Tsallis收入分配的波动

2022-6-1 01:49:12

Tsallis收入分配的波动Verton M.C.Abreu，1，2，3，*Newton J.Moura Jr.，Abner D.Soares，and Marcelo B.Ribeiro6，7Departmento de F'sica，Universidade Federal Rural doRio de Janeiro–UFRRJ，Serop'edica，RJ 23890-971，Brasildepartmento de F'sica，Universidade Federal de Juiz de Fora–UFJF，Juiz de Fora，BrasildPrograma de P'os Gradua，c'ao Interscipli nar em F'Aplicada西卡研究所，里约热内卢联邦大学UFRJ，21941-972，里约热内卢，RJ，BrazilInstituto Brasileiro de Geografia e Estat'stica–IBGE，Rio de Janeiro，BrasilComiss'ao National de Energia Nuclear–CNEN，里约热内卢，BrasilInstituto de F'305; sica，Un iversidade Federal do Rio Janeiro–UFRJ，Rio de Janeiro，BrasilObservat'orio do Valongo，里约热内卢联邦大学（Universidade Federal do Rio de Janeiro–U F R J，Rio de Janeiro，Brasil）（日期：2019年7月16日）在不同作者在不同时间段研究的不同国家的数据中发现了个人收入数据的互补累积分布函数（CC DF）的抽象振荡，但这种行为的动态起源目前尚不清楚。虽然这些数据集可以通过不同收入范围的不同函数来拟合，但最近发现Tsallis分布仅通过两个参数就能拟合整个分布。这一过程在整个收入范围特征中清楚地显示了这种振荡特征，但在分布的尾部尤其明显。虽然适合于数据的对数周期函数能够描述这种行为，但自然揭示这种振荡特征的不同方法是允许Tsallis q参数变得复杂。在本文中，我们利用这一想法来描述Soares等人（2016）最近对巴西个人收入CCDF的行为进行了实证研究。

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nandehutu2022

2022-6-1 01:49:15

通过这种方法获得了周期运动的典型元素，如振幅和与收益分析耦合的角频率。通过这种方法获得了CCDF的高度非线性函数，数值试验表明，它能够恢复巴西个人收入数据原始CCDF的主要振荡特征。PACS编号：89.65-s89.65.生长激素；05.90.+收入分配、Tsallis统计、复杂q参数*电子地址：通讯作者：evertonabreu@ufrrj.brI.简介对人口个人收入分配的研究由来已久。这类分析的先驱维尔弗雷德·帕雷托（1848-1927）研究了19世纪末某些地区和国家特定年份和年份组的个人收入分配。帕雷托系统地研究了这个问题，并得出结论，就个人而言，一个社会中最富有的人具有服从幂律函数的收入互补累积分配函数（CCDF）[1]。因此，最富有者的个人收入x的概率密度函数（PDF）p（x）可由以下公式得出，p（x）=βx-（1+α），（1）其中β是归一化常数。多年来，这种幂律行为被称为帕累托幂律，随后，指数α现在被称为帕累托指数。这一定律后来被解释为分形分布的经典例子，其中帕累托指数起着分布单分形维数的作用[2]。帕累托指数的高值意味着个人收入分配的不均衡程度较低。换句话说，帕累托指数的上升对应着收入不平等的下降。

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2022-6-1 01:49:18

最重要的细节是，这一结果，即社会中最富有者收入分配的幂律性质，自那以后进行的不同调查并未对此提出异议，这些调查考虑了不同国家或国家集团不同人口在不同时间获得的不同样本【3–13，以及其中的参考文献】。尽管帕累托幂律在经验上取得了成功，但它并不适用于绝大多数较不富裕的人口。也就是说，它只很好地描述了那些属于最富有人群的狭隘“部分”的收入数据。为了考虑由较不富裕人群组成的群体的收入数据，自帕累托时期后不久就开始使用的方法是通过各种其他函数来拟合较不富裕的数据段，如指数、对数正态分布、gamm a函数、Gompertz曲线以及其他函数【3–5、7、12–14】。也有一些成功的方法可以使用较少的简单函数和许多参数来分析整个数据范围，但通常这种方法需要四个或更多的参数才能完成整个分布。此外，使用双拟合函数方法意味着假设社会只分为两类：一类是由大约1%的总人口组成的非常富有的人，另一类是剩下的99%。这种方法论的一个基本问题是缺乏一个中等阶级，这当然存在于这两个群体之间。此外，还有一个问题是，这种阶级划分是社会的真实特征，还是基本上是便于数据传输的数学产物。

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nandehutu2022

2022-6-1 01:49:21

考虑到这些反对意见，一个能够满足整个收入分配的简单函数，同时允许在不同的收入范围内出现各种特征，这当然很有意思。代表整个收入数据的最新方法是使用Tsallis函数而不是上述两个函数的组合来拟合数据。在这种方法中，根据众所周知的Tsallis参数（即q参数）和另一个归一化常数，对个体基因组分布进行分类。博尔赫斯【15】使用了两个q参数，其中一个控制中间收入范围的斜率，另一个描述d分布的尾部。然后，他分析了1970年至2000年美国、1970年至1996年巴西、1992年至1998年德国和1993年至1998年英国一些国家的收入分配情况。结论是，随着时间的推移，q w的增加意味着不平等的加剧。q值越大，发现比其他国家富裕得多的县的可能性就越大。费列罗（Ferrero）[16，17]使用Tsallis函数拟合了几个国家的全部收入数据，但仅在几年内，无法表明Tsallis参数的变化。最近[18，19]使用Tsallis形式主义，对1978年至2014年这段相对较大的年度时间窗口内巴西的收入分配进行了研究。结果表明，Tsallis函数的两个固定参数随时间呈循环行为。此外，每年分布的直线性归因于数据围绕着目标直线周期性振荡，振幅随输入值而增长。

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2022-6-1 01:49:24

仔细观察其他作者使用不同方法对不同时期采集的不同样本进行的验证数据，发现了类似的振荡模式，这意味着似乎确实存在着一种二阶动力学效应，而之前在未来的数据中没有发现这种效应【20，第16页，第4页】。虽然在金融市场和其他系统中观察到了这种振荡行为，但之前在收入分配数据中没有发现这种振荡行为。在这项工作中，我们通过允许Tsallis参数变为compl-ex的替代方法分析了这种周期性振荡，如参考文献[21]所建议的。在这种方法下，q参数在输入分布曲线中揭示了这种周期ic行为，允许我们定义物理上常见的周期元素，如振幅和角频率。该方法通过一个数字示例进行了说明，其中，一旦我们的方法应用于结果，将恢复2011年巴西原始em piricallyobtained CCDF。本文的组织结构如下。门派2介绍了Tsall is函数及其分析中所需的一些属性。门派3介绍并讨论了复杂化过程及其在个人收入分配分析中的影响。门派4给出了此处开发的程序的数字示例，以及第节。本文最后给出了我们的结论。二、TSALLIS函数众所周知，TSALLIS热统计[22，23]基于q对数和q指数函数，由lnqx给出≡x（1-q）- 11- q、（2）eqx≡1 + (1 - q） x个1/（1）-q）。（3）这些函数的定义使得q=1时，两个表达式都成为标准对数和指数函数，即ex=ex和lnx=lnx。

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2022-6-1 01:49:27

因此，Tsallis q函数实际上是通常的指数和对数表达式，其扭曲方式可用于Sallis的非广义统计力学理论【23】。在这一点上，应该注意到，还有其他方法可以改变这两个常见功能查看其他应用程序，例如个人收入分布。这是参考文献[24]中引入的κ广义指数的情况，它可用于以与Tsallis q函数类似的方式拟合整个i ncome数据范围。这一点尤其重要，因为它们都有幂律和指数作为其极限情况。感兴趣的读者可以在参考文献中找到κ广义函数的更多应用。[25–2 7].从上述定义可以看出，eq（lnqx）=lnqeqx= x、（4）此外，对于任何q，lnq1=0。因此，如果我们有一个x/x=1的值x，那么nq（x/x）=0。就我们的目的而言，q指数函数的其他两个性质如下所示[28]，heqf（x）ia=ea f（x）1-（1）-q） /a，（5）ddxheqf（x）i=heqf（x）iqf′（x）。（6）当我们探索Tsallis参数q可以在复平面中表示的事实时，这些结果将是有用的，如参考文献[21]中所讨论的。值得注意的是，从Eqs。（3），（5）和（6）复杂的q是否能帮助我们揭示隐藏在这些函数中的一些收入分配细节，如周期性行为，这一点并不明显，我们将在下文中展示。三、 q参数复杂化。复热容非延度参数q可以用一个复杂的公式来表示，这一事实并不新鲜。在参考文献[29]中，q参数可以看作是热浴h热容量的测量值，其中C=q- 1.

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2022-6-1 01:49:30

（7）此外，这种复合物C在文献[30，31]中是众所周知的，可以写成如下，C=C∞+C- C∞1 + (ωτ)(1 - iωτ），（8）其中C∞是无限快自由度（DOF）的热容，ω是频率，Cis是DOF平衡时的热容，其中频率设置为零，τ是时间常数，是某个DOF的金弛豫时间常数。式（8）的形式表明，我们可以将其写成C=C′+i C′，其中C′=C∞+C- C∞1+（ωτ）（9）和C′）=（C- C∞)ωτ1 + (ωτ). （10）因此，让我们写一个q的复杂形式，即q=qr+iqi。代入式（7）并与式（8）关联，我们得到该qr- 1qi=C+C∞（ωτ）（C）- C∞)ωτ，（11）和对于C<<C∞我们有（1- qr）/qi ωτ，表明q的实部和虚部之间的关系与频率成正比。有关这一讨论的更多细节，请参见参考文献[29]。B、复杂的收入分配意味着周期性行为让我们从Wilk和Wlodarczyk[21]关于Q参数复杂性的建议开始。可将三个参数Tsallis分布（TD）写为以下形式，f（x）=C e-x/Tq=C1.-xmT公司-m、（12）其中m=（q- 1），（13）是一个实功率指数，T是热力学应用中确定的标度参数，通常为标准温度，C是一个归一化常数。建议将m或q视为复数。因此，TD保持其主要的类幂形式，然而，这会导致一些对数周期振荡。

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2022-6-1 01:49:33

例如，这种行为在许多学科中都有涉及，例如地震[32,3]，混沌[34]，随机系统的示踪物[35-37]，随机淬火和分形[38-42]，特定热量[43]，聚类[44]，增长模型[45]，股票市场[46-50]，以及最终的非广泛统计力学周期振荡[51]。当m→ ∞, nam el y，q→ 1，我们得到，这类幂分布类似于标准指数d分布f（x）=Ce-x/T。络合建议意味着将式（12）中的m复合物转动，产生m=m′+im′（14），这意味着我们也可以有一个复杂的非扩展q参数，如下所示，q=1+m=q′+iq′。（15）很容易看出q′=1+m′| m |和q′\'=-m′m′（16），其中| m |=m′+m′。（17）因此，这里的目标是分析参考文献[20]中获得的结果，其中巴西的个人收入分配显示出一种周期性行为，作为每年样本收入变量的函数，根据q参数的复杂性。因此，我们希望从数学上描述这种振荡行为。C、对巴西美国收入分配的非广泛分析现在将我们的注意力转向本文的主要目的。如参考文献[20]所述，如果整个收入分配范围可以由一个只有两个参数的函数来拟合，那么当收入范围由两个不同的函数来描述时，隐含的定义两类基本收入结构可能是一个悬而未决的问题。因此，这样的收入阶级划分可能只是一种选择的结果，而不是社会的固有特征。众所周知，对于自变量x的大值，TheTD是一个纯幂律，当x t结束为零时，它是一个指数。

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2022-6-1 01:49:38

然而，这种行为并不等同于从一开始就假设收入分配问题采用两类方法，因为TD将只有幂律和指数型行为作为极限情况。因此，这些函数都不能描述中间级别上可能存在的不同行为。这意味着，theTD不一定意味着基于明确的收入领域范围的两个非常遥远的类别，但可能有一个规模未知的中间收入范围，这两个类别都可能表现不出来。考虑到这些要点，现在让我们继续从TD及其后续复杂性的角度描述收入分布。设F（x）为个人收入的累积分布函数（CDF），代表一个人收入小于或等于x的比例或概率。设usnow用F（x）表示其补码形式，即CCDF，然后描述一个人收入大于或等于x的概率。很明显，F（x）+F（x）=100。（18）这里，最大概率被归一化为100%，而不是标准的单位值。两个函数所涉及的边界条件都是F（x）=F(∞) 0和F(∞) = F（0）此外，以下属性适用于这些收入函数，dF（x）dx=-dF（x）dx=f（x），（19）Z∞f（x）dx=100，（20），其中f（x）是PDF【5，12】。实证结果表明，收入分配可以用T-D模型来模拟，因为当从收入数据中获得F（x）i并绘制在对数对数标度中时，其函数曲线会随着收入x的增加而减小。此外，经验CCDFfunction的一般形状，尤其是其“腹部”，类似于e-xq为q>1 wh，以对数-对数比例绘制[参见参考文献23，第40页，图3.4]。

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2022-6-1 01:49:41

此外，如上所述，Tsallis函数对于高收入值具有类似幂律的行为，因此与Pareto幂律一致。考虑到这些观察结果，参考文献[20]对个人收入分配F（x）=Ae提出了以下描述-Bxq，（21），其中A和B为正参数。因为我们有一个F（0）=100形式的约束条件，所以上面的表达式表示a=100。因此，式（21）可重写如下，F（x）=100 e-Bxq。（22）请注意，粗略检查公式（22）不会提供任何明显的周期性行为证据，或者q的复杂性会揭示任何振荡特征，因为q参数只是一个指数。我们将在下面展示，允许q变得复杂将暴露这些特性。D、收入分配函数的周期性行为让我们从定义n（3）开始，将公式（22）改写如下，F（x）=100h1+（1- q）(-Bx）i1/（1）-q）。（23）该方程也可以用公式（13）表示为m的函数，F（x）=1001+Bmx-m、（24）遵循方程式中建议的络合。（14）至（17），式（24）可写成如下，F（x）=100ha（x）+ib（x）i-（m′+im′，（25）式中（x）=1+B m′m | x，（26）B（x）=-B m′′m | x。（27）展开式（25）中的项，得到以下表达式，F（x）=100 A（x）e-iω（x）=100 A（x）hcosω（x）- i sinω（x）i，（28）其中A（x）=expm′′И（x）- m′θ（x）,ω（x）=m′Д（x）+m′′θ（x），（29）（30）和^1（x）=棕褐色-1英寸-B m′x|m |+B m′x#,θ（x）=lnr1+Bx | m |（Bx+2m′）。（31）（32）我们必须记住B总是正的。现在，如果我们只考虑公式（28）的真实部分，则原始收入数据的TD描述，如公式（28）所示。

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2022-6-1 01:49:44

（22），结果如下所示，F（x）=100 e-Bxq=100 A（x）cosω（x）, （33）式中，cosω（x）的绝对值保证我们将始终具有经验获得的F（x）的正值。这一结果清楚地表明，参考文献[20]在收入数据中经验观察到的周期性行为似乎是由上述表达式描述的。或者至少可以预期观察到的振荡行为，因为它构建在TD中。注意，原始q参数存在于A（x）和ω（x）到m′和m′之间，它们分别是q的实部和虚部。个人收入分布函数可以用公式（28）给出的标准指数形式表示，这一事实表明，我们可以定义一个周期函数，其中a（x）可以被视为该振荡运动的振幅，ω（x）可以被视为其角频率。仅通过实数项考虑q参数隐藏了这种周期行为。该词汇添加了新的成分，如上文所述的成分，因此能够揭示从收入分配数据中获得的经验曲线中确实出现的周期性行为。始终将q参数视为一个完全复数的问题，即实数部分和虚数部分，是一个悬而未决的问题，尽管我们相信这取决于我们正在处理的问题。我们可以想象这一特性与量子物理学中电子的双重特性类似，因为它具有波粒二象性行为特征，这取决于我们正在分析的经验。通过这种方式，我们可以讨论q-对偶，它值得其他解释，当然也可能是进一步研究的目标。四、数值应用我们现在的问题是通过一个数值例子来分析等式（33）关于收入分配实际数据的q复杂版本。

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2022-6-1 01:49:47

目的是从公式中计算m′和m′的值。（14）也就是说，对于参考文献[20]表中给出的每个经验收入值xkgiven，获得一个pairmk′和mk′。让我们首先重写公式s.（31）和（32），以符合离散实数数据，如下所示，νk=Д（xk）=arctan-Bmk′xkmk′+mk′+Bmk′xk！！！，（34）θk=θ（xk）=lnvt1+BxkBxk+2 mk′型mk′+mk′，（35），其中xkis是参考文献[20]中产生的第k个收入数据点。从公式（29）中，我们可以写出第k个表格收入数据的以下表达式，Ak=A（xk）=expmk′arctan公司-Bmk′xkmk′+mk′+Bmk′xk！！！- mk′lnvt1+BxkBxk+2mk′mk′+mk′.（36）类似地，等式。（30）允许我们写出下面的表达式，ωk=ω（xk）=mk′arctan”“”-Bmk′xkmk′+mk′+B mk′xk###+mk′lnvt1+BxkBxk+2mk′mk′+mk′。（37）目的是数值求解公式（33）。为了完成这项任务，我们将其写成以下数值离散形式，F（xk）=100 A（xk）cosω（xk）, ==> Fk=100 Akcosωk. （38）对于第k个收入，需要计算mk′和mk′。来自Eqs。（15）到（17）我们有| m |=| q- 1 |=mk′+mk′，（39）这允许我们将表达式写在下面，mk′=±p1- mk′| q- 1 | q- 1.（40）考虑到由于方形roo t，mk′有两个解，将g式（40）替换为式。（36）和（37）我们分别得到以下结果，Ak=exp(((-p1级- mk′| q- 1 | q- 1arctan”“”Bxk（q- 1） p1级- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk（q- 1)###-- mk′lnq1+Bxk（q- 1)Bxk+2mk′))), （41）和ωk=- mk′arctan”“”Bxk（q- 1） p1级- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk（q- 1） ###++p1- mk′| q- 1 | q- 1lnq1+Bxk（q- 1)Bxk+2 mk′型. （42）最后，将上述表达式代入等式。

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2022-6-1 01:49:50

（38）结果可写如下，Fk=100 exp(((-p1级- mk′| q- 1 | q- 1arctan“”Bxk | q- 1 | p1- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk | q- 1|###-- mk′lnq1+Bxk | q- 1|Bxk+2 mk′型)))××cos公司(((- mk′arctan”“”Bxk | q- 1 | p1- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk | q- 1 |###++p1- mk′| q- 1 | q- 1lnq1+Bxk | q- 1|Bxk+2mk′))). （43）参考文献[20]使用巴西的收入数据，在观察到的时间窗口内，获得每年收入值xk的分布fk，然后将TD拟合到经验分布中，以便找到给定年份中所有k值的参数q和B。一旦这样做了，知道给定年份中[q，B]的值，就可以对每个数据对[Fk，xk]的等式（43）进行数值求解，最终获得未知量mk′。然后，可以使用上述方法对整个络合过程进行测试。首先，选择参考文献[20]提供的一年的数据集，使用所选年份的经验值[Fk，xk，q，B]计算每个数据点的mk\'，以找到表达式（43）的根，将结果[mk\'，xk，q，B]替换回等式（43），以恢复分布Fk，然后将原始分布与恢复的分布进行比较。如果恢复的点与原始经验分布（包括观察到的振荡）非常接近，这将证明上面的合并程序确实揭示了分布中存在的振荡。图1 s展示了2011年巴西国际贸易数据组织（incomedata）使用经验CCDF方法获得的结果。人们可以清楚地看到，恢复的分布确实与emp irical分布密切相关，包括由于振幅Ak值增加而在尾部出现更明显的振荡。

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可人4

2022-6-1 01:49:53

由于公式（43）的高度非线性，这些结果无法得到更好的结果，因为计算该表达式的根会导致严重的数字损失。减少这些波动需要使用不少于0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.01 0.1 1 10 100F（x）的原始与复杂回收分布经验回收分布图。1：该图显示了2011年巴西的CCDF，q=1.265，使用经验数据（开放圆）获得，回收数据（填充圆）通过求公式（43）的根获得。等式。（12）和（13）是从q到m的参数转换，虽然q在整个分布中只有一个值，但复杂化过程会为分布的每个点产生实部和虚部。因此，由于分布是由k个点组成的，所以复m将有k个值，如等式所示。（39）、（40）和（43）。因此，方程式（43）的解产生的k点显示在该图中。由于式（43）实际上是式（38）的扩展形式，并且它有一个与振幅项耦合的振荡项，那么，一旦式（43）找到Fk的k值，分布的振荡性质就会通过拟合再现。然而，由于其高度非线性以及其具有接近单位的两个值的多个子集，数值问题因重大数字的灾难性丢失而产生的强大数值不稳定性而得到解决。在公式（43）的数值计算过程中，使用20位数字显著改善了这种不稳定性。

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2022-6-1 01:49:56

尽管存在不稳定性，但分布的振荡性质在恢复点中清晰可见，这意味着允许TD的参数q成为复数，可以揭示分布的振荡性质，尤其是在其尾部。数值计算中的20位数。使用超过20个数字并不能改善结果，因为参数[q，B]仅适用于最多3个数字的数据。如果由于重要数字的丢失而导致的数值波动有所减少，那么图1所示的结果可能会得到改善。一种可能性是通过重新计算至少20位的参数q和B，因为它们最初都是用3位数字获得的。但是，减少这些波动的任务超出了本文的范围，因为我们在这里的目的只是为了表明，允许TD的参数q成为复数，可以揭示分布的振荡性质，如图1的图表所示。五、结论由于帕累托的工作，即对整个人口收入分配的研究一直是经济专家的目标，并且在一段时间内一直是经济物理学文献的目标。尽管在多个函数中使用了大量参数来拟合收入数据，但在某些情况下，从三到五，一些数学方法在描述整个数据范围方面已经蓬勃发展。在这项工作中，我们使用了Tsallis的非扩展观点和复杂模式，其中q参数由复数表示。这里的目的是使用这种复合物，以便从分析上证明参考文献中获得的结果。

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可人4

2022-6-1 01:49:59

[20] ，它在收入数据中显示出周期性行为。如上所示，在这样做的过程中，我们将数据拟合所需的参数数量从原来的两个增加到了三个。虽然增加问题中未知参数的数量是一个糟糕的过程，但在我们的案例中，复杂性揭示了收入分配中以周期运动形式出现的收入分配的额外行为，这一点已经存在于多个收入分配研究中，但只有Soares et a l明确承认。通过将收入分配的这种振荡运动解释为一种典型的周期运动，我们可以确定常用的振荡参数，如振幅和角频率。根据实际数据对所开发的分析程序进行了测试，在这种情况下，2011年巴西a的收入分配d，数值结果表明，考虑到复杂的Q参数，可以揭示分布的振荡性质，尤其是在其尾部。因此，从这里获得的结果来看，我们可以说，年度收入分配样本的“高ghs和低ghs”是一种预期行为，使用Tsallis qparameter的compl-ex形式进行确认。然而，目前还不完全清楚，这种周期性振荡是否能够引导我们理解q参数的真实性质，即q参数是否复杂取决于我们正在处理的问题的特征。最后，这项工作向我们展示了收入分配实证研究所面临的任务。数据给出了F（x）、x、B、q和m，因此经验任务是从数据中同时确定m′和m′，以便最终得到表征整个年度分布所需的三个参数，包括振荡特征，即B、m′和m′。六、确认SE。M、 C.A。

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大多数88

2022-6-1 01:50:01

巴西联邦机构CNPq国家环境保护委员会（CNPq Conselho National de DesenvolvimentoCient）是一家联邦科学支持机构，负责部分财政支持，赠款编号为30 2155/2015-5和40 6 894/2018-3。M、 B.R.承认里约热内卢州科学基金局（FAPERJ）的部分财政支持。[1] V.Pareto，“政治经济学课程”，洛桑，1897年。[2] B.B.Mandelbrot，“自然的分形几何”，弗里曼，旧金山，1982年。[3] N.C.Kakwani，“收入不平等与贫困”，牛津大学出版社，1980年。[4] N.J.Moura Jr.，M.B.Ribeiro，“巴西1978-2005年收入分配中Gompertz曲线的证据”，欧元。物理。J、 B，67（2009）101-120，arXiv:0812.2664。[5] F.C hami Figueira，N.J.Moura Jr.，M.B.Ribeiro，“Gompertz-Pareto收入分配”，Physica A，390（2011）689-698，arXiv:1010.1994。[6] A.agulescu博士，V.M.Yakovenko，“美国收入指数分布的证据”，欧元。物理。J、 B，20（2001）585，arXiv：cond mat/0008305。[7] J.C.Ferrero，“货币的统计分布和货币转移率”，Physica A，341（2004）575-585。[8] A.Christian Silva，“物理学在金融和经济中的应用：回报、交易活动和收入”，马里兰大学博士论文，2005年，arXiv：物理学/0507022。[9] V.M.Yakovenko，J.B.Rosser，“座谈会：货币、财富和收入的统计机制”，Rev。摩登派青年物理。，81（2009）1703-1725，arXiv:0905.1518。[10] R.Coelho，P.Richmond，J.Barry，S.Hutzler，“收入和财富分配中的双重幂律”，Physica A，387（2008）3847-3851，arXiv:0710.0917。[11] A.Banerjee，V.M.Yakovenko，“不平等的普遍模式”，新物理杂志。，12（2010）075032，arXiv:0912.4898。[12] N.J.Moura Jr.，硕士。

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2022-6-1 01:50:04

里贝罗，“巴西古德温增长周期宏观经济动力学测试”，Physica A，392（2013）2088-2103，arXiv:1301.1090。[13] Econophys Kolkata I研讨会，“财富分配的经济物理学”，A.Chatterjee，S.Yarlagadda，B.K.Chakrabarti（编辑），Springer，2005年。[14] B.K.Chakrabarti，A.Chakraborti，S.R.C hakravarty，A.Chatterjee，“收入和财富分配的经济物理学”，剑桥大学出版社，2013年。[15] E.P.Borges，“个人总收入和国内生产总值县域分布的经验非扩展定律”，Physica A，334（2004）255。[16] J.C.Ferrero，“收入分配分层和不平等的统计分析”，欧元。物理。J、 B 80（2011）255。[17] J.C.Ferrero，“货币的单峰、多峰、均衡和非均衡分布”，见[13]，第159页，（2005年）。[18] C.Tsallis，“玻尔兹曼-吉布斯统计的可能推广”，J.Statist。物理。52 (1988) 479;“非加性熵：概念及其使用”，欧洲。物理。J、 A 40（2009）257。[19] V.Schw¨ammle和C.Tsallis，“对数和指数函数的双参数推广和B oltzmann-Gibbs-Shannon熵”，J.Math。物理。48 (2007) 113301.[20] A.D.Soares、N.J.Moura Jr.和M.B.Ribeiro，“巴西收入分配中的Tsallis统计”，混沌、孤子和分形88（2016）158。[21]G.Wilk和Z.Wlodraczyk，“具有复非延度参数q的Tsallis分布”，PhysicaA 413（2014）53。[22]C.Tsallis，“实验提供的数字是多少？”，《新屈米卡》，17（1994）468-471。[23]C.Tsallis，“非扩展统计力学导论”，Springer，2009年。[24]F.Clementi，M.Gallegati，G.Kaniadakis，“κ-个人收入分配的一般统计数据”，欧元。物理。J、 B，57（2007）187-193，arXiv：物理学/0607293。【25】F.Clementi，T.Di Matteo，M.Gallegati，G。

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Kaniadakis，“κ-广义分布：收入规模分布的新描述模型”，Physica A，387（2008）3201-3208，arXiv:0710.3645。[26]F.Clementi，M.Gallegati，G.Kaniadakis，“非均值分析的κ-G广义统计力学方法”，J.Stat.Mech。，2009年2月P02037，arXiv:0902.0075。【27】F.Clementi，M.Gallegati，G.Kaniadakis，“财富规模分布的广义统计模型”，J.Stat.M ech。，12月（2012）P12006，arXiv:1209.4787。[28]T.Yamano，“Tsallis统计量中q对数和q指数函数的一些性质”，PhysicaA 305（2002）486-496。[29]T.S.Bir\'o，G。G、 Barnaf¨oldi和P.V'an，“连接到有限热浴的夸克胶子等离子体”，欧洲。物理。J、 A 49（2013）110。【30】J.E.K.Schawe，“调制温度DSC中不同评估方法的比较”，Thermochim。Acta 260（1995）1。【31】J.-L.Garden，“频率相关复合热容的简单推导”，Thermochim。Acta 460（1995）85。[32]Y.Huang、H.Saleur、C.Sammis和D.Sornette，“前兆、余震、临界性和自组织临界性”，Europhys。利特。41 (1998) 43.【33】H.Saleur、C.G.Sammis和D.S ornette，“地震活动中的离散尺度不变性、复杂分形维数和对数周期波动”，J.Geophys。第101（1996）号决议17661。【34】A.Krawiecki、K.Kacperski、S.Matyjaskiewicz和J.A.Holyst，“由于分形的自相似性，对数周期振荡和无噪声随机多重共振”，混沌、孤子和分形18（2003）89。[35]J.Bernasconi和W.R.Schneider，“随机一维系统中的差异”，J.Stat.Phys。30(1983) 355.[36]D.Stau offer和D.Sornette，“随机晶格上有偏扩散的对数周期振荡”，Physica A 252（1998）271。[37]D.Stau ffer，“旧偏差的新模拟”，Physica A 266（1999）35。【38】B。

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2022-6-1 01:50:10

Kutnjak Urbanc、S.Zapperi、S.Milosevic和H.E.Stanley，“锡尔宾斯基垫片分形上的沙堆模型”，Phys。修订版。E 54（1996）272。[39]R.F.S.Andrade，“非周期Isingmodel对数周期振荡的详细特征”，物理。修订版。E 61（2000）7196。【40】M.A.Bab、G.Fabricius和E.V.Albano，“锡尔宾斯基地毯上伊辛系统的临界行为：短期动力学研究”，P hys。修订版。E 71（2005）036139。【41】H.Saleur和D.Sornette，“受挫系统中的复指数和对数周期修正”，J.Physique I 6（1996）327。[42]C.Tsallis，L.R.da Silva，R。S、 Mendes，R.O.Vallejos和A.M.Mariz，“与Cantor集能谱相关的特定热异常”，物理。修订版。E 56（1997）R4922。【43】R.O.Vallejos、R.S.Mendes、L.R.da Silva和C.Tsallis，“能谱、自相似性和特定热对数周期性之间的关系”，物理。修订版。E 58（1998）1346。【44】D.Sornette、A.Johansen、A.Arneodo、J.-F.Muzy和H.S aleur，“复杂分形维数描述了扩散有限聚集簇的层次结构”，Phys。修订版。利特。76 (1996)251.[45]Y.Huang，G.Ouillon，H.Saleur和D.Sornette，“增长模型离散尺度不变性的自发生成”，物理。修订版。E 55（1997）6433。【46】D.Sornette、A.Johansen和J.-P.Bouchaud，“股市崩溃、先兆和复制品”，J.Physique I 6（1996）167。【47】N.Vanderwalle、P.Boveroux、A.Minguet和M.Ausloos，“1987年10月的崩盘被视为一种相位转换：振幅和普遍性”，Physica A 255（1998）201。【48】N.Vanderwalle和M.Ausloos，“1997年10月金融崩溃的预测”，欧元。J、物理。B 4（1998）139。【49】N.Vanderwalle、M.Ausloos、P.Boveroux和A.Minguet，“碰撞前对数周期模式的可视化”，欧元。J、物理。B 9（1999）355。【50】J.H.Wosnitza和J。

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