风险分担委托代理问题分析

2022-6-10 18:35:15

风险分担委托代理问题的反向H"older不等式分析Jessica Martin*1和Anthony Réveillac+1INSA de Toulouse，IMT UMR CNRS 5219，Universitéde Toulouse，135 Avenue deRangueil 31077 Toulouse Cedex 4 Francede2019年12月18日。本文中，我们提供了一个替代框架，以解决CARA utilities下的第一个最佳PrincipalAgent问题。该框架在非常一般的契约空间假设下，证明了风险分担问题解的存在性和唯一性。我们的分析依赖于主体的预期效用在代理的保留效用方面的最优分解，并且在离散时间和连续时间设置下都有效。作为一种副产品，该方法提供了一种新的方法来描述CARAsetting中的最优契约，这是广泛使用的拉格朗日方法的一种替代方法，并提供了一些最优分析。1简介在最优合同或激励政策设计领域的许多经济情况可以根据所谓的委托-代理公式收集，其中要求代理人代表委托人执行行动以换取工资。自1987年Holmstr"om和Milgrom发表的开创性论文【8】揭示了一种解决特定类型委托代理问题的新方法以来，人们对这种公式产生了新的兴趣*杰西卡。martin@insa-图卢兹。fr+安东尼。reveillac@insa-图卢兹。关键词：委托代理问题；一流的；风险分担；博尔赫法则；反向H"older不等式；最优承包理论；存在独特性。连续时间出现问题。从那时起，这一方法得到了扩展。例如，一些著名的贡献包括[18]和[19]中Schattler和Sung的作品，[20]中Sung的作品，以及最近Sannikov的贡献。

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nandehutu2022

2022-6-10 18:35:18

正如我们刚才提到的，这些工作的重点是一种特殊类型的委托-代理问题，即道德风险案例，该问题的利息金额与其现实情况相当。事实上，它涉及到在委托人无法控制和监控代理人行为的情况下的最优契约。这与实际应用程序相当匹配。将投资组合管理委托给银行家的投资者不能指望控制银行家的行为。一群股东无法监督公司首席执行官的每一项行为。因此，可以说，道德风险问题在部分信息下建立了最优收缩模型。为了衡量这种信息不对称的影响，将最优契约与最优风险分担规则进行比较具有启发性。这条规则是在完全信息的情况下产生的，当委托人指示代理人的行动，并保证对代理人的保留效用。关于这个问题的具体文献称为第一最佳委托代理问题，包括重要的著作，如[5]、[6]和[15]。然而，它比关于道德风险问题的文献更为稀缺。这背后至少有两个原因。第一个重要原因是，第一个最重要的问题也是所谓的风险分担问题。风险分担问题记录在经济和保险的多个领域（但不是在一个委托人和一个代理人问题的另一个背景下），更一般的文献使用例如风险度量方法。我们请读者阅读[7]第1节，了解有关风险分担问题的现有文献。

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2022-6-10 18:35:21

文献稀少的另一个原因是，与道德风险等委托代理问题的其他变体相比，第一最佳委托代理问题不太现实，因为严格来说，它不适用于激励政策设计框架。这种现实主义的缺失意味着，与道德风险问题或委托代理问题的其他变体相比，该问题更容易扩展。在分析任何形式的委托代理问题时，都会出现两个主要问题。集合问题的解决方案真的存在吗？如果是这样，我们能为它获得某种形式的表征吗？存在性问题是根本性的，因为如果没有任何这样的保证，试图描述一个解决方案是毫无意义的。因此，在过去几十年中，获得存在结果引起了人们对不同类型的委托代理问题的极大兴趣。1987年，佩奇考虑了道德风险问题，并能够证明其存在。为此，他使用了一组假设，包括代理行为的紧集、有界工资和货币收益的紧集。同年，H~A"ulmstrom和Milgrom在他们的开创性论文[8]中证明了单期道德风险问题的存在性，该问题具有离散的（因而有界的）财富过程、一组紧凑的可行行动和CARA效用。然后，他们建立了一个接近离散模型的连续时间模型。不久之后，Sch~Adttler和Sung扩展了[8]的连续时间模型，并在[18]中建立了一组在连续时间环境中存在解的必要和有效条件。这样的一个条件是，代理人的行为属于一个紧集，但他们也假设工资在下面有界，然后证明他们的假设可以稍微提高，以便包括一些更一般的工资，例如线性工资。

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2022-6-10 18:35:24

最近的一项工作是Jewitt、Kadan和Swinkels在[10]中的工作，其中一个关键假设是财富过程是有界的。因此，许多著作考虑了相当严格的假设来获得存在。然而，一些论文旨在提供更一般的存在条件。其中包括Kadan、Reny和Swinkels在[11]中仅使用有界工资假设的道德风险和逆向选择设置的工作。Carlier在[3]中使用变分法和h-凸性解决了逆向选择情况下的不连续时间问题。Carlier和Zhang在[4]中进一步扩展了这项工作，使用了一个重要的假设，即获得所需的紧性。由于这一假设，作者在其示例中主要考虑了Lipschitz效用。通过文献分析，我们得出了几个重要结论。第一个结论是，第一个BEST问题是委托代理分析的基准问题，但关于它的具体文献很少。进一步研究这一问题及其可能的扩展将有助于更好地理解整个委托代理问题。另一个结论是，委托代理问题的一个关键设置涉及到CARA效用和adiscrete或gaussian财富过程。在后一种情况下，该模型成为所谓的calledLEN模型。例如，Muller在[15]中讨论了该模型，他描述了在连续时间最佳设置下问题的解决方案。最后，在进行任何形式的表征之前，建立解的存在性对于委托代理问题来说都是至关重要的。实际上，由于问题的随机性，在大多数情况下，潜在的契约空间是非紧的。

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2022-6-10 18:35:28

然后需要对模型进行额外假设，以获得紧性，尤其是在离散时间设置中，无法使用最优随机控制领域的结果，以便能够应用优化领域的标准存在定理。因此，文献中很少包含一般情况下委托代理问题的存在性结果。本文旨在揭示这三个结论的交叉点。事实上，我们考虑的是拥有财富不确定的企业（或投资组合）的委托人，以及以工资换取参与企业的代理人（我们还请读者参考[5]和[6]）。各自的公用设施UP和UAA定义为：UP（x）=- 经验值(-γPx）和UA（x）=- 经验值(-γAx），其中γ和γ是两个固定的风险规避系数。在单期设置中，为了减少其面临的不确定性，委托人在t=0时雇佣代理人，或留下合同，要求代理人（如果接受）提供服务≥ 在时间t=0时为0，以换取在时间t=1时支付工资W。然后，代理人的财富在时间t=1时变为x，x=x+a+B，其中x是时间t=0时的初始财富，B是一个平方可积随机变量，模拟委托人的随机风险敞口。注意，在这个简单的模型中，我们假设委托人完全遵守结果Xa（时间t=1）和代理人的行动A，这意味着委托人实际上向代理人指示了这一行动。为了模拟代理的效率成本，我们引入了定义在R+上的函数κ，并选择严格凸、连续且不递减的函数。

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2022-6-10 18:35:31

此类函数的一个简单示例是二次成本函数，对于固定常数K>0，其定义为R+中的任意x，即κ（x）=K | x |。重要的一点是，该合同（从现在起将由thepair（工资，行动）=（W，a）建模）是一个“要么接受要么放弃”的合同，如果满足了给定的参与约束（PC）条件（或保留效用约束）：E[UA（W- κ（a））]≥ UA（y），（1.1），其中y≥ 0表示代理接受合同的要求级别。在这种情况下，我们分析第一个最好的问题，它简单地写为：sup（W，a）subject to（1.1）E[UP（Xa- W）]，（1.2），也可以在连续时间设置中写入。提供此类问题解决方案的一种经典方法是使用变分方法，其中我们确定基础契约空间的拓扑，确保委托人预期效用的上半连续性、凹性和矫顽力，同时使契约空间凸和闭。这里的症结通常是矫顽力，尤其是矫顽力inW。在某些情况下，当B有界时，这可以确保。然而，很难做出更合理、更普遍的假设。在本文中，我们在几乎没有其他假设的情况下，提供了问题（1.2）解的存在唯一性的另一种证明。为此，我们利用效用指数函数的特性，首先分解委托人的预期效用。这种情况的一个典型例子是，代理人本身就是委托人，这意味着作为企业的管理者，委托人决定自己的工作水平和工资。

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2022-6-10 18:35:34

请注意，当委托人决定代理人的行动时，该行动必须对公司产生积极影响，因为<0意味着代理人会破坏公司，这当然没有任何意义。另一个例子是垄断型情况。就代理人而言。利用这种分解和所谓的反向H~A"ulder不等式，我们可以通过仅依赖于模型参数的s ome constantdepend来上界委托人的预期效用。然后，我们根据反向H~A"ulder等式条件导出一个最优分解，该条件为我们提供了一个唯一的可容许契约，从而达到上界。作为一种副产品，这使我们能够对Ris k共享的Borch规则有一个新的认识。因此，我们在CARA效用下得到了风险分担问题的存在唯一性证明，并给出了最优解的特征。我们认为，这种方法的优势在于它允许我们考虑的设定的普遍性。事实上，我们能够处理离散时间和连续时间情况，属于R+或甚至属于R+的任何紧凑子集的动作，一个一般的影响成本函数κ，更重要的是，具有指数矩的随机变量/随机过程的任何形式（最后一个假设是纯技术性的，因为我们正在优化指数预期效用）。此外，证明不依赖于对最优契约形式的任何先验直觉。因此，我们在文献中普遍考虑的更一般的情况下，提供了CARA效用下第一个最佳委托代理问题的存在性和唯一性结果。作为这种方法的副产品，我们还通过对委托人预期效用的分解，重新审视了著名的Borch风险分担规则。

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2022-6-10 18:35:37

最后，我们进一步分析了不同参数对委托人带回家效用的影响。事实上，我们分析了实施次优行动的效果，并研究了委托人必须在两个不同代理人之间进行选择的问题。我们的工作如下。首先，在第2节中，我们处理引言中描述的单周期问题。然后在第3节中，我们在单周期设置下进行了一些合同比较。最后，在第4节中，我们讨论了一些扩展，包括连续时间问题，然后收集了第5节中我们结果的更长证明，并在第6.2节中总结了单期风险分担问题。下面，我们讨论了导言中提出的问题（1.2）。要做到这一点，我们需要探索一个称为反向霍尔德不等式的关键结果。顾名思义，它与更著名的霍尔德不平等密切相关。我们在下面陈述结果。命题2.1（反向霍尔德不等式）。让p∈ (1, +∞]. 设F和G为两个随机变量，使得G 6=0，P-a.s。。然后：（i）反向H"older不等式成立，即E[| F×G |]≥ 呃| F | pip×呃| G|-1便士-1i-p+1。（ii）此外，不等式是一个等式，即E[| F×G |]=Eh | F | pip×Eh | G|-1便士-1i-p+1如果且仅当存在某个常数（即非随机）α≥ 0，使得| F |=α| G|-聚丙烯-1、为了继续我们对问题（1.2）的分析，我们为风险分担问题确定了一组可接受的合同Cadmas如下：Cadm=（W，a）∈ L(Ohm) ×R+满意（1.1）,其中L(Ohm) 是平方可积随机变量的s集。此外，对于R+中的给定a，确定相关可接受工资集：W（a）=nW∈ L(Ohm), 这样（W，a）在Cadmo。考虑到这些符号，我们将问题（1.2）重写为：sup（W，a）∈CadmE[向上（Xa- W）]，（2.1）或：supW∈W（a）supa∈R+E[向上（Xa- W）]。

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2022-6-10 18:35:40

（2.2）我们的目的是证明该问题存在解决方案。为此，我们利用命题2.1的不等式和主体效用的乘法性质来获得一个可达到的上界。作为第一步，我们应用反向H"older不等式和委托人预期效用的分解。定理2.1。让a进入R+。我们有：（i）对于W（a）中的任何W，E[UP（Xa- W）]≤ Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA.（2.3）（ii）对于W in W（A）。下列条件是等效的：（ii’）E[向上（Xa- W）]=Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA（2.4）（ii’）（A，W）满足Borch规则，即R中存在α*+这样：U′P（Xa- W）U′A（W- κ（a））=α，P- a、 s。。（2.5）（ii“”）工资W的形式为：W=γPγP+γAXa+β，其中β∈ R、使（W，a）∈ Cadm。证据见第5.1节。备注2.1。（i） Karl Borch在[1]和[2]中推导的Borch风险分担规则出现在（2.5）中，作为委托人预期效用与其分解之间相等的条件。这为CARA实用程序案例中的规则提供了新的思路。事实上，它只允许签订能够隔离代理人预期效用对委托人预期效用影响的合同。我们将进一步看到，Borch规则是风险分担问题的必要最优性条件，就像使用拉格朗日方法时一样。（ii）在分析第一个最佳问题时，委托人和代理人的效用应该具有相反的效果，这似乎是很直观的：委托人应该希望最大化自己的效用，同时最小化代理人的效用。

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2022-6-10 18:35:43

这包括在（2.3）中：由于负功率-γPγA，上界随着代理效用的降低而增加。现在我们有了委托人的预期效用的分解和它精确保持的条件（Borch规则），我们转而进一步利用这种分解和代理的预期效用的外观，以获得一个没有W和a的界。我们在以下两个命题中分两个阶段进行。提案2.2。让a进入R+。对于W（a）中的任何W，Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA≤ 向上(-y） ×inf▄a∈R+E向上Xa- κ（￠a）γAγA+γPγA+γPγAProof。将参与约束（1.1）应用于右侧术语，并在左侧术语的a中进行优化。因此，仍需在a中执行优化。为此，我们引入以下两种符号：eκ（p）：=supx∈R+（px- κ（x）），对于任何p≥ 0和κ*（p）：=argsupx∈R+（px- κ（x）），对于任何p≥ 0.~κ是κ的勒让德变换，而κ*是它的相关论点。由于κ的凸性，这些都得到了很好的定义。我们在下面的命题中使用这两个符号来执行a中的优化，并获得我们的上界。提案2.3。对于R+中的任何a，它认为：Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa≥ E向上Xa公司*- κ（a*)γAγA+γPγA+γPγA=经验值(-γP（x+～κ（1）））E经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA，其中A*:= κ*(1). 因此，我们对Cadm中的任何（W，a）都有：Eh | UP（Xa）- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA≤ 向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA.证明。见第5.2节。定理2.1、命题2.2和命题2.3的结合允许我们在a中利用委托人的预期效用分解、参与约束和非优化，以上界委托人的价值函数。我们得到的上边界没有W和a，是证明存在性的关键。

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2022-6-10 18:35:46

事实上，我们现在能够证明，对于一个事实上唯一的可接受合同，这个上界是达到的。这给出了我们的主要结果，它同时是第一个最佳问题的解的存在性、唯一性和特征化结果，也是以下关键定理的目标。定理2.2（存在性、唯一性和特征化）。（i）考虑Cadm中任何契约中的（W，a），那么它认为：E[UP（Xa- W）]≤ 向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA.（ii）现在让（W*, 一*) 如下所示：a*= κ*（1） andW公司*=γPγP+γAXa*+ β*,β*:= y+κ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+κ*(1)) -γAlnE经验值-γPγAγP+γAB.然后（W*, 一*) 是唯一验证（2.5）并饱和participationconstraint的联系人。（iii）此外：EhUPXa公司*- W*i=向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA。因此（W*, 一*) 唯一合同是否达到上限。因此，对于Cadm中的任何（W，a）：E[向上（Xa- W）]≤ EhUP公司Xa公司*- W*i、和（W*, 一*) 是第一个最佳Principal代理问题的最优契约。证据见第5.3节。备注2.2。在本节中，我们假设我们希望在整个R+中找到一个最佳行动。事实上，我们也可以考虑对R+的紧致子集进行优化。对于这样的子集，最优操作是：*= 阿格苏帕∈南非- κ（a）我们可以将我们的关键定理应用于更具体的高斯设置，如下所示。例2.1。考虑高斯设置，其中B~ N（0，1）和κ（x）：=R+中某些K的Kx。风险分担问题存在唯一的最优联系。我们设置：a*:= κ*（1） =K，W*=γPγA+γPXa*+ β*,其中最佳β*具有以下表达式：β*:=γA |γP | 2 |γA+γP |+y+κ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+κ*(1)) .合同（W*, 一*) 是此设置中的最佳风险分担合同。

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2022-6-10 18:35:49

委托人的最佳预期效用值：EhUP（Xa*- W*)i=向上（x- y）经验值γP-eκ（1）+γPγA2（γA+γP）.因此，我们的主要定理包括了文献[5]中讨论的单周期高斯集的著名结果。我们注意到，它甚至允许我们进一步超过[5]，并完全指定截距β*而不是让它依赖于拉格朗日乘数。备注2.3。定理2.2将解的存在性扩展到有界财富过程设置之外。它这样做没有对最优契约的形式做任何假设，并且使用了一个解析不等式，而不是我们缺乏矫顽力的变分法。Italso提供了一个重要的唯一性证明。因此，该结果通过在CARA公用事业案例中考虑一般设置（一般财富过程、福利函数的一般成本等），完成了对存在性和唯一性的预先判断。本节中讨论的推理可推广到连续时间设置，这将是第4节的重点。同时，我们对风险分担问题进行了一些进一步的分析，可以使用R everse-Holder不等式来收集这些问题。3通过反向霍尔德不等式对合同进行比较在本节中，我们使用命题2.1中给出的反向霍尔德不等式来比较风险分担环境中的不同合同。事实上，委托人预期效用分解的乘法性质促使我们比较不同条件下的效用比率。该分析揭示了校长可能希望做出的一些选择的影响。我们首先研究了实施另一项行动而非最佳行动的效果。在某些情况下，委托人确实希望超过或低于代理人，以下命题量化了这种选择对委托人自身效用的影响。

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2022-6-10 18:35:52

请注意，不平等的方向（3.1）一开始似乎与直觉相反，但这是由于预期效用的负信号。命题3.1（实施次优a的影响）。设a为W（a）中的任何积极行为，Wbe为W（a）中的任何契约。Let（W*, 一*) 是定理2.2中描述的最优契约。我们将代理人的行动比率R（a）定义为：R（a）：=Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγa+γPiEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPi=经验值(-γP（a- κ（a）））exp(-γP（a*- κ（a*))γAγA+γP，参与约束比C（W，A）为：C（W，A）：=E[UA（W- κ（a））]E[UA（W*- κ（a*))]=E[UA（W- κ（a））]UA（y）。那么它认为：E[UP（Xa- W）]E[向上（Xa*- W*)]≥ R（a）γa+γPγa×C（W，a）-γPγA，（3.1）和[上（Xa- W）]≤ R（a）γa+γPγa×EhUPXa公司*- W*i、（3.2）只要（W，a）6=（W），这些不等式就会变得严格*, 一*). 此外，当（W，a）限制参与约束时，C（W，a）=1，我们直接得到3.2。最后R（a）≥ 1.证明。（3.1）的证明是将反向保持器应用于E[UP（Xa）]的直接结果- W）]和E向上Xa公司*- W*. 实际上，我们得到：E[UP（Xa- W）]≤ Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA，并通过（W）的最优性*, 一*) :EhUP公司Xa公司*- W*i=E向上Xa公司*- κ（a*)γAγA+γPγA+γPγA×E[UA（W*- κ（a*))]-γPγA。取二者之比，注意E[UP（Xa*-W*)] ≤ 0改变了质量指数的符号，我们得到（3.1）。要获得（3.2），请注意通过参与约束：E[UA（W- κ（a））]≥ E[UA（W*- κ（a*))] ,因此（当ua为负值时）C（W，a）≤ 1，表示C（W，a）-γPγA≥ 1、最后，我们得到R（a）≥ 1直接通过提案2.3。从（3.1）中可以明显看出，委托人的公用事业比率分解为两个比率的乘积。其中之一（C（W，a））将代理人参与约束的影响转移到委托人的效用上：事实上，只要（W，a）约束（并使代理人效用最小化），C（W，a）就会最大化。

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2022-6-10 18:35:56

第二个比率R（a）进一步限制了代理人价值函数的可能值，这与选择的工资无关。事实上，我们在（3.2）中看到，行动a的选择可能会限制委托人可能实现的效用，无论相关工资是否约束参与约束。我们在下面的例子中说明了这个结果。示例3.1。考虑一位委托人，其公司的活动暂时减少，因此必须由一半的代理人进行减持。那么，委托人产生的预期效用损失，无论他支付的工资是多少，都可以用以下公式来量化：R（a）γa+γPγa=exp(-γP（a*- κ（a*)))经验值(-γP（a*- κ（a*))当然，我们看到行动选择的影响反过来取决于行动功能κ的成本。例如，对于一个凸但接近线性的函数κ，选择一个非最优动作对主体的影响不会像κ是凸的和二次的那样大。当然，我们可以进一步分析κ的影响，并希望量化两种不同成本函数的影响。我们在下面这样做，分析与上面类似。命题3.2（行动成本函数κ的影响）。Let（W*, 一*) 是在定理2.2中获得的风险分担问题和给定成本函数κ的最优值。设（W，a）是CADMF中某个成本函数^κ的某个契约，并约束ParticipationConstraint。然后：E[向上（Xa- W）]E[向上（Xa*- W*)]≥Eh |向上（Xa- ^κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPiγA+γPγA（3.3），特别是如果W的形式为γPγA+γPXa+β，则上述不等式保持相等。因此，如果（W，a）是某些特定^κ的最佳值，则可以量化^κ对获得的最佳值相对于κ的最佳值的影响。事实上，它认为：E[UP（Xa- W）]=Eh |向上（Xa- ^κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPiγA+γPγA×EhUPXa公司*- W*i、（3.4）证明。

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2022-6-10 18:35:59

使用与命题3.1证明中相似的推理，我们得到：E[UP（Xa- W）]E[向上（Xa*- W*)]≥Eh |向上（Xa- ^κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPiγA+γPγA×E[UA（W- κ（a））]UA（y）-γPγA，（3.5），特别是如果（W，A）结合了参与约束，那么E[UA（W- κ（a））]UA（y）-γPγA=1，利用反向Holder等式条件，我们得到了形式为γPγA+γPXa+β的工资等式，使参与约束饱和。这一主张强调了行动成本函数的变化对风险分担最优值的影响，并将其包含在行动成本比率中。这一命题的推论将这一结果推广到这样一种情况，即委托人可以在两个代理之间进行选择，这两个代理具有各自的成本函数κ和^κ，以及各自的风险规避系数γA和γA，并希望选择一个，并向其提供相关的最优风险分担合同。推论3.1（两种试剂的比较）。考虑一个委托人，他在以（γa，κ，y）和（γa，κ，y）为特征的两个代理之间有一个选择。假设γAy=γA^y.Let（W，A）和（W，A）是相关的最优契约（回顾A=κ*（1）和^a=^κ*(1)). 然后：E[向上（Xa- W）]=Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE|向上（X^a- ^κ（^a））|γa^γa+γPγA+γPγA×EhUPX^a-^Wi、因此，ifEh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE|向上（X^a- ^κ（^a））|γa^γa+γP^γA+γP^γA<1，委托人应选择具有（γA，κ）特征的代理人，反之亦然。因此，代理人的选择取决于代理人的风险规避与其行动成本函数之间的平衡。注意，这个结果可以推广到γAy=γA^y的情况之外，只需将yand^的影响纳入比较标准即可。示例3.2。考虑人B~ N（0，1），κ（x）：=x和^κ（x）：=x。

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2022-6-10 18:36:02

然后a=1和^a=。委托人通过第一个代理人获得的预期效用为：E[|以上（Xa- κ（a））|γaγa+γP]γa+γPγa=exp-γP（x+a- κ（a））+γaγPγa+γP= 经验值-γPx个+-γAγPγA+γP.同样，第二个代理的预期效用为：E[| UP（X^a- κ（^a））|γa^γa+γP]γa+γP^γa=exp-γPx个+-γAγPγA+γP.因此，为了使其效用最大化，委托人应雇佣第一代理人，如果-γAγPγA+γP>-^γAγP^γA+γP，如果没有，则应使用第二种药物。请注意，对于更一般的成本函数和高斯B，Principal应使用第一代理ifa- κ（a）-γAγPγA+γP>^A- ^κ（^a）-γAγPγA+γP。备注3.1。与上述命题相同，我们也可以利用委托人效用的反向H~A"ulder分解的结果，在CARA效用下，将最优风险分担契约与最优道德风险契约进行比较。4反向H~A"ulder框架的扩展在下一节中，我们将说明我们的框架和结果的多功能性。实际上，到目前为止，我们已经使用了具有一般生产流程和一般行动成本函数的单周期模型。我们得到了风险分担解的存在性、唯一性和特征，并对模型进行了分析。在下面，我们将讨论此设置的一些扩展。第一个重要设置是连续时间设置。4.1连续时间条件下风险分担最优解的存在性、唯一性和特征我们指定了利息模型，该模型只是之前研究的模型的连续时间版本。更确切地说，我们考虑一个委托人和一个代理人。

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2022-6-10 18:36:05

原则向代理人提供到期时的单一现金流（工资）（表示为T），并要求取消行动a=（at）T∈[0，T]（完全由委托人监控）根据企业财富的随机波动持续及时。合同将再次成为一对（工资、行动）=（W、A）。我们从定义本金财富随机波动所需的概率结构开始。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，其中随机过程B：=（Bt）t∈[0，T]定义为其自然和完整过滤F：=（Ft）T∈[0，T]。这个随机过程的唯一要求是∈[0，T]E[exp（qBt）]<+∞, q∈ R*.这允许使用CARA实用程序，例如布朗运动。我们用E[·]表示概率测度P的期望值。根据公司的表现，代理人将被要求持续及时地执行动作a。因此，我们引入了F-可预测随机过程集P a=（at）t∈[0，T]，动作集为：H：=a=（at）t∈[0，T]∈ P、 s.t.E经验值qZT | at | dt< +∞, q>0.由于我们将为代理人和委托人提供指数偏好，我们需要对行为和工资进行所谓的“指数矩”。如前所述，这是一个技术假设。给定H中的a，在0到到期日t之间的任何中间时间t，本金的财富由以下公式得出：Xat=x+Ztasds+Bt，t∈ [0，T]，P- a、 s.，（4.1），其中x∈ R是一个固定的实数。对于H中的任何动作a，我们设置FXa：=（FXat）t∈[0，T]Xa产生的自然过滤。特别是，我们对fxat可测随机变量集感兴趣，它为委托人支付给代理人的工资W提供了自然集。

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能者818

2022-6-10 18:36:08

更准确地说，我们设定：=FXaT公司- 可测随机变量W，E[经验（q W）]<+∞, q∈ R*.事实上，我们要求任何（正、负）动作顺序的所谓有限指数矩（分别针对工资）纯粹是技术性的。正如我们将看到的，最优合同将满足这些技术假设。代理人的福利成本再次由定义在R+上的凸、连续和非减损函数κ建模。如单周期问题导言所述，当且仅当满足以下参与约束（PC）时，代理人才会接受C中的合同（W，a）：EUA公司W-ZTκ（at）dt≥ UA（y），（4.2）R*:= R \\{0}其中：yis是给定的实数，κ：R+→ R为上述代理和ISA的服务成本建模，UA（x）：=- 经验值(-γA）（x）γA>0时，代理的风险规避参数。从现在起，我们假设参数（y，γA）是固定的。有了这些符号，我们可以将委托人的问题描述为一个类首优问题，如下所示：sup（W，a）∈CadmE[向上（XaT- W）]，（4.3），其中UP（x）：=- 经验值(-γPx），γP>0固定，其中Cadm：{（W，a）∈ C×H，（4.2）生效}是满足参与约束（4.2）的可接受合同集。我们注意到，这个连续时间问题可以使用最优随机控制领域的工具来处理。事实上，可以推导方程（4.2），以获得满足给定行动过程（at）t的参与约束的所有工资的参数化∈[0，T]。这允许我们将问题（4.3）重写为标准的最优控制问题，证明存在的一种方法是使用验证结果，只要所需的假设得到验证。下面我们提供了定理2.2的连续时间对应项。

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2022-6-10 18:36:11

它在相当普遍的假设下提供了存在性、唯一性和特征（尤其是对于一般过程（Bt）t∈[0，T]）。我们相信，这个定理揭示了潜在问题的结构，从而补充了可能的存在性和唯一性结果，揭示了最优控制。定理4.1（存在性、唯一性和特征化）。考虑合同（W*, 一*)按设置定义：a*t=κ*（1）对于[0，t]和w中的任何t*=γPγP+γAXa*T+β*,其中常数β*价值：β*:= y+Tκ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+Tκ*(1)) -γAlnE经验值-γPγAγP+γAZTdBt.然后（W*, 一*) 满足和饱和参与约束。此外，对于CadmE中的任何（W，a）[向上（XaT- W）]≤ EhUP公司Xa公司*T- W*i、只有（W）相等*, 一*). （W）*, 一*) 因此是连续时间风险分担问题中唯一的最优契约。最后，委托人的最佳效用是：EhUPXa公司*T- W*i=向上（x- y- γPT eκ（1））e经验值-γPγAγP+γAZTdBtγA+γPγA.证明。该证明与定理2.2的证明非常相似，计算是在连续时间内完成的。值得注意的是，作为该定理的结果，第3节中进行的分析很好地概括了该设置，并再次允许比较合同。在这种连续时间设置中，甚至可以轻松分析选择非恒定动作a的影响。备注4.1。在广泛研究的情况下，B实际上是一个标准布朗运动，定理4.1适用并给出了存在性和唯一性。最佳β*表达式为：β*:=TγA |γP | 2 |γA+γP |+y+Tκ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+Tκ*（1）），委托人的预期效用为：EhUPXa公司*T- W*i=向上（x- y）经验值γPT-eκ（1）+γPγA2（γA+γP）.因此，我们通过提供存在性和唯一性证明，以及提供另一种表征方法，补充了Muller在[15]中的表征工作。备注4.2。

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能者818

2022-6-10 18:36:15

在aPrincipal雇佣多个不同代理人的情况下，也分析了委托代理问题。请注意，对于CARA代理，此框架也可以使用。现在我们来看看风险中性本金的情况，可以将其分析为CAR a本金情况的一个极限，我们在下面这样做。4.2风险中性原则的情况本文所提供的分析涉及的是一个委托人和一个代理人，他们都是风险厌恶者，通过CARA效用函数建模风险厌恶。事实上，本文的关键是CARA实用程序的指数特性。然而，文献中的一个重要案例是风险中性委托人希望雇佣风险厌恶型代理人。更准确地说，如果我们将自己设置为离散时间集，风险分担问题（2.1）将变成：sup（W，a）∈CadmE[Xa- W），（4.4）其中，我们使用了与之前相同的符号（尤其是对效用函数UA（x）=- 经验值(-γAx））。由于我们的ReverseH~A"ulder方法依赖于功能Up和UA的结构，因此我们无法在风险中性的情况下直接执行它。然而，众所周知，风险中性框架可以被视为一种极限情况，通过将映射重新缩放到∧UP（x）：=-经验值(-γPx）-1γ通过将γPgo设为0来扩展。因此，我们可以将我们的方法用于▄UPand uat，以获得风险中性情况下最优解的存在性及其特征。考虑满足（PC）的合同（W，a）。然后通过引理5.1（在第5.4节中），E[Xa- W]=ElimγP→0以上（Xa- W）= limγP→0Eh向上（Xa- W）i=limγP→0γ-1P（E[向上（Xa- W）]+1）≤ limγP→0γ-1便士E[向上（Xa*- W*)] + 1.,根据定理2.2的（ii）。

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2022-6-10 18:36:18

利用上界值的显式计算，我们得到了- W]=ElimγP→0以上（Xa- W）≤ limγP→0γ-1便士向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA+1= x个- y+eκ（1）。我们给出了上界x- 风险中性原则的价值问题。显式计算表明，该上界可通过选择合同（W*RN，a*RN）带*RN=κ*（1）和W*RN=y+κ（κ*（1），形式上是定理2.2中的最优契约，γP=0。最优参数具有经济意义：委托人对风险保持中立，因此愿意向其代理人支付固定工资，而不管输出过程的绩效如何。我们注意到，在这种情况下，问题的风险共享结构消失了，Principalcarries承担了所有风险。因此，我们有一个风险中性情况的存在性证明，以及最优的可能特征。当然，我们可以更直接地计算风险中性最优值，而无需利用本文所用方法提供的风险规避最优值。然而，风险中性案例可能被视为风险规避案例的一部分，这一事实允许将第3节的结果扩展到中性设置。我们在下面给出了这样的扩展。提案4.1。Let（W*, 一*) 是^UP（x）=- 经验值(-^γPx）给出定理2.2，并设（W，a）在Cadm中。然后：E[Xa- W]Eh^向上（Xa*- W*)我≥ limγP→0γ-1便士Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE^以上（Xa*- κ（a*))γAγA+γPγA+γPγA×上（y）上（y）.证据见第5.5节。该命题是命题3.1的渐近形式，用于比较风险中性和风险规避原则：我们得到了依赖于行动比率和参与约束比率的分解。

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2022-6-10 18:36:21

然而，请注意，风险中性效用未被签署，因此，这种不平等更难利用。最后，请注意，此分析也是在连续时间内进行的。5证明在本节中，我们收集了用于进行分析的技术结果的证明。5.1定理2.1的证明。我们将a固定在R+中，并证明定理的每一项。（i）对于第一个结果，我们将委托人的（预期）效用与代理人中的一个进行了预测。我们有：E[向上（Xa- W）]=E[向上（Xa- κ（a））×exp（γP（W- κ（a））]=EhUP（Xa- κ（a））×UA（W- κ（a））|-γPγAi。（5.1）我们希望从该表达式中提取代理的效用，并至少获得一个等式。要做到这一点，我们需要某种霍尔德不等式。然而，经典H"older不等式无法应用，原因有二：第一，指数-γPγAof试剂的效用为负；然后，映射的负性向上调用了H"older不等式的反向使用。这两个特征在所谓的反向H"older不等式中得到了考虑，这可以看作是经典H"older不等式的对应物，并在命题2.1中给出。特别是，我们希望使用第（i）项。更准确地说，让：F：=向上（Xa- κ（a）），G：=| UA（W- κ（a））|-γPγA.（5.2）自然地注意到，这两个随机变量取决于利息下的合同（W，A）。我们希望将反向H"older应用于F和G，并使用我们校准的指数p来表示| G|-p-1=| UA（W- κ（a））|；这立即给出p=1+γpγA=γA+γpγA>1。因此，我们立即得到：Eh | F | pi=Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγP+γAi，Eh | G|-1便士-1i=-E[UA（W- κ（a）dt）]。将命题2.1的（i）应用于F和G，并在关系式（5.1）中选择p，得到我们的结果：E[UP（XaT- W）]=-E[| F G |]≤ Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA.（5.3）（ii）我们首先证明（ii’）等于（ii’）。

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nandehutu2022

2022-6-10 18:36:24

这包括为（5.3）找到相等条件。通过命题2.1的（ii），不等式（5.3）是一个等式，如果且仅当契约（a，W）存在正常数α，使得（5.2）中定义的随机变量F和G享有：| F |=α| G|-聚丙烯-1、通过定义F、G和p=γA+γpγ，条件如下：| UP（Xa- κ（a））| | UA（W- κ（a）dt）|-（γP+γA）γA=α因此，利用我们效用的指数形式，我们得到了条件：| UP（XaT- W）| | UA（W）- κ（a））|=α，相当于toU′P（XaT- W）U′AW-RTκ（at）dt=γPγAα。将α设置为γPγAα，我们得到了我们的结果。我们现在证明（ii“”）等价于（ii“”）。当（ii’）成立时，（W，a）满足（4.2），我们有以下一系列含义，其中α是一个正常数：U′P（Xa- W）U′A（W- κ（a））=α=> （γP+γA）W- γPXa- γAκ（A）=lnαγAγP=> W=γPγP+γAXa+γAγP+γAκ（A）+lnαγAγP,=> W=γPγP+γAXa+β，其中β=γAγP+γAκ（A）+lnαγAγP.相反，让我们假设（ii’’）成立。然后（W，a），其中W=γPγP+γAXa+βsatifies（4.2），我们得到：U′P（Xa- W）U′A（W- κ（a））=exp（（γP+γa）β+γaκ（a））∈ R*+.5.2命题证明2.3假设a∈ R+。

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2022-6-10 18:36:27

我们已经准备好了（Xa- κ（a））|γaγa+γPi=Ehexp(-γP（Xa- κ（a）））γaγa+γPi=Ehexp(-γP（x+（a- κ（a））+B））γaγa+γPi=exp-γPγAγA+γPx+Φ（A）E经验值-γPγAγP+γAB其中C 7→ Φ（c）：=-γPγAγA+γP（c- κ（c））。注意，映射Φ在R+上是凸的，并且*:= κ*（1），Φ（c）≥ Φ（a*) = -γPγAeκ（1）γA+γP，c≥ 0.So，Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγP+γAi≥ 经验值-γPγAγA+γP（x+～κ（1））E经验值-γPγAγP+γAB,我们由此推断出我们的结果。5.3最优契约的证明：定理2.2我们考虑契约（W*, 一*) 按设置定义：a*:= κ*（1） andW公司*=γPγP+γAXa*+ β*,β*:= y+κ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+κ*(1)) -γAlnE经验值-γPγAγP+γAB.我们首先研究参与约束，以验证此类合同的可接受性。我们有：E[UA（W*- κ（a*))] = EUA公司γPγP+γAXa*+ β*+ κ(κ*(1))= EUA公司γPγP+γA（x+κ*（1） +B）+β*- κ(κ*(1))= UA（y）E经验值-γAγPγP+γAB- 自然对数E经验值-γPγAγP+γAB= UA（y）。因此W*属于W（a*). 根据定理2.1第（ii）项，合同符合Borch规则。此外，其形式为（W*, κ*（1））其中W*饱和参与约束。因此，达到委托人预期效用上限的等式条件是有效的，并且对于R+中的任何a和W中的任何W，我们都有相同的条件*（a），E[向上（Xa- W）]≤ EhUP公司Xa公司*- W*i=向上（x- y）经验值γPT-eκ（1）+γPγA2（γA+γP）.我们推断（W*, 一*) 是第一个最佳委托代理问题的最优契约。5.4技术lemmaLemma 5.1。设（W，a）是C中的容许约束。随机变量序列向上（Xa- W）0<γP<1是一致可积的。so:E[Xa- W]=ElimγP→0以上（Xa- W）= limγP→0Eh向上（Xa- W）i.证明。该陈述的第二部分是一致可积性（UI）和恒等式映射是 UP的极限（如γPgoes到0）的结果。因此，我们将重点放在UI属性上，并应用de la Vallée-Poussin准则。

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2022-6-10 18:36:30

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