具有跳跃和二次指数增长的预期后向SDE

2022-5-31 11:51:24

具有跳跃和二次指数增长驱动的预期后向SDE*Fujii Masaaki+&Akihiko Takahashi此版本：2018年7月9日摘要在本文中，我们研究了一类带跳跃的预期向后随机微分方程（ABSDE）。ABSDE的解是一个三元组（Y，Z，ψ），其中yi是一个半鞅，（Z，ψ）是扩散系数和跳跃系数。我们允许ABSDE的驱动器在Y的未来路径的一致范数上具有线性增长，以及在（Z，ψ）的现场值上分别具有二次和指数增长。对于马尔可夫和非马尔可夫环境，在驱动因素的不同结构假设下，证明了唯一解的存在性。在前一种情况下，还得到了（Z，ψ）上关于前向过程的一些规律。关键词：预测平均场类型、时间推进、二次增长、未来路径依赖驱动因素、ABSDE1简介作为分析一般控制问题、非线性偏微分方程以及许多新出现的社会问题的强大概率工具，自Bibi t（1973）[6]和Pardoux&Peng（1990）[30]的开创性工作以来，反向随机微分方程（BSDE）吸引了大量的研究兴趣。最近，Peng&Yang（2009）[32]引入了一种新的类别，即所谓的预期（或时间高级）BSDE，其中，博士取决于对解决方案未来路径的有条件预期。它们最初是在处理时滞系统的最优控制问题时作为伴随过程出现的。此后，许多作者研究了各种概括：Oksendal等人。

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2022-5-31 11:51:27

（2011）[28]研究了带跳跃的延迟系统的控制问题，Pamen（2015）[29]一个带延迟的随机微分博弈，Xu（2011）[37]，Yang&Elliott（2013）[36]研究了比较原理的一些推广和条件。Jeanblac等人（2016）[18]研究了在过滤逐步扩大的情况下预期的BSDE。由于一系列新的法规（尤其是独立金额的保证金规则），预计BSDE对金融应用的重要性在未来几年可能会增加。他们要求财务公司根据预期的未来最大损失调整抵押品（或资本）金额，*被《随机与动力学》杂志接受出版。本研究中表达的所有内容仅为作者的内容，不代表任何机构的任何观点或意见。+东京大学经济研究生院定量金融课程。mfujii@e.utokyo.ac.jp东京大学经济研究生院定量金融课程。akihikot@e.utokyo.ac.jpexposure或按市价计价的可变性，这自然使BSDE定价的驱动因素取决于投资组合价值的预期未来路径。在本文中，我们对具有跳跃和二次指数增长驱动的预期BSDE感兴趣。虽然Lipschitz ABSDEs的性质已经很好地确定，但具有二次生长发生器的ABSDEs尚未出现在文献中。除了纯粹的数学兴趣之外，二次增长（跳跃出现时的指数增长）BS DEs还有许多应用。

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2022-5-31 11:51:30

特别是，它们出现在具有指数或幂效用函数的效用优化和相关无差异估值的背景下，或与熵风险度量的风险最小化相关的问题中。它们也出现在Epstein&Zin（1989）[12]提出的一类递归效用中，投资者会惩罚价值函数的方差。他们的模型及其变体在经济理论中有许多应用。一旦投资者将成本或收益分配给未来路径的预期价值，由于新的金融法规，这看起来几乎是不可避免的，由此产生的递归效用（对应于关联BSDE的驱动因素）开始涉及预期组件。在这项工作中，我们用以下形式的跳跃来处理预期的BSDE：Yt=ξ+ztterfr、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr博士-ZTtZrdWr-ZTtZEψr（e）eu（dr，de），其中驱动器f（t，·）允许在supv中线性增长∈[t，t]| Yv |，zt的二次型和跳跃系数ψt的指数增长。这将是理解包含预期成分的非Lipschitz生成器的一般问题及其对上述各种问题的应用所必需的第一步。对于具有二次增长驱动力的（非预期）BSDE，Kobylanski（2000）[23]首次提出了br eakthrou GHDE，随后许多研究人员对其进行了推广和应用。特别是，Becherer（2006）[4]、Morlais（2010）[25]、Ngoupeyou（2010）[27]、Cohen&Elliott（2015）[7]、Kazi Taniet al.（2015）[21]、Antonelli&Mancini（2016）[1]、El Karoui et al.（2016）[10]和Fujii&Takahashi（2017）[16]以不同的概括性对j UMP的存在进行了研究。

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2022-5-31 11:51:33

一个重要的常用工具是所谓的daΓ-条件[2，35]，它是使比较原理在存在跳跃的情况下保持不变所必需的，然后用于创建正则化bsde的单调序列。虽然已知一个Γ-条件适用于指数效用优化的设置【25】，但它具有相当大的限制性，事实上，比局部Lipschitz连续性更强。此外，在预期的设置中，即使满足AΓ-条件，比较原则通常也不适用。虽然定点方法[7，21]至少对于较小的终值不依赖于比较原则，但它需要驱动程序的二阶可微性，这在存在一般路径依赖的情况下很难建立。在本文中，我们首先扩展了[3，10]的二次指数结构条件，以允许对Y的未来路径的依赖，然后在一般有界终端条件下导出（Y，Z，ψ）的普适界。然后使用该边界证明了一般非马尔可夫环境下的稳定性结果。在马尔可夫环境下，该稳定性结果导致了由u（t，x）=Yt，xt定义的确定性映射的紧性结果，从而允许我们证明在没有AΓ-条件的情况下解的存在性。它还提供了（Z，ψ）上关于正演过程的一些规律。作为副产品，它使得在[16]第6节研究的马尔可夫环境下，二次指数增长（非预期）BSDE的存在性、唯一性和Malliavin可微性不需要aΓ-条件。对于非马尔可夫环境，我们重新引入了aΓ-条件，并利用我们在[16]中之前的结果来证明唯一解的存在性。

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2022-5-31 11:51:36

我们还可以给出一个充分的条件，使比较原理成立。2准备工作2.1一般设置让我们首先说明本文中使用的一般设置。T>0是某个有界时间范围。空间(OhmW、 FW，PW）是具有维纳测度PW的d维布朗运动的通常正则空间。我们还表示(Ohmu，Fu，Pu）作为正则空间的乘积Ohmu：=Ohmu×···×Ohmku，Fu：=Fu×····×Fku和Pu×····×Pku，具有一些常数k∈ N、其中每个uiis是一个具有补偿器νi（de）dt的泊松测度。这里，νi（de）是R=R{0}满足rr | e |νi（de）<∞.为了符号的简单性，我们写（E，E）：=（Rk，B（R）k）。在本文中，我们研究了过滤概率空间(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P），其中(Ohm, F、 P）是正则空间的乘积(OhmW×Ohmu，FW×Fu，PW×Pu），过滤F=（Ft）t∈[0，T]是P的标准过滤，满足通常条件。在这种结构中，（W，u，···，uk）是独立的。我们使用向量表示法u（ω，dt，de）：=（u（ω，dt，de），···，uk（ω，dt，dek）），并将补偿泊松度量表示为eu：=u-ν。F-可预测σ-现场Ohm ×[0，T]用P表示。众所周知，可预测r表示的弱属性在这种设置中成立（参见第十三章示例[17]）。2.2符号我们用C表示一个通用常数，它可以逐行改变。当常数d仅在p参数（a，b，C，····）上结束时，我们写C=C（a，b，C，····）。TTS记录Fstopping时间τ：Ohm → [s，t]。我们表示关于Ftby EFt[·]或E[·| Ft]的条件期望。在概率测度Q不同于P的情况下，我们明确表示它，例如，用EQFt[·]表示。有时我们使用缩写| | x | |[s，t]：=supv∈[s，t]| xv |和Θv：=（Yv，Zv，ψv）。我们将介绍以下空间。

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2022-5-31 11:51:40

p∈ N假设为p≥ 2.oD[s，t]是实值c ` adl ` ag函数（qv）v的集合∈[s，t]。oSp[s，t]是实数（或向量）值c\'adl\'ag F-适应过程（Xv）v的集合∈[s，t]使得| | X | | Sp[s，t]：=Esupv公司∈[s，t]| Xv | pp<∞.o S∞[s，t]是实数（或向量）值c\'adl\'ag F-适应过程集（Xv）v∈本质上是有界的，即| | X | | s∞[s，t]：=supv公司∈[s，t]| Xv|∞< ∞.这里，| | x||∞:= inf公司c∈ RP（{| x |）≤ c} ）=1.o Hp[s，t]是一组渐进可测的实值（或向量）过程（Zv）v∈[s，t]这样| | Z | | Hp[s，t]：=EhZts | Zv | dvpip<∞.o L（E，ν）（或简称L（ν））是k维向量值函数ψ=（ψi）1的集合≤我≤k每个分量ψi:R→ R是B（R）-可测且| |ψ| L（E，ν）：=kXi=1ZR |ψi（e）|νi（de）< ∞.o L∞（E，ν）（或简称L∞（ν））是函数组ψ=（ψi）1≤我≤对于每个组件ψi:R→ R是B（R）-可测且有界的νi（de）-a.e。

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2022-5-31 11:51:45

具有s标准本质上确界范数。oJp[s，t]是函数组ψ=（ψi）1≤我≤kwithψi：Ohm ×【s，t】×R→ R为PB（R）可测（或者我们简单地说ψ是P E-可测量）并满足| |ψ| Jp[s，t]：=EhkXi=1ZtsZR |ψiv（e）|νi（de）dvpip<∞.o 我们用范数| |（Y，Z，ψ）| Kp[s，t]=Sp[s，t]×Hp[s，t]×Jp[s，t]，Kp[s，t]：=| | Y | Sp[s，t]+| Z | Hp[s，t]+|ψ| | Jp[s，t]。为了符号的简单性，下面我们写下Eztszeψr（e）eu（dr，de）：=kXi=1ZtsZRψir（e）eui（dr，de），并使用类似的缩写来表示（u，ν）=（ui，νi）1的积分≤我≤k、 oJ∞[s，t]是P的集合 E-可测函数ψ=（ψi）1≤我≤K相对于测度dP有界 ν（de） dt即| |ψ| | J∞[s，t]：=ess supv∈[s，t]| |ψv | | L∞（E，ν）∞< ∞.o HBMO[s，t]是实值（或向量）渐进可测过程（Zv）v的集合∈[s，t]使得| | Z | | HBM O[s，t]：=supτ∈Tts公司EFτhZtτ| Zr | dri∞< ∞.o JB[s，t]是P的集合E-可测函数，使得| |ψ| | JB[s，t]：=supτ∈Tts公司EFτhZtτZE |ψr（e）|ν（de）dri∞< ∞.o JBMO[s，t]是P的集合 E-可测函数，使得| |ψ| | JBM O[s，t]：=supτ∈Tts公司EFτhZtτZE |ψr（e）|ν（de）dri+(Mτ）∞< ∞,哪里Mτ：=REψτ（e）u（{τ}，de）。关于带跳的BMO鞅的详细信息，请参见[16]第2.3节及其参考文献。如果从上下文看很明显，我们经常省略[s，t]。2.3跳跃规范J之间的一些关系∞, JB，JBMOBy，通过对[26]中推论1的简单改编，我们得到了下一个引理。引理2.1。设ψ在J[0，T]中，定义一个平方可积的纯ju-mp鞅（Mt）T∈[0，T]乘以Mt：=RtREψs（e）eu（ds，de）。跳跃时间t的M由下式给出Mt：=Mt- Mt公司-=ZEψt（e）u（{t}，de）。（2.1）则以下两个条件相等：（1）| |ψ| | J∞[0，T]是有限的。（2） supτ∈TT||Mτ||∞是有限的。此外，当上述两个量存在时，即| |ψ| | J时，它们是重合的∞= supτ∈TT||Mτ||∞.证据（1）=> （2）。

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2022-5-31 11:51:48

设ψ∈ J[0，T]∩ J∞[0，T]。通过构造，仅泊松测度u（dt，de）的跳跃时间有助于|M |。因为u（dt，de）的密度由ν（de）给出 dt，显而易见|Mτ|≤ ||ψ| | J∞[0，T]a.s.对于每个停止时间τ∈ t因此supτ∈TT||Mτ||∞≤ ||ψ| | J∞[0，T]。（2）=> （1）。相反，假设C：=supτ∈TT||Mτ||∞< ∞. 由（2.1）可知|ψτ（e）|≤ C a.s.（2.2）对于随机测量u（dt，de）的跳跃时间（τ）及其相关标记（e）的每对（τ，e）。让我们定义一个新的过程ψ∈ J[0，T]∩ J∞[0，T]通过下一次截断：(R)ψT（e）：=ψT（e）1{ψT（e）|≤C}（ω，t，e）∈ Ohm ×[0，T]×E.注意，ψ和ψ在每个跳跃时间及其相关的μm方格上都等于a.s。作为一个序列，一个has0=EhZTZE |ψt（e）-ψt（e）|u（dt，de）i=EhZTZE |ψt（e）-ψt（e）|ν（de）dti。这表示J[0，T]中的ψ=ψ，因此，尤其是dP ν（de） dt-a.e.因此，| |ψ| | J∞[0，T]=| |ψ| | J∞[0，T]≤ C和（1）保持不变。这建立了（1）和（2）的等效项。结合这两个结果，可以得出| |ψ| | J∞[0，T]=supτ∈TT||Mτ||∞.备注2.1。注意ψ必须是一个可预测的过程。这一事实使得（2.2）中仅对j ump点的约束转化为ψ的整个域。利用上述结果，可以得出不同跳跃规范之间的以下关系。引理2.2。以下两个条件是等价的：（1）ψ∈ JB[0，T]∩ J∞[0，T]。（2） ψ∈ JBMO[0，T]。此外，以下不等式成立：（| |ψ| | JB[0，T]∨ ||ψ| | J∞[0，T]）≤ ||ψ| | JBM O[0，T]≤ ||ψ| | JB[0，T]+| |ψ| | J∞[0，T]。证据（1）=> （2）。设ψ为JB[0，T]∩ J∞[0，T]。自JB以来 J、引理2.1意味着| |ψ| | J∞[0，T]=supτ∈TT||Mτ||∞哪里Mτ：=之前定义的REψτ（e）u（{τ}，de）。Onethen得到| |ψ| | JBM O[0，T]=supτ∈TTEFτhZTτZE |ψr（e）|ν（de）dri+(Mτ）∞≤ ||ψ| | JB[0，T]+supτ∈TT||Mτ||∞= ||ψ| | JB[0，T]+| |ψ| | J∞[0，T]。因此（2）成立。（2）=> （1）。

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2022-5-31 11:51:52

另一方面，让ψ∈ JBMO[0，T]。根据JBMO范数的定义，一个hassupτ∈TTEFτhZTτ|ψr（e）|ν（de）dri∞∨ supτ∈TT||Mτ||∞≤ ||ψ| | JBM O.自JBMO以来引理2.1再次暗示| |ψ| | JB[0，T]∨ ||ψ| | J∞[0，T]≤ ||ψ| | JBM O[0，T]。最后一个直接的主张来自上述两个不等式。备注2.2。当ψ作为BSDE解（Y，Z，ψ）的一部分，如（3.1）所示，ψ只能定义为dP ν（de） dt-a.e.因此，如果有一个ψ∈ J∞, 人们可以自由地处理它的版本（eψt（ω，e））（ω，t，e）∈Ohm×[0，T]×e，处处有界（如在定理2.1的证明中使用的ψ）。这一事实正在一些现有文献中使用。3先验估计3.1普适界在本节中，我们考虑了在一般非马尔可夫条件下，关于整体增长BSDE上带跳跃的预期二次经验的各种先验估计。我们对t的以下ABSDE感兴趣∈ [0，T]：Yt=ξ+zttefrefr、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr博士-ZTtZrdWr-ZTtZEψr（e）eu（dr，de），（3.1），其中f：Ohm ×[0，T]×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）→ R、 ξ是一个FT可测的随机变量。假设3.1。（i）驱动因子f是一个映射，使得对于每个（y，z，ψ）∈ R×R1×d×L（E，ν）和任意c`adl`ag F-适应过程（Yv）v∈[0，T]，过程EFtf（t，（Yv）v∈[t，t]，y，z，ψ），t∈[0，T]是F-渐进可测的，映射（y，z，ψ）→ f（·，y，z，ψ）是连续的。（ii）对于每个（q，y，z，ψ）∈ D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），存在常数β，δ≥ 0，γ>0和一个正的渐进可测量过程（lv，v∈ [0，T]），以便-lt公司- δsupv公司∈[t，t]| qv|- β| y |-γ| z|-ZEjγ(-ψ（e））ν（de）≤ ft、（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ≤ lt+δsupv公司∈[t，t]| qv|+ β| y |+γ| z |+ZEjγ（ψ（e））ν（de）dP dt-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，其中jγ（u）：=γ（eγu- 1.- γu）。（iii）| |ξ||∞, ||l | | S∞< ∞.引理3.1。

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2022-5-31 11:51:56

在假设3.1下，如果存在有界解（Y，Z，ψ）∈ S∞×H×JT到ABSDE（3.1），然后Z∈ HBMOandψ∈ JBMO（因此ψ∈ J∞) 它们满足| | Z | | HBM O≤e4γ| | Y | | S∞γ1+2γT||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞,||ψ| | JBM O≤e4γ| | Y | | S∞γ2+4γT||l | | S∞+ （β+δ）| | Y | | S∞+ 4 | | Y | | S∞.证据它由引理3.1[16]衍生而来，由| | l | | S的简单替换∞带| | l | | S∞+δ| | Y | | S∞.我们还需要| |ψ| | JBM O≤ ||ψ| | JB+| |ψ| | J∞和| |ψ| | J∞≤ 2 | | Y | | S∞引理2.1。我们在附录B.1中给出了详细信息。引理3.2。在假设3.1下，如果存在有界解（Y，Z，ψ）∈ S∞×H×jt到ABSDE（3.1），则Y具有以下估计值| | Y | | S∞≤ 经验值Tβ+δeβT||ξ||∞+ T | | l | | S∞.证据应用Mayer-Ito公式，得到一个SD（eβs | Ys |）=eβsβ| Ys | ds+符号（Ys-)dYs+dLs.此处，（Ls）s∈[0，T]是一个非递减过程，包括本地时间LCASDL=dLcs+ZE|Ys公司-+ ψs（e）|- |Ys公司-| - 符号（Ys-)ψs（e）u（ds，de）。注意| y+ψ|- |y |- 符号（y）ψ=| y+ψ|- 符号（y）（y+ψ）≥ 0.（3.2）让我们介绍以下过程（Bs）∈[0，T]和（Cs）s∈[0，T]bydBs=-签署（Ys）EFsfs、（Yv）v∈[s，T]，Θs）ds+ls+δEFssupv公司∈[s，T]| Yv|+ β| Ys |+γ| Zs |+ZEjγ（符号（Ys）ψs（e））ν（de）ds，dCs=eβs（dBs+dLs）+γ（e2βs- eβs）| Zs | ds+ZEjγ（eβssign（Ys）ψs（e））- eβsjγ（符号（Ys）ψs（e））ν（de）ds。请注意，B和C都是非递减过程。对于p过程B，这遵循假设3.1。至于过程C，它来自于k≥ 1，jγ（ku）-kjγ（u）=γ（ekγu- keγu- 1+k）≥ 0，使最后一行为正。一个然后seesdeβs | Ys |+Zseβrlr+δEFr（supv∈[r，T]| Yv |）博士= eβssign（Ys-)ZsdWs+ZEψs（e）eu（ds，de）-ZEjγeβssign（Ys）ψs（e）ν（de）ds-γ| eβssign（Ys）Zs | ds+dCs。（3.3）我们现在研究过程Pt，t∈ [0，T]定义单位：pt=expγeβt | Yt |+γZteβrlr+δEFr（supv∈[r，T]| Yv |）博士, t型∈ [0，T]，其中P∈ S∞清晰可见。

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2022-5-31 11:51:59

应用伊藤公式，可以得到dpt=Pt-γdeβt | Yt |+中兴通讯βrlr+δEFrsupv∈[r，T]| Yv|博士+ Ptγ| eβtsign（Yt）Zt | dt+Pt-ZE公司eγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)- 1.- γeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）=Pt-γeβtsign（Yt）ZtdWt+ZE经验值γeβt信号（Yt-)ψt（e）- 1.eu（dt，de）+dC′t（3.4）其中（C’s）s∈[0，T]是由dc′T=γdCt+ZE定义的另一个非递减过程（见（3.2））eγeβt（| Yt-+ψt（e）|-|年初至今-|)- eγeβt信号（Yt-)ψt（e）u（dt，de）。（3.5）附录B.2给出了（3.4）推导的详细信息。自（P，Y，Z，ψ）∈ S∞×S∞×HBMO×JBMO，我们可以看到过程P是一个真正的子鞅。因此，对于任何t∈ [0，T]，经验值γeβt | Yt|≤ EFt“expγeβT |ξ|+γZTteβrlr+δEFr（supv∈[r，T]| Yv |）博士#≤ 经验值γeβT（| |ξ||∞+ T | | l | | S∞) + γδeβTZTt | Y | S∞[r，T]dra、因此，| Yt |≤ eβT（| |ξ）||∞+ T | | l | | S∞) + δeβTZTt | Y | S∞a.s.博士，由于右手边的T不增加，同样的不等式成立，左手边的s被sups取代∈[t，t]| Ys |。因此，相当于| | Y | | S∞[t，t]≤ eβT（| |ξ）||∞+ T | | l | | S∞) + δeβTZTt | Y | S∞[r，T]博士。现在使用向后Gronwall不等式，可以得到期望的结果。定义3.1。确定参数集A：=（| |ξ）||∞, ||l | | S∞, δ、 β，γ，T），控制（| | Y | | S）上的通用边界∞, ||Z | | HBM O，| |ψ| | JBM O）。作为引理3.1和3.2的结果，我们可以看到| | Y | | S的规范∞, ||Z | | HBM O，| |ψ| | JBM Oare完全由A中的参数集控制。在下一小节中，我们介绍局部Lipschitz连续性。3.2稳定性和唯一性假设3.2。

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2022-5-31 11:52:03

对于每个M>0，以及对于每个（q，y，z，ψ），（q′，y′，z′，ψ′）∈ 满足supv的D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）∈[0，T]| qv |，supv∈[0，T]| q′v |，| y |，| y′|，|ψ| L∞（ν），| |ψ′| | L∞（ν）≤ M、例如，见推论6.61【31】存在一些正常数KM（取决于M），因此| f（t，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，（q′v）v∈[t，t]，y′，z′，ψ′）|≤ 公里数supv公司∈[t，t]| qv- q′v |+| y- y′|+| |ψ- ψ′| | L（ν）+公里数1+| z |+| z′|+|ψ| L（ν）+|ψ′| L（ν）|z- z′|（3.6）dP dt-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。备注3.1。与直接使驱动器f依赖于路径不同，可以包括如[28]中所述的EFt（Yt+δ）、EFt（RTtYsds）等条件经验。在这项工作中，我们采用了前一种方法，因为它允许在不指定具体形式的情况下进行一般依赖。让我们介绍一下t的两个ABSDEs∈ [0，T]，其中i={1，2}，Yit=ξi+ztteffir、（一）五∈[r，T]，Yir，Zir，ψir博士-ZTtZirdWr-ZTtZEψir（e）eu（dr，de）。（3.7）让我们把δY：=Y- Y、 δZ：=Z- Z、 Δψ：=ψ- ψ、和δf（r）：=（f- f）r、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr.然后，我们得到以下稳定性结果。提案3.1。假设数据（ξi，fi）1≤我≤2满足假设3.1和3.2。如果两个ABSDE（3.7）具有有界解（Yi，Zi，ψi）1≤我≤2.∈ S∞×H×J，然后对于anyp>2q*||δY | | Sp[0，T]≤ CEh |Δξ| p+ZTEFr |δf（r）| drpip（3.8）和任何p≥ 2，q≥ q*（δY，δZ，δψ）Kp【0，T】≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp“qip”q（3.9），其中q*∈ （1，∞ ) 是一个常数，仅取决于（K·，a），C=C（p，K·，a）和C=（p，q，K·，a）是两个正常数。证据请注意，通过选择大于引理3.1和3.2所暗示的边界的M，可以使用固定Km全局应用（3.6）。让我们在余数中加上这样一个M。

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2022-5-31 11:52:07

确定价值递增的可测量过程（br，r∈ [0，T]）bybr：=EFrf（r，（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr）- f（r，（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr）|δZr |δZr6=0δZr、自| br |起≤ 公里数1+| Zr |+| Zr |+2 | |ψr | L（ν）, 存在一些常数C，使得| | b | | HBM O≤ C=C（K·，A）。因此，可以定义一个等效的概率度量QbydQdP=ETR·brdWr其中E（·）是Dol’eans Dade指数。我们有WQ=W-R·brd泊松测度改变，euQ=eu。我们还有dpdq=ET-R·brdWQr. 从备注A.1中，存在一些常数r*∈ （1，∞) 使得e·（R·b）的逆e·（H·）的不等式都成立rdWr）和E·(-R·brdWQr）带电源∈ （1，r*]. 定义q*> 1通过q*:= r*/（r）*- 1）。注意（r*, q*) 由（K·，A）单独控制。在测度Q下，我们得到δYt=δξ+ZTtEFrhδf（r）+fr、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr- fr、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr印尼盾-ZTtδZrdWQr-ZTtZEΔψr（e）euQ（dr，de），t∈ [0，T]。[Y的稳定性]将Ito公式应用于δY，可以得到|δYt |+ZTt |δZr | dr+ZTtZE |Δψr（e）|u（dr，de）=Δξ|+ZTt2δyrefhδf（r）+fr、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr- fr、（Yv）v∈[r，T]，Yr，Zr，ψr印尼盾-ZTt2δYrδZrdWQr-ZTtZE2δ年-Δψr（e）euQ（dr，de）。（3.10）后两项是真Q鞅，可以用逆H¨older和能量不等式来检验。通过取条件期望EQFt[·]，可以得到任意λ>0 |δYt |+EQFtZTt | Zr | dr+EQFtZTt | |Δψr | L（ν）dr≤ CEQFtZTtEFr||δY | |[r，T]dr+EQFth |Δξ|+λZTtEFr |δf（r）| dr+ λ| |δY | |[t，t]i+EQFtZTt | |Δψr | | L（ν）dr，具有一些正常数C=C（K·，A）。这里我们使用了|δYr |≤EFr公司||δY | |[r，T]. 因此，尤其是δYt|≤ EQFth |Δξ|+λZTtEFr |δf（r）| dr+ λ| |δY | |[t，t]+CZTtEFr||δY | |[r，T]dri=EtEFtET公司|Δξ|+λZTtEFr |δf（r）| dr+ λ| |δY | |[t，t]+CZTtEFr||δY | |[r，T]博士式中，Es：=Es（R·brdWr）。

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2022-5-31 11:52:11

选择“q”∈ 【q】*, ∞), 反向H¨older不等式产生|δYt | 2'q≤ CEFth |Δξ| 2'q+λ'qZTtEFr |δf（r）| dr2'q+ZTtEFr公司||δY | |[r，T]博士\'q+λ\'q | |δY | 2\'q[t，t]i≤ CEFth |Δξ| 2'q+λ'qZTtEFr |δf（r）| dr当使用第二行Jensen不等式中的e时，2'q+ZTt | |δY | | 2'q[r，T]dr+λ'q | |δY | | 2'q[T，T]i，其中一些C=C（'q，K·，A）。对于任意p>2'q，应用Doob的最大不等式，得到seh | |δY | p[s，T]i≤ CE公司|Δξ| p+λpZTsEFr |δf（r）| drp+ CZTsEh | |δY | | p[r，T]idr+CλpEh |δY | | p[s，T]i，C=C（p，\'q，K·，A）。选择λ>0 small en ou gh，使Cλp<1，等式中的后墙意味着支持∈[s，T]|δYt | pi≤ CEh |Δξ| p+ZTsEFr |δf（r）| drpi，s∈ [0，T]。最后一个不等式适用于任何p>2q*. 这证明了（3.8）。自1<q*≤ 问题是，它也遵循了这一原则∈[0，T]|δYt | pip≤ Ehsupt公司∈[0，T]|δYt | p'qip'q≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'qip'q（3.11），对于任何p，C=C（p，'q，K·，A）≥ 2.【Z和ψ的稳定性】从（3.10）中，一个具有C=C（K·，A），|δYt |+ZTt |δZr | dr+ZTtZE |Δψr（e）|u（dr，de）≤ |Δξ|+ZTtEFr |δf（r）| dr+ ||δY | |[t，t]+CZTtEFr||δY | |[r，T]dr+CZTt |δYr | | |Δψr | | L（ν）dr-ZTt2δYrδZrdWQr-ZTtZE2δ年-Δψr（e）euQ（dr，de）。对于任何p≥ 应用Burkholder-Davis-Gundy不等式和引理A.3，可以证明存在一些常数C=C（p，K·，A），这样方程ZT |δZr | drpi+EQhZTZE |Δψr（e）|u（dr，de）pi≤ CEQh |Δξ| p+ZTEFr |δf（r）| drp+supr∈[0，T]EFr||δY | | p[0，T]+ ||δY | | p[0，T]i.取\'q≥ q*, 逆H¨older和Doob的极大不等式ZT |δZr | drpip+EQhZTZE |Δψr（e）|u（dr，de）pip公司≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'q+supr∈[0，T]EFr||δY | | p[0，T]‘q+| |δY | | p’≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'q+|'δY'p'q[0，T]ip'q。反向H'older不等式意味着'Z'Hp+|'ψ'JP≤ C||Z | | Hp'q（q）+|ψ| Jp'q（q）.

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2022-5-31 11:52:15

因此，（3.11）和Lemm a.3的估计给出了| |δY | | Sp+| | |δZ | Hp+| |Δψ| Jp≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp“qip”Q适用于任何p≥ 2和q≥ q*具有一些正常数C=C（p，\'q，K·，A）。我们还有以下关系。引理3.3。在命题3.1中使用的相同条件下，有| |ΔZ | | HBM O+| |Δψ| JBM O≤ C||δY | | S∞+ ||Δξ||∞+ 支持∈TTEFtZTt |δf（r）| dr∞具有一些正常数C=C（K·，A）。例如，见IV.4中的定理48。共【33】页。证据它源自于对[16]引理3.3（a）的简单修改。结合本节的结果，我们得到了唯一性。推论3.1。在假设3.1和3.2下，如果ABSDE（3.1）有一个有界解（Y，Z，ψ）∈ S∞×H×J，则它是唯一的，对范数S有响应∞×HBMO×JBMO。证据命题3.1暗示了Sp中Y的唯一性，p≥ 2、关节内。这也体现了S的唯一性∞. 如果不是，则存在一些c>0，使得| |δY | | s∞=c、这意味着对于任何0<b<c，都存在一个严格的正常数a>0 s uch thatP（supt∈[0，T]|δYt |>b）=a。这会产生|δY | pSp>bpa>0，这是一个矛盾。因此，这个评价来自命题3.1和引理3.3。备注3.2。对于二次BSDE，在驱动器f中允许（Z，ψ）的预期分量似乎非常困难。事实上，我们无法得出类似于命题3.1的稳定性结果。这是因为，在将条件期望的概率度量与单个期望对齐后，使用反向H¨older不等式使得相关不等式的左右两侧（| Z |，|ψ|）的幂不同。Y的expectedcomponent是一种例外情况，在这种情况下，我们可以通过简单的事实Yt=EQ[Yt | Ft]删除一个条件期望。请注意，第6节中的非马尔可夫环境也需要命题3.1。

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2022-5-31 11:52:19

在没有稳定性结果的情况下，使用单调序列的收敛性将是最后的希望。然而，据我们所知，在存在控制变量的预期成分（Z，ψ）的情况下，没有已知的比较原则。4马尔可夫设置中的存在现在让我们提供马尔可夫设置的存在结果。我们为s介绍以下正向过程∈ [0，T]，Xt，xs=x+Zs∨ttb（r、Xt、xr）dr+Zs∨ttσ（r，Xt，xr）dWr+Zs∨ttZEγ（r、Xt、xr-, e） eu（dr，de）（4.1），其中x∈ Rnand b：[0，T]×Rn→ Rn，σ：[0，T]×Rn→ Rn×d，γ：[0，T]×Rn×E→ Rn×kare非随机可测函数。注意Xt，xs≡ x代表s≤ t、假设4.1。存在一个正常数K，使得（i）| b（t，0）|+|σ（t，0）|≤ K均匀分布在t中∈ [0，T]。（ii）Pki=1 |γi（t，0，e）|≤ K（1∧ |e |）在（t，e）中均匀分布∈ [0，T]×R.（iii）u-ni形式在T中∈ [0，T]，x，x′∈ Rn，e∈ R、 | b（t，x）- b（t，x′）|+|σ（t，x）- σ（t，x′）|≤ K | x- x′|，kXi=1|γi（t，x，e）- γi（t，x′，e）|≤ K（1∧ |e |）| x- x′|。引理4.1。在假设4.1下，对于每个（t，x），存在满足任何（t，x），（t，x′）的唯一解决方案（4.1）∈ [0，T]×r和p≥ 2、（a）Ehsups∈[0，T]| Xt，xs | pi≤ C（1+| x | p）（b）Ehsups≤u≤（s+h）∧T | Xt，xs-Xt，xu | pi≤ C（1+| x | p）h，s∈ [0，T]（c）Ehsups∈[0，T]| Xt，xs- Xt′，x′s | pi≤ C|x个- x′| p+（1+[| x |∨ |x′|]p）| t- t′型|常数C=C（p，K，T）。证据它们是Lips chitz SDE的标准估计值。例如，参见定理4.1.1[9]。对于自包含性，我们在附录B.3中给出了正则性的证明。我们对（Xt，xv）v相关的马尔可夫预期BSDE感兴趣∈[0，T]：Yt，xs=ξ（Xt，Xt）+ZTsr≥tEFrf公司r、 Xt，xr，（Yt，xv）v∈[r，T]，Yt，xr，Zt，xr，ψT，xr博士-ZTsZt，xrdWr-ZTsZEψt，xr（e）eu（dr，de），（4.2），其中f:[0，t]×Rn×D[0，t]×R×R1×D×L（e，ν）→ R和ξ：Rn→ R是非随机可测函数。

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2022-5-31 11:52:23

注意（Yt，xs，Zt，xs，ψt，xs）≡ （Yt，xt，0，0）用于s≤ t、假设4.2。（i）驱动因子f是一个映射，使得对于每个（x，y，z，ψ）∈ Rn×R×R1×d×L（E，ν）和任何c\'adl\'ag F适应过程（Yv）v∈[0，T]，过程EFtf（t，x，（Yv）v∈[t，t]，y，z，ψ），t∈[0，T]是F-逐步可测量的。（ii）对于每个（x，q，y，z，ψ）∈ Rn×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），存在常数β，δ≥ 0，γ>0和一个正的非随机函数l:[0，T]→ R因此-lt公司- δsupv公司∈[t，t]| qv|- β| y |-γ| z|-ZEjγ(-ψ（e））ν（de）≤ ft、 x，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ≤ lt+δsupv公司∈[t，t]| qv|+ β| y |+γ| z |+ZEjγ（ψ（e））ν（de）dt-a.e.t∈ [0，T]，其中jγ（u）=γ（eγu- 1.- γu）。（iii）| |ξ（·）||∞, 支持∈[0，T]（lt）<∞.假设4.3。对于每个M>0，以及对于每个（x，q，y，z，ψ），（x′，q′，y′，z′，ψ′）∈ Rn×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）满足| y |，| y′，|ψ| L∞（ν），| |ψ′| | L∞（ν），supv∈[0，T]| qv |，supv∈[0，T]| q′v |≤M、存在一些正常数KM（取决于M）和Kξ≥ 0，ρ≥ 0，α∈ （0，1）这样，对于dt-a.e.t∈ [0，T]，o| f（T，x，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，x，（q′v）v∈[t，t]，y′，z′，ψ′）|≤ 公里数supv公司∈[t，t]| qv-q′v |+| y- y′|+| |ψ- ψ′| | L（ν）+公里数1+| z |+| z′|+|ψ| L（ν）+|ψ′| L（ν）|z- z′，o| f（t，x，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，x′，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）|≤ 公里数1+[| x |∨ |x′|]ρ+| z+|ψ| L（ν）|x个- x′α和ξ（x）- ξ（x′）|≤ Kξ| x- x′|α。提案4.1。在假设4.1、4.2和4.3下，假设存在有界解（Yt，x，Zt，x，ψt，x）∈ S∞×H×J各（t，x）∈ [0，T]×Rn。

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2022-5-31 11:52:27

那么解是唯一的and（Yt，x，Zt，x，ψt，x）∈ S∞×HBMO×JBMO，标准值由A单独控制=（| |ξ）||∞, 支持∈[0，T]lt，δ，β，γ，T），尤其是独立于（T，x）∈ [0，T]×Rn。此外，如果Yt，xt是（t，x）中的确定性映射，则映射u:[0，t]×Rn→ 由u（t，x）定义：=任何一对（t，x），（t′，x′）的Yt，xtsaties∈ [0，T]×Rn，| u（T，x）- u（t′，x′）|≤ C1+[| x |∨ |x′|]ρ|x个- x′|α+1+[| x |∨ |x′|]α|t型- t′| 2p'q对于任何p，常数C=C（α，ρ，p，\'q，Kξ，K，K·，A）≥ 2和q∈ 【q】*, ∞) 使得αp'q≥ 1，其中q*> 1是由（K·，A）确定的常数。证据第一部分来自艾玛3.1、3.2和推论3.1。让我们假设t′≤ t而不丧失任何通用性。放置δY：=Y，x-Yt′，x′，δf（r）：=1r≥tf（r、Xt、xr、（Yt、xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）- 1r级≥t′f（r，Xt′，x′r，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）=1r≥t型f（r，Xt，xr，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）- f（r，Xt′，x′r，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）-1吨\'≤r≤tf（r，Xt′，x′r，（Yt，xv）v∈[r，T]，Yt，xt，0，0），Δξ=ξ（xt，xt）- ξ（Xt′，x′T）。根据命题3.1，对于任何p≥ 2，q∈ 【q】*, ∞),|u（t，x）- u（t′，x′）|≤ Ehsups公司∈[0，T]| Yt，xs- Yt′，x′s | pip≤ CEh |Δξ| p'q+ZTEFr |δf（r）| drp'qip'q，C=C（p，'q，K·，A）。L emmas 3.1和3.2的通用边界意味着| | Yt，x | | S∞,||Zt，x | | HBM O，| |ψt，x | | JBM O≤ C，其中一些C=C（A），在（t，x）中均匀分布。因此，可以在假设4.3的整个范围内应用固定Km，前提是选择的M足够大。

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2022-5-31 11:52:31

其结果如下：efr |δf（r）|≤ 1r级≥tKM公司1个+|Xt，xr |∨ |Xt′，x′r|ρ+| Zt，xr |+|ψt，xr | | L（ν）|Xt，xr-Xt′，x′r |α+1t′≤r≤t型l+δEFr[| | Yt，x | |[r，T]]+β| Yt，xt|.因此，利用Yt，X和Cauchy-Schwartz不等式的边界，可以得到ZTEFr |δf（r）| drp'q2 ip'q≤ CE公司1个+||Xt，x | |[0，T]∨ ||Xt′，x′| |[0，T]2ρp'q+ZT | ZT，xr |+|ψt，xr | | L（ν）dr2p？q2p？q？Eh？Xt，x-Xt′，x′| | 2αp'q[0，T]i2p'q+C'T- t′|。注意，通过能量不等式，以下关系成立：EhZT | ZT，xr |+|ψt，xr | | L（ν）dr2p“qi2p”q≤ C（4.3）参见引理2.2【16】。关于一个简单的证明，请参见引理9.6.5[8]。如果常数C依赖于ly（| | Z | | HBM O，|ψ| JBM O）和p | q。使用引理4.1（a）和（C），可以得到所需的正则性。Δξ的贡献可以类似地计算。备注4.1。在上述命题的条件下，对于每个∈ [0，T]，Yt，xs=Ys，Xt，xss=u（s，Xt，xs）a.s.由于解Yt，x的唯一性。此外，由于函数u i s联合连续，u（s，Xt，xs）s∈[0，T]是c\'adl\'ag F自适应的。因此，[33]第1章定理2暗示，Yt，xs=u（s，Xt，xs）s∈ [0，T]a.s.我们现在引入一系列正则化的预期BSDE，其中m∈ N： Ym，t，xs=ξ（Xt，Xt）+ZTsr≥tEFrfmr、 Xt，xr，（Ym，t，xv）v∈[r，T]，Ym，T，xr，Zm，T，xr，ψm，T，xr博士-ZTsZm、t、xrdWr-ZTsZEψm，t，xr（e）eu（dr，de）（4.4），其中fm定义为：，（r，x，q，y，z，ψ）∈ [0，T]×Rn×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν），fmr、 x，（qs）v∈[r，T]，y，z，ψ:= fr、 x，（Дm（qs））v∈[r，T]、Дm（y）、Дm（z）、Дm（ψo ζm）. （4.5）这里，我们使用了一个简单的截断函数Дm（x）：=-m代表x≤ -mx表示| x |≤ x为毫米≥ mand a cuto off函数ψo ζm（e）：=ψ（e）1 | e|≥1/m，wh ich适用于z，ψ的分量。引理4.2。假设驱动因素f满足假设4.2和4.3。然后，（fm）m∈Nalso统一满足假设4.2和4.3，单位为m∈ N、此外，对于每m∈ N、驾驶员fmis a.e。

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2022-5-31 11:52:35

在假设C.1的意义下，关于（q，y，z，ψ）的有界全局Lipschitz连续。证据带|Дm（x）|≤ |x |，|Дm（x）-Иm（x′）|≤ |x个-x′|并且使用函数jγ（·）的凸性，第一个声明是明显的。通过表示Cm：=max1≤k≤1R | e|≥1/mνi（de）<∞, 可以看到| fm |≤ 支持∈[0，T]lt+（δ+β）m+γdm+kjγ（m）Cma。e、根据结构条件。注意到| |Дm（ψo ζm）| | L（ν）≤kXi=1mZ | e|≥1/mνi（de）≤ KMCM可以轻松确定全局Lipschitz连续性。引理4.3。（4.4）存在一个唯一解（Ym，t，x，Zm，t，x，ψm，t，x），满足| | Ym，t，x | | S∞, ||Zm，t，x | | HBM O，| |ψm，t，x | | JBM O≤ C具有常数C=C（A），仅取决于与普适界相关的常数，统一在（m，t，x）中∈ N×【0，T】×Rn。此外，（Ym，t，xs，Zm，t，xs，ψm，t，xs；s∈ [t，t]）适用于t之后由（W，u）生成的σ-代数Fts，即Fts=σ吴-Wt，u（（t，u），·）；t型≤ u≤s对于每个s∈ [t，t]。特别地，Ym，t，xtis（t，x）中的确定性。证据由于引理4.2，命题C.1适用于（4.4），这意味着存在唯一解（Ym，t，x，Zm，t，x，ψm，t，x）∈ （4.4）中的K[0，T]。因为ξ和fm是有界的，所以我们实际上有Ym，t，x∈ S∞. 因此，引理4.2、3.1和3.2暗示了所需的界| | Ym、t、x | | S∞, ||Zm，t，x | | HBM O，| |ψm，t，x | | JBM O≤ 楔形in（m，t，x）∈ N×【0，T】×Rn。这证明了第一部分。我们可以通过遵循命题4.2【11】或定理9.5.6【8】中给出的相同id ea来证明后一种主张。考虑由W′s定义的移位布朗运动和泊松随机测度（W′，u′）：=Wt+s- 重量，u′（（0，s），·）：=u（（t，t+s），·），0≤ s≤ T- t、以及相关过滤F′s：=Ftt+s。Let（X′（0，X）s，0≤ s≤ T- t）是以下SDE的解：X′（0，X）s=X+Zsb（r+t，X′（0，X）r）dr+Zsσ（r+t，X′（0，X）r）dW′r+ZsZEγ（r+t，X′（0，X）r+t-, e） eu′（dr，de），其中eu′是u′的补偿测量值。

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2022-5-31 11:52:40

利用SDE的强唯一性，X′（0，X）s-t=Xt，XS代表t≤ s≤ T P-a.s.因此Xt，xsis Fts（=F′s-t） -可测量。同样，让我们考虑s的Lipschitz ABSDE∈ [0，T- t] ；Y′s=ξ（X′（0，X）T- t） +ZT- tsEF′rfm（r+t，X′（0，X）r，（Y′v）v∈[r，T-t] ，Y′r，Z′r，ψ′r）dr-ZT公司- tsZ′rdW′r-ZT公司- tsZEψ′r（e）eu′（dr，de），其中（Y′，Z′，ψ′）是关于过滤（F′）s的唯一解∈[0，T-t] 根据命题C.1。请注意，应用于驱动器的条件期望EFr【·】=EFtr+t【·】可以替换为EFr+t【·】，因为fm的参数适用于（F′s）s∈[0，T-t] 和HenceIndependent of Ft.将积分变量更改为r+t→ r∈ [t，t]，并使用dW′r-t=d和eu′（d（r- t），de）=eu（dr，de），一个获得sy′s=ξ（X′（0，X）t- t） +ZTs+tEFrfm（r，X′（0，X）r-t、（Y′v-t）五∈[r，T]，Y′r-t、 Z′r-t、 ψ′r-t） dr公司-ZTs+tZ′r-tdWr-ZTs+tZEψ′r-t（e）eu（dr，de）。自X′（0，X）s-t=Xt，xs，可以看到（Y\'s-t、 Z’s-t、 ψ′s-t；s∈ [t，t]）是[t，t]上（4.4）的解。由于Lipschitz ABSDE具有命题C.1的唯一解（或者，可以使用命题3.1中的稳定性结果），（Y′s-t、 Z’s-t、 ψ′s-t） =（Ym，t，xs，Zm，t，xs，ψm，t，xs）a.s.每s∈ [t，t]。因此，Ym，t，xsis Fts（=F′s-t） -可测量。特别是，Ym，t，xtisFtt（=F′）-可测量，因此由Blumenthal的0-1定律确定。我们现在提供第一个主要结果。定理4.1。在假设4.1、4.2和4.3下，存在唯一解（Yt，x，Zt，x，ψt，x）∈S∞×HBMO×JBMOto各（t，x）的ABSDE（4.2）∈ [0，T]×Rn。证据由于命题4.1的第一部分给出了唯一性，因此必须证明存在性。

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何人来此

2022-5-31 11:52:44

引理4.2、4.3和命题4.1暗示确定性映射um:[0，T]×Rn→ 由um（t，x）定义：=Ym，t，xts满足m中的局部H¨older连续性，C=C（α，ρ，p，\'q，Kξ，K，K·，A），使得| um（t，x）- um（t′，x′）|≤ C1+[| x |∨ |x′|]ρ|x个- x′|α+1+[| x |∨ |x′|]α|t型- t′| 2p'q. （4.6）引理4.3也清楚地表明，supm≥1上（t，x）∈[0，T]×Rn | um（T，x）|≤ C、现在让我们确认（um）m的紧性结果∈N、通过使用j定义紧凑集合KJJ∈ N乘以Kj：=[0，T]×Bj（Rn） Rn+1，我们有∞j=1Kj=[0，T]×Rn。这里，Bj（Rn）是以原点为中心的半径j中的闭合球。Arzel\'a-Ascoli定理（见第10.1节[34]）指出存在一个子序列（m（1））（m）因此，u（1）∈ C（K），（um（1））一致收敛于K上的u（1）。由于序列（um（1））也是以非等连续为界的，因此还存在另一个子序列（m（2））（m（1）），以便，u（2）∈ C（K），（um（2））在K上均匀收敛于u（2）。通过构造，很明显u（2）| K=u（1）。继续上述步骤，并将对角线序列构建为（m（m））m≥1： ={1（1），2（2），····，j（j），···}。从第10.1节的引理2中[34]可以看出，存在一个s子序列（m′）（m（m））和一些函数u:[0，T]×Rn→ 使得（um′）在整个[0，T]×Rnspace上逐点收敛到u。此外，函数u实际上是连续的，即。

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2022-5-31 11:52:47

u∈ C（[0，T]×Rn）。事实上，通过序列（m（m））的上述构造，（um′）在任何紧致子集KR上一致收敛于该函数u。在余数中，我们研究序列（m′）（可能还有其进一步的子序列）。确定c`ad l`ag F适应过程（Yt，xs）∈[0，T]y，xs：=u（s，Xt，xs），（ω，s）∈ Ohm ×[0，T]。（um′，u）、引理4.1（a）和切比雪夫不等式的一致有界性给出了| Ym′，t，x- Yt，x | | pSp≤ Ehsups公司∈[0，T]um′（s、Xt、xs）- u（s、Xt、xs）p{sups∈[0，T]| Xt，xs|≤R} i+C1+| x | jRj对于每R>0和p，j∈ N具有一些与m′无关的常数C。对于给定的>0，当R足够大时，第二项变得小于/2。由于（um′）在任何紧集上都统一收敛于u，因此对于大m′，第一项也变小了th an/2。因此，| | Ym′，t，x-Yt，x | | pSp≤ 对于大m′。因此，我们得出Ym′，t，x→ Yt，xin Spfor every p∈ N、因为它很重要∈[0，T]| Ym′，T，x- Yt，xs |→ 0为m′→ ∞ 在概率方面，提取进一步的子序列（仍然用（m′）表示），我们有limm′→∞sups公司∈[0，T]| Ym′，T，xs-Yt，xs |=0 P-a.s.特别是，它表示| | Ym′，t，x-Yt，x | | S∞→ 这也意味着（Ym′，t，x）m′在S中形成了Cauchysequence∞.带m，m∈ （m′），让我们把δYm，m：=Ym，t，x-Ym，t，x，δZm，m：=Zm，t，x-Zm，t，x和Δψm，m：=ψm，t，x- ψm，t，x。Ito公式适用于任意τ的|δYm，mt |产量∈ TT，EFτ|δYm，mτ|+ZTτ|δZm，mr | dr+ZTτZE |Δψm，mr（e）|u（dr，de）= EFτZTτ∨t2δYm，mrEFrhfm（r，Xt，xr，（Ym，t，xv）v∈[r，T]，Θm，T，xr）-fm（r、Xt、xr、（Ym、t、xv）v∈[r，T]，Θm，T，xr）idriand henceEFτZTτ|δZm，mr | dr+EFτZTτ|Δψm，mr | L（ν）dr≤ 2 | |δYm，m | | S∞EFτZTτXi=1 | fm（r，Xt，xr，（Ymi，t，xv）v∈[r，T]，Θmi，T，xr）| dr。根据引理4.2和假设4.3，第二行的条件期望以CPi=1为界1+| | Ymi，t，x | | S∞+ ||Zmi，t，x | | HBM O+| |ψmi，t，x | | JBM O≤ C、 C=C（K·，A）。因此，右侧收敛为零，即m，m→ ∞ 统一inτ∈ TT。

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2022-5-31 11:52:51

因此，T（Zt，x，ψt，x）∈ HBMO×JBMOsuch，Zm′，t，x→ Zt，xin HBMOandψm′，t，x→ ψt，xin JBMO。证明（Yt，x，Zt，x，ψt，x）提供了（4.2）的解，可以通过BSDE的公共策略在e上进行d。上述收敛结果进一步表明，Zm′，t，x→ Zt，xinHandψm′，t，x→ ψt，xin J。因此，我们也有Zm′，t，x的测度收敛性→ Zt，x和ψm′，t，x→ ψt，x相对于dPdt和dPν（de）分别为dt。如前所述，我们还有SUP∈[0，T]| Ym′，T，x- Yt，xs |→ 概率为0。例如，根据推论6.13【22】（用σ-有限测度处理一般测度空间），存在一个子序列（仍用（m′）表示），该子序列产生相关测度的几乎处处收敛。因此，一个人有SUP∈[0，T]| Ym′，T，xs- Yt，xs |→ 0 a.s.，Zm′，t，x→ Zt、xdP ds-a.e.和ψm，t，x→ ψt，xdP ν（de） ds-a.e.自fm起→ f局部一致地，上述a.e.收敛和驱动力屈服的Lipschitz连续性fm′（s，Xt，xs，（Ym′，t，xv）v∈[s，T]，Θm′，T，xs）→ f（s，Xt，xs，（Yt，xv）v∈[s，T]，ΘT，xs）dP ds-a.e.为了使用Lebesgue的支配收敛定理，我们首先发现存在一个适当的子序列（m′），使得G：=supm′Zm′，t，x |和H：=supm′ψm′，t，x | L（ν）在L中(Ohm ×[0，T]）。让我们遵循[23]中引理2.5的思想。由于（Zm′，t，x）是H中的Cauchy序列，因此可以提取子序列（m′k）k∈Nsuch th at forany k∈ N、 | | Zm′k+1，t，x- Zm′k，t，x | | H≤ 2.-k、另一方面，对于任何s∈ [0，T]，一个简单的∈N | Zm′k，t，xs |≤ |Zm′，t，xs |+Xk∈N | Zm′k+1，t，xs- Zm′k，t，xs |。在两侧取H-范数并使用Minkowski不等式，EhZTsupk∈N | Zm′k，t，xs | dsi≤ ||Zm′，t，x | | H2+Xk∈N | | Zm′k+1，t，x- Zm′k，t，x | | H≤ ||Zm′，t，x | | H+1<∞ .通过（m′）重新标记子序列，可以得到G的期望结果。实际上，相同的方法也证明了H的可积性。

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2022-5-31 11:52:55

现在，从| fm′开始≤ C（1+G+H）a.s.当someC=C（K·，a）时，我们有zt | fm′（r，Xt，xr，（Ym′，t，xv）v∈[r，T]，Θm′，T，xr）- f（r，Xt，xr，（Yt，xv）v∈[r，T]，ΘT，xr）| dr→ 0 a.s.由Lebesgue的支配收敛定理得出。最后，BDG不等式和使用概率测度收敛性的相同参数也给出了支持∈[0，T]RTs（Zm′，t，xr-Zt，xr）dWr→ 0 a.s.和sups∈[0，T]RTsRE（ψm′，t，xr（e）-ψt，xr（e））eu（dr，de）→ 在适当的子序列下，保证了随机积分的收敛性。这就完成了证明。备注4.2。根据定理4.1以及解的唯一性，Yt，xtis实际上在（t，x）中是确定性的。备注4.3。在定理4.1的上述证明中，收敛实际上发生在（m）的整个序列中，而不仅仅是子序列（m′）。如果情况并非如此，则必须有一个子序列（^m）（m）使| | Ymj，t，x- Yt，x | | S∞> 对于everymj，有些c>0∈ （^m）。然而，通过重复在证明中完成的相同过程，我们可以提取进一步的子序列（^m′）（m）因此，（eYt，x，eZt，x，eψt，x），（Ymj，t，x，Zmj，t，x，ψmj，t，x）→（eYt，x，eZt，x，eψt，x）in S∞×HBMO×JBMOas（^m′） mj公司→ ∞. 可以证明，它也为（4.2）提供了解决方案。通过解的唯一性，eYt，x=Yt，xin S∞, 这与假设相矛盾。5（Yv）v的一般路径依赖性导致的一些正则性结果≤对于司机来说，很难确定马利雅文的差异性。有趣的是，我们可以应用类似于Fromm&Imkeller（2013）[14]中引理15或Fromm（2014）[15]中引理2.5.14的方法，对控制变量得出一些有用的规律性结果。该方法只需要基本的勒贝格微分定理。引理5.1。

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2022-5-31 11:52:58

在α=1的假设4.1、4.2和4.3下，ABSD E（4.2）解的控制变量满足每（t，x）| Zt，xs |的估计值≤ C1+| Xt，xs | 1+ρ, ||ψt，xs | | L（ν）≤ C1+| Xt，xs-|1+ρ对于dPds-a.e.（ω，s）∈ Ohm ×[0，T]，某些常数C=C（ρ，Kξ，K，K·，A）。证据为了符号的简单性，让我们确定初始数据（t，x），并在剩余的证明中省略相关的上标。我们从正则化的ABSDE（4.4）开始。选择任意s′∈ [0，T）和定义δWs：=Ws- Ws’代表s∈ [s′，T]。Ito公式在（YmδW）中的应用) 屈服强度δWs=Zss′Zmrdr-Zss′r≥tδWrEFrfm公司r、 Xr，（Ymv）v∈【r，T】，Θmrdr+Zss′δWrZmrdWr+Zss′ZEδWrψmr（e）eu（dr，de）+Zss′YmrdWr、（5.1）自（Ym，Zm，ψm）∈ S∞×HBMO×JBMO，可以很容易地证明最后三项是真鞅。请注意EHZTr≥tW公司rEFrfm公司r、 Xr，（Ymv）v∈【r，T】，Θmrdri公司≤ CEh | | W | |[0，T]iEhZT公司1+| Zmr |+| |ψmr | | L（ν）博士我≤ 例如，CSee，第E.4节，定理6【13】。C=C（K·，A）。Thu s Lebesgue微分定理的影响在于，lims↓s’s- s′Zss′r≥tW公司rEFrfm公司r、 Xr，（Ymv）v∈【r，T】，Θmrdr=1s′≥tW公司s’EFs’fms′，Xs′，（Ymv）v∈[s′，T]，Θms′a、用于dt-a.e.s′的s∈ [0，T）。对于dt-a.e.s′，同样可以得到∈ [0，T），lims↓s’s- s′Zss′Zmrdr=Zms′a.s.lims↓s’s- s′Zss′r≥tEFrfmr、 Xr，（Ymv）v∈【r，T】，Θmrdr=1s′≥tEFs的fms′，Xs′，（Ymv）v∈[s′，T]，Θms′自Zm以来的a.s.博士∈ H、我们也可以取s′，这样E[| Zms′|]<∞ a、 e。

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2022-5-31 11:53:03

在[0，T]中，正如在[15]的引理2.5.14中一样，我们引入了停止时间τ：Ohm → （s′，T）使得下列不等式适用于所有s∈ （s′，T）]：os- s′Zτ∧ss′Zmrdr≤ |Zms′|+1 a.s.os- s′Zτ∧ss′r≥tEFrfmr、 Xr，（Ymv）v∈【r，T】，Θmr博士≤ 1秒\'≥t型EFs的fms′，Xs′，（Ymv）v∈[s′，T]，Θms′+ 1 a.s.os- s′Zτ∧ss′r≥tW公司rEFrfm公司r、 Xr，（Ymv）v∈【r，T】，Θmr博士≤ 1秒\'≥t型Ws’EFs’fms′，Xs′，（Ymv）v∈[s′，T]，Θms′+ 1 a.s.那么可以显示fr om（5.1）和τ（ω）∧s=s表示非常小的s∈ （s′，T），Zms′=lims↓s’EFs’hs- s′Ymτ∧s（Wτ∧s- Ws′）国内流离失所者 dt-a.e.（ω，s′）∈ Ohm ×[0，T）通过支配收敛定理EFs的hs- s′Ymτ∧s（Wτ∧s- Ws′）我≤EFs的hs- s′Yms（Wτ∧s-Ws′）我+EFs的hs- s′（Yms- Ymτ∧s）（Wτ∧s- Ws′）我,第二项产生EFs的hs- s′（Yms- Ymτ∧s）（Wτ∧s- Ws′）我= EFs的hs- s′EFτ∧sYms公司- Ymτ∧s（Wτ∧s- Ws′）我≤ EFs的hs- s′Zsτ∧sEFτ∧sfm（r，Xr，（Ymv）v∈[r，T]，Θmr）| dr（Wτ∧s- Ws′）我≤ CmEFs′h | Wτ∧s- Ws′| i≤ 厘米√s- s′→ 0秒↓ s′。在这里，我们使用了f作用，即| fm |对于每个m本质上是有界的（参见引理4.2）。第一项给出了与m无关的常数C的估计，因此EFs的hs- s′um（s，Xs）（Wτ）∧s-Ws′）我=EFs的hs- s′um（s，Xs）- um（s，Xs′）（Wτ∧s- Ws′）我≤√s- s′EFs′h | um（s，Xs）- um（s，Xs′）| i（作者：Cauchy-Schwartz）≤C√s- s’EFs’h1+[| x |∨ |Xs′|]2ρ|Xs型- Xs′| i（由（4.6）得出，α=1）≤C√s- s’EFs’h1+| Xs′| 2ρ+| Xs- Xs′| 2ρ|Xs型- Xs′| i（x | x |∨ |y |≤ |x个- y |+| y |）（5.2）≤C√s- s′n（1+| Xs′|ρ）EFs′|Xs型- Xs′|]+EFs′|Xs型- Xs′| 2（1+ρ）o≤ C（1+| Xs′1+ρ）a.s.其中，在最后一个不等式中，我们使用了初始值为Xs′的Lemm a 4.1（b）的条件版本。因此，我们有dP dt-a.e.| Zms′|≤ C（1+| Xs′1+ρ），C=C（ρ，Kξ，K，K·，A）在m中是一致的。从定理4.1的证明可知，thatZm→ Z dP dt-a.e。

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2022-5-31 11:53:07

根据适当的子序列，因此第一个索赔如下。u的联合连续性意味着Ys-= limr公司↑su（r，Xr）=u（s，Xs-) 和henceZE |ψs（e）|ν（de）=ZE | u（s，Xs-+ γ（s，Xs-, e）（）- u（s，Xs）-)|ν（de）≤ CZE公司1+| Xs-|2ρ+|γ（s，Xs-, e） | 2ρ|γ（s，Xs-, e） |ν（de）≤ C（1+| x）-|2（1+ρ）ZE | e |ν（de）≤ C（1+| x）-|2（1+ρ）），证明了第二个权利要求。6非马尔可夫设置6.1存在为了在非马尔可夫设置中获得存在结果，我们需要一个额外的所谓驱动条件，该条件具有相当的限制性，但在关于带跳跃的二次增长BSDE的大多数现有工作中起着至关重要的作用。假设6.1。对于每个M>0，对于每个q∈ D[0，T]，y∈ R、 z∈ R1×d，ψ，ψ′∈ 带supv的L（E，ν）∈[0，T]| qv |，| y |，| |ψ| L∞（ν），| |ψ′| | L∞（ν）≤ M存在一个P E-可测过程Γq，y，z，ψ，ψ′，Msuch that，dP dt-a.e.，ft、（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ）- f（t，（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ′）≤ZEΓq，y，z，ψ，ψ′，Mt（e）ψ（e）- ψ′（e）ν（de）带CM（1∧ |e |）≤ Γq，y，z，ψ，ψ′，Mt（e）≤ 厘米（1∧ |e |），具有两个满足cm>-1厘米和1厘米≥ 我们引入了一个正则化的ABSDE，其中一些正常数m>0：Ymt=ξ+ztteffmr、（Ymv）v∈[r，T]，Ymr，Zmr，ψmr博士-ZTtZmrdWr-ZTtZEψmr（e）eu（dr，de），t∈ [0，T]（6.1）定义为fmt、（qv）v∈[t，t]，y，z，ψ:= ft、（Иm（qv））v∈[t，t]，y，z，ψ对于每个（ω，t，q，y，z，ψ）∈Ohm ×[0，T]×D[0，T]×R×R1×D×L（E，ν）。^1mis先前使用的校正功能。引理6.1。如果驱动因素f满足假设3.1、3.2和6.1，则上述驱动因素也同样满足相同的条件（m）。此外，如果存在丰富的解（Ym、Zm、ψm）∈ S∞×H×jt到ABSDE（6.1），则它是唯一的，属于S∞×HBMO×JBMO，规范| | Ym | S∞, ||Zm | | HBM O，| |ψm | | JBM O≤ C具有一些常数C，仅取决于A=（| |ξ）||∞, ||l | | S∞, δ、 β，γ，T）。证据第一种说法显而易见。

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