数据驱动的统计不确定性非线性期望

2022-5-25 16:43:27

数据驱动的决策统计确定性非线性预期萨缪尔N.科恩数学研究所，牛津大学塞缪尔分校。cohen@maths.ox.ac.ukSeptember22，2016摘要在随机决策问题中，人们通常希望从统计上估计潜在的概率度量，然后将此估计用作决策的基础。我们将考虑如何使用非线性期望理论，将该估计中的不确定性明确且一致地纳入决策评估中。关键词：统计不确定性、稳健性、非线性期望。MSC 2010:62F86、62F25、62A86、91G70、90B50示例1。考虑以下问题。设{Xn}n∈Nbe相同独立伯努利随机变量，未知参数p=p（Xn=1）=1- P（Xn=0），即独立投掷相同的、可能不公平的硬币。你观察{Xn}Nn=1，然后需要对iid试验X的可能行为得出结论。在经典的频率分析框架中，这很简单：p的估计量（来自MLE或矩匹配）由^p=SN/N给出，其中SN=PNn=1XN；此估计具有抽样方差p（1-p） /不适用≈ ^p（1- ^p）/N.假设我们需要对X进行下注评估。给定损失函数φ，我们通常会计算预期损失E[φ（X）]，其中预期基于估计参数。在不损失一般性的情况下，我们可以计算φ（0）=0，因此推断的表达式简单地由^E[φ（X）]=^pφ（1）给出。这导致了一个令人惊讶的结论：p估计的准确性对我们对赌注的评估没有影响。要了解这一点，请考虑一个基于N′的示例>> N无观测，但具有相同的^p值。那么，估计的精度（如抽样变量的倒数所示）要高得多，但下注的预期损失是相同的。

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2022-5-25 16:43:30

因此，在考虑这种下注时，这种方法得出的结论是，当精确或不精确地知道p时，您在设置之间是不一样的。例如，假设有两枚硬币，第一枚硬币被投掷了3次，有2个头，第二枚3000次，有2000个头。然后，预计损失标准指出，你在选择投注哪一枚硬币上是不同的，这是与经验相关的。请注意，此结论不会因损失函数φ的存在而改变。现在，有些人可能会认为这是频点估计法中的一个特殊问题，因为p估计的误差或不是我们计算期望时使用的概率框架的一部分。那么，让我们采用Bayesianaproach并在p上放置一个参数，例如（共轭）β分布b（α，β）。后验分布为B（α+SN，β+N- 序号）；这具有平均up：=（α+SN）/（β+α+N）和方差up（1- up）/（β+α+N+1）。之后的预期损失为upφ（1）；同样，这并不取决于es tima te的精度。优先使用的选择是无关紧要的，因为行为是由（为我们的观察结果生成的σ-代数写FN）E[φ（X）| FN]=E决定的E[φ（X）| p，FN]FN公司= E[pφ（1）| FN]=E[p | FN]φ（1），因此只有p的后验平均值有任何影响，而不是其后验方差（或任何其他不确定性度量）。即使我们超越了预期收益，例如考虑后验均值方差标准，我们也会发现φ（X）的后验方差是φ（X）- E[φ（X）| FN]FNi=E[p | FN]（1- E[p | FN]）φ（1），仍然只取决于p的后验平均值。

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2022-5-25 16:43:33

对于仅依赖于φ（X）后验定律的任何准则，都会得到相同的结论。从这一点，我们可以得出结论，在这个简单的环境中，频率论者和Bayesian n预期损失论者都未能将p的不确定性纳入我们的决策中。这类示例的异常行为之前已经被注意到。例如，凯恩斯评论道（使用“证据权重”一词来表示一个类似于概率精确度的概念）：因为在决定行动方案时，似乎可以假设我们应该考虑权重以及不同预期的概率-J、凯恩斯（M.Keynes），一篇关于概率的论文，其数学原因是伯努利随机变量的混合物是可再加上伯努利随机变量的。因此，在X的边际分布水平上，每个层次模型都等价于一个非层次模型，贝叶斯方法在数学上增加了一点。换言之，由于伯努利分布是一个单参数族，后验分布只能记住一个值——估计概率，因此没有地方“存储”估计精度的知识。

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2022-5-25 16:43:37

这种设置的简单性似乎是人为的，但它表明，一般来说，人们不能声称aBayesian后验预期损失法足以处理所有形式的不确定性。凯恩斯的论文详细讨论了这一观点，但并没有将其作为统计学的一个原则，如下一句所示：“但很难想出任何明确的例子，我不确定‘证据权重’理论是否有多大的实际意义。”从某种意义上说，本文的目的是以具体的数学方式解决缺乏示例的问题，并基于经典统计方法提出实用的解决方案。1921年【13，p.76】奈特【14】认为，忽视这种不确定性并不能描述人们的行为——我们通常对结果概率的知识有着严格的偏好（另请参见阿拉斯更普遍的批判）。这使得我们能够区分“风险”和“不确定性”这两个概念，前者与给定p的X的结果有关，后者与我们对p的缺乏知识有关。在上述两个经典al框架中，有一种自然的和阶级的方法来处理这一问题。对于常客，可以考虑为p建立一个置信区间，而不是使用点估计值^p，然后根据置信区间内参数的最差经验比较赌注。随着样本量的增加，置信区间缩小，因此（固定值为^p）下注的价值增加。类似地，对于贝叶斯，使用可信区间代替置信区间。

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2022-5-25 16:43:40

虽然这是众所周知且明智的，但（表面上看）这是一个临时问题，需要从哲学上加以辩护：例如，在Bayesiansetting中，p中的不确定性应该已经包含在E[φ（x）| FN]的评估中，因此这种方法似乎是重复计算不确定性。在更复杂的环境中，参数p被多维参数替换，我们有兴趣比较各种随机结果的值（其期望值通常是参数的非线性函数），置信集变得不那么自然，因此似乎需要一种更为普遍和严格的方法。在本文中，我们将给出一种这样的方法。如例1所示，为了充分考虑我们的统计不确定性，我们不能简单地估计结果的（后）分布。相反，我们需要保留一些关于这个估计有多准确的知识，并将这些额外的知识输入到我们的决策中。

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2022-5-25 16:43:44

为此，我们将对一种方法提出一般性建议，证明其一些一般性质，并选择相关示例。这是我们的关键哲学观点：当评估存在估计和模型不确定性的结果时，仅仅依靠一个固定模型下的结果分布是不够的；评估还应取决于其他参数选择和模型在多大程度上符合我们评估所依据的观察结果。我们将研究使用似然函数（表明模型对我们观察结果的拟合程度）生成与风险度量密切相关的“凸期望”的效果，而不是简单地处理单个概率。这是奈特论证的一个重要简化，奈特论证还研究了估计未来事件概率的问题，就其本质而言，这些事件与已经发生的事件不同。尽管如此，“骑士不确定性”这一术语已经变得很常见，因为它指的是缺乏概率知识，因此我们保留了这一用法。经常在数学金融领域学习。F¨ollmer和Schied[8]对这些非线性膨胀的理论进行了详细探讨（直到符号发生了一些变化），并给出了处理“骑士不确定性”的严格数学方法。在经济学中，这与Gilboa和Schmeidler的多重收益模型密切相关【10】。然而，关于将非线性预测与统计联系起来的工作却很少。例如上面的示例1，我们的建议如下。

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2022-5-25 16:43:47

考虑数量E（φ（X））=supq，而不是在一个特定的估计度量下处理预期损失E[φ（X）]∈[0,1]qφ（1）+（1）- q） φ（0）- （k）-1α（q））γ对于固定的不确定性，平均参数k>0和指数γ≥ 1，其中α是我们观察到的负对数似然，移动到最小值零，that是（如上所述，对于^p=SN/N），α（q）=N^p日志^pq+ （1）- ^p）日志1.- ^p1- q≈N^p（1- ^p）（q- ^p），（1）其中近似值为大N，在某种意义上将在后面探讨（它本质上是中心极限定理m的a，见第3.2节）。当α（^p）=0时，写ξ=φ（X），我们有E（ξ）≥ E[ξ]，基本计算给出了E（ξ）的一个（Ratherineatest）公式，表示为o f^p，N，k，φ（1）和φ（0）。运营商给出了损失的“较高”预期，这取决于给定样本的参数估计的确定性。因此，我们正在考虑p的所有可能值，并使用我们的数据来确定我们认为它们的合理性（如所示-（k）-1α（p））γ）。因此，我们不试图给出p的任何点估计，也不假设我们可以将p视为具有已知分布的随机变量。如果我们使用E在一系列赌注φi之间进行选择，我们将得到一个经典的极大极小或“鲁棒优化”问题（例如，见Ben-Tal、El-Ghaoui和Nemirovski[4]），miniE（φi（X））=miniupq∈[0,1]qφi（1）+（1- q） φi（0）- （k）-1α（q））γ.经验E可以被认为是“上”期望，并且是凸的。相应的“较低”期望值-E类(-ξ）也可以定义，并保存。这自然会导致- E类(-ξ），E（ξ）是ξ的区间预测。

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2022-5-25 16:43:51

与Dempster-Schafer理论中更为常见的量，如（频率）置信区间、（贝叶斯）可信区间和上下概率相比，我们发现区间估计在描述参数不确定性时是一个自然的研究对象。我们应该看到，置信区间（尤其是似然区间）是我们方法的特例。备注1。此处采用的方法专门用于考虑“不确定性”（缺乏概率知识），而不是“风险”（缺乏结果知识，但概率已知）。特别是，如果我们有足够的数据可以准确地知道概率度量，那么我们的期望值就是经典的期望值，并且不涉及任何损失。损失或效用函数可以用来纳入这些影响，或者我们的方法可以扩展以允许更广泛的评估类别（见备注9）。本文如下所述：首先，我们总结了非线性期望的一些基本性质。其次，我们考虑了使用对数似然作为惩罚函数和相应的“发散鲁棒非线性期望”的基础的影响，以及它们与相对性的关系。利用这一点，我们在参数和非参数设置中梳理出通用的大样本近似。最后，我们讨论了差异稳健预期和稳健统计（尤其是估计）之间的联系。1非线性期望在本节中，我们介绍了非线性期望和对流风险测度的概念，并讨论了它们与测度空间上的罚函数的关系。这些对象为建模rando m设置中不确定性的存在提供了技术基础。

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2022-5-25 16:43:54

这一理论在F¨ollmer和Schied[8]以及Frittelli和Rosazza Gianin[9]以及其他许多著作中都有详细探讨。在这里，我们提供了我们分析所需的该理论的关键细节，但没有证明。定义1。让(Ohm, F、 P）是概率空间，L∞（F）表示P-本质有界F-可测随机变量的空间。L上的一个非线性期望∞（F）是地图：L∞（F）→ r满足假设，o严格单调性：对于任何ξ，ξ∈ L∞（F），如果ξ≥ ξa.s.然后E（ξ）≥E（ξ），如果加上E（ξ）=E（ξ），则ξ=ξa.s.o常数平凡性：对于任何常数k∈ R、 E（k）=k.o平移等效变量：对于任何k∈ R、 ξ∈ L∞（F），E（ξ+k）=E（ξ）+k。额外满足度的“凸”期望o凸性：对于任何λ∈ [0，1]，ξ，ξ∈ L∞（F），E（λξ+（1- λ） ξ）≤ λE（ξ）+（1- λ） E（ξ）。如果E是凸期望，则ρ（ξ）=E定义的算子(-ξ）被称为凸风险度量。一类特别好的凸期望是满足下半连续性的序列{ξn}n∈N L∞（F）带ξn↑ ξ∈L∞（F）点方向，E（ξn）↑ E（ξ）。以下定理（用风险度量的语言表示）是由F¨o llmer和Scheid[8]以及Frittelli和Rosazza Gianin[9]提出的。定理1。设Mdenote上所有概率测度的空间(Ohm, F）关于P绝对连续。假设E是下半凸期望。然后存在一个“惩罚”函数α：M→ [0，∞] suchthatE（ξ）=supQ∈M公式[ξ]- α（Q）.此外，还有一个极小的此类函数，由αmin（Q）=supξ给出∈L∞（G）公式[ξ]- E（ξ）对于Q∈ M、提供α（Q）<∞ 对于某些Q等价于P，我们可以将注意力限制在m等价于P的度量上，而不会失去一般性。经典凸分析表明，α是E的Fenchel–Legendre共轭，也是一个凸函数，是弱下半连续的。

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2022-5-25 16:43:57

这也很清楚，当E（0）=0时，我们有等式infQ∈M{αmin（Q）}=0。备注2。正如上文在我们的示例中所讨论的，这个结果给出了凸期望如何处理“奈特”不确定性模型的一些直觉。一种方法是考虑空间上所有可能的概率度量，然后在所有度量中选择最大期望，根据每个度量的合理性对其进行惩罚。由于E的凸性是对结果进行“不确定性规避”评估的自然要求，定理1表明，这是构造惩罚不确定性的“E扩展”E的唯一方法，同时保持单调性、平移等效性和常量平凡性。特别是，如果（且仅当）E是正同源的，即它满足“任何λ≥ 0，E（λξ）=λE（ξ）”，则α最小值取{0，∞}, 我们可以重写表达式asE（ξ）=supQ∈M*公式[ξ].其中M* Misα（Q）=0的度量集。在这种情况下，我们看到我们的凸期望对应于在随机系统的可能模式ls范围内取最大期望值。备注3。上面将凸表达式e定义为L上的一个运算符∞.然而，给定等效表示式e（ξ）=supQ∈M： α（Q）<∞公式[ξ]- α（Q）,我们可以清楚地确定E（ξ）为更广泛类别的随机变量。特别是，对于所有随机变量ξ，E（ξ）都有很好的定义（但可能是有限的），因此eq[ξ]>-∞ 对于每个Q∈ Mwithα（Q）<∞.给定一个凸非线性期望E，决策问题有一类“可接受”的自然随机变量，即（给定我们评估损失）凸水平集a={ξ：E（ξ）≤ 0}。还可以使用非线性期望作为要优化的值；在此设置中，运算符的凸性非常重要。

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2022-5-25 16:44:00

最后，我们可以使用非线性期望给出ξ的鲁棒点估计，给定损失函数φ，通过选择值^ξ∈ 使损失E（φ（ξ）最小的R-（参见Wald[22]）。2惩罚和可能性非线性扩展的一般框架非常适合建模奈特不确定性，但通常与统计估计无关。我们希望有一个处理不确定性的一般原则，它与经典统计密切相关。我们的目标是建立一个非线性期望，该期望使用观测值得出真实世界概率的估计值，并使用这些估计值及其不确定性为各种随机结果提供稳健的平均值。与其继续采用抽象的公理化方法，我们还应考虑以下具体问题：定义2。假设我们有一个观测向量x，取RN中的值。对于型号Q∈ M、设L（Q | x）表示x在Q下的可能性，即x相对于参考度量的密度（为了简单起见，我们将采用RN上的beLebesgue度量）。让Q Mbe考虑中的一组m模型（例如，一组参数分布）。然后，我们将“Q | x-散度”定义为负对数似然比αQ | x（Q）：=-日志L（Q | x）+ supQ∈Qnlog公司L（Q | x）o、右侧很好地确定是否存在最大似然估计。给定Q-MLE^Q，我们将得到更简单的表示αQ | x（Q）：=-日志L（Q | x）L（^Q | x）.回想一下，Q-MLE（最大似然估计）是一个可测的映射x→^Q∈ Qsuch that L（^Q | x）≥ L（Q | x）表示所有Q∈ Q

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mingdashike22

2022-5-25 16:44:05

我们说一个量Y是Q-MLE f或EQ[ξ]ifY=E^Q[ξ]，其中^Q是Q-MLE。给定αQ | x，对于不确定性厌恶参数k>0和指数γ∈ [1，∞], 我们得到了相应的凸期望k，γQ | x（ξ）：=supQ∈QnEQ[ξ| x]-kαQ | x（Q）γo我们在这里通过公约x∞= x为0∈ [0，1]和+∞ 否则W e callEk，γQ | x“Q | x-散度稳健期望”（带参数k，γ）或简单的“DR期望”。我们主要关注两种极端情况γ=1和γ=∞,然而，中间的情况是它们之间的自然插值。声明1∞= 从凸分析角度来看，0是自然的，因为它意味着| x | qis与| x | p的凸对偶成比例，每当p-1+q-1=1，forp∈ [1，∞].我们将把注意力集中在特殊的case上，其中x={Xn}Nn=1，并且在每个Q下∈ Q、我们知道X，{Xn}n∈Nare iid RANDOM变量–这允许分析可处理的结果，但我们的方法适用性更高。备注4。在我们的示例中，上述Q对应于一组度量，使得x，{Xn}Nn=1是具有参数p的iid贝努利∈ [0，1]。在这个例子中，我们没有考虑M中的所有度量s（例如，这将包括{Xn}Nn=1和X来自完全不相关的分布的模型），但我们也没有将注意力限制在单个Q上∈ Q、通常，不能手动计算运算符E，需要进行数值优化或近似。在上例1的设置中，如果γ=1，则可以获得闭合形式的表示，但这是相当合理的（最佳q是二次方程的解，但Ek，γq | x（ξ）的求积方程没有简化）。

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2022-5-25 16:44:08

可以导出闭合形式量的一个简单示例是经典设置，假设数据以未知平均值开始（如上所述，这些对于大N来说非常相似）。示例2。假设x=（x，x，…，XN）和Q对应于那些测量，其中x，{XN}Nn=1是iid N（u，1）随机变量，其中u未知。那么，如果'X=N-1PNn=1xndentes样本平均值，对于任何常数β>0，可使用简单微积分推导γQ | x（βx）=supu∈Rnβu-2公里NXn=1（u- Xn）-NXn=1（(R)X- Xn）γo=supu∈Rnβu-N2k（u-(R)X）γo=β′X+β2γ2γ-1.千牛γ2γ-1（2γ）-12γ-1.1.-2γ.这个首字母缩略词也可以代表“数据驱动的稳健预期”，这可能是一个值得强调的重点。特别是，当γ=1时，我们有ek，1Q | x（βx）=β′x+βk2N=β′x+kVar（β′x），取极限γ→ ∞ （或从定义上说是可怕的）、Ek、，∞Q | x（βx）=β′x+βr2kN=β′x+√2k标准差（β′X）。在后一种情况下，取k≈ 2，我们得到了βX的经典95%置信区间的上界。相应的较低期望值由对称量给出-Ek，1Q | x(-βX）=β′X-βk2N，-埃克，∞Q | x(-βX）=β′X- βr2kN。从这个例子中，我们可以观察到一些现象，下面我们将更全面地讨论这些现象。首先，对于γ<∞, Ek，γQ | x（βx）在β中不是正同质的，即Ek，γQ | x（|β| x）6=|β| Ek，γQ | x（x）。考虑的随机变量越大（绝对值），不确定性对我们评估的影响就越大。

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2022-5-25 16:44:11

另一方面，当γ=∞, 而且在Ek和，∞Q | X和E[X]的分类置信区间。其次，对于任意γ，作为不确定度参数与样本k/N的比值→ 0时，DR期望收敛到（唯一的）Q-MLEβ′X（即，与Q中具有较大t似然的度量相对应的参数）。该收敛为（k/N）γ2γ级-1、在此设置中，我们还可以计算，对于β>0，Ek，1Q | x（βx）=supu∈Rnβ（1+u）-N2k（u-(R)X）o=（β+βN（N-2kβ）（N-2kβ）\'Xβ<N/2k+∞ β≥ N/2K地址：，∞Q | x（βx）=β1+(R)X+p2k/N,这永远是有限的。第4节将更详细地考虑Ek，1Q | x中的这种爆炸。请再次注意，作为k/N→ 0，Ek，γQ | x（βx）→ β（1+(R)X），这是E[βX]的Q-MLE。备注5。我们将重点关注估算可能性的使用，但很明显，也可以考虑其他数量。特别是r，如果我们有一个参数分布Q族，参数的个数是可变的，那么用Akaike的信息准则或theBaye-sian信息准则来惩罚是合理的，而不是简单地用似然来惩罚。在某些情况下，使用准似然而非真实似然也可能令人感兴趣，尤其是如果这使得问题更具协同计算能力。此外，包括与“先前”惩罚的对数密度相关的术语可能很有趣，因此将使用后验分布的对数密度，而不是可能性来计算惩罚（参见示例5）。为了简单起见，我们不会在这里详细讨论这些变体，但是它们的行为应该与我们所考虑的性质相似。我们在上面已经注意到，在高斯情况下，我们的非线性期望仅在γ=∞.

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大多数88

2022-5-25 16:44:14

这是一个普遍的事实，如下所述。提案1。在γ=∞ （只有在这种情况下，假设可能性是有限的，并且对于Q的一个非平凡子集是变化的），我们的非线性期望是正齐次的，即isEk，γQ | x（βξ）=βEk，γQ | x（ξ），对于所有β>0 i fγ=∞.证据一个凸非线性期望是正齐次的，当且仅当惩罚值仅取{0，∞}. 考虑到似然od是有限的，并且在Q的非平凡子集上变化，对于nyγ<∞, 但rγ=∞ 副定义。备注6。对于Q-MLE^Q，定义为L（Q | x）≤ L（^Q | x），soαQ | x（Q）≥ 0，仅当Q是最大似然模型时相等。一般来说，我们不能说αQ | xis是否是凸集（实际上，我们没有假设其域Q是凸集），因此通常情况下（k-1αQ | x）γ是Ek的最小惩罚，γQ | x.2.1动态一致性在非线性实验理论中，动态一致性问题受到了广泛关注。如果我们有一个家庭≥0相对于过滤{Ft}t的“条件”非线性期望≥0，则对于每个ξ和所有s，动态c一致性要求≤ t、我们有（i）递归关系（Et（ξ））=Es（ξ）和（ii）相关条件Es（IAξ）=IAEs（ξ），用于ALA∈ Ft.这个概念通常不适合我们的方法，因为我们定义的预期通常不一致。这可以从下面示例2的Easy扩展中看到。示例3。在示例2的上下文中，写xN={X，…，xN}，因此FN=σ（xN）。

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2022-5-25 16:44:19

我们有Ek，1Q | x（Ek，1Q | x（x））=Ek，1Q | xX+X+k=X+k+Ek，1Q | X十、=X+k+X+k=X+3k6=X+k=Ek，1Q | X（X）andEk，∞Q | x（Ek，∞Q | x（x））=Ek，∞Q | xX+X+r2k=X个+√k+Ek，∞Q | x十、=X个+√k+X+rk=X+（1+2-1/2）√k6=X+√2k=Ek，∞Q | x（x）。所以在任何一种情况下，非线性表达式{Ek，γQ | xN}N∈Nis不是递归的。因此，我们的问题在以下（密切相关的）关键方面与动态一致的问题不同：o在动态一致的环境中，惩罚是规定的（并且可能在整个时间内保持不变，如[6]中所述），而观察结果导致在非线性期望中出现条件期望。在我们的设置中，惩罚由观测值决定（通过Q | x-散度），因此只需要指定模型族Q和常数k，γ。这样，观测值将直接形成我们对现实世界概率的理解，而不是简单地用条件概率代替它们在动态一致的环境中，决策通常被认为是在每个时间点做出的，需要确保它们满足动态规划原则（因此为未来的决策制定计划是合理的）。在我们的环境中，我们自然会在反复观察后考虑做出一个单一的决定，并将其视为一个经验基础在动态一致的设置中，通常有一个极限，即观察次数inc等于结果的真实值，即isE（ξ| Ft）→ ξ为t→ T在我们的设置中，我们通常使用thatEk，γQ | xN（φ（X））→ EP[φ（X）]为N→ ∞ in P-所有P的概率∈ Q、也就是说，我们的预期c接近“真实”指标下的预期。奇怪的是，在这种情况下，递归可以使非线性预期的风险规避程度降低，即Ek，1Q | x（Ek，1Q | x（x））<Ek，1Q | x（x）。

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2022-5-25 16:44:22

这与非线性期望的典型行为相反（例如，参见Madan、Pistorius和Stadje[17]）。γ=∞, 我们有通常的关系Ek，1Q | x（Ek，1Q | x（x））>Ek，1Q | x（x），但对于γ的其他值（例如γ=2），可以观察到递归步骤的数量和风险规避水平之间的非单调关系在动态一致的设置中，如果我们假设我们的观测值与X无关（在所有Q下∈ Q）通常，我们对X的值一无所知，因此E（φ（X）| FN）是常数。在我们的环境中，需要独立的观察来教会我们X的分布，并提供有用的信息，这些信息被纳入我们的期望中在动态一致性设置中，底层模型通常需要在随时间粘贴的情况下保持稳定。从概念上讲，这意味着在不同时期指导我们观察的“真实”模型之间不存在显著联系。相反，在我们的设置中，我们通常假设基础模型是随时间变化的常数（即我们的观测值），因此重复观测可以提供“真实”模型的更多信息。在[6]中，考虑了一个过滤问题，其中ξ取决于一个隐藏的时变过程，并使用观测值过滤ξ的期望值。这在两个方面与非线性期望相结合。首先，在初始校准阶段使用DR期望方法来估计模型的潜在概率结构及其不确定性，即隐藏过程和观测过程的动力学。其次，从DR期望方法获得的惩罚函数用于为这些过程的新实现建立具有良好动态特性的非线性期望，并与在线过滤器相关联。

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2022-5-25 16:44:26

在第二种情况下，新信息被纳入风险评估中，但不能重新校准潜在概率动力学的估计。然而，正如我们将看到的，我们的非线性预测的一些“动态”特性是可行的。特别是，在第3节中，我们将考虑DR期望的大样本渐近行为。2.2指数和熵我们提出的凸期望与风险规避决策中更传统的数量，即指数效用下的确定性等价物之间存在联系，这并不奇怪。定义3。对于随机变量ξ，在参考度量值P下，指数效用下的确定性等价物具有定义kexp（ξ）=klog EP[exp（kξ）]，其中k>0是风险规避参数。定义相对熵（orKullback–Liebler散度）DKL（Q | | P）=EQhlogdQdPi=EPhdQdPlogdQdP特别是，新的观察结果不能影响我们对早期活跃的衡量标准的看法。如前所述，这更普遍地与奈特（Knight）[14]的观点相联系，他讨论了不同时间的观察可能来自不同模型的问题。困难在于，如果没有某种性质上的同质性假设，统计推断是不可能的。我们有表示（例如，参见[8]）Ekexp（ξ）=supQ∈MnEQ[ξ]-kDKL（Q | | P）o.用条件期望代替期望，得到条件确定性方程。备注7。将X定律的相对熵与其他观测值{Xn}n分开考虑是有用的∈N

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2022-5-25 16:44:29

因此，我们定义了kl | X（Q | | P）=Zlogf（x，Q）f（x，P）f（x，Q）dx。假设^Q≈ P，当P是“真实世界”概率测度时，根据大数定律，我们希望在标准偏差αQ | x（Q）=-NNXn=1logf（Xn，Q）f（Xn，^Q）≈ -EPhlog公司f（X，Q）f（X，^Q）我≈ DKL | X（P | Q）和指数效用中的惩罚，即DKL（Q | P）。一般来说，这是因为我们有一个有限的测度族Q，以及相对熵的对称性，因为DKL（Q | | P）6=DKL（P | | Q）。我们将在下一节中探讨这一联系。备注8。考虑不确定对称位置参数的情况，即当Q由未知量θ参数化时，在每个Qθ下，{Xn}Nn=1是密度为f（| x）的iid- θ|）。然后可以证明DKL | X（Qθ| Qθ′）=DKL | X（Qθ′| Qθ）。因此，在这些情况下，可以尝试在MLE测度^Q下将非线性期望与指数确定性等效。然而，这要求测度Q∈ M最大化Q[X]- DKL | X（Q |^Q）在类Q内。也就是说，优化器仅通过改变参数θ来区分^Q。一般来说，这只是考虑的模型是均值不确定的高斯模型的情况。然后，当P=^Q时，我们得到（参见示例2）Ekexp（βX）=β′X+βkVar（X）。备注9。我们方法的一个扩展是将惩罚函数改为包含在“其他”方向上的熵项，即使用惩罚αk，β（Q）=infQ′∈某些β大于0的QnβDKL（Q | | Q′）+kαQ | x（Q′）。当Q是一个参数族时（我们认为我们的模型应该与参数模型相似，如果不是完全相同的话），或者当我们希望包含ris k厌恶（使用指数效用测量）时，这尤其令人感兴趣。

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mingdashike22

2022-5-25 16:44:32

这对于所有度量值Q都有很好的定义∈ M、并给出期望值：supQ∈M公式[ξ]- αk，β（Q）=βlog Ek，1Q | x（eβξ）。3大样本理论在本节中，我们将寻求研究非线性期望Ek，γQ | x的大样本理论。在实践中，这对于给出其行为的近似值和定性描述特别有用。在本节中，我们将假设我们有观测值{Xn}n∈N、在X，{Xn}N下的测度Q族∈Nare iid随机变量，对应密度f（x；Q）dx。我们写xN=（X，…，xN）。对于大N，我们有兴趣确定Ek，γQ | xN（φ（X）），其中φ是有界函数。对于s隐式，我们假设MLE存在（然而，我们的结果可以扩展以删除此假设，同时增加符号复杂性）。我们为基于Q-MLE的onobservations xN编写了^qn。鉴于缺乏正同质性，考虑c-1NEk，γQ | x（cNξ），其中cN规定了N的增长。以下引理允许我们改变不确定度参数k。引理1。对于任何k>0，任何γ<∞, 任意随机变量ξ，k-γE1，γQ | x（kγξ）=Ek，γQ | x（ξ）。证据k-γE1，γQ | x（kγξ）=k-γsupQ∈QnEQ[kγξ| x]-αQ | x（Q）γo=supQ∈QnEQ[ξ| x]-kαQ | x（Q）γo=Ek，γQ | x（ξ）为了能够简单描述我们的渐近结果，我们回顾了以下定义4。对于函数f和g，只要f（N）/g（N）是随机有界的（即P（| f（N）/g（N）|>M），我们将写出f=OP（g（N））→ 0 asM→ ∞ 对于每个N）和f=oP（g（N）），只要P-limN→∞|f（N）/g（N）|=0。请注意，这取决于度量值P的选择。在经典情况下（即。

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2022-5-25 16:44:36

当收敛不是概率时）。如果需要的话，用不同的惩罚代替熵可以考虑其他效用函数。3.1非参数结果我们现在给出一些结果，当我们不假设Q来自“好”的参数族时。鉴于我们将取密度族的上确界，我们需要一个统一的大数定律。因此，我们作出以下定义。定义5。我们说Q族是Glivenko–Cantelli–Donsker度量类（或GCD类），如果，对于任何P∈ Q*supQ公司∈QnαQ | xN（Q）N- DKL | X（P | Q）o=OP（N-1/2）（如果支持*指最小可测量包络，以确保可测量性）。备注10。之所以取这个名字（Glivenko–Cantelli–Donsker）是因为，如果我们在用对数似然族为经验分布编制索引时有一个统一的弱Glivenko–Cantelli定理，那么括号中的项在概率上收敛为0。如果我们还有一个统一的Donkser定理，那么我们知道√NαQ | xN（Q）/N- DKL（P | | Q）收敛（在某种意义上）到一个有限值高斯过程，这意味着它属于或定义。鉴于极大似然估计的一致性和某些可积性，很容易证明有限族Q始终是GCD类。引理2。假设Q是一个测度族，使得{Xn}n∈Nare iid，各密度{f（·；Q）}Q∈Qwhich satisfyi）有一个紧集K，使得对于每个P∈ Q、 P（X∈ K） =1ii）存在>0，使得<infQ∈Qminx公司∈Kf（x，Q），iii）存在C<∞ ρ>1/2，对于所有的P，Q∈ Q、似然比f（·，Q）/f（·，P）取[C]中的值-1，C]和与范数C不一致的ρ-H¨oldercontinuous，即写L（x）=f（x，Q）/f（x，P），supx，y | L（x）- L（y）| | x- y |ρ≤ C、那么Q是一类GCD度量。证据见附录。我们现在可以证明以下版本的大数定律和中心极限定理。

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2022-5-25 16:44:40

我们从γ=1的情况开始。定理2。假设Q是一类GCD度量值，kN=o（N）。考虑随机变量ξ=φ（X），其中φ是有界可测函数，X，{Xn}n∈每个Q下的Nare iid∈ Q、（i）EkN，1Q | xN是一致估计量，即isEkN，1Q | xN（ξ）→PEP[ξ]为N→ ∞ 对于每个P∈ Q、（ii）我们有渐近行为（如N→ ∞, 对于每个P∈ Q） EkN，1Q | xN（ξ）≤ EP[ξ]+kNNVarP（ξ）+OkNN公司+ OP公司N1/2kN当P的密度为f（x；P）=f（x；P）λ时，对于所有N个足够大的N，具有相等性-kNNφ（x）（其中选择λ>supxφ（x）以确保这是一个概率密度）也是Q中的（这可以被认为与中心极限定理有关，参见示例2）备注11。假设基于Q-MLE的实验误差渐近为1阶/√N、（ii）所暗示的要求√N、不足为奇，因为这就是需要确保风险厌恶项kn2nvar（ξ）渐近地控制EP估计的统计误差[ξ]。证据我们通过证明（ii）而变得愚蠢。由于Q是GCD c类，我们知道，NαQ | xN（Q）- DKL | X（P | Q）≤ OP（N-1/2），误差独立于Q有界。因此，在Q中一致，kNαQ | xN（Q）-NkNDKL | X（P | | Q）≤ OP（N1/2/kN）。计算EkN，1Q | xN（ξ），我们得到EkN，1Q | xN（ξ）=supQ∈QnEQ[ξ]-kNαQ | xN（Q）o=supQ∈QnEQ[ξ]-NkNDKL | X（P | Q）o+OP（N1/2/kN）。现在，我们将重点解决这个问题，前提是该概率由（N/kN）DKL（P | | Q）给出。对于固定N，我们可以尝试直接解决这个简化的问题。假设将通过表示为Qg的度量获得最佳值，这对应于确定密度g=f（·，Qg）。变分法yie ldsφ+NkNgf（·，P）+λ= 0，或等效yg=f（·，P）λ-kNNφ，其中选择λ以确保g是密度，即EP[（λ-kNNξ）-1] =1。

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2022-5-25 16:44:44

这需要λ>kNNsupxφ（x）（这就是我们计算ξ=φ（x）有界的原因）。作为映射λ7→ （λ-kNNφ（x））-1是单调的，我们也知道λ的对应值是唯一的，λ∈h1+kNNinfxφ（x），1+kNNsupxφ（x）i。这避免了与λ>kNNsupxφ（x）的要求不一致，只要Nis足够大，以至于nkn>2 supx |φ（x）|。对于非常固定的大N，我们有λ值的影响。因此，我们可以假设（λ-kNNξ）-1在λ=1+kNNEP[ξ]附近由其在λ中的泰勒级数统一逼近。此外，我们立即看到第一个近似值λ=1+kNNEP[ξ]+O（kN/N）。展开（λ）的泰勒级数-kNNξ）-1，我们有1=EPh1-λ- 1.-kNNξ+λ- 1.-kNNξ+ ...ior等效λ=1+KNEP[ξ]+EPhλ- 1.-kNNξi+OEPh公司λ-1.-kNNξ我. （2）将（2）右侧的λ的第一个近似值替换为λ=1+KNEP[ξ]+kNN公司VarP[ξ]+OkNN公司.将第二个近似代入（2），我们观察到误差可以取为O（（kN/N）），而不是O（（kN/N））。我们现在可以近似我们的凸预期。我们知道eqg[ξ]=EPhξλ-kNNξi=EPhξ1.-kNN（EP[ξ]- ξ） +O（（千牛/牛））i=EP[ξ]+kNNVarP[ξ]+O（（kN/N））和类似的EphlogdPdQgi=EPhlogλ-kNNξ我=kNN公司VarP[ξ]+OkNN公司.因此，我们可以计算所需的近似值kn，1Q | xN（ξ）=supQ∈QnEQ[ξ]-NkNDKL | X（P | Q）o+OPN1/2kN≤ 方程式[ξ]-NkNEPhlogdPdQgi+OPN1/2kN= EP[ξ]+kN2NVarP（ξ）+OkNN公司+ OP公司N1/2kN.（3）只要Qg相等∈ Q、如（ii）所述。我们现在寻求将假设简化为（i）。增加KN只会增加（非负）差值Sekn，1Q | xN（ξ）- E^QN[ξ]，E^Q[ξ]+EkN，1Q | xN(-ξ）我们知道E^QN[ξ]是一致的，我们可以假设N1/2/kN→ 0不丧失通用性。在此假设下，（3）的右手侧收敛于EP[ξ]，因此我们验证了EkN，1Q | xN（ξ）→PEP[ξ]符合要求。备注12。

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2022-5-25 16:44:48

假设Q非常丰富，kN/√N→ ∞ （因此，（ii）的近似是有用的）这个结果意味着，如果我们有ξ=φ（X）的均值和方差的简单估计量，例如{φ（Xn）}n的经典样本均值和方差∈N（有错误OP（N-1/2）），那么我们有渐近近似值kn，1Q | x（ξ）≈\\EP[ξ]+kNN\\VarP（ξ）。众所周知，平均方差准则通常不是凸表达式，但对于高斯分布仍保持凸性（例如，参见[8]）。在这种情况下，我们可以看到中心极限定理使我们的不确定性近似为高斯分布，因此没有矛盾。我们现在考虑γ=∞. 很容易检查intervalIN（ξ）=h- 埃克，∞Q | xN(-ξ），埃克，∞Q | xN（ξ）是E[ξ]的一个似然区间，也就是说，它对应于在Q中测量的期望范围，似然至少为E-k、此类区间通常用作置信区间的推广（例如，参见Hudson[12]，借鉴了Neyman和Pearson[18]的著名结果）。在这种情况下，我们将看到，由于密度区域在φ中是一致的，因此更强大的属性成立。（另见定理6。）定理3。假设Q是GCD族，X，{Xn}n∈eachQ下的Nare iid∈ Q、如果kN=o（N），则γ=∞ 是一致相合估计量，即supφ：|φ|≤1nEkN，∞Q | xN（φ（X））- EP[φ（X）]o→P均为P0∈ Q、证明。注意这一点，∞Q | xN（φ（X））=supQ：αQ | xN（Q）≤kN{等式[φ（X）]}。因为Q是一个GCD类，我们知道对于任何P∈ Q、 NαQ | xN（Q）=DKL | X（P | Q）+OP（N-1/2）如此，前提是kN=o（N），αQ | xN（Q）≤ 千牛<=> DKL | X（P | Q）≤kNN+OP（N-1/2）=oP（1），终端误差在Q中均匀。

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mingdashike22

2022-5-25 16:44:53

从Pinsker不等式中，仅从X的边际定律来看，我们知道总变化不满足f（X；P）- f（x；Q）| dx=P |σ（X）- Q |σ（X）电视≤q2DKL | X（P | Q）。因此，supφ：|φ|≤1nEkN，∞Q | xN（φ（X））- EP[φ（X）]o=supφ：|φ|≤1sup{Q：αQ | xN（Q）≤kN}nEQ[φ（X）]- EP[φ（X）]o=supφ：|φ|≤1sup{Q:DKL | X（P | | Q）≤oP（1）}nEQ[φ（X）]- EP[φ（X）]o≤ sup{Q:DKL | X（P | | Q）≤oP（1）}nP |σ（X）- Q |σ（X）TVo≤ oP（1）。因此，非线性期望是一致一致一致的估计量。通过简单的比较，我们还得到了所有其他γ的一致性∈ [1，∞].推论1。如果Q是GCD等级，则kN=o（N）和γ∈ [1，∞], 非线性期望Ek，γQ | xN（φ（ξ））是EP[φ（ξ）]的一致估计量。证据我们知道两个极端情况γ=1和γ=∞ 两者都是一致的，就像MLE E^QN[φ（ξ）]（例如，根据事实E^QN[ξ]∈ IN，其中INis如定理3所示。此外，对于任何γ，as | x |γ≥ 最小{| x |，| x|∞}, 很容易从e^QN[ξ]的定义中进行检查≤ EkN，γQ | xN（ξ）≤ maxnEkN，1Q | xN（ξ），EkN，∞Q | xN（ξ）o。结果如下。备注13。可以看出，Ek，γQ | x（ξ）也有一种解释，即通过EPh |ξ的顺序r对EP[ξ]进行扰动-E[ξ]|/√Ni2γ/（2γ）-1）。在其他环境中很少考虑这些类型的扰动，因此此类结果似乎纯粹是技术上的兴趣。3.2参数结果我们现在认为Q是一类来自“好”参数族的度量。在这种情况下，通过将散度视为参数的函数，而不是概率测度的抽象空间的函数，我们可以获得更精确的渐近性。为了简单起见，我们将考虑指数度量族，它对于许多应用来说足够普遍，但提供了足够的结构来获得紧密的结果。我们也将在整个过程中假设，对于每个Q∈ Q、 X，{Xn}n∈Nare iid，密度为f（·；Q）。定义6。

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2022-5-25 16:44:56

如果密度可以写f（x；Q）=h（x）expnhθ，T（x）i，则称分布来自指数族（自然参数）- A（θ）o。这里θ是Q的参数，并且是rdd的开放子集Θ。对于某些d，T是有效统计量的向量，h是归一化函数，是对数配分函数。我们假设Q对应于所有参数为Θ的测量值，并为Q的参数写θqf，为与θ相关的测量值写Qθ，为EQθ写Eθ，等等。。。我们将使用的关键结果是A是凸的和光滑的（尤其是连续的三阶导数）。事实上，我们将使用以下稍微强一点的条件。假设1。（i）黑森iθ=A（θ）（通常称为信息矩阵）在Θ的每个点（严格地）都是正定义的。（ii）Q-MLE存在且一致，概率趋向于1作为N→∞ （即，对于每个Q∈ Q、最大化子^QNexists的Q-概率接近1且^θN=θQN→QθQ）。这些假设可以通过对所考虑的家庭的弱假设来证明，例如，参见Berk【5，定理3.1】、Silvey【20】或Lehmann【15】的更一般的讨论（同样参见【16】）。有关指数族中可能性理论的更深入讨论，请参见Barndorff-Nielsen[2]。观察到，每当Q-MLE^θ存在时，散度由αQ | xN（θ）=-NXn=1hθ-θN，T（Xi）i+NA（θ）- A（^θN）,使用自然滥用的符号αQ | xN（θ）：=αQ | xN（Qθ）。如果一个最阶条件在MLE中保持不变，我们可以简化以消除对观测值的依赖（通过MLE除外）αQ | xN（θ）=NA（θ）- A（^θN）- hθ-^θN，A（^θN）i.下面的结果将允许我们得到罚分的严格渐近近似值，因为它将允许我们将注意力集中在MLE周围的一个小球上。引理3。设ρ>0为常数，设^θNdenoteθ的极大似然估计。

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2022-5-25 16:44:59

然后，foreach P∈ Q，存在常数c，c依赖于N，写r=cρN∨rcρN=O（N-1/2）我们有αQ | x（θ）>ρ，对于所有θ：kθ-^θk>R→ 换言之，当kθ时，我们很有可能知道αQ | x>ρ-^θk>R=O（N-1/2）。证据见附录。备注14。前面的结果主要用来说明，当我们考虑有界随机变量时，对于任何P∈ 我们可以用αQ | xN（θ）=N（θ）来近似离散度-^θN）hI^θN+OP（N-1/2）i（θ-^θN）。这本身就是一个有趣而有用的结果，尤其是当我们将预测方法作为更大问题的第一步时。例如，当我们使用DR期望来捕获模型校准中的不确定性时，我们希望在各种设置中使用该模型。该结果表明，使用观察到的信息矩阵来惩罚是不够的（首先或其次），而不是重复计算似然函数。这是我们在（1）中得出的近似值。由于近似值是二次函数，因此计算Ek，γQ | x所需的优化非常简单（尤其是对于参数的线性或二次函数），这可能具有显著的数值优势（参见Ben-Tal和Nemirovski[3]）。现在，我们使用这个近似来给出对期望的辛估计。这可以看作是对中心极限定理的模拟（参见示例2）。请注意，与非参数c情况不同，我们不需要将风险厌恶参数k缩放为N→ ∞. 可以方便地进行以下定义。定义7。设φ为有界函数，使得映射|φ：θ7→ Eθ[φ（X）]是可区分的。We writeV（φ，^θ）：=(φ|θ）（一）-1^θ）(φ|^θ）。备注15。

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2022-5-25 16:45:02

注意，通过经典参数，如果φ可以写成有效统计的线性函数，那么v（φ，θ）=Var（φ（X））。如果^θNhas是中心极限定理中出现的方差，即Var（^θN）≈N-1I-1θP，然后（给定适当的可积性和连续性假设数组），我们得到了MLE期望nv（φ，^θ）的近似方差≈ VarP（E^θN[φ（X）]）。定理4。设φ为有界函数，使得映射|φ：θ7→ 等式θ[φ（X）]是二次微分。那么对于所有P∈ Q、 Ek，1Q | xN（φ（X））=E^θN[φ（X）]+k2NV（φ，^θN）+OP（N-3/2）。证据修复P∈ Q、为简单起见，我们将^θ写为^θN。首先，观察thatEk，1Q | xN（φ（X））=supθ∈ΘnEQθ[φ（X）]-kαQ | xN（θ）o当φ有界时，我们只需要考虑这些测度ΘN=Nθ∈ Θ：αQ | xN（θ）≤ 从引理3，我们知道psupθ∈ΘNkθ-^θk>O（N-1/2）→ 0、我们知道^θ→PθPandφ在θP处是二次可微的，因此对于θ∈ ΘN，EQθ[φ（X）]=°φ（^θ）+Dθ-^θ，φ|^θ+OP（kθ-^θk）E=°φ（^θ）+Dθ-^θ，φ|θ+OP（N-1/2）我们也知道αQ | xN（θ）是光滑的、凸的，并且在θ处最小化，θ也是如此∈ ΘN，αQ | xN（θ）=N（θ-^θ）hI^θ+OP（kθ-^θk）i（θ-^θ）=N（θ-^θ）hI^θ+OP（N-1/2）i（θ-^θ）。代入这些，我们得到近似的DR expectationEk，1Q | xN（φ（X））=(R)φ（φθ）+supθ∈ΘNnDθ-^θ，φ|θ+OP（N-1/2）E-N2k（θ-^θ）hI^θ+OP（N-1/2）i（θ-^θ）o.参见Lehmann【15，第7.7节】f，了解其适用的一组有效条件。大括号中的术语具有优化器θ*=^θ+kNI^θ+OP（N-1/2）-1.θ|θ+OP（N-1/2）,我们知道的是，作为θ→ θPand IθP为正定义，P-概率接近1矩阵I^θ+OP（N-1/2）是非奇异的。代入，我们得到了所需的近似值k，1Q | xN（φ（X））=°φ（^θ）+k2N(φ|θ）（一）-1^θ）(φ|θ）+OP（N-3/2）。我们现在考虑γ=∞.定理5。设φ为有界函数，使得映射|φ：θ7→ 等式θ[φ（X）]是二次微分。

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