极端风险中的数据和不确定性——非线性预期

2022-5-31 20:34:04

极端风险中的数据和不确定性——一种非线性预期方法萨缪尔·科恩数学研究所，牛津大学萨缪尔。cohen@maths.ox.ac.ukFebruary2015年8月15日摘要尾部数量的估计，如预计短缺或风险值，是一个困难的问题。我们展示了非线性期望理论，尤其是[5]中引入的数据稳健期望，如何帮助量化这些问题的统计不确定性。然而，当我们处于重尾环境中时（尤其是当我们的数据是由帕累托分布描述的，这在许多极值理论中很常见），理论[5]是不够的，需要我们引入额外的正则化步骤。通过询问这种正则化是否可行，我们得到了在帕累托环境下可靠估计尾部数量和风险度量的定性要求。1引言统计学在一定程度上是将数据和概率模型结合起来预测未知情况的一种方法。这必然会导致不确定性，不仅如估计的概率模型所描述的那样，而且还会导致模型本身的正确性。在许多情况下，描述这种不确定性并将其纳入我们的决策非常重要。这些问题特别突出的一个领域是在考虑外部结果时。就其本质而言，这涉及到查看不可能发生的事件，通常超出可用数据的范围。“极值理论”的一个关键目的是证明从观测值推断的合理性。特别是，Fisher–Tippett–Gnedenko和Pickands–Balkema–de Haan theoremstell告诉我们，假设它们存在，重整化极值的可能分布在一个小类中，允许使用渐近近似方法。

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2022-5-31 20:34:07

尽管如此，我们仍然必须估计这些分布的参数，直觉表明，在使用这些模型时，仍然存在很大程度的不确定性。自奈特（Knight）[9]的工作以来，概率模型所描述的不确定性有时被称为“风险”，而缺乏模型知识则被称为“不确定性”。如何将不确定性纳入决策的问题由来已久。贝叶斯统计方法通过对未知量进行分布、对观测值进行假设，然后对可能的未知量进行积分来实现这一点。这有效地迫使所有不确定性被“线性”处理，人们无法将代理人对不确定性的厌恶与其对风险的厌恶（即模型中包含的随机性）分开来描述。相反，统计学中的分类方法允许参数的不确定性（例如，通过使用置信集），但通常使用的公理化决策理论支持相对有限。从公理化方法到结果评估的一种方法是“非线性期望”。这些是ic类期望值的数学概括，允许以严格和精确的方式表示风险和不确定性。非线性预期可以被视为最坏情况估值的一般化，Wald[13]在统计背景下考虑了这一点，但更加注重对多个随机结果进行估值，而不是最小化特定固定风险。在金融领域，非线性预期在凸风险度量理论中发挥了特殊作用，例如，见F¨ollmer和Schied[7]。

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2022-5-31 20:34:10

在最近的一篇论文[5]中，介绍了一种将这些非线性期望与统计估计联系起来的方法。在本文中，我们将探讨这种思维方式对极端价值理论的一些影响。特别是，我们将考虑量化我们的不确定性如何导致外部外推的怀疑，以及衡量决策风险的不同方法如何需要不同数量的数据。本文的工作如下。在对非线性预期理论及其与估计的关系进行初步总结之后，我们将考虑如何将这些预期与风险度量结合起来，在某些情况下对应于尾部的外推。然后，我们将研究调整这些非线性预期的方法，这在考虑无边界结果时经常需要。最后，我们将把这一理论应用于一个具有重尾的经典估计问题，并得出各种风险度量的估计结论。备注1。Embrechts、Kl¨uppelberg和Mikosch[6]在他们著名的《金融和保险中的外价值理论》教科书中，考虑了外剥的挑战。特别是，他们讨论了他们倾向于只看分布的中等高分位数，而不是估计尾部的德佩尔。他们说，我们之所以不愿意绘制0.9999或更高分位数的曲线图，是因为我们觉得这些估计值应该非常谨慎。[…]正如我们所见，这些估计的统计可靠性在总体上很难判断。

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2022-5-31 20:34:13

虽然我们可以计算出这些估计量的近似置信区间，但这种构造强烈依赖于无法在实践中验证的数学假设。-Embrechts、Kl¨uppelberg和Mikosch，[6，p.364]（原文强调）在本文中，我们对支持这种沉默的正式分析进行了部分尝试。我们将看到，非线性期望理论给出了一定的界限（取决于手头的数据量），超过这个界限，估计的不确定性将主导高分位数（和类似数量）的计算，因此统计推断是有问题的。2 DR预期考虑以下问题。假设我们有一个族{X}∪ {Xi}i∈正则空间上的Nof实值随机变量(Ohm, F） =（RN，B（RN）），其中B（RN）表示Borel圆柱σ-代数。我们观察xN={xN}Nn=1，并试图得出φ（X）的可能值的结论，其中φ是一些（已知的，Borel可测量的）实函数。因此，我们的目标是估计X的分布，以解释我们估计中的不确定性。从经典的角度出发，我们首先提出了一系列度量，假设每个N的σ（xN）相等<∞, 与{X}的可能联合分布相对应∪ {Xn}n∈N、对于这些分布中的每一个，我们都得到了log-likeliho-odl（xN；Q）=对数dQ |σ（xN）dQref |σ（xN）（xN）（相对于某些参考度量值QrefonOhm). 然后我们可以确定散度，或负对数似然比，αQ | xN（Q）=-l（xN；Q）+supQ∈Ql（xN；Q）。如果我们知道“真”度量Q，那么给定观测值xN的φ（X）的自然估计将是条件期望EQ[φ（X）| xN]。从形式上讲，由于这只适用于几乎所有观测值xN，并且我们有一个可能不可计数的测量值族，这可能会导致技术困难。

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2022-5-31 20:34:17

当我们使用可数生成的Borel s步数时，同时为每个∈ Q、我们可以定义给定xN的正则条件Q-概率分布，即概率核Q:RN×B（R）→ [0，1]使得Q（xN（ω），A）=Q（X∈ A | xN）（ω），从而获得“正则”条件表达式Q[φ（X）| xN]：=ZRφ（X）Q（xN，dx）。我们在下面的内容中使用这个常规条件期望。例如，参见Cohen和Elliott【4，第2.6节】或Shiryaev【12，第II.7节】，了解该结构数学的更多细节。备注2。我们将把注意力集中在{X}的简单情况上∪{Xn}n∈每个Q下的Nare iid∈ Q、在这种情况下，Q中的每个度量可以用Q下X的密度fQof来描述，我们得到了简化l（xN；Q）=PNi=1log fQ（Xi）和E[φ（X）| xN]=E[φ（X）]。[5]的关键思想是定义以下运算符。定义1。对于固定常数k>0，γ∈ [1，∞], 定义非线性预测Ek，γQ | xN（φ（X））=supQ∈QnE[φ（X）| xN]-kαQ | xN（Q）γo，我们写| x的地方|∞= 0表示| x |≤ 1，和∞ 否则我们称之为dExpection（带参数k，γ）。\'“DR”是一个故意含糊不清的首字母缩略词，指的是“分散稳健”或“数据驱动稳健”。我们可以看到，Ek、γQ | xN是在考虑各种模型Q下的预期值的基础上建立的，受每个模型对观测数据xN的拟合程度的影响。这允许DR期望对统计图像中固有的不确定性进行编码。这种非线性期望具有许多优雅的性质。从非线性膨胀理论的角度来看，它是单调的、凸的、恒等变的，并为所有常数赋值。通过指定ρ（φ（X））=Ek，γQ | xN，可以获得一个风险度量，从F¨ollmer和Schied【7】、Frittelli和Rosazza Gianin【8】和Artzner、Delbaen、Eber和Heath【1】的意义上来说(-φ（X）），或将φ（X）视为“损失”。

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2022-5-31 20:34:20

如果γ=∞.同时，与文献中的大多数风险度量不同，预测是直接从观测数据构建的，以表示统计不确定性。为了执行类别统计估计，代理需要指定要考虑的模型类别Q（以及在贝叶斯分析中，模型的先验分布）；问题剩下的唯一输入是观测值xN。在DR期望框架中，还需要不确定性厌恶参数k和曲率参数γ。与将统计推断与结果评估分开相比，预测将两者结合起来，因为可能性是预测定义的一部分。观察结果不仅通过条件作用（如贝叶斯分析）影响我们的期望，还决定了哪些模型Q∈ Qare‘good’，从很好地拟合我们过去的观察结果的意义上来说。备注3。这种方法的一个关键优势是，我们定义了每个函数φ的DR表达式。这允许一致地进行不同φ的比较，并且统计不确定性对不同φ的影响可能不同。虽然我们在上文中假设X是实值的，但如果X是Rd值（或者更一般地说，Borel是可测量的，并且在一些可分离的Banach空间中是有值的），则没有问题，这使得建模具有很大的灵活性。在{X}的设置中∪ {Xn}n∈Nare iid，并且在[5]中详述的Q的一些正则性假设下，可以证明DR期望是φ（X）期望值的一致估计，即Ek，γQ | xN（φ（X））→PEP[φ（X）]作为N→ ∞, 对于每个P∈ Q、对于k>0和γ的任何值∈ [1，∞].

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2022-5-31 20:34:24

同样清楚的是，γ=∞与假设检验中的内曼-皮尔逊引理密切相关，因为它认为模型的负对数似然比αQ | xN（Q）是有效的。为了给出精确的渐近陈述，以下定义将被证明是有用的。此处P*是与P相关的外部度量，用于处理任何潜在的可测量性缺乏。定义2。考虑序列f={fn}n∈Nand g={gn}n∈Nof函数Ohm → R、（i）当fn/gni随机有界时，我们写出f=OP（g），即P*（| fn/gn |>M）→ 0作为M→ ∞ 对于每个n，（ii）只要limn→∞P*（| fn/gn |>）=0表示所有>0。请注意，这取决于度量值P的选择。备注4。在[5]中，对于IID观测值和X，在对族Q的不同假设下，获得了一系列大样本渐近结果。假设Q是由θ参数化的“nice”exponential族的子集∈ Θ（特别是，假设1，如下面的详细信息d所示）和基于大小为N的样本的最大似然估计值（表示为^θN）已明确定义。对于有界φ，获得了以下大样本近似值：Ek，1Q | xN（φ（X））=E^θN[φ（X）]+k2NV（φ，^θN）+OP（N-3/2），瑞典克朗，∞Q | xN（φ（X））=E^θN[φ（X）]+r2kNV（φ，φθN）+OP（N-3/4），每P∈ Q、式中，V（φ，^θN）是MLE的“局部方差”，由V（φ，^θ）定义：=Eθ[φ（X）]θ^θ（一）-1^θ)Eθ[φ（X）]θ^θ,对于I^θN处的观测信息矩阵（负对数似然的Hessian）。备注5。[5]中的结果集中于{X}∪ {Xn}n∈Nare iidunder Q中的每一个模型。从建模角度来看，这是非常有限的。然而，从定义上可以清楚地看出，DR期望仅通过条件期望和对数似然依赖于集合Q，在观测数据xN下进行评估。

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2022-5-31 20:34:26

因此，如果我们的模型“接近”ANID设置，在某种意义上，我们的期望和可能性与iid模型的期望和可能性相似（可能在空间转换后），那么对DR期望的同情行为不应受到显著影响。备注6。DR Expectation特别旨在强调统计确定性，而不是个人的风险厌恶。特别是，上述结果（特别是当与怀特的经典分析相结合时[14]）表明，作为样本量N→ ∞, 在iid情况下，Ek，γQ | xN（φ（X））≈ -Ek，γQ | xN(-φ（X））≈ EP[φ（X）]，其中P是Q中最接近数据经验分布的度量。这样，当样本量较大（即统计确定性较低）时，可以看出个体的偏好在DR期望中不起任何作用。2.1数据稳健的风险度量为了将注意力集中在极端事件上，或包括个人的风险厌恶，我们可能希望将我们的重点从灾难恢复预期上扩展。传统上，当忽略统计不确定性时（因此DR经验将被对未知分布的预测所取代），标准方法是用X表示损失，用φ表示效用函数。在我们的环境中，遵循这种方法将产生一种预期效用理论，其中预期被DR预期所取代。根据随机结果的规律，直接将预测与风险评估相结合，可以获得更多有趣的病例。正如我们将看到的，许多常见的风险评估都属于这种类型，例如风险价值和预期缺口，以及经典的统计数据，如预期和方差。

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2022-5-31 20:34:30

将M写成R上的概率测度空间，我们考虑一个映射R:M→ 代表特定分布赌博的“风险”。然后，我们可以将R的风险厌恶（将X定律视为固定的）与DRE预期的不确定性厌恶（考虑到我们在该定律中的不确定性）结合起来。我们在以下定义中正式确定了这种结构。定义3。在测度Q（给定观测值x）下，为随机变量ξ的（正则条件）定律在R和LQ（ξ| x）上的概率度量空间写出mf。让R：M→ R是一个图，其中R（LQ（ξ| x））表示我们的头寸ξ的风险，假设Q∈ Q是一个“真实”的模型。我们通过定义（Ek，γQ | x）将Ek，γQ | x和R结合起来o R）（ξ）：=supQ∈QnR（LQ（ξ| x））-kαQ | x（Q）γ矿标志7。为了简单起见，我们将通过添加pre fix“DR-”来确定此结构。例如，结合DR预期和预期短缺，如以下示例所示，我们得到“DR预期短缺”，类似于“DR风险值”。示例1。考虑（上）预期空头在水平给出的风险评估（也被称为条件风险值、尾部风险值或ris k的平均值，由不同的作者）。对于ξ具有连续分布的模型P，这可以写为r（LP（ξ））=EP[ξ|ξ≥ F-1P（1- ）]=ES（ξ），其中fp是测量值P下X的cdf。这是一个cohe-rent风险度量（或非线性预期），也可以写成（见F¨ollmer和Schied[7]或McNeil、Frey和Embrechts[11]中的进一步讨论）ES（ξ）=supP′~PnEP′[ξ]- 若kdP′/dP k，则|α（P′；P）w其中|α（P′；P）=（0∞< -1.∞ 否则在R对应于凸期望（基于参考测度）的特殊情况下，这种构造可以自然地简化。提案1。

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2022-5-31 20:34:34

假设，对于每个度量值P∈ Q、我们的风险评估Rhas代表（LP（ξ| x））=支持∈Q{EP′[ξ| x]- α（P′；P）}，其中▄Q是Ohm 带QQ和▄α：▄Q×▄Q→ R是一个任意罚函数。Ek，γQ | x和R的组合是一个非线性期望，具有表示（Ek，γQ | xo R）（ξ）=supP′∈QEP′[ξ| x]- α*（P′）其中α*是inf和（参见Barrieu和El Karoui中的inf卷积[2]）α*（P′）=infQ∈Qn公司kαQ | x（Q）γ+～α（P′；Q）o.证明。要获得表示，只需展开（Ek，γQ | xo R）（ξ）=supQ∈QnR（LQ（ξ| x））-kαQ | x（Q）γo=supQ∈Q、 P′∈~QnEP′[ξ| x]-kαQ | x（Q）γ- α（P′；Q）o=supP′∈QEP′[ξ| x]- α*（P′）这通过对偶定义了非线性预期，如F¨ollmer和Schied[7]。3数据正则化上述方法基于简单的发散惩罚，在考虑无界随机变量时，往往无法给出有界值。在某种意义上，这是因为难以使用数据确定极端结果的可能性。为了激发我们的讨论，我们考虑以下简单示例。示例2。

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2022-5-31 20:34:37

考虑ξ=φ（X）=βX和{X}的情况∪ {Xn}n∈NareID N（u，σ）分布随机变量s，带u∈ R和σ>0未知。写入“X=N”-1PNi=1xind^σ=N-1Pi（Xi-对于u和σ的最大似然估计，很容易计算出（详见[5]）Ek，1Q | xN（βX）=supu，σnβu-N2k对数（σ/^σ）+NPNn=1（Xn- u)σ- 1.o=supu，σnβu-N2kσ（(R)X- u）-N2k对数（σ/σ）+σ- 1.o=β′X+supσnβk2Nσ-N2k对数（σ/^σ）- 1 +^σσo、（1）这是有问题的，对于任何一个定义N，σ的增长将主导括号s中的σ作为σ的术语→ ∞, 这意味着Ek，1Q | xN（βX）=∞.然而，要优化的函数在接近零的地方递增，我们可以在σ=2^σ处找到导数的局部最小值，其中σβk2Nσ-N2k对数（σ/^σ）- 1 +^σσσ=2^σ=βk2N-N2k4^σ。如果这个量是负数，即^σ>（βk/2N），我们知道导数在区间σ上至少改变了一次符号∈ （0，2^σ），因此我们可以确定函数将具有局部最大值，并且（我们将看到）这发生在σ附近≈ ^σ.这个例子提醒我们考虑进一步限制注意力的方法，以确保它是DR期望中选择的局部最大值，它对应于接近MLE的值，并避免考虑可实现模型σ导致的预期爆炸→ ∞.以下是防止这种爆炸的一些自然方法：o我们可以在σ上放置一个先验概率，密度为f，当σ→ ∞, 然后将此Previor合并到Penalty中。这将导致负对数后验概率αQ | xN（Q）=-l（xN；Q）- log f（σQ）+归一化项，其中归一化项相对于Q为常数，并确保infq∈QαQ | xN（Q）=0。为了确保Ek，1Q | xN（βX）<∞ 对于大N，我们需要f（σ）eaσ→ 0为σ→ ∞, 对于某些a>0的情况，这不是经典（逆伽马）共轭先验的情况。

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能者818

2022-5-31 20:34:40

这似乎是另一种特殊情况，并提出了一个共识，即无论有多少数据可用，得出的结论主要取决于优先分布f（σ）的选择我们可以先验地截断σ∞ （即，设置一个将要考虑的最大值‘∑）。这相当于一个统一的先验f（·）∝I【0，’σ】表示σ，并将导致选择局部最大值，因为该值非常大。然而，这有一个缺点，即它要求我们独立于数据假设σ的最大值，并且我们的结论将再次取决于对所有N的单位值的上限选择我们可以限制在γ=∞, 因此，只考虑σ值的一个似然区间。这意味着我们的DR期望值是正同质的，我们“忽略”了模型选择和所考虑变量之间的相互作用。（特别是，该术语仅取值s 0和∞ – 模型要么被排除在外，要么被认为与最佳模型一样合理，没有中间地带。）这些选项的最终结果具有一个特殊的优势，即结论完全基于数据，而不是我们之前的假设。与此同时，我们的期望值的降低可能是不可取的，因为这使得在评估不同的随机变量时很难看到如何选择不同的模型。为此，我们提出了一种替代正则化技术，结合γ<∞ 和γ=∞ 案例。为了实现这一点，我们定义了以下差异转换。定义4。基于大小为N的样本，散度的δ-截断由α（δ）Q | xN（Q）=（αQ | xN（Q），如果αQ | xN（Q）≤ Nδ，∞ 否则相应的DR风险评估由（Ek，γ，δQ | xN）定义o R）（ξ）=supQ∈QnR（LQ（ξ）| xN）-kα（δ）Q | xN（Q）γo.（2）备注8。

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2022-5-31 20:34:43

对于有界随机变量ξ，取R（LQ（ξ| x））=等式[ξ| xN]，计算DR期望的优化步骤意味着只有{Q：αQ | xN（Q）<kξk∞} 需要考虑。因此，如果nδ>kξk∞, 我们有Ek，γ，δQ | xN（ξ）=Ek，γQ | xN（ξ）。备注9。假设Q是充分正则的，N是充分大的，Wilks定理成立。然后，测度集{Q：αQ | xN（Q）<Nδ}对应于置信水平为F的置信集-1χd（2Nδ），对于d，为Q的（参数化），其中F-1χd是χd分布的逆cdf。在这种情况下，我们观察到δ截断对应于只考虑围绕ML E的置信度集中的那些测量值（然后根据数据进一步惩罚这些测量值）。然而，该集合的置信度将随着N的增加而迅速增加（当d=1时，Nδ已经存在≈ 2我们正在考虑95%的置信度集）。我们现在考虑序列{RN}N的行为∈Nof风险评估，可能因我们的样本大小而异。定义5。我们说（Ek，γ，δQ | xNoRN）（ξ）是正则的，只要其定义的上限是有限的，并且在αQ | xN（Q）<Nδ的点上达到。这一定义为我们提供了一个标准，可以针对一组特定的观察结果进行评估，以确定截断DRrisk评估的估计是否可靠。如果我们的DR风险评估不规范，那么我们的估计是基于容许区域{Q：αQ | xN（Q）<Nδ}边界上的参数。这表明我们的估计在很大程度上取决于截断参数δ的选择。

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nandehutu2022

2022-5-31 20:34:46

另一方面，当我们的DR风险评估为规则时，我们知道我们在可容许区域内选择了一个局部最大值，这表明截断参数δ的变化对我们的估计没有边缘影响。定义5取决于特定观测值这一事实并不重要，因为它为我们提供了一个定性标准来评估可根据我们的观测值计算的估计值的可靠性。同时，有兴趣知道是否存在截断参数δ的选择，这通常会导致定期DR风险评估。定义6。我们说（Ek，γQ | xNo如果对于某些δ>0，对于al l P，RN）（ξ）是（Q-）正则化的∈ Q、 P-概率趋向于1，如N→ ∞, 我们有（Ek，γ，δQ | xNo RN）（ξ）是正则的。备注10。通常，在MLE的任何邻域之外，散度将像O（N）一样增长。因此，δ<1的正则化足以保证在优化中只考虑MLE邻域中的点。那么，问题是，对于风险评估RN，我们是否可以选择δ足够大，使得局部最大值严格位于受限邻域的内部。如果可以做到这一点，那么问题是可以正则化的。这导致风险评估类别、样本量和激励问题本身之间存在微妙的相互作用。这一经典定理表明，αQ | xN（P）在P下具有渐近χd分布，其中d是表示Q的参数空间的维数。在Lehmannand Casella[10]中可以找到保持这种分布的条件（可以解释为对族Q的要求）。示例3。在上面的正常示例中，Ek，1，δQ | xN（βX）是正则的，只要β=o（N（δ+1）/2），δ<1（对于大N，P-概率接近1，对于每个yp∈ Q）。因此，对于任何固定的β，Ek，1Q | xN（βX）是正则的。

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2022-5-31 20:34:49

这一问题由以下草图论证（稍后将得到严格证明）。当δ<1时，我们将限制为MLE的一个新分支，因此我们可以确定我们将选择一个局部极值。我们只需验证这发生在惩罚αQ | xN（u）的点*, σ*) < Nδ。对于较大的N，我们通过一个准in（u，σ）近似αQ | xnb。这给出了近似优化问题mek，1，δQ | xN（βX）≈ supu，σ（βu-N2kσ（(R)X- u)+N4kσ^σ- 1.).该近似值的极值由u获得*=\'X+kNβσ，σ*= ^σ1+βkN^σ.现在我们将其替换回二次近似，以获得αQ | xN（u*, σ*) ≈kβ2N^σ1+βkN^σ+N4kβkN^σ= OP（N-1β+氮-3β).如果β=o（N（δ+1）/2，则保证αQ | xN（u*, σ*) = oP（Nδ），所以我们的dr期望是正则的。对于固定β（或更一般的β=o（N1-η）对于某些η>0），我们可以找到满足这些条件的δ。因此，对于每一个P，P概率接近1∈ Q、作为N→ ∞, 医生的预期是有规律的。因此，DRR期望是可正则化的。为了使上述论点更为严格和更为普遍适用，我们根据观察结果进行以下假设。假设1。

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2022-5-31 20:34:52

假设（i）族Q由开集Θ参数化 Rd.（ii）在每个Q下∈ Q、观测值{X}∪ {Xn}n∈密度为f（x；Q）=h（x）expnhθ，T（x）i的奈尔iid- A（θ）o.（换句话说，Q是一个具有自然参数化的指数族），其中T和A是固定函数（分别称为su-fiftstatistic和log-partition函数）。（iii）对于某些Borel函数φ，感兴趣的变量是ξ=φ（X）。（iv）黑森Iθ=A（θ）（通常作为信息矩阵）在Θ的每个点都是严格正定义的。（v） Q-MLE存在且持续存在，概率趋向于1作为N→∞ （即，对于每个P∈ Q、在P概率接近1且θN=θQN的情况下，存在Q中似然的最大化子^QNof→PθP）。上述假设导致了以下估计，这使我们很好地理解了αQ | xN的渐近行为。为便于记法，我们将αQ | xN（θ）写为αQ | xN（Qθ），其中Qθ是由θ度量的参数∈ Θ.引理1。假设假设1成立。然后每P∈ Q、有一个常数C>0依赖于P，但不依赖于N，这样我们就有了一致边界PαQ | xN（θ）≥NCkθ-^θNk（1∧ kθ-^θNk）对于所有θ→ 1.证明。这来自于文献[5]中引理3的证明。以下ABSR act近似结果将有用。定理1。

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2022-5-31 20:34:55

考虑一般函数fn（ψ）：=gN（ψ）的最大化-kαQ | xN（^θ+ψ）假设αQ | xN来自一个可以应用引理1的结果的环境，并且对于一些∈]0，1/2]，每P∈ Q、对于每个N，函数gnis Cand-satifies，对于B，半径恒定的球dψ=0，（i）gN（0）=0，（ii）kg′N（ψ）k=oP（N1-）均匀分布在B上，（iii）kg′N（0）k=oP（N），（iv）kg′N（ψ）k=oP（N），均匀分布在B上。然后定义δ=1- 2存在一个点ψ*对于每个P∈ Q、 P-概率逼近1为N→ ∞, 我们知道ψ*nM最大化集合{ψ：αQ | xN（θ+ψ）上fn的值≤ Nδ}和αQ | xN（^θ+ψ*N） =oP（Nδ）。证据见附录。示例4。在例3中考虑的正常设置中，我们寻求最大化βu-kαQ | x（u，σ）=β？x+βψu-kαQ | x（ψ）其中ψ=（ψu，ψσ）=（u-\'X，σ- ^σ). 提供β=o（N1-η）对于某些η>0，我们可以取g（ψ）=βψu，这满足定理1的条件。通过应用该定理，可以得出在这种情况下，DR期望是正则化的，从而对示例3中通过q值逼近得到的条件给出了严格的证明。在上述示例中，我们考虑了γ=1的情况。假设=1/2，我们还可以使用此方法的扩展来获得γ>1的情况的有效条件。引理2。假设，在γ=1的情况下，我们的截断优化问题（2）有一个最大值Q*式中，αQ | xN（Q*) < 1，取截断参数δ时≥ 0.那么γ情况下的截断问题≥ 1当然有一个最大值Q*γ与αQ | xN（Q*γ） <1，使用相同的截断参数。证据这是因为| x |γ<x |表示| x |<1，而| x |γ>x |>1。示例5。在正常情况下，我们可以看到，如果β=o（N1/2），那么定理1得出正则化参数δ=1-2=0。换句话说，我们截断为一个集合αQ | xN<oP（1）。

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2022-5-31 20:34:58

引理2表明，对于γ<∞.这一论点表明，β=o（N1/2）是从N个观测值可靠统计估计E[βX]的基本要求，前提是X和我们的观测值是具有未知均值和方差的iid正态分布。与情况γ相比=∞, 当DR期望值是置信区间的上限时，我们需要β=o（N1/2）来确保埃克，∞Q | xN（βX）- E^Q[βX]≈√2k |β|√N^σ→ 0，其中^Q是ML E。备注11。上面的例子表明，正则性和置信区间的收敛性之间存在着密切的符号关系。然而，正则性的概念有一个优点，即它可以应用于给定的样本（大小固定），而不仅仅是在渐进意义上有意义。特别是，对于给定的样本，我们可以评估（对于固定δ≥ 0）我们的截断DR期望值是否有规律，这使我们能够定性地评估基于手头数据的估计值的统计可靠性，以及相关变量的可靠性。特别是，如果计算时要最大化的函数（Ek，γQ | xNo R）（ξ）在MLE附近没有局部最大值，因此我们知道DR风险评估对于任何δ都是不规则的。这不是一个置信区间，通常不会对任何固定样本的可靠性进行定性评估。如果我们发现我们的问题不是经常性的，那么我们知道观察到的数据不足以指导我们计算DR经验——我们对规则化的选择对我们的结论有着压倒性的影响。4重尾上一节中给出的示例向我们表明，在高斯设置下，如果β相对于N不是太大（尤其是β=o（N1-η）对于某些η>0），DR表达式Ek，1Q | xN（βX）是可正则化的。

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2022-5-31 20:35:01

这表明，如果我们想考虑统计不确定性，我们愿意考虑的随机变量大小的渐近界。在下面的内容中，我们将说明，当我们计算出预期短缺和相关数量时，类似的关系存在于厚尾环境中。我们将重点关注以下特殊情况。假设2。measu res Q族描述了我们的观测{X}所依据的模型∪ {Xn}n∈Nare iid来自帕累托分布（已知最小值1），也就是说，对于由θ参数化的模型，我们有密度f（x；θ）=θx-(1+θ); x>1。假设θ的可能值满足以下两种情况之一：（i）Q对应于所有θ>0（这意味着X的概率分布有效，但不可积），（ii）Q对应于所有θ>1（这意味着X是可积的）。我们应该注意，这是一个指数分布族，因此可以应用上述近似结果（特别是引理1）。显然，假设2（ii）比假设2（i）强。这是一个很容易证明以下内容的练习：命题2。在假设2的设置中，MLE由^θ=NPilog（xi）给出，散度由αQ | xN（θ）=N给出- 日志θ^θ- 1 +θ^θ.备注12。这是标准极值估计问题的一个显著简化版本。特别是，考虑一个超过阈值u的超额模型。

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能者818

2022-5-31 20:35:04

根据Pickands–Balkema–de Ha an定理（参见Embrechts、Kl–uppelberg和Mikosch[6]），我们知道，对于大u，这种情况下的概率分布通常近似于广义帕累托分布P（X- u≤ y | X>u）≈1.-1+kyσ-1/kif k 6=0,1- e-如果k=0，则为y/σ。如果我们假设这是corr e ct分布族（因此我们处于极限状态），则已知sc ale变量σ（为简单起见），k>0（因此我们的分布是无界的，而不是指数分布），则估计k等于在上述（经典）帕累托设置中估计θ（重新参数化后）。当然，在实践中，σ的估计和切割值的选择本身就是一个重要问题。我们将看到，即使没有这些额外的担忧，与k（等效θ）相关的估计误差也足以限制哪些风险评估可以可靠估计。在下文中，对于各种常见的风险评估方法，我们将给出参数β（它将描述我们风险评估的“极限”）的增长与样本量N之间的关系，从而使DRrisk评估具有规律性。这提供了一种评估统计估计可靠性的方法。我们应该指出，如果在将exc设定在阈值以上的情况下使用，我们的样本量N将仅指我们观察到的超标数量，任何亲婴儿行为都将以超过阈值为条件。4.1预期短缺我们要考虑的第一个例子是DR预期短缺，如示例1所定义。由于预期缺口是一个凸期望，我们知道DRR预期缺口也是一个凸期望。鉴于预期的短缺仅针对可积随机变量定义，我们将在假设2（ii）下工作。引理3。

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2022-5-31 20:35:07

在不进行截断的情况下，在假设2（ii）下，所有N和所有概率水平β的DR预期短缺是有限的，即（Ek，γQ | xNo ESβ）（X）=∞对于每组观测值x和k，γ<∞.证据在假设2下，对于给定的θ>1，我们可以用尾部概率β，ESβ=E[X | X>F计算预期短缺-1θ（1- β)] =θθ - 1β-1/θ.Asθ↓ 1，我们观察到ESβ→ ∞, 但αQ | xN（θ）6→ ∞. 因此，对于每个γ<∞, 很容易看出（Ek，γQ | xNo ESβ）（X）=∞.备注13。在γ=∞, 通过单调性，我们将得到（Ek，γQ | xNo ESβ）（X）=θ*θ*- 1β-1/θ*,式中θ*是αQ | xN（θ）的最小值≤ k、这种情况对于所有N都是一样的，特别是，仅使用一个观察值，我们给出了在任何水平β下预期短缺的确切估计值≈ 0（即任意深入尾部），这在直觉上是不合理的。这是Embrechts、Kl–uppelberg和Mikosch[6]讨论的“置信区间”。假设θ*> 1，否则我们的风险评估∞.这个问题可以通过规范化技术来解决，并给出不同的定性结论。定理2。在假设2（ii）下，在γ=1的情况下，当β-1=o（N1-η），对于某些η>0。证据由于极大似然估计是一致的，我们知道，对于大N，^θ>1，P概率接近1，对于每个P∈ Q

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nandehutu2022

2022-5-31 20:35:11

在下文中，我们假设情况就是这样。计算（2）时（局部）最大化的量为θθ- 1β-1/θ-Nk公司对数（^θ/θ）- 1 + θ/^θ.为了应用定理1，由于我们对β的所有值都感兴趣，我们计算导数ddθθθ - 1β-1/θ= β-1/θ对数βθ（θ- 1)-(θ - 1),ddθθθ- 1β-1/θ= β-1/θ(θ - 1)-2对数βθ（θ- 1） +（对数β）θ（θ- 1),ddθθθ - 1β-1/θ= O（β-1/θ（对数β））在θ>1附近均匀分布。对于N大，在^θ>1的邻域内一致，取gn（ψ）=^θ+ψθ+ψ- 1β-1/(^θ+ψ)-^θ^θ - 1β-定理1的要求由简单条件β=oP（N^θ）保证-η）对于某些η>0，对于所有P∈ Q、当^θ>1时，P的概率接近1∈ Q（通过主题的一致性），我们得到了所需的确定性界。备注14。当我们通过γ=1的DR预期短缺来衡量不确定性时，这一结果为可以可靠估计的预期短缺的极限设定了一个定性界限。给定N个观测值，对于仅假设可积性的Paretodistributed模型，我们通常不能声称估计低于c/N的概率的预期不足，其中c是某个常数。特别是r，从少量观测值估计极端尾部是不可靠的。推论1。假设2（ii）下，在γ<∞, 当β-1=oP（N1/2-η），尤其是当β-1=o（N1/2-η），对于某些η>0。证据根据假设，我们知道β-1=oP（N^θ/2-η），我们可以应用=1/2的定理1。这给了我们一个正则化参数δ=0，从引理2中我们观察到所有γ<∞.备注15。在实践中，这仍然是可靠估计的一个非常乐观的要求，因为我们假设我们的简单帕累托模型是正确的（无需估计更多参数）。

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2022-5-31 20:35:14

从这个意义上说，这些结果给出了“最佳情况”界限，即在使用帕累托模型失去预期短缺估计的可靠性之前，我们可以看到底有多远。4.2风险值风险值（带尾部概率β）不是凸风险度量，因此Ek，γQ | xN通常不是真的o VaRβ是一个凸期望。然而，我们可以计算rβ（X）=F-1θ（1- β) = β-1/θ.鉴于每个分布都有明确的定义（且不明确），我们将根据假设2（i）进行处理。引理4。在假设2（i）的情况下，无需假设，所有N和所有概率水平β<1的DR风险值是有限的，即（Ek，γQ | xNo Va Rβ）（X）=∞对于每组观测值x和k，γ<∞.证据与预期短缺情况一样，我们观察到β-1/θ→ ∞ asθ↓ 0，但αQ | xN（θ）6→ ∞ asθ→ 0。结果如下。备注16。如果我们假设假设2（ii），那么对于β→ 0和有限N，我们将获得（Ek，γQ | xNo Va Rβ）（X）≈ 1/β，与观察值无关。显然，这在统计上是不可靠的，因为这是可积性的假设，而不是观察，这导致了估计的不确定性。定理3。在假设2（i）下，对于所有γ<∞, 当β-1=O（1）（如N→ ∞), 对于某些η>0。证据与预期短缺情况一样，我们看到dndθnβ-1/θ= O（β-1/θ（（对数β）n+1））。应用定理1得到正则化的建议条件（在γ=1的情况下）β=oP（N^θ-η）对于某些η>0，对于所有P∈ Q、再次，利用引理2，对于γ>1的正则性，我们得到了条件β-1=oP（N^θ/2-η）对于某些η>0。MLE的一致性（所有P的假设θ>0）表明，当β-1=O（1）asN→ ∞.备注17。要求β-1=O（1）是非常严格的，但这是因为我们在假设2（i）之外什么都不假设，即。

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2022-5-31 20:35:18

我们的分销已经确定。假设2（i）将t限制为θ>θ，对于某些θ>0，当β-1=o（N|θ/2-η）对于某些η>0.4.3损失概率，损失超过β级的概率由（假设2（i）PLβ（X）=P（X>β）=1给出- Fθ（β）=β-θ。这不是一个凸期望，但是我们可以等价地表示为asP（X>β）=E[IX>β]，然后考虑（Ek，γQ | xN）的正则性o PLβ）（X）=Ek，γQ | xN（IX>β）。定理4。对于所有N、γ和β，损失的DR概率是有规律的。证据当IX>β有界时，无论β的选择如何，这在没有正则化的情况下都表现良好。备注18。DR损失概率（和其他有界随机变量）的渐近行为由【5，第3.2节】描述。4.4 ed tail处的Int egr和Cr am'er–Lundberg故障概率从保险角度来看，有时有兴趣查看综合尾部，在假设2（ii）下，由β（X）给出：=E[（X- β） +]=Z∞β(1 - Fθ（x））dx=Z∞βx-θdx=β1-θθ- 1、备注19。对于β≥ 1，这是一个凸映射，但不是平移不变的，所以DRR积分尾，（Ek，γQ | xNo 它β）（·），通常不是一个凸的表达式。与之前的病例一样，DR在没有截断的情况下整合了一些尾部问题。引理5。在不进行截断的情况下，根据假设2（ii），DR综合了所有N和所有β的尾矿≥ 1，即（Ek，γQ | xNo ITβ）（X）=∞对于每组观测值x和所有选择的k，γ<∞.证据通过直接计算，考虑θ↓ 1，（Ek，γQ | xNo ITβ）（X）=supθnβ1-θθ- 1.-Nk公司对数（^θ/θ）- 1 + θ/^θo=∞.令人惊讶的结果是，虽然我们需要截断以避免不完整值，但DR集成尾部始终是规则的。定理5。根据假设2（ii），对于所有γ<∞, DR integrated tail可用于所有β选择≥ 1（对N有任何期望的依赖关系）。证据

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2022-5-31 20:35:22

对于所有P∈ Q、与前面的设置一样，我们可以计算和θnβ1-θθ- 1.= Oβ1-θ（（对数β）n+1）.然而，对于β≥ 1，θ>1，右手侧相对于β为o（1），特别是（根据MLE的一致性）对于每个P∈ Q、因此，对于γ<∞.密切相关的数量是Cram'er–Lundberg模型下的相关失效概率，由（假设2（ii））CLβ（X）=ITβE[X]=β1给出-θθ.定理6。对于β的所有选择≥ 1，在假设2（ii）下，DR-Cram'er-Lundberg失效概率是可正则化的。证据我们计算（Ek，γQ | xNo CLβ）（X）=supθnβ1-θθ-Nk公司对数（^θ/θ）- 1 + θ/^θo、对于β≥ 1，我们知道β1-对于所有θ>1，θθ（一致）有界。因此，从极大似然估计和定理1的一致性来看，（Ek，γQ | xNoCLβ）（X）是可调节的。4.5失真风险作为最后一个例子，我们考虑基于失真的非线性预期。这是通过取一个凸增双射映射λ：[0，1]→ [0，1]，然后使用转换后的cdf Fλ（x）=λ（F（x））计算期望值。由于λ是凸的，几乎在任何地方都是可微的，我们可以在假设2下计算变换密度，fλ（x）=λ′（f（x））f（x）=λ′（1- x个-θ） θx-(1+θ).因此，畸变风险由dλ（X）=Z给出∞λ′(1 - x个-θ） θx-θdx。（3）引理6。只要存在ζ>1/θ，使得λ′（y）=O（（1- y）-1+ζ）为y→ 1.证明。为了使Dλ是有限的，当θ>0时，对于大x，我们需要λ′（1- x个-θ）不要太大，否则我们会失去（3）中的可积性。正如我们所知道的x-（1+ζ）在[1，∞[，结果遵循支配收敛。由于λ是递增的和凸的，对于任何y<1，我们知道{λ′（x）}x<i有界，因此λ′在1附近的行为才是令人感兴趣的。对于这个原因，我们将重点关注以下示例。定义7。

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2022-5-31 20:35:27

我们说λ是“minmaxvar”变换（带参数β∈（0，1）），如果λ（x）=λβ（x）：=1- （1）- x） β。从我们的角度来看，这种情况很有趣，因为它描述了边界x=1附近λ的临界增长。其他经典示例，例如Wang变换λ（x）=Φ（Φ-1（x）- β），其中Φ是正常的cdf，在某些情况下也很有趣，但没有这种临界增长。这与Cherny和Madan考虑的“minmaxvar”风险度量密切相关[3]。引理7。在不进行截断的情况下，根据假设2（ii），对于所有N和所有β，DR minmaxvarrisk是有限的∈ （0，1），即（Ek，γQ | xNo Dλβ）（X）=∞对于每组观测值x和k，γ<∞.证据我们知道λ′β（x）=β（1- x） β-1，soDλβ=Z∞λ′β(1 - x个-θ） θx-θdx=Z∞β（x-θ)β-1θx-θdx=βθβθ- 1提供的β>1/θ，否则不确定。AsαQ | x（1/β）<∞ 对于所有β∈ （0，1），我们的DR minmaxvar风险将是有限的。定理7。在假设2（ii）下，对于任何β<1的情况，DR minmaxvar风险都不可正则化。然而，在更有力的假设下，我们将我们的模型限制在θ>θ的情况下，对于某些θ>1，则当β≥θ+| O（Nη）|。式中，γ=1时η=1/4，γ<1时η<1/4∞.证据对于任何固定的β<1，假设2（ii）不足以保证MLE^θ>1/β（as^θ可以任意c损失为1）。因为这是Dλβ和MLE满足度αQ | xN（^θ）的一致性条件≡ 0，则非正则性如下。在我们更强的假设下，为了确定β上的条件，从而使DRR minmaxvar风险可正则化，我们像以前一样进行处理。

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2022-5-31 20:35:31

我们可以计算（Ek，1Q | xNo Dλβ）（X）=supθnβθβθ- 1.-Nk公司对数（^θ/θ）- 1 + θ/^θγo，我们有导数ddθβθβθ - 1.=-β（βθ- 1），ddθβθβθ - 1.=2β(βθ - 1），ddθβθβθ - 1.=-6β(βθ - 1）。gN（ψ）=β（^θ+ψ）β（^θ+ψ）-1.-β^θβ^θ-1，orem 1满足于一个假设（^θβ-1)-4=OP（N），或等效的β≥^θ+| OP（N1/4）|。利用极大似然估计的一致性，我们知道^θ>^θ，结果如下。如果我们进一步假设β=°θ-1+1/| O（Nη）|对于η<1/4，我们可以在理论1中取=1/2，以获得所有γ<∞.备注20。使用这种通用方法，还可以考虑许多其他情况。将DR正则化应用于更一般的估计问题也很有意思，在这种情况下，我们不能简单地认为我们有一个帕累托分布，而必须使用广义极值或广义帕累托模型，以及相关的估计困难。附录为了证明我们的关键近似结果（定理1），我们从以下引理开始。引理8。考虑一个C函数f:RN→ R、负定义Hessianat为零H。假设我们希望在半径δ约为0的小球Bδ中找到局部最大值。设cδ=supx∈Bδkf′′（x）k。如果球的内部存在局部最大值m，则它具有位置x*= -H-1f′（0）+cδkH-1kO（δ）。证据根据泰勒定理，我们可以写出e展开式f（x）=f（0）+xf′（0）+xHx+R（x），其中R是带有| R（x）|的余项≤ （cδ/6）kxk和导数kr′（x）k≤ （cδ/2）kxk=球上的cδO（δ）。找到局部极值x*,我们微分得到向量方程0=f′（0）+Hx*+ R′（x）*)重新排列以给出近似值（对于每个内部局部极值都是如此）x*= -H-1f′（0）- H-1R′（x*).对于球内的极值，我们有期望的近似值x*= -H-1f′（0）+cδkH-1kO（δ）。现在我们结合引理8和引理1给出定理1的一个证明，我们重复这一点是为了简化r定理8。

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2022-5-31 20:35:35

考虑一般函数fn（ψ）：=gN（ψ）的最大化-kαQ | xN（^θ+ψ）假设αQ | xN来自一个可以应用引理1的结果的环境，并且对于一些∈]0，1/2]，每P∈ Q、对于每个N，函数gnis Cand-satifies，对于B，半径恒定的球dψ=0，（i）gN（0）=0，（ii）kg′N（ψ）k=oP（N1-（iii）kg′N（0）k=oP（N），（iv）kg′N（ψ）k=oP（N）均匀分布在B上，则存在一个ψ点*对于每个P∈ Q、 P-概率接近1，为N→ ∞, 我们知道ψ*n最大化fn在集合{ψ：αQ | xN（θ+ψ）上的值≤ N1型-2}，此外，αQ | xN（^θ+ψ*N） =oP（N1-2).证据根据引理1，对于所有N个足够大，具有任意高的P概率，对于固定半径为零的邻域中的ψ，存在一个常数C>0（取决于P），例如αQ | xN（θ+ψ）>NCkψkand在该邻域之外的αQ | xN（θ+ψ）≥ O（N）。在接下来的所有内容中，我们将注意力限制在这个半径恒定的球上。为简单起见，省略下标N，根据我们对g的假设，我们知道g（ψ）=oP（N1-）kψk依次，除半径为OP（N）的球外-在零附近，我们知道αQ | xN（θ+ψ）>NCkψk>oP（N1-）kψk=| g（ψ）|。因此，对于半径为OP（N）的球外的所有ψ-我们知道f（ψ）<0。

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