模型不确定性下的自适应鲁棒控制

2022-5-31 22:10:15

模型不确定性下的自适应鲁棒控制托马斯·比莱克基亚（Tomasz R.Bieleckia），陶陈（Tao Chen），艾戈尔·夏兰科（aIgor Cilenco），aAreski Cousinb（aAreski Cousinb），莫尼克·让布兰奇（Monique JeanBlancfirst）于2017年6月6日发布摘要：本文提出了一种新的方法来解决离散时间内的不确定随机马尔可夫控制问题。我们将所提出的方法称为自适应鲁棒控制。我们证明了所考虑的不确定控制问题可以用相关的自适应鲁棒Bellman方程来解决。我们方法的成功在很大程度上归功于构建相关信任区域的递归方法。我们通过考虑最优投资组合分配问题来说明我们的方法，并将使用adaptiverobust控制方法获得的结果与其他一些现有方法进行比较。关键词：自适应鲁棒控制、模型不确定性、随机控制、动态规划、递归置信域、马尔可夫控制问题、投资组合分配。MSC2010:93E20、93E35、49L20、60J051简介本文提出了一种在离散时间内求解不确定随机马尔可夫控制问题的新方法，并将其应用于最优投资组合选择问题。因此，我们只考虑终端优化准则。问题中的不确定性来自于以下事实：底层随机过程的（真实）规律未知。我们假设，已知的是真正定律所属的潜在概率定律家族。因此，我们在这里处理一个受奈特不确定性影响的随机控制问题。文献中已使用不同的方法对这些问题进行了广泛研究，其中一些问题在第2节中进行了简要描述。解决这个问题的经典方法可以追溯到几位作者。

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2022-5-31 22:10:18

[GS89]的多重先验或maxmin方法可能是最早的先验方法之一，也是经济学文献中最著名的方法之一。在我们的终端标准的背景下，它本质上相当于formsupД的一个鲁棒控制问题（事实上是一个博弈问题）∈AinfQ∈MEQL（X，Д，T），其中Д是控制过程，A是容许控制的族，M是可能的潜在概率模型（或先验）的族，EQdenotes在先验Q下的期望，X是基础过程，T是有限的优化范围，其中L是优化标准。家族M代表骑士式的不确定性。伊利诺伊理工学院应用数学系邮件：tbielecki@iit.edu（T.R.Bielecki），tchen29@iit.edu（T.Chen）和cialenco@iit.edu（I.Cialenco）URL：http://math.iit.edu/~bielecki和http://math.iit.edu/~IGorbinstitute de Sciences Financial\'ere et d\'Assurance，Universit\'e Lyon 1，Lyon，Francee邮箱：areski。cousin@univ-lyon1.fr，URL：http://www.acousin.net/cUniv埃弗里，LaMME UMR CNRS 807，巴黎萨克莱大学，91025，埃弗里，法国邮箱：monique。jeanblanc@univ-埃弗里。fr，URL：http://www.maths.univ-evry.fr/pages_perso/jeanblanc2Bielecki、Cialenco、Chen、Cousin、JeanBlanch上述maxmin配方已进一步修改，以达到UPД的效果∈AinfQ公司∈MEQ（L（X，Д，T）- c（Q）），其中c是惩罚函数。我们参考[HSTW06]、[Ski03]、[MMR06]和[BMS07]以及其中的参考文献，以讨论和研究该问题。在我们的方法中，我们不使用惩罚条款。相反，我们应用了一种学习算法，旨在减少过程X演化背后真实概率结构的不确定性。这导致我们考虑我们所称的自适应鲁棒控制问题。

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2022-5-31 22:10:21

我们强调，我们的问题和方法不应与[IS12]和[BWH12]中提出的问题和方法混淆。[KOZ14]中对一个涉及学习的连续时间不确定控制问题进行了一项非常有趣的研究。本文的组织结构如下。在第2节中，我们简要回顾了解决模型不确定性随机控制问题的一些现有方法，从鲁棒控制方法开始，然后是强鲁棒方法、无模型鲁棒方法、贝叶斯自适应控制方法和自适应控制方法。此外，我们还介绍了该方法的基本思想，即自适应鲁棒控制，以及它与现有方法的关系。第3节专门介绍自适应鲁棒控制方法。我们从建立模型开始，在第3.1节中，我们严格描述了随机控制问题。第3.2节讨论了自适应鲁棒问题的解决方法。在本节中，我们还推导了相关的Bellman方程，并证明了考虑自适应鲁棒问题的Bellman最优性原则。最后，在第4节中，我们考虑一个示例，即经典的动态最优配置问题，当投资者每次决定通过最大化终端财富的预期效用投资风险资产和无风险银行账户时。在此，我们还将所提出的方法与现有的一些经典方法进行了比较分析。2模型不确定性下的随机控制(Ohm, F）是可测量的空间，且T∈ N是固定的时间范围。设T={0，1，2，…，T}，T={0，1，2。

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2022-5-31 22:10:24

T- 1} ，和Θ Rdbe是一个非空集，它将始终扮演KnownPareter空间的角色。在空间上(Ohm, F）我们考虑一个随机过程X={Xt，t∈ T}在某个可测空间中取值。我们假设观察到这一过程，并用F=（Ft，t）表示∈ T）其自然过滤。X的真定律未知，并假设由属于上的概率分布参数族的概率度量生成(Ohm, F），表示P（Θ）={Pθ，θ∈ Θ}. 我们将写EPto表示对应于概率度量的期望(Ohm, F），为了简单起见，我们用Eθ表示与概率Pθ相对应的期望算子。按Pθ*我们表示生成X真定律的度量，因此θ*∈ Θ是（未知）真参数。由于假设Θ是已知的，因此本文中讨论的模型不确定性仅在Θ6={θ时发生*}, 我们假设是这样的。通常，参数空间可能是有限维的，例如由动态因素组成，如时间的确定函数或隐马尔可夫链。在本研究中，为了简单起见，我们选择参数空间作为Rd的子集。在大多数应用中，为了避免约束估计问题，参数空间被视为等于Rd的最大相关子集。自适应鲁棒控制3本文提出的方法是由以下一般优化问题驱动的：我们考虑一个族，例如，F–适配过程的φ={φt，t∈ 定义日期(Ohm, F），在可测量空间中取值。我们把A的元素称为容许控制过程。此外，我们考虑了X和ν的一个泛函，我们用L表示。目前的随机控制问题是infД∈AEθ*（L（X，Д））。（2.1）然而，如上所述，由于θ的值*未知。

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2022-5-31 22:10:27

因此，我们将此类问题称为不确定随机控制问题。接下来的问题是如何处理受这种模型不确定性影响的随机控制问题（2.1）。解决这种不确定随机控制问题的经典方法是：o解决鲁棒控制问题∈Asupθ∈ΘEθ（L（X，Д））。（2.2）关于鲁棒控制问题的更多信息，我们参考，例如，【HSTW06】、【HS08】、【BB95】解决强鲁棒控制问题∈AsupQ公司∈Qν，ΘKνEQ（L（X，ν）），（2.3）其中，ΘKis是骑士对手选择的一组策略（自然）和Qν，ΘKνa概率集，取决于策略ν和给定的定律νonΘ。有关此问题的正式描述，请参见第3节，有关相关工作，请参见[Sir14]和[BCP16]解决无模型鲁棒控制问题∈AsupP公司∈PEP（L（X，ν）），（2.4），其中P为(Ohm, F）。o为了解决贝叶斯自适应控制问题，假设（未知）参数θ是随机的，建模为随机变量Θ，取Θ中的值，并具有由ν表示的先验分布。在此框架中，通过以下优化问题来解决不确定控制问题∈AZΘEθ（L（X，ν））ν（dθ）。我们参考，例如，【KV15】。o解决自适应控制问题，即首先针对每个θ∈ ΘsolveinfΘ∈AEθ（L（X，Д）），（2.5），并用Дθ表示相应的最优控制（假设存在）。然后，每次∈ T、计算点估计值bθtofθ*, 使用所选的可测量估值器bΘt。最后，在时间t应用控制值Дbθtt。我们参考，例如，【KV15】、【CG91】。4比莱基、夏兰科、陈、堂兄、让·布兰奇现在的评论顺序如下：1。关于鲁棒控制问题的解决方案，[LSS06]观察到，如果真实模型是最差的，那么这个解决方案将是很好的。

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2022-5-31 22:10:30

然而，如果真正的模型是最好的或与之相近的，那么这个解决方案可能非常糟糕（也就是说，该解决方案根本不需要对模型错误具有鲁棒性！）。[LSS06]中的一个UE模型对应于θ*在我们的符号中。信息是，使用鲁棒控制框架可能会产生不理想的结果。2、可以显示INF^1∈Asupθ∈ΘEθ（L（S，Д））=infД∈Asupν∈P（Θ）ZΘEθ（L（S，ν））ν（dθ）。（2.6）因此，对于任何给定的先验分布νinfД∈Asupθ∈ΘEθ（L（S，ν））≥ inf^1∈AZΘEθ（L（S，ν））ν（dθ）。自适应贝叶斯问题似乎不那么保守。因此，在原则上，解决给定先验分布的自适应贝叶斯控制问题可能比解决鲁棒控制问题更好地解决不确定随机控制问题。3、有时有人建议鲁棒控制问题不涉及未知参数θ的学习*, 事实上是这样的，但自适应贝叶斯控制问题涉及到θ的“学习”*. 后一种说法的原因是，在自适应贝叶斯控制方法中，根据贝叶斯统计，未知参数被视为一个随机变量，例如具有先验分布ν的Θ。然后将该随机变量视为未观测状态变量，从而将自适应贝叶斯控制问题视为对整个状态向量进行部分（不完全）观测的控制问题。解决部分观测控制问题的典型方法是将其转化为相应的分离控制问题。分离问题（separatedproblem）是一个完全观测的问题，它是通过引入额外的状态变量来实现的，在贝叶斯统计中被称为Θ的后验分布。

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2022-5-31 22:10:33

“学习”归因于在分离问题中使用Θ的后验分布。然而，在分离问题中使用的信息与在原始问题中使用的信息完全相同，没有真正涉及到学习。等式（2.6）进一步证明了这一点。关于强鲁棒控制问题2.3和自适应鲁棒控制问题2.7之间的区别，我们参考备注3.2，如下所述。如前所述，如果Θ6={θ，则会出现本文中讨论的模型不确定性*}. 经典鲁棒控制问题（2.2）不涉及θ不确定性的任何减少*, 由于参数空间没有用有关信号过程X的传入信息“更新”。类似的备注适用于问题（2.3）和（2.4）：其中涉及的基本随机动力学的不确定性没有减少。显然，将“学习”纳入鲁棒控制范式似乎是个好主意。事实上，在【AHS03】中，作者陈述了自适应鲁棒控制，我们看到了我们当前研究的三个重要扩展。与理性预期模型的构建者一样，我们回避了决策者如何选择近似模型的问题。根据有关鲁棒控制的文献，我们设想这种近似模型在分析上是可处理的，但决策者认为它不能提供状态向量演化的正确模型。我们心目中的误判在统计意义上是很小的，但在其他方面可能是相当多样的。正如我们没有正式建模代理如何学习近似模型一样，我们也没有正式解释为什么他们不费心去学习该模型潜在的复杂错误。

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2022-5-31 22:10:37

合并学习形式将是我们工作的重要延伸。aa黑体强调是我们的。在目前的工作中，我们遵循Anderson、Hansen和Sargent statedabove的建议，提出了一种新的方法，我们称之为自适应鲁棒控制方法，该方法旨在结合θ的学习*进入鲁棒控制范式。该方法相当于解决以下问题∈AsupQ公司∈Qν，ψνEQ（L（S，ν）），（2.7），其中Qν，ψν是与过程X相关的一些正则空间上的一系列概率测度，选择的方式允许适当动态减少θ的不确定性*. 具体而言，我们根据参数θ的置信域选择了族Qν、ψν*（详见第3节）。因此，自适应鲁棒控制方法结合了更新控制器对参数空间的知识，这是一种学习形式，旨在减少θ的不确定性*使用有关信号处理的传入信息。问题（2.7）源自问题（2.3）；关于这两个问题的推导，我们参考第3节。在本文中，我们将在金融领域考虑的特定最优投资组合选择问题的背景下，比较鲁棒控制方法、自适应控制方法和自适应鲁棒控制方法。这将在第4.3节自适应鲁棒控制方法中完成。这一节是本文的关键部分。我们将首先对我们正在研究的控制问题进行精确描述，然后继续介绍我们的自适应鲁棒控制方法。让{(Ohm, F，Pθ），θ∈ Θ Rd}是概率空间族，设T∈ N为执行自然时间。此外，我们让 Rkbe a单位和：Rn×a×Rm→ Rnbe是一个可测量的映射。

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mingdashike22

2022-5-31 22:10:41

最后，让`:Rn→ Rbe是一种可测量的功能。A将代表一组控制值，我们假设为简单起见，它是有限的，以避免关于可测量选择器存在的技术问题。6 Bielecki，Cialenco，Chen，Cousin，JeanBlanche我们考虑了一个基本的离散时间控制动态系统，其状态过程取Rn中的值，控制过程取A中的值。具体地说，我们将Xt+1=S（Xt，νt，Zt+1），t∈ T、 X=X∈ Rn，（3.1），其中Z={Zt，t∈ T} 是一个Rm值随机序列，在每个测度Pθ下都是F自适应的i.i.d。真实但未知的Z定律对应于测度Pθ*. 如果控制过程是F适应的，则允许使用控制过程。我们用所有容许控制的集合表示。使用第2节的符号，我们设置L（X，ν）=`（XT），这样问题（2.1）就变成了infД∈AEθ*`（XT）。（3.2）3.1自适应鲁棒控制问题的公式在下文中，我们将利用未知参数θ置信域的递归构造*在我们的模型中。我们参考[BCC16]了解时间齐次马尔可夫链置信域递归构造的一般研究，并参考第4节了解与最优投资组合选择问题对应的特定递归构造的详细信息。在这里，我们假设构建信任区域的递归算法使用Rd值和观察过程，例如（Ct，t∈ T），满足以下抽象动力学Cst+1=R（T，Ct，Zt+1），T∈ T、 C=C，（3.3），其中R（T，C，z）是确定性可测函数。注意，根据我们对过程Z的假设，过程C是F适应的。这是我们模型的关键特性之一。

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2022-5-31 22:10:44

通常Ctistaken是θ的一致估计量*.现在，我们确定一个置信水平α∈ （0，1），每次t∈ T、我们假设θ有一个（1-α）置信域，比如ΘT*, 可表示为Θt=τ（t，Ct），（3.4），其中，对于每个t∈ T、 τ（T，·）：Rd→ 2Θ是确定性集值函数。请注意，鉴于（3.3），（3.4）中给出的密集区域的构造确实是递归的。在构造置信域时，映射τ（t，·）将是一个可测的集值函数，具有紧凑的值。第4节构造的递归置信域的重要性质是→∞Θt={θ*}, 其中会聚被理解为Pθ*几乎可以肯定，限制在豪斯多夫度量中。但总的来说，情况并非总是如此。在[BCC16]中显示，对于此处研究的模型设置，收敛在概率上是成立的。序列Θt，t∈ t表示学习θ*根据历史观察Ht，t∈ T（参见下面的（3.6））。我们引入了增广状态过程Yt=（Xt，Ct），t∈ 我们用EY表示EY中Borel可测集的集合。过程Y具有以下动力学，Yt+1=T（T，Yt，ДT，Zt+1），T∈ T、为了简化我们的研究，假设在每个测度Pθ下，序列Z是i.i.d。通常，2Θ表示Θ的所有子集的集合。自适应鲁棒控制7，其中T是映射T:T×EY×A×Rm→ 定义的asT（t、y、a、z）=S（x，a，z），R（t，c，z）, （3.5）式中，y=（x，c）∈ EY。为便于将来参考，我们定义了相应的历史记录ST=（（X，C），（X，C），（Xt，Ct）），t∈ T，（3.6）因此∈ Ht=EY×EY×。×EY |{z}t+1次。（3.7）显然，对于任何容许的控制过程，随机变量HTFT是可测量的。我们表示Ht=（y，y，…，yt）=（x，c，x，c，…，xt，ct）（3.8）Ht的实现。注意h=y。备注3.1。

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2022-5-31 22:10:46

A控制过程Д=（Дt，t∈ T）称为历史相关控制过程，如果（稍微滥用符号）ДT=ДT（Ht），其中（右侧）ДT:Ht→ A、是一个可测量的映射。请注意，任何可容许控制过程Д都是X的函数，Xt。因此，任何容许的控制过程都是历史相关的。另一方面，鉴于我们的上述设置，任何历史相关的控制过程都是F适应的，因此，它是允许的。从现在起，我们确定了一组可接受策略和一组历史相关策略。供将来参考，用于任何容许的控制过程和任何∈ T、我们用φT=（φk，k=T，…，T）表示- 1） ^1的“t型尾”；尤其是，Д=Д。相应地，我们表示为t-尾的集合；特别是，A=A。Letψt:Ht→ Θ是Borel可测映射（奈特选择器），让我们用ψ=（ψt，t）表示∈ T）这类映射的序列，由ψT=（ψs，s=T，…，T- 1）序列ψ的t-尾。所有序列ψ和ψt的集合将分别用ψKandψtK表示。同样，我们考虑可测选择器ψt（·）：Ht→ Θt，并相应地用ψ定义此类选择器的所有序列集，用ψt定义t-尾集。显然，ψt∈ ψtif且仅当ψt∈ ψtKandψs（hs）∈ τ（s，cs），s=t，T- 1、下一步，对于每个（t，y，a，θ）∈ T×EY×A×Θ，我们在EY上定义了一个概率测度：Q（B | T，y，A，θ）=Pθ（Zt+1∈ {z:T（T，y，a，z）∈ B} ）=Pθ（T（T，y，a，Zt+1）∈ B），B∈ EY。（3.9）我们假设对于每个B，t，y，a，θ的函数Q（B | t，y，a，θ）是可测量的。

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2022-5-31 22:10:50

这一假设将在第4节讨论的最优投资组合问题的背景下得到满足。最后，使用Ionescu-Tulcea定理，对于每个控制过程∈ A对于EY上的每个初始概率分布ν，我们定义了族Qν，ψν={Qν，ψν，ψ∈ 正则空间ET+1Y上概率测度的ψ}，其中Qν，ψν如下所示：Qν，ψν（B，B，…，BT）=ZBZB··ZBTTYt=1Q（dyt | t- 1，yt-1，^1t-1（ht-1），ψt-1（ht-1））ν（dy）（3.10）8 Bielecki，Cialenco，Chen，Cousin，JeanBlanch类似地，我们定义了集合Qν，ψKν={Qν，ψKν，ψK∈ ψK}。然后，强鲁棒套期保值问题被表示为：inf^1∈AsupQ公司∈Qν，ψKνEQ`（XT）。（3.11）相应的自适应鲁棒套期保值问题为：infД∈AsupQ公司∈Qν，ψνEQ`（XT）。（3.12）备注3.2。强鲁棒套期保值问题本质上是套期保值者和他/她的骑士对手之间的博弈问题，后者可能会随着时间的推移不断改变潜在随机系统的动态。在这个博弈中，除了ψKt（Ht）的要求外，自然界在模型动力学的选择上不受限制∈ Θ，并且每个选择都可能基于截至时间t的整个历史。另一方面，自适应鲁棒对冲问题是对冲者和他/她的骑士对手之间的博弈问题，就像在强鲁棒对冲问题中一样，后者可能会随着时间的推移不断改变基础随机系统的动态。然而，在这个博弈中，自然在选择模型动力学时受到限制，从而影响ψt（Ht）∈ τ（t，Ct）。注意，如果参数θ*如果已知，那么，使用上述符号和规范构造，套期保值问题将减少到∈AEQ公司*`（XT），（3.13）其中，形式上，概率Q*如（3.10）所示，τ（t，c）={θ*} 对于所有的t和c，它肯定会保持∈AEQ公司*`（XT）≤ inf^1∈AsupQ公司∈Qν，ψνEQ`（XT）≤ inf^1∈AsupQ公司∈Qν，ψKνEQ`（XT）。

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2022-5-31 22:10:54

（3.14）它还认为∈Asupθ∈ΘEθ`（XT）≤ inf^1∈AsupQ公司∈Qν，ψKνEQ`（XT）。（3.15）备注3.3。我们推测INFД∈AsupQ公司∈Qν，ψνEQ`（XT）≤ inf^1∈Asupθ∈ΘEθ`（XT）。然而，在这个时候，我们不知道如何证明这个猜想，也不知道它是否是真的。3.2自适应鲁棒控制问题的解决根据我们最初的设置，在接下来的过程中，我们假设ν（dx）=δh（dx）（Diracmeasure），并使用符号Qν、ψhand Qν、ψhin代替QД、ψ和QД、ψν，从而使问题（3.12）变成fД∈AsupQ公司∈QД，ψhEQ`（XT）。（3.16）在这种情况下显然不需要。每个t的自适应鲁棒控制9∈ T、然后，我们在串联正则空间上定义了一个概率测度，即followsqДT，ψtht（Bt+1，…，Bt）=ZBt+1···zbtyu=T+1Q（dyu | u- 1，余-1，^1u-1（hu-1），ψu-1（hu-1)).相应地，我们把QДt，ψtht={QДt，ψtht，ψt∈ ψt}。最后，我们定义了Utan和U的函数*Tas如下所示：对于Дt∈ A和ht∈ HtUt（Дt，ht）=supQ∈QДt，ψthtEQ`（XT），t∈ T、（3.17）U*t（ht）=infДt∈AtUt（Иt，ht），t∈ T、（3.18）U*T（hT）=`（xT）。（3.19）特别注意*（y） =U*（h） =inf^1∈AsupQ公司∈QД，ψhEQ`（XT）。我们叫你*t自适应鲁棒Bellman函数。3.2.1自适应鲁棒Bellman方程在这里，我们将证明可以根据与其相关的自适应鲁棒Bellman方程给出最优问题（3.16）的解决方案。为此，我们需要求解函数Wt，t∈ T，以下自适应robustBellman方程（回忆一下y=（x，c））WT（y）=`（x，y∈ EY，Wt（y）=infa∈Asupθ∈τ（t，c）ZEYWt+1（y）Q（dy | t，y，a，θ），y∈ EY，t=t- 1.

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2022-5-31 22:10:57

，0，（3.20），并计算相关的最佳选择器*t、 t型∈ T、在下面的引理3.4中，在一些附加的技术假设下，我们将证明（3.20）中的最优选择器存在；即，对于任何t∈ T、任意y=（x，c）∈ EY，存在可测量映射*t： EY公司→ A、使wt（y）=supθ∈τ（t，c）ZEYWt+1（y）Q（dy | t，y，ν*t（y），θ）。为了继续，为了简化论证，我们假设在测度Pθ下，对于每个t∈ T，随机变量zt有一个关于勒贝格测度的密度，比如fZ（z；θ），z∈ Rm。我们还将假设可用操作集是有限的。在这种情况下，问题（3.20）变为t（y）=`（x），y∈ EY，Wt（y）=mina∈Asupθ∈τ（t，c）ZRmWt+1（t（t，y，a，z））fZ（z；θ）dz，y∈ EY，t=t- 1.0.（3.21），其中T（T，y，a，z）在（3.5）中给出。此外，我们假设10 Bielecki，Cialenco，Chen，Cousin，Jeanblanc（i）对于任何a和z，函数S（·，a，z）是连续的。（ii）对于每个z，函数fZ（z；·）在θ中是连续的。（三）`是连续的和有界的。（iv）对于每个t∈ T、函数R（T，·，·）是连续的。然后，我们得到以下结果。引理3.4。函数Wt，t=t，t- 1.0表示上半连续（u.s.c.）和最佳选择器*t、 t=t，t- 1.0，在（3.20）中存在。证据功能WT是连续的。自T（T-1、·、·、z）是连续的，那么，WT（T（T-1，·，·，z））是连续的。因此，函数WT-1（y，a，θ）=ZRWT（T（T- 1，y，a，z）fZ（z；θ）dz是连续的，因此u.s.c.接下来，我们将通过取（在[BS78]的符号中）X=EY×a=Rn×Rd×a，X=（y，a），y=Θ，y=θ，D=[（y，a）来应用[BS78，命题7.33]∈EY×A{（y，A）}×τ（T- 1，c），f（x，y）=-wT公司-1（y，a，θ）。回想一下，鉴于之前的假设，Y是紧凑的。很明显，X是可度量的。如上所述，f是下半连续的（l.s.c）。

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2022-5-31 22:11:01

还要注意横截面Dx=D（y，a）={θ∈ Θ：（y，a，θ）∈ D} 由D（y，a）（t）=τ（t，c）给出。因此，根据【BS78，命题7.33】，函数EWT-1（y，a）=infθ∈τ（T-1，c）(-wT公司-1（y，a，θ）），（y，a）∈ EY×Ais l.s.c。。因此，函数WT-1=infa∈A(-ewT公司-1（y，a））是u.s.c.，并且存在一个非最佳选择器Д*T-其余的证明以类似的方式进行。以下命题是本节的主要结果。提案3.5。对于任何ht∈ Ht和t∈ T，我们有*t（ht）=重量（yt）。（3.22）此外，政策*由（3.20）中的选择器构造而成，是稳健的最佳选择，即智能开关单元*t（ht）=Ut（Д）*t、 ht），t∈ T、（3.23）证明。我们的过程与[Iye05，定理2.1]的证明类似，通过t=t，t的反向归纳- 1.1, 0.自适应鲁棒控制11取t=t。很明显，U*T（hT）=重量（yT）。对于t=t- 1我们有*T-1（hT-1） =inf^1T-1=ДT-1.∈在-1supQ∈QхT-1，ψT-1hT-1EQ`（XT）=infИT-1=ДT-1.∈在-1上θ∈τ（T-1，cT-1）泽宇*T（hT-1，y）Q（dy | T- 1，yT-1，^1T-1（hT-1），θ）=infДT-1=ДT-1.∈在-1上θ∈τ（T-1，cT-1） ZEYWT（y）Q（dy | T- 1，yT-1，^1T-1（hT-1），θ）=infa∈Asupθ∈τ（T-1，cT-1） ZEYWT（y）Q（dy | T- 1，yT-1，a，θ）=WT-1（年初至今-1）。对于t=t- 1.

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2022-5-31 22:11:04

，1，0我们通过归纳得出*t（ht）=infДt∈AtsupQ∈Qхt，ψthtEQ`（XT）=infхt=（хt，хt+1）∈Atsupθ∈τ（t，ct）ZEYsupbQ∈QДt+1，ψt+1ht，yEbQ`（XT）Q（dy | t，yt，Дt（ht），θ）≥ infДt=（Дt，Дt+1）∈Atsupθ∈τ（ct，t）泽宇*t+1（ht，y）Q（dy | t，yt，Дt（ht），θ）=infa∈Asupθ∈τ（t，ct）泽宇*t+1（ht，y）Q（dy | t，yt，a，θ）=infa∈Asupθ∈τ（t，ct）ZEYWt+1（y）Q（dy | t，yt，a，θ）=Wt（yt）。现在，Fix > 0，并设Дt+1，表示一个-从时间t+1开始的最佳控制过程，以便UT+1（Дt+1，, ht+1）≤ U*t+1（ht+1）+.那么我们有了*t（ht）=infДt∈AtsupQ∈Qхt，ψthtEQ`（XT）=infхt=（хt，хt+1）∈Atsupθ∈τ（t，ct）ZEYsupbQ∈QДt+1，ψt+1ht，yEbQ`（XT）Q（dy | t，yt，Дt（ht），θ）≤ infДt=（Дt，Дt+1）∈Atsupθ∈τ（t，ct）ZEYsupbQ∈Qхt+1，,ψt+1ht，yEbQ`（XT）Q（dy | t，yt，Дt（ht），θ）≤ infa公司∈Asupθ∈τ（t，ct）泽宇*t+1（ht，y）Q（dy | t，yt，a；θ）+= infa公司∈Asupθ∈τ（t，ct）ZEYWt+1（y）Q（dy | t，yt，a；θ）+ = 重量（yt）+.自从是任意的，证明（3.22）是做的。平等（3.23）现在很容易实现。12 Bielecki，Cialenco，Chen，Cousin，Jeanblanc4示例：动态最优投资组合选择在本节中，我们将给出一个示例，说明自适应鲁棒控制方法。我们在这里遵循[BGSCS05]的设置来制定我们的动态最优投资组合选择。因此，我们考虑经典的动态最优资产配置问题，或动态最优投资组合选择，当投资者在时间t决定投资风险资产和无风险银行账户时，通过最大化终端财富的预期效用u（VT），u是给定的效用函数。基础市场模型受制于第2节中介绍的不确定性类型。用r表示恒定无风险利率，用Zt+1表示从时间t到时间t+1的风险资产超额收益。我们假设观察到过程Z。

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2022-5-31 22:11:07

自筹交易策略产生的财富过程的动态由Vt+1=Vt（1+r+ДtZt+1），t∈ T、（4.1）初始财富V=V，式中ДT表示从时间T到时间T+1，投资组合财富在风险资产中的比例。我们假设该过程取很多值，sayai，i=1，N其中ai∈ [0, 1]. 使用第3节中的符号，我们得到Xt=Vt，设置x=v，我们得到（v，a，z）=v（1+r+az），`（v）=-u（v），A={ai，i=1，…，N}。我们进一步假设超额收益过程Zt是一个具有均值u和方差σ的高斯随机变量的i.i.d.序列。也就是说，我们计算zt=u+σεt，其中εt，t∈ 皮重i.i.d.标准高斯随机变量。模型不确定性来自未知参数u和/或σ。我们将讨论两种情况：情况1-未知的平均值u和已知的标准偏差σ，以及情况II-u和σ都未知。案例一：假设σ已知，模型不确定性仅来自未知参数u*. 因此，使用第3节中的符号，我们得到θ*= u*, θ=u，我们取ct=but，Θ=[u，u] R、其中，bu是u的估计量，给定观测值Z，它取值inΘ。有关此类估值器构造的详细讨论，请参考【BCC16】。对于这个例子，取bu最大似然估计量（MLE）就足够了，这是本例中的样本平均值，适当地投影在Θ上。形式上，bu的递归构造定义如下：eut+1=tt+1but+t+1Zt+1，but+1=P（eut+1），t∈ T、（4.2）bu=c，其中P是到Θ中最近点的投影，即P（u）=uifu∈ [u，u]，如果u<u，P（u）=u，如果u>u，P（u）=u。我们以Θ为初始猜测点。立即验证r（t，c，z）=Ptt+1c+t+1z在c和z中是连续的。

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2022-5-31 22:11:11

综上所述，我们得到对应于（3.5）的函数T由T（T，v，c，a，z）给出=v（1+r+az），tt+1c+t+1z.自适应鲁棒控制13现在，我们注意到（1- α） -u的置信区间*时间t表示为Θt=τ（t，but），其中τ（t，c）=c-σ√tqα/2，c+σ√tqα/2,其中qα表示标准正态分布的α-分位数。有了这些，我们根据（3.9）定义了核Q，并根据（3.10）定义了一组概率度量QД，ψhon正则spaceby。在我们的符号和设置中，投资者的问题正式表述如下∈AsupQ公司∈QД，ψhEQ[-u（VT）]（4.3），其中A是一组自我融资交易策略。相应的自适应鲁棒Bellman方程变为（WT（v，c）=-u（v），Wt（v，c）=infa∈Asupu∈τα（t，c）E[Wt+1（t（t，v，c，a，u+σεt+1）），（4.4），其中期望E是关于标准一维高斯分布的。鉴于命题3.5，函数Wt（v，c）满足Wt（v，c）=infνt∈AtsupQ∈QДt，ψthtEQ[-u（VT）]，其中ht=（ht-1，v，c）适用于任何ht-1=（v，c，…，vt-1，ct-（1）∈ Ht公司-1、因此，特别是W（v，c）=infД∈AsupQ公司∈QД，ψhEQ[-u（VT）]，以及最佳选择器*t、 t型∈ T，from（4.4）解决了原始投资者的分配问题。为了进一步降低计算复杂性，我们考虑形式为u（x）=x1的CRRA实用程序-γ1-γ、对于x∈ R、一些γ6=1。

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2022-5-31 22:11:14

在这种情况下，我们有u（VT）=u（VT）“T-1Ys=t（1+r+ДsZs+1）#1-γ、 t型∈ T、注意WT（v，c）=-u（v）·辅助设备∈AtinfQ公司∈QДt，ψthtEQQT-1s=t（1+r+ДsZs+1）1.-γ, γ<1，infДt∈AtsupQ∈QДt，ψthtEQQT-1s=t（1+r+ДsZs+1）1.-γ, γ > 1.我们把这个区间取为闭合区间，因为我们希望它是紧凑的。原始投资者的问题是sup^1∈AinfQ公司∈Q^1，ψhEQ[u（VT）]，其中A是一套自我融资的交易策略14 Bielecki，Cialenco，Chen，Cousin，JeanBlancent，根据[BGSCS05]中提出的想法，我们将证明∈ T和任意c∈ 【a，b】Wt（v，c）/v1的比率-γ不依赖于v，函数fwt定义为fwt（c）=Wt（v，c）/v1-γ满足以下反向递归（fWT（c）=1-γ、 fWt（c）=infa∈Asupu∈τα（t，c）Eh（1+r+a（u+σεt+1））1-γfWt+1（tt+1c+t+1（u+σεt+1））i，t∈ T、（4.5）我们将通过T中的反向归纳来说明这一点。首先，等式fwt（c）=1-γ是明显的。接下来，我们将∈ T、我们假设Wt+1（v，c）/v1-γ不依赖于v。因此，使用（4.4）weobtainWt（v，c）v1-γ=infa∈Asupu∈τα（t，c）Eh（1+r+a（u+σεt+1））1-γfWt+1（T（T，v，c，a，u+σεT+1））i不依赖于v，因为fWt+1不依赖于其第一个参数。最后，我们对该问题的数值实现方面进行了几点说明。

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2022-5-31 22:11:17

通过考虑CRRA效用函数，并借助上述替换，我们将原始递归问题（4.4）简化为（4.5），该问题具有较低的维数，从而显著降低了问题的计算复杂性。在下一节中，我们比较了自适应鲁棒方法、强鲁棒方法、自适应控制方法以及在真实模型已知的情况下考虑无模型不确定性的情况下获得的策略（以及相应的财富过程）。假设真实模型已知，则通过简单求解优化问题（3.2）及其相应的Bellman方程（fWT=1）来计算交易策略-γ、 fWt=infa∈AEh（1+r+a（u*+ σεt+1））1-γfWt+1）i，t∈ T、（4.6）与（4.5）的推导类似，可以证明鲁棒控制问题的Bellman方程的形式为（fWT=1-γ、 fWt=infa∈Asupu∈ΘEh（1+r+a（u+σεt+1））1-γfWt+1i，t∈ T、（4.7）注意，Bellman方程（4.6）和（4.7）是递归标量序列，可以高效地进行数值计算，无需状态空间离散化。自适应控制策略是通过在每次迭代t时求解类似于（4.6）的Bellman方程，但通过向后迭代到时间t，其中u*替换为其估计值but。为了解决相应的自适应控制问题，我们首先执行优化阶段。即，我们用u解Bellman方程（4.6）*替换为u，对于所有u∈ Θ。最佳选择器用Дut，t表示∈ T、接下来，我们做适应阶段。每t∈{0，1，2，…，T-1} ，我们计算逐点估计butofθ*, 并应用确定性等效控制φt=φbutt。有关更多详细信息，请参阅，例如，[KV15]、[CG91]。案例二。

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2022-5-31 22:11:20

假设u和σ都是未知参数，因此在第3节的符号中，我们有θ*= （u*, （σ*)), θ = (u, σ), Θ = [u, u] × [σ, σ] R×R+，对于某些固定u，u∈ R和σ，σ∈ R+。与案例I类似，我们将MLE取为u*和（σ*), 即自适应鲁棒控制15样本均值和样本方差，适当投影到矩形Θ。【BCC16】中显示，以下递归适用于eut+1=tt+1but+t+1Zt+1，eσt+1=tt+1bσt+t（t+1）（but- Zt+1，（but+1，bσt+1）=P（eut+1，eσt+1），t=1，T- 1，有一些初始猜测bu=c，bσ=c，其中P是类似于asin（4.2）定义的投影。因此，我们将Ct=（Ct，Ct）=（but，bσt），t∈ 我们分别得到r（T，c，z）=Ptt+1c+t+1z，tt+1c+t（t+1）（c- z）,c=（c，c）。因此，在这种情况下，我们取（t，v，c，a，z）=v（1+r+az），tt+1c+t+1z，tt+1c+t（t+1）（c- z）.[BCC16]中还显示，此处（1- α） -置信区间（u*, （σ*)) 时间t是由Θt=τ（t，but，bσt），τ（t，c）给出的椭圆体=c=（c，c）∈ R： tc（c- u）+t2（c）（c- σ）≤ κ,式中，κ是（1- α）具有两个自由度的χ分布的分位数。综上所述，通过类比（4.4）-（4.5）导出了自适应鲁棒Bellman方程。即fWT（c）=1-γ和，对于任何t∈ T、 fWt（c）=supa∈Ainf（u，σ）∈τ（t，c）Eh（1+r+a（u+σεt+1））1-γ（4.8）×fWt+1tt+1c+t+1（u+σεt+1），tt+1c+t（t+1）（c- （u+σεt+1））i、真实模型的Bellman方程和强鲁棒方法的计算类似于（4.6）和（4.7）。4.1数值研究在本节中，我们计算第4节讨论的两种情况下，最优自适应鲁棒控制产生的终端财富。

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2022-5-31 22:11:23

此外，对于这两种情况，我们通过假设真实参数u来计算最终财富*和（σ*)已知，然后使用各自的最优控制；我们称之为真正的模型控制规范。我们还计算了通过使用最优自适应控制获得的终端财富。最后，我们使用最优鲁棒控制计算终端财富，结果表明，在案例I中，最优鲁棒控制与最优强鲁棒控制相同。我们对结果进行了分析，并比较了所考虑的四种方法。我们参考[BCC16]来精确定义投影P，但本质上它被定义为集合Θ中的最近点。16 Bielecki、Cialenco、Chen、Cousin、JeanBlanch在这一过程中，我们首先数值求解四种方法各自的Bellman方程。这通常是通过反向归纳来完成的。请注意，Bellman方程中显示的期望运算符只是标准正态分布上的期望。对于所有考虑的控制方法和进行的所有模拟，我们使用10点最优量化器近似标准正态分布（参见，例如，【PP03】）。真实模型控制规范和自适应控制的Bellman方程基本相同，即（4.6），除了如上所述，在自适应控制实施中，我们使用确定性等效方法：在时间t，Bellman方程求解为参数u的时间t点估计*（在情况I中），或参数u的时间t点估计值*和（σ*)（在案例II中）。在经典的鲁棒控制应用中，Bellman方程（4.7）与动态最小-最大对策问题中的通常一样，在案例I和案例II中得到了解决。在自适应鲁棒控制应用中，Bellman方程（4.5）是对重新估值的成本函数fw的递归。

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2022-5-31 22:11:26

在案例I中，通过离散与状态变量but相关的状态空间来数值求解该递归方程。在我们的示例中，通过模拟状态过程bu·直到水平时间t的样本路径来完成状态空间的离散。该仿真是在真实模型下进行的。在每个时间t，状态空间网格被定义为该过程在时间t采集的样本值的集合。在案例II中，对状态变量bu和bσt应用了类比程序。案例I。为了实施自适应鲁棒控制方法来解决最优分配问题，我们从构建时间和空间网格开始。网格由若干^u的模拟路径组成。然后，我们在所有网格点处求解方程（4.5），以获得最佳交易策略。如上所述，自适应控制方法的实现包括两个步骤。首先，对于不确定集合Θ=[u，u]中的每个u，我们求解以下Bellman方程：（fWT=-1.-γ、 fWt=infa∈AEhfWt+1（1+r+a（u+σεt+1））1-γi，t∈ T、很明显，在每个时间T，最优控制由u参数化。记住这一点，每次∈ T、我们用^uT将u替换为最优控制公式中的控制值。在经典鲁棒控制方法下，投资者的问题变成了∈Asupθ∈ΘEθ[-u（VT）]=-v1-γsupД∈Ainfu∈[u，u]E1.- γT-1Yt=0（1+r+Дt（u+σεt+1））！1.-γ. （4.9）在u=u时，只要1+r+Дt（u+εt+1），就可以得到（4.9）中的内界问题≥ 0 foreach t∈ T、对于无风险利率r的合理选择和εT+1的量化，将满足该条件。

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2022-5-31 22:11:29

相应地，鲁棒控制问题变得更加突出∈Asupθ∈ΘEθ[-u（VT）]=v1-γ1- γinfД∈AE-T-1Yt=0（1+r+Дt（u+σεt+1））！1.-γ.当然，如果控制方法应用于真正观察到的市场数据，则无法做到这一点，因为市场模型（本质上）未知。一种可能的解决方案是，首先根据Z的过去历史估计模型参数，然后根据该估计模型生成状态过程bu·）的样本路径。自适应鲁棒控制17相应的Bellman方程变为（fWT=-1.-γ、 fWt=infa∈AEhfWt+1（1+r+a（u+σεt+1））1-γi，t∈ T、（4.10）我们通过向后求解方程（4.10）来计算鲁棒最优策略。可以看出，对于这个分配问题，强鲁棒控制问题（3.11）也是通过Bellman方程（4.10）来解决的。因此，在这种情况下，强鲁棒控制方法和鲁棒控制方法提供了相同的结果。对于数值研究，我们选择参数集为Θ=[-1，1]，我们考虑一组时间范围T=0.1，0.2，0.9, 1. 其他参数选择如下：v=100，r=0.02，α=0.1，γ=5，σ=0.3，u*= 0.07，bu=0.1。对于每个T，我们计算应用最优策略生成的终端财富vt，以响应上述四种控制方法：自适应鲁棒、经典鲁棒、自适应和最优控制（假设后一种情况下的真实参数已知）。在每种方法中，我们使用1000条风险资产的模拟路径和300吨重平衡时间步。最后，我们使用可接受性指数损益比（GLR）GLR（V）=（Eθ*[e]-rTVT-五] Eθ*[（e-rTVT-五）-], Eθ*[e]-rTVT- 五] >0,0，否则为95%的风险值，V@R（VT）=inf{v∈ R:Pθ*（VT+v<0）≤ 95%}，比较每种方法的性能。图1：投资组合财富均值和标准差的时间序列。

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2022-5-31 22:11:34

未知平均值。从图2可以看出，自适应鲁棒方法在所考虑的方法中具有最好的性能。自适应鲁棒控制情况下的GLR高于经典鲁棒控制情况下的GLR，并且在所有终端时间（forT=0.1除外）都高于自适应控制情况下的GLR。此外，即使自适应控制产生最高的平均终端财富（参见图1），自适应控制仍然是风险最大的方法，因为相应的终端财富具有最高的标准偏差和风险值。理由18 Bielecki、Cialenco、Chen、Cousin、JeanBlanch图2：投资组合的时间序列V@R和GLR。未知平均值。可以说，这种现象背后的原因是，自适应控制方法在解决优化问题时使用了点估计器，因此它可能过于激进，对总是存在的估计误差没有任何保护。在所分析的四种方法中，与经典稳健方法相对应的最优投资组合财富最低。这并不奇怪，因为经典鲁棒控制设计用于处理最坏情况。因此，如图3所示，该方法给出的风险集合中的最优持有量始终为0，这意味着遵循经典稳健方法的投资者将所有资金存入银行账户，因此无法从风险资产的价格上涨中获益。图3：最优策略均值的时间序列。未知平均值。自适应鲁棒控制方法旨在在主动自适应鲁棒控制19和保守之间找到适当的平衡。如图1和图2所示，自适应鲁棒比经典鲁棒产生更高的终端财富，其风险比自适应控制低。自适应鲁棒控制方法的鲁棒特性成功地控制了模型不确定性带来的风险。

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2022-5-31 22:11:37

此外，该方法的学习特性防止其过于保守。案例二。这里，自适应鲁棒控制方法、经典鲁棒控制方法和自适应控制方法需要考虑真实参数θ的不确定性*= （u*, （σ*)).图4：在α=10%的置信水平下，一条特定路径（but，bσt）的置信区域τ（t，but，bσt）的时间序列。我们选择参数集为Θ=[-1, 1] × [0, 0.5]. 与I的情况一样，我们考虑一组时间范围T=0.1，0.2，0.9、1和300T时间迭代（或重新平衡日期）均匀分布在时间范围T上。在1000多条真实模型的样本路径上，构造离散化状态空间（自适应控制方法所需）并应用计算出的最优策略。其他参数选择如下：v=100，r=0.02，α=0.1，γ=20，u*= 0.09, σ*= 0.30，bu=0.1，bσ=0.4。图4显示了真实模型的特定样本路径的不确定性集的演变。我们可以证明真实参数的不确定性（u*, σ*) 随着时间的推移，可以观察到realizedexcess返回值，从而快速减小大小。此外，我们可以注意到，对于α=10%，椭球区域包含几乎所有时间步的真参数。与案例I一样，我们通过模拟真实模型生成的路径，比较了自适应鲁棒控制、自适应控制、鲁棒控制和最优控制的性能。图5显示了最优投资组合财富值的平均值和标准差随时间的变化。它还显示了意外损失95%VaR和损益比（GLR）的时间演变。在这2维情况下，结论与前一个情况I一致，其中仅假设已知u。自适应鲁棒控制策略在GLR方面优于自适应控制和鲁棒控制策略。

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2022-5-31 22:11:40

自适应控制策略给出了最高的投资组合财富平均值，但代价是相对较高的标准差。意外损失95%VaR系列也不利于自适应控制方法。最后，我们要提到的是，在这种情况下，风险资产的最优持有表现出与案例I.20类似的行为。Bielecki、Cialenco、Chen、Cousin、JeanBlanch图5：投资组合财富均值和标准差的时间序列。未知均值和方差。在Igor Cialenco访问由国家科学基金会资助的纯数学和应用数学研究所（IPAM）时，Spart对这项研究表示感谢。Monique Jeanblanc的研究得到了法国银行业联合会“Chaire Markets in transition”和ILB Labex ANR 11-LABX-0019的支持。参考文献【AHS03】E.W.Anderson、L.P.Hansen和T.J.Sargent。模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半组。《欧洲经济协会杂志》，1（1）：68–123，2003年。【BB95】T.Ba,sar和P.Bernhard。H∞-最优控制和相关的极大极小设计问题。系统与控制：基础与应用。Birkhauser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿，第二版，1995年。动态游戏方法。【BCC16】T.R.Bielecki、I.Cilenco和T.Chen。信任区域的递归构造。2016年【BCP16】E.Bayraktar、A.Cosso和H.Pham。鲁棒反馈切换控制：动态编程和粘度解决方案。《暹罗控制与优化杂志》，54（5）：2594–26282016年。M.W.Brandt、A.Goyal、P.Santa Clara和J.R.Stroud。一种动态投资组合选择的模拟方法，用于学习收益可预测性。《金融研究评论》，18（3）：8312005年。【BMS07】G.Bordigoni、A.Matoussi和M.Schweizer。Arobast效用最大化问题的随机控制方法。

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