无通信的共同代理委托代理问题

2022-5-31 22:18:59

没有通信的公共代理的主要代理问题*Thibaut-Mastrolia+任振杰2018年1月15日摘要本文考虑了一个契约理论问题，其中多个委托人雇佣一个共同代理人，并在连续时间环境下研究了该模型。我们证明了最优契约应该满足一些平衡条件，并将主体的优化问题归结为一个耦合的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程组。我们提供了条件，确保对于风险中性的主体，耦合的HJ B方程组允许一个解。此外，我们将我们的研究应用于一个特殊的线性二次模型，其中两个相互作用的主体hireone共同代理。在这个连续时间模型中，我们扩展了[BW86]的结果，在该结果中，作者比较了非合作主体模型和聚合模型中代理的最优努力，表明这两种优化仅在第一个最佳情况下一致（见第5.2节）。我们还研究了最佳努力和最佳报酬对偏好参数的敏感性以及项目之间的相关性（见命题5.3）。关键词：道德风险模型、共同代理、HJB方程体系。AMS 2000科目分类：93E20、91A0 6、91A15、91B16、91B70、60H30。JEL受试者分类：C73、D21、D82、D86、J41。*这项工作得到了ANR项目Pacman的支持，ANR-16-CE05-0027+CMAP，埃科尔理工大学，萨克莱路，91128，蒂堡帕莱索。mastrolia@polytechnique.edu.

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2022-5-31 22:19:03

本文作者感谢法国兴业银行（SociétéGénérale）资助的The Chair Financial Risks（风险基金会）塞雷梅德，巴黎多芬大学，巴黎理工大学，塔斯伊尼拉特雷德广场，75016巴黎，真杰。ren@ceremade.dauphine.frContents1导言22多委托人/代理人模型73解决代理人问题104解决委托人问题124.1均衡条件。144.2完全非线性HJB方程的一般情况。154.3风险中性委托人的特殊情况。185对具有两个相关主体的模型的应用，具有亲和力参数215.1 bi主体模型。215.2与总报价模型的比较。235.3食欲、效率和相关参数的影响。256结论281简介2016年，生物多样性和生态系统服务政府间科学政策平台（简称IPBES）深入调查了食物生产问题中的授粉者和授粉过程。为了根据IPB ES的报告说明我们研究的动机，例如，考虑一块划分为种植不同作物的土地，每个土地由一个所有者（she）管理。业主有兴趣与养蜂人合作，以确保更好的产量。在这种情况下，养蜂人将蜂箱分布在不同作物的田间，并通过授粉努力提高作物所有者的产量。因此，每个作物所有者都必须向养蜂人提供足够好的激励措施来照顾自己的作物。

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2022-5-31 22:19:07

本例中的情况典型地说明了一个信息不对称的公共代理问题，即作物所有者需要设计合同来激励养蜂人，每个人都要提高自己的产量，而不直接观察养蜂人和他的养蜂人是如何影响作物的。因此，在所谓的多重委托人/代理人问题以及更普遍的激励理论中，作物所有者扮演着委托人的角色，养蜂人可以被视为代理人。见吉隆坡IPBES第四届会议全体会议批准的报告【PIFN+16】。激励或契约理论出现于70年代，是在对管理雇主财富的员工的绩效进行不完全观察的情况下，通过研究两个经济实体之间的最优支付计划，米尔莱斯（Mirrlees）[Mir76]在其他人中的工作而提出的。拉丰和蒂罗尔的教科书【LT93】随后对这一点进行了研究，并在监管系统和tw o各方之间的潜在博弈中进行了说明，我们参考了拉丰和马蒂莫特的调查书【LM09】，了解了许多与这一理论相关的例子。更准确地说，合同理论中考虑的道德风险的情况可以描述如下。委托人（她）想雇佣另一个实体，即代理人（he）来管理一个项目。此外，Age n t有一个保留实用程序，允许他接受或拒绝委托人提出的合同。委托人遇到的主要困难是，她对代理人的工作可能知之甚少。因此，我们需要区分两种类型的问题。首先，我们可以假设委托人控制代理人的努力和向其提出的最佳报酬。这种情况符合风险分担模型，称为“第一最佳”。

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2022-5-31 22:19:10

在这种情况下，我们只研究在代理人的保留效用约束下，委托人选择最优努力和最优报酬的问题。在大多数情况下，校长无法观察赫拉金特的努力，而只能观察他的工作成果。因此，委托人的问题是在满足代理人保留效用的所有合同中，设计一个使其效用最大化的最优合同，而不必观察、也不必说控制他的努力。这种更现实的情况被称为道德风险问题或次优问题。在实践中，我们用Stackelberg均衡来确定代理人和委托人之间的博弈，即给定任何固定的合同，代理人是相应的最佳反应，并且基于这些可预测的反应，委托人选择最佳合同，以最大化其效用。70年代与契约理论相关的研究主要在一个或多个周期的离散时间框架内处理问题，即，契约的努力、结果和所有其他相关数量在有限空间中取值。H"olmstrom和Milgrom在开创性论文[HM87]中研究了一个连续时间模型，其中他们考虑了财富过程的布朗模型，并假设委托人使用指数效用进行优化。这项工作后来被许多其他作者扩展。Sch"attler和Sung在[SS93]中提供了解决问题的一阶充分条件。Sung in【Sun95】研究了当药剂可以控制输出扩散时的问题。然后，Hellwig和Schmidt在[HS01]中将离散时间模型和连续时间模型联系起来。所有这些都使用了随机控制理论的复杂工具，如动态规划和鞅方法。

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2022-5-31 22:19:13

更多详细信息，请参阅宋[Sun01]的调查论文或Cvitanicand Zhang的书[CZ13]。最近，契约理论引入了新的成分，这使我们能够研究更一般的模型，并获得易于处理的结果。Sannikov在[San08]中研究了一个模型，在该模型中，委托人向代理人提供连续的报酬，并选择一个随机的退休时间。桑尼科夫认为，作为这篇论文的一个显著贡献，代理人问题的价值（持续效用）应该被视为委托人问题的状态变量。后来，Cvitani\'c、Possama"i和Touzi在[CPT14、CPT15]中提出了一个非常通用的程序，用一次性付款解决委托人/代理人问题，其中代理人可以控制产出的漂移和波动。他们观察到，作为一个效用最大化问题，Agent的问题可以简化为求解Pardoux和Peng【PP90】（另见El Karoui、Peng和Quenez【EKPQ97】）中引入的倒向随机微分方程（BSDE），或其完全非线性推广，即Soner、Touzi和Zhang【STZ12】中引入的二阶BSDE（2BSDE）。正如桑尼科夫所建议的那样，委托人的问题，给定了代理人的最佳反应，因此是一个标准的随机控制问题，具有两个状态变量：代理人的输出过程和持续效用。H"olmstrom和Milgrom问题的扩展并不局限于单主体/单代理模型。Koo、Shim和Sung在[KKSS08]中，Elieand Possamaiin在[EP16]中，将其扩展到了单一委托人/多代理人模型。在这些工作中，代理人的目标是在委托人提出的合同中找到纳什均衡。

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能者818

2022-5-31 22:19:16

Elie和Possama"i证明，代理之间的纳什均衡可以描述为多维BSDE的解，而委托人的问题可以归结为以所有代理的连续效用为状态变量的随机控制问题。Elie和Possama"i特别研究了一个单一委托人/两个代理人的例子，其中代理人相互竞争。很奇怪的是，在这个例子中，野心较小的代理可能会做出较少的努力，并将工作交给另一个代理。最近，在[Mas17]中研究了规划师旨在通过发现帕累托最优来为代理人的福利服务，并将结果与[EP16]中代理人达到纳什均衡的结果进行了比较。特别是，在[Mas17]中提供了充分和必要的条件，以便在规划师处，P areto最优值与纳什均衡值相吻合，可以比经典的多代理次优情况有更高的回报。本文研究了连续集上的多主体/单主体问题。更准确地说，我们在本文中假设，多个委托人的目标是雇佣一个同时为所有委托人工作的共同代理人。这种常见的代理问题与养蜂人的例子相呼应，我们参考了El Karoui和Rouge【REK00】以及Hu、Imkeller和Müller【HIM+05】的作品。上述作物所有者，据我们所知，尚未在连续环境中进行研究。然而，在离散的情况下，有几家公司已经研究了这个问题。80年代，Baron在[Bar85]中研究了一个涉及监管者面临非本地化外部性的共同代理问题。他以环境保护署（EPA）和公共事业委员会为例说明了他的研究，以控制非本地化的污染外部性。

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2022-5-31 22:19:19

每个实体在防范风险方面都有自己的目标，因此可以出现冲突利益，而监管机构之间的合作并不成立。因此，Baron在其特定的监管模式中实现了合作和非合作均衡。Braverman和Stiglitz【BS82】展示了公共代理问题的另一个有趣的应用，涉及农民和地主的分成制。后来，Bernheim和Whinston（见[BW85，BW86]）提出了一种分析公共机构问题的一般方法。他们提供了描述均衡特征的充分必要条件，并证明了主体之间的非合作均衡仅对第一个最佳努力水平有效（即达到经典的第二个最佳努力水平和结果）。Dixit、Grossman和Helpman在[DGH97]中阐述了Bernheim和Whinston的工作，他们考虑了非拟线性效用函数，并用灰平衡描述了一般公共代理问题的平衡。y还讨论了Paret o意义上的效率。如上所述，所有以前的工作都研究了离散时间模型中的公共代理问题。据我们所知，这一主题尚未在连续时间环境下利用扩散模型进行探讨，而这样的设置显然简化了技术论证并产生了易于处理的解决方案（如[San08，CPT14，CPT15]所示）。我们的工作可以看作是伯恩海姆和范斯顿以及迪克西特、格罗斯曼和赫普曼在这方面工作的延伸，我们还试图描述合同之间的纳什均衡。

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2022-5-31 22:19:22

我们的研究仍然是具有信息不对称的纳什均衡分析的一部分（例如，参见[16]），通过表明每个主体发现此类均衡的问题都被简化为找到一个完全耦合的HJB方程的解。这一关系在书籍【Car16，DJLS00】中得到了很好的研究，卡莫纳和杨格也将其应用于【CY11】中时间限制较宽松的捕食者交易。在这里，我们将我们的模型注册为上述所有工作的延续，假设每个负责人都是理性的，目的是找到他面对其他负责人的行为的最佳反应报酬，这自然会导致纳什均衡的调查。本文的总体结构如下，在第2节中，我们陈述了我们研究的公共代理模型。我们特别介绍了平衡的定义。然后，我们使用验证结果解决了第3节中的公共代理问题。在这项工作的核心部分，我们在第4a节中提出了解决委托人共同代理问题的一般程序，通过导出相应的HJB方程组的完全耦合系统来描述特定合同集中的纳什均衡。我们特别证明，当委托人是风险中性的，我们可以通过考虑将委托人聚合为唯一委托人的问题的解决方案，找到相应系统的解决方案。作为我们工作的一个应用，我们在第5节中研究了两个委托人雇佣一个共同代理人的模型，将委托人不合作的竞争模型与委托人的出价进行聚合，聚合后的出价符合经典的双边委托人/代理模型。

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2022-5-31 22:19:25

在整个研究过程中，我们试图对我们的数学模型和结果进行经济解释。最后，通过超越最初介绍的由作物所有者支付报酬的养蜂人的例子，本文可以作为一个很好的起点，来处理政府管理等应用程序，在这些应用程序中，不同级别的同一注册会计师对一家公司进行了补偿，以回顾[BW85]中关于外国借贷问题的例子，正如Tirole[Tir03]的工作中所揭示的那样。标记。在本文件中，T>0表示合同到期，并假设为固定期限。设N为正整数。我们用|·······································。我们用大小为N的实方阵空间来识别RN，nw，赋以Eu clidean normon RN，N。设M在RN，N，1中≤ j≤ N和1≤ l ≤ N，我们用Mj表示：∈ R1×N（分别为：，l∈ RN，1）其第j行（分别为l-第列）。我们设置了M∈ RN，n变换为M。我们还将RN识别为R1，对于RN的任何元素x，通过第i个分量和x识别为Nand，wedenote(-i）注册护士-1维向量x(-i）：=（x，…，xi-1，xi+1，xN）.让G：b∈ RN7-→ G（b）∈ R、我们表示为bG（b）∈ Rn G的梯度。当G是多元的，并且在不存在歧义时，bg表示G相对于向量r b的梯度。当N=1时，我们简单地写yv是任何函数v对实变量y的导数。假设实函数u是x的多元函数∈ R和y∈ R、 wedenote公司y，yu是u的二阶导数，关于x和x的u的sizeN×N的雅可比矩阵x、 yu是u的导数o相对于y和x的RN，N值对角矩阵。

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2022-5-31 22:19:28

我们用C1,2,2（[0，T]×RN×R）表示函数在时间上连续可微的空间和关于其空间变量的两次连续可微函数，并且当基础空间上没有歧义时，我们通过写C1,2,2来简化旋转。2多委托人/代理人模型在本文中，我们考虑委托人-代理人问题，其中N个委托人雇用一个代理人来管理N个风险项目。在这个模型中，我们认为项目之间可能相互关联，雇佣代理的行为会影响每个项目。本节介绍问题的数学模型。我们首先定义了N个项目的动态，然后将代理人和委托人的效用最大化问题设置为阿克伯格均衡。允许Ohm := C（[0，T]，RN）是正则空间，X是正则过程。在我们的模型中，进程X描述了所有N个项目的ou TPUT。设F为正则滤波，对于任何有限维无量纲空间（E，k·kE），P（E）（分别为Pr（E））将表示E-值，F-自适应可积过程（分别为F-可预测的过程）。设P为上所有概率测度的集合Ohm. 在本文中，我们考虑X上的模型，其形式如下：（ν，Pν），使得ν是F-渐进的，Pν∈ P和xt=x+Rtb（s，Xs，νs）ds+Rt∑sdWPνs，Pν-a.s.（2.1），其中ox∈ Rn是输出的初始值；o漂移函数b:[0，T]×RN×RN-→ 由bi表示的组件的rni，即b（t，x，ν）=（bi（t，x，νi））1.≤我≤N、 o∑是F-逐步可测量的过程，取RN，N的值，表征不同项目之间噪声的相关性；oWPν是一个Pν-布朗运动。过程ν被视为代理的作用力，并通过漂移函数b影响输出X。

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2022-5-31 22:19:31

更确切地说，我们对输出过程的漂移和波动性设置了以下假设。假设2.1。∑有界且对于任何t∈ [0，T]，矩阵∑可逆且有界逆。漂移函数b（t，Xt，ν）对于每个ν都是F累进的∈ 注册护士。Forany i公司∈ {1，…，N}和every（t，x）∈ [0，T]×RN，映射ν∈ RN7→ bi（t，x，νi）是连续可微的，并且存在一个正常数C，使得对于任何（t，x，ν）∈ [0，T]×RN×RN | bi（T，x，νi）|≤ C（1+kxk+|νi |），kνb（t，x，ν）k≤ C出于技术原因，我们将分析限制在以下可接受的努力上：定义2.2（可接受的努力）。我们用一组可容许的努力（ν，Pν）表示，使得（2.1）成立，ν取A中的值 Rnso：（Mνt）t∈[0，T]：=EZtb（s，Xs，νs）·∑-1sdWPνst型∈[0，T]是F-鞅，其中E表示Doléans-Dade指数。由于Mν是每个容许作用力的F-鞅，{Pν}ν都是等价测度。更准确地说，我们有dPνdP=MνT，其中P：=Pox+Z·∑sdXs-1（2.2）和Pis是维纳测度。在我们的模型中，代理人在终端时间T从N个委托人那里得到一个给定工资的效用，并且他的努力通过成本函数c:[0，T]×RN×RN7来减少他的总回报-→ R+。更准确地说，每个委托人，例如委托人i，向代理人提出一个合同，工资由ξi表示，ξi是一个R值FT可测量的随机变量。代理人的总工资为ξ·1N，其中ξ=（ξ，…，ξN）和1ndentes N维向量（1，…，1）, 居住在下述可接受合同的某些空间。我们考虑风险规避参数大于0的代理的指数效用，因此，在给定一组工资ξ和容许努力（ν，Pν）的情况下，代理在时间t=0时的效用∈ A isuA（ξ，ν）：=EPν- 经验值-RA公司ξ·1N-ZTc（t，Xt，νt）dt.假设2.3。

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2022-5-31 22:19:33

成本函数c（t，Xt，ν）对于每个ν都是F累进的∈ 注册护士。Forany（t，x）∈ [0，T]×RN，m apν7-→ c（t，x，ν）是连续可微、递增和凸的。存在0<κ<κ和（m，m）∈ [1, +∞) ×（0，m）su chthat0≤ c（t，x，ν）≤ C（1+kxk+kνk1+m），κkνkm≤ kνc（t，x，ν）k≤ κ1+kνkm！andlimkνk→+ ∞c（t，x，ν）kνk=+∞.成本函数c明显依赖于代理人的努力，而c在其中增加的事实强调，付出更大的努力会导致代理人付出更大的成本。凸性假设可以看作是一种排斥效应，即代理的工作越高，他对增加或减少努力的敏感性越高。成本c也可以取决于结果本身。例如，如果结果的价值很低，那么代理人可能会有某种程度的抑郁，他的行为可能会受到它的直接影响。在给定工资ξ的情况下，代理人通过选择一个可接受的努力，试图最大限度地发挥其效用。因此，给定一组由决策者提出的契约ξ，Agent问题的弱公式isUA（ξ）：=sup（ν，Pν）∈AuA（ξ，ν）。（2.3）用A表示（ξ）代理的最佳响应集，给定一个工资ξ向量。如果得到最好的回答，我们将研究N个主体在试图最大化其自身效用时的纳什均衡。考虑一个具有预订实用程序R的代理∈ R、也就是说，N-Principals必须在合同集ξ向代理满意度（ξ）提出的约束条件下解决ir效用最大化问题≥ R、（2.4）否则，代理人可拒绝为其工作。现在我们介绍第i个主体的问题。假设她的回报是由函数upi:R给出的-→ R增大和凹陷。

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能者818

2022-5-31 22:19:36

主i的问题isUPi：=supξi∈Ci:UA（ξ）≥Rsupν∈A.（ξ） EνKTUPi公司(li（XT）- ξi）, （2.5）式中oKT：=e-RTkrdris贴现过程具有有界过程k；oli：注册护士-→ R是线性增长的清算函数；oCIS是一套可接受的合同，稍后将予以定义（见（4.8））。备注2.4。我们对校长问题的定义遵循【CPT15】中的定义。正如在经典文献中（参见[San08，CPT14，CPT15]），我们将使用合同ξ的半鞅表示将委托人问题转化为标准随机控制问题。在这个变换之后，我们将看到ν上的最大化∈ A.（ξ）不会改变问题的结构。因此，为了简化旋转，我们在本文的其余部分假设（ξ）是一个单态，我能读到的主要问题是asUPi：=supξi∈C： UA（ξ）≥REν（ξ）KTUPi公司(li（XT）- ξi）.我们可以提供两个有趣的例子，这两个例子已经由[BW85]在Discrete案例中进行了研究。竞争负责人。如果现在考虑到第i个委托人收到了xittime，并且如果她的项目高于其他项目的经验平均值，那么可能会得到更高的效用，那么我们有li（x）=xi+γixi-N- 1Xi6=jxj, x个∈ RN，其中γi≥ 0通常是她对项目i的亲和力参数。这种情况与[BW85]中调查的非合作主体的行为密切相关。关于这种情况下不同参数的影响示例，请参阅第5.3节。合计报价。如果现在考虑可以聚合N个委托人，那么我们可以将此问题简化为经典的次优情况下的单一委托代理模型，其中输出的每个第i个分量都有一个效率参数γi，与其他分量相比。

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2022-5-31 22:19:40

在这种情况下，称为母公司的总本金的回报为NXI=1XiT1+γi-N- 1Xj6=iγj- ξ，其中ξ是N个工资的总和。这种情况与[BW85]第2节中的合作模型一致，将在第5.2节中进行更深入的研究。最后，我们介绍了N个主体之间的纳什均衡。定义2.5（纳什均衡）。A合同ξ∈ 如果满足ξi，则Cn是当时委托人的纳什均衡∈CiEν(ξ)KTUPi公司li（XT）- ξi= Eν(ξ)KTUPi公司li（XT）- ξi，, 1.≤ 我≤ N带UA（ξ) ≥ R、 3解决代理问题[San08，CPT14，CPT15]中的基本思想是研究具有（正向）半鞅表示的契约。一方面，该表示可以通过简单的验证参数帮助解决代理问题。另一方面，将主问题简化为标准随机控制问题。在我们的研究中，我们将借用这个想法。然而，我们只使用工资之和ξ·1N的半鞅表示，而不是表示每个合同ξi。首先，让我们回顾一下BMO空间的定义。定义3.1。对于任何进程Z∈ H： ={Z∈ Pr（RN）：EP【RTkZtkdt】<∞}（回想（2.2）中定义的P），我们说Z∈ HBM O，如果存在非负常数，则对于任何t≤ 我们没有ZTtkZskds≤ C、在本文的其余部分，我们将研究以下类型的合同：CN：=nξ：UA（ξ）≥ Rand th here is Y∈ RNand Z∈ HBM要求ξ·1N=Y+ZTG（t，Xt，Zt）dt+ZTZt·dXt，P-a.s.o，（3.6），其中G（s，x，z）：=RAk∑szk公司- supν∈A.b（t，x，ν）·z- c（t，x，ν）. 根据recallingRemark 2.4，我们在此假设arg maxνb（t，x，ν）·z- c（t，x，ν）是每个（t，x，z）的单音子，表示νt（x，z）：=arg maxνb（t，x，ν）·z- c（t，x，ν）. （3.7）引理3.2。假设假设2.1和2.3为真。

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2022-5-31 22:19:44

THNKνt（x，z）k≤ C1+kzkm和| G（t，x，z）|≤ C1+kzk+KZKXK.证据该证明与[EP16]或[EMP16]的pro ofs遵循相同的路线。备注3.3。得益于对后向SDE的研究，我们知道该集的规模相当大。事实上，假设具有终端值ξ和生成器G的BSDE在BMO空间中具有具有Z的解（Y，Z），并且UA（ξ）≥ R、那么ξ属于CN。例如，由于[Kob00]，众所周知，所有有界ξ都是UA（ξ）≥ Rbelong至中国大陆。下面的命题揭示了代理的最佳努力。提案3.4。假设假设2.1和2.3为真。对于ξ∈ CN，if（ν*, Pν*) ∈ A此处ν*t： =νt（Xt，Zt），那么我们有ua（ξ）=-e-RAYandν*这是代理人的最佳努力。证据注意，P和Pν是所有容许作用力的等效度量。利用ξ·1N的半鞅表示，我们得到了可容许的νthatuA（ξ，ν）=EPνh- 经验值- RA公司ξ·1N-ZTc（t，Xt，νt）dti=EPνh- 经验值- RA公司Y+ZTG（t、Xt、Zt）- c（t，Xt，νt）dt+ZTZt·dXt我≤ EPνh- 经验值- RA公司Y+ZTRAk∑tZtk公司- b（t，Xt，νt）·Ztdt+ZTtZt·dXti=EPνh- 经验值- RA公司Y+ZTRAk∑tZtkdt+ZTtZt·dWPνti=-e-雷。最后一个等式是由于Z∈ HBM O，如果νt=ν，则不等式为anequality*t（Xt，Zt）。备注3.5。（ν）的一个充分条件*, Pν*) ∈ A可以是m≥ 1，所以ν*∈HBM O因此（ν*, Pν*) ∈ A、 4解决前面提到的主体问题，这里的主要困难在于，在解决主体问题时，我们没有成分ξi的半鞅表示。

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能者818

2022-5-31 22:19:46

相反，我们只有工资总额ξ·1N的这种表示。在本文中，我们只对以下契约集合中的纳什均衡感兴趣：eCN：=（ξ∈ 中国大陆：（y，α，β）∈ RN×P（RN）×HBM O（RN，N），ξi=yi+ZTαisds+ZTβ：，is·dXs，1.≤ 我≤ N），其中HBM O（RN，N）将定义3.1扩展到RN，无价值流程。更直观地说，我们用半鞅形式在合同中寻找纳什均衡。因此，在这样的纳什均衡下，每个原则都应该在以下契约中最大化其效用：Ci（ξ-i）：={ξi：ξ∈CN}，（4.8），其中ξ-i=（ξ，···，ξi-1，ξi+1，···，ξN）. 如果没有歧义，我们将仅用Ci表示集合。注意，与[BW85，（i′）]类似，如果合同ξjof其他主体j 6=isupξi，则可以写出第i个主体（2.5）的问题∈CiEν（ξ）KTUPi公司li（XT）- ξ·1N+Xj6=iξj. （4.9）在以下各节中，我们试图在以下思想的指导下描述纳什均衡（4.8）中的定义立即导致平衡条件对于每个主体，优化（4.9）可以转化为标准随机控制问题，从而得到HJB方程。因此，我们自然地得到了一个与Pr-incipals问题相关的N个耦合HJB方程组。使用经典的验证论证，我们可以证明这种HJB方程系统为合同类中的委托人问题提供了一个纳什方程特别地，如果所有主体都是风险中性的，则每个主体的随机控制问题都与一个半线性HJB方程相关联，并且具有更好的可解性。备注4.1。我们想评论并解释为什么这类合同在我们的模型中看起来是合理的。

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2022-5-31 22:19:49

首先，这类合同是非马尔可夫的，众所周知，在单委托代理模型中，只要假设产出的动态性由某个参数α提高，即b（t，x，a）：=αx+at，就得到非马尔可夫合同。所以，并没有理由考虑XT的CNonlyContaining函数的子集。第二点是，人们可能会认为，由于任何合同ξ都是FT-具有良好可积性的可测随机变量，通过考虑Yt：=E[ξi | Ft]，我们从鞅表示定理得到，存在一个过程Z，使得ξi=E[ξi]+RTZt·dWs。因此，ξ可以被视为随机积分的终值。然而，我们将在下文中说明，由于代理人和委托人之间的斯塔克伯格博弈，这类合同不稳健，不包含阿纳什均衡（见下文命题4.3）。最后，我们想坚持这样一个事实，即对组分ξiis的限制允许用于我们的工作，因为我们的目标是只得到纳什均衡的存在。这项工作的一个扩展可以是考虑CNC中包含的更大类别的合同，这样一来，组件ξi不一定具有α和β的半鞅分解，并比较这两类合同（例如，在帕累托效率方面）。然而，这个问题似乎非常困难，并不是我们工作的核心。在继续之前，让我们进一步解释一下合同类别的含义。第i位负责人的任何工资ξ取决于其他负责人的项目Xj，j 6=i。我们对此现象提供了一些解释。对模型的解释首先，我们可以假设第i个委托人向代理人承诺了其公司价值的一部分，但也承诺了其他委托人结果的一部分。

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2022-5-31 22:19:52

其次，一些外部性可能表现为网络效应（例如，请参见[Laf89、BS62、LM94]，了解有关这种现象定义的更多解释）。这通常与养蜂人和作物所有者的介绍性例子相吻合，因为每个作物所有者都可以通过授粉过程从其他作物的蜂箱中受益。另一种解释是考虑雇用同一代理人的母公司和一些子公司（然后是委托人）。例如，就具体而言，该模型非常适用于德国公司Sonnen Gm bH，在该公司中，代理商与生产、使用和共享能源相关。备注4.2。由于共同的代理框架，委托人通过向代理人提出不赔偿而具有搭便车行为，而另一委托人则完全补偿代理人的情况并非均衡。实际上，如下面的定理4.7所示，通过取αi，= 0，βi，不等于零。4.1均衡条件建议4.3（纳什均衡的必要条件）。Letξ= （ξi，)1.≤我≤Nbe一个纳什均衡，其中ξi，以三重态（yi，αi，, βi，).然后，以下平衡条件适用于（yi，αi，, βi，)1.≤我≤编号：NXi=1yi=Y，NXi=1αis=G（s，Xs，NXi=1βis）NXi=1βis=Zs。（4.10）证明。这一结果仅根据CN（3.6）和Ci（4.8）的定义得出。4.2具有完全非线性HJB方程的一般情况我们将充分刻画纳什均衡。我们从第i个原则（4.9）的问题开始。表示r：=-ln公司(-R） RA，所以我们有（ξ）≥ R<==> Y≥ r、感谢提案3.4。

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2022-5-31 22:19:55

从命题4.3可知，upi（x）=supξi∈CiEνKTUPi公司li（XT）- ξ·1N+Xj6=iξj= 苏皮≥r-Pj6=iyjsup（αi，βi）∈P（R）×HBM OPNi=1αis=G（s，Xs，PNi=1βis）EνhKTUPi(li（XT）- Yyi，αi，βiT）i=supyi≥r-Pj6=iyjui（0，x，yi），=ui0，x，r-Xj6=iyj,其中ui（0，x，yi）：=supβi∈HBM OEνhKTUPil（XT）- Yyi，αi，βiTi、（4.11）和yyi，αi，βiT=yi+ZTGs、 Xs，sβ(-i） s+βis- Sα(-i） sds+ZTβ是·dXs，（4.12），其中Sα(-i）：=Pj6=iαjand Sβ(-i）：=Pj6=iβjand，固定（αj，βj）j6=i。主体（4.11）的问题与具有以下特征的随机控制问题相一致：o两个状态变量：输出X和值过程Yyi，αi，βi；o一个控制变量：系数βi。它与以下HJB方程相关：-(途易- kui）（t，x，y）- supβi∈RNH（t，x，y，徐毅，是的，徐毅，y yui，x、 yui，Sα(-i） s，sβ(-i） s，βi）=0，ui（T，x，y）=UPi(li（x）- y），（t，x，y）∈ [0，T）×RN×R.（4.13），其中哈密顿量H定义为任意（T，x，p，~p，q，~q，R，sa，sb，b）∈ [0，T]×RN×RN×R×RN，N×R×RN，N×R×RN×RNbyH（T，x，p，p，q，q，R，sa，sb，b）：=p·b（T，x，ν（x，b+sb））+~pG（s、x、b+sb）- sa+b·b（t，x，ν（x，b+sb））+Tr（∑t∑）tq）+Tr（b∑t∑tbq）+Tr（1N∑t∑tbr）假设4.4（FOC）。存在一个最大值βi，对于b 7-→ H（t，x，p，~p，q，~q，r，sa，sb，b）满足关系式λi（t，x，p，~p，~q，r，sb，βi，t）：=bH（t、x、p、~p、q、~q、r、sa、sb、b）=0。（4.14）然后，第i个原理的问题可以通过经典的Verifitiontheorem来解决。提案4.5（验证）。Letξ∈eCNand用（yj，αj，βj）表示与ξj相关的三重态，j 6=i。假设存在H JB方程（4.13）inC1,2,2（[0，T]×RN×R）的解。

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2022-5-31 22:19:58

然后，通过表示βi，对于相应的最大化子，我们推导出UPi（x）=ui（0，x，r-Pj6=iyj）和最优合同ξi，ITH负责人提出的建议是ξi，= r-Xj6=iyj+ZTαi，sds+ZTβi，s·dXs，带αi，s=Gs、 Xs，Xj6=iβjs+βi，s-Xj6=iαjs。因为我们用一个HJB方程来解决每个主体的问题，所以我们自然会得到一个由N个HJB方程组成的系统。与[DJLS00，定理8.4和8.5]类似，可以从方程组中推导出定义2.5意义上的纳什方程。我们假设所有i=1，····，N的偏微分方程（4.13）都有解，并且也满足平衡条件（4.3）。假设4.6。对于任何i∈ {1，…，N}和（t，x，y，pi，~pi，~qi，ri）∈ [0，T]×RN×R×RN×R×R×R存在（αi，t、 x，y，（pi，~pi，~qi，ri）1≤我≤N）1.≤我≤N、 βi，t、 x，y，（pi，~pi，~qi，ri）1≤我≤N）1.≤我≤对于任何1≤ 我≤ Nλit、 x，y，pi，~pi，~qi，ri，Xj6=iβj，, βi，= 0，NXi=1αi，t=Gt，x，NXi=1βi，t！。（4.15）此外，我们假设以下完全耦合的偏微分方程系统允许一个解u=（ui）1≤我≤确保该ui∈ C1、2、2全部1≤ 我≤ 编号：Lt、 x、y、ui、，徐毅，是的，徐毅，y yui，x、 yui，Sα(-i），Sβ(-i），βi，= ktui，ui（T，x，y）=UPi(li（x）- y），（t，x，y）∈ [0，T）×RN×R.（4.16），L=t+H，βi，:= βi，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤NSα(-i）：=Xj6=iαj，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤NandSβ(-i）：=Xj6=iβj，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤N.定理4.7。假设4.6为真。此外，定义任何1≤ 我≤ Nξi，= yi+ZTαi，sds+ZTβi，s·dXs，带αi，t： =αi，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤N和βi，t： =βi，t、 x，y(徐毅，是的，y yui，x、 yui）1≤我≤N.然后，合同集（ξi，)1.≤我≤Nis是一个可容许的纳什均衡。证据

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2022-5-31 22:20:02

结果与[DJLS00，T h eorems 8.4和8.5]的论点相同，由于命题4.5.4.3风险中性原则的特殊情况，之前解决原则问题的程序的主要区别在于检查假设4.6是否成立，即完全耦合HJB方程的系统（4.16）的解是否存在。在一般情况下，这显然是一个棘手的问题。在本节中，我们将说明如果本金都是风险中性的，并且没有贴现因子，即≡ 0和UPi(li（x）- y） =li（x）- y、（x，y）∈ RN×R，方程组在合理的假设下是可解的。回想第i个主体的值函数（4.11）。自k起≡ 0和主风险中性，我们有UI（0，x；yi）：=supβi∈HBM OEνh类li（XT）- Yyi，αi，βiTi=supβi∈HBM OEνli（XT）- 易-ZT公司Gs、 Xs，’βs- Sα(-i） sds公司-ZTβis·dXs,= -yi+supβi∈HBM OEνli（XT）-ZT公司Gs、 Xs，’βs- Sα(-i） s+βis·bs、 Xs，ν*s（Xs，’βs）ds公司,式中，’β：=PNi=1βi。由于我们只对特定的纳什均衡感兴趣，我们可以假设α=G（s，Xs，’βs）n，因此（4.15）的第二行是满足的，并且上述控制问题进一步简化为：ui（0，x；yi）=-yi+supβi∈HBM OEν“”li（XT）-ZTG公司s、 Xs，’βsN+βis·bs、 Xs，ν*s（Xs，’βs）!ds#。正如我们所看到的，这里的随机控制问题不再像一般情况那样具有状态变量。因此，我们选择Pni=1yi=rso，相应的HJB方程为半线性，如下所示：tui+Tr（∑t∑）t型xui）+supβn(徐毅- β） ·bt、 x，ν*t（x，’βt）-G（t，x，’βt）No=0，ui（t，x）=li（x）。（4.17）此外，达到（4.17）中最高值的一阶条件为：βi，t=xui（t，x）-NΦ（t，x，’β）（4.18），其中Φ（t，x，’β）：=M-1ββG（t，x，’βt）+N bt、 x，ν（t，x，’βt）, （4.19）式中，M′β：=νb（t，x，ν（t，x，’βt））zν（t，x，’βt）。

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2022-5-31 22:20:06

为了使（4.18）对即将到来的推理有意义，我们引入以下假设。假设4.8。假设oν*: （t，x，z）7→ ν*（t，x，z）在z上连续可微；oM'β对所有（t，x，'β）都是可逆的函数Id+Φ（t，x，·）是可逆的，其逆函数用φ（t，x，·）表示。此外，定义（t，x，z）：=z- ^1（t、x、z）· bt、 x，ν*（t，x，Д（t，x，z））- Gt、 x，Д（t，x，z）, （4.20）并假设o对于某些γ，α∈ （0，1），长：x 7→PNi=1li（x）∈ Hγ（RN）（霍尔德空间），∑t∑t型∈ H（[0，T]）和H∈ [0，T]×RN×RN；o的y有界子集的Hα（K）oH（t，x，z）=O（| z |），对于所有（t，x）∈ [0，T]×RN。备注4.9。假设4.8的第一部分在我们的方法中是结构化的，而第二部分是我们将在下面的论证中遇到的PDE可解性的充分条件。读者可能会在不同的环境中找到替代条件。定理4.10。假设2.1、2.3和4.8成立。然后，由方程（4.17）组成的方程组，对于所有i=1，···，N，允许经典解。备注4.11。证明上述结果的主要思想是研究“聚合”方程。让我们做以下直观的分析。将所有1的方程式（4.18）相加≤ 我≤ N，我们形式上有‘β=十五- Φ（·，’β），其中V=PNi=1ui，因此‘β=Д（·），十五）。使用最佳βi，在（4.18）中，我们可以为所有1重写（4.17）≤ 我≤ N组件tui+Tr（∑t∑）t型xui）+(徐毅- βi，t） ·bt、 x，ν*t（x，’βt）-G（t，x，’βt）N=0，ui（t，x）=li（x）。（4.21）将N个方程相加，我们得到所谓的“聚合”方程：tV+Tr∑t∑t型十五+ H（·，xV）=0，（t，x）∈ [0，T）×RN，V（T，x）=L（x），（4.22），其中H在（4.20）中定义。在假设4.8下，上述方程允许解V∈ H类(-1.-γ） 2+α（参见定理12.16，第315页，[Lie96]）。

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2022-5-31 22:20:10

请注意，（4.22）不一定有唯一的解决方案，但它不会影响以下论点。定理4.10的证明在这个证明中，我们将构造方程组的一个解，使用（4.22）的一个解V。注意，我们对V有以下表示：V（t，x）=Efl（XT）+ZTtHs、 Xs，十五（s、Xs）ds公司Xt=xi。（4.23）现在确定所有1≤ 我≤ 编号：tui+Tr（∑t∑）t型xui）+NH（·，xV）=0，~ui（T，x）=li（x）。上面的方程是一个热方程，因此它允许一个经典的解，并且▄ui（t，x）=EPhli（XT）+ZTtNH（s，Xs，xV（s，Xs））dsXt=xi。与（4.23）一起，很明显V=PNi=1u和th usxV=NXi=1x▄ui。（4.24）现在定义“β：=Д（·），xV），βi：=x▄ui-NΦ（·，’β）。（4.25）从（4.24）中可以看出，’β=PNi=1βi。还请注意NH（·，xV）=NΦ（·，Д（·，xV））·b·, ν*(·, φ(·, xV））-G（t，x，Д（·，xV））N=x▄ui- βi· b·, ν*(·,β)-G（t，x，’β）N。因此ui是（4.21）的解。与（4.25）一起，我们得出结论，uis是（4.17）的一个经典解。5对具有两个相关原理的模型的应用，带appertence参数5.1 bi Principals modelLetν：=（ν，ν）设W为二维布朗运动且∑的一个可容许效应∈ R2,2是可逆矩阵。我们假设t h在o没有折扣系数，即。

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2022-5-31 22:20:14

k=0这两个主体都是风险中性的，即UP=UP=I，身份功能漂移b是力的线性函数，使得b（t，x，ν）：=Kν，其中K是系数K的对角矩阵，kon是代表项目1和2的代理效率的对角线图c是由c（t，x，ν）=kνtk定义的经典二次成本函数li（x）：=（1+γi）xi- γixj，1≤ i 6=j≤ 2带appertence参数r sγ，γ∈ [0，1]，表示Γ：=（1+γ- γ, 1 + γ- γ）.显然，模式l是我们在第4.3节中讨论的特殊情况的一个示例。从（3.7）可以看出，代理人的最优努力与合同的波动系数之间存在以下关系：ν= K（β+β）。此外，从（4.11）和（4.12）可以看出，值函数为：UPi（x）=s upβiEνh类l（XT）-ZT公司RAk∑（βs+βs）k-kK（βs+βs）k-Sα(-i） s+K（βs+βs）·βisdsi。我们有定理4.10中的下列定理。推论5.1。存在（α1，, β1,) 和（α2，, β2,) 这样，以下PDE系统允许C1,2（[0，T]×R）中的溶液（v，v）-电视（t，x）-xv·K（β1，t+β2，t） +TrΣΣ十五-RAk∑(β1,t+β2，t） k+kK（β1，t+β2，t） k+α2，t型- K（β1，t+β2，t） ·β1，t） =0v（t，x）=（1+γ）x- γx，（5.26）和-电视（t，x）-xv·K（β1，t+β2，t） +TrΣΣ十五-RAk∑(β1,t+β2，t） k+kK（β1，t+β2，t） k+α1，t型- K（β1，t+β2，t） ·β2，t） =0v（t，x）=（1+γ）x- γx，（5.27）和一阶条件（4.15）成立，即，β1,= 十五- K-2RA∑∑(β1,+ β2,)β2,= 十五- K-2RA∑∑(β1,+ β2,)α1,+ α2，=RAk∑(β1,t+β2，t） k级-Kkβ1，t+β2，tk。（5.28）在本节的其余部分，我们将计算方程组（5.26）、（5.27）的显式解。

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2022-5-31 22:20:18

我们从（5.28）中了解到，在这种情况下，函数Φas（4.19）是：Φ（β）=2K-2RA∑∑β。此外，我们有ν（β）=（Id+Φ）-1(β) =I+2K-2RA∑∑-1β=：Mβ因此，本例中的“聚合方程式”为：-电视（t，x）-Tr公司ΣΣ十五- 十五公里xV+RAk∑M十五k+kKMxV k=0V（T，x）=x·Γ，（5.29）很容易观察到，在PDE（5.29）具有唯一的smo oth溶液v（T，x）=x·Γ+λ（T- t），（5.30），λ=Γ·KMΓ-RAk∑MΓk-特别是kKMΓk，xV=Γ，th usβ1，+ β2,= φ(xV）=MΓ和ν*= KMΓ。（5.31）结合一阶条件（5.28），我们得到（β1，= 十五- K-2RA∑∑MΓ，β2，= 十五- K-2RA∑∑MΓ。（5.32）因此，假设α1，= α2，, 我们知道方程（5.26）的解满足：-电视（t，x）-Tr公司ΣΣ十五-Γ·KMΓ+RAk∑MΓk+kKMΓk=0v（T，x）=（1+γ）x- γx，很容易计算上述方程的显式解：v（t，x）：=△λ（t- t） +（1+γ，-γ） x带λ：=Γ·KMΓ-5RAk∑MΓk-kKMΓk。类似地，我们计算方程（5.27）的解asv（t，x）：=￠λ（t- t） +(-γ、 1+γ）x.5.2与具有聚合报价的模型的比较在本节中，我们将前一节中研究的竞争性公共代理示例与可以聚合委托人的模型进行比较，即可以将问题简化为第2节末尾提到的一个单一委托代理模型。在这种情况下，可以通过考虑同一类合同来解决代理问题，即存在（Y，Z）∈[R+∞) ×HBM O（R），ξ=Y+ZTZs∑dWs+ZTRAk∑Zsk+kKZsk- KZs·Zsds=Y+ZTZs∑dWs+ZTRAk∑Zsk+kKZskds，其中W是一个Pν-布朗运动。

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2022-5-31 22:20:21

负责人设法进行以下优化：U=supZE（1+γ- γ） XT+（1+γ）- γ） XT公司- ξ如前所述，我们可以计算最优控制：Z= MaΓ，带Ma：=RA∑∑+ K-1K。此外，代理的最佳努力应该是νP f=KMaΓ。通过比较νP扇ν在（5.31）中，我们立即得出以下结论。提案5.2。竞争模型中公共代理的努力与聚合模型中公共代理的努力一致，当且仅当代理是风险中性的，即RA=0。与[BW86]中离散案例模型的结果链接。回想一下，如果代理是风险中性的，那么众所周知，在单一委托代理问题中，第一个最佳情况下的努力与第二个最佳情况下的努力是一致的（例如，参见[LM09，命题4.1]）。事实上，在我们的特定模型中，作为它的一个扩展，如果要计算自己的最大努力，就必须求解uf B=supν，ξEνXT·Γ- ξ · 1- ρe-RA（ξ·1）-RTkνskds）,使用拉格朗日乘数ρ>0，确保代理收到其效用保留R<0。在这种情况下，通过使用G’teaux导数来表征最优ξ（例如参见[EP16]中使用的方法），我们可以在轻松计算之后得到以下优化器ν,F Bt：=KΓ，ξ· 1=KΓ-罗洛语(-R）。因此，我们已经证明，在竞争模型中，风险中性代理的“第二好”努力与“第一好”努力是一致的。在离散情况下，这正是[BW86]中结果的扩展。最佳薪酬比较。在普通年龄n-cy模式l中，我们已经看到给予代理人的报酬为ξ+ ξ= R+TRAk∑MΓk+kKMΓk|{z}=：δ+ZTMΓ·σdWs、在聚合模型中，我们回顾ξ:= R+TRAk∑MaΓk+kKMaΓk|{z}=：δa+ZTMaΓ·dWsLet∑：=I，那么，我们得到m=k2RA+kk2RA+k安德玛=kRA+kkRA+k在这个特殊的模型中，我们有δa≥ δ、即。

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2022-5-31 22:20:24

如果代理人受雇于总公司（父母公司），则其薪酬的非风险部分高于由两个不同公司雇用的情况。这是不明智的，因为直觉上，如果公司相互竞争，代理应该获得更高的回报。然而，有人注意到，代理的作用更大（kνP fk公司≥ kνk）在可以解释这种影响的聚合模型中。5.3食欲、效率和相关参数的影响ltρ∈ [-1，1]是相关参数，因此∑：=1 0ρp1- ρ, K：=k0千在这种情况下，我们得到一个（繁琐但简单的）计算ν1，=2RAk公司（1+γ- γ） kρ- （1+γ- γ） k级- kk（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 2RA（k+k）- kkν2，=2RAk公司（1+γ- γ） kρ- （1+γ- γ） k级- kk（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 2RA（k+k）- KK相关性和食欲参数的影响。假设k：=k=k。在这种情况下，ν1，（ρ）：=2RAk（（1+γ- γ)ρ - （1+γ- γ)) - k（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 4耙- kν2，（ρ）：=2RAk（（1+γ- γ)ρ - （1+γ- γ)) - k（1+γ）- γ） 2RA（ρ- （1）- 4耙- 请记住ν1，(ρ) - ν2,（ρ） =4RAk（（γ- γ)(ρ + 1)) - 2k（γ- γ） 2RA（ρ- （1）- 4耙- k=（γ- γ）-4RAk（ρ+1）- 2k2RA（ρ- （1）- 4耙- k、因此，一旦γ>γ，我们就得到ν1，(ρ) > ν2,（ρ）这样，代理人就可以为雄心勃勃的委托人工作。此外，我们有d（ρ）：=ν1，ν(ρ) -ν2,ν(ρ) = (γ- γ） 2RAk（1+ρ）+k2RAk（1- ρ） +k，带ν:= ν1,+ ν2,.注意函数ρ∈ [-1, 1) 7-→ d（ρ）是凸的，并且是递增的，我们得出，具有更雄心勃勃的主体的代理所付出的努力的比例与具有较小雄心勃勃的主体的代理所付出的努力的比例之间的差异随着参数ρ的增加而增加。换言之，项目关联度越高，代理人付出的努力比例就越受每个委托人志向参数差异的影响。

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2022-5-31 22:20:28

此外，凸性表明，代理人对每个委托人的工作比例的敏感性随着相关参数的增加而增加。项目之间的相关性越大，相关性的微小变化对代理所付出的努力比例的差异影响越大。我们将这些经济结果打包在以下命题命题5.3中。已经证明了以下典型事实o如果代理人受雇于总公司（母公司），则与他受雇于两个不同公司的情况相比，其薪酬的非风险部分更高。o简单地说，通过考虑相等的性能参数ki，代理可以为更雄心勃勃的委托人提供更多的服务项目关联度越高，代理人所付出的努力比例就越受各负责人志向参数差异的影响。此外，代理为每个主体提供的功比例的敏感性随着相关参数的增加而增加。风险中性代理人。假设∑=Id，RA=0。在这种情况下，M=Idandν= KΓ。换句话说，我们有ν1，= k（1+γ）- γ)ν2,= k（1+γ）- γ).当且仅当ifk（1+γ）时，代理为委托人工作更多- γ） >k（1+γ- γ）。（5.33）现在设x：=γ- γ.o 首先，我们注意到一些直观的结果。如果两位负责人具有相同的竞争参数（即γ=γ），则代理人更愿意与他更为有效的负责人合作。同样，如果这两个委托人都有效率参数（即k=k），那么代理人会为更雄心勃勃的委托人工作现在假设γ=0，γ=1。那么，条件（5.33）永远不满足，代理人不为委托人1工作，无论其表现如何。

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