值聚集到向量u=（u。

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2022-5-31 05:55:57

，un）等，并让Jg（u）为g在u处的雅可比矩阵，同时将素数值收集到向量中，v=g（u）v=Jg（u）uhv，vi=F g（hu，ui）=hg（u），Jg（u）ui现在很清楚，对偶空间表示允许同时进行运算及其导数。4 ESAIM：会议记录和调查假设我们用一个操作替换了每个基本算术运算，该操作与原始运算相同，但也执行雅可比矢量积，如上所述，整个计算现在将执行雅可比矢量积。我们在图1中展示了这种转换的一个小示例，它以图形的形式呈现了一个过程：函数fig（双a，双b，双u）{1：双c=a*b；2：双[]（v，w）=正弦（u）；3：返回（c，v，w）；}将其转换为：函数Ffig（double a，double da，double b，double db，double u，double du）{1：double c=a*b；2：double dc=a*db+da*b；3：double[]（v，w）=sincos（u）；4：double dv=w*du；5：double dw=-v*du；6：return（c，dc，v，dv，w，dw）；}或者，如果我们将每个原始变量v和dv捆绑到存储在Fv中的结构（v，dv）中，对于每个原始子程序或运算符fig，我们使用Ffig计算原始但也传播的导数：函数Ffig（double[]Fa，double[]Fb，double[]Fu）{1：double[]Fc=fTimes（Fa，Fb）；2：double[]（Fv，Fw）=Fsincos（Fu）；3：return（Fc，Fv，Fw）；}。由于在对偶空间中实现了常规fig表示的Ffig，现在可以通过调用该n=3次来计算完整的雅可比矩阵，每次计算雅可比矩阵的一列。

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kedemingshi

2022-5-31 05:56:00

用0或1替换双变量的第二个元素就足够了：（（c，j11），（v，j12），（w，j13））=Ffig（（a，1），（b，0），（u，0））；（（c，j21），（v，j22），（w，j23））=Ffig（（a，0），（b，1），（u，0））；（（c，j31），（v，j32），（w，j33））=Ffig（（a，0），（b，0），（u，1））；这是“前向累积模式自动微分”或“前向AD”。请注意，由于n和m对于基元操作（通常为一个或两个）来说非常小，因此添加的额外算术是一个较小的常量因子开销。请注意，我们可以允许新的“素数”值与原始值并行地通过计算，这意味着存储开销以两个因数为界。与前向AD相同的数学变换在许多领域都有许多名称：机器学习中的微扰传播、微分几何中的推进、多元微积分中的方向导数、计算机科学中的前向误差分析等，并且存在许多执行前向AD变换的软件工具，使用各种实现策略，从源到源的转换（通常最快，但最不灵活或最方便）到面向对象系统中操作符的重载（易于实现和使用，但通常速度很慢，有时由于重载机制的语义限制而不太健壮）2.3。反向Ad考虑尝试计算函数f:Rn的梯度→ R使用前向AD。这将需要运行转换后的函数F F:hx，xi 7→ hy，yi重复，Xb在n个基本要素（1，0，0，…，0），（0，1，0，…，0），（0，0，…，0，1）。当n很大（比如10）时，这种开销是不可接受的。ESAIM：会议记录和调查5*abcsincosuvw公司*b、aabcabcsincos公司w-vUVWUVW图1。

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2022-5-31 05:56:03

Forward AD增加了原始流量图（顶部）中的所有基本算术运算，以通过计算向前传播导数（底部）。幸运的是，有一种不同的AD变换可以更有效地计算梯度。原始流量图中的每个值v都增加了一个伴随值v，伴随值v通过流量图向后传播。修改每个基本算术运算（见图2），将其输出的灵敏度向量乘以其雅可比矩阵的转置，得到其输入的灵敏度向量。以这种方式变换整个图可以高效地计算雅可比转置向量积，而运算计数只需少量的常数因子增加。这使得梯度的计算只需要很小的常数因子开销！6 ESAIM：会议记录和调查*b、aabc“a”b“csincosw-vuvw“u”v“W图2。反向AD增加了原始流程图中的所有基本算术运算，也通过计算向后传播导数。我们可以将图2的计算视为代码，而不是图形。这里，primal必须保存一些状态，以便在反向计算中使用。我们在数据结构中明确地做到了这一点。函数Rfig（double a，double b，double u）{1：double c=a*b；2：double[]（v，w）=sincos（u）；3：double[]RfigState=（a，b，u，c，v，w）；4：return（c，v，w，RfigState）；}当只知道函数输出的导数的反向传播时，返回的变量RfigState必须包含计算函数导数所需的所有内容。函数Rfig必须像往常一样返回其三维结果：（c，v，w）。这就是反向阶段的目的：它只需要这个“状态变量”RfigState作为第一个参数，以及反向传播的导数（即。

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2022-5-31 05:56:07

函数输出的导数，使用符号“c”、“v”、“w”作为补充参数：函数R2fig（double[]（a，b，u，c，v，w），double cbar，double vbar，double wbar）{1：double ubar=w*vbar-v*wbar；2：double bbar=a*cbar；3：double abar=b*cbar；4：return（abar，bbar，ubar）；}要理解这些表达式，请关注c=a×b：函数Rfig的第一行。很明显，如果将函数φ应用于c，我们有（表示法为“c=φ（c）”，对应于从函数应用到c的导数的反向传播）：“a：=φ（a×b）a=b×φ（c）=b×’c，ESAIM:PROCEEDINGS AND SURVEYS 7这正是函数R2fig的第三行所写的表达式。这可以通过调用R2fig三次来计算雅可比矩阵的m=3行，每次计算一行。（RfigState，c，v，w）=Rfig（a，b，u）；（j11，j21，j31）=R2fig（RfigState，1，0，0）；（j12，j22，j32）=R2fig（RfigState，0，1，0）；（j13，j23，j33）=R2fig（RfigState，0，0，1）；尽管计算梯度的低开销（就操作计数而言）使得该技术非常有用，但反向AD存在各种技术难题。由于导数相对于原始计算向后传播，可能需要保留原始值，从而增加存储负担。原始计算中的扇出对应于线性基元运算vv型=[u] ，这意味着伴随计算必须乘以这个小矩阵的转置，\'u=[1 1]\'\'v\'\'v= “v+”v，对应于简单加法。换言之，原始计算图中的扇出导致反向伴随计算图中的附加结果。

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何人来此

2022-5-31 05:56:09

这些转换的复杂性使得通过代码的源代码到源代码的转换来高效实现变得非常复杂。最流行的实现策略是实际存储数据流图，然后以反向顺序对其进行回溯，这会带来相当大的恒定因子开销。虽然这种转换是在AD社区中制定的，并且是由[39]和其他人[19]自动完成的，但在控制理论领域，它被称为Pontryagin MaximumPrinciple[32]，在数学物理领域，它被称为伴随计算，在机器学习领域，它被称为反向传播[36]，尽管不是自动完成的，在微分几何中，它被称为拉回。前向广告和反向广告的发现历史非常迷人，有许多才华横溢、五彩缤纷的玩家。前者由【24】讨论，后者在一定程度上由【19】讨论。2.4。实用的AD系统和应用程序最有用的复杂数值例程并不像静态数据流图那么简单，AD复杂性的一部分是处理控制。AD的其他“模式”也可用，用于计算高阶导数[25,30]，使用叠加切线或余切将多个类似导数计算矢量化，称为向量模式，以节省存储，同时仍能高效地计算梯度[18,37]，以及许多其他模式。另一个实质性的工作是由于采用精确导数和数值近似来实现不会相互转换这一事实而产生的，这是循环迭代收敛的一个特别困难的问题。此外，在积极的实施技术方面已经做了更多的工作，在TAPENADE【21、28、29】、ADIFOR【7】等积极的系统中投入了巨大的力量。

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kedemingshi

2022-5-31 05:56:12

目前，AD不仅在金融[6]和科学计算（如气候科学[22]），而且在机器学习[3、13、15]中有着重要的应用。广告领域很活跃，欢迎新来者。AD实施和文献目录保存在社区门户网站上，http://www.autodiff.org/.2.5.在考虑广告时，区分概念的层次结构可能会有所帮助，它跨越了自动性和普遍性的范围。AD类型I：一种有效计算由一组方程指定的函数导数的微积分。AD类型II：手动应用的规则，通过机械方式将实现数字功能的计算机程序转换为有效计算某些导数的程序。对于我们的示例，增益不是很大，因为正向计算需要3+1+2=6（参见Ffig的第2、4和5行）而反向计算需要3+2（即，函数R2fig中的所有计算），代价是原始表达式中涉及的所有六个变量的RfigState存储）。但对于更复杂的表达式，更明显的好处是使用了backardimplementation，但代价是存储量增加。8 ESAIM：会议记录和调查SAD类型III：一种计算机程序，可自动将指定数值函数的输入计算机程序转换为也能有效计算导数的计算机程序。AD类型IV：包含在编写数值算法的语言中的AD运算符，它们可以应用于使用它们的过程。本文作者与杰弗里·马克·西斯金德（JeffreyMarkSiskind）合作完成的广告研究项目旨在使IV型广告成为现实，并使其快速、稳健、通用和方便[31]。

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2022-5-31 05:56:15

因此，这些工作不仅关注于适合数学分析和集成到编译器中的AD过程的形式化，还关注于使AD更具通用性和健壮性，允许AD操作符以嵌套方式用作一级操作符，从而扩大了涉及可方便快捷地编写的派生的程序的范围[4,5,33,34]。我们还探索了将IV型AD集成到激进编译器中所能达到的速度极限[38]。我们希望AD对所有数字程序员来说都像现在的线性代数微例程库一样无处不在，并且优化编译器在未来将以目前支持三角函数或循环的相同方式支持AD。确认。这项工作由爱尔兰科学基金会于年9月拨款资助。1/I2637。感谢合作者杰弗里·马克·西斯金德（JeffreyMarkSiskind）和阿蒂利姆·古恩斯·贝丁（AtilimGunes-Baydin）进行了许多有益的讨论。S’ebastien Geeraert3.1对伴随算法微分（AAD）的实际实现。本研究的目的是展示一种实现伴随算法微分（AAD）的方法。AAD是一种以自动且高效的方式产生精确计算导数的方法。通过使用AAD的路径微分，我们可以计算价格的蒙特卡罗敏感性：如果金融合同的支付值由p（θ）=E[f（θ，W）]给出，其中θ是一个参数，W是一个随机变量，我们可以通过p（θ）=E来估计其导数fθ（θ，W）≈MMXi=1fθ（θ，Wi），通过交换差异和期望。

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2022-5-31 05:56:20

AAD的优势在于计算时间不取决于灵敏度的数量：通过反向区分操作（从最终计算开始，回到初始计算），我们可以逐步计算每个中间结果对最终输出的影响。因此，我们可以一次计算每个灵敏度。在现有的自动差异库中，使用了两种方法：操作符重载（如ADOL-C、Adept）和源代码转换（如Tapenade）。源代码转换包括在编译之前自动在源代码中添加用于计算导数的指令。它需要一个能够读取现有源代码并理解它的工具（就像编译器一样）。因此，这种方法很难实现。它通常无法处理语言的高级特性（如面向对象编程）。使用操作符重载要容易得多。操作符重载是一些编程语言的一个特性，允许重新定义基本操作符（如+、*、/）。例如，如果源代码中有一个加法a+b，它将对参数a和b调用+（由程序员编写）的自定义实现，而不是执行传统的加法。在AAD的情况下，我们重新定义了基本运算符，以处理衍生工具的计算。它允许快速将AAD应用于现有代码，只需对代码进行很少的修改。与源代码转换相比，编译器无法很好地优化运算符重载，并且可能会在执行过程中增加一些开销。因此，它被认为效率较低。ESAIM：会议记录和调查9为了简单起见，我们选择在C++中使用操作符重载。

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2022-5-31 05:56:23

我们实现的特点是，它专注于蒙特卡罗计算，并且无论是在CPU（使用OpenMP）上还是在GPU（使用CUDA）上，它都是高效并行的。3.2。AAD原理和基本实现我们将计算建模为由基本函数fi产生的n个中间结果xi的序列：xi=fi（x，…，xi-1）对于i=1，n、为了计算输出xnw相对于输入x的导数，有两种可能的微分模式：o切线模式：我们将变量x的切线定义为˙x=x个x、我们知道˙x=x个x=1，因此我们可以使用链式法则计算i=1到i=n的切线：˙xi=xix个=xfi（x，…，xi-1） =我-1Xj=1金融机构xj公司xj公司x=i-1Xj=1金融机构xj˙xj。最后，灵敏度由切线˙xn给出=xn公司x、 o伴随模式：我们将变量x的伴随定义为x=xn公司x、我们知道xn=xn公司xn=1，因此我们可以使用链式规则（xi）计算从i=n到i=1的伴随词=xn公司xi=nXj=i+1xn公司xj公司fj公司xi=nXj=i+1xjfj公司xi最后，灵敏度由伴随x给出=xn公司x、 AAD使用伴随模式：这样，如果有多个输入，所有感知都会立即计算（它们由相应的伴随给出）。这就是为什么在我们想要计算对许多输入的敏感性的情况下使用AAD特别有趣的原因。AAD的缺点是，由于导数是反向计算的，所以在开始差异化之前，必须先获得xim的值。因此，要在实践中应用AAD，我们必须首先进行前向扫描，从开始到结束计算并存储每个中间结果XI。然后我们可以进行反向扫描，从末端到开始计算坐标xi。这里是结果算法：对于i从1到nxi=fi（x。

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2022-5-31 05:56:26

xi-1）对于i<n，xi=0；对于i从n到1，xn=1对于j从1到i- 1xj+=xi·金融机构xj使用操作符重载很容易实现：函数是基本操作符，重载后可以在正向和反向扫描期间计算和存储相关量。要将AD应用于蒙特卡罗计算，我们必须使用不同的输入（随机变量）对同一计算进行多次区分。因此，我们将上述算法应用于向量：向量的每个分量对应于蒙特卡罗的一条路径。在计算结束时，我们可以对任何伴随的成分进行平均，以获得相应的灵敏度。我们提出了两种彼此非常接近的算法版本：oCPU版本，重载操作符用于循环。为了并行化这个版本，我们使用OpenMP框架，该框架允许在可用的CPU核之间轻松划分for循环的蒙特卡罗路径。10 ESAIM：程序和调查oGPU版本，过载的操作员调用GPU函数。这些函数（也称为内核）在CUDA中实现，CUDA是Nvidia图形卡的专有框架。我们需要小心避免无用的计算。有些计算在所有MonteCarlo路径上都是相同的：如果一个计算不依赖于随机变量（直接或间接），它总是具有相同的输入和输出。因此，为了提高效率，我们需要以标量方式进行这些计算。3.3。优化当原始计算的很大一部分是确定性的时，就会出现效率问题。在这种情况下，正向扫描成本很低，因为几乎所有的计算都是标量的。然而，反向扫描非常昂贵，因为所有的伴随计算都是向量的（所有中间伴随间接地依赖于随机变量）。

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mingdashike22

2022-5-31 05:56:29

例如，对对数正态基础的调用可能会发生这种情况，如图3（左）所示。如果确定性漂移和波动性涉及大量计算，则会有大量相应的伴随计算（因为它们是矢量的，所以成本很高）。我们可以通过在反向扫描的中间计算中间均值来解决这个问题。如果我们将计算划分为f（θ，W）=g（h（θ），W），其中h=（h，…，hq）是确定性部分，g是非确定性部分，则灵敏度由mmxi=1给出fθ（θ，Wi）=MMXi=1qXj=1g级hj（h（θ），Wi）hj公司θ（θ）=qXj=1MMXi=1g级hj（h（θ），Wi）！hj公司θ（θ）。实际上，这意味着在反向扫描期间，我们可以在确定性和非确定性部分之间暂停计算，并用其（标量）平均值替换每个（向量）伴随。因此，当我们恢复反向扫描时，后续的计算是标量的。电话优化的效果如图3（右）所示。然而，请注意，这个技巧之所以有效，是因为取导数的平均值是一个线性运算。它不能应用于方差计算。但是，如果我们想估计灵敏度之外的方差，我们可以将蒙特卡罗路径分成几个组，并对每个组应用技巧来计算灵敏度的估计；然后，可以使用在不同组上获得的不同灵敏度样本估计方差。为了提高并行化，我们并行地进行独立计算。如果其中一个的输入不依赖于另一个的输出，则两个计算是独立的。因此，计算分为按时间顺序排列的层：每一层只能在前一层完成时开始。

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何人来此

2022-5-31 05:56:32

在一个层内，一切都可以并行计算。当一个中间结果被许多计算用作输入时，在反向扫描期间，相应的伴随必须更新多次。但是，由于伴随更新读取并修改伴随，同一变量上的两个伴随更新不能并行发生（它们必须在不同的层中）：如果伴随更新是天真地完成的（即，通过依次添加更新），层的数量将相对于伴随更新的数量线性增长，从而打破了并行化。但结果伴随只是许多独立贡献的总和。因此，我们可以使用分而治之的方法：大和可以计算为两个较小的独立子和的相加。因此，通过按二的幂聚合关联更新，层的数量仅以对数增长。这一聚合过程如图4所示。最后，我们还可以利用模型的特殊性和收益。例如，对于CVA计算，Payoff可以被视为简单得多的Payoff的总和。因此，我们可以用许多小的Aadw替换一个大的Aadw，从而提高并行性。此外，我们可以在GPU版本中使workon CPU（将计算图形划分为层的依赖关系分析）与onGPU（中间结果和伴随的实际计算）的工作重叠：当GPU在一个AAD上计算结果时，CPU在下一个AAD上工作。ESAIM：会议记录和调查11f μ + ∑W ∑W W ∑μ … … … … θ1.θ2.θk-1.θk …g h f μ + ∑W ∑W W ∑μ … … … … θ1.θ2.θk-1.θk …图3：。对数正态基础调用的计算图，具有确定性漂移u（θ）和确定性波动率∑（θ）。

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mingdashike22

2022-5-31 05:56:35

付款形式为f（θ，W）=（exp（u（θ）+∑（θ）W）- K） +其中θ表示输入，W是标准高斯分布。每个节点对应于前向扫描中的中间结果。每个向下箭头（inred）对应一个伴随更新。实线表示矢量计算，虚线表示标量计算。在双圆节点处计算伴随平均值。在左侧（无优化），在反向扫描结束时计算平均值，因此反向扫描完全是矢量的。在右侧（经过优化），均值是在反向扫描的中间计算的，因此反向扫描主要是标量扫描（这要便宜得多）。这里，非确定性部分是g（h，W）=（exp（h+hW）- K） +且确定性部分为h（θ）=（u（θ），∑（θ））。3.4。结果在CVA的一个例子中，我们计算了200个灵敏度和5000条路径，我们得到了以下计时：CPU GPUFinite差异271 s 29 sAAD 9.1 s 2.4我们看到，当有许多灵敏度需要计算时，AAD与有限的差异相比可以获得有趣的收益：CPU上的系数为30，GPU上的系数为12。这表明，该方法可以在CPU和GPU上高效并行化，特别是如果我们利用模型和Payoff的特殊性。然而，AAD不能直接应用于非光滑支付。这就是为什么[16]提出了振动蒙特卡罗方法，该方法包括在Euler格式的最后一步将似然比方法应用于条件期望。4.Olivier Pironnau根据与Gilles Pag\'es和Guillaume Sall12 ESAIM的联合研究，《定量融资中的第二敏感性：会议记录和调查》3 2 1 1a 4 4 6 6 2 1 5 5 5 6 7 8 91 1a 6 1 6++6 6 7 3 2 4 4 5 5图4。

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2022-5-31 05:56:38

许多计算使用中间结果（称为a）的示例。对于每个节点或伴随更新，我们已指示计算所属的层。第1层至第3层对应于前向扫描。第4层及以上对应的是反向排水。如果没有聚合（左侧），a的伴随更新（绿色）将占用四个层（6到9）。对于聚合（在右侧，为了清晰起见，省略了前进箭头），a的伴随更新仅使用两个层（6和7）完成。这篇简短的总结介绍了我们的工作，旨在计算定量金融中的高阶敏感性；特别是振动和自动微分与其他方法进行了比较。我们表明，这种组合技术比通过微分对二阶导数进行自动微分更稳定，并且比Malliavin演算更通用。我们还扩展了具有非二次可微分支付的期权二阶导数的自动微分。大型投资组合的敏感性计算非常耗时。Vibrato【16】、【17】是区分涉及随机常微分方程解的函数平均值的有效方法。在许多情况下，需要双重敏感性，即参数的二阶导数（例如伽马对冲）。然后，可以将自动微分模块应用于可控震源，或者尝试可控震源中的可控震源，甚至可以对计算机程序进行二阶自动微分。但在金融中，支付从来都不是二次微分，因此必须使用广义导数，需要近似狄拉克函数，其精度也值得怀疑。考虑由DXT=Xt建模的金融资产Xtr（t）dt+σ（Xt，t）dWt, Xgiven，wtbrownana欧式看跌期权Vt=e-r（T-t） E（K-XT）+。我们如何计算大众汽车的第1和第2个竞争对手。r、到K，T，X，r，σ。

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2022-5-31 05:56:41

最直接的方法是使用以下近似值=五、十、≈h类V | X+h- 2V | X+V | X-h类它的计算成本是期权计算的3倍，但相对于h而言，它是不稳定的：如果h太小，舍入误差会影响结果，因为分子和分母都很小，而微分的结果却不小。ESAIM:PROCEEDINGS AND SURVEYS 13一个技巧是使用复杂的h。与i：=√-1，Re[f（a+iδa）- f（a）iδa]=Imf（a+iδa）δa=f（a）- f（3）δa+o（δa），可以看出，中间的表达式没有被0对0的不确定性所诅咒。它是否适用于不可区分的函数？例如，取f（x）=（1- x） +导致f（x）=-1x<1且f“（x）=δ（1-x）。使用Maple，图5清楚地表明，计算二阶导数的复杂有限差优于其他方法，因为即使复杂增量很小，它也能给出正确的结果。结论见图5。使用Maple绘制（1）的第二个竞争对手-x） +δx=10-3（左），δx=3.510-6（中间）和δx=i10-10（右）。除非采取措施，否则结果将不可靠。或者，Malliavin演算可以用于某些情况，但不是所有情况。例如，如果avanilla期货现货价格为Xt（x），其中Xt满足Black-Scholes SDE的常数σ和r，其中x=x，则Γ=E[E-rTV（XT）XTσ（WTσT-WT公司-σ） ]，只要权重函数已知且不太小，它就可以工作，但如果适用，它显然比其他任何函数都快。4.1。颤音让我们现在转向颤音，正如吉尔斯在【16】中介绍的那样。让θ作为一个参数，让我们关注θE[V（XT）]，dXt=b（θ，XT）dt+σ（θ，XT）dWt，X=X。Z是一个法向量值随机变量，Euler显式格式导致“Xk=”Xk-1+b（θ，(R)Xk-1） h+σ（θ，(R)Xk-（1）√hZk，(R)X=X，k=1。

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2022-5-31 05:56:44

，n.现在写EV（(R)Xn）= EEV（(R)Xn）| Xn-1.注意，σn-1（θ）=σ（θ，’Xn-1（θ）），(R)Xn=un-1（θ）+σn-1（θ）Zn√h带un-1（θ）=Xn-1（θ）+b（θ，’Xn-1（θ））h，θiE[V（(R)Xn（θ））]=Ez“θinE[V（u+σZ√h） ]ou=un-1（θ）σ=σn-1（θ）#（1）14 ESAIM：程序和调查最后一个时间步骤看到常数系数，因此我们有一个明确的解决方案。关于恒等式的一些代数（见[27]）θihE[V（X（θ））]i |θ=θ=ZRdV（y）日志pθi（θ，y）p（θ，y）dy=EV（X）日志pθi|θ、（2）其中p是X的概率密度，得出以下结果。提案1。θE[V（(R)Xn（θ））]=E√h类uθ·EzhV（u+σZ√h） σ-TZi公司+（σσT）θ： EzhV（u+σZ√h） σ-T（ZZT- 一） σ-1i,其中f·v表示f和v之间的标量积，M:P表示矩阵M和P的乘积的迹。注意，在非常数情况下，切线过程Yt=涉及θXtis。还要注意的是，V没有区别！非常数情况下的计算时间是V（X）计算时间的两倍，类似于单位差异，但更精确。最后请注意，对偶方差减少很容易应用。更多详情请参见[27]。4.2。具有自动微分的高阶导数一旦编写了颤音的计算机程序，就可以应用自动微分。这是正确的，因为程序的每一行都是完全不同的（例如，通过在AD库中添加sin x的导数是cos x来教导编译器）。通过将狄拉克质量近似为0乘以δa（x）=a，可以在一定程度上扩展自动微分，以处理上述不可微分支付的困难√πe-xa。

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2022-5-31 05:56:48

现在，假设f在x=z处不连续，在其他地方光滑；那么f（x）=f+（x）H（x- z） +f-（x）（1）- H（x- z））；hencefz（x）=（f+）z（x）H（x- z） +（f-)z（x）（1- H（x- z）（）- （f+（z）- f-（z））δ（x- z）除非添加最后一项，否则二阶灵敏度的计算将是错误的。如果在自动库中，斜坡函数x+定义为xH（x），其导数为H（x），如果其导数定义为δa，如果在计算金融资产的程序中，这些新函数被明确使用，如（x- K） +=斜坡（x- K）而不是最大值（x- K、 0），则AD库计算的二阶导数为δa（x- K）。此外，它还将∞f（x）（x）- K） +dx≈NNXi=1f（ξi）δa（ξi- K）其中ξi是积分或Monte-程序员用来近似积分的Carlo点。4.3。VADIn算法1的概念算法，我们在这里总结了在一般情况下，通过VadW和对偶方差缩减计算二阶灵敏度需要做些什么。以基础资产X及其相切过程Y的时间步长h=tn生成M条模拟路径=十、θ我们需要正态随机变量z的Mn实现；我们还需要对每个m的最后一个时间步进行Zmn的mzrealisions，称为Zi。然后给出“X，”“Y:ESAIM:PROCEEDINGS AND SURVEYS 15算法1 VAD，用于使用对偶方差缩减的二阶导数1：对于m=1。。，M do2：对于k=0。

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2022-5-31 05:56:51

n- 2 do3：\'Xmk+1=\'Xmk+rh\'Xmk+\'Xkσ√hZmk+14：\'Ymk+1=\'Ymk+rh\'Ymk+rθh\'Xmk+\'Ymkσ+σθ\'Xmk√hZmk+15：结束6：对于i=1。。，MZdo7:XmT±=(R)Xmn-1+右侧Xmn-1±σm'Xn-1.√hZi，\'XTo=\'Xn-1+右侧Xn-18： VmT±，=（\'XmT±- K） +，VmTo=（(R)XmTo- K） +。9:R=`Ymn-1（1+右侧）+Xmn-1rθh，S=(R)Ymn-1σ+(R)Xmn-1σθ10：VT公司θmi=R（VmT+- VmT公司-)Zi'Xmn-1σ√h+S（VmT+- 2VmTo+VmT-)Zi公司- 1英寸Xmn-1σ11：结束12：计算VT公司θ实现的程序上的miby ADVT公司θmi13：VT公司θm=MZPMZi=1VT公司θmi14:15结束：VT公司θ=MPMm=1VT公司θm、美式期权美式期权的价值VT需要最佳的行使策略。让Д作为报酬；该选项的动态编程近似值为“Vtn=e”-rT^1（(R)XT），Ctk=E[E-右侧“Vtk+1”Xtk]，“Vtk=最大值e-rtkИ（(R)Xtk），Ctk. （3）继Longsta off等人【26】之后，延拓值由I个重新赋值基函数上的最小二乘投影近似，tk，{ψI}Ii=1：Ck\'IXi=1αk，IψI（(R)Xtk），αk，·=argminαEe-右侧Vtk+1-IXi=1αk，iψi（(R)Xk）！. （4）一次最佳停车时间τ*众所周知，θ的差异可以像欧洲合同一样进行。τ的依赖性*忽略θ；可以说，这种依赖性是二阶的，但这一点需要验证。我们考虑以下参数：σ=20%或σ=40%，x从36到44变化，T=1或T=2，K=40，r=6%。蒙特卡罗参数为：M=5 10模拟路径，T/h=50时间步。Longsta off-Scharwtz算法的基础是ψi（x）=xi-1，i=1，2，3，即i=3。我们将其与时间隐式格式离散的Black-Scholes部分微分不等式的解、空间有限元和半光滑牛顿不等式的解进行了比较[1]。

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2022-5-31 05:56:54

使用了大量网格点，10使其成为参考解决方案。二阶有限差分近似值也用于计算伽马值以进行比较。表1显示了Longsta ff等人【26】的不同参数集的结果。当使用方差减少时，该方法提供了很好的精度，但当基础资产价格很低且波动性很小时除外。就计算时间而言，该方法比有限差分法更快。结论面对编写与巴塞尔协议III指令不相关的灵敏度计算通用软件的问题，我们发现，单独的自动微分无法完成这项任务，但应用于颤音，它是可靠且相当通用的。16 ESAIM：诉讼和调查表1。美式期权的价格、Delta和Gamma结果。参考值通过半牛顿法加有限差分获得，并与Longsta ff-Schwartz算法上的可控震源自动差分进行比较。我们计算每个美国蒙特卡罗结果的标准误差。美国蒙特卡罗的设置是50个时间步长和50000条模拟路径。SσTPrice（AMC）StandardErrorDeltaVibrato（AMC）StandardErrorGammaRef。

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2022-5-31 05:56:57

VALUEGAMAVAD（AMC）标准错误36 0.2 1 4.46289 0.013 0.68123 1.820e-3 0.08732 0.06745 6.947e-536 0.2 2 4.81523 0.016 0.59934 1.813e-3 0.07381 0.06398 6.846e-536 0.4 1 7.07985 0.016 0.51187 1.674e-3 0.03305 0.03546 4.852e-536 0.4 2 8.45612 0.024 0.44102 1.488e-3 0.02510 0.02591 5.023e-538 0.2 1 3.23324 0.013 0.53063 1.821e-3 0.07349 0.07219 1.198e-438 0.2 2 3.72705 0.015 0.46732 1.669e-3 0.05907 0.05789 1.111e-438 0.4 1 6.11209 0.016 0.45079 1.453e-3 0.02989 0.03081 5.465e-538 0.4 2 7.61031 0.025 0.39503 1.922e-3 0.02233 0.02342 4.827e-540 0.2 1 2.30565 0.012 0.40780 1.880e-3 0.06014 0.05954 1.213e-440 0.2 2 2.86072 0.014 0.39266 1.747e-3 0.04717 0.04567 5.175e-440 0.4 1 5.28741 0.015 0.39485 1.629e-3 0.02689 0.02798 1.249e-540 0.4 2 6.85873 0.026 0.35446 1.416e-3 0.01987 0.02050 3.989e-542 0.2 1 1.60788 0.011 0.29712 1.734e-3 0.04764 0.04563 4.797e-542 0.2 2 2.19079 0.014 0.28175 1.601e-3 0.03749 0.03601 5.560e-542 0.4 1 4.57191 0.015 0.34385 1.517e-3 0.02391 0.02426 3.194e-542 0.4 2 6.18424 0.023 0.29943 1.347e-3 0.01768 0.01748 2.961e-544 0.2 1 1.09648 0.009 0.20571 1.503e-3 0.03653 0.03438 1.486e-444 0.2 2 1.66903 0.012 0.21972 1.487e-3 0.02960 0.02765 2.363e-444 0.4 1 3.90838 0.015 0.29764 1.403e-3 0.02116 0.02086 1.274e-444 0.4 2 5.58252 0.028 0.28447 1.325e-3 0.01574 0.01520 2.162e-45、希腊CVA和阿德勒·雷格海AADby 5.1。应用框架在[35]中，我们提出了一种蒙特卡罗方法，利用参数和对冲敏感性之间的对偶关系以及Ito积分对CVA进行定价。CVA是交易对手信用风险的市场价值。其计算方法为考虑交易对手违约的投资组合无风险价值与其真实价值之间的差值。

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2022-5-31 05:57:02

当双边合同双方都可能违约时，价格调整称为BCVA（双边信贷估值调整）。在蒙特卡罗方法下，CVA被重写为从计算时间t到投资组合到期时间t的预期贴现风险敞口的加权和。对投资组合基础市场变量的若干路径进行了模拟，并在t和t之间的每次获得了风险敞口分布。然后通过沿模拟路径平均风险敞口来给出预期风险敞口。尽管蒙特卡罗模拟很容易实现，但对于一些复杂的投资组合，该工具很容易导致繁重的计算需求，因此很快证明不可行。最近，[9]引入了交易对手信用风险下金融衍生品价值的PDE表示。使用Feynman-Kac定理，导数的总值被分解为一个无默认值加上与CVA调整相对应的第二项。然而，对于大于3的维度，PDE不能再使用有限差分方案来解决。在这项工作的基础上，[23]引入了一种新方法，该方法基于使用Galton-Watson随机树的分支差异。虽然这种方法大大降低了计算成本，但实现起来仍然很复杂。综上所述，我们发现两种现有的CVA计算方法都存在严重的缺陷。因此，我们在蒙特卡罗环境下引入了一种新的CVA估值方法。

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2022-5-31 05:57:05

我们的方法是创新的，它结合了鞅表示定理和伴随算法微分（AAD）技术，以高效的方式检索未来价格。ESAIM：会议记录和调查17为了对方法学有一个大致的了解，即比之前存在的两个方法（蒙特卡罗或PDE）更“逐轨迹”驱动，需要设置几个符号：o股票价格遵循几何布朗运动，其中漂移由无风险利率和融资成本φt构成：dsst=（rt+φt）dt+σtdWt。为简单起见，假设无风险利率为零，则此类股票上无本金t的衍生工具的任何付款V（t，St）均遵循Back-Scholes向后偏微分方程：五、t+Stφ（t，St）五、S+σ（t，St）St五、S=0。o在关注AAD在金融中的使用的范围内，我们将考虑一种情况，从发行人的角度来看，只有交易对手违约才能发生，并在这种情况下采用信用估值调整（CVA）的表达式：在交易对手违约的随机时间内，对一项资产的“投资组合”的净现值进行零敲打的看涨期权。根据【10】，定义asCVA=LGD·E（1τ≤τD（0，τ）X（τ）），其中：LGD是“违约损失”（即投资者因其交易对手违约而产生的损失分数），τ是违约时间，D（u，v）是u和v之间的贴现系数（在我们的零风险无利率假设下：D（u，v）=1），X（t）是“时间t的敞口”。因此，X（t）可以写成（5）的解V的正部分最后但并非最不重要的一点是，我们在此假设风险率λ是常数且已知的，这意味着违约概率为Q（τ≤ t） =1- e-λt.o所有这些都允许写入从时间t看到的CVA≤ τ（[35，第3节]详细信息）asCVAt=EtZτu=tLGD·V（u）+λe-λ（u-t）杜。

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